（应用数学专业论文）拟稳态微波加热系统的最优控制问题.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所旱交的学位论文，是本人在导师的指导f ，独立进行研究所取的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的 科研成果。对本文的研究在做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明法律责任由本人承担。 论文作者签名 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州人学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有 关部l _ j 或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅：本人授权贵州大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) ：呼新繇靼日划： 4 2 岁月 n 开v 卜 一 簿 理 日 朋r 函 、甲 摘要 本文主要讨i g - 争l , 拟稳态微波加热系统的最优控制同趣 受控系统可以描述为如下的m a x w e l l 方程与热传导方程的耦合： f + v 【口( 五f ) v 日】= f ( 墨f ) ，( 】t ) q ， l u 。一v 【七“) v “】= q ( f ) 4 “f ) i v 日1 2 ，伍d q ， 其初边值条件为：， f 詹= 霄吞，u ( x ，f ) = g ( x ，f ) ，x e o x 2 ，o 。，v = ( 旦f f c l ，去，毒) ，日= - ，凰，日，) 表 示磁场4 ( 彬) = 志加o f 屿“柚分另慑示为电传导系数与热传导系数融施的 单位外法向量。o ( x ，f ) 和g ( 墨f ) 为给定的边界条件，成( 力，( 功初始条件q ( t ) 表示控制。 控制集为q = 白r ( o ，r ) ：o g ( f ) l 。 目标泛函为： m ) = i 。l u ( 工d - u ，( x ) 1 2 d x + 艿似f ) 1 2 d t 其中艿 0 ，坼( 工) 是已知期待的终端温度，且蜥r ( q ) 。 最优控制问题( p ) ：在容许控制集中寻找一个鼋0 q ，使得目标泛函 - ，q ) = 扛x ，r ) 一蜥g 】2 出+ jr | g ( f 1 2 疵 达到最小 本文主要研究上述最优控制问题的存在性。 为此，我们首先在适当的假设条件下，利用能量估计法证明了如下拟稳态m a x w e l l 方程 弱解的存在性： 陋+ v 口( 列) v 詹 = ，( 五f ) ，q t ， 亩( x ，o ) = h 。( 工) ， x q l 雨h c x , t ) = l q 6 ( x ，t ) ，伍t ) 触( o ，r 1 进而，我们利用单调算子的方法，证明了拟线性抛物型方程弱解的存在性： l q v 【七( 而u ) v u 】= 口( 五f ) i v 膏1 2 ， ( 舄d q ， u ( x ，0 = 0 ，伍t ) 施( o t 】 i l l ( ) 【 o ) = u 。( 曲，x q l 最后证明了最优控制问题( p ) 解的存在性。 此最优控制问题解存在性证明可为拟稳态微波加热系统最优控制问题的进一步研究提 供理论基础。 关键词：拟稳态m a x w e l l 方程，拟线性抛物型方程，能量估计，最优控制存在性，耦合系 统，弱解，单调算子。 4 a b s t r a c t t h i st h e s i ss t u d i e st h ee x i s t e n c eo f o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo f q u a s i s t a t i o n a r ym i c r o w a v eb e a t i n gs y s t e m 。 t h ec o n t r o l l e ds y s t e mm a yd e s c r i b eb yt h ef o l l o w i n gm a x w e l le q u a t i o na n dt h e h e a tc o n d u c t i v i t ye q u a t i o nc o u p l i n g ： ：翥 竺：鬻2 淼吼：i 毫_ 【u 。一v 【七“) v “】= g ( 咖“f ) i v 月j 2 ， ( x ，o q ， ”一： w i t hi n i c i a la n db o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s ： g 篡嵩h o 嚣u ( x o , o 蔷u o ( o x ) ：! x 嚣0 “g z ， 旧“o ) = ( 工) ， ) =，q 、。 w h e r e ，q r = 【2 ( o ，r 】，q c r i sad 。m a i n ，r o ，v ：( 要，妻，晏) ， 出3 肌池，训哪e t i cf i e l d s , 毗归志吣力柏dk ( x ) s e p a r a t e l ye x p r e s s e dl e a d st h ec o e f f i c l e n ta n dt h et h e r m a lc o n d u c t i v i t yf o rt h e f a x 霄打铀o u t s i d eu n i tl a wv e c t o r c ( x ，t ) a n dg ( x ，f ) i sf o rt h eb o u n d a r y c o n d i t i o nw h i c ha s s i g n s ，风( 曲，u 0 ( 力i st h ei n i t i a lc o n d i t i o n ，q ( t ) e x p r e s s e st h e q = 备e r ( o ，r ) ：o g ( f ) l 地) 。扛( 加- u , ( x ) 1 2 d x + 万r 俐2 疵 w h e r e 艿 0i sag i v e nc o n s t a n t ，u r ( 工) i sk n o w nd e s i r e dt e r m i n a lt e m p e r a t u r e ，a n d 蜥r ( q ) o p t i m a lc o n t r o lq u e s t i o n ( p ) ： f i n daq o q ，s u c ht h a t ，j ( q o ) ，( g ) ，v q q s u b j e c tt o ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) t h e r e f o r e ，w ef i r s tu n d e rt h es u i t a b l es u p p o s i t i o nc o n d i t i o n ，u s i n gt h ee n e r g y e s t i m a t e dt h el a wh a dp r o v e na sf o l l o w sd r a w su pt h es t a b l e s t a t em a x w e l le q u a t i o n f 豆+ v 口( 州) v 膏 = f ( 毛f ) ，伍t ) q ， h ( x ，o ) = h 。( 曲，x q ih i x i 百( x , t ) = 衬6 ( 】【，t ) ，( 毛t ) a q ( o ，r 】 t h e n ，w ep r o v e dt h ee x i s t e n c es o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gq u a s i l i n e a rp a r a b o l i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o nb yu s i n gm o n o t o n eo p e r a t o rt h e o r y ： i q v 【i ( 五“) v 】= 口( 五f ) l v 厅1 2 ，( x , t ) e q r ， u ( x ，o = o ，( x ，t ) m ( o t 】 lu ( x ，o ) = u 。( 工) ， x ( x l f i n a l l yt h ee x i s t e n c eo ft h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m t h i so p t i m a lc o n t r o la s k et h ee x e r c i s ek e ye x i s t e n c ec e r t i f i c a t em a yf o rd r a w u pt h es t a b l es t a t em i c r o w a v eh e a t i n gs y s t e mo p t i m a lc o n t r o lq u e s t i o nt h ef u r t h e r r e s e a r c ht op r o v i d et h er a t i o n a l e k e yw o r d s ：q u a s s t a t i o n a y rm a x w e l le q u a t i o n s ，q u a s i 一1 i n e a rp a r a b o l i cd i f f r e n t i a l e q u a t i o n ，t h ee n e r g ye s t i m a t e d ，t h ee x i s t e n c eo fo p t i m a lc o n t r o l ，c o u p l e ds y s t e m ， w e a ks o l u t i o n ，m o n o t o n i co p e r a t o rt h e o r y 6 一、物理背景 第一章前言 1 1 研究背景 由于微波加热干燥与常规加热干燥和杀卣相比，具有干燥效力高、节能和杀菌温度较低、 杀菌时间短等优点，成为干燥和杀菌领域中的一项新方法、新技术。可广泛应用于需要加热 和干燥脱水，以及杀菌的各种行业的加工处理场合。而拟稳态微波加热系统就是其电场不随 时间变化而变化，电流是稳定的、恒流的，拟稳态的微波加热系统在人们生活和工业中有广 泛的应_ h j ( 见 1 ) 。 而另一方面，产生微波的重要部件是磁控管，磁控管及其系统，在通电后能连续不断 的产生微波，对丁：微波输出功率小于l k w 的磁控管，当接通电路约2 秒钟后即可达到正常工 作状态，即产生微波。当断开电路后，将即刻停止微波产生。微波产生与否，就在电路通断 瞬间。因此由磁控管： 作过程来看，无论哪种输出功率的磁控管产生微波均是受控予电路接 通与否，并且都瞬间完成。这样为微波加热的自动控制提供了基本条件，微波加热的最优控 制的实现成为可能。因此拟稳态微波加热系统的最优控制问题引起了关注。 二、研究现状 微波加热虽然在下业生产中广泛使用，然而现阶段绝大部分加热控制还依赖于“经验估 计”，阻j e 了工业自动化的进程，直接导致了经济效益的降低，这正如 2 尖锐指出的那样“从 微波加热产生的那天以来，它在工业中已得到大量的使用，然而它的理论基础还是一片空 白! ” 从2 0 世纪9 0 年代以来，不同国家的不同行业的来自应用数学、食品科学、机械设计的 领域的大量科学家分别从数学模型、食品科学、动力系统科学、工业设计及计算机模拟等角 度，对其展开激烈的探讨。( 见参考文献 1 7 ，1 2 1 ， 1 6 ， 3 2 ) 。 虽然有许多专家学者都进行了大量的微波加热系统的研究，但人多数的研究是关于系统 解的存在性、加热失控问题( 见 2 3 及相关文献) ，以及加热过程的数值模拟( 见 1 0 ， 1 7 ， 2 1 ， 2 8 ， 2 5 ) 。遗憾的是对于最优控制问题的研究还较少。据我们所知，只有h m y i n 在文献 1 6 中研究了时协系统最优控制问题的存在性问题，而对拟稳态微波加热系统最优控 制问题还没有研究过。 三、研究意义 它将为微波加热过程的最优控制问题奠定理论基础，供工程人员的微波加热自动控制系 统的设计提供理论参考。 故它对拟稳态微波加热系统最优控制问题的研究是必要的和有意义的。 7 一、主要工作 1 2 主要工作及文章结构 我们首先通过数学模型的建立，即我们提出拟稳态微波加热系统的最优控制问题的数学 模型从而为我们提出了所研究的对象。因此也为我们提山所研究的思路，从而使我们从拟 稳态m a x w e l l 方程解的存在性与拟线性抛物型方程解的存在性及最优控制解的存在性证明 提供了证明思路步骤。 因此我们先考虑如下偏微分方程( 拟稳态m a x w e l l 方程组) 弱解存在性的问题： f 只+ v k g ，f ) v 膏】f ( 五f ) ， ( x ，t ) q ， h ( x ，o ) = h o ( 工) x q i n x h ( x ，t ) = n o ( x ，t )( x ，t ) s 7 其中霄为菇】的单位外法向量，g ( x , t ) 蓍l ：l f f l o ( 而f ) 为给定的边界条件和初始条件。 其次我们考虑如下热传导方程( 拟线性抛物型方程) 弱解存在性问题： f 坼一v 【讹妒“1 = 4 传砂l v 厅1 2 ， 阢砂q r 伍砂= 仉( x , o e 0 d x ( 0 ，t 】 i “仁o j = u o 和e j ， 工9 2 l 最后我们证明最优控制解的存在性问题：即我们要证明如下的最优控制的存在性问题。 状态方程：我们考虑如下拟稳态耦合系统及其初边界条件： 只+ v k ( 五t ) v 膏】：f ( f ) ( x ，t ) q ， u 。一v 传( “) v “) = g ( 咖( 五叫v 纠2 ， ( x ，t ) q ， 衬豆；雨6 ，u ( x ，0 = g ( 毛f ) x 斑- a , o 0 ，o r 和七分别表示为电传导率和热传导率。 当材料为可热传导，且加热时有热传导过程时，电场云( 工，f ) 和磁场f l ( x ，f ) 以及温度 u ( x ，f ) 之间的关系可以有耦合系统( 2 ，1 ) 4 2 3 ) 再加上适当的初边值条件来描述。 非常大的时候( 比如铝) 。这个时候电位移西，= 西是可以忽略的，即e = o ，在物理学中 我们称之为拟稳态的若令“五。吾丢历为材料的电阻率，这时，我们可以把系统 仃i x ，” ( 2 1 ) - ( 2 3 ) 简化为： 1 l + v x 【4 v x 日1 = 0 i q v k v “】= 盯i v 詹| 2 ， 当我们考虑有内磁源户( f ) 时，系统( 2 1 ) - ( 2 3 ) 可以简化为： f q + v x a v x h 】= ， k v k v “】z 盯l v 疗1 2 豆+ v 口( f ) v 膏 = 户( f ) ， ( ) 【 t ) q ， u 。一v ( | i 似“) v “) = g ( 加( x ，f ) i v a 1 2 ， ( x ，t ) q ， 1 q i 百= 衬舀，u ( ) 【，d = g ( 暑f ) ，x 勰，0 t 0 为一给定常数，( h ，u ) 为耦合方程组初边值问题( 5 2 卜_ ( 5 5 ) 的解。 令控制集 q = q f f ( o ，r ) ；o g ( f ) l 。 1 2 第三章拟稳态m a x w e l l 方程解的存在性 在本章我们研究拟稳态m a x w e l l 方程解的存在性。曹先我们先给出一些说明。 设q c 岔有界区域且边界施c 1 ，詹和霞为( p ( q ) ) 3 中的向量，在此空间上定 义内积为 ( 厅，霞) = ( 耳i ) 出， 我靠j 记( ，) 为向量函数对，厅f ( q ) 3 ，露口( q ) 3 ，其中! p 弓- l 为了简便，在不引起混淆的情况下，用口( q ) 代替( r ( q ) ) 3 。同时，为了研究我 们的问题，需要引进一蝼下列b a n a c h 空间： h ( c u r l ，q ) = g ( ) r ( o ) ：v g r ( q ) 风( 洲一，q ) = g ( ) r ( q ) ：v g 口( q ) ，n g = o ，x o 2 h ( d i v ，q ) = g ( ) r ( q ) ：v g r ( q ) h o ( d i v ，q ) = g ( ) r ( q ) ：v g r ( q ) ，n g = o ，x o ( 2 风( c u r l ，折，q ) = 风( c u r l ， 2 ) n h ( d i v ，q ) 其中q r = q ( o ，r 】，s r = m ( o ，r 】。 现研究下列偏微分方程 f 厦+ v 口( 列) v 膏 = ，( 彬) ， f ) 岛 ( 3 1 ) 譬o ) = 耳。! x e q ( 3 2 ) i n x h ( x ，f ) = n x g ( x ，f )( 工，f ) s r ( 3 3 ) 其中霄为a q 的单位外法向量，吞和鼠分别为给定的边界条件和初始条件。 1 3 3 1 准备 为了研究问题( 3 1 卜一( 3 3 ) ，我们需要如下引理 引理3 1 ： 设口，( ，) 是内积空间，若令： 而且其中等号当且仅当 = ( 工，功j ， i ( j ，) l 肛| 1 i i y 4 ，( v x ，j ，x ) x = 砂以k ) 时成立。特别地，当，r ( q ) ，g r ( q ) ，则，g ( q ) ，且， 陟( 功g ( 功陋s r 。哪i l g l l f 。，。 引理3 2 ：设a , b 是非负常数，连续函数u 在k ， 】上满足不等式 “( f ) s a + bf “( s ) d s ， 0 则 “( f ) a e x p b ( t f o ) f t o ，f 】。 引理3 3 ：设x ，y 是b a n a c h 空间，m 是x 的某个稠密子集，若以( 栉= 1 , 2 ，) t a 工( 五j ，) ，v 工x 都有 l i r a a 。工= 血 的充分且必要条件是： ( 1 ) i l 有界： ( 2 ) 对魄x 成立慨a 工= a x 1 4 3 2 拟稳态m a x w e l l 方程弱解的存在唯一性 我们曹先引进问题( 3 1 ) - - ( 3 3 ) 弱解的定义 定义3 1 ：若向量值函数詹满足： ( 1 ) 疗一吞亭( o ，t ；h o ( c u r t ，o ) ) ： ( 2 ) 对任意的函数霞( 五f ) 1 ( o , t ；1 1 0 ( c u r l ，q ) ) ，k ( x ，丁) = o ，4 岛石q ，有 r 厅瓦t 口( 五r ) ( v 詹) ( v 乏) 眺= r 卢露 坳+ 玩( 曲趸k o ) 矗( 3 4 ) 则称厅为问题( 2 1 卜一2 3 ) 的弱解。 假设如下条件h ( 3 1 ) 成立： h ( 3 1 ) ( 1 ) 设函数口：岛 r 在关于时间变量f 可微且存在常数，r 使得 0 0 ，利用g r o n w a l l 不等式得： 肛列，陋“v 膏1 2 砒c 妒。1 2 + l q 2 卜+ c “时+ l v c _ r 1 2 - i - 阿卜 由f ( o ，t 】的任意性得， 恶同2 出+ 螅i v 纠2 西础q 暇 阿+ i v q 2 + 陋1 2d x d t + j 鼠1 2 + l 叫2d t 从而第一个不等式获证。下面证明第二个不等式。 对方程( 3 1 ) 两端关于置一莓在q 上作内积，立即可得 上豆( 豆一e ) 出+ 口( v 扔( v x 膏一v 吞l 出= 户( 耳一虿扮 注意到 扈曩出= 上l 虿j 2 出， 1 6 州钟 4 ( v 厕( v x 膏) ，出= 圭l 蛹) ( i v x 詹f ) ，缸 。 。= 三丢l a o i v 厅1 2 出一- - ：t a , 0 ，定义： m i m ( 工，f ) = d ( t ) f f k ( x ) 其中d o ( f ) 待定。因为 访v a x ) 为r ( q ) 3 中的基，贝u f ( x ，f ) 和日。( 工) 可按基展开如 下： 其中： p ( x ，f ) = l 帚a x ) t = l 玩( 工) = 以吼( 功 五( f ) = ( 户，晚) ， = ( 或，吼) ，k = l ，2 ，。 若詹| ，( x ，f ) 为方程( 3 1 1 ) 的f g ，则： 善孑dmw ( 力吃+ 善ma 晚2 蕃m 五咄( 力 m 巩o ) = 魄吃( d 1 7 ) ( 3 1 8 ) 在表达式( 3 1 7 ) 和【3 i s ) 中，两边关于见作内积得，从而d i m ( f ) 应满足如下常微分方程 组： 丢( 卅乃咖o ) = 乃( f ) f t o , r ( o ) = 一， _ ，z 1 ，2 ，”，m ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 根据常微分方程组的解的存在性，( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 为线性常微分方程的初值问题，故问 题( 3 1 9 卜邻2 0 ) 存在唯一的解，因此d ( f ) 被方程组( 3 1 9 卜一3 2 0 ) 所决定，且， 村 瓦“f ) = ( f ) 诹( 工) 。 下面我们求巩( 毛f ) ，当m 斗+ 时的极限。我们先引入如下引理。 引理3 1 ；假设h ( 3 1 ) 成立，则存在正常数c 3 和c 4 ，使得： 1 8 。s u p 。 2 出+ r 鲥d x d t 0 。又， 坦口( v 础) ( v 剐础= 一螅4 ( 扣疋| 2 ) f 撇 ， = 一丢l 口l v 毫1 2 i ：翥出+ 三j l q i v 丘1 2 抛 = 三口( 五o ) i v 丘“o 汗出+ j 1j l qj v t 1 2 出西 根据b a n a c h s c l n h a l l s 定理，可得2 熟 o p l 一螅印啷- ( s ) ) ( v x k k ) d x d t = 一热1 n f 蜓口( v 月- ”( s ) ( v x r t ) d x d t = 一熟i n r 巴口( 薯。) i v 反( 五。) 1 2 出+ 吉见q i v 矗1 2 拗 - 圭期i v 讯1 2 出畦瞧q i v 詹1 2 拗 兵甲： 露( 彬) = f 瞰v ) 如。 又因为， 毛( 五f ) f ( 力 i nr ( g ) 础( x ，f ) 旦日( x ，f ) i n r ( q r ) 所以， 瞻露。础抛斗疋卢f l d x d t 故， 熟唧眨愀1 2 d x d t 熟唧 一螅4v 廊州v 霞) 础+ 舰眨丘置拗 一阻毗o ) l v 詹( 而o ) 1 2 出畦眨q i v 詹1 2 叫+ 瓜限霞k 又对任意的试探函数露似f ) 满足： 霞丁) = 0 。 有： 疋 一了蜃+ 口( v 膏) ( v 霞) 如= 螅户k c l x d t l 或霞( j ，o ) 出 2 1 我们选择： 霞( f ) = c r 。 ：kh(x,r)drk ( ，f ) ( ，) 岛。 k ( f ) 2j2 ( ，f ) ( ，) 岛。 作为试探函数，可以得到： 见 7 f f i d x d t = 一圭i v 霞h o ) 1 2 出一吉疋q i v 霞| 2 砒+ 螅户詹栅 因此， 。m 。s u p 恻f f i h 2 1 2 西胁( 以h ) ( 3 2 9 ) 因此由( 3 2 8 ) 矛1 1 ( 3 2 9 ) 式可推出： 现证明： 恕f i 俐2 蝴= 坦t 7 f f l d x d t ( 3 3 0 ) y ( x ，t ) = f f i ( x ，f ) 口，岛加g 对任意的向量虱五f ) r ( g ) ，有： 即。 螅j 础一刊2 础o 皿 1 础1 2 一础帚卜皿茹 础一茹脚 由百麓的弱收敛性和等式( 3 3 0 ) 知： 所以， 取： 疋 歹膏一7 访协坦茹 膏一枷 暇p 司 膏一面 鼬狐 访= 豆+ 万矿， 其中矿r ( g ) 的任意向量，艿为任意数，则： 由艿的任意性可知： 令万一0 则： 一万疋旷露一a p 矽d x d t _ 0 ， 恐( 了一詹一8 p 妒d r d t = 0 由矿的任意性知： 心 7 一膏 砒= 0 。 3 ( x ，f ) = 膏( f ) 4 局( j ，t ) e q r 。 这就证明了解得存在性。下面证明解的唯一性： 设置( 五f ) 和面2 ( 五f ) 为问题( 3 1 卜_ ( 3 3 ) 的两个弱解，令： 詹( 工，f ) = 属“f ) 一丘“f ) ， 则对任意的试探函数詹( f ) h ( o , t ；h o ( c u r l ，q ) ) ，有 则： 且， 令 所以： 因为： 所以， 进而， j l 一百置+ 口( 工) ( v 曰) v 露) 出以= o 。 霞( 五f ) = r 詹( f ) d f ， ( 五f ) g 霞( f ) h 1 ( o , t ；h o ( c u r l ，q ) ) ， 霞( 工，r ) = o ，霞( j ，f ) ，= 一b ( x ，f ) ，v x h = 一v 霞( x ，f ) f 疋阿拗一疋m ) 昙吉l v 露1 2 姗= o v 霞( 工，乃= 0 ，j q ， 一眨口( x ) l 讲l z i v 霞1 2 拗= 三l m ) l v 霞( 训2 出 眨阱拗+ 三l m ) l v 霞( 石，o ) 1 2 出_ o 又由假设f f i 3 1 ) 中的( 1 ) 知4 ( 曲r o 0 ，所以： 圯阱姗= o ，l v 霞( 叫2 出砒 故： 膏( ，f ) = o 扎e o nq t 玩豆l ( x ，f ) = 反( f ) ， a e ，在q t 上 唯一性得证。 综上所述，系统( 3 1 卜_ ( 3 3 ) 有唯一的弱解。 第四章拟线性抛物型方程解的存在性 在第三章，我们证明了拟稳态微波加热系统( 3 1 卜3 3 ) 的弱解的存在唯一性。由第二章， 系统模型的描述知，由于微波产生的电磁场的作用引起加热物体内部温度分布的变化可用如 下热传导方程描述： 卜一v 【j | ( 训) v u 】_ 口( 五f ) l v 霄1 2 ， ( f ) g 甜( x ，f ) = o ，阮f ) 施( o ，t 】 i ( 工，o ) = ( 力， 石q 如边界上温度的分布满足： u ( x ，f ) = g ( 工，f ) ，k f ) 施( o ，丁】， 我们可以做一变换，令， 则在边界可设： 故这里我们仅考虑： 的情形。 v ( x ，f ) = u ( x ，f ) 一g ( 五f ) ， “五f ) = o ，( 五f ) o n ( o ，t 】， u ( x ，f ) = o ，( 石，f ) a q ( o ，t 】 帅 ( 4 1 准备 为7 讨论i 司勉( 4 1 卜冰1 3 ) 的弱解，我们采州单调舁于的理论采讨论。 由$ o b o l e , 空间的嵌入定理知： g ( c o b 风( q ) h r ( q ) 卜h 。( q ) ( 4 6 ) 且h o ( n ) 卜r ( q ) 为紧嵌入，故我们取定风( q ) 卜r ( q ) 卜h “( q ) 为发展串。记 石= 岛( o ，r m o ( n ) ) ，则其对偶空间为x = 厶( o ，r ；日一1 ( q ) ) ，因为风( 【砂为自反的 b a n a c h 空间，所以x 和x + 也为白反的b a n a c h 空间。 引理4 1 ；，：= ：“x ，矗) 其中矗为u 关于f 的广义导数在2 中引入范数： 忙峨。= 睡( 峨。n l l + ；( o ，；一。n ) ) ( 4 7 ) 则( ，2 4 ) 为自反和可分的b a n a c h 空间，且：p c ( 【o ，r 】；p ( q ) ) 为连续嵌入，而 嵌入，：h 厶( o ，瓦p ( 回) 为紧嵌入。 首先引进如f 假设： ( 1 ) 假设矿日v 。是一发展串且d i m ( 矿) = o o ， ，w 2 ， 是v 的基。定义 只= s p a n “，嵋 ， 将h i l b e r t 空间h 的内积引入捍维空间风中。进而h n s v h 。 假设序列0 。) 是给定初边值“。h 的逼近，即假设： u o _ u o 在日，当拜斗0 0 令0 t 0 0 ，1 p 0 使得： l i a f t ) 叱c 3 ( f ) + c 。删， 对所有v 矿，t ( o r ) 成立。 ( 5 ) 函数t 卜a ( t ) 是弱可测，也就是说，函数 tt - - ( a ( t ) u ，v ) 是在区间( o ，d 上，对所有的“，v v 是可测的。 ( 6 ) 日和6 厶( o ，t 旷) 是被给定。 在上述的假设下，我们有下面的重要结果。 引理4 2 ：假设( 1 ) 一( 6 ) 成立，则： ( a ) 初边值问题 i 打( f ) + d ( t ) u ( t ) = 6 ( f ) ， “( o ) = “o h ， 【u w l , p ( o ，t ；v ，日) ， 有唯一解u 。 咖对每一开= 1 , 2 ，g a l e r l d n 方程 t ( o ，r ) ， 1 p 。( f ) ，) ，+ ( 彳( f ) ( f ) ，m ) ，= ( 6 ( f ) ，) ，= l ，2 ，n ，f ( o ，d ， ( 0 ) = 甜。o h 。， ( 0 , t ；h 。) ，西。l q ( o , t ；h 。) ，1 p c o 有唯一解“。，序列0 。) 在下面的意义下收敛于方程 仨誊麓： “。_ 一“在l p ( 0 ，r ；矿) 中， 当栉- - ) , o o ， m 。a ，x 1 u 。( f ) 一“( 忧斗o ，当以- - ) o o ( c ) 令x = l e ( 0 ，t ；v ) ，如果让 一“) ( f ) = 五( f 如( f ) ，对所有t ( o ，r ) 成立， 则算子a ：x - - + x 是单调的、半连续的、强制的和有界的，初值问题 j 五( f ) + 4 ( f ) “( f ) = 6 ( f ) ，t ( o 乃， ( o ) = u o h ， k w 9 ( o ，t ；v ，h ) ，1 p 0 ( 3 ) 因对v “，v 4 0 ( q ) 有： i q ( ，v ) l = 慷后“) v v 诫i m 洲i v u l 2 寸( 坍1 2 出) _ 1 o 为某一常数，即： 雌i o f 砜( n ) ) 0 为某一常数。 由r ( o ，r ；风( q ) ) 的任意性知： r ( w l n ) ) 坞 ( 4 1 3 ) 对某一常数m 3 o 成立 综合( 4 1 2 ) 和( 4 1 3 ) 钔j ，存在常数m 0 使得： 肛岐。s 肘 成立。由于，2 卜c ( 【o r 】；厶( q ) ) 为连续嵌入，我们可以得到： i l u l l c ( 1 0 ，t 岛( n 日- o 为一给定常数，( 詹，“) 为下列方程组初边值问题的解： 只+ v 口( 五f ) v 詹 = 户( 圳) ， ( x ，t ) q ， u 。一v ( 七似“) v “) = g ( f ( x , t ) l v 疗1 2 ， ( x ，t ) q ， 衬豆= i q 6 ， u ( x ，t ) = g ( x ，f ) ，x 硷，0 t t f i ( x ，o ) = a o ( 曲，l l ( k o ) = n o ( j ) ， x q ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) 其中6 ( t f ) ，g ( x , t ) 为给定函数，h o ( 曲，( 力为给定初始函数，n 为边界省2 的法向导数。 令控制集： q = g r ( o ，丁) ；o g o ) s 1 ， 则v q q 。令， b ( x ，f ) = q ( f ) 4 ( 堋l v 曰l ， 则在假设条件( i 玉2 1 ) 下，有6 ( ) r ( o ，r ；厶( q ) ) ，则由定理3 2 和定理4 1 得到如下受控 系统解的存在唯一性定理。 定理5 1z 若假设饵3 1 ) 和( h 4 1 ) 满足，则对v q q ，问题( 5 2 卜5 5 ) 存在唯一解 # t 7 ( o , t ；n o ( e u r l ，挑，q ) ) ，“，2 ，且c ( 【o ，r 】；r ( q ) ) 。 现在我们给出本章的主要结果，最优控制的存在性定理。 定理5 2 ：若假设( 1 1 3 1 ) 和( h 4 1 ) 满足，则存在g o q ，使得对v g q ，有： j ( q 。) ，( g ) 。 、 证明：若 i 口n 电f ，( g ) 2 佃，口e 掣 则v q q 都是问题的解，即都是最优控制。故不妨设， 赠舶) 佃。 r 中的有界数列，则存在收敛子列，不妨仍记为备4 ( f ) ，和碍。( f ) 使得，当栉 o o 时，有： k v ( 七v = g w ) m f ) i v 詹1 2 ( 刈) q ， i “”( f ) = 9 0 ，f ) ，x m ，o f ， ( 5 6 ) i ”( 工，o ) = u 0 ( 功， j q 肛44 肜，f t m 。a 。x ，l u ( f ) 8 r s 肘 下面我们证明： = v ( k ( x ，u o ) v u o ) 。 由方程( 5 6 ) ，可得： 肛? ( “一“。) d x d t + 巾( 七( 训”) v ”) ( “4 一“。) a x d t ：j j g 薯f ) | v 币( u n - - u 0 ) 鼬 5 m 由于对任意的t 【o ，t 】，有： g ”( f ) 寸孑o ( f ) 成立，故当n - - oo o 时，有： g ”( f ( x , t ) l v 膏1 2 寸g 。( f ( - , o i v 曰1 2 在c ( o ，r ；( q ) ) 成立。进而，