（信号与信息处理专业论文）小波去噪算法研究及小波硬件实现.pdf

中文摘要 小波去噪是信号处理领域中的热点与前沿课题。噪声的干扰将会严重影响信 号和图像的质量，致使产生后续处理的困难，如在特征提取、信号检测、语音识 别等领域中，噪声的干扰会引起处理结果的偏差甚至错误 近年来，小波理论得到了非常迅速的发展。小波分析是目前国际上公认的信 号信息获取与处理领域的高新技术，是多学科关注的热点，是信号处理的前沿课 题。由于小波变换具有低熵性、多分辨性、去相关性、选基灵活性等特性，使它 成为在信号去噪领域内的有力工具 本文在d o n o h o 提出的小波阈值萎缩的基础上以加性高斯噪声假设为前提， 构造了一种新的无限阶连续可导函数，并以此阈值函数，基于s u r e 无偏估计， 提出了一种自适应小波阈值去噪算法；又将n e i 曲s h r i n k 阙值去噪方法进行扩展并 结合相关去噪方法，提出了一种层内层间混合模型的小波去噪算法；在非高斯噪 声假设的前提下，以l a p l a c i a n 和g a u s s i a n 分布混合模型对非高斯噪声进行建模， 对信号的三阶、四阶统计量进行观察与分析，并进行直方图统计，提出了一种新 的阈值去噪方法；最后，本文基于n i o s i i 软核处理器以及f p g a 完成了小波变换 的硬件实现，由此可以直接对以上算法进行硬件仿真。 关键词：小波分析；小波阈值去噪；高阶统计量；f p g a a b s t r a c t w a v e l e td e n o i s i n gi sav e r yp o u l a ra n df r o n tt o p i ci nt h ef i e l do f s i g n a lp r o c e - 鼹i n g t h ei n t e r f e r e n c eo f n o i s ec a nm a k eag r e a ti m p a c to nt h eq u a l i t yo f s i g n a l sa n di m a g e s , w h i c hw i l lr e s u l ti nab i gp r o b l e mo ft h ef o l l o w i n gs i g n a lp r o c e s s i n gs u c ha sf e a t u r e e x t r a c t i o n ，s i 乎l a ld e t e c t i o na n ds p e e c hr e c o g n i t i o ne t c n o i s ew i l lc a l 1 5 ea nf f l t o ro re v e a l am i s t a k ef o r t h ep r o c e s s i n gr e s u l t i nr e c e n ty e a r s ，t h ew a v e l e tt h e o r yh a so b t a i n e dt h ee x t r e m e l yr a p i dd e v e l o p m e n t t h ew a v e l e ta n a l y s i si si n t e r n a t i o n a l l yr e c o g n i z e ds i g n a la c q u i s i t i o na n dp r o c e s s i n go f i n f o r m a t i o ni nt h eh i g h - t e e hf i e l da n di ti st h em u l t i d i s c i p l i n a r ya t t e n t i o nh o ts p o ta n d s i g n a lp r o c e s s i n gf r o n tt o p i c f o rt h ec h a r a c t e r i s t i c so fi t sl o we n t r o p y , m u l t i - a n a l y s i s , r e l a t i v i t yr e m o v a la n df i e x i b l eb a s e s ，t h ew a v e l e tt r a n s f o r mh a sb o c o m eap o w e r f u lt o o l i n t h ef i e l do f s i g n a ld e n o i s i n g w i t ht h ew a v e l e tt h r e s h o l dd e n o i s i n gt h e o r yp r o p o s e db yd l d o n o h o ，an e w t h r e s h o l df u n c t i o ni sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r , w h i c hi sb a s e do nt h eh y p o t h e s i st h a tt h e n o i s ei sa d d i t i o n a la n dg a n s s i a n t h en e wt h r e s h o l df u n c t i o nh a st w oo r d e rc o n t i n u o u s d e r i v a t i v e sb yu s i n gt h en o wt h r e s h o l df u n c t i o n ，ah e wa d a p t i v es h r i n k a g em e t h o di s p r e s e n t e db a s e do ns u r er u l e a n dan e wd e n o i s i n ga l g o r i t h mn rw i t ht h e c o m b i n a t i o no f n e i g h s h r i n k a g ea n dr e l a t i v i t ya l g o r i t h mi sp r e s e n t e db a s e do nt h ei n t e r i n t mm i x e ds c a l em o d e l t h i st w oi m p r o v e da l g o r i t h mh a v et h eo b v i o u ss u p 谢o r i t y c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a lm e t h o d s m o r e o v e ras i m p l en o n - g n u s s i a nn o i s em o d e li s s e t u pa n dan o n - g a u s s i a nd e n o i s i n gm e t h o di sp r e s e n t e db yu s i n gh i g ho r d e rs t a t i s t i c , w h i c hg e t sab e t t e rr e s u l tt h a nt h eg a u s s i a nd e n o i s i n gm e t h o d a tl a s tw er e a l i z et h e h a r d w a r ew a v e l e tt r a n s f o r mb a s e do nn i o s l la n df p g aa n dm a k ei tp o s s i b l et os i m u l a t e t h e s e d e v e l o p e da l g o r i t h m so nt h i sh a r d w a r ep l a t f o r m k e y w o r d s ；w a v e l e ta n a l y s i s ；w a v e l e tt h r e s h o l d i n gd e n o i s i n g ；h i g ho r d e r s t a t i s t i c ；f p g a 致谢 本论文的工作是在我的导师赵瑞珍教授的悉心指导下完成的，赵瑞珍教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响在此衷心感谢三年来 赵瑞珍老师对我的关心和指导。 胡绍海教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给 予了我很大的关心和帮助，在此向胡绍海老师表示衷心的谢意。 丁晓明、裘正定教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在 此表示衷心的感谢。 在实验室工作及撰写论文期间，宋胜凯、石黎、肖坦等同学对我论文中的硬 件开发工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢我的亲人以及朋友，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成 我的学业。 序 小波去噪方法现在已经成为去噪和图象恢复的重大分支和主要研究方向，而 且，各种小波去噪方法得到了很大的成功。 小波阈值去噪方法因为其计算简单、具备较强的理论基础而受到广大学者的 青睐，通过设定合适的阈值，首先将小于阈值的小波系数置零，而保留大于阈值 的小波系数，以此来达到去噪的目的。但是如何选取闽值以及阙值函数是非常关 键的问题，至今还需要新的方法的提出或者改进。 除此之外，从小波层内模型到层间模型甚至混合模型，小波系数模型的精细 带来了去噪效果的改善，可以说，小波去噪的成功与否，就在于人们得到先验知 识的能力和利用这些知识进行准确建模的能力，所以建立新的更为准确的模型也 是一个非常重要的问题 值得注意的是，大部分的研究都是基于高斯假定的噪声模型，但是在非高斯 分布下的去噪研究还不够，目前国际上开始将注意力投向这一领域，其中，非高 斯噪声的分布模型、高斯假设下的小波去噪方法在非高斯噪声下如何进行相应的 拓展，是主要的研究方向 1绪论 小波分析是2 0 世纪8 0 年代后期形成的一个新兴的数学分支它是在傅立叶 分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅立叶分析存在极大的不同从微观上 看，小波变换与傅立叶变换的根本区别是由小波和正弦波的不同局部化性质产生 的从宏观上看，傅立叶分析是整体域分析，用单独的时域或频域表示信号的特 征；而小波分析是局部化时频分析，它用时域和频域的联合表示信号的特征作 为时频分析方法，小波分析比傅立叶分析有着许多本质性的进步它能够从信号中 提取许多有用的信息，是各种信号处理方法如时频分析、多尺度分析和子带编码 的统一处理框架，它的快速算法为分析和解决实际问题带来极大的方便，目前在 语音、图像、图形、通信、地震，生物医学、机械震动、计算机视觉等领域都有 很好的应用。小波分析是目前国际上公认的信号信息获取与处理领域的商新技术， 是多学科关注的热点，是信号处理领域中的前沿课题 在去噪领域中，小波理论也同样受到了许多学者的重视，他们应用小波进行 去噪，并获得了非常好的效果【l 棚，具体说，小波去噪方法的成功主要得益于小波 变换具有如下特点【9 j ： ( 1 ) 低熵性，小波系数的稀疏分布，使得信号变换后的熵降低； ( 2 ) 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的 非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等；( 小波函数的窗口大小自适应变化，当信号 频率增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大。) ( 3 ) 去相关性，因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白 化趋势，所以小波域比时域更利于去噪； ( 4 ) 选基灵活性，由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同应用场合， 对不同的研究对象，可以选用不同的小波母函数，以获得最佳的效果 1 1 小波去噪的意义和问题描述 噪声的干扰将会严重影响信号和图像的质量，致使产生后续处理的困难，如 在特征提取、信号检测、语音识别等领域中，噪声的干扰会引起处理结果的偏差 甚至错误。 由于小波变换独特的优点，使它成为信号去噪的有力工具。在数学上，小波 去噪问题的本质是一个函数逼近的问题，即如何在由小波母函数伸缩和平移版本 所展开的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最佳逼近，以完成 原信号和噪声信号的区分这个问题可以表述为： ，( f ) = ( f ) + 正( f ) 以为噪声信号，z 为原信号 ，= 厂l 伪带噪信号) ，旷= s p a n ( u 2 ，) ，- ，伊：， t = 口i 口为，斗矽的函数空间映射 = a r g r a 。i n ( i p ( 厂) 一正1 ) 0 = p 叫( ) ( 印f 代表最优解) 由此可见。小波去噪方法也就是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳 映射，以便得到原信号的最佳恢复从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤 波的问题。然而，尽管在很大程度上小波去噪可看成是低通滤波，但由于在去噪 后还能成功地保留信号的细节特征，因此在这一点上又优于传统的低通滤波器。 在早期，人们通过对信号的细节部分进行某些处理，以缓解低通滤波产生的 细节丢失。在这一点上，虽然它们同小波去噪很相似，但是小波变换之所以能够 很好地保留信号的细节，是因为小波变换的多分辨率特性小波变换后，由于对 应信号细节处的系数幅值较大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便 于特征提取和保护。相对早期的方法而言，小波去噪对细节、边缘等特征的提取 和保护是有很强的数学理论背景的，因而更利于系统的理论分析。 1 2 国内外研究动态 m a l l a t 是最早从事小波在信号处理中的应用的研究者之一，他提出的利用小波 变换模极大值原理进行信号去噪的方法是小波去噪中最经典的方法 1 0 , 1 1 】。其基本原 理是在小波变换域内去除由噪声对应的模极大值点，仅保留由真实信号所对应的 模极大值点然而仅仅利用这些有限的模极大值点进行信号重构，误差是很大的。 因此，基于模极大值原理进行信号去噪时，存在一个由模极大值点重构小波系数 的问题。m a l l a t 提出的交替投影方法较好地解决了这个问题。然而，交替投影方法 计算量很大，需要通过迭代实现，有时还不稳定。陈德智【1 2 】、刘贵忠【1 3 1 、赵瑞珍 n 4 j 等人分别对小波系数的重构问题作了进一步的研究和改进，提出了较易实现的 算法。 x u 等人于1 9 9 4 年提出了一种基于空域相关性的噪声去除方法，根据信号 与噪声的小波变换系数在相邻尺度之间的相关性进行滤波，该方法虽不够精确， 但很直接，易于实现。在该算法的实现过程中，噪声能量的估计非常关键。潘泉 2 等人【16 刀推导出噪声能量阙值的理论计算公式，并给出了一种估计信号噪声方差 的有效方法，使得空域相关滤波算法具有自适应性。赵瑞珍【1 4 】等人在相关去噪的 基础上，提出了一种基于区域相关的小波滤波算法，克服了通常相关算法中由于 各尺度间小波系数的偏移导致的判断准确率低的缺点。 s t a n f o r d 大学以d o n o h o 为首的一个学术群体致力于信号的去噪，取得了大量 的成果。d o n o h o 和j o h n s t o n e 等人【1 8 1 9 1 于1 9 9 4 年提出了信号去噪的软阈值方法和 硬阈值方法( w a v e s h r i n k ) ，还给出了t = 盯2 m ) 的阈值。并从渐进意义上证明 了w a v e s h r i n k 的最优性；同年，c o i f i n a n 和d o n o h o 提出了平移不变小波去噪1 2 0 g a o 和b m c c 【2 1 捌把软阀值和硬阈值方法进行推广，提出了s e m i s o f t 阈值方法，研 究了不同收缩( s h r i n k a g e ) 函数的特性，推导出最小最大阈值，并给出阈值估计的偏 差、方差等的计算公式 j o h n s t o n e 等人【2 3 1 1 9 9 7 年给出一种相关噪声去除的小波阈值估计器n o w a k l 2 4 于1 9 9 7 年提出c r o s sv a l i d a t i o n 方法进行最优信号估计，同年j a n s e n 等人【2 5 】采用 g c v ( g e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o n ) 估计器来估计小波阈值，从而对图像中的相关 噪声进行去除。 n o w a k 等人 2 6 1 1 9 9 9 年提出了针对光子图像系统的小波变换域滤波算法，在该 系统中的噪声属于p o i s s o n 噪声，n o w a k 提出了p r e s s 一最优非线性小波滤波方法， 根据图像局部区域的大小，来调整p r e s s 一最优滤波器，使其与p o i s s o n 噪声的方 差水平相匹配。事实上，p r e s s 一最优非线性小波滤波方法也是介于软阈值和硬阈 值之间的一种方法。 s p e c k l e 噪声实际上是一种乘性噪声，其去除方法由f u k u d a 等人1 2 7 提出，随后 又有不少学者对乘性噪声的去除作了进一步的研列船鲫。 c h a n g 等人l 卿在2 0 0 0 年将自适应阈值和平移不变量去噪思想结合起来，提出 一种针对图像的空域自适应小波阈值去噪方法，所选阈值可随图像本身的统计特 性而作自适应改变。 6 k t e m 等人【3 l 】提出了一种f i l m - g r a i n 型噪声的去除与含噪图像压缩的变换域 方法。赵瑞珍等人【3 2 】提出了一种p o i s s o n 噪声去除的小波变换局部域复合滤波算 法 c h e n 等人【3 3 】根据图像小波系数在小波分解后的相关性，提出了使用邻域小波 系数的图像阙值去噪算法。 z h a n g 等人 v i i 提出了基于神经网络的图像去噪算法。j a n s e n 3 5 】提出了对于重噪 声的最小风险阈值方法。 总之，目前小波去噪方法的研究非常活跃，不断有新的方法出现，尤其是有 关g a u s s i a n 噪声的去除已取得了不少好的结果。 3 1 3 小波去噪中的小波系数模型 在小波去噪中，小波系数模型非常重要，只有在成功的小波系数模型上，才 可能提出成功的小波去噪方案。小波系数模型，主要分为层间模型、层内模型和 混合模型。其中，层间模型主要是考虑跨尺度系数之间关系的模型：层内模型主 要考虑层内系数的统计分布，以及相邻系数之间的关系，而混合模型是综合考虑 了层问和层内小波系数关系的模型。 1 3 1 层内模型 目前最经常使用的层内系数模型是广义高斯分布模型，这是对自然信号在同 一层内的小波系数分布进行统计得到的规律，l a p l a c e 分布和高斯分布是它的两个 特例h a n s e n 等人利用与自然信号对应的小波系数近似地服从l a p l a c e 分布的特 点，在小波系数是独立同分布的假设下，得到了利用带噪声信号小波系数来估计 原信号的公式，并用于去噪，收到了非常好的效果【3 6 1 。稍为复杂些的模型，则将 信号小波系数看成是独立，但非同分布的。事实上，由于小波变换的去相关作用， 相邻小波系数之间并无明显的关系，但是小波系数的绝对值或平方值却是符合 m a r k o v 场的分布m i h c a k 等人由此提出小波系数的层内混合模型，在此模型中， 原信号小波系数被看作是一个双随机过程，其方差局部高度相关，但在给定方差 时，则成为相互独立且均值为零的高斯分布 3 7 1 ；而c h a a g 等人则打破空间位置的 限制，从小波系数值邻域来考察方差的相关性，从而得到了具有很强局部适应性 的阈值萎缩方法【瑚。 1 3 2 层间模型 层间模型描述的是跨尺度小波系数之间的关系。较早但相对粗糙的模型是由 s h a p i r o 提出，以这种模型为基础的零树编码方法已经在图像编码中得到了广泛的 应用。这种模型的主要特点是认为在小尺度中，较小的小波系数，其子孙很有可 能也较小；而b a r a n i u k 等人则通过隐式马氏链的转移矩阵将这种关系量化起来【3 9 1 。 在小波去噪中，这个特征可以用来区分图像边缘和由噪声引起的伪边缘。 1 3 3 混合模型 混合模型主要综合了上述两种模型。它既考虑了层间系数之间的相关性，又 4 顾及了层内系数的关系，由于小波系数层实际上对应一个尺度，所以这种模型也 被称为空间尺度混合模型。l i u 等人通过设定一个阈值t ，并将大于t 的系数称 为重要( s i g n m o 雅t ) 的。由此根据其父亲是否重要将小波系数分成g 啦和g 。啦两类， 并假定g 0 服从指数分布，g 眦则服从方差局部高度相关的高斯分布【帅l ，最后得 到新的混合模型，其与隐式马氏树( h m t ，h i d d e n m a r k o v t r e e ) 模型相比，新模 型考虑了层内系数之间的关系；而与层内模型相比，则能更好揭示信号特征在跨 尺度下的行为。 另外，b a r a n i u k 等人将小波系数分成几种状态( 如小和大) ，并通过考察小波系 数状态在层内和层阃的变化，提出了独立状态模型( i m ，i n d e p e n d e n tm o d e l ) 、隐马 氏链模型( h m c ，h i d d e nm a r k o vc h a i n ) 和隐马氏树模型( h m t ) 3 种模型，并 统称为小波马尔可夫模型【4 1 4 2 】。前两者实际上属于层内模型，而后一种则属于层 间模型 1 4 各种小波变换在小波去噪中的应用 小波变换包括单小波变换、小波包变换、多小波变换、平移不变量( t i ， t r a n s l a t i o ni n v a r i a n t ) 单小波变换、平移不变量小波包变换和平移不变量多小波变 换等。一般来说，小波变换能够很好地表征一大类信号，但是当信号的高频信息 ( 细小边缘或纹理) 较多时，小波变换的倍频特征将使得高频部分不能得到很好 的分解和表示，而小波包变换则能对高频部分进行任意细的分割，由于这样可以 更好地刻画这一类信号，因而对这类图像或信号，小波包变换要比小波变换好， 但是当信噪比较低时，小波包变换在搜索小波基时，会受到噪声信号的影响，即 在噪声主宰区域，小波包算法由于会去更好地匹配噪声，从而导致小波基的搜索， 在一定程度上只是为了描述噪声信号，反而不利于小波去噪。小波阈值去噪法， 虽然表现了非常好的噪声和信号区分能力，但是由于缺乏平移不变性，因此使得 最后得到的去噪版本出现失真，主要体现为振铃效应和p s e u d o - g i b b s 效应为此， d o n o h o 和c o i f i n a n 通过一种循环平移( c y c l e - s p i n n i n g ) 的方法，提出了平移不变 量小波变换，很好地解决了这个问题【4 3 】从而使得t i 小波去噪方法得到了很多应 用。另外，使用t l b 波交换还有一个优点，就是小波系数的个数不会随着层数衰 减，从而能够保持某些去噪方法的渐进特性。例如用g c v 准则确定的阈值不会过 度偏离理想阈值。c o h e n 等人结合小波包和平移不变小波的特点，提出了一种利用 平移不变量小波包去噪的方法，并给出了相应的阈值公式。因为小波变换和小波 包变换均是基于同一个母小波，所以在表征多种特征的信号时，有时效率并不是 很高，而在这一点上，多小波通过几个母小波之间的互补，则可以更好地胜任这 5 一工作，从而可避免一些特征模糊化的现象，实验效果也很好地体现了这一点 4 4 a s l 而t i e n 等人则更进一步，利用平移不变量多小波变换来进行去噪，因为平移 不变量小波变换实际上是一种冗余的分解方式，所以计算量不可避免要比小波变 换大得多，针对这一点，p a u l 等人做了有益的尝试，构造出了接近于平移不变量的 小波变换嗍。从算法的简繁程度和最后的去嗓效果综合考虑，上述任何一种方法 都不绝对具有优势，而带噪信号的具体特征才是使用何种变换的决定因素。 1 5 小波去噪中存在的主要问题 目前，人们已对g a u s s i a n 白噪声的去除方法作了大量的研究，得到了不少较为 成熟的算法，但是还是有些问题亟待解决，尤其在小波阈值去噪方法中，存在“过 扼杀”和“过保留”现象，即选择较大的阈值会丢失信号的重要信息，而选择较 小的闽值则会导致去噪效果不甚理想，如何根据噪声的强度选取尺度自适应的阈 值，是一个特别重要、特别困难的问题，还有待于提出更好的理论或者方法进行 完善。 除了阈值选取的问题外，如何选取小波系数模型也是非常重要的。事实上， 信号和图像的小波系数在同尺度内( 层内) 和尺度间( 层问) 具有一定的联系。 而在小波阈值去噪方法中，往往不注重各层小波系数之间的关系，属于基于各尺 度独立的层内模型；而模极大值方法和相关法是层问模型，只是考虑了层间小波 系数的关系，而忽略了层内小波系数之间的联系。所以，如何结合尺度内和尺度 间小波系数的联系，建立这样的混合模型来提出相对更合理的算法，还需努力研 究。 值得注意的是，以上各研究方法都是基于加性g a u s s i a n 噪声假设的前提。事实 上，t e g a u s s i a n 噪声是广泛存在的，如天体光谱、光子图像、医学图像、摄影胶片 等，它们当中所包含的噪声几乎都是q e g a u s s i a n 噪声，其中较常见的有l a p l a c i a n 噪 声、稳定分布噪声、p o i s s o n 噪声、l f 噪声、s p e c k l e 噪声以及f i l m - g r a i n 型噪声等。 在t # g a u s s i a n 噪声的去除中主要存在以下一些问题： ( 1 ) 对t g a u s s i a n 噪声的研究不够系统，大部分的研究工作仅限于特定应用 领域中的特定噪声； ( 2 ) 研究工作主要集中在阈值的选取上，并基于噪声服从独立高斯分布的 笼统假设，对噪声本身的特性研究不多； ( 3 ) 对q g a u s s i a n 噪声的去除缺少理论依据，没有统一的去噪理论。 在非高斯嗓声分布下的去噪研究还不够，目前国际上开始将注意力投向这一 领域，其中，非g a u s s i a n 噪声的分布模型、高斯假设下的小波去噪方法在t g a u s s i a n 6 噪声下如何进行相应的拓展、是主要的研究方向，未来这一领域的成果将大大丰 富小波去噪的内容。 1 6 本文的主要研究工作 本论文对于小波去高斯噪声进行了较为深入的总结与分析，提出了一种自适 应小波阈值去噪方法以及) t n e i g h s h r k n k 阙值去噪方法进行改进，并以l a p l a c i a n 和 g 栅s i 锄分布的混合模型作为q g a u s s i a n 噪声模型，将高斯假设下的小波去噪方法 在非高斯噪声假设下进行了一定的拓展。不仅如此，本论文还用硬件实现了二维 离散小波的分解与重构算法。 本论文主要做了以下一些工作： 1 ) 在d o n o h o 提出的小波阈值萎缩的基础上，构造了一种新的无限阶连续可导 函数，并以此阙值函数，基于s u r e 无偏估计，提出了一种自适应小波阈值去噪算 法，并用l e n n a 和b a r b a r a 图做了m a a b 仿真实验，实验结果显示此方法在最小均方 误差( l 】s e ) 意义上的优越性； 2 ) 将n e i g h s h r l , l l ( 阈值去噪方法进行扩展并结合相关去噪方法，提出了一种层 内层问混合模型的小波去噪算法，并用l n 痢b a r b a m 图做了m a n 曲仿真实验，实 验数据优于传统方法 3 ) l a p l a c i a n 和g a u s s i a n 分布混合模型作为非高斯噪声模型，对信号的三阶、 四阶统计量进行观察与分析，并进行直方图统计，提出了一种新的阈值去噪方法， 实验数据显示了此方法的优越性 4 ) 硬件实现了基于n i o s l l 的二维离散小波变换，采用了不依赖于傅立时变换的 小波提升算法，硬件开发平台为a l t c r a 公司的d e 2 开发板。 7 2 1 离散小波变换 2 小波去噪理论 连续小波定义为 9 j ( = 昌仁与，( 4 # o ) ( 2 一i a i a 则连续小波变换定义为 w f ( a , b ) = = 高f 厂。妒( 气与出( 2 - 2 ) 其逆变换( 或重构公式) 为 儿) = 石1 【夥( 口，6 ) 儿脚警 ( 2 _ 3 ) 为了保证重构公式有意义，g 要满足容许性条件，即 c i = 【l 矿( ) 1 2 ir o l 。1d a , ( 2 4 ) 若尺度参数a 取离散值口；，平移参数b 取离散值n b o a 彳，则得到离散小波为 0 。( 力= ia o - m 2 ( 口i ”工一，西b ) ( 2 5 ) 则离散小波变换定义为 w f ( m ，n ) = ； 爿a o - r a l 2 【0 ) 矿( 4 i 。x n 6 0 ) a x ( 2 6 ) 由于在小波离散化的过程中，丢失掉一部分信息。因此，对离散小波变换进 行反变换时，出现了下面的问题： 用彬( 坍，n ) 可以完全表征f ( x ) 的全部信息吗? 或者说能从离散小波变换的系 数w f ( m ，厅) 重构函数f ( x ) 吗? 事实上，如果口和6 离散化合理，则一定存在小波序列轳，_ 。对应的序列既。， 使得重建公式变为： 厂( 工) = 既， ( 2 7 ) 痧。，称为。的对偶。( 事实上， 汇。) 构成了小波框架，但不正交) 特别地，若取a 0z 2 ，6 0 = l ，则离散正交小波变为 ( 功= 2 - 2 ( 2 1 z 一万) ( 2 - 8 ) 该情况下的重构公式为： 八石) = 艺 ( 2 - 9 ) 这就是正交基的情况。 下面给出有关小波变换域r ( r ) 的塔式分解图，取，和以充分大： 9 图2 - 1 小波变换域r ( 五) 的塔式分解图 f i g u r e2 - ! t h ep y r a m i d a lg r a p ho f w a v e l e tt r a n s f o r m ( i ) 上匕； ( 2 ) 因为上巧，而且。c ，所以有。上，显然，对于任意的和 j i ，奄w | l wrt j 事r ) ； ( 3 ) 对任意的_ ，有巧o = 。，称为。中的正交补 图2 - 2 小波空间分解图 f i g u r t2 - 2t h ed i v i s i o no f t h e w a v e l e ts p a c e 对于具体信号，设原始一维信号为，( 工) ，记鬈d 。f = ，则经过若干次小波变 换之后，可以得到髟，和形d 。，( = l ，2 ，j ) ，如图2 - 3 所示： hhhh s 冬，叫s ；f _ s 冬，删冬，删参， 麓卜乏厂，昭厂 图2 - 3 小波滤波器分解 f i g u r e2 - 3t h ed i v i s i o no f w a v e l e tf i l t e r 其中h 代表低通滤波器，g 代表高通滤波器。 o 既 弋 匕o 弋 k o 暇 肌 弋 k 。弋 乌 信号经小波变换后所占频带示意图如下； l ， w ；f吲厂 w ： 图2 4 小波变换域内信号所占频带示意图 f i g u r e2 - 4t h ef i e q u e n c yd i s t r i b u t i o no f s i g n a li nw a v e l e td o m a i n 离散信号序列 f ，( 呜门吲，) 构成了原始信号的小波变换域，大量的应用 工作都在小波域内完成，也即对小波系数进行适当的处理，最后进行小波反变换。 图像经二维小波变换分解之后，分别得到图像的低频分量，水平高频分量， 垂直高频分量和对角分量。图2 - 5 所示为图像经三层小波分解的结果 c ，| d ； d ； d ；i d ? d ： d ；d ： d t d ； 图2 - 5 图像的三层小波分解示意图 f i g u r e2 - 5t h ed e c o m p o s e di m a g ea tt h r e es c a l e si nw a v e l e td o m a i n 其中g 为图像的低频部分，集中了其主要能量，表现在其小波系数的绝对值 较大；d ? ( ，= l ，2 3 ；名= j | i ，v , d ) 分别为水平、垂直与对角分量，它们都是图像的 细节部分，它们代表的是图像的边缘信息。大部分小波系数的绝对值很小，甚至 接近于0 ，只有在图像的边缘跳变位置所对应的小波系数才有较大的值。 正是由于小波变换赋予了图像这样的特性，才使得基于小波变换的图像边缘 检测及数据压缩等方法取得了较好的应用 2 2 第二代小波变换小波提升 小波变换是现在研究的比较多的时( 空) 频域分析理论，离散小波变换( d w t ) 的快速算法是最近研究的热点。s w e l d e n 提出的一种不依赖于傅立叶变换的新的小 波构造方案1 i f l i n gs c h e m e ，其复杂度只有原来卷积方法的一半左右，因此成为 计算离散小波变换的主流方法。 其实l i f t i n gs c h e m e 就是为了构造第二代小波，使得不像第一代小波那样，构造 非常依赖f o u r i e r 变换。同时已经证明了提升方式可以实现所有的第一代小波变换。 d a u b e c h i e s 等人提出了可逆整型小波变换的构造【4 7 l ，它的基本思想是基于欧 几里德算法将小波变换分解成提升的形式，并通过取整对每一步提升所产生的浮 点数进行处理，直至最后完成整型变换的全过程。 小波提升分为三个步骤：分裂、预测和更新，如下图2 6 所示，正变换具体步 骤如下： 图2 - 6 小波提升框图 f i g u r e2 石t h ef r a m co f w a v e l e tl i f t i n g 首先l a z y 变换将信号分成奇数和偶数的样本： 蝴= 而2 ，d 。( o = s o 肌t ) ( 2 一l o ) 然后交替地使用对偶提升( 用一个滤波器对偶数样本进行滤波，然后用奇数 样本减去滤波后的结果) 和提升( 用一个滤波器对奇数样本进行滤波，然后用偶 数样本减去滤波后的结果) ，经过m 次的提升和对偶提升以后，偶数样本就相应 于低通小波系数，奇数样本相应于高通小波系数： 哪_ 一w d ( i - ”一硝s 黜，嘞i f ) = 啊( 1 - ”一u f w d l f f - w d i ( 2 一i i ) lt 最后经过一次以k 为比例因子的伸缩变换。伸缩变换使用拉伸矩阵的提升形 式来处理： = 彤，k ，九= k 碟) ( 2 1 2 ) 1 2 同理可以推出逆变换的公式。 提升方式的特点： 1 ) 继承了第一代小波的多分辨率的特性； 2 ) 不依赖傅立叶变换； 3 ) 不占用系统内存； 4 ) 反变换很容易从正变换得到，只是改变了数据流的方向和正负号。 正因为小波提升样式由于其计算速度快，占用内存少，可以实现整数变换等特 点所以被j p e g2 0 0 0 所推荐作为小波变换，是j p e g2 0 0 0 里面的核心算法其通 过预测和更新两个提升环节实现信号的高低频分离，由于信号有局部相关性，某 一点的信号值可以根据其相邻信号的值通过适当的预测算子预测出来，同时预测 出来的误差就是高频的信息，从而这个过程就是预测环节预测环节下面得到的高 频信息又通过更新算子来调整信号的下抽样来得到低频信息，这个过程就是更新 环节，在整个的提升算法中，更新环节叫做p r i m a r yl i f t i n g ，而预测环节叫做d u a l l i f t i n g 。 j p e g 2 0 0 0 标准h 8 】推荐选用两种滤波器：l eg a l l ( 5 ，3 ) 和d a u b e c h i e s ( 吼7 ) ， 前者可用于有损或无损图像压缩，后者只能用于有损压缩。根据提升的原理，5 3 滤 波器和9 7 滤波器的提升架构可表述为图2 7 和2 8 所示。可以看出，前者只有一次 提升过程( 一次预测和一次更新) ，而后者有两次的提升过程。图2 8 中口= 一1 5 8 6 1 3 4 3 4 2 ，= - 0 0 5 2 9 8 0 1 1 8 ，= 0 8 8 2 9 1 1 0 7 5 ，j = 0 4 4 3 5 0 6 8 5 2 ，k = 1 2 3 0 1 7 4 1 0 5 。 图2 75 3 提升架构 f i g u r e2 - 75 3l i f t i n gf r a m e 图2 - 89 7 提升架构 f i g u r e2 89 7l i f t i n g 丘m c 已 韭塞銮适左堂殛堂僮监塞 之所以采用提升小波变换，其中重要的一个原因就是计算复杂度比传统的卷 积方法要低很多，两个像素点数据的5 3 和9 7 滤波器实现的一维离散小波变换， 分别采用卷积和提升方法，所进行的乘法和加法运算次数如表2 - 1 所示： 表2 1 两个像素点的一层一维离散小波变换运算次数比较表 t a b l e2 - 1t h ec o m p a r i s o no f t h eo p e r a t i o nn u m b e r so f t w op i 】c e l sb ys i n g i ew a v e l e tt r a n s f o r m 卷积模式提升模式 类型乘法加法乘法加法 5 3 滤波器 4624 9 7 滤波器 91 468 利用l i f t i n gs c h e m e 方法，使变换摆脱了传统的滤波器和傅立叶的频域概念， 可以更直接地利用时域信号，从预测和更新的角度来设计算法。从应用的角度讲， 从整数到整数变换，使小波变换同时支持有失真和无失真压缩，使基于感兴趣区 域的图像数据压缩成为可能。 2 3 小波基的选取 小波基具有如下几个性质：正交性( o r t h o g o n a l i t y ) 、正则性( r e g u l a r i t y ) 、消 失矩( v a n i s h i n g m o m e n t ) 、紧支性( c o m p a c ts u p p o r t ) 、对称性( s y m m e t r y ) 等。所选 小波基性质的优劣将会影响信号在小波域内处理的结果。 2 3 1 正交性 设5 c ，( d r ( 胄) ，若函数系缈0 一七) ) 。：满足 从川) = 氍葛 c 批) 则称函数系缈0 一七) 。为规范正交系。正交性是小波基一个非常优良的性质。 2 3 2 正则性 函数厂( 工) 在而点处具有l i p s c h i t z 指数口，当且仅当存在一个常数足 0 ，使 得坛r ，有 i ，( 砷- f ( x o ) i l ，表示，( d 在点处可微； 0 0 ，则该函数的小波变换模极大值将随着尺度的增大而增大；反 之，若口 o ) ；脉冲噪声的l i p s c h i t z 指数口，一1 由上面分析易得，信号和噪声在不同尺度的小波变换下呈现的特性截然相反， 这是信噪分离的基本原理和依据。 2 5 经典小波去噪方法 2 5 1 模极大值原理去噪方法 第一种方法是m a l l a t 提出的基于小波变换模极大值原理的去噪方法，即根据 信号和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点， 保留信号所对应的模极大值点，然后利用所余模极大值点重构小波系数，进而恢 复信号。 由于小波变换在信号和噪声中有着不同的传播特性，即随着尺度的增大，信 号和噪声所对应的模极大值分别是增大和城小，因此，连续做若干次小波变换之 后，由噪声对应的模极大值已基本去除或幅值很小，而所余极值点主要由信号控 制。换句话说，小尺度上的模极大值点主要由噪声控制，而大尺度上的点主要由 信号控制，所以我们按照尺度从大到小( 从下到上) 的方向进行去噪，有如下去 噪算法： ( 1 ) 对加噪信号进行二进小波变换，般为4 5 个尺度，并求出每一尺度上 小波变换系数的模极大值： ( 2 ) 从最大尺度( 设为4 ) 开始，选一阚值a ，若极值点对应的幅值的绝对值 小于a ，则去掉该极值点；否则予以保留这样就得到最大尺度上新的模极大值 点； ( 3 ) 在尺度为k i ( | = 4 ，3 ) 上寻找尺度为k 上小波变换模极大值点的传播点， 即保留由信号产生的极值点，去除由噪声引起的极值点，具体方法如( 4 ) ； ( 4 ) 在尺度为k 上的极大值点位置，构造一个邻域o ( 飞，s t ) ，其中，为尺 度k 上的第i 个极值点，以为仅与尺度k 有关的常数。在尺度为k l 上的极大值点 中保留落在每一邻域o ( n 。气) 上的极大值点，而去除跑在邻域外面的极值点，从 而得到k 一1 尺