（理论物理专业论文）三维光子晶体中的自发辐射相干控制.pdf

三维光子晶体中的自发辐射相干控制 专业： 硕士生： 导 师： 理论物理 陈绿洲 王雪华教授 摘要 我们突破了色散曲线和w e i s s k o p f - w i g n e r 近似的框架，提出在三维全带隙光子晶体 中利用z e e m a n 效应以及s t a r k 效应的方法来实现自发辐射相干控制全文包含五章 第一章简要介绍了量子相干领域和光子晶体领域的重要工作，以及我们研究这个问 题的动机 第二章简要介绍了光子晶体的基本理论以及非微扰时域g r e e n 函数 第三章我们提出用z e e m a n 效应控制量子相干嵌入三维光子晶体中的原子包含三 个原本简并的上能级h a ) ，l a 2 ) ，l a 3 ) 和个基态能级1 0 ) 我们发现虽然z e e m a n 效应不能 使劈裂开的三个上能级之间有耦合( 这与s t a r k 效应有区别) ，但是在光子晶体环境的作 用下，三个跃迁渠道之间仍然有明显的量子相干效应，并且此效应可以由外加静磁场的 强度来调控当体系跃迁频率在光子带隙内部，我们观察到量子相干叠加态的周期性演 化而当跃迁频率在光子带隙附近，体系出现分数化稳态布局数俘陷此项工作对利用 四能级系统实现量子逻辑运算问题有重要意义 第四章我们研究了在三维全带隙光子晶体中加入外静电场时三能级体系( 含一个亚 稳上能级h a ) ，一个非稳上能级l 砚) 和基态能级l b ) ) 的演化情况由于s t a r k 效应和光 子带隙效应的共同作用，我们实现了量子叠加态的相干控制和保持另外我们发现亚稳 态能级的寿命可以通过外静电场以及原子在光子晶体中的位置来改变和控制这项工作 为量子态的制备和控制提供了一个有效方便的新方法，对量子信息处理有重要的意义， 同时对亚稳态原子能的利用也有重要的启示 第五章为此项研究工作的总结 关键词：光子晶体，自发辐射，相干控制，s t a r k 效应，z e e m a n 效应 u c o h e r e n tc o n t r o lo fs p o n t a n e o u se m i s s i o ni n3 - d i m e t i o n a l p h o t o n i cc r y s t a l s m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s m p h i l c a n d i d a t e ：l u - z h o uc h e n s u p e r v i s o r ：p r o f a b s t r a c t i nt h et h e s i s ，b e y o n dt h ed i s p e r s i o nm o d e l sa n dw e i s s k o p f - w i g n e ra p p r o x i m a t i o n ，w e i n v e s t i g a t ec o n t r o lo fq u a n t u mi n t e r f e r e n c ei n3 - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l sv i az e e m a n e f f e c ta n ds t a r ke f f e c t i tc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，i n t r o d u c t i o nt oq u a n t u mc o h e r e n tc o n t r o la n dp h o t o n i cc r y s t a l s i s g i v e n ，t h em o t i v a t i o no fo u rw o r ki ss t a t e d i nc h a p t e r2 ，t h eb a s i ct h e o r ya b o u tp h o t o n i cc r y s t a l sa n dt i m ed o m a i ng r e e n s f u n c t i o ni sb e l i e f l yi n t r o d u c e d 。 i nc h a p t e r3 ，z e e m a ne f f e c ti sp r o p o s e dt or e a l i z ec o h e r e n tc o n t r o lo faf o u r - l e v e l a t o mi n3 di n v e r s e - o p a lp c s w ef o u n dt h a ta l t h o u g ht h ea p p l i e dm a g n e t i cf i d dd o e sn o t l e a dt oc o u p l i n gb e t w e e nt h et h r e eu p p e rs p l i t t i n gl e v e l s ，q u a n t u mi n e r f e r e n c es t i l la p p e a r s b e t 瓢伦e nt h e s el e v e l sd u et ot h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ea t o ma n dv a c u u me l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s w h e nt h et r a n s i t i o nf r e q u e n c i e so ft h et h r e eu p p e rl e v e l sa r ei n s i d et h ep b g ，t h e d y n a m i cq u a n t u mc o h e r e n ts u p e r p o s i t i o ns t a t e o ft h ea t o mc a nb ea c h i e v e da n dt h e q u a n t u i no c c u p a t i o np r o b a b i l i t i e so ft h el e v e l sp e r i o d i c a l l yo s c i l l a t e w h e nt h et r a n s i t i o n f r e q u e n c i e so ft h et h r e eu p p e rl e v e l sa r en e a r b yt h ep b g e d g e s ，t h ea t o me v o l u t e si n t o t h es t e a d yq u a n t u mc o h e r e n tt r a p p i n gs t a t e m o r e o v e r ，t h ed y n a m i ca n ds t e a d yq u a n t u m c o h e r e n ts t a t e sc a nb ee a s i l ym a n i p u l a t e db yc o n t r o l l i n gt h ez e e m a n l e v e ls p l i t t i n gs p a c e i ti sa u t i c i p a t e dt h a to u rf i n d i n g so p e na ne f f e c t i v ew a yt oq u a n t u mc o h e r e n tm a n i p u l a t i o n t h a tp l a y st h ek e yr o l ei nq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g n l i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i ce v o l u t i o no fa nt h r e e - l e v e l sa t o mi n3 d i n v e r s e - o p a lp c su n d e ra na p p l i e ds t a t i ce l e c t r o n i cf i l e d ( s t a r ke f f e c t ) 。t h i sa t o mc o n s i s t s o fa nm e t a ，s t a b l eu p p e rl e v e li a l ) ，a nu n s t a b l eu p p e rl e v e li a 2 ) a n dag r o u n dl e v e l1 6 ) b y c o m b i n i n gs t a r ke f f e c tw i t hp h o t o n i cb a n dg a pe f f e c t ，t h ed y n a m i cq u a n t u ms u p e r p o s i t i o n s t a t e so ft h ea t o mc a l lb ef l e x i b l yc o n t r o l l e d a n dw ef o u n dt h a tl i f e - t i m eo fm e t a - s t a b l es t a t ec a nb em o d u l a t e db yt h es t a r kf i e l da n da t o m i cp o s i t i o n t h i sw o r ki s b e l i e v e dt op r o v i d e sa ne f f e c t i v ea p p r o a c ht oc o h e r e n tm a n i p u l a t i o no fq u a n t u ms t a t e s ， t h u sh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，a l s oh a sv i t a lm e a n i n g o fu t i l i z a t i o no fm e t a - s t a b l ea t o m i ce n e r g y c h a p t e r5i st h es u m m a r yo fo u rw o r k k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l s ，s p o n t a n e o u se m s s i o n ，c o h e r e n tc o n t r o l ，s t a r ke f f e c t ， z e e m a ne f f e c t 插图目录 2 1 一维光子晶体示意图，由a ，b 两种折射率不同的材料周期性排列而成 【引自； k s a k o d a ，o p t i c a lp r o p e r t i e so fp h o t o n i cc r y s t a l s 。 e d i t e db yw t r h o d e s ， m e t z ( s p r i n g e r2 0 0 1 ) 1 4 3 1 钠黄线3 p - 3 s 弱静磁场z e e m a n 效应【引自；赵凯华，罗蔚茵，量子物理，高等 教育出版社( 2 0 0 1 ) 】 8 3 2 强静磁场的z e e m a n 效应【引自：周世勋，量子力学教程，人民教育出版社( 1 9 7 9 ) 】 8 3 3 ( a ) 一般性强磁场和弱磁场，都是l ，s 分别绕j 快旋进，j 围绕磁场b 慢旋进，为 z e e m a n 效应；( b ) 对超强磁场，自旋轨道耦合被破坏，s 与l 分别绕b 旋进，为 p a s c h e n - b a c k 效应 9 3 4 一般性四能级系统的z e e m a n 效应示意图，原本简并的三个上能级i a 3 ) ，l a 2 ) ，l a l ) ( 跃迁 频率) 在外磁场b 下劈裂开，裂距大小l 观2 i = l u 2 1i = u ，劈裂后跃迁频率分别为 u 口+ u ，u o ，崛一u 9 3 5 钠原子3 p - 3 pz e e m a n 劈裂的参数2 1 3 6 ( 彩图) ( a ) 数值计算所取的原子位置，分别沿着逆蛋白石结构的对称轴取点( b ) 逆 蛋白石结构光子晶体示意图以及人工合成过程示意图2 1 3 7 ( 彩图) 当原子跃迁频率t m a = o 7 7 0 ( 2 ，r c a ) 处在光子晶体带隙内时三个上能级i a 3 ) ( 黑线) ，i a 2 ) ( 红线) a n di a l ) ( 绿线) 的布局数演化原子在光子晶体中的位置是r = ( 0 ，o ，0 3 4 ) a 初态制备在i a 2 ；0 ) 外加静磁场强度分别为( a ) b = 3 t ，( b ) b = 1 2 ta n d ( c ) b = 0 6 t 2 4 3 8 ( 彩图) 当原子跃迁频率0 j a = o 7 7 0 ( 2 ，r c a ) 处在光子晶体带隙内时三个上能级l a 3 ) ( 黑线) ，i a 2 ) ( 红线) a n di a l ) ( 绿线) 的布局数演化原子在光子晶体中的位置分别为 ( a ) r l 一( 0 ，o ，0 5 ) a ，( b ) r 2 = ( 0 ，0 ，0 3 3 8 ) a ，( c ) r 3 = ( o ，0 ，0 ) a 初态制备在i a 2 ；0 ) 外加 静磁场b = 0 6 t 2 4 3 9 ( 彩图) 当原子跃迁频率= o 7 4 8 ( 2 r c a ) 处在光子晶体带边时三个上能级f 口3 ) ( 黑 线) ，l a 2 ) ( 红线) a n di n - ) ( 绿线) 的布局数演化原子在光子晶体中的位置是r = ( 0 ，0 ，0 1 ) a 初态分别制备在( a ) l a 2 ；0 ) 及( b ) l a 3 ；0 ) 外加静磁场强度为b = 0 6 t 2 6 插图目录 3 1 0( 彩图) 当原子跃迁频率o j a = 0 8 2 0 ( 2 瓠 c a ) 处在光子晶体带隙外时三个上能级i a 3 ) ( 黑线) ，i a 2 ) ( 红线) a n di a l ) ( 绿线) 的布局数演化原子在光子晶体中的位置是r = ( 0 ，0 ，o ) a 初态分别制备在( a ) l a 3 ；o ) ，( b ) l a 2 ；o ) ，( c ) i n l ；0 ) 外加静磁场强度为b = 0 6 t 2 7 4 1 4 2 4 3 强电场下的s t a r k 效应【引自：杨福家原子物理学，高等教育出版社( 2 0 0 0 ) 】 2 8 弱电场下的s t a r k 效应【引自：杨福家原子物理学，高等教育出版社( 2 0 0 0 ) l 2 9 三能级体系示意图未加外静电场前含一个亚稳上能级l d l ) ( 到基态为禁戒跃迁) 和一 个非稳上能级i n 2 ) ( 到基态为允许跃迁) 加静电场局后产生s t a r k 劈裂，形成新的 叠加态i + ) 和i 一) ，i 士) = a 1 1 1 ) 士a 2 i 口2 ) 3 1 4 4 弱电场s t a r k 效应所取参数4 8 4 5 当u + 与u 一均在带隙外并且远离带边时，i 口1 ) ( 实线) 和i n 2 ) ( 虚线) 的布居数演化 原子在光子晶体中的位置是r = ( 0 ，0 ，0 5 ) 口，初始制备在i a i ；0 ) 及i a 2 ；o ) ，外加静电场 e o = 1 2 5 v c m 分别为e o = 5 0 0 v e r a 4 8 4 6 当u + 与u 一均在带隙外并且远离带边时，l 口1 ) ( 实线) 和l n 2 ) ( 虚线) 的布居数演化 原子在光子晶体中的位置是r = ( 0 ，0 ，0 3 4 ) a ，初始制备在i a l ；0 ) ，外加静电场( a ) e o = 1 2 5 v c r n ，( b ) e o = 2 5 0 w c t n ，( c ) e o = 5 0 0 w c m ( d ) 表示初态制备在叠加态去( 1 口l ；o ) + i a 2 ；o ) ) 并且e o = 5 0 0 w c m 的情况。4 9 4 7 当u + 与“，一均在带隙内并且远离带边时，i n l ) ( 实线) 和1 0 2 ) ( 虚线) 的布居数演化 原子在光子晶体中的位置是r = ( 0 ，0 ，0 ) 口，初始制备在l a 2 ；0 ) ，外加静电场( 8 ) e o = 5 v c t n ，( b ) e o = 1 2 2 w c m ，( c ) e o = 5 0 0 v c m 如初始制备在i a l ；o ) ，演化情况完全相 同4 9 4 8当u + 与u 一均在带隙内并且远离带边时，i 口1 ) ( 实线) 和i n 2 ) ( 虚线) 的布居数演化原 子在光子晶体中的位置分别为( a ) r = ( 0 ，o ，0 3 4 ) a ( 弱耦合位置) ，( b ) r 一( 0 ，0 ，0 5 ) n ( 强 耦合位置) ，初始制备在叠加态去( 1 a l ；0 ) + | 口2 ；o ) ) ，外加静电场e o = 5 0 0 v c m 5 0 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究作出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担 学位论文作者签名： 像级州 日期：加乡年月1 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有 权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进人学校图书馆、院系 资料室被查阅，有权将学位论文的内容编人有关数据库进行检索，可以采用 复印、缩印或其他方法保存学位论文 学位论文作者签名：徽州 导师签名：易 b 期：_ 呜年易月1 日 | 2 知识产权保护声明 本人郑重声明：我所提交答辩的学位论文，是本人在导师指导下完成的成 果，该成果属于中山大学物理科学与工程技术学院，受国家知识产权法保护 在学期间与毕业后以任何形式公开发表论文或申请专利，均须由导师作为通 讯联系人，未经导师的书面许可，本人不得以任何方式，以任何其它单位做 全部和局部署名公布学位论文成果。本人完全意识到本声明的法律责任由本 人承担。 学位论文作者签名：像镊叫 日期：切哆年6 月1 日 第1 章引言 自g s a g a r w a l 提出多能级量子光学系统的量子相干行为1 以来，这一问题受到 广泛的关注并被应用于量子信息【2 】以及量子光电子器件【3 ，4 】等领域许多重要的新现 象被发现，比如相干布局数俘陷【5 , 6 ，7 】，电磁诱导透明【8 ，9 】，无反转激光f l o ，1 1 ，1 2 ，1 3 】， 电磁诱导吸收【1 4 ，1 5 ，1 6 ，l7 】，自发辐射修正【1 8 ，1 9 】等等为了更好地研究以及应用这些现 象，人们长期致力于寻求方便有效的途径来实现自发辐射相干控制其中，对量子相干 叠加态的动力学性质的控制以及稳态的控制，在量子信息处理方面有重要的作用【2 0 ，2 l 】： 前者是量子逻辑操作的基础，可以通过各种量子光学方法来实现【2 2 ，2 3 ，2 4 】；后者则是单 量子比特制备的先决条件，可以由量子相干俘陷来实现【2 5 ，2 6 】 众所周知，一个量子体系，比如原子，量子点，其辐射行为不仅依赖于自身的跃迁 耦合极矩，还与其所处的电磁环境有重要关系由于改变原子本身的偶极矩比较困难， 所以大量工作都集中在改变原子所处的电磁环境，也就即改变电磁场态密度( d e n s i t yo f s t a t e ，d o s ) 和光子的局域态密度( l o c a ld e n s i t yo fs t a t e ，l d o s ) ，比如利用微腔 2 7 ，2 8 ，2 9 ， 左手材料( l h m ) 【3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 】，等等 光子晶体，也称光子带隙材料，1 9 8 7 年由s j o h n 3 4 】和e y a b l o n o v i t c h 3 5 】分别独 立提出由于其光子禁带的存在以及特别的b r a g g 电磁场，能够明显地改变态密度和局 域态密度，从而导致许多新奇的量子光学现象，比如自发辐射的抑制和相干控制3 5 ，非 m a r k o v i a n 效应【3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 】，原子群的宽寿命分布 4 0 ，4 1 ，非经典衰减【4 2 】和自发辐 射开关控制【4 3 】，真空r a b i 劈裂f 4 4 ，4 5 】等等人们不断尝试用光子晶体来实现相干控 制，最简单的三能级系统，人型， y 型【4 6 ，4 7 ，4 8 】以及三型【4 9 ，5 0 】的相干行为已被广 泛研究，发现了光子带隙外的衰减r a b i 振荡，带隙内的周期振荡，带边的分数布局数俘 陷，等等朱诗尧等【5 1 ，5 2 】在近带边色散模型的基础上探讨了三能级原子在靠近光子带 隙处的量子相干行为，同时期s j o h n 5 3 1 提出，在光子带隙附近可以用两个激光驱动场 ( 一个控制激光和一个泵浦激光) 来实现自发辐射量子相干控制然而色散模型实际上忽 略了与位置有关的原子一光子相互作用，而这个性质恰恰对量子光学体系的辐射行为有 很重要的影响4 2 并且j o h n 提出的量子相干控制方法要求光子晶体中要有缺陷模，使 得其中一个外加激光场能够在光子晶体中传播，其共振频率要求与带隙中的能级频率相 等，这样一来，原本在带隙内部的频率就变成在带隙外面另一方面，调节缺陷模达到 与原子能级共振到目前为止仍然是一个巨大的挑战 为了解决以上这些困难和挑战，我们提出方便而有效的方法：利用外加静电场( s t a r k 效应) 与外加静磁场( z e e m a n 效应) 来实现对光子晶体中多能级量子系统的相干叠加态 2 第工章引言 的动力学控制以及稳态的控制我们突破了带边色散模型 5 4 ，5 5 】和w e i s s k o p f - w i g n e r 近 似 5 6 ，5 7 】的框架，采用非微扰时域g r e e n 函数【5 8 探讨当原子处在全带隙逆蛋白石结 构光子晶体以及外加静态场中上能级的演化情况，量子系统与光子之间的局域耦合强度 ( l o c a lc o u p l i n gs t r e n g t h ，简称l c s ) 根据文献 5 9 ，6 0 】提出的方法做了精确的数值计算， 其大小随着原子在光子晶体中的位置不同而变化 第2 章基础理论 2 1 光子晶体基本理论 光子晶体，即光子带隙材料【3 4 ，3 5 】，是在光学尺度上具有周期性介电结构的人工设 计和制造的晶体与半导体晶格对电子波函数的调制相类似，光子带隙材料能够调制具 有相应波长的电磁波一当电磁波在光子带隙材料中传播时，由于存在b l a g 散射而受到 调制，电磁波能量形成能带结构能带与能带之间出现带隙，即光子带隙所具能量处 在光子带隙内的光子，不能进入该晶体光子晶体和半导体在基本模型和研究思路上有 许多相似之处，原则上人们可以通过设计和制造光子晶体及其器件，达到操控光子的目 的 以下介绍平面波展开法求本征问题 互k ，知) 由介质中的m a x w e l l 方程 6 1 】s v d ( r t ) = 0 v b ( r t ) = 0 v e ( 卅= 一爰b ( 州) v 日( 叫) = 爰d ( 叫) 以及两个本构方程 b ( r ，t ) = # o h ( r ，t ) d ( r ，t ) = e 0 6 ( r ) e ( r ，t ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 由于光子晶体由a ，b 两种不同材料周期性排列而成，因此与真空或者均匀介质中 介电常数不同，此时为周期性函数，周期为a ( 注意事s 如果是磁性光子晶体，则介质 磁导率为周期性函数，而为常数) ( r - t - a ) = ( r ) 得到合并的波动方程组。 击v v xe ( 删= 一万1 丽0 2 - - v 砷 丽v 【r ，圳2 一万丽砘t ) v 【可1 万日( r ，t ) 】= 一万1 丽0 2 日( r ，t ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 4 ab4 第2 章基础理论 图2 1 ：一维光子晶体示意图，由a ，b 两种折射率不同的材料周期性排列而成【引自。k s a k o d a ， o p t i c a lp r o p e r t i e so fp h o t o n i cc r y s t a l s ，e d i t e db yw t r h o d e s ，m e t z ( s p r i n g e r2 0 0 1 ) l 其解可分离变量： e ( r ，t ) = e ( r ) e 一妣 h ( r ，t ) = h ( r ) e 一“。 因此可以得到本征方程组t 丽1 v 【v e ( r ) 】_ 石u ；2 e ( r ) 丽v 【v e 洲。石d ( r j v 【丽1 v 日( r ) 】- o 万) 2 日( r ) 将介电函数以及电磁场本征矢分别在倒空间展开t 丽1 = g k ( g ) e 印( i g r ) e ( r ) = 鼠知( 小= 玩七( g ) e x p i ( k + g ) r 】 日( r ) = 玩七( 小= 风七( g ) e 印【z ( 七+ g ) r 】 可以得到本征方程组； 2 一k ( g g 7 ) ( 七+ g 7 ) 【( 七+ g 7 ) e k ( g ，) 】= 警日七( g ) g 7 ，2 一k ( g g ) ( 七十g ) x 【( 七十g ) h k ( g ) 】= 竺；笋玩七( g ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 2 2 非微扰时域g r e e n 函数 我们可以根据任意一个方程来求解，但是由于算符l e = 南v 【v 】非厄米， 晶七( g ) ) 不构成正交完备基，由我们一般用h 。k ( a ) 的本征方程来求解 2 2 非微扰时域g r e e n 函数 假如一个量子系统的h a m i l t o n i a n 为【5 8 】： h = h o + v 体系的演化算符为 u ( t ) = e x p ( - i h ( t o v a ) 初态处在i 皿( o ) ) ，则演化到t 时刻为： l ( t ) ) = u ( t ) i 皿( o ) ) 5 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 为了求解这个体系的演化问题，需要计算演化算符u 的矩阵元，由于h a m i l t o n i a n 含有非微扰凰部分和微扰部分y ，演化算符为t u ( 。，。) = ( 。，。7 ) + 素上出1 u o ( t , 1 ) y 矿( t l , 0 ) ( 2 2 2 ) 1， 其中 u o ( ) = e x p ( - i u o ( t o ) h )( 2 2 3 ) 式( 2 2 2 ) 中u ( t 7 ，0 ) 又可以做类似的展开，如此一级一级展开下去，多次积分运算 非常麻烦，一般来说只计算到一级或者二级，忽略后面的高阶项，为了避开积分运算并 且提高计算精度，我们定义算符， 以及 硌( t ，t 7 ) = u ( t ，t 7 ) 口( 亡一) ( t ，t 7 ) = u o ( t ，亡7 ) p 一) 儿( t ，t 7 ) = - u ( t ，t 7 ) 口( 一t ) k o 一( t ，t 7 ) = 一u o ( t ，t 佃( 一t ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 6 兵中阶跃函效 ， # ( t - - t ) ： 垃 1 l t ，1 指1 0 1 ) ，0 指| 6 ) ， 对体系初始制备在i x ；0 ) = i a 2 ；0 ) 的情况 对式( 3 1 0 ) 插入单位算符i 并在单光子h i l b e r t 空间对整式取( a 2 ；0 i 和i n 2 ；0 ) 矩阵 等式左边 = ( a 2 ；o l ( z h o ) ( 1 0 3 ；o ) ( 0 3 ；o i + 1 0 2 ；o ) ( 0 2 ；o i + l a i ；o ) ( n 1 ；o i + i o ；l n k o ；l n k l ) g 1 0 2 ；o ) n k = ( z o j a )( 3 1 1 ) 等式右边 = 1 + ( i y ( i 口3 ；o ) ( 口3 ；o l + l a 2 ；0 ) n 2 ；o l + l a , ；o ) ( n 1 ；o i + i o ；1 n 知) ( o ；1 k 1 ) g l a 2 ；o ) n k = 1 + v 2 0 g 0 2 n k 得到： ( z 一) = 1 + k 。g 0 2 n k 同理对( n 3 ；o i 和l 口2 ；o ) 矩阵元可以得到： ( z u a u ) g 3 ：= v z o g 0 2 n k ( a l ；0 i 和i a 2 ；0 ) 矩阵元可以得到： ( 名一乩+ u ) g 1 2 = 。g 。2 n k ( o ；1 。七i 和i a 2 ；0 ) 矩阵元可以得到； ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( z 一0 3 0 一w n , c ) g 0 2 = v o l g 3 2 + v 0 1 g 1 2 + v 0 2 g 2 2( 3 1 6 ) 可以定义， 其中i = l ，2 ，3 其中i ，j = 1 ，2 ，3 且i j 第3 章z e e m a n 效应实现量子相干控制 f ( 名) = 名一一黑 s ( z ) ：堡生兰! 堕：丛吲： 。 名一0 3 0 一七名一0 3 0 一o j n k 由式( 3 1 3 ) 一( 3 1 6 ) 可以得到： ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) g 1 1 = 莉而拦茅罐南丽 ( 3 1 9 ) “1 12 可f 疆丽两= 萨f 丽耶可 p j 圳 按照相似的步骤可以得到： g 船= 币两拦警群南丽 ( 3 2 0 ) “船2i 取j _ f 否灭i _ 否厂= i 历r 二i 否夏琴j j 可婶。u 锄= 丽若喾簪拜 ( 3 2 1 )嘞22 丽歹瓢巩f 了f 丽= 面耶耳可p 名u g t 。铂= 币丽筹署群南丽 ( 3 2 2 ) g 2 3 娟z = 币丽若警笨云丽 ( 3 2 3 ) g t 3 - g 3 = 币丽莳筹杀砸丽( 3 2 4 ) 3 2 2 f ( z ) 与s ( z ) 的具体计算 3 2 非微扰时域g r e e n 函数对四能级体系的处理 由于v 的矩阵元为： 由于 ( a 3 ；o l v l o ；i n 七) = ( a 3 ；0 1 9 , 1i o ；i n 七) ( o ；1 k l v l a 3 ；0 ) = ( o ；l 。k h l l a 3 ；0 ) ( a 2 ；o l v l o ；l 。七) = ( a 2 ；0 1 h ，ii o ；i n 七) ( o ；1 七 v l a 2 ；0 ) = ( o ；l n k h nl 眈；0 ) ( a l ；o l v l o ；1 。知) = ( a l ；o l - ，1l o ；i n 七) ( o ；1 k l v l a l ；0 ) = ( o ；1 k l h n l a l ；0 ) ( a 3 ；0 l v l a 2 ；0 ) = 0 ( a 2 ；0 1 v i a 3 ；0 ) = 0 ( a l ；o l v l a 2 ；0 ) = 0 ( a 2 ；0 1 v i a l ；0 ) = 0 i 1 2 = 1 2 = 1 2 = 9 0 1 , n k1 2 f f 0 2 , n k1 2 知，。知1 2 m 1 2 = 鲂m m = ( 瓦丽1 ) u 弓i 鼠七( 七，r ) 乱玎1 2 设u 订的大小为u 和单位向量为砬： 蝣，。知9 巧，n k = (，n 知9 巧，。【 2 e d u n 七y ) 嵋札毛i 反七( ，r ) r , 1 2 瓦知( 七，r ) 奶1 2 = 陋反知( 忌，r ) 】【废七( 七，r ) 乱】 = 砬【磊知( 七，r ) 露七( 七，r ) 】砬 = 牡l 乱1 一e 。r o 七) f 。o 知) + u l 札2 e n o ) m ( 2 ) + + 乱1 t 上3 e 裟e 簿+ 十 u 2 郴e 舻n ( 2 ) b - 7 。( 奄+ + 钍2 让2 碟碟+ + t 正2 钍3 础碟+ + u 3 u 1 e n ( 3 ) i b - 7 ( 1 ) + + 螂2 础础+ + 螂3 碟础+ 1 3 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 1 4第3 章z e e m a n 效应实现量子相干控制 j 比处 t t l2s i n o c o s 妒，“2 = s i n s s i n 妒，u 3 = c d s 口 对札妤的所有取向取平均， 注意到 ，n k l 2 = ( u j s i n 脚= 等如 2 e o 也七y 1 2 = l 1 2 = l 根据跃迁偶极矩的表达式： 其中本征态波函数 e 。k ( k ，r ) 1 2 u i j 2 2 e 。h w 。七 2 e d ，i u n 知 2 o ，l u t l 七 ) 警2i 最知( 七，) 。1 2 ) 警2i 晶知( 七，r ) 。1 2 ) 警2i 晶知( 七，r ) 。1 2 仳一e 办皿麓比 皿= 冗( r ) y ( 口，妒) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) 则 打皿：；l r 皿。= 打( r ) r 3 风( r ) f s i n o d o d q o ( 护，妒) ( s 饥p c d s 妒, s i n p s 讥妒，c d s p ) k ( p ，妒) ( 3 3 7 ) 由此式计算可以证明： 仳o l l = i u 0 2 i = i u 0 3( 3 3 8 ) 丌4 2 知n 一 g妒 dpn 0s 撕o 硼 = 丌4 qd 2 七n 一= i g 厂， 孙o 棚 眺曲 3 2 非微扰时域g r e e n 函数对四能级体系的处理 因此对三个上能级， 。知i k l l 2。七l y o g i 2n 知l 9 0 3 1 2 z 一0 ) 0 一七z 一0 3 0 一七名一0 3 0 一k 因此三个上能级f ( z ) 相等而对娶- - 出t 加- - w r t k 这种交叉作用项，比如： 则 其中 g s 3 , r t k 地压磊骗小蛐 蛳一辱鼬。 9 淼。惫9 ，n 七2 ( 2 e 拦k y 0 ) u 。3 i i 钍。2 i 色，i e ：七e k 屉1 2 也。z 1 5 ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 纰1 暖知既七阳= “绺札必础础+ + u 船u 留础础+ + u 嚣让兽础础1 ：3 4 3 ) +仳鲁u 出碟础+ u 兽u 兽碟础+ + u 哪( 2 ) a 唧( 3 ) b - y ( 2 ) i 5 - ? ( 3 ) * 。, ：1 4 4 ) + 乱恩札出础剐+ u 跏兽础碟+ u 兽u 留础碟x 3 4 5 ) 考虑札的随机取向： 并注意到： la e u ( i ) u ( j ) s i n o 妒 因此所有交叉作用项 n 七k o z 一0 3 0 一“h 七 ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) 也是相等的参见第四章第五小节，可以定义能级位移a ( r ，u ) 和能带展宽r ( r ，u ) ： r ( r ，u ) = 2 7 rq 巧 n k 2 7 r0 1 巧 u 一0 3 0 取奄( 后，r ) 1 2 o j n k 6 ( u 一一知) l 既南( 七，r ) 1 2 j ( 一0 3 0 一七)( 3 4 8 ) 丌4 2 七孤 劬 妒 dpnzs 豺厂o p击 = 丌4 c =d 2 七n ， 础 其中 对i , j = l ，2 ，3 ，所有q 嵇相等 因此，可以统一定义： a ( r ，u ) 第3 章z e e m a n 效应实现量子相干控制 = 去p 等咖7 删u l 训b j i 2 q 嵇2 丽 f ( 名) = 名一一土i 丢 s ( z ) = 千i 吾 3 3 光子晶体带隙内部和外部的简化处理 为书写简便，标记； f o = u 一 f l = u 一一 f 2 = u 一一2 a ( 3 4 9 ) ( 3 5 0 ) ( 3 5 1 ) ( 3 5 2 ) ( 3 5 3 ) ( 3 5 4 ) ( 3 5 5 ) 3 3 1 带隙内部的简化运算 按照第四章第三小节对三能级体系的类似处理，标记带隙内昂r 易一( 沪f l + 2 a 2 f o ) = 0 的解为“7 m ( 即d r e s s 频率) ，可以得到； 岛z ( 叫) = = 淼6 ( u 一) ( 3 5 6 ) 3 3 光子晶体带隙内部和外部的简化处理 其中分子分母为 n u m e r a t o r = 【( f o f 2 一u 2 ) 2 + 2 a 2 ( u 2 + 瑶) 】 1 7 d e n o m i n a t o r = ( 一一) ( 一一2 ) + ( 1 一a ，) 【( 一) ( 一u 口一2 ) 一u 2 】 +( 1 2 a 7 ) ( u m 一) ( u 。一一a ) 一4 a a ( u 。一u n ) 一2 a 2 ) a ，( 叫) = 罴罴篆j ( u 一) n u m e r a t o r = 【瑶露+ u 2 ( f o f , + f 1 易一f 0 易) 一u ( f o 砰+ 易砰) + 2 a 2 u ( 日一f o ) - t - 2 a 2 瑶】 ( 3 5 8 ) ( 3 5 7 ) d e n o m i n a t o r = ( u m 一一) ( u 。一w a 一2 a ) + ( 1 一a ) ( 屿。一) ( u m 一一2 ) 一u 2 】 +( 1 2 ) ( m u 。) ( u m 一0 1 a a ) 一4 a a 7 ( m 一) 一2 2 c 3 3 ( r ，u ) = n u m e r a t o r d e n o m i n a t o r 6 一) n u m e r a t o r = 【f 2 碍+ u 2 ( f o f , + f 1 尼一昂易) + u ( f o 砰+ 易砰) 一2 a 2 u ( r 一晶) + 2 2 瑶】 ( 3 6 0 ) ( 3 5 9 ) d e n o m i n a t