（应用数学专业论文）代数双曲三角空间中两组基的矩阵表示及其转换矩阵.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 非均匀有理b 样条( n u r b s ) 模型中的有理形式所导致的局限性促使了人们 对新的曲线曲面表示的研究其中，定义在代数双曲三角空间f 。= s p a n s i n ，c o s ，s i n h t , c o s h t , t ”5 ，1 ) ( 刀5 ) 上的均匀双曲三角多项式( u a h t ) b s p l i n e 基和代数双曲三角( a h db 芒z i e r 基因为分别具有与均匀b 样条基和b e m s t e i n 基相类似的性质，而被广泛研究 本文借助于递推的方法给出了在代数双曲三角空问f 。上以积分迭代形式定 义的u a h tb s p l i n e 基的矩阵表示这样的矩阵形式的定义比其积分形式的定义 更为直接与清晰。作为例子，本文利用所构造的递推方法求得了6 阶u a h tb s p l i n e 基的矩阵表示的显式表达武 类似地，对于r 。上以积分迭代形式定义的a h t b 亡z i e r 基，本文同样利用递 推的方法定义了其矩阵表示同样，本文应用此递推结果给出了显式的6 阶a h t b 6 z i c r 基的矩阵表示的表达式 最后，此两组基之间的转换矩阵亦以递推的方法在本文中求得二者之间的 转换矩阵不仅有实际应用价值，而且也为这两组基广泛的理论研究提供了新的方 法。并且此两组基之间6 阶的转换矩阵的显式表达武也在本文中应用此递推方法 而求得这些结果就是本文的主要研究内容。 我们知道，曲线曲面的矩阵形式在计算机辅助几何设计的实际应用中是非常 必要的并且存在很好的应用价值，例如方便于曲线曲面的求值和转换等而且曲 线曲面的矩阵形式在c a d 系统中被广泛使用。因此，我们希望本文关于代数双 曲三角空问i 。上的u a h tb - s p l i n e 基和a h tb 6 z i e r 基的矩阵表示的研究结果能 够应用在将来的c a d c a m 系统中 关键词：矩阵表示、均匀双曲三角多项式b s p l i n e 基、代数双曲三角b 杨e r 基， 转换矩阵曲线曲面的表示 浙江大学硕士学位论文 a b st r a c t t h el i m i t a t i o n sc a u s e db yt h er a t i o n a lm o d e li nn u r b so q o n - u n i f o r mr a t i o n a l b s p l i n e ) c u r v e sa n ds u r f a c e sm o t i v a t et h eb r o a dr e s e a r c ho fn e wr e p r e s e n t a t i o no f c u r v e sa n ds u r f a c e s a m o n gt h a tr e s e a r c h ，t h eu n i f o r mh y p e r b o l i ct r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l ( u a h t ) b - s p l i n eb a s i sa n dt h ea l g e b r a i ct r i g o n o m e t r i ch y p e r b o l i c ( a h t ) b 6 z i e rb a s i sw h i c ha r eb o t hd e f i n e di nt h ea l g e b r a i ct r i g o n o m e t r i ch y p e r b o l i cs p a c e f 。= s p a n s i n t , c o s t , s i n h t , c o s h t , g - 5 ，t , q ( 厅5 ) h a v eb e e nl a r g e l ys t u d i e df o r t h e ks i m i l a rp r o p e r t i e st ot h eu n i f o r mb - s p l i n eb a s i sa n dt h eb e r n s t e i n b a s i s r e s p e c t i v e l y t h i sp a p e rp r e s e n t st h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o nf o rt h eu a h tb s p l i n eb a s i si na r e c u r s i v ew a y , w h i c hi sg e n e r a t e do v e rt h ea l g e b r a i ct r i g o n o m e t r i ch y p e r b o l i cs p a c e f 。t h i sd e f i n i t i o no f t h em a t r i xf o r mi sm o r es t r a i g h t f o r w a r da n dl e g i b l et h a nt h e d e f i n i t i o ni nt h er e c u r s i v ea n di n t e g r a la p p r o a c h a se x a m p l e s ，t h es p e c i f i c e x p r e s s i o n so ft h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o n f o ru a h tb - s p l i n eb a s i so fo r d e r6a r e g i v e nb yt h er e c u r s i v em e t h o d s i m i l a r l y , t h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o nf o rt h ea h tb 6 z i e r b a s i so v e r f 。i s d e r i v e di nt h er e c u r s i v ea p p r o a c ht o o a tt h es a m et i m e ，t h i sp a p e ra l s og e t st h e s p e c i f i ce x p r e s s i o n so ft h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o nf o ra h t b 6 z i e rb a s i so fo r d e r6b y e m p l o y i n gt h er e c u r s i v er e s u l t s a tl a s t ，t h ec o n v e r s i o nm a t r i xf r o mt h ea h tb z i e rb a s i st ot h eu a h tb s p l i n e b a s i so ft h es a m eo r d e ri sa l s og i v e nb yar e c u r s i v ea p p r o a c h t h ec o n v e r s i o nm a t r i x b e t w e e nb o t hb a s e sn o to n l yh a st h ep r a c t i c a lv a l u e ，b u ta l s op r o p o s e san e w t o o lf o r t h et h e o r e t i cr e s e a r c ha b o u tt h et w ob a s e s w ea l s oc o n s t r u c tt h ec o n v e r s i o nm a t r i x b e t w e e nt h et w ob a s e so f o r d e r6b yt h em e t h o dp r o p o s e di nt h i sp a p e r t h e s er e s u l t s c o n s t i t u t et h ep r i m a r yc o n t e n t so ft h i sp a p e r a sw ek n o w , i ti sb o t hc o n v e n i e n ta n dp r a c t i c a lt od e s c n l 西ec u r v e sa n ds u r f a c e s b ym a t r i xr e p r e s e n t a t i o ni nc a g d , s u c h a sf a c i l i t a t i n gt h ee v a l u a t i o na n dc o n v e r s i o n 玎 浙江大学硕士学位论文 o ft h ec u r v e sa n ds u r f a c e s t h em a t r i xf o r m sf o rc u r v e sa n ds u r f a c e sa r el a r g e l y p r o m o t e di nc a d s ow ee x p e c tt h er e s u l t sc o n c e r n i n gt h em a t r i xf o r mo ft h eu a h t b s p l i n eb a s i sa n dt h ea h t b 6 z i e rb a s i so nt h ea l g e b r a i cs p a c ef 。c a nb ee m p l o y e d i nf u t u r ec a d c a ms y s t e m s k e yw o r d s ：m a t r i xr e p r e s e n t a t i o n , u n i f o r mh y p e r b o l i ct r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lb s p l i n eb a s i s ，a l g e b r a i ct r i g o n o m e t r i ch y p e r b o l i c b 6 z i e r b a s i s , c o n v e r s i o nm a t r i x , r e p r e s e n t a t i o no fc u r v e sa n ds u r f a c e s m 浙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝逛太堂或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙渣太堂有关保留、使用学位论文的规定特授 权逝连太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有关 部门或机构送交论文的复印侔和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月 日 签字日期：年月 日 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 随着计算机技术的发展和普及，计算机辅助设计与制造( c a m c a d ) 技术也 得到了迅猛的发展，它们推动了许多领域的设计革命c a d c a m 技术从根本上 改变了过去的手工绘图，发图，凭图纸组织整个生产过程的技术管理方式，变成 了在图形工作站上交互设计，用数据文件发送产品定义，在统一的数字化产品模 型下进行产品的设计打样，分析计算，工艺计划，工艺设备设计，数控加工，质 量控制，编印产品维护手册，组织备件订货供应等等，并且广泛应用与机械制造 医学可视化、气象、影视等领域经过十几年的发展和更新换代，c a d 系统由 最初的只能绘图发展到c a d c a m 系统的可视化，集成化，智能化，网络化，其 中，计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) 是它的理 论基础和关键技术，c a g d 的产生和发展极大的影响着c a d c a m 技术的水平， 新的几何造型方法往往会很快应用到实际的c a d c a m 系统中去。 计算机辅助几何设计是随着汽车制造、飞机、船舶等现代工业的发展并借助 于计算机技术的发展和成熟而迅速发展起来的一门新兴学科，计算机辅助几何设 计主要研究在计算机图形图像环境下对曲线曲面的构造、逼近、插值、拟合、求 交和重建等原理和算法，其核心问题是计算机表示计算机辅助几何设计始兴于 上世纪6 0 年代，最初始于飞机，船舶的外形放样( l o f t i n g ) 工艺。在当时计算 机发展的影响下，为了利用计算机更高效地进行设计，人们开始寻找研究曲线曲 面的各种表示方法，其中最著名、最实用的技术是由法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公 司的工程师提出的b 6 z i e r 技术和美国机械工程师教授c o o n s 提出的c o o n s 技术 在曲线曲面的b 6 z i e r 表示中，曲线曲面的形状由一批预先给定的控制顶点来确 定，并且可以方便地通过调节控制顶点的位置来改变曲线曲面的形状，并且对于 曲线曲面上一点的求值可通过递归的割角算法即d e c a s t e l j a u 算法来求得这些 特点都很好的满足了人们对于在计算机系统中表示曲线曲面所需要的特性，如直 观性和计算稳定性等c o o n s 技术则是另一种构造自由曲面的方法它是通过插 值预先给定的曲面的四条边界来生成自由曲面的一种技术。b 6 z i e r 和c o o n s 两位 先驱的研究建立了c a g d 的理论基础1 9 7 2 年，d eb o o r 和c o x 总结并给出了 浙江大学硕士学位论文 关于b 样条的一套标准算法，1 9 7 4 年g o r d o n 和r i e s e n f e l d 又把b 样条理论应用 于形状描述并提出了b 样条方法b 样条方法继承了b 亡f i e r 方法的优点，克服 了b g z i e r 方法存在的问题，较成功地解决了局部控制问题，又在参数连续性基础 上解决了连接问题，从而使自由曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但b 样条曲线也存在不足，它不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产 品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式。1 9 7 5 年美国 s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 首次提出有理b 样条技术，后来经过p i e g l 和t i l l e r 等 人的努力，使非均匀有理b 样条( n u r b s ：n o n - u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 方法 成为现代曲面造型中最为广泛流行的技术n u r b s 曲线曲面不仅有b 6 z i e r 和 b s p l i n e 曲线曲面所拥有的几何特性，而且一些特殊曲线曲面如圆锥曲线和球面 等也可以有n u r b s 表示同时，n u r b s 作为一种标准也为不同的c a d 系统之 间的数据交换提供了有效的支持。 1 1 混合样条的发展 经过四十多年的发展，曲面表示和造型已经形成了以n u r b s 参数化特征设 计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值，拟合，逼近这三种方法为骨 架的几何理论体系虽然n u r b s 方法是曲面造型技术发展趋势中最重要的基础， 并且成为现行的工业标准，但它也存在缺陷，在文献【6 】中，e m a i n a r 等人总结了 用有理b 6 z i e r 和n u r b s 等有理形式表示曲线由面的缺点： 1 用有理形式表示的曲线曲面，其形状不仅受控制顶点控制，还受权因子影响， 而权因子几何意义并不明显，但多项式形式的曲线曲面的形状仅仅受控制顶 点的影响。 2 对有理曲线曲面求值比对多项式形式的曲线复杂，而且在计算机存储时要占 用更多的内存 3 对n 次多项式形式曲线隶导，其结果是一条n 1 次的曲线，而对n 次有理形式的 曲线求导其结果是2 n 次有理曲线，因此对有理形式曲线求导会导致更高次数 曲线的产生 4 用有理形式来表示圆锥曲线不能以弧长为参数，事实上，能用弧长作为参数 来表示的有理曲线只有直线。 2 浙江大学硕士学位论文 5 有理b 6 z i e r 和n u r b s 这些有理形式并不能精确表示一些具有重要应用的超 越曲线，如螺旋线、摆线和悬链线等 由于b 6 z i e r 方法和n u r b s 方法在实际应用中存在不足，所以人们开始探索新 的曲线曲面造型方法，使其既能保持n u r b s 曲线曲面的优良几何性质，又能克 服上述缺陷用于定义b 6 z i e r 线和有理b 6 z i e r i 曲线的b e m s t e i n 基函数与定义b s p l i n e 曲线和n u r b s 曲线的b 样条基函数都是多项式空间s f l a n f ，卜1 ，t , 1 ) 上的函数。为了解决上述问题，人们拓宽了所考虑的空间，在扩展的多项式空间 上定义所谓的混合样条基函数来表示曲线曲面1 9 9 4 年，p o t t m a n n 和w a g n e r 在文献【9 】中提出了定义在空间g = c o s 4 s i n t , t , 1 ) 上构造曲线，将其看作是扩展 c h e b y s h e v 空间的特例 s l l ，并构造了h e l i xs p l i n e ，而张纪文于1 9 9 6 年在文献 1 0 】 中以另一种方式给出了同样定义在c 上与h e l i xs p l i n e 一致的c b 6 z i e r 曲线和c b s p l i n e 曲线其矩阵形式的定义如下： 定义1 假设q o ) q 。，q ：和q ，是四个控制顶点，a 是任意选定的实数且0 a 万， 则定义在【o ，万】上的曲线b 。( ，) 就称作带参数a 的c - b 6 z i e r l l 扫线： b 。( 力= 磊( ，) q 。+ 互( ) q ，+ 互( 佣：+ 弓( ，) q 3 = 击( s i n ，c o s ，删 c、一c m - s 缸一的 一l a - ( a 一酗m 其中，0 a 万，s = s i n ( a ) ，c = c o s ( a ) ，和 肜一l x m毽 一肜l 谢q q o q i q 2 q 3 小篙= ：坠q 当o 口 万 t a z 五 2 s - 口一a c 并且，我们称磊( ，) 、互( ，) 、互( 力和磊( ，) 为c - b 杨e r 基函数，其具体表达式如下： 五(，)：_(a-z)-sin(a-t)，互( ，) ：掣 一 互= m 1i-hcos(a仅-t)10 s 嗍，) i ，互( ，) = 叫嚣10 嘲川 l c仅 ll cs 口 。 l 浙江大学硕士学侥论文 定义2 假设b o ，b 。，b ：，b 叶。，k ：，1 ) 是给定的控制顶点，口是任意选定的实 数且0 c c 万，则由下式定义的分段曲线称作带参数口的c b s p l i n e ： e ( ) = s o ( ，) b i + 属b i + 。+ 忍( ，) k ：+ 毽( ) b i + ， c - 0 + 2 c ) 一s2 s l1 + 2 f 口2 a f 2 + fl 一夕o - 0 + 2 c ) i ao 其中，0 a 万，= s i n ( a ) , c = c o s ( o ) ，和o 七- i 为后阶的均匀双曲三角多项式b s p l i n e 曲线。 定义5 假设给定所刀了个控制顶点p i i ( ，= l ，2 ，= l ，2 ，功，则与之相对 应的张量积曲面 文力= 形。( 矽以。( 即i | i ，【施，( 历+ l 】，矿【缸，( 刀+ 1 】 称为均匀双曲三角多项武b s p l i n e 曲面7 由均匀双曲三角多项式b s p l i n e 基的性质可知，上述定义的曲线曲面同样具 有如保凸性、几何不变性、局部性和对称性等性质。 2 2 均匀双曲三角多项式b - s p l i n e 基的矩阵表示的递推求解 虽然k f 喻u a h tb s p l i n e 基函数在整个实数域上都有定义，但是由其局部支柱 性可知，在区间【缸，( “l 】上，非零的u a h tb - s p l i n e 基函数只有 以。( ，) ，以( 力所以，为了能方便地得到u a h t b s p l i n e 基的矩阵表示，我 们只考虑区间【o ，仅】上的定义如此，我们要得到的是在区间【o a 】上非零的 u a h t b s p l i n e 基函数砟t t ( ，) ，( ，) 关于标准基的矩阵表示我们将构造以 递推方式来推导任意阶的u a h t b - s p l i n e 基的矩阵表示在应用递推方法中，最 重要的是要得到表示高阶u a h t b - s p l i n e 基的矩阵( 形1 ) ( 一+ ，卜肿。) 与表示低一阶基 1 2 浙江大学硕士学位论文 的矩阵) 。之间的关系下面的定理给出了这两者之问的关系： 定理1 假设( 肜几肿( ) ，彤一 。( ，) ，肿l ( ，) ) = ( s i n t , c o s t , s i n h , c o s h t , 广4 ，1 ) ( 石1 ) i 肿。k 肿。) 且刀阶的u a h t b - s p l i n e 基函数的矩阵表示( 乃) 。已知，则有： 脚，；( 糍”) 其中 一 ( h , j l 。肿1 ) = m 。( 乃) 。k 。肿1 ) ( 1 ) m 。= ol lo oo o0 oo 0o oo oo ol 10 oo o 0 o o o o 1 刀一4 o oo o oo y二。，=吉亨：三三i手 0 o 0 0 0 o 0 ol ( 乞) i i 肿- ) = ( q 叫。一历j 一历，j ，吒叶。一噍，z 一么，2 ，吒一噍，。一么。，一鹰，枷一噍，肿，) ( 2 ) 其中i 了i , n = 砉j c r 以二( 力庙 口“ 证明：由假设有关于以。的如下等式， ( 心肿。( a 砟 州( a ，以 肿i ( 力) = ( s i n , c o s ， s i n h 4 c o s h t , 广，1 ) 直接对其进行求导，我们可得 ( 形以州( ，) ，砟以肿( 吐，州) = ( c o s 4 - s i n t , c o s h 4 s i n h 4 ( 刀一4 ) 卜5 ，4 1 ，0 ) 按矩阵相乘形式可把上式表示为 1 3 5 o o o o o ，一一；o 一刀 浙江大学硕士学位论文 ( 形见。，( ) ，以肿，( ) ，以，肿( ，) ) = ( c o s t , s i n t , c o s h i , s i n h t , 尸，l ，) u 。- ! 。( 哆，k ，” ( 3 ) 其中 即 u ：，2 u 。= l 0o 0o o0 0 一lo o000 0 ol0000 000l 。oo0 0o 00 刀一400 00 00 0n - 5 0 ；i。0 0 0 0 00001 10o 0000 0 一lo 0000 o0l0000 o0o1000 oo oo l oo 刀一4 oo o oo l 0 膨一5 ；j；i。0 0o o0000 1 再由u a h t b - s p l i n e 基的导数性质司得 ( 二焉。，( 破唯焉肿。( ，) ，弼。肿。( ，) ) = ( 吉( 肛以。( ，) 一以w ( ，) ) 丢( 彤啊，( ，) 一以叶。( ，) ) ，丢( ，( ，) 一彤，。( ，) ) ) 由u a h t b s p l i n e 基的局部支柱性可知，当，( o ，瑾) 时肜 暑。和彤。( 0 兰- 0 。 同样，用矩阵表示的形式可以将上式化为 ( i f _ 4 肿。( ，) ，砟啊肿。( a ，f r o ，肿。( 力= ( j l k ，( 懊 o 属。( 力，。( ，) ) y 二肿。) 由定理的假设，阶的u a h t b - s p l i n e 基的矩阵表示吃) 。，已知，代入上式可得 ( ! 肿。( ，) ， o 珥肿。( 嘎，弼，肿。( 功 浙江大学硕士学位论文 = ( s i n ，c o s t , s i n h t , c o s h ，1 ) ( 乃) 。k l 肿1 ) 易知，向量( s i n t , c o s t , s i n h i , c o s h t , e - 5 ，4 1 ) 和向量( c o s t , s i n t , c o s h t , s i n h t , f - 5 ， ，, 1 ，) 之间的转换矩阵1 7 。，为 叼m 口2 o l lo 。ol l0 在上式中应用此转换矩阵，我们可得 ( 2 以肿，( 力，唯以肿。( ，) ，弼，肿。) = ( c o s t , s i n t , c o s h t , s i n h ，l ，) 印。( 乃) 。k 肿1 ) ( 4 比较( 3 ) 式与( 4 ) 式，可得 u ：。( 包) 。肿。) = t 7 。( 乃) 胍。y 肿。) 印( 纪k ( 肿) = u 。刀。( 乃) 。y 麒肿1 ) x m 。，= u d 7 。，所以( 1 ) 式成立 为了证明( 2 ) 武，我们在定理的假设中令，= o ，由s i n h ( o ) = o , c o s h ( o ) = 1 和 s i n ( o ) = o , c o s ( o ) = 1 可得如下关系式 ( a t _ 见肿。( o ) ，以一焉肿。( o ) ，。( o ) ) = ( o ，i o ，1 0 ，o 1 ) ( 1 ) f 肿。p f 肿。) 化简上式可得 ( 形 一+ 。( o ) ，咋焉肿，( o ) ，肿，( o ) ) = ( 厶+ 厶+ 厶l l ，左：+ 石：+ 厶i ，2 ，一，石。+ 石，肿i + 厶l 肿 。，) = ( 百+ 噍t l + 么1 ，龙+ 噍，2 + 幺2 ，_ i + 忽肿i + 么卅1 ) 又u a h t b - s p l i n e 基函数的积分定义，我们可得 彤。( o ) = 言e 彤剃( 渺 1 5 浙江大学硕士学位论文 = 吉r ( 细矽 = 吉r 缈 又有仃抽= 上o lr 彤，。( s ) d s ，又当，( 。，a ) 时彤，。( 力兰o ，所以有 ( t 以一+ 。( o ) ，以一珥肿。( o ) ，矾厅+ 。( o ) ) = ( 仃。嘎，仃：一珥知，仃。，。，仃，) = ( 仃卜 。，口：叫一，一，仃。o ) 比较关于( 彤以肿。( o ) ，以以肿。( o ) ，以，肿。( o ) ) 的两个等式可得 ( 仃。啊，0 2 - n , n s g o o ) = ( 吓+ 噍，。+ 么i ，五+ 噍，：+ h 4 2 , - - - , ，。+ 忽卅。+ 么坩。) 所以有 ( 乞) h 。肿n = ( 仃l - - n , ，噍j 一锄，仃：一喝。一鹰，z 一历，仃o ，一噍。一匀一噍, p j q l 幺，肿t ) 即( 2 ) 式成立，证毕。 在用递推方法求值的过程中，递推式的初值是必须能显式表达的否则，这 样的递推将是无意义的在用递推法求u a h tb s p l i n e 基的矩阵表示的过程中， 我们将以5 阶u a h tb s p l i n e 基的矩阵表示作为初始值。由u a h tb - s p l i n e 基 的定义，我们可以计算得到其结果如下： 命题1 五阶( 4 次) 均匀双曲三角多项式b s p l i n e 基的矩阵表示为 l ( 儿，s ( ，) ，心，s ，心，s ( ，) 肜”( ，) ，s ( ) ) 。寺( s i l l ， c 。s ，s i n h ，c o s h ，1 ) 其中 j f + ( 6 1 一彳) j 一，j + ( 彦一1 一石) f - - 一s v - ( b - ! + z ) 了 了歹+ ( 易一1 + 4 ) 孑 2 饼一功 一s c l 友一酗s 七s j 岁+ c 一功f + ( 彳一勿 歹石+ l + 诊l 了一了 歹歹一c + 6 ) 万一l + 彩 2 七一4 ( z 一彩+ 4 删= s i n h 了1 - 一s i nt ，石( ，) = c o s h r + c o s t 3 ( ) = s i n h 了t + 一s i nt ，石( ，) = c o s h 丁- c o s 彳= 以口) ，i = i ，2 , 3 ，4 ，= 石一1 j = s i n a ，f = c o s ，i = s i n h 倪， 万= c o s h a 1 6 o o ，之 石 国 吖卜了卜一-了o 参 6 2 浙江大学硕士学位论文 证明：当t e o ，a 】时，由以。( ) 的定义及等式彤( ) = 以。( ，一觑) ，可得 儿，( ，) = 上al 心，。( 舳 = 。 - l 彤o ，。( h 4 a 渺 又由形。( ，) 的非零区域和定义可以得到 ( ) = 吉。( 卅4 a ) d r = 去( c 。s h 位一，) + c 。s 一，) ) 一言 同理 ( ，) = 吉l ( 撒 = 吉巳矾“z + 3 a ) d r + 丢j c l