（应用数学专业论文）代数函数域的一些artinschreier型扩张相伴的riemannroch空间.pdf

任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o c h 空间 中文摘要 本文中，我们主要研究代数几何码的构造，q = 4 时，从w e i e r s t r a s s 半群与w e i e r s t r a s s 间断出发，得到r i e m a n n 一渤妇空间l ( 口q o + 怨) 维数方面的结果。 o1234567891 01 11 2 o1lll222233334 1l11l222233345 2ll1 1 2 2 2 34 4 4 5 6 3 l l1 2 3 3 3 45 5 5 6 7 4 2 2z 344456 6 6 7 8 5 22 2 344456 6 7 8 9 62223445677891 0 7223455678891 0l l 833456 6 7 8 991 01 11 2 933 4 566789 1 0 1 l 1 21 3 1 03 3 4 5 6 7 8 9 1 0l l 1 2 1 31 4 1 134567891 0l l1 21 31 41 5 1 24567891 0l l1 21 31 41 51 6 从表中选取适合本文定理4 1 及其推论的除子，可以得到这些特殊除子的r i e m a n n r o c h 空间。本文给出代数函数域，= v z ( y ，z ) 的一些彳砌一泓您f 盯型扩张的尺f 绷口厅，z r o c h 间并应用于编码理论。 作为应用，得到互。上参数分别是【5 4 ，4 3 】， 5 4 ，4 1 ， 5 4 ，3 9 ， 5 4 ，4 8 】的代数几何码，且 他们的最小设计距离与经典理论中的最小设计距离比较，有： g 彳bz d d ( 4 ，1 5 ) ( 1 ，7 ) ( 3 ，8 )( o ，2 ) 53 ( 3 。1 8 )( 1 ，1 0 )( 2 ，8 )( 0 ，2 ) 75 ( 9 ，1 4 )( 4 ，1 0 )( 5 。4 )( 0 ，2 97 ( 1 l ，3 )( 7 ，3 )( 4 ，0 )( 3 ，3 ) 40 扬大硕士研究生毕业论文 2 作为更一般的应用，q 可以取到任何正整数值见本文中的程序，如g = 8 ，得到巳上 粼 4 6 2 ，4 】4 】的代数几何码，其最小设计距离为6 ，而经典的最小设计距离口为0 。 第一部分是引言与结果，介绍本文的背景及其发展情况。 第二，三部分介绍相关预备知识，对本文所涉及到的概念、内容给出解释或说明。 第四，五部分得到全文的主要结果，即研究代数几何码的构造，给出一些特殊除子的 r i e m a n n r o c h 空间及其在编码理论中的应用。 关键词：代数函数域，r i e m a n n r o c h 空间，除子，空间编码。 任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o c h 空间3 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w ec o n s i d e rt h ec o n s t r u c t i o no fa l g e b r a i cg e o m e t r yc o d e s w h e n q = 4 ，s t a r t i n g f r o mt h ew e i e r s t r a s ss e m i g r o u pa n di n t e r m i t t e n t ，w ec a l lg e tt h ed e m e n s i o nr e s u l to f r i e m a n n r o c hs p a c eo fl ( 口q 0 + 肥) ol2345678 91 01 11 2 011112222 33334 11lll2222 33345 21l1l22234 4456 31l1233 3 4 55567 422234445 66678 522234445 66789 62223445677 891 0 7223455678 8 9 1 0 1 1 833456678991 01 11 2 93345667891 01 11 21 3 1 0334567891 0l l1 21 31 4 l l34 567891 01 11 21 31 41 5 1 245 67891 01 l1 21 31 41 51 6 s e l e c t i n gt h ea p p r o p r i a t ed i v i s o r sf r o mt h et a b l ew h i c hf i tt h e o r e m4 1a n di t sc o r o l l a r y , w e r e a c hr i e m a n n r o c hs p a c e so ft h e s es p e c i a ld i v i s o r s r i e m a n n - r o c hs p a c e so fk i n d so fd i v i s o r s a t t a c h e dt oa r t i n - s c h r e i e re x t e n s i o n so fa l g e b r a i cf u n c t i o nf e l d sf 2 z ( y ，z ) a r ee x p l i c i t e l y c o m p u t e di nt h i sp a p e r a sa na p p l i c a t i o n ，a gc o d e so f 5 4 ，4 3 】 5 4 ，41 ， 5 4 ，3 9 ， 5 4 ，4 8 a r ec o n s t r u c t e do v e r 五6 a n dt h e i rm i n i m u md e s i g nd i s t a n c e sc o m p a r et h ec l a s s i c a lo n e s ，s a t i s f i n g ： 扬大硕士研究生毕业论文4 g 彳bzd d ( 4 ，1 5 )( 1 ，7 ( 3 ，8 )( o ，2 )53 ( 3 ，1 8 )( 1 ，1 0 )( 2 ，8 )( 0 ，2 )75 ( 9 ，1 4 )( 4 ，1 0 )( 5 ，4 )( 0 ，2 )97 ( 1 l ，3 )( 7 ，3 )( 4 ，0 )( 3 ，3 )40 t h e r ea r em o r eg e n e r a la p p l i c a t i o n s ，i e ，qc a nt a k ea n yp o s i t i v ei n t e g e rv a l u e ，s u c ha s q = 8 ， 4 6 2 ，4 14 】c o d eo v e r f 6 4i sc o m p u t e d ，i t sm i n i m u md i s t a n c ei s6 h o w e v e r ，t h ec l a s s i c a l i so i ns e c t i o n1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r ya b o u tt h er e l a t e da leg i v e n i ns e c t i o n2a n d3 ，w ei n t r o d u c es o m ep r e l i m i n a r yr e s u l t s ，i n c l u d i n gb a s i cc o n c e p t sa n d s o m en o t a t i o n s ，m e a n w h i l ew ep r e s e n tas i m p l ed e s c r i p t i o no ft h es y s t e m s i ns e c t i o n4a n d5 ，w eg e tt h em a i nr e s u l t s ，i e ，c o n s i d e r i n gt h ec o n s t r u c t i o no f a l g e b r a i c g e o m e t r yc o d e s ，r i e m a n n r o e hs p a c e so fk i n d so fd i v i s o r sa t t a c h e d t oa r t i n - s c h r e i e r e x t e n s i o n so fa l g e b r a i cf u n c t i o nf i e l d sa l ee x p l i c i t e l yc o m p u t e di nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：a l g e b r a i cf u n c t i o nf i e l d s ，r i e m a n n - r o c hs p a c e ，d i v i s o r s ，c o d e s 扬大硕士研究生毕业论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。除 文中已经标明引用的内容外，本论文不包括其他个人或集体已经发表的研究成果。对本文 的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承 担。 学位论文作者签名：征交q 秒 签字日期溯蝴f 7 自 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部 门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。 本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关素具库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将 本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会工众提供信息服务。 学位论文作者签名：红麦画 签字日期螈阴叩日 导师签名：貔，i 飞 辩呦呷日 任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o c h 空间 5 1 引言与结果 设州1 5 , 是亏格为g = g p ) 的代数函数域，e 是它的全常数域，是一个素数的幂次。 f 的某赋值环的极大理想p 称为f 的位，代数函数域f 位的全体记为附) 。f 的位( 次 数为1 ) 的整系数线性组合称为f 的除子。如果除子g = ：。q q ，其中口，是全不为零的 整数，娩，q ，q ) 为f 的位，则称娩，q ，q ) 是除子g 的支集s u p p ( g ) ，并记 v 珐( g ) = 口，。再设g 与d 是f 的两个除子，其中d = 置+ 最+ + 只，舅，最，只是f 的次 数为1 的，1 个互不相同的位，且暑s u p p ( g ) 。除子g 的r i e m a n n - r o c h 空间三( g ) 为 三( g ) = 驴fi ( 门+ g o u o ) ，其中( 厂) = p 。p ( f ) v p ( 厂) p 表示函数厂的主除子，p 是关 于位p 的正规离散赋值。对函数域f 上的微分功，利用局部坐标，也可以类似地定义邯( 国) 。 q ( g ) = 曲为趾的微分lr e ( c o ) r e ( g ) 。 有了这些信息，g o p p a 7 构作了两类线性码，即代数几何码： q ( d ，g ) = ( 厂( 丘) ，厂( ) ，厂( ) ) ：厂三( g ) ) ( i 1 ) 里c t ( d ，g ) 是k ，k ，d 】一码，其中k = d i m l ( g ) 一d i m l ( g d ) ，d 刀一d e g g 。这里及以下 关于r i e m a n n r o c h 空间的维数是指它们作为线性空间在常数域上的维数。还有 c n ( d ，g ) = r e sp i ( c o ) , r e s p 2 0 l ，r e s p - 0 ) ：q ( g d ) j ( 1 2 ) 经典结果告诉我们( d ，g ) 是一个k ，k ，d j 一码。k = f ( g d ) 一f ( g ) ，d d e gg 一( 2 9 一2 ) ， 这里对函数域，的任一除子a ，彳的特殊化指数f ( 么) = d i m l ( a ) 一d e g a + g 一1 。关于d , d 的 结论文献 6 中做了推广，见本文定理4 1 。州巧上的所有位的个数记为n = ( ，) 。由w e i l 定理我们知道，n l + 1 + 2 9 - 4 。当代数函数域f 的亏格g 大于，( 常数域e 中元素的个 数) ，i h a r a 9 ，m a n i n 1 1 ，s e r r e 等发现w e i l 给出的界不是最优的。d r i n f e l d 与v l a d u t 给出一些渐进结果。记 n a g ) ：= m a x n ( f ) i f e 上亏格为g 的函数域) ，彳( ，) = g l i m 。n ，( g ) g 。 扬大硕士研究生毕业论文 6 我们有所谓的d r i n f e l d v l a d u t 2 界 a c l ) 以一1 。 如果，= q 2 ，i h a r a 9 与t a f a s m a n n v l a d u t 和z i n k 利用代数几何与模曲线的深刻结 果，得到 a ( q 2 ) = q - 1 。 上面的这些结果因为模曲线的复杂性，实际并不能真正在工程上应用。g a r c i a 与 s t i c h t e n o t h 3 ， 4 3 构造出一列：上的代数函数域的巨c 最c ec 使得 ! i ，m 。n ( e 。) 居( e ) = q 一1 。其中的函数域e = f z ( 而，而，) 由以下递推关系生成 碍 礤+ 确2 尚， 正是由于此迭代的渐进好的特性，我们来细致地分析函数域 f 2 z ( y ，z ) 其中y ，z 满足： i = 1 ，n - 1 ( 1 3 ) z g + z ：善 ( 1 4 ) 1 ，g 一1 + 1 本文的具体结构如下：第二，三节给出上面函数域f = 乞：( y ，z ) 的一些基本的性质；第四， 五节分别给出q = 4 和g 为任何正整数时，函数域，= t ( y ，z ) 一些除子的尺f 绷伽n r o c h 空间刻画以及g a r c i a s t i c h t e n o t h 关于设计最小距离的结果( 6 ) ，并应用于编码。我们 得到下面几个参数不错的好码： q = 4 时，f = e 6 ( y ，z ) _ ld 是此曲线上除了蜴，足外5 4 个有理点的和，则有 当g = 4 q o + 1 5 只时，则c n ( d ，g ) 是一个1 6 元的码长是5 4 ，维数是4 3 ，最小设计距离是5 的码； 当g = 3 q o + 1 8 p 。时，贝, i jc a ( d ，g ) 是一个1 6 元的码长是5 4 ，维数是4 1 ，最小设计距离是 7 的码； 当g = 9 0 0 + 1 4 只时，则c n ( d ，g ) 是一个1 6 元的码长是5 4 ，维数是3 9 ，最小设计距离是9 的码： 任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o c h 空间 7 当g = l l q o + 3 只时，则c 矗( d ，g ) 是一个1 6 元的码长是5 4 ，维数是4 8 ，最小设计距离是4 的码。 g 为任何正整数时，如9 = 8 ，f = 昆( j ，z ) 上d 是此曲线上除了绕，只外4 6 2 个有理点的 和，则有 当g = 1 0 q o + 8 6 只时，则c n ( d ，g ) 是一个6 4 元的码长是4 6 2 ，维数是4 1 4 ，最小设计距离 是6 的码。 ：fjf 表示f 啼，的a r t i n s c h r e i e r 算子由 ( “) = u 9 + u 来定义。本文考虑的函数域扩张均为a r t i n s c h r e i e r 型扩张。 扬大硕士研究生毕业论文 8 2 预备知识 定义2 1 设4 d ，称f 0 ) = d i m a d e g a + g 一1 为a 的特别指数，其中g 为v v , 的亏格。 定义2 2 设f 为数域的伽罗瓦扩张，如果其伽罗瓦群g 口z 弓) 为a b e l 群- ，则称f e 为 a b e l 扩张。 定理2 1 ( r i e m a n n r o c h 定理) 若为f e 的一个典型除子，则对v a d f ，皆有 d i m a = d e g a + 1 一g + d i m ( w 一彳) 。 定理2 2 若么d r ，d e g a 2 9 一1 ，则f 0 ) = o ，亦即d i m a = d e g a + 1 一g 。 定理2 3 ( w e i l 定理) 设z 是上亏格为g 的代数曲线，如) 表示z 上有理点的个数， 则u 匕) 一( g + 1 ) i g b 剧。 定理2 4 ( g a l o i s 扩张基本定理) 设可互是数域的伽罗瓦扩张，以。表示叫互的全部中 间域所组成的集合，以a 表示g a l ( f e ) 的全部子群组成的集合。定义映射 q o o 一人，9 ) = g a l ( f m ) ：人哼o ，矽) = f i x ( h ) 其中h ：是g a l ( f e ) 的子群，胍) = 舀efp ( 口) = 口，v o eh ， 。则 ( a ) 对于每个m ，加) = m ；对于每个日人，卯) = h 。从而妒和给出集合。 与人之间的一一对应，并且妒= 矽。 ( b ) 设q ，h 2 人，m l ，m 2 o ，则 h 。h ：铮o ( h 。) ：) m l2m ：妒1 ) 缈似2 ) 缈( 以。n m ：) 是由缈似。) 和伊似：) 生成的群，有 ，m ：) = 缈。) 厂、缈似：) 。 ( c ) 设m o ，则驯e 为伽罗瓦扩张妒似) = g a l ( f m ) 是g a l ( f e ) 的正规子群。且 任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o c h 空间 9 在这个时候 g a l ( m f ) 兰g a l ( f f t ) g a l ( f m ) 。 定理2 5 ( d p d e k i ，z d s d i f f e r e 班t h p o r e m ) d ( p 肛) = p ( p 。p ) 一1 的充要条件是p ( p l e ) - 与 e 的特征互素。特别地，当e 的特征为零时，j p p 。) = e ( p p ) 一1 。 下面的定理是a r t i n s c h r e i e r 型扩张的结果，证明参考 1 2 的第三章的定理3 7 8 。 定理2 6 ( a r t i ，l s c h r e i e ，型扩张) 设吖：是代数函数域，存在一个位p 尸p ) 使得 咋0 ) = 一m ，m 0j | g c d ( m ，q ) - - 1 记e = ，( z ) ，其中z 满足 z q + z = 则我们有 ( 1 ) 陋：，】- g ，且乞：在e 中代数封闭。 ( 2 ) 位p m ) 在e 中完全分歧，也就是仅有一个位尸p 仁) 在位p 之上，且p p p ) = q ， l l 夕b d ( p p ) = ( g 一1 x m + 1 ) 。 ( 3 ) 设r p p ) ，如果有“f ，使得v r 白一“一“。) 0 ，则位尺在扩张可f 上不分歧。特 别地，当1 ，足0 9 ) 0 时，r 是不分歧的。 ( 4 ) 位q 凇) 是国一厂的一个零点，7 ，方程口9 + 口= y 在z 中有g 个不同的解， 且对每个这样的口，存在唯一的一个皱p 伍) 位于q 之上，并且q 是z 一口的零点；特别 地，位q 在e 中完全分裂。 扬大硕士研究生毕业论文 1 0 3 函数域f = ：，z ) 的一些基本刻画 假设f = 乞z ( y ，z ) ，其中y ，z 满足 先来考察其上的有理点的个数。 舢z = 歹y ：可q 弓i 理3 1 对v 口。，否g 击。 证明：当口= 0 时显然。 当口。时，( - 罢备) 9 = i 嘉芸石，由口乞：，易知口矿= 口，所以 熹= 志= 南瑚是c 南卜禹南吩 引理3 2 对v 口：，满足方程9 + = i 筹_ 的一定在，中。 证明：由引理3 1 ，i g ：石，所以9 + 。就有( 9 + ) 9 = 9 + ， 从而有9 2 = 夕，即有夕f ：。 反过来，也有 引理3 3 对v ：，有9 + ；进而满足9 + = i g 毛的口一定在：中。 证明：，r - - , a 。( 9 + ) 9 _ - p 9 2 + 9 = + 9 ，从而有9 + 。由 此即有i 箬三= i g 击，就有2 叼= 。当口= 。时，显然有口：；当口。，就 有口矿= l ，也有口z 。 由上三个引理，不难得到 引理3 4 ，= 乞：( y ，z ) 上的有理点共有q 3 _ q 2 + 2 q 个，其中z q - i - z = 了丁y q 石。 任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o c h 空间1 1 证明：v 口：，只要a q - l + 1 0 就有g 个z 乞：满足方程z g + z = i g 鲁，容易知道， 关于z 的多项式厂( z ) = z g + z i 吕鲁，关于z 的导数厂。( z ) = r ，从而厂( z ) 没有重根。而对 满足口p 1 + 1 = 0 的q 一1 个口，得到，上的q 一1 个有理位( 尹e 格证明需要引理4 1 ) ，再加 上无穷远点，就得到f = ：( y ，z ) 上的有理点共有g ( 9 2 一g + 1 ) + g l + l = q 3 一9 2 + 2 9 个。 注3 - 1 常数域二次扩张：f , f r o b e n i u s 映射为 c ：口h 口9 ，口f 2 是这两个常数域扩张的g a l o i s 群的唯一非平凡元。口f z 在此扩张下的迹与范分别为 t r ( a ) = 口9 + 口，n o r m ( a ) = 口州。熟知迹与范是z 到的映射，由此结果引理3 卜3 3 的前一半不证自明。 为说明下面结果，再引进记号 q - 扛f ：p 9 + 口= o j ( 3 1 ) 引理3 5q 是q 元关于普通加法构成的a b e l 群( 适合交换律的群) 。 此引理容易证明。我们要强调的是，只要：的特征不是2 ，q 一 o 关于普通乘法不封闭也 就不构成群。 引理3 6f = f z ，z ) 如上，则 ( 1 ) t f ：f ：) j = p ：f ：( z ) | = g 。 ( 2 ) 吖z ) ，叫f z ( z ) 均为么施f 扩张，且扩张的国面括群均同构于9 元加法彳6 p z 群q 。 ( 3 ) 州f z ( y ) 上的自同构：孙专z + 口，口q ； 吖z ( z ) 上的自同构：yh 再茜，口q 。 证明：( 1 ) ，( 2 ) 的证明由经典g a l o & 理论容易得到。 ( 3 ) 只要验证两个自同构的复合对应着q 中元素的和。 扬大硕士研究生毕业论文 1 2 4 函数域f = e 。( y ，z ) 的一些除子的r i e m a n n r o c h 空间及应用 本小节中的函数域f = v z ( y ，z ) ，其中y ，z 满足 舢z = 尹y i q ( 4 1 ) 同第二币o q 由式( 3 1 ) 定义，q = q 一 o ) = 讧v ：i 口州= 一l 。 引理4 l 代数函数域f = v z ( y ，z ) ，其中y ，z 满足式( 4 1 ) ，则我们有 ( 1 ) y 在f ) 中有唯一极点只，, 雌v v ：) 中的扩张完全分歧，仍记为己。 ( 2 ) v a q ，y 一口在f ) 中有唯一零点只，, 雌v v ：) 中的扩张完全分歧，仍记 为只。 ( 3 ) v y q ，y 与z 一7 有唯一的公共零点q ，。 ( 4 ) y 一口，z 一7 ( a ，7 q ) 的主除子如下： ( y ) = g g 只 ( y 一口) = g 只一g 只，v a q ( z 一厂) = q q ，一只一艺，v 厂q 。 ( 5 ) f 在：( y ) 中分歧的位仅有只及只，口q + ，且差分指数 d ( 巴) = d 0 乙) = 2 ( q 一1 ) 。 ( 6 ) f 在：( z ) 中分歧的位仅有q ，厂q 。 证明：注意到 坳= 走- t - 2 南 z 9z ll ( z y 与 y r l + 1 = 兀( y - - t z ) 任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o c h 空间 1 3 不难得到( 1 ) 一( 5 ) 的证明( 4 引理3 2 ) 。k 己c o = y ，则f = ，( c o ，z ) ，且有 功g + 缈= 瓦1 得形：) 分歧的位正好是z y 的零点，厂q 。 引理4 2 设除子a ，b ，e 满足： ( 1 ) 0 ) s 三 ) ( 2 ) e 0 ( 3 ) 咋0 ) = 咋p ) ，v p s u p p ( e ) 则有 证明：参见文献 6 引理2 1 。 此引理用两次得到 引理4 3 设除子a ，b ，e 满足： ( 1 ) 0 ) = 三佃) ( 2 ) e 0 ( 3 ) 咋0 ) = 咋p ) ，v p e s u p p ( e ) 则有 一h ( z 一y ) ，e q 0 一e ) l ( b e ) 。 l ( a 层) = l ( b e ) 。 定理4 1 设除子d = 日+ 昱+ + 乞，代数函数域，上的四个除子a ，b ，c ，z 满足 ( 1 ) ( s u p p ( a ) us u p p ( b ) u s u p p ( c ) us u p p ( z ) ) ns u p p ( d ) = ( 2 ) 0 ) = 五0 一z ) 且三0 ) = p + z ) ( 3 ) ) = 三p ) 若g = a + b ，则码( d ，g ) 的最小设计距离d 满足 d d e g g 一( 2 9 一2 ) + d e g z + g 0 ) 一i ( g c ) ) 。 证明：见文献 6 定理2 4 。 扬大硕士研究生毕业论文 1 4 推论4 1 设除子d = 墨+ 另+ + 只，代数函数域f 上的除子彳，b ，z 满足 ( 1 ) ( s u p p ( a ) us u p p ( b ) us u p p ( z ) ) ns u p p ( d ) = ( 2 ) z o ，0 ) = 0 一z ) 且p ) = l ( b 十z ) 若g = 4 + b ，则码p ，g ) 的最小设计距离d 满足 d d e g g - ( 2 9 一2 ) + d e g z 。 需要说观的是，定理4 i 串鹩条件0 ) = 如一z ) ，啦) = 如+ z ) 告诉我们介子a z 与彳之间的点实际上是所谓的彳一间断点，介于b 与b + z 之间的点实际上是所谓的b 一间 断点。这是古典单点w e i e r s t r a s s 间断的多点推广，此方面文献可以参考文献 5 ， 8 及其 后参考文献，而此定理将这些结果包罗了，足见定理4 。1 是一个功能强大的工具。 这里的代数函数域f 为a r t i n s c h r e i e ，型扩张，在乞z 上有理点的个数均为 q 3 + 2 2 q 。一般地，很难求出函数域扩张的整基，也就不容易将一般的除子辛目应昀 r i e m a n n r o c h 空间给刻画清楚。另外，对于整环的整扩张，如s u z u k i 曲线和h e r m i t e 曲 线，已经有好的算法求其r i e m a n n r o c h 空间( 见 1 ) 但此方法不适合这里的代数函数域 f 。事实上，文献【6 中的饼子均是由m a g m a 软件计算出的参数，如一些除子的 r i e m a n n r o c h 空间及其维数等。 作为应用我们来计算代数函数域f 的一些特殊除子的r i e m a n n r o c h 空间。取q = 4 ， 即考虑的代数函数域为f ；互。，z ) ，其中y ，z 满足z + z = 而y 4 。前面第三节结果知道， f 在曩6 上有, 5 6 个有理点。g a r c i a3 t i c h t e n o t hc 铝中已经计算出f 的亏格为g = 9 除子d 是此曲线上除了q o ，只之外其它5 4 个有理点的和。由定理4 1 ，记国是互。的一个3 次本 原单位根，如果五是e 。的本原元，可以取国= h 5 。 由引理4 1 我们知道 ) = a o + g + q 二+ q 二：一4 只 一1 ) = 4 只一4 只，一t o ) = 4 p o , 一4 r ，( y c 0 2 ) = 4 乞：一4 圪 ( z ) = 4 q o 一只一日一圪一乞， 任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o c h 空间1 5 从雨容易得到 ( z 一缈) = 4 线一只一只一只一乞： ( z 一功2 ) = 4 q 二：一只一丘一一乞： ( z 1 ) = 4 q , 一只一日一巴一乞：。 ( 爿= - 4 绕+ 只+ 只+ 圪+ 乞： ( 考) = 。绕一3 只+ 幺+ 既+ 线：+ 只+ 己+ 乞： b ) = 一7 q o 一2 只+ q 。+ 瓯+ g ：+ 2 只+ 2 乞+ 2 乞， ( 等 = 一，。q o 一5 只+ 2 9 + 2 q + 2 或，+ 3 # + 3 乞+ 3 乞：。 由这些主除子，我们将等，口，6 ，= 。，l ，2 ，3 ，4 ，5 的主除子见下表。需要说明的是，计算 r i e m a n n r o c h 空间，只要利用下表及定理4 1 即可。 ) = q o - 4 & + g + 瓯+ 眈： 2 ) = 2 q o 一8 圪+ 2 q l + 2 q 二+ 2 q ： ( y 3 ) = 3 q o 一1 2 p 。+ 3 q 。+ 3 玩+ 3 线： 4 ) = 4 q o 一1 6 p 。+ 4 q i + 4 见+ 4 q ：； ( 当) = _ 4 鳊+ 圪+ 只+ 艺+ 乞： ( 吉) = 一8 q 。+ 2 最+ 2 舅+ 2 吃+ 乞： ( 专 = 一，2 姨+ 3 只+ 3 鼻+ 3 只+ 3 乞。 ( 专) = 一- 6 绒+ 4 圪+ 4 置+ 4 圪+ 4 乞：； 扬人硕士研究生毕业论文 1 6 ( y ) = - 3 q 0 3 只+ q l + q 。+ q o ：+ 鼻+ + 乞， 一2 绕- 7 p , 。+ 2 q l + 2 线+ 2 z + 蟛 一q o - l l p 。+ 3 q l + 3 q 心州+ 艺屿 ( - 等3 = - 1 5 p 。+ 4 q + 4 线+ 4 q o ：+ 量+ + 艺： ( 砉) = 一7 绋一2 只+ q l + 线+ q o ：+ 2 只+ 2 只+ 2 乞： ( 等 = 巧绕- 6 p 。+ 2 q l + 2 包+ 2 眈：+ 2 日+ 2 巴+ 2 乞： ( 詈 = 一5 q o 一。只+ 3 q l + 3 q + 3 q ：+ 2 # + 2 + 2 艺： ( 罟 = - 4 q 0 一4 只+ 4 q l + 4 q + 4 眈：+ 2 只+ 2 只+ 2 乞：； ( 寺) = 一l l q 。一只+ q l + 线+ q o ：+ 3 舅+ 3 巴+ 3 艺： ( 等) = 一。q o - 5 p 。+ 2 q + 2 线+ 2 绒：+ 3 异+ 3 乞+ 3 艺： ( 乒 = 一9 q o - 9 p , o + 3 q l + 3 绒+ 3 眈：+ 3 只+ 3 + 3 艺： ( 号) = 一8 岛- 1 3 p 。+ 4 9 + 4 级+ 4 q m ：+ 3 只+ 3 己+ 3 艺：； ( 岁) = 一1 5 q o + q i + 瓯+ q 。：+ 4 互+ 4 巴+ 4 艺： 任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o c h 空间 1 7 由上取 ( 等 = 一，4 q o - 4 p 。+ 2 9 + 2 线+ 2 线：+ 4 舅+ 4 艺+ 4 乞： ( 导) = 一- 3 绕一8 只+ 3 q l + 3 q + 3 眈：+ 4 异+ 4 吃+ 4 乞： ( 号) = 一t 2 q 0 一2 足+ 4 q l + 4 线+ 4 q ：+ 4 只+ 4 巴+ 4 乞： ( 导) = 一- ，q o 一6 只+ 5 蜴+ 5 线+ 5 眈。+ 4 只+ 4 只+ 4 乞：； 皓) = 一1 6 q o - l i p * * + 4 q i + 4 瓯+ 4 眈：+ 5 鼻+ 5 只+ 5 乞： ( 等) = 一t 5 q o - 1 5 p 。+ 5 9 + 5 瓯+ 5 眈：+ 5 弓+ 5 乞+ 5 艺：； 3 + 1 ) z ) = 4 q o 一1 3 p = + 3 层+ 3 幺+ 3 e ： 3 + 1 ) = 一1 2 p 。+ 4 p t + 4 p 。+ 4 乞，。 a = q o + 7 只，z = 2 e ：，b = 3 9 _ 0 + 8 只，g = 4 q o + 1 5 只 现在我们从w e i e r s t r a s s 半群与w e i e r s t r a s sl 司断出发，得到上面除子的r i e m a n n r o c h 空间 维数方面的结果。 设o 是非负整数集，p 是有理位，日( 尸) = k n o 降弩f ，使得c 厂l = 卯) 是尸的 w e i e r s t r a s s 半群，g ( 尸) = n o 日( 尸) 是尸的w e i e r s t r a s s 间断集。设置和昱是两个有理位， 日亿，忍) = 敞，) o 0i 存衫f ，使得驴l = 媚+ 艘 是有理位对( 日，) 的 w e i e r s t r a s s 半群，g 亿，最) = o n o 日化，最) 是化，) 的w e i e r s t r a s s 间断集。对每个 g ( 罡) ，令= m i n 缸0 | 存蓟f ，使得驴k = 咄+ 职 ，则b 口是g ( 罡) 到 g ( p ，) 的一一对应。e r ( e , ，b ) = 敝卢，l g 眨) 。 扬大硕士研究生毕业论文 1 8 因此口l i = 1 ，口7 = 2 ，o c 3 = 3 ，4 e h ( q o ) 。由于 吼嘞枷只，吼咆毗， 因此口l o = 5 ，瓯= 6 ，口2 = 7 ，8 h ( q o ) 。由于 吼咖城，吼圳州只， ( 乳= 7 9 域， ( 乡) 。= g 嵋 因此口9 = 9 ，= 1 0 ，弼= l1 。则 g 包) = 1 ，2 ，3 ，5 ，6 ，7 ，9 ，10 ，11 ( _ 13 。= 8 9 r ( q o ，只) = ( 1 ，1 1 5 ( 2 ，7 1 ( 3 ，3 5 ( 5 ，1 0 ) ，( 6 ，6 ) ，( 7 ，2 5 ( 9 ，9 5 0 0 ，5 5 ( 1 1 ，1 ) ) 。 r ( q o ，只) 连同日( q 0 ) 及日亿) 分布如下： 0l234567891 01 11 2 o 宰宰木木 l 木 2 木 3 木 4 木 5 木 6 宰 7 木 8 幸 9 车 1 0 木 1 1 木 1 2 木 任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o c h 空间1 9 如果驴) 柚= 口。q o + 屈只，q ) 。= 口：q o + 屈只，并且q 口：，届 2 9 一1 ，所以经典r i e m a n n r o c h 定理告诉我们，三( g ) 的维数是 d e g g g + l = 11 。再由码c 厶，g ) 的维数结果( 见文献 7 ，p 4 5 ) ，后= 刀+ g 一1 一d e g g = 4 3 。 这样我们得到一个1 6 元【5 4 ，4 3 一码c n ( d ，g ) ，其中g = 4 q o + 1 5 只，d 是f = e 。，z ) 上除 了纹，圪之外的5 4 个有理点的和。 因为0 ) 0 一z ) ，三p ) s p + z ) ，接下来我们验证是否有，0 ) = ，0 一z ) ， z p ) = z p + z ) ? 下面给出r i e m a n n r o c h 空间k q o + f l p 。) 的维数： 扬大硕十研究生毕业论文 01 2 3 4 5 6 78 91 01 11 2 o l lll2 2 2 2 33334 1 1 111222233345 21lll222344456 3 l 11 2 333455567 42223444566678 52223444566789 62223445677891 0 7223455678891 0l l 833456678991 01 11 2 9 3 345667 8 91 0 1 l 1 21 3 1 0334567891 01 l1 21 31 4 1 l3456 7 891 01 l1 21 31 41 5 1 2 45 6 7 8 9 1 0 1 l 1 21 31 41 5 1 6 由上表知必然，0 ) = z 0 一z ) ，p ) = ，佃+ z ) ，所以三0 ) = 三0 一z ) ，p ) = 三p + z ) 。 另外，还是在此曲线上取 a = o o + 1 0 只，z = 2 圪，b = 2 9 _ 0 + 8 圪，g = 3 q o + 1 8 p o 由上述表格有0 ) = l ( a z ) ，l 0 ) = l ( 8 + z ) 。由定理4 1 及( 见文献 7 ，p 4 5 ) ，此时 c 矗( d ，g ) 是一个1 6 元【5 4 ，4 1 一码。 再在此曲线上取 a = 4 绕+ l o 只，z = 2 圪，b = 5 9 + 4 只，g = 9 q o + 1 4 p o 由上述表格有0 ) = l ( a z ) ，p ) = 三佃+ z ) 。由定理4 1 及( 见文献 7 ，p 4 5 ) ，此时 c ( d ，g ) 是一个1 6 元【5 4 ，3 9 1 一码。 再看一特殊例子 a = 7 q 0 + 3 只，b = 4 q o ，z = 3 q o + 3 只，g = 11 q + 3 只 由上述表格知，0 ) = ，忙) ，所以0 ) = 佃) 。由定理4 12 乏( e 3 c n 7 ，p 4 5 ) ，c q ( d ，g ) 是 一个1 6 元【5 4 ，4 8 一码。 任文妮：代数函数域的一些a r t i n s c h r e i e r 型扩张相伴的r i e m a n n r o e h 空间 2 1 由定理4 1 及其推论我们知道码c n ，g ) 的最小设计距离d 满足 d _ d e g g 一( 2 9 一2 ) + d e g z ，与经典理论中的最小设计距离d _ d e g g 一( 2 9 一2 ) 作比较，我 们有： g么曰zd 矗。 ( 4 ，1 5 )( 1 ，7 )( 3 ，8 )( o ，2 ) 53 ( 3 ，1 8 )( 1 ，1 0 )( 2 ，8 )( 0 ，2 ) 75 ( 9 ，1 4 )( 4 ，1 0 )( 5 ，4 )( o ，2 ) 97 ( 1 l ，3 )( 7 ，3 )( 4 ，0 )( 3 ， 3 )4o 这些码的参数可以与h e r m i t e 曲线和s u z u k i 曲