（应用数学专业论文）二阶时滞差分方程周期边值问题和周期解问题的单调迭代法.pdf

独创馁声明 零天声鹤羼墨变豹攀寝谂交甍零人在导爨辫导下避褥藜蕊窕工 作及取褥的研究成果。据我所知，除了文中特制加以标注和致谢的撼 蠢静，谂文啦不包会其德入已经发裘戏撰驾过的研浅成果，嘏不煺食 淹获黎黎j 软薅菠夫擎鼗其照裴喜惑籀熬学霞凌浚器蠢捷臻遥熬耪辩。 与我一鬻王律豹葡崽对本研究嚣徽麓经褥贡靛稳惑窿论文孛襻了臻 确的说明并寝示谢意。 擎穰稔文露者蓥名：蓬嶂霹蘩：叠型幽 攀健i 各3 e l t i 毂键耀授较书 零攀霞瓷交终囊宠垒了瓣泰麓舞蕊大学考关铩粼、捷矮擎使谂交 戆攫蹩，秘；零l 基簿藜大学有蔽镰辩并肉覆豢豢甍薅门或鬟耩送交学 位论文的黧印件和磁嫩，允许论定被畿隗和借阕。本人授权东j b 褥藩 大学霹激将游经论文驰愈部或部势内瓣缩入鸯关数撼痒进纷梭索，磷 驻蘩楚影秘、黎露矮蒺窀燮赣手襄爨誊、莲臻攀燕稔文 确密鹣学位稔窝程解整后遥穗本瓣祆勒 学绽谂嶷 王穆零霞 逶诫堍敬 魏趣蚓 糕嶝7 巾 辩壤；阜卑 摘要 本论文用单调迭代法研究下面二阶时滞差分方程周期边值问题和周期 解问题解的存在性、一 考虑下面的周期边值问题( p b v p s ) ； j 一2 9 ( 一1 ) = s ( k ，9 ( 七) ，y ( k 一7 - ) ) ，k 1 ，2 ，- 一，丁 = ， 1g ( o ) = ( t ) ，y ( 1 ) = 掣( t + 1 ) ， 其中a y ( k ) = u ( k + 1 ) 一( 女) ，r z o ，o o ) ，c ( i r 2 ，r ) ( ，是从 拓扑空间i r 2 到拓扑空间r ( 这里的拓扑是离散拓扑) 的连续映射) 考虑下露的时滞差分方程的t 周期解： 2 y ( k 一1 ) = ( k ，( ) ，( 女一r ) ) ，k z ( 一。，+ 。o ) 其中f e ( z ( 一o o ，+ ) x r 2 ，r ) ，( t ，让，u ) = f ( t + t ，u ， ) ，t z 1 ，o 。) ，t z o ，。) 关键词：周期边值问翠；周期锣；上下解；存在悔单调迭优法 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ee m p l o ym o n o t o n ei t e r a t i v e t e c h n i q u et os t u d yt h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rs e c o n do r d e rp e r i o d i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e ma n d p e r i o d i cs o l u t i o n so fd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s w ec o n s i d e rt h e f o l l o w i n gp e r i o d i cb o u n d a r yv a l v ep r o b l e m s ( p b v p s ) ： j 一金2 y ( k 一1 ) = ，( ，( ) ，( r ) ) ， 1 ，2 ，- 一，t ) = 【( o ) = ( 丁) ，y ( 1 ) = y ( t + 1 ) ， w h e r e a y ( k ) = y ( k + 1 ) 一可( ) ，r z o ，) ，f c ( z r 2 ，r ) ( i e ，i s c o n t i n u o u sa sam a pf r o mt h et o p o l o g i c a ls p a c e ，r 2i n t ot h et o p o l o g i c a l s p a c er ( o f c o u r s et h et o p o l o g yo ni ，w i l lb et h ed i s c r e t et o p o l o g y ) ) i nas i m i l a rw a y ，w ec o n s i d e rt h e t p e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n g d e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ： w h e r e z 1 ，。) 一a 2 y ( k 一1 ) = f ( k ，g ( ) ，y ( k 一7 - ) ) ，k z ( 一，+ 。) ，e ( z ( 一o 。，+ o o ) r 2 ，r ) ，f ( t ，u ，u ) = f ( t + t ，u ，u ) ，t r z o ，o 。1 k e y w o r d s ：p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n ；e x i s t e n c e ；m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e 3 1 引言 在八十年代，g s l a d d e ，v l a k s h m i k a n t h a m ，a s v a t s a l a 等人 用上下解方法和单调迭代法研究了一阶、二阶常微分方程周期边值问题解 的存在性和对解的估计，参见专著 7 v l a k s h m i k a n t h a m 又提出了如何 把上下解方法和单调迭代法推广到泛函微分方程( f d e s ) 的周期边值问题 和周期解问题 在1 9 8 7 年和1 9 9 4 年，文献【3 】和【9 用上下解方法和单调迭代法研 究了下面的一阶周期边值问题 y l ( t ) = f ( t ，y ，轨) ，y ( o ) = y ( t ) 但在这两篇文章里，均要求f ( t ，u ，毋) 对第三个变量需要单调性条件 在1 9 9 6 年，文献 1 0 】e l i z 和j n i e t o 利用单调迭代法研究了一阶 泛函微分方程( f d e s ) 的周期边值问题，在此文中，对第三个变量不需要 单调性条件，但需要下露线性泛函微分方程( f d e s ) 解的存在性与唯一性： 印) + m y ( t ) + n y ( w ( t ) ) = 口( t ) ，t i ， y ( t ) = ( t ) ，t 【一r ，o l ， 其中m 0 ，n 0 ，盯c ( i ，r ) 且毋e ( 【一r ，o 】，r ) 在2 0 0 2 年，文献【4 d j i a n g 和j w e i 用上下解方法和单调迭代法把 上述结果推广到二阶泛函微分方程( f d e s ) 周期边值问题和周期解问题， 并且，对第三个变量不需要单调性条件 据作者所知，有少数学者用上下解方法和单调迭代法研究了差分方程 周期边值问题和周期解问题，参见 1 ，2 ，8 ，1 1 1 6 但是时滞差分方程周期 边值问题和周期解问题的工作尚不多见最近，d j i a n g ，l z h a n g 和r p a g a r w a l 用上下解方法和单调迭代法研究了一阶时滞差分方程周期边值 问题和周期解问题 4 本文结合i 4 】和f l7 j ，厢土下解方法和单调迭代法研究二阶时滞差分 方程蜀期遗像阏题秘餍浆释问题勰匏存雀性。 给您整数n ，6 并融a 0 ，n 0 使得 ( i ) 一a 2 ( 一1 ) + m y ( k ) + n y ( k r ) 兰0 ， k ，7 z o ，o o ) ， ( i i ) y ( o ) = ( t ) ，y ( 1 ) sy ( t + 1 ) ， ( i i i ) y ( o ) = y ( 七) ，k z f 一7 _ ，o ， ( i v ) ( m + n ) 孚 1 则对于v k z _ r ，习，都有( 七) 芝0 证明：用反证法。假设存在某些k z 一r ，丁】，有v ( k ) 0 充分考 虑下面的两种情况 情况1 ：在z 0 ，卅上有v ( k ) s0 ，y ( k ) 0 在这种情况下，有( o ) = g ( t ) ，v ( 1 ) ( t + 1 ) ，a y ( 0 ) sa y ( t ) ，2 ( k 一 1 ) 0 ，k i 这样在z 0 ，t 上y ( k ) = 常数e 0 ，于是 0 - a 2 y ( k 一1 ) + m y ( k ) + n y ( k t ) = ( m + n ) c 与c 0 且v ( k 2 ) 0 存在ez ( o ，t ) 使得 y ( k o ) 2 k 珊) ( ) o 因为 2 y ( k 一1 ) ( m + ) 9 ( ) ，女z 1 ，k o 】 6 对上面不等式从诺 0 使得 ( i ) 一a 2 y ( k 一1 ) + m y ( k ) + n y ( k r ) 0 ，k ，r z o ，。) ( i i ) y ( o ) = ( 丁) ，9 ( 1 ) y ( t + 1 ) ， ( i i i ) y ( o ) = ( ) ，k z 【_ 丁，o 】， ( i u ) 摧斋 1 ，其中a l _ 趔学 则对于v k z 【_ r ，丁】，都有y ( k ) 0 证明用反证法假设存在某些k z - r ，t 有y ( k ) 0 ，考虑下面 两种情况 情况1 ：在z o ，t 】上y ( k ) 0 ，y ( k ) 0 在这种情况下，有y ( 0 ) = ( t ) ，( 1 ) s ( 丁+ 1 ) ，a y ( 0 ) sa y ( t ) ，2 y ( k 一 1 ) 0 ，k i 这样在z 0 ，t 】上y ( k ) = 常数c 1 a ：+ 1 v ( k + 1 ) 一( 2 + m ) a v ( k ) + a 一1 u ( 一1 ) ( ) ，k z 1 ， 注意：( 2 + m ) a l = 1 + a ，于是 a ：+ 1 ( + 1 ) 一( 1 + a 2 l ，n k l 一1 ( ) + a 1 u ( 一1 ) y ( f ) ，k z 1 ，k o 也就是， 酬旷去酬_ 1 ) s 一u 吲a kez 1 ， 令札( ) = u ( ) ，则有 也就是 于是 u ( 旷击u ( - 1 ) 冬一”吲n k 叫1 ( a ：( k - 1 ) u ( 一1 ) ) sa ：一1 g ( ) ，k z 1 ：k o ( a ；a v ( k 一1 ) ) 冬a ：一1 可( ) ，k z 1 ，k o 9 对上面不等式从( 0 ，有 一a ：( k - 1 ) a v ( k 一1 ) a ：h a v ( k o ) 一a ：( k - 1 ) a v ( k 即， 如( k - 1 ) 曼糌( a ：o - 2 k + l a 一，女z ( 泓。 对上面不等式从+ 1 到k o 求和，有 也就是 即 ( f ) 一u ( 。) n i y ( ) 1 a 一1 k o ( a i 。一2 k + t n l k = + 1 吣，糌c 等竿+ 些籍攀， 胀瓣) 志壁专竿型 1 s 格划学 = 淼止帮墨垫 = 落湍蒜每( l 一1 ) 2 ( 1 + 1 ) ( p 、) 三豢誉挚 s 毋蒜 ” ，斧蒜， 与条件( i v ) 矛盾 情况2 2 ：v ( o ) = y ( t ) 0 存在k o z o ，t 】使得 y ( 女。) 2k m z f o i n ，r 1 ( 女) o ，( 。一1 ) o b 础 可 o - 这样 一2 y ( 一1 ) + m y ( k ) 一 ) ， k 当 k o 令 ( ) ：a ! u ( ) ，a 2 ：a i l ：2 + m - i v _ 而+ 一m 2 同上面一样，有 ( a ；忙一”a v ( k 一1 ) ) a 2 1 g 任) ，k j 对上面不等式从k o 到k ( k o k 0 使得 ( 2 ) 一2 v ( k 一1 ) + m y ( k ) + n y ( k 一7 - ) 0 ，k z ( 一o 。，+ o 。) ， ( i i ) ( m + | v ) 譬 1 则对于v k z ( 一o 。，十。o ) ，都有v ( k ) 0 证明用反证法假设存在某些女z o ，t 】，有v ( k ) 0 ，n 0 使得 ( i ) 一2 y ( k 1 ) + m y ( k ) + n y ( k 一7 - ) 0 ，k z ( 一o o ，+ o o ) ， ( i i ) 替龋 1 ，其中a l = 蚍叫2 殛婴 则对于v k z ( 一o o ，+ ) ，都有y ( k ) o 证明类似定理2 2 的证明，可以证明定理2 2 + 1 3 5 3 二阶时滞差分方程周期边值问题的单调迭代法 为研究( 1 1 ) 的单调迭代法，首先考虑下面线性方程p b v p s ： f 一2 ( 一1 ) + m y ( k ) + n y ( k r ) = 口( ) ，k i ， ( o ) = ( 丁) ，y ( 1 ) = y ( t + 1 ) ，( 3 1 ) 【y ( o ) = ( ) ， kez 一r ，o l ， 其中1 9 c ( i ，r ) 定义 e + = e ：y ( k ) = ( o ) ，v k z 一r ，o m 其中e 在第二节有定义令e + 带有范数 i l y l l 一脚m h a x 丁】l y ( k ) i ， 则e 是一个巴拿赫空间 如果函数o e + 满足条件 一2 0 ( 一1 ) + m a ( k ) + n a ( k r ) 冬j ( ) ， k i ， o ( o ) = n ( 丁) ，a ( 1 ) a ( t + 1 ) ( 3 2 ) 则称oee + 是( 3 1 ) 的下解，类似上面可以给出( 31 ) 上解的定义 若o ，p e + ，对所有kez - t ，t 】，都有o ( ) 卢( ) ，就记作： a 茎卢 定义 【n ，卢】= yee + ：o 茎9 茎a ) 定理3 1 假设( 3 1 ) 存在：- - + - v 解。和一个上解卢使得。冬卢，并且 满足定理2 1 中的条件( i v ) ，则( 3 1 ) 存在唯一一个解y eb ，升 1 4 证明考虑p b v p 2 y ( k 1 ) + m y ( k ) = 一n p ( k ，y ( k 一7 - ) ) + 口( 自) ， v ( o ) = g ( 丁) ，v ( i ) = v ( t + 1 ) ， y ( o ) = ( ) ， k z 【_ r ，o 】，( 31 ) + 其中 fo ( 女) ，i f z 卢( 女) 容易验证p ：，xr _ o l ，纠是连续的 定义算子西：e + _ e + m ，= 爱僦雅僦搿二辨勰k e z 0 , t , ， ( 3 3 ) 其中 啡圳套簿磐j 蠹 k “ 其中a l ，a 2 与定理2 1 + 一样 容易验证：e + _ e + 是连续的 因为一n p ( k ，u ( k r ) ) + 盯( 女) 在j 上是有界的，则在j 上是有界 的由b r o u w e r 不动点定理可知，算子母存在一个不动点y 就是( 3 1 ) + 的 一个解y e + 下面证明y 【o ，纠 首先证明y o 令u ( k ) = ”( 女) 一o ( ) ，k z 【一r ，r 因为 p ( k ，v ( k r ) ) 一q ( 一7 _ ) m a x k j u ( 一下) ，o ，则根据上下解定义，有： ( i ) 一a 2 u ( k 一1 ) + m u ( k ) + n m a x k e 札( 一r ) ，0 ) 0 ，k ， ( i i ) u ( o ) = u ( t ) ，札( 1 ) u ( t + 1 ) ， ( i i i ) u ( o ) = u ( ) ，k z 【一下，o 】， ( i v ) ( m + ) 孚 1 用反证法假设存在某些k z 卜7 _ ，t 】，使得( ) n ( 七) ，考虑下面两种 情况 情况l ：在z o ，t 上u ( k ) s0 ，“( ) 0 在这种情况下，有u ( o ) = 札( t ) ，u ( 1 ) su ( t + 1 ) ，a 2 u ( k 一1 ) s0 ，k ，这样在z o ，t 上札( ) = 常数c 0 n 0 ，满足： ( 日1 ) 当q ( 七) 冬u l i t , 2sp ( 七) ，a ( k f ) sv l 0 2 卢( 七一下) 时，有 i ( k ，u 2 ， 2 ) 一f ( k ，u 1 ， 1 ) 一m ( u 2 一u 1 ) 一n ( v 2 一 1 ) ， k i ， ( 玩) ( m + ) 譬 0 ，n 0 满足： ( h 1 ) 当o ( 女) su ls 札2 卢( ) ，a ( 女一r ) 墨 lsv 2 z ( k 一7 - ) 时，有 i ( k u 2 2 ) 一f ( k ，u 1 ，u 1 ) 一m ( 钍2 一u 1 ) 一( u 2 一u 1 ) ，k ， ( h 2 ) 杀蒜 0 ，n 0 满足： ( h 1 ) 当o ( 南) u 1 u 2 卢( 七) ，a ( 七一7 _ ) v l 2s 卢( 七一丁) 时，有 ( k ，u 2 ，口2 ) 一i ( k ，u 1 ，u 1 ) - m ( u 2 一 1 1 , 1 ) 一n ( v 2 一v 1 ) ，z ( 一，+ ) ， ( 凰) ( m + ) 等 0 ，n 0 满足： ( 1 ) 当o ( 膏) 札1 u 2 臼( 后) ，乜( 七一下) ”1 冬 0 2s 卢( 七一7 - ) 时，有 ，( k ，u 2 ， 2 ) 一i ( k ，u l ， 1 ) 2 - m ( u 2 一u 1 ) 一n ( v 2 一v 1 ) ，k z ( 一o 。，+ ) ( 仍) 斧精 1 ，其中a ，= 她字 令n 。2 。和风= 卢，则在区间【a ，剜上存在单调不减序列 。) 和 单调不增序列 风) ，单调一致地收敛于问题( 1 2 ) 的t 一周期极值解 2 1 参考文献 1 r p a g a r w a l ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n di n e q u a l i t i e s ，m a r c e ld e k k e r n e wy o r k 、1 9 9 2 ， ac a b a d aa n dv o t e r o e s p i n a r ，o p t i m a le x i s t e n c e r e s u l t sf o rn t h o r d 8 7 p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ed i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，jm a t h a n a l a p p l 2 4 7 ( 2 0 0 0 ) ，6 7 8 6 j r h a d d o c k ，m n n k a s h a m a ，p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a n d m o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d sf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l 2 2 ( 1 9 9 4 ) ，2 6 7 2 7 6 4 d j i a n g ，j ，w e i ，m o n o t o n em e t h o df o rf i r s t a n ds e c o n d o r d e rp e r i o d i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s 5 0 ( 2 0 0 2 ) ，8 8 5 8 9 8 j j n i e t o ，y j i a n g ，y j u r a n g ，m o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o df o rf u n c ， t i o n a ld i 乳r e n t i a le q u a t i o n s tn o n l i n e a ra n a l 3 2 ( 1 9 9 8 ) ，7 4 1 7 4 7 6 j j n i e t o ，r r o d r g u e z l o p e z ，e x i s t e n c ea n da p p r o x i m a t i o no fs o l u t i o n s f o rn o n l i n e a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hp e r i o d i cb o u n d a r y v a l u ec o n d i t i o n s ，c o m p u t m a t h a p p l 4 0 ( 2 0 0 0 ) ，4 3 3 4 4 2 g s l a d d e ，v l a k s h m i k a n t h a m ，a s v a t s a l a ，m o n o t o n ei t e r a t i x ，e t e c h n i q u e sf o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p i t m a na d v a n c e dp u b l i s h i n gp r o g r a m ，p i t m a n ，l o n d o n ，1 9 8 5 8v l a k s h m i k a n t h a ma n dd t r i g a n t e ，t h e o r yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ： n u m m e r i c a lm e t h o d sa n d a p p l i c a t i o n s ，m a t h e m a t i c si ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n g ，v 0 1 1 8 1 a c a d e m i cp r e s s ，b o s t a n ，m a ，1 9 8 8 s l e e l a ，m n o g u z t o r e l i ，p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a ya n dm o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d s ，j m a t h a n a l ，a p p l 1 2 2 ( 1 9 8 7 ) ，3 0 1 3 0 7 1 0 e l i z ，j j n i e t o ，p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rac l a s so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l 2 0 0 ( 1 9 9 6 ) ，6 8 0 6 8 6 l l w z h u a n g ，y c h e n ，a n ds s c h e n g ，m o n o t o n em e t h o d s f o rad i s c r e t e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，c o m p u t m a t h a p p l3 2 ( 1 9 9 6 ) ，4 1 4 9 2 2 1 2 y h p a n ga n dr p a g a r w a l f i r s ta n ds e c o n do r d e rd i s c r e t e 1 6 ( 1 9 9 2 ) ，1 0 1 1 1 2 p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r s y s t e m s ，m a t h l c o m p u t m o d e l l i n g 1 3 y h p a n ga n dr p a g a r w a l m o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d sf o rag e n e r a lc l a s so fd i s c r e t eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，c o m p u t e r sm a t h a p p l i c 2 8 ( 1 9 9 4 ) ，2 4 3 2 5 4 1 4 y m w a n g m o n o t o n em e t h o d s f o rab o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e c o n d d i s c r e t ee q u a t i o n s ，c o m p u t e r sm a t h a p p l i e 3 6 ( 1 9 9 8 ) ，7 7 9 2 1 5y mw a n g m o n o t o n ee n c l o s u r ef o rac l a s so fd i s c r e t eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sw i t h o u tm o n o t o n en o n l i n e a r i t i e s ， c o m p u t e r sm a t h a p p l i c 3 5 ( 1 9 9 8 ) ，5 1 6 0 1 6 y m w a n ga n dr p a g a r w a l ，r e m a r k so np e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so ff i r s t o r d e rd i s c r e t es y s t e m s i n t e r n 3 c o m p u t e rm a t h 7 a ( 2 0 0 0 ) ，4 9 3 5 0 2 1 7 d j i a n g ，l z h a n ga n dr p a g a r w a l ，m o n o t o n em e t h o df o r f i r s t o r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n d p e r i o d i cs o l u t i o n so fd e l a y d i f f e r e n c ee q u a t i o n s t oa p p e a ri n3 m e m o i r so nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dm a t h 肌y s i e s 硕士期间发表和完成的论文 1 张丽莉，d j i a n g ，m o n o t o n em e t h o d f o rs e c o n do r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n so f d e l a y d i f f e r e n c ee q u a t i o n s a p p l a n a l 8 2 ( 2 0 0 3 ) ，2 1 5 2 2 9 ( s c i ) 2 蒋达清，张丽莉，二阶时滞微分方程边值问题的正解，数学学报，已校 样，2 0 0 3 年第二期发表。 3 d j i a n g ，张丽莉，d o r e g a n ，r p a g a r w a l ，e x i s t e n c et h e o r yf o r s i n g l ea n dm u l t i p l es o l u t i o n st os e m i p o s i t o n ed i s c r e t ed i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sw i t hs i n g u l a rd e p e n d e n tn o n l i n e a r i t i e s ，ja p p