（应用数学专业论文）优化施瓦兹方法综述.pdf

m l l l i i i i i i l l l l l l l l l i l l l l l l l l l l l l l l l l l l l i i y 18 0 5 6 3 3 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果对本人的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明本声明的法律结果由本 人承担 学位论文作者签名：煎叁是日期：碰，篁：主竺 学位论文使用授权书 ， 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：熟磊 指导教师签名： e 1 期：必虚：弓痧 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 丝 西 ， 摘要 优化s c h w a r z 方法是基于古典s c h w a r z 方法优化而来的一类新的区域分解方 法，具有更优的收敛性与并行性本文为关于优化s c h w a r z 方法的综述论文文 中首先给出了s c h w a r z 优化方法的发展历史及研究现状，指出了优化s c h w a r z 方 法的研究热点及其优越性其次，以一类二维区域上的椭圆模型 么 ) = ( r - a ) ( u ) = f 于q = r 2 ， r 0 为例，介绍了s c h w a r z 方法的设计、界面传输条件的优化以及收敛性等最后， 本文以m a x w e l l 方程 一考- 刀一0 8 = ，詈+ c u r l s = 0 为例，介绍了优化s c h w a r z 方法在具体模型求解中的应用对以上模型问题的优 化s c h w a r z 方法中收敛因子的分析，可以看出优化s c h w a r z 方法与古典s c h w a r z 方法相比十分优越 关键词：优化施瓦兹方法；子域；区域分解；优化传输条件 a b s t r a c t o p t i m i z e ds c h w a r zm e t h o di san e wc l a s so fd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d t b a s e do nc l a s s i c a ls c h w a r zm e t h o da n di th a sag o o dp e r f o r m a n c ei nb o t ht h e c o n v e r g e n c ea n dt h ep a r a l l e lc o m p u t i n g t h i st h e s i s i sa l lo v e r v i e wa b o u tt h e 。 o p t i m i z e ds c h w a r zm e t h o d w ef i r s tg i v et h eh i s t o r ya n dt h ec u r r e n tr e s e a r c ha b o u t t h eo p t i m i z e ds c h w a r zm e t h o d ，a n dp o i n to u tt h ec u r r e n tr e s e a r c hp r o b l e m sa n dt h e a d v a n t a g e so ft h em e t h o d n e x t , w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gm o d e li i lt w od i m e n s i o n a l s p a c e 么( “) = ( r 一) ) = f于q = r 2 ，r 0 a n dd i s c u s st h ed e s i g no ft h em e t h o d ，t h eo p t i m i z a t i o no ft h et r a n s m i s s i o na n dt h e c o n v e r g e n c e a tl a s t ，w et a k et h ef o l l o w i n gm a x w e l l se q u a t i o n 一占詈刀一嬲= ，詈例 a sa i lm o d e lt oi n t e r p r e tt h ea p p l i c a t i o n so ft h eo p t i m i z e ds c h w a r zm e t h o di np h y s i c a l ? p r o b l e m s t h ec o m p a r i s o na n da n a l y s i s o ft h ec o n v e r g e n c ef a c t o r si nb o mt h e o p t i m i z e da n dt h ec l a s s i c a ls c h w a r z m e t h o ds h o wt h a tt h eo p t i m i z e ds c h w a r zm e t h o d i sm o r ee f f i c i e n c yi ns c i e n t i f i cc o m p u t i n g k e yw o r d s ：o p t i m i z e ds c h w a r zm e t h o d s ；s u b d o m a i n ；d o m a i nd e c o m p o s i t i o n ； o p t i m i z e dt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s 目录 中文摘要i 英文摘要i i 目录 第一章绪论1 第二章优化s c h w a r z 方法3 2 1 古典s c h w a r z 方法3 2 2 最优s c h w a r z 方法5 2 3 优化s c h w a r z 方法7 第三章优化s c h w a r z 方法的应用1 0 ： 3 1m a x w e l l 方程1 0 3 2 时谐波解1 1 结语1 6 一 参考文献1 8 致谢2 0 1、 东北师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 优化s c h w a r z 方法是在古典s c h w a r z 方法基础上优化而来，而古典s c h w a r z 方法是区域分解的一个分支简单地说，区域分解方法是把计算区域q 分解成 若干子区域，子区域的形状尽可能规则，于是原问题的求解便可以转化为在子区 域上求解由于区域分解方法能将大型问题分解为小型问题、复杂边值问题分 解为简单边值问题、串行问题转化为并行问题，因此，它具有良好的并行性能 从上个世纪八十年代起，区域分解方法就已经成为计算数学领域的研究热点 由于并行计算机的问世和日益普及，经典的串行计算格局不再适应于并行计算 机，使传统的方法受到挑战，如何构造高度并行的方法是提高计算速度的关键 区域分解方法就是为适应并行计算而崛起的偏微分方程的数值解法，它大致可以 分成两类：重叠区域分解方法和无重叠区域分解方法无重叠区域分解法主要包 括d n 交替法、m q 方法、b r a m b l e 的子结构分解法和交替s c h w a r z 方法；最早 的重叠型区域分解方法源于古典的s c h w a r z 交替法心。5 3 子区域的选择主要依靠 区域形状的可计算性以及问题的物理背景尤其是后者，特别适用于不同物理子 区域中有不同控制方程的复合问题的计算呻3 无重叠型区域分解方法比较直观 易用，而重叠型区域分解方法的理论分析较为容易近年来建立在s c h w a r z 交替 法基础上的区域分解法在理论分析和实际应用中取得了令人瞩目的发展，已成为 微分方程求解的一种有效的迭代方法 s c h w a r z 方法由来已久，1 8 7 0 年德国数学家s c h w a r z h 首次用交替方法论证 了两个相互重叠区域的和集上l a p l a c e 方程d i r i c h l e t 问题解的存在性本世纪 三十年代苏联数学家基于变分原理阐述s c h w a r z 方法，并推广到弹性力学问题 上，其中尤以s o b o l e v ，m i k h l i n 的贡献最为卓越，有关讨论可见m i k h l i n 的专 著旧1 s c h w a r z 方法把复杂区域分解为若干重叠或无重叠的子区域，因而在子区 域上可以用快速方法求解，w e r n e r ，m i l l e r 和m i t c h e l l 等做了许多工作，m i l l e r 【9 】 还给出收敛性估计在1 9 8 7 年第一届区域分解国际会议上，l i o n s 们提出了采用 空间分解法作为s c h w a r z 方法的理论基础，见 1 1 ，1 2 在第二届区域分解国际 会议上，s c h w a r z 方法的随机解释又被l i o n s 提出，把位势理论，布朗运动和 s c h w a r z 交替方法联系起来在1 9 9 2 年，多重网格法n 3 。1 引也被纳入到空间分解法 的框架中，这是由x u 州提出的他进一步用空间分解法的观点研究了s c h w a r z 方法和多重网格法自九十年代以来，t a i n 卜2 伽对空间分解法做了较系统的研究， 他曾建立一个并行s c h w a r z 方法，并且给出了其渐进几何收敛的定理，但它对泛 函光滑性的要求较高，而且其理论分析所提条件中的常数皆为全局性常数，因而 不能用于很多非线性椭圆方程，特别是非一致椭圆方程对于此问题，单桂华乜卜2 3 1 等人降低了对泛函光滑性的要求，在局部性常数条件下也得到了同样的收敛率 这使得结果的应用范围扩大，包括最小曲面问题等对应非一致椭圆算子 对于多种问题古典s c h w a r z 方法的收敛性质已被广泛研究，最近古典 s c h w a r z 方法的研究工作主要集中在设计各种界面传输条件，这主要有三种原因 首先，无重叠区域s c h w a r z 方法是不收敛的，l i o n s 在文献 2 4 中提出了r o b i n 东北师范大学硕士学位论文 条件，用以获得收敛的方法在高维情况下，c h a r t o n ，n a t a l 和r o g j e r 雎驯都指明 在r o b i n 传输条件中参数的最优选择包含了非局部的传输算子，而非局部传输算 子是不便于实现的其次，声学问题要求设计新的界面传输条件对于 h e l m h o l t z 类型的问题，古典s c h w a r z 方法即使在有重叠的情形下也是不收敛的 从而文献 2 6 提出使用辐射条件，并证明了无重叠s c h w a r z 方法的收敛性通过 对h e l m h o l t z 方程高阶局部传输条件中自由参数的优化，产生了求解h e l m h o l t z 方程的优化s c h w a r z 方法在这种情形下，对r o b i n 传输条件的优化问题可参见 2 7 ，文中给出了优化二阶传输条件的一个简单策略对于h e l m h o l t z 方程的二 阶传输条件的优化问题可参见 2 8 ，2 9 ( 无重叠区域情形) 和 3 0 ( 重叠区域情形) 最后，古典s c h w a r z 方法的收敛速率很低，并且十分依赖于重叠的尺寸而设计 新的界面传输条件，并且优化其中的参数能够使得方法的收敛速率大为提升 优化s c h w a r z 方法与古典s c h w a r z 方法相比有很多优势首先，在每步迭代 代价相同的情况下，优化s c h w a r z 方法比古典s c h w a r z 方法收敛更快其次，可 以采用简单的优化方法来确定传输条件当中的最优参数值再次，优化s c h w a r z 方法的实现仅需在古典s c h w a r z 方法的实现方法基础上做小的改动即可最后， 优化s c h w a r z 方法在重叠区域和无重叠区域上均适用 1 2 本文结构 本文讨论优化s c h w a r z 方法的方法理论及其应用，结构如下： 第一章介绍了优化s c h w a r z 方法的来源及其研究现状 第二章介绍优化s c h w a r z 方法的方法理论，基于一类二维区域上的椭圆模型 讨论了方法的设计方法、界面传输条件的优化以及收敛性等 第三章以m a x w e l1 方程为例，介绍了s c h w a r z 方法在具体问题中的应用、 2 东北师范大学硕士学位论文 第二章优化s c h w a r z 方法 本章将以一个具体模型为例介绍优化s c h w a r z 方法，参见 3 1 2 1 古典s c h w a r z 方法 优化s c h w a r z 方法为古典s c h w a r z 方法的改进，为此，首先介绍古典s c h w a r z 方法考虑如下模型问题 么( ”) = ( ，7 - a ) ( u ) = f于q = r 2 ，r 0 ， 此处要求解在无穷远处衰减将q 分解成两个重叠的子域 q l = ( - o o ，l ) x r ，q 2 = ( o ，) r ， 其中三 0 ，则j a c o b i s c h w a r z 方法为： ( r - ) “? = f ， ( , 1 - a ) u ；= f ， u 】，( ，y ) = 甜；。1 ( 三，y ) ， 甜；( o ，y ) = u i ”1 ( o ，y ) ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) 于q l ， 于q ， ” ( 2 3 ) y r ， y r ， 此处要求迭代在无穷远处是衰减的由于问题( 2 1 ) 的线性性，只需考虑f = 0 的情形，并且分析( 2 3 ) 的解对零解的收敛性下面的f o u r i e r 变换要经常使 用 夕( 七) = 芦( n = re - e f ( x ) d x ， 山 ( 2 4 )、， f ( x ) = 厂一1 ( 批瓦1 p 妇衲蹴， ker 在y 方向上对s c h w a r z 方法( 2 3 ) 作f o u r i e r 变换可以得到： ( r + k 2 - 0 。) 五? = 0 ，x 0 ，k r ， 五；( o ，七) = 五? 。1 ( o ，七) ，k r 因此，在f o u r i e r 变换区域上的子域中的解为： 衫( x ，七) = a ，( 七) p 咖+ e ( 七) p 如m ，1 = 1 ，2 ， 其中一( 七) ，j = 1 ，2 满足特征方程7 7 一巧+ 七2 = o ，从而得到 3 ( 2 5 ) 。 ( 2 5 ) 。 ( 2 6 ) 。 ( 2 6 ) b ( 2 7 ) 东北师范大学硕士学位论文 ( 七) ：归丽和五( j j ) ：一护石 由于迭代在无穷远处衰减，我们得到子域中的解 五? ( x ，七) = 五；一1 ( 上，七) p 2 + 口( ，一工) ， 霹( x ，七) = 留。1 ( o ，后) p 一护郴 将( 2 5 ) 。改写为 ( r l + k 2 ) 卵= a 。卵 将( 2 8 ) 代入到上式右侧得 ( 7 1 + k 2 ) 五】，= 五；一1 ( 上，七) ( 7 7 + 七2 ) p 2 + 口( j 一工) 即 五1 ，= 五；一1 ( 三，七) p 2 + _ ( x 一) 将( 2 6 ) 。改写为 ( r l + k 2 ) f i ；= a 。五； 将( 2 9 ) 代入到上式右侧得 ( r l + k 2 ) 霹= 西? 一( o ，七) ( 叩+ 七2 ) p 一* 叩。 即 五；= = 五? 一1 ( o ，k ) e 一、。2 + ”。 从而 五；一1 ( x ，七) = 五? 一2 ( o ，k ) e 一。+ + ”5 在上式中令x = l 得到 五；一1 ( 三，七) = 五1 ，一2 ( o ，j i ) p 一、2 + ” 将( 2 1 1 ) 代入到( 2 1 0 ) 得 五1 ，( o ，七) = 玉】，一2 ( o ，j j ) p 一2 牡 则 群”( o ，七) = 五i ：”2 ( o ，k ) e 。2 * 牡 递推得 五i ! ”( o ，k ) = 比五：) ( o ，k ) 其中 几= 几( 七，l ，7 ) ：= p 之止2 m 0 ，q ，0 ，j = l ，2 ，舆亩侩别定义的传耢奈徉的纪纪 s c h w a r z 方法比古典的s c h w a r z 方法收敛速变更快。昏对所有的k 均有 i ( 七) l i 乳( 七) j 2 3 1 低频逼近 古典s c h w a r z 方法由于子区域的重叠，对于高频问题是有效的，但对于低频 问题是无效的，然而低频问题可以由优化s c h w a r z 方法处理对算子t 的符号 q ( 七) 作t a y l o r 展开得到： q ( 七) = 石+ 砺1k s + 0 ( 七4 ) ，吒( 七) = 一打一丽1 j i 2 + d ( 七4 ) ( 2 2 7 ) 与( 2 2 5 ) 比较得出：a = p 2 = 叩，g l = 9 2 = i ：已对于相同的p ，取q l = 9 2 = 0 z 、r 。 即为零阶逼近相应的优化s c h w a r z 方法的收敛因子为： 纸幻，= ( 溅卜厢， 一h 、r 而一石一寿七2 m 工们1 而而务 2 ( 2 2 8 ) p 一2 而 东北师范大学硕士学位论文 其中丁0 和丁2 分别表示传输条件中q ( 后) 的零阶和二阶t a y l o r 逼近 图2 1 ：古典s c h w a r z 方法的收敛因子辟，口与所。和所2 的对比其中最上一条曲线为 p c l a ，中间曲线为岛o ，底部曲线为所2 图2 1 给出模型问题( 2 1 ) 的古典s c h w a r z 方法的收敛因子砒与优化 s c h w a r z 方荤的收敛因子办。和所：的对比，其中上2 志，7 21 可以清楚的看 到优化s c h w a r z 方法整体优于古典s c h w a r z 方法，特别是低频近似的性能大大提高 古典s c h w a r z 方法收敛因子最大值约为0 9 8 0 ，而p r 。的最大值约为0 5 6 8 ，p r 2 的 最大值约为0 4 4 9 可见古典s c h w a r z 方法的2 8 次迭代和4 0 次迭代分别相应于 虏。和所2 情形优化s c h w a r z 方法的一次迭代 若上= 0 ，即区域无重叠情形，古典s c h w a r z 方法砒三l ，此时方法不收敛而 优化s c h w a r z 方法岛o ( 七，0 ，7 7 ) 0 为例，介绍了s c h w a r z 方法的设计、界面传输条件的优化以及收敛性等对于这 个模型，优化s c h w a r z 方法为 ( ，7 一) z 彳= ， 于q ， ( 叩一) = 厂， 于q ：， ( 吼+ s ) 群( 厶) = ( a ，+ s ) 材罗( 厶) ，( a ，+ 是) “；( o ，) = ( a ，+ 蔓) i - 1 ( o ，) ， 从中得出优化s c h w a r z 方法比古典s c h w a r z 方法在低频近似性能上有了很大的提 高古典s c h w a r z 方法收敛因子最大值约为0 9 8 0 ，而优化s c h w a r z 方法收敛因 子所o ( 零阶t a y l o r 传输条件) 的最大值约为0 5 6 8 ，, o r 2 ( - - 阶t a y l o r 传输条 件) 的最大值约为0 4 4 9 可见古典s c h w a r z 方法的2 8 次迭代和4 0 次迭代分别 相应于p r 。和p r ：情形优化s c h w a r z 方法的一次迭代此外，若区域为无重叠情 形，古典s c h w a r z 方法不适用，而优化s c h w a r z 方法仍然适用 当重叠l = h 时，具有t a y l o r 传输条件的优化s c h w a r z 方法比古典s c h w a r z 方 法有着更优的性能即当h 趋于零时有： m v l p o ( k ，h ，7 ) i = 1 2 ，7 办+ d ( 厅2 ) i * 1 5 i m a x i p r 。( 足，h ，7 ) l = 1 - 4 压r 4 撕+ d ( 厅) 雌盖 ! 一 m a 圣i 所2 ( 七，h ，1 7 ) l = l 一8 7 7 44 h + d ( 厅) 悱i 无重叠区域时，具t a y l o r 传输条件的优化s c h w a r z 方法和具重叠= h 的古 典s c h w a r z 方法是渐近可比较的即当h 趋于零时有： m ；蛩一 p r 。( 枷莉l - 1 - 4 警厅+ d ( 确坤i s 一 刀 = 繁m 枷荆l = 1 - 8 等矗+ d ( 厅2 )k i s 兰 刀 最后，本文以m a x w e l l 方程 1 6 东北师范大学硕士学位论文 一占害- 彤一凹= ，詈- 删 为例，介绍了优化s c h w a r z 方法在双曲模型求解中的应用通过对传输条件中透 明算子s 的f o u r i e r 符号作二阶多项式逼近，可以确定求解m a x w e l l 方程的优 化s c h w a r z 方法关于其收敛性，当盯= 0 时有如下结论： 1 如果算子s 和s 有f o u r i e r 符号 旷砘) = 乃巨蕞吾针俨( ) ，= j f 乩2 ， 那么，收敛因子为 p =( 而一一 ( 而+ 眵 l 一乃 1 一乃 而+ 司2t 一托( 打+ 爿2 肝一叫2 一“肝一翻2 2 如果算子s 和蔓有f o u r i e r 符号 乃：= 厂( 一) = 8 瞻 - 2 k , 七k ! 那么，收敛因子为 p =( 肝i 椭： ( 肝i 一眵 1 i j i 肝现l l - 。：2 k ， k 。y = j l - c ( ，i ：，- t y ) ，= = ，：，( 2 ) 磊一( 厢一，面) 2 磊- ( 肝i + 晒) 2 最一 嘎一高p 素 舳2 一劳+ 汤l 3 如果算子s 有f o u r i e r 符号( 1 ) ，最有f o u r i e r 符号( 2 ) ，那么收敛因子 为 p = i 蔫裂 盈一 岛一 1 7 而确 瓣j 椭 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 吕涛，石济民，林振宝区域分解方法一偏微分方程数值解新技术 m 北京：科学 出版社，1 9 9 9 2 3 1 4 3 2 2 陈高洁椭圆型变分问题的区域分解法 d ： 博士学位论文 长沙：湖南大学，2 0 0 6 3 袁广南，曾金平，任明慧求解h e l m h o l t z 方程的非重叠最优s c h w a r z 交替法 j 科学 技术与工程，2 0 0 5 ，5 ( 2 4 ) ：1 6 7 1 1 8 1 5 4 张丽荣二维h e l m h o l t z 方程的一些重叠型区域分解方法 d ： 硕士学位论文 长春： 吉林大学，2 0 0 9 5 贾祖朋，余德浩二维h e l m h o l t z 方程外问题基于自然边界归化的重叠型区域分解方法 j 数值计算与计算机应用，2 0 0 1 ，2 2 ( 0 4 ) ：2 4 1 2 5 3 6 强静抛物问题的区域分解方法及特征线方法 d ： 博士学位论文 济南：山东大学， 2 0 0 9 7 s c h w a r zha g e s a m m e l e t em a t h e m a t i s c h ea b h a n d l u n g e n s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 8 9 0 ， 2 ：1 3 3 1 4 3 f i r s tp u l i s h e di nv i e r t e l j a h r s s c h r i f td e rn a t u r f o r s c h e n d e n j g e s e l l s c h a f ti nz u r i c h ，1 8 7 0 ( 1 5 ) ：2 7 2 2 8 6 8 米赫林ci 二次泛涵的极小问题 m 王维新译北京：科学出版社。1 9 6 4 卜1 7 2 9 m i l l e rk n u m e r i c a la n a l o g st ot h es c h w a r za l t e r n a t i n gp r o c e d u r e j n u m e r i s c h e m a t h e m a t i k ，1 9 6 5 ，7 ：9 1 1 0 3 1 0 l i o n spl o nt h es c h w a r za l t e r n a t i n gm e t h o di j ，i nf i r s ti n t e r n a t i o n a l s y m p o s i u mo nd o m a i nd e c o m p o s it i o nm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， r g l o w i n s k i ，g h g o l u b ，g a m e u r a n t ，a n dj p 6 r i a u x ，e d s ，s i a m ，p h il a d e l p h i a ， 1 9 8 8 1 4 2 1 1 吕涛s c h w a r z 方法的l i o n s 框架与异步并行方法的收敛性证明 j 系统科学与数学， 1 9 8 9 9 ( 2 ) ：1 2 8 1 3 2 1 2 许学军，蒋美群一类非线性单调型问题的平行化方法 j 计算数学，1 9 9 6 ，1 8 ( 3 ) ： 2 6 1 2 6 8 1 3 姜英军互补问题区域分解法及非对称椭圆边值问题多重网格法 d ： 硕士学位论文 长沙：湖南大学，2 0 0 2 1 4 罗志强非对称不定二阶椭圆边值问题多重网格方法收敛性 d ： 硕士学位论文 成 都：电子科技大学，2 0 0 4 1 5 曾金平，李董辉对称双正型线性互补问题的多重网格迭代解收敛性理论 j 计算数 学。1 9 9 4 ( 1 ) ：2 7 3 2 1 6 x ujc i t e r a t i o nm e t h o d sb ys p a c ed e c o m p o s i t i o na n ds u b s p a c ec o r r e c t i o n j s i a mr e v ，1 9 9 2 ，3 4 ：5 8 1 6 1 3 1 7 x ujc r a t eo fc o n v e r g e n c eo fas p a c ed e c o m p o s i t i o nm e t h o d sf o r1 i n e a ra n d n o n li n e a rp r o b l e m s j ，m e s p e d a l s i a mr e v ，1 9 9 8 ，3 5 ( 4 ) ：1 5 5 8 1 5 7 0 1 8 3 x ujc p a r a l l e lf u n c t i o nd e c o m p o s i t i o na n ds p a c ed e c o m p o s i t i o nm e t h o d sw i t h a p p l i c a t i o n st oo p t i m i z a t i o n 。s p l i t t i n ga n dd o m a i nd e c o m p o s i t i o n r i n s t i t u t f u rm a t h s e m a t i kt e c h n i s c h eu n i v e r s i t a tg r a z ，1 9 9 2 ，p r e p r i n t2 3 1 1 9 9 2 1 9 x ujc p a r a l l e lf u n c t i o na n ds p a c ed e c o m p o s i t i o nm e t h o d sp a r ti ：f u n c t i o n 1 8 ， t i - ：v 矗p 东北师范大学硕士学位论文 d e c o m p o s i t i o n j b e i j i n gm a t h ，1 9 9 5 1 0 4 1 3 4 2 0 x ujc p a r a l l e lf u n c t i o na n ds p a c ed e c o m p o s i t i o nm e t h o d sp a r ti i ：f u n c t i o n d e c o m p o s i t i o n j b e ij i n gm a t h ，1 9 9 5 1 3 5 1 5 2 2 1 单桂华，赵小超，曹鸿钧，迟学斌一类非线性问题的s c h w a r z 方法 j 中科院计算机 网络信息中心超级计算中心 2 2 单桂华。赵小超，曹鸿钧，迟学斌一类非线性问题的s c h w a r z 方法国际并行方法与计 算环境专题讨论会论文集 c 2 0 0 3 2 3 单桂华，赵小超，曹鸿钧，迟学斌一类非线性问题的s c h w a r z 方法第七届全国并行计 算学术交流会会议论文集 c 2 0 0 3 2 4 l i o n spl o nt h es c h w a r za l t e r n a t i n gm e t h o d i i i ：av a r i a n tf o rn o n o v e r l a p p i n g s u b d o m a i n s 。i nt h i r di n t e r n a t i o n a ls y m p o s i u mo nd o m a i nd e c o m p o s it i o nm e t h o d sf o r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c t f c h a n ，r g l o w i n s k i ，j p d r i a u x ，a n d 0 w i d l u n d ，e d s s i a m ，p h i l a d e l p h i a ，1 9 9 0 2 0 2 2 2 3 2 5 c h a r t o np ，n a t a ff ，a n dr o g i e rp m d t h o d ed ed 6 c o m p o s i t i o nd ed o m a i n ep o u r 1 6 q u a t i o nd a d v e c t i o n d i f f u s i o n 【j c r a c a d s c i ，1 9 9 1 ，( 3 1 3 ) ：6 2 3 6 2 6 2 6 d e s p r 6 sb d 6 c o m p o s i t i o nd ed o m a i n ee tp r o b l 6 m ed eh e l m h o