（应用数学专业论文）带有收获率的leslie资源消费者模型的研究.pdf

y 2 5 6 8 8 硕士论文带有收获率的l e s l i e 资源消费者模型的研究 摘要 本文研究了人类收获与环境污染对l e s l i e 资源消费者模型中消费者种群的 影响。分别对固定收获能力和一般连续函数收获率模型作了研究。对于前者， 本文给出了种群弱持续生存及走向灭绝的条件；对于后者，本文指出了为使种 群不在有限的时间内绝灭，种群的应包含的最小数量，证明了当资源增长函数 有界时，种群规模有界，而资源逐渐耗尽时，种群必在有限的时间内灭绝，给 出了种群生存的条件。最后对部分定理作了数值试验，并对模型中的控制 函数取一些周期函数作了数值计算。 关键词l e s l i e 系统v 污染收获率丫持续生存、。7 数值试啦 硕士论文 带有收获率的l e s l i e 资源消费者模型的研究 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ee f f e c t sd o n eb yh u m a nh a r v e s ta n dp o l l u t i o nt ot h e c o n s u m e rp o p u l a t i o ni nal e s l i er e s o u r c e - c o n s u m e rs y s t e m w ed i s c u s st h em o d e l w i t hf i x e dh a r v e s tc a p a b i l i t ya n dg e n e r a lc o n t i n u o u sh a r v e s tf u n c t i o n t ot h e f o r m er ，s o m ec o n d i t i o n sf o rw e a k l y p e r s i s t e n c ea n d e x t i n c t i o na r eo b t a i n e d ；t ot h e l a t e r ，w ep r e s e n tt h em i n i m i z en e c e s s a r yp o p u l a t i o ns i z ef o rs u r v i v i n gf r o m e x t i n c t i o ni nf i n i t et i m e ，w e p r o v et h ef a c tt h e o r e t i c a l l y ，w h i c hi sw h e n t h eg r o w i n g f u n c t i o no f t h es o u r c ei sb o u n d e d ，t h ep o p u l a t i o ns i z ei sa l s ob o u n d e d ，a n ds od ot h e f a c tt l l a ti sw h e nt h er e s o u r c eg r a d u a l l ye x h a u s t e d ，t h ep o p u l a t i o ni sd o o m e dt o e x t i n c ti nf i n i t et i m e a tt h es a m et i m ew eg i v et h ec o n d i t i o nf o r 8 一- p e r s i s t e n c e o f t h ec o n s u m e r p o p u l a t i o n f i n a l l y ，w em a k e t e s tt os o m et h e o r e mi nn u m e r i c ，a s w e l la st ot h e s y s t e mb yl e t t i n g t h ec o n t r o lf u n c t i o n si nt h em o d e lt o p e r i o d i cf u n e t i o n s k e y w o r dl e s l i es y s t e m p o l l u t i o n h a r v e s tr a t e p e r s i s t e n c e n u m e r i c a l 把s t 玎 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 绪言 1 研究意义及背景 现实世界中大约存在两百万种自然的或人造的化学物品，生物通常是暴露 在这些化学物存在的空间里，毒素的侵蚀极易发生，特别是在当今工业污染的 世界里，研究毒素对种群的影响显得日益重要。 研究环境对生物种群的影响是属于生态毒理学( e c o t o i c o l o g y ) 的范畴， e c o t o i c o l o g y 这一词汇是由t r u h a u t 在1 9 6 9 年创造的i l 】，它是由毒理学 ( t o x i c o l o g y ) 与生态学( e c o l o g y ) 结合而成。顾名思义，可知这是毒理学向生态 领域的发展，毒理学通常是研究毒素对生物个体的影响，而生态毒理学则是研 究释放在环境中的毒素对生物种群、群落、乃至生态系统的影响。通常毒素是 直接地或通过改变环境来影响生物个体，但从生态毒理学的观点来看，着眼于 种群。例如，污染物毒死了某种群的一般成员，从个体的观点来看，是很严重 的问题，但从生态的观点来看，可以认为很少甚至没有什么影响。相反，有时 污染物虽然没有毒死生物个体，但由于延缓了其发展，或改变了环境，也可能 导致严重的生态后果。 生态毒理学在很大程度上是以推断为基础的1 2 】，常常从毒素向环境的输入 率去推断其对种群的影响；从一个受毒素侵蚀的系统推断另一个；从实验室的 试验和微观世界的研究去推断现场情况。这就需要了解化学物在环境中的传播 过程以及种群的变化规律，因而需要建立数学模型，进行推理和运算。利用动 力学的方法建立数学模型进行研究，我们称其为生态毒理动力学。它是从2 0 世纪8 0 年代才开始的。1 9 8 3 1 9 8 4 年z 6 h a l l a m 及其同事和学生连续发表了三 篇论文 3 - 5 ，为这一方向的研究揭开了序幕。 2 研究内容及方法 本文关于污染环境对种群的影响的研究是属于种群生态学的范畴。主要是 用种群动力学方法对给定种群在生存环境受到污染的情况下种群的动力学特性 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 和结构的研究，以及给定种群与相关种群相互作用下演变规律的研究。本文主 要是研究单种群的，考虑资源消费。 这方面的研究主要在于考察种群个体数量和结构的变化规律。为此，应首 先建立适当的模型，这些模型通常是连续的或离散的模型。建立模型后就用数 学知识进行分析和研究，其关键问题有两个方面 ( 1 ) 种群群或群落随时间的演变规律 ( 2 ) 如何实施人工干预对种群进行保护、开发、和利用。 而第个问题主要讨论： ( i ) 随着时间的推移，种群是持续生存还是走向灭绝? 若种群的动力学模 型是一常微分方程，种群走向灭绝意味着此方程的解当时间无限增大时，极限 为零：持续生存意味着至少解的上限大于零。 ( i i ) 种群的规模是否具有一个或多个平衡态? 这种平衡态是静平衡还是 动平衡? 从数学的观点来看，静平衡就是此微分方程的奇点：动平衡就是周期 解和极限环。 ( i i i ) 这种平衡态是否稳定? 也就是说，由于环境或外界的影响，使种群 的初始规模发生变化，随着时间的推移，能否在恢复到原有的平衡态? 在数学 上则就是关于解的渐进稳定性的研究。 ( i v ) 如果平衡态是稳定的，那么能够恢复到平衡态的种群初始规模的变 化的最大区域称为此平衡态的吸引区域。对于一给定的具有稳定平衡态的种群， 怎样去求平衡态的吸引域。 ( v ) 由于环境的变化( 例如污染) 或外来物的侵入，将对种群产生怎样的 影响? 第二个问题主要讨论：怎样使濒危的种群不至于灭绝，如何在取得经济效 益的同时保证种群持续生存等。 本文的前面的理论证明主要使用常微分方程方面与初等分析方面的知识， 在后面的数值试验部分采用4 阶r u n g e k u t t a 方法作为系统的数值解法。 3 本文的结构 本文共分四章，第一章主要介绍前人的工作，包括环境污染研究方面的概 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 念、定义、定理、结论。并简要介绍了微分方程中的第- l l 较原理；第二章主 要基于带收获率的l e s l i e 模型进行了研究，其中一个是固定收获能力的模型， 另一个是一般的连续收获函数的模型，给出了种群灭绝、弱持续生存的条件并 作了关于安全收获率的讨论。第三章我们讨论了一个改进的模型，并且基于更 为实际的情况起出了两个新的模型。第四章对前面的一些定理条件作了数值试 验，同时对模型中的控制函数，分别取特殊的函数( 主要是周期函数) 作了数 值计算。 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 1 基本模型的建立及预备知识 1 1 建立模型 毒素通过环境影响生物种群假设某生物种群生存于一给定空间，密度均匀 分布，没有成员从此空间迁出与迁入：在时间f ，此种群在空间内的全体成员 数为x ( f ) ；环境中毒素的浓度为q 何；生物体内的毒素浓度为c o ( f ) 。我们来研究 它们的相互关系，以及在毒素的影响下种群成员数x ( f ) 的变化规律。假定在无 毒素影响时，种群规模“，) 的变化适合最简单的l o g i s t i c 方程 d x d t = x b - d - f x 其中b 和d 均为常数，分别表示种群的出生率和死亡率；常数( 6 一a ) f 为环境的 容纳量；，是密度制约因子。由于毒素的侵袭，种群成员的内禀增长率r = b d 将随体内毒素浓度c 0 的增长而减小： r = r ( c o ) = t o - 1 4 ( c o 、 其中顶c o ) 是c o 的单调不减函数，称为剂量反应函数，矾0 ) = 0 ，坝c o ) 在文献中 有多种形式，种常用形式是线性剂量反应函数h ( c o ) = r j c o ( ，j 为正常数) 【3 】， 于是其中常数r 0 事无毒素时种群的内禀增长率。 b r a n s o n 、t h o m a n n 等人建议，对化学和放射性同位素等毒素来说，生物体 内毒素浓度的变化可用下述一阶微分方程来描述： + d c o d t = k c e - g c o - m c o 其中，k ，g ，m 均为常数。k c s 表示t 时刻个体对环境中毒素浓度的吸收率， 它与f 时刻环境中毒素的浓度q 成正比；g c o 表示t 时刻个体体内毒素的排泄 率；m c o 表示由于新陈代谢等因素的作用，r 时刻个体体内毒索的净化率。它们 都分别与当时个体体内的毒素浓度c 0 成正比。 为了得出环境中毒素浓度如所适合的微分方程，我们令如何表示t 时刻环 境内毒素的总量，它的变化率d y j d t 应该是毒素向环境的输入率与毒素从环境 的损失率的代数和。 单位时间内，从环境输入的毒素量由两部分组成：( 1 ) 从生物种群向环境 排泄的毒素量g m o c o x ，m o 为种群内每个个体的平均质量( 设为常数) ；( 2 ) 由 4 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 环境外部向环境输入的毒素量皈f ) 。 单位时间内，从环境损失的毒素量也由两部分构成；( 1 ) 被种群的全体成 员从环境内所吸收的毒素量k c e m o x ；( 2 ) 从环境内损失到环境外的毒素量 慨，h 为比例常数。所以有 等一k c e m o x + g c o m o x + 呻卜h y 羽) ( 1 1 1 ) 由于y e = m e c e ，m e 为环境内介质的总质量( 设为常数) ，对上式两端除以m e ，并 令 k l ：堕，g l g m o ，“( f ) ：巡 m e m em e 得 等= 一k c e x + g 。c o x - h c e + u ( 1 1 2 ) 式中前两项是由种群成员的吸收和排泄所引起的：办。是由于生物转移、挥发、 细菌的退化与死亡，以及光合作用等因素所引起的；u ( o 是由外界输入环境的毒 素所引起的。 于是得到具有毒素影响的单种群模型 i d x = x ( 6 一d 一办) 百d c o = 慨一g c o m c o 鲁一t q 川c o 川q 例 b d = r o 一c 0 0 u o u ( t ) “ 0 ，则称种群z ( ，) 强持续生存； ， 定义1 2 3 如果l i r as u p x ( s ) = 0 ，即l i m x ( t ) = 0 ，称种群x ( o 走向灭绝。 w 有两种具有本质差异的弱持续生存( 即便l i mi n f 工( j ) = 0 ) 。图1 2 1 中两 个种群都是弱持续生存的，其中( 口) 中种群几乎走向灭绝；( 6 ) 中种群几乎强 持续生存。我们利用积分均值对他们进行区别f ，为书写方便我们约定： 约定记号：r + - - 0 ，佃) ，( w ( f ) ) = “s ) a s ； l i m 。8 u p w ( ) 2 熙四w ( 5 ) ，熙n w ( ) 2 熙蜡w ( 5 ) ； l i m s u p ( w ( t ) ) = ( w ) ，l i mi n f ( 以，) ) = ( w ) 。 硕士论文带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 定义1 2 4 若7 x ) 0 ，则种群x ( f ) 弱平均持续生存。 定义1 2 5 若舰s u p x ( s ) o ，但( x ) = 0 ，则称种群x ( d 勉强持续生存。 容易检验，图1 2 1 ( 口) 中种群是平均弱持续生存的，而( 6 ) 中种群则是 勉强持续生存的。 1 0 1 0 01 1 01 0 31 0 3 + 1 01 0 4 1 0 4 + 1 0 ( 1 0 0 1 1 01 0 31 0 3 + 1 01 0 41 0 4 + 1 0 1 0 5 1 05 + 1 01 0 6 ( 西) 图1 2 1 定义1 2 6 1 6 对于给定的常数p 0 ，如果当0 r 鱼，则初值为x 0 0 的任一种群x ( f ) 均弱平均持续生存，即( x ) + 0 。 硕士论文带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 ( i i ) 若( c 。) 。 0 的任种群x ( r ) 均走向灭绝，即l i mx ( f ) ：0 。 ，呻+ ” 定理1 3 1 3 唧对于在定理1 3 1 2 的条件下，若( g ) = r o ，则模型中的任 一种群至多勉强持续生存，即( x ) = 0 。 此外，若模型( 1 3 1 1 1 _ 3 1 2 ) 中的种群的增长是按照s m i t h 模型的规律， 则简化模型为： d x ：= x ( r o ，- r j c o 。) p ( c + r o - a ) - a c x c h p ( c + r o 一口、+ “ d d f c o = k c e 一( g + m ) c 。 等= - h c e + u ( 1 3 1 4 ) ( 1 3 1 5 ) ( 1 3 1 6 ) 定理1 3 1 4 t l o i 设l i m “( f ) = “，则模型( 1 3 1 4 1 3 1 6 ) 的解有 舰c “) 2 鲁； ( i i ) 熙c 0 ( f ) = 面k 丽u ；a ( i i i ) 当1 a 时，1 i r a 。x ( t ) = 0 ( j v ) ：当r o y l a 时，l i m z ( ，) = ( t o - i , c o ) t o ，瓦= f l ( c + r o - a ) 。 1 3 2 关于小环境污染模型的讨论 如果相对于种群的规模，环境的容量不允许忽略种群吸收、排泄毒素对环 境中毒素浓度改变的影响，那么，模型( 1 1 3 1 1 6 ) 的方程中非线性项不能 省去。此时模型即为： 硕士论文带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 ( 肘- ) 害= z ( r o 一1 c o 硐 百d c o = k c e g c 。一m c 。 等一叩g l c 扩h c 一 定理1 3 2 1 【5 1 对于模型( 1 3 2 1 1 3 2 3 ) ( i ) 若 ( d 。 鱼 则当o o ，那么种群x ( f ) 一致持续生存。 g + m ( i i ) 如果r o 一上1s o ，那么 g + ( 1 3 , 2 1 ) ( 1 3 2 2 ) ( 1 3 2 3 ) ( 1 ) 当量# 鱼 k l 粤时，呈# 鱼是种群弱持续生存的闽值，即 嚣 ，l ， 弗 n ( 4 ) 若( ) 旦芸 鱼则x ( o 走向灭绝。 席， 1 0 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 ( 2 ) 当半哮鲰- 1 时， 肝 ( 口) 若( “) 。 七t 7 r o ，则x ( ，) 走向灭绝。 1 3 3 关于资源与消费者系统的持续生存问题 基于1 3 1 节中对简化模型的介绍，下面同时考虑资源的动力学特征，1 9 7 1 年，g c g a l l o p i n 1 2 1 提出了一种资源消费者模型。在污染环境中的g a l l o p i n 模型为： 掣= x r o _ ，l c o ( f ) 一一e x p ( 刮枷 望挚= ( ，) 一w 1 一e x p ( 一驷列 掣：k c 。一( g + m ) c o a t 掣一c 一( f ) ( 1 3 3 1 ) ( 1 3 3 2 ) ( 1 3 3 3 ) ( 1 3 3 4 ) 式中a ( o 表示t 时刻环境中的资源量；，( f ) c r r 】表示在无消费者的情况下 x ( o 是资源的增长率；，7 均为正常数。 定理1 3 3 1 9 】对于模型( 1 3 3 1 1 1 3 3 4 ) ( 1 ) 若( c 0 ) 鱼，则任一具有正初值的种群x ( r ) 走向灭绝： ( 2 ) 若( c 0 ) 0 ，则x o 弱持续生存 ， ( 3 ) 若( g ) 0 ，则任有界种群砸) 弱平均持续生存。 p 堡主堡苎 1 4 预备知识 1 4 1 比较原理 定理1 4 1 1 足不等式 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 i 殳f ( t ，x ) 与，( r ，j ) 都时在平面区域g 上连续的纯量函数且满 f ( t ，x ) 巾( f ) ，当l f ( t ，亭) = p ( f ) ， 所以g ( r ) = 0 ，g ( r ) = o ( f ) 一妒( f ) 0 ，故当f f 且与f 充分接近时g ( f ) 0 。 假如( 1 ) 不成理，即有大于f j l 属于p ( f ) 与西( f ) 的共同存在区间的f 值，使 妒( f ) 西( f ) 。此时，令这样的t 值的下确界为a ，于是有 r 0 ( ， 0 因为g ( 口) = o ，所以西( a ) = p ( 口) ，这是一个矛盾，故( 1 ) 成立。同理可证( 2 ) 也成立。 1 4 2 关于一类常微分方程的解 考虑微分方程的初值问题 j 鲁吲1 ) ( ：) 【x ( t o ) = x o 其中而x 2 i 。2 ( 1 4 2 1 ) 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 1 当o o j 2 时，( 1 4 2 1 ) 的解为： x ( r ) 2 x ：+ ( x 2 - - x i ) 瓦i 瓜z x j - - x 丽2 ) e x p a ( x 2i f 两x ox 2 。 【x d x jj 一 x l 儿r r o 一( 一 ) 2 当= x l ，或x o = x 2 时，( 1 4 2 1 ) 的解为： x ( r ) x ot r o 3 当一 x o x 2 ) ，贝0 ( 1 4 2 1 ) 的解x ( f ) x o ，f t o 2 v x o ，( x o x 2 ) ，则( 1 4 2 1 ) 的解z ( f ) 也，t t o 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 2 带收获率的l e s l i e 资源消费者系统的研究 2 1l e s l i e 资源消费者模型简介 文【1 3 】讨论了比较简单的l e s l i e 资源消费者模型 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 得到消费者种群若持续生存和绝灭的闽值。 文【1 4 】进一步考虑种群个体从环境中直接或间接的吸入毒素，以及个体向 环境的排毒作用。讨论上面模型的推广模型 妄叫f ) 【r o - r , c o ( f ) 一鬻】 皇掣：巾) 一h a ( t ) x ( ，) a t 掣= k c 以) _ ( 刚) c o ( ，) d c z e 一( t ) ：“( f ) 十g l c 。( f ) x ( r ) 一女l c e ( f ) x ( f ) 一h c e ( f ) 讲 一 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 i 7 ) ( 2 1 8 ) 得到以下结论： 引理2 1 1 对模型( 2 1 5 2 1 8 ) ，区域 ( x ，口，c o ，c ) x 0 ，a 0 ，c o 0 ，c e o ) 是不变集。 引理2 1 2 对模型( 2 1 5 2 1 8 ) ，设p ( f ) 出 0 0 ，则对v f r ，有口( ，) s m 。， 此外当t 充分大时，x ( f ) ，+ s ，l i m s = 0 。 叻 蝙 g “ 幢 圮 _ 五 一 一 一 一 e 9 胁 鹄 堋 = 1 1 0 一 f 一 出一出出一出峨一西慨一出 里堕型塑l 羔：蔓坚茎奎! 竺坚塑塑塑望耋堡型塑塑塞 其中m 。= 十；f ( t ) d t ，m ，= 鱼虬 定理2 1 1 对模型( 2 1 5 2 1 8 ) ，若，1 i m 。i n f ( u ) 0 ，则种群x ( f ) 弱持续生存。 。 定理2 1 - 2 对模型( 2 1 5 2 1 8 ) ，假定引理2 1 2 条件满足，且若下列条 件( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 之一成立，则种群x ( f ) 走向灭绝。 且l i m i n f ( “) h r o ( g + m ) + 一a “ 觏奶 ( i i ) g l r o 一 时 ，-，、【 堡主笙兰萱塑坚堡垩兰望! ! ! 至塑塑塑耋塑型塑里塞 种群对毒素的自净功能。( 2 1 1 2 ) 式中g l c o x 表示种群项环境的总排毒效应， k l c e x 表示种群的总吸毒效应，a q 表示环境的自净功能，g l ：m og ，k ，：鱼女。 州叵珊e 注：这里我们考虑函数火r ) ，“( o 为连续函数，下面的定理均满足这个条件。 2 2 固定收获n r j 3 的模型的研究 在实际情况中收获率应该是与种群的规模有关的，即不取常数作为收获率， 而是取收获函数h ( t ) = 缸( f ) ，a 为一非负常数，表示收获能力。这个假设是很 自然的，因为通常在一定时刻人类的收获能力是不变的，譬如捕鱼业中，在捕 鱼装备固定的情况下，渔民在以一定时间内作业的水域范围、下网的次数都是 一定的。因此一定时间内的收获量就只跟收获能力和种群规模有关，此时模型 ( 2 1 9 2 1 1 2 ) 变为： d 斫x = x ”c o 小筹】 ( 2 2 1 ) d a _ ( t ) ：，( f ) 一蚰( f ) x ( f ) ( 2 2 2 ) d c z o ( 一t ) = k c 占( f ) ( g + 朋) c 。( f ) ( 2 - 2 3 ) d c j e 广( t ) ：“o ) + g ，c 。( f ) x ( f ) 一七l c f ( f ) x ( f ) 一h c f ( f ) ( 2 2 4 ) d f 一 注意应该满足a 型，则初值为x o o 的任一种群x ( f ) 均走向灭绝，即 _ l i m x ( f ) = 0 。 证明：因为f i t ) 有界，不妨设0 0 ，3 t 0 ，使x ( r ) m ，取 m = 2 x ( t ) ，则3 t r ，使j ( r ) m 。由种群规模变化的连续性知 ，j r 。m r ，使得丁。) = m ，且鲁 f i r ，。，由式( 2 2 1 ) 得 邓。小乱印卜鬻 口f 一- 口( j 所以口( 丁一) 竺雩 氅，由m 的任意性得l i m s u p 口( f ) 专+ ，同上面的推 r n 一r n 一，l r 呻+ ” 理我们可得对v n 0 ，3 s 0 ，使得 吣) ，且乱 o 由式( 2 2 2 ) 得 1 7 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 由比较原理得 0 且 x ， 由式( 2 2 1 ) 有 丝+ 竺西= 【，0 一a r z c o d t 两端积分并除以t 得 ；焉亨+ j 丽n x ( s ) 出= r o - 2 - r - c c 。， 汜z 勘 ( i ) 若c 。) 0 ( i i i ) 若( c 。) 0 ，所以 x m 岘s 印i 1i 丽n x ( s ) 出。 由式( 2 2 7 ) 得出矛盾，所以l i m i n f x ( t ) 1 ) ，则种群走向灭绝。设存在以下序列 t l f ； r 2 f ； t h t ： 其中”趋于无穷，使得x ( 0 在区间【o ，t 上振荡有限次，而且 当f 【o ，“】u 【f ：，t 2 1 u u 嘭m t 。 u 时，x ( r ) 日； 当f 【f l ，f i 】u 【f 2 ，r ；】u u f ：，r 。】u 时，x ( f ) o 。 因此，无论是在( 口) 或( b ) 的情况下，都存在一点列 f ：) ，使得 尘盟玉生= 盟土生：口 t ” 其中玎为一正数。 于是 卜( s ) d s j 二一 f f 。x ( s ) 击+ 1 2 x ( s ) 出+ + e x ( s ) 击 硕士论文 带有收获率l c s l i e 资源消费者模型的研究 故有 2 ) 若! 慨s u p 2 1 1 , ，i | - 0r _ ，l ij ” 显然，这时有 ，壁! 丛 尘：蛙二! 趔! 一 c r e l l i m s u p ( x ) 0 慧l i r as 印帮l l = 1 在这种情形，我们将证明：当p 1 时有 i ( c 。) 一( 圳( 0 使得当t 正时，有 q l ( g l + k i ) m 2 f m _ l = 2 m ( g l 岫) q 2 3 m ( g l + k 1 ) s 1 类似地，可证当t - t z 时有 q ：s e 一“f e 9 【g ，c 。( 0 ) - k l c e ( 口) 】x ( 口) d p l j g - i c 。( p ) i + t - i c s ( 口) | 】x ( 目) d p s 3 m ( g l + k 1 ) 毛 q ，= 【g c o + ( o 。) ( 1 - e - ( g + r n ) t + 器( 1 一e 一“) 一揣( 1 一e 。“) 西瓦k c e 而( 0 ) 而玎叫 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 而由式( 2 2 8 ) ，当t t 2 时有 m ( g l + k l 弦 其中 b = m ( g l + k 1 ) 1 + 西3 而k + 高h ( g m+ l g + m j n + 一门)( g + 卅) ( g + m 常数。 现在，在式( 2 2 9 ) 基础上，易得结论。事实上，由定理的条件 ( y o 与一点列 f m ，使得当r 。) 时有 ( r ( f 。) ) 一+ 鱼墨 选取毛，使其满足o q t 2 正时，有 ( y ) 三( c 。) 0 与瓦 0 ，使当t 兀时有 i r o i 1j ，( s 灿 0 ，艿 s ， 使对应于( o ，艿) 内的初值x o ，相应的解x ( t ) 在0 蔓t s i 满足不等式 0 x ( f ) 0 足够小，使 k c e ( o ) c 5 ( 0 ) i g + m 一叫( g + m ) l g + m h l 丽k + 雨石k 砑+ 】 ： 万拓m - h i 】【g l 十州胁 0 ，假设【o ，爿j 是便j ( f ) 时最大区唧，我1 ij 将让明a = + c o 。 假定不然，即a + ，当o a t 瓦，由式( 2 2 1 0 ) 得 嘲脚 一竿h 南 叶， 。i ； 旦坚型塑生一一堕童些壅皇! ! ! 坐塑塑塑塑童堡墼塑塑窒 这一矛盾证明了_ + m 于是，式( 2 2 1 2 ) 左端的a 换成，易得当o 1 时有 胁肛出l c 詈 因此，当p l 时有 川m 脚m 竿一洳蚺肛唧 - 竿一j 1i y ( s ) d s + 珊 e x p 一r l r t 1 2 ) 所以，对于满足初始条件“o ) = ，o j ( o ) 0 ，s u p a ( t ) = b + ，s u p h ( t ) = c o ( i ) o ，二 。 。 。 使得z ( r ) = 0 。 证明：由式( 2 3 1 ) ，注意到a c t ) sb ，t r 。 鲁一( ，0 一 g 一詈) 一h ( o s z ( t o 一詈) d = 一言x 2 + ，b x d = 护( z ) 。 硕士论文 带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 注慈这里的”是在x 0 的情况下讨论的。 易知函数占( x ) 的较小的零点为五。，记其另一零点为丑2 ，且当z 时，口( x ) 0 于是 去i 。= 等l ，口( 卢) = 吼 t o ，使y ( t 。) 0 ，由种群数量变化的连续性得：v t t 。， x ( f ) 0 取f ：，使_ ) ，( f j ) = 0 ，则3 s o ，使i n i ，x ( f ) s j 取r ：p o y ( f ) s ：) ) ，显然有f ：f j ，由比较原理得x ( f ：) ) ，( f ：) s ：，矛盾。 所以3 t o r ( g k u + l 埘) ， 竺：丝五z ：巫2 ：笠立坚竺：卵 2 甩 硕士论文带有收获率l e s l i e 资源消费者模型的研究 川，0 g 训 + j 以2 g 训】2 _ 4 n a c h z 胛 2 = 一2 ，7 2 如果c s ( 。) 善 其中亭，：毒 【，7 2 当，7 l q 2 证明：由式( 2 3 4 ) 皇里；皇2 ：“( f ) + g l c 。( f ) x ( f ) 一毛c e ( f ) x ( f ) 一h c e ( f ) “o ) 一h c e ( f ) s “l h c e ( r ) ( 2 3 5 ) d t 因为c e ( o ) i u i ，所以3 f i o ，当f f l 时，使c e ( f ) 百1 ，注意到式( 2 3 3 ) 丝坚：k c e ( f ) 一( g + m ) c 。( f ) 女粤一( g + ) c e ( f ) ( 2 3 6 ) c i t 1 1 因为c 。( 。) 面k u 丽i ，所以j f 2 。， 由式( 2 3 1 ) 得 位c 。( f ) 5 西u 丽l k 面d x 叫r o - r t c o _ n 。x ) 圳f ) 砒一淼n 爿x c - 一三 ”淼 x - c = 妒 易知函数p ( x ) 的较小的零点为”- ，其另一零点为口z 考虑自治常微分方程： j 去吲z ) 和 j 警叫