（应用数学专业论文）人口系统模型及人口状况分析.pdf

坝，l 论史 人l j 系统模型投八l 1 状况分析y6 2 5 3 23 摘要 人口问题涉及人口数量、人口质量和人口结构等因素是一个复杂系统工程， 稳定的人口发展直接关系到我国社会、经济的可持续发展。如何从数量上准确刻 画和预测人口数量以及各种人口指标对我国制定与社会经济发展协调的健康人 口发展计划有着决定性的意义。鉴此，本文依据人口发展方程，基于人口普裔统 计数据，从人口系统发展机理上展开了讨论。首先分析发展方程中按年龄死亡率、 人口迁移及生育模式等参数函数的内在变化规律，针对各参数函数的不同特点用 多种方法分别建立了相应的预测模型并进行了预测精度数值分析；其次将所得参 数预测函数代入离散人口发展方程，依据当前人口结构现状对我国人口系统中长 期发展状况进行预测，为我国政府人口发展战略规划和决策提供了一定的理论和 数据基础。最后基于所得的死亡率函数进行人口寿命表的构建，为精算、人寿保 险政策的制订和应用提供了方便。 关键词：人口发展方程人口预测死亡率人口迁移人口状况时间序列 灰色模型神经网络生命表 硕士论文 人u 系统模型驶人u 状龇分析 a b s t r a c t t h e p o p u l a t i o ns y s t e m i sa c o m p l e xs y s t e m 。w h i c h c o n c e r u sa b o u tt h e p o p u l a t i o nn u m b e r , p o p u l a t i o nq u a i l t ya n dp o p u l a t i o ns t r u c t u r e t bs t a b i l i t yo f t h e p o p u l a t i o nd e v e l o p m e n t a f f e c t st h ec o n t i n u a n c eo ft h e d e v e l o p m e n to f o u rs o c i e t ya n d e c o n o m i c i ti sv e r yi m p o r t a n tt od e s c r i b ea n df o r e c a s tt h ep o p u l a t i o na n da l lk i n d so f t h ep o p u l a t i o ne x p o n e n t s w h i c hc a l lc o n t r i b u t et oc o n s t i t u t i o nf o rt h ep o l i c yo fo u r p o p u l a t i o nd e v e l o p m e n t i nt h i s a r t i c l e w ed i s c u s s 也em e c h a n i s mo fp o p u l a t i o n d e v e l o p m e n ts y s t e mb a s e do i l t h ep o p u l a f t o nd e v e l o p m e n le q u a t i o n s a tf i r s t ，w e a n a l y z et h el a wo ft h ed e a t hr a t ef u n c t i o na te v e r ya g e t h em i g r a t i o nf u n c t i o n t h e m o d e lo fb e a r i n g ，a n dc o n s t r u c tf o r e c a s t i n gm o d e l sa n dg e tt h ef o r e c a s t i n gr e s u l t s r e s p e c t i v e l yg r o u n d e d o nc h a r a c t e r so f 氆ef u n c t i o n s 。t h e nw eu s et h ed i s c r e t e p o p u l a t i o nd e v e l o p m e n te q u a t i o n s a n dt h e f o r e c a s t i n gr e s u l t s t o s t u d y 血ef u t u r e p o p u l a t i o ns t r u c t u r ea n d t h es t a t u so fo u rp o p u l a t i o ns y s t e mf o ft h em i d d l et e r ma n d t h e t o n gt e r m w h i c h c a np r o v i d et h et h e o r ya n dd a t af o ro u r g o v e r r m a e n t t od e s i g nt h e p o p u l a t i o ns t r a t a g e m a tl a s t w ee s t a b l i s ht h el i f e t a b l ew h i c hi st h eb a s i sf o rt h e a c t u a r y a n dl i r ei n s u r a n c e 。 k e y w o r d s ：p o p u l a t i o ns y s t e mp o p u l a t i o ne q u a t i o n sp o p u l a t i o nf o r e c a s t i n g p o p u l a t i o ns t a t u s d e a t hr a t et i m es e r i e s g r a ym o d e l n e u r a ln e t w o r k sl i f et a b l e m i g r a t i o n 砸 论艾 人u 系统模型及人u 状秕分析 1 引言 人口过多在一直以来是我国政府重视的问题，也是我国现在面临的严重危机，人 口过多带来的衣、食、住、行以及就业问题和自然资源的不足，在很大程度上制约着 我国社会经济的发展，而且人口过多已经给社会带来了很多社会问题，农丰于劳动力人 口过剩的问题己经日1 发了很多的社会问题。在我国从七十年代末实 7 7 7 1 。划生育以来， 我固人口情况已经得到了较好的控制，我国的人口增长速度已经得到很大降低，有人 提出计划生育可以取消了。计划生育是否真的可以取消? 或者什么时候可以取消? 这 些问题怎么回答，如果光从定性的角度来论述很难得令人信服，如果我们从数据上来 分析，用得到的数据来说话可能更具有信服力。也就是我们需要用数学的方法和角度 去分析人口问题，从数量上得到各种人口指数，这就是人口预测和人口控制的问题。 人1 3 预测和人1 3 控制问题自七十年代末八十年代初宋健等人丌始用数学的方法 分析我国的人口问题，建立人口发展的偏微分方程模型 j j ，并对根据建立的人口发展 方程，分析其死亡率函数、生育率函数等参数方程，并进行数值求解，从而预测人口 数量以及各种入口指数，如出生率、死亡率、老龄化指数、老龄人数、劳动力数、劳 动力指数等等，从而把我国人口研究从以前单纯的定性分析，引入到定量分析和研究。 特别地，把得到的偏微分方程模型看成一个动力系统，则可用控制论的观点来看待人 口问题【l 。2 j 。人口预测就是属于系统分析的范畴，其实质就是先给定控制量，妇女平 均生育率卢，然后定量算出人口状态及相应的各种人口指数随时间变化的趋势：人口 控制属于系统综合范畴。运用控制论中的理论和方法，如最优控制理论，应用到人口 系统中，可以得到系列重要的结论。也就是如果我们提出一种人口目标，即我们希 望达到的人口状念，如人口数，劳动力与非劳动之间的比例等等( 这些可以根据我国 自然资源、社会资源的承受能力提出) ，然后在调节人口动力系统中的控制量以达到 我们的需要，即调节妇女平均生育率卢。从而为我国各级政府制定相应的人口政策提 供了理论依据，也为具体制定政策提供了数据上的支持。 然而此后，我国除了用一些新的方法对人口总量、死亡率等数据进行预测外，没 有人再系统地作这方面研究工作，但是当时的死亡率、生育模式等等参数到现在已经 发生了很大的变化，当时建立模型的条件和结论已经不适用于现在的情况，本文准备 在宋健等人工作的基础上，重新考虑现在的人口状况对人口动力系统进行分析、计算， 并给出各种人口指数。同时，考虑到死亡率能否精确预测是关系到建立的人口发展方 程是否能够很好的计算各种人口状况和人口指数，并且现在很多新的数学方法在预测 中的应用，本文采用灰色系统模型、时间序列模型、神经网络模型等预测模型，对人 硕士论文 人u 系统模型及人u 状龇分析 口总数、按年龄段死亡率函数进行建模、预测，并提出一些人口总数、死亡率预测的 综合模型，以期望得到比现有预测方法的得到结果更精确的预测效果。并把得到的模 型作为参数函数带入到人口发展方程中进行计算，得到各种人口指数，用得到的各种 数据对我国现在的人口状况和预测的未来我国的人口各种状况进行比较详细地分析， 为我国的目前人口政策和将来人口政策的制定与实施提供宏观上的方向把握和微观 二的具体制定方案理论和数据上的支持。另外，自从我国实行改革丌放以来，我国人 口迁移，已经从纯粹的计划下的迁移转变为市场经济规律作用下的迁移，而且我国海 外留学、海外移民的人口也越来越多，故而人口迁移在人口发展方程中的影响也越来 越大，能否精确建立人口迁移模型也越来越重要，本文将针对人口迁移函数尝试进行 建模。 在提到人口问题时，自然而然就会想到与人口问题紧密相关的一个课题，人寿保 险，而人寿保险的基础是人口寿命表，在本文的最后的工作中，用经典的方法口】建立 我国1 9 9 8 年、1 9 9 9 年分性别的人口寿命表。 1 0 i ：b 论文人u 系统模型及人u 状龇分析 2 人口发展方程及其参数函数 2 1 人口发展方程的推导 2 1 1 人口发展方程的连续形式 以，) 表示f 时刻孩地区所有年龄小于，的总人口数。n ( t ) 表示，时刻该地区总 人口数，为人口可达最大年龄，则有f ( o ，r ) = 0 ，( _ ，f ) = f ( m ，f ) = ( f ) ，假设 f ( r ，f ) 对变量r , t 是连续可偏导的，且偏导数连续，则有f ( r ，) ：_ o f ，f ( l f ) ：娑， o r饼 其中假设p ( ，f ) ：_ o f ，称为人口年龄分布密度函数，且有如下性质 p ( r ，r ) o ，p ( k ，r ) = 0 ( 2 1 1 ) f ( r ，r ) = 如( 孝，f ) 蟛 ( 2 1 2 ) ，( o ，f ) = 舻p ( f ，f ) d # = f p ( f ，f w f = ( r ) ( 2 1 3 ) 人口发展方程中的重要参数之一是死亡率函数u ( r ，f ) ，若暂不考虑移民的因素影响， 且假设冬：1 ，a r ：a t ，则下式成立 a t p ( r ，o a r p ( r + a t 2 ，t + a t ) a t = u ( r ，t ) p ( r ，t ) a r a t ( 2 1 4 ) 可推出 p ( r 十r ，r + a t ) a t p ( r ，r + a t ) a ，+ p ( ，f + a t ) a r p ( 7 ，) 7 ( 2 1 5 ) = 一u ( r ，t ) p ( r ，t ) a r a t 两边除以甜，血得到 p(r+ar,t+at)-p(r,t+at)+p(r,t+at)-p(r,t)：一“(to ，) j ，( r ，f ) ， a t 取r = f 斗0 则上式可变为 o p = ( r 一, t ) + o p ( = _ r 一, t ) ：一“( r ，f ) p ( ，) ( 2 1 6 ) e i8 r ?1 1 0 i ：b 论文人u 系统模型及人u 状龇分析 是一阶线性偏微分方程，称为人i s l 发展方程。若要求解方程( 2 1 6 ) ，则需要初始条 件和边界条件，可取任意时刻的值作为初始条件，不妨设椤j 始所取的时间f = 0 ，该 时刻人e f t - 密度函数呵由统计数据得出p ( r ，o ) = p 。( r ) ，则有边界条件 p ( o ，) = 妒( f ) = 0 ) 0 ) 其中妒( r ) ，f 时刻单位时间内出生婴儿总数；4 0 ，时刻相对( f ) 的出生率。 综上所述，完整的描绘人口发展的偏微分方程为 ( 2 1 7 ) 墨业+ 型掣：一。( 吖) p ( 州) o r凹 p ( r ，o ) = p o ( r ) ( 2 18 ) p ( o ，t ) = p ( f ) = u ( t ) n ( t ) 若考虑到移民对人口发展方程的影响，则( 2 1 8 ) 变为 _ o p ( r , t ) + 掣攀：“( r ，f ) p ( r ，f ) + m ，f ) o ro t p ( r ，0 ) = p 。( r ) ( 2 1 9 ) p ( o ，t ) = 妒( f ) = u ( t ) n ( t ) 其中，( r ，f ) 为移民函数，f ( r ，t ) a r a t 表示 r ，r + ， 岁的人 f ，f + a t 时间移入( 出) 总数；妒o ) = p ( f ) r p ，r ) ( r ，f ) p p ，t ) d r 。 若考虑到我国地域辽阔，各省市地区的人口状况差异很大，为反映其中的差异 则可将上述人口发展微分方程改写为如下偏微分方程组 _ o p ( r , t ) + 塑掣：一m ( 州) p ( 州) + 爿( ，f ) p ( r ，r ) + i ( r , 0 ， o ro t p ( r ，0 ) = p d i p ) ，p 0 2 ( ，) ，p o 。( r ) ( 2 1 1 0 ) p ( o ，t ) = 妒o ) = 妒1 0 ) ，妒2 ( f ) ，p ，( f ) ) 其中：p ( r ，f ) = n ( ，r ) ，p 。( r ，f ) ) 人口密度向量函数。 m ( r ，r ) = 0 0“。( ，f ) “，( ，吐i = 1 ，2 ，m ，表示各地死亡率函数 ( 21 1 1 ) 硕士论文人u 系统模型及人u 状龇分析 a ( r ，f ) a l ( ，f ) a 2 1 ( r ，f ) a i2 ( r ，r ) a 2 2 ( r ，r ) a ( r ，t ) 口2 。( r ，f ) n 。( r ，f ) r 时刻。，当从、，地区向i 地区移民率j ，= 1 ，h ： l ( r ，) = i l ( r ，f ) ，i 2 ( r ，f ) ，f 。( r ，f ) f ，( ，f ) i 地区的其他移民干扰。 2 1 2 人口发展方程的离散形式 ( 2 1 1 2 ) 为了对人1 = 1 发展方程进行定量分析，对其求数值解，这需要将微分方程离散化， 得到一个差分方程组，下面给出的人口发展方程的离散形式。简单起见，我们下面的 讨论主要是针对方程( 2 1 9 ) 的。首先给出一些基本概念。 定义x ，( ，) 是f 年代满i 周岁但不到i + 1 周岁人口数，则有 x ) = f + 1 p ( r ，t ) d r ，i = 0 , 1 ，m 一1 ( 2 1 1 3 ) m 表示人能活到最高年龄，记x ( f ) = ( f ) x ，( f ) ，x 。( r ) ) ，并称之为人口状态 向量，则人口发展方程( 对r 从i 到i + 1 积分) 变为 x 。( ，+ 1 ) 一x ，( f ) = 一f “( ，t ) p ( r , t ) d r + r 2 f ( n o & 由积分中值定理，上式变为 州川) 一x ) = 一“( 厂p ( 州妙+ + 】m ，t ) d r ( 2 1 1 4 ) 即 z ( f + 1 ) 一一( ，) = 一“( 孝，t ) x 一) + j ( ，r ) 咖 这旱“( 孝，f ) 满足：i n f “( r ，t ) “( 善，r ) s u p “( ，f ) 。 l - r t + i f f - r 1 ，x 1 ( 1 ) = x 0 1 ( 1 ) 记x ( 1 为( o 的a g o 生成序列x 1 = a g o x o 硕士论文人u 系统模型及人u 状龇分析 x 1 = ( x 1 ( 1 ) ，x 1 ( 2 ) ，一，x 1 ( 胛) ) ，v x 1 1 ( 七) 上1 1jk k l ，2 ，肝) 其中x ( 1 ( k ) = x 1 ( k 一1 ) 十x o ( 克) ，v k k 1 = 2 ，3 ，n ，x 1 1 ( 1 ) = x o ( 1 ) 可推出 k xt ) ( t ) = x 。( ) v k k = 1 ，2 ，n ) ( 22 1 ) m = l ( 2 ) 构建灰色模型【7 1 下面构造g m ( i ，1 1 模型 z o ( 女) + 1 ( ) = b z i ( ) = 0 5 x 1 1 ( ) + 0 5 x 1 1 ( 女一1 )( 2 2 2 ) x m ( 七) = 圭x ( 。( 肿) m = 1 其中，a 为发展系数，c 的大小及符号反映x 。及x o 的发展念势：b 为狄作用量 b 是计算得到而非直接观测得到，具有灰的信息覆盖的作用量。 g m ( 1 ，1 1 的白化模型为： g 膨( 1 ，1 ) 的白化响应式为 出( ” l + ( h = o 斫 g m ( 1 ，1 ) 参数：鼻：纠则在最小二乘准则下有 ( b 7 b ) 。b7 为b 的广义逆 b = 鼻= l ；j = c 占7 占，_ 1 8 7 - y z “( 2 ) 2 1 ( 3 ) y = ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 6 一d d ( “ 翘 马。卜 卜 0 t 1 “弘 = = u u 十 + 似 ” 町 r x 劫” 彩 吖吖吖 x x x 硕卜论文 人u 系统模型及人u 状秕分析 令f z 。 k - 2 ( 女) 2 ，c = ( ) ，则有 盯1 = 而品弦；1 令。= 1 ) ( n e = 2 协0 ) ( 删y = r1 = 2 ；i ” l 可得 c d n 2 1 ) f ( n - 1 ) f c 2 ( 22 6 1 d f c e 、 口= f n i ) f c 2 有以下结论 7 】 ( 1 ) l 当n = 2 时，即z c o ) = o 归1 ( 1 ) ，x ( 0 ( 2 ) ) ， 6 m ( 1 ，1 ) 模型，因为此时口= ：，6 = ：。 ( 2 ) 当v = 3 时，b 为方阵，有唯一逆矩阵b 一。 根据表2 2 1 的1 9 8 8 1 9 9 4 年我国农村死亡登记男性人口死亡率的数据，对其进 行预测，9 1 年的资料因故缺。 袁2 2 l 全国死亡脊记点1 9 8 8 1 9 9 4 年农村男性人u 再年龄组死广：率 年龄1 9 8 81 9 8 91 9 9 01 9 9 21 9 9 3 9 9 4 o 0 0 2 4 5 30 0 2 4 2 70 0 2 4 5 20 0 2 2 8 90 0 2 2 1 700 2 1 3 8 1 00 0 2 7 10 0 0 2 4 90 0 0 2 2 00 0 0 2 1 00 0 0 18 0o0 0 1 5 8 5 0 0 0 0 9 10 0 0 0 8 40 0 0 0 8 50 0 0 0 7 60 0 0 0 7 80 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 5 10 0 0 0 4 50 0 0 0 4 400 0 0 4 30 0 0 0 4 700 0 0 5 2 1 5 0 0 0 0 9 10 0 0 0 7 800 0 0 7 00 0 0 0 6 50 0 0 0 6 00 0 0 0 6 6 2 0 0 0 0 1 5 70 0 0 1 4 8o0 0 1 2 l0 0 0 1 2 90 0 0 1 2 4o 0 0 1 2 5 2 5 0 0 0 1 3 30 0 0 13 300 0 1 2 90 0 0 1 4 30 0 0 15 1o ，0 0 1 4 9 3 0 o 0 0 18 lo0 0 1 6 60 0 0 1 5 20 0 0 1 4 20 0 0 1 6 300 0 1 8 l 3 5 0 ，0 0 2 5 10 0 0 2 6 l0 0 0 2 3 00 0 0 2 2 60 0 0 2 2 70 0 0 2 2 3 4 0 0 0 0 3 5 70 0 0 3 4 400 0 3 2 70 0 0 3 3 30 0 0 3 6 00 ，0 0 3 6 7 4 5 0 0 0 4 7 00 0 0 4 6 90 0 0 4 6 800 0 4 7 90 0 0 5 0 90 0 0 5 2 6 5 0 00 0 7 7 600 0 7 5 60 0 0 7 5 300 0 7 3 50 0 0 7 8 200 0 7 7 3 5 5 0 0 13 0 2o0 1 3 3 700 1 2 1 00 0 1 1 7 90 0 1 | 7 00 0 1 6 5 6 0 0 0 2 4 3 30 0 2 3 6 60 0 2 2 6 700 2 2 3 30 0 2 2 2 800 2 2 2 6 6 5 0 ，0 3 5 0 2o0 3 6 3 30 0 3 3 8 8 00 3 3 1 200 3 2 9 10 0 3 3 0 7 7 0 0 0 6 0 9 000 6 4 2 00 0 5 9 1 70 0 6 3 0 00 0 0 6 2 2 90 0 6 2 4 7 7 5 0 0 8 4 1 10 0 9 0 9 40 0 8 6 3 7 00 8 7 4 500 8 2 1 40 0 8 0 0 9 8 0 0 1 4 2 】70 15 3 3 90 】4 7 8 8o 】4 5 5 2 0 。】3 9 0 4o ，1 3 9 1 3 8 5 0 2 3 9 9 5 02 7 4 6 7o 2 3 1 6 50 2 3 4 7 20 1 7 8 3 90 1 8 6 8 4 硕士论文人u 系统模型及人u 状龇分析 表2 22g m l ，1 ) 模型预测结果 年龄 1 9 9 51 9 9 61 9 9 71 9 9 81 9 9 92 0 0 02 0 0 1 0 00 2 0 7 1 70 0 2 0 0 0 30 0 1 9 3 1300 18 6 4 7o 0 1 8 0 0 5o0 1 7 3 8 400 1 6 7 8 5 l 00 0 1 4 5 10 0 0 1 3 0 200 0 1 1 6 900 0 1 0 4 900 0 0 9 4 100 0 0 8 4 400 0 0 7 5 7 5 0 0 0 0 8 0 900 t ) 0 8 0 600 0 0 8 0 300 0 0 8 0 00 0 0 0 7 9 700 0 0 7 9 400 0 0 7 9 1 1 0 00 0 0 5 1 700 0 0 5 3 70 0 0 0 5 5 800 0 0 5 8 00 0 0 0 6 0 20 0 0 0 6 2 60 0 0 0 6 5 0 1 5 0 0 0 0 5 7 800 0 0 5 4 800 0 0 5 2 10 0 0 0 4 9 40 0 0 0 4 6 90 0 0 0 4 4 50 0 0 0 4 2 2 2 0 o 0 0 1 1 6 6o 0 0 1 1 2 6 00 0 1 0 8 8o0 0 1 0 5 20 0 0 1 0 1 60 0 0 0 9 8 200 0 0 9 4 9 2 5 00 0 1 5 7 9o ，0 0 1 6 4 00 0 0 1 7 0 40 0 0 1 7 7 10 0 0 18 3 90 0 0 1 9 1lo 0 0 1 9 8 6 3 0 o0 0 1 7 4 200 0 1 7 9 0o0 0 1 8 3 90 0 0 18 9 0o 0 0 1 9 4 2o 0 0 1 9 9 500 0 2 0 4 9 3 5 00 0 1 9 5 5o 0 0 18 5 6o 0 0 1 7 6 10 0 0 1 6 7 1 00 0 t 5 8 6o 0 0 15 0 5o0 0 1 4 2 9 4 0 00 0 3 7 1 000 0 3 7 9 70 0 0 3 8 8 70 0 0 3 9 7 80 0 0 4 0 7 20 0 0 4 1 6 80 0 0 4 2 6 6 4 5 0 0 0 5 3 8 900 0 5 5 6 40 0 0 5 7 4 500 0 5 9 3 200 0 6 1 2 40 0 0 6 3 2 30 0 0 6 5 2 9 5 0 00 0 7 7 9 00 0 0 7 8 5 50 0 0 7 9 2l0 0 0 7 9 8 8 00 0 8 0 5 50 0 0 8 1 2 200 0 8 1 9 0 5 5 o 0 1 0 9 8 700 1 0 6 3 70 0 1 0 2 9 80 0 0 9 9 7 00 0 0 9 6 5 3 0 0 0 9 3 4 50 0 0 9 0 4 7 6 0 00 2 1 6 8 900 2 l3 8 3o0 2 1 0 8 100 2 0 7 8 300 2 0 4 8 9 0 0 2 0 2 0 0o0 1 9 9 1 4 6 5 0 0 3 1 6 3 400 3 0 9 3 0 00 3 0 2 4 200 2 9 5 7 0o0 2 8 9 1 200 2 8 2 6 90 0 2 7 6 4 0 7 0 0 0 6 2 1 2 30 0 6 2 0 8 90 0 6 2 0 5 500 6 2 0 2 0 00 6 1 9 8 6o 0 6 1 9 5 2o 0 6 1 9 18 7 5 0 0 7 7 8 9 90 0 7 5 5 7 4 0 0 7 3 3 l800 7 1 1 2 90 0 6 9 0 0 60 0 6 6 9 4 60 0 6 4 9 4 7 8 0 0 13 4 0 6 00 1 3 0 6 3 50 1 2 7 2 9 60 1 2 4 0 4 30 1 2 0 8 7 4 0 11 7 7 8 50 11 4 7 7 5 8 5 0 1 5 9 5 1 2o 1 4 3 6 0 00 1 2 9 2 7 50 1 1 6 3 7 90 1 0 4 7 6 9 0 0 9 4 3 180 0 8 4 9 0 9 2 时间序列模型 时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列，时间序列应 理解成随机序列，也即随即过程取离散时间变化时得到的随机序列。根据随机序列的 统计特性可将随机序列分为平稳的即平稳时白j 序列、非平稳的、趋势性的、季节性的。 从统计学的角度来看，所研究和处理的对象是具有实际背景的数据，尽管其背景和内 容可能不同，但从数据的形成来看，是横剖面数据和纵剖面数据两类( 或称静态数据 和动态数据) 。横剖面数据是由若干相关现象在某一时间上所处的状态组成，它反映 一定时间、地点等客观条件下相关现象之间存在的联系。研究这种数据的统计方法是 多元统计分析。纵剖面数据是由某一现象或若干想象在不同时刻上的状态所形成的数 据，它反映的是现象及现象之间关系的发展变化规律性。研究这种数据的统计方法就 是时间序列分析。 描述时间序列一般有两类重要的随机模型：平稳随机模型和非平稳随机模型。平 稳随机过程是基于假设过程处于特定的统计均衡状态下而得到的一类过程，根据平稳 随机过程即可建立平稳随机模型。非平稳随机随机过程的序列表现出非平稳的特性， 并不围绕一个固定的均值而变化，但该序列也有可能表现出某些特性，可以建立非平 稳随机模型。下面分别介绍各种情况。 硕士论文人u 系统模型及人u 状龇分析 时问序列基本概念及性质： 滑动平均序列m a ( q ) ：该序列可用下式表示 x c2 a t 一8 q nl _ 一_ j - 一eq u ，q ( 2 2 7 ) 其中e a ，= o , e a ? = o - 。，幺，口：，o q 为实系数，且口。0 。i e o ( b ) 1 0 1 b 一o q b ” 则x ，= o ( b ) a ，b 为后退算子。称口( 占) 为滑动平均算子。 自回归序列a r ( p 1 ：该序列可用下式表示 妒。x 。= a ， ( 2 2 8 ) 其中溉，f = o ，1 ， 为白噪声序列。e a ，= o ，e a ? = 盯 1 ，使得：旧，峰c p 一，0 的充 要条件是p ( b ) 0 ，l b | 1 同样，d ，可唯一的表示为 q = 矿，h ，= 1 f 2 2 1 0 1 硕士论文人u 系统模型及人u 状龇分析 且存在常数c 0 和p 1 使得i 仍降c p l ，j 0 ，的充要条件是臼( b ) 0 ，ib i l 称协，) 为w o l d 系数，有如r 递推公式 一吼+ 驷畦腿吼，t o( 2 川) 曩妒t k q + 1 ， 其中赢= ( o k , 0 其 - k 它 p ，它的逆转形式劬， 的系数有如下递推公式 其惋督。嚣p a p + 妒，o k - ，o p 7 。o f 2 2 1 2 1 k - i 、7 妒，o k - j p + 1 a r m a ( p ，g ) 模型的建模，在时间序列分析中称为模型识别和拟合问题，也称为 时间序列建模。 时间序列建模： 对a p , m a 模型进行建模，首先要得到参数初步估计，对于a r m a ( p ，q ) ， ( 曰) q = 口( b ) q ，从以下步骤着手： ( 1 ) 用自协方差c 。，。州，c 岬，c 。估计自回归参数吼，仍，p ，： ( 2 )利用( 1 ) 的估计值得到。出，一庐0 9 。一庐，甜。，计算自协方差 c ：( ，= 0 ，1 ，一，g ) ； ( 3 )用c ：( ：0 ，l ，g ) 来迭代滑动平均参数口，目2 ，巳及残差方差口：的估计值。 下面对序列自协方差函数和自相关函数估计。 自i 办方差函数“的估计，一般采用 ；。= 黪h 或其等价形式 ( 2 2 1 3 ) 硕士论文人u 系统模型及人u 状龇分析 y = x l x 卜 ( 2 21 4 ) t = l + 1 之所以用上式的估计形式，是为了保证白协方差函数估计量序列的j _ f 定性，从而保证 所建模具有平稳性。 自相关函数的估计 偏相关函数的估计 驴 ( 2 2 1 5 1 占占一 ( 2 2 1 6 ) p hy 1 ) ( ，o 一艺妒h ，) 卢f ，= 1 且可验证九，反是，。，p ；的渐近无偏估计。 时间序列的预报： 实际所得到的时间序列的统计性往往是非平稳的，除去局部水平( 或局部水平和 趋势) 不同，序列显示出具有某种意义上同质性，我们假定做适当的差分可使之平稳 化，即序列经d 阶差分后就可以成为平稳的混合自回归滑动平均过程，即 a r m a ( p ，q ) a r i m a 考虑模型 p ( b ) z 。= o ( b ) a ， 这里，妒( b ) 是非平稳自回归算子，妒( 占) = 0 有d 个单位根，其余的根在单位圆外， 则可将上式表示为 妒( b ) z ，= 庐( b ) ( 1 一b ) “z ，= 臼( b ) 盘， ( b ) 是平稳自回归算予。由v “乏= v a z ，d 1 ，v = 1 b 是差分算子，则 o ( b ) v “z ，= o ( b ) a ， 则上述过程可以由下面方程组定义 牌f k ( b ) c 眈o , = ，0 亿z - 当d 1 时，上式逆转得 z ，= s d 珊， 其中s 是下式定义的无穷算子和 硕士论文人u 系统模型及人u 状龇分析 s x ，= x j l = ( 1 + b + b 2 + ) x ，= ( 1 一t 3 ) x ，= v “x h = 一” 故s = ( 1 一b ) = v 。同样可类推s2 ，s3 ，- 。 从实际计算来说，s = ( 1 一b ) 。1 不能真f 用来定义非平稳a r l m a 过程，因为这涉 及到无穷级数和的收敛问题。我们可以取有穷级数代替 & _ ( 1 m - 邶“) = 箐 类似地，s = 喜若mi b = ! 二! ! ；，有( 1 一b ) s = s 。，一川b ，因此 个a r i m a ( 如d = 1 ) 过程与相应地平稳a r i m a 过程c o ，= ( 1 一b ) z ，之问关系 弘等旷专( ” 从而有，z ，= 出，+ 国+ + 甜+ z i 可以看成是平稳过程，的有穷项和加上z 在k 时刻的初始值。 a r i m a 模型一般为a r i m a ( p ，d ，q ) ，p 是自回归算子庐( b ) 的阶数，d 是差分次数， q 是滑动平均算子口( 口) 阶数。求和自回归滑动平均过程的一般形式：描述时间序列较 为一般的模型是下面表示的求和自回归滑动平均过程 妒( b ) z ，= ( b ) v “z ，= 0 0 + o ( b ) z ， 其中，妒( 曰) = 1 一萌b 一妒2 曰2 一- 一，b 9 ，臼( 口) = l 一0 1 b 一0 2 8 2 一_ t o q b ” 直接利用差分方程，我们可把过程的当前值互用z 的过去值和a 的当前值及过去 值表示，即若 妒( b ) = 妒( b ) ( 1 一b ) 4 = t 一妒1 b c , 0 2 b2 一一妒，+ j b 9 + “ o o = 0 时的一般模型可写为 z f = 妒l z 卜1 + - + 妒p + d z ，一，一“一o i a _ i 一一o q a f q + a ， 预报；对于一般a r i a m 模型的显示为妒( b ) z ，= o ( b ) a 。，其中烈b ) = ( 8 ) v 4 。 由模型的三种显示表示，z 。可表示如下 i7 硕卜论文 人u 系统模型及人u 状犹分析 ( 1 ) 直接差分方程表示 z + ，= 妒1 z f + h + 。+ c p p + j z + ，十d 一0 1 a ，+ h 一- 一0 r + ，一。+ a ， ( 2 2 1 8 ) ( 2 ) 表示为当前和过去冲击d 的无穷加权和 z 。= 少， ( 2 2 1 9 ) ( 3 ) 表示为过去观测的无穷加权和加上一个随机冲击 z 万z + f 即，若d 1 ，乏+ ，= 万，互。，且有z ，= i ， 刀权可由下式得出 = li = l p ( b ) = ( 1 一玎l b 一万2 8 2 一) 疗( b ) ( 2 22 0 ) 根据上面的介绍，首先我们根据表2 2 1 的1 9 8 8 1 9 9 4 年我国农村死亡登记男性 人口死亡率的数据”( r ，f ) ，建立a r i m a ( p ，d ，q ) 。因为从表2 2 1 中的样本数据可以看 出，人群按年龄的总体死亡率随着时间的推移是逐步下降的，即可判断死亡率的时i b j 序列是趋势序列，故而采用差分运算将该时间序列u ( r ，t ) 转变成平稳序列。经过数据 观测和计算，将u ( r ，t ) 序列一阶差分后得到v u ( r ，) 近似的可看为平稳时间序列。经过 计算比较发现p = 2 ，q = 2 时，模型对已知的统计数据拟合较好( 拟合出来的所有按 年龄段的死亡率数据序列与原来的数据序列吻合较好，误差和最小，对单个年龄段 p = 2 ，q = 2 得出的拟合效果和预测效果未必最好，但综合分析后可得到p = 2 ，q = 2 的结果对总体的预测效果相对要好一些) 当然我们也很容易看出p = 1 ，q = 1 时得到 a i c ( 1 ，i ) ，与p = 2 ，q = 2 得到的结果相差很小。故我们用a r l m a ( 2 ，1 ，2 ) ，a r m a ( i ， 1 ，1 ) 两个模型根据表2 2 1 中数据同时对人群死亡率进行预测得到相应的预测结果见 表2 2 3 、表2 2 4 。 硕士论文人u 系统模型及人u 状龇分析 表2 23 a r m a ( 2 ，12 ) 模型预测结果 1 9 9 51 9 9 61 9 9 71 9 9 81 9 9 92 0 0 02 0 0 1 o o0 2 0 8 6 00 0 2 0 3 3 5o0 1 9 8 1 500 1 9 2 8 900 18 7 6 900 1 8 2 4 40 0 1 7 7 2 4 l 0 o o l 4 4 40 0 0 1 2 8 30 0 0 1 0 8 400 0 0 8 9 500 0 0 7 2 300 0 0 5 4 60 0 0 0 3 6 3 5 0 0 0 0 8 4 20 0 0 0 8 0 90 0 0 0 8 0 200 0 0 8 1 20 0 0 0 7 9 500 0 0 7 6 100 0 0 7 5 5 1 0 00 0 0 5 2 20 0 0 0 5 2 300 0 0 5 2 40 0 0 0 5 2 600 0 0 5 2 70 0 0 0 5 2 900 0 0 5 3 0 1 5 0 0 0 0 6 1 900 0 0 5 7 60 0 0 0 5 3 50 0 0 0 4 9 20 0 0 0 4 5 00 0 0 0 4 0 70 0 0 0 3 6 6 2 0 o o o l l 9 50 0 0 1 1 4 30 ，0 0 1 0 8 80 0 0 】0 3 50 0 0 0 9 8 00 0 0 0 9 2 80 0 0 0 8 7 3 2 5 00 0 1 4 8 0o 0 0 15 3 600 0 15 8 l 00 0 15 9 90 0 0 1 6 2 200 0 1 6 5 50 0 0 1 6 8 7 3 0 0 0 0 1 8 0 9o0 0 1 8 0 90 0 0 1 8 0 8 00 0 1 8 0 7o0 0 1 8 0 6o 0 0 1 8 0 6o0 0 1 8 0 5 3 5 0 0 0 2 18 30 0 0 2 1 3 300 0 2 0 9 l00 0 2 0 4 3o 0 0 1 9 9 6 00 0 1 9 5 100 0 1 9 0 5 4 0 00 0 3 6 8 50 0 0 3 7 0 200 0 3 7 1 7 00 0 3 7 3 400 0 3 7 4 90 0 0 3 7 6 600 0 3 7 8 l 4 5 0 0 0 5 3 5 200 0 5 4 4 500 0 5 5 3 80 0 0 5 6 31 00 0 5 7 2 300 0 5 8 i 60 0 0 5 9 0 9 5 0 0 0 0 7 7 2 30 0 0 7 7 1 900 0 7 7 1 l0 0 0 7 7 0 70 0 0 7 7 0 0 00 0 7 6 9 600 0 7 6 8 9 5 5 0 0 1 1 4 1 20 o 】1 1 9 20 0 1 0 9 5 400 1 0 7 3 3o 0 1 0 4 9 60 0 1 0 2 7 500 1 0 0 3 8 6 0 0 0 2 1 9 1 20 0 2 15 6 600 2 1 2 1 8 00 2 0 8 7 30 0 2 0 5 2 50 0 2 0 1 7 90 0 1 9 8 3 1 6 5 0 0 3 2 7 3 40 0 3 2 4 1 80 0 3 2 0 8 lo0 3 17 6 60 0 3 】4 2 90 。0 3 1 1 1 30 0 3 0 7 7 7 7 0 00 6 2 6 3 70 0 6 2 9 9 100 6 3 1 6 100 6 3 5 1 20 0 6