（应用数学专业论文）二阶反序泛函微分方程neumann边值问题解的存在性条件.pdf

摘要 本论文主要利用上下解和单调迭代法，研究了下面的带有n e t l i n a n n 边界条件的二阶 泛函微分方程和咖一l a p l a c e 方程在上下解反序条件下，解的存在性条件 考虑下面的二阶泛函微分方程n e l l l l l a n r i 边值问题 yj i ( t ) = f ( t ，( t ) ，( r ( ) ) ，y l ( ) ) ，v t j = 0 ，t ( o ) = o y l 仃) = o ， 其中f ( t ，“，v ，w ) ：，几3 - r 是一个连续函数，r c ( i ，n 考虑下面的咖一l a p l a c e 方程n e u i i l & l l n 边值问题 一- 岳咖( t z ( t ) ) = f ( t ，u ( t ) ，“( t ( t ) ) ) v t ，= 0 ，t ? l ( 0 ) = 0 ，“7 ( t ) = 0 ， 其巾f ( t ，u ， ) ：，j z 2 一兄是一个连续函数，且r c ( r ，) 在本文中，为了使要研究的两个方程可以利用单调迭代技巧，首先利用g a i n e s 和 m a w h i n 的延展定理汪明了下面的两个非线性n c u m a n n 边值问题解的存在性，即对给 定的口峨n ”( t ) + m y ( t ) + n y ( t ( t ) ) = ( t ，y r ( t ) ) ， 和 一( 咖( ) ) 7 ( t ) 一m y ( t )( f ( t ) ) = 口( t ) ，口( 了( j ，r ) 本文中所研究问题的解的存在性是由反极大值比较原理给出的这样的比较原理是 基本的，因为一般说来当上下解尾反序条件给出时，单调迭代法是无效的因而，它确 保了可以利用单调迭代法来证明解的存在性和对解的估计，所以它也是本论文的关键 所在 关键词：n e u l n a n n 边值问题；上下解；反极大值比较原理；单调迭代法 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es h o wt h a tt h em e t h o do fm o n o t o n ei t e r a t i v e t e c h n i q u ei sv a l i d t oo b t a i nt w om o n o t o n es e q u e n c e sc o n v e l 。g e su n i f m m l yt oe x t r e m a ls o l u t i o n so fs e c o n d o r d e rf i m e t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d 出l a p l a ( ：ee q u a t i o nw i t hn m j m a n nb o u n d a r y v a l u ec o n d i t i o n s t h i sp a p e ri sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h es e c o n do r d e rf u n c t i o n a ld i m r e n t i a l e q u a t i o n w i t hn e u m a n nb o u n d a i yv a l u ec o n d i t i o n so ft h ef o r m ”( f ) _ - f ( t ，可( t ) ，v 0 - ( t ) ) ，7 0 ) ) ，v t ，= 0 ，7 7 ( o ) = 0 ，7 旧) = 0 ， w h e i e f ( t ，u ， ，叫) ：，r 3 兄i sac o n t i n u o u sf u n c t i o n ：丁c ( i ) i h i sp a p e ri sa l s oc o n c e i n e dw i t ht h e 击一l a p l a c i a nw i t hn e u n l a n nb o u n d a ，r yv a l u e c o n d i t i o n so ft h em r i l l 一盖妒( “( z ) ) = f ( t ，“( ) ，“( 7 - ( f ) ) ) ，v t i = 0 ，t “7 ( 0 ) = 0 ，“7 ( 丁) = 0 ， w h e r ef ( t ， ) ，r 2 ri sac o n t i n u o u sf u n c t i o n ：1 r c ( i ，) t od e v e h ) i ) am o n o t o n em e t h o d ，w ew i l lu s et h ec o n t i n u a t i o nt h e o r yo fg a i n e sa n d m a w h i nt op r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gt w on o n l i n e a rn e u m a n n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e r n sa tf i r s t ，ie ， f o rg i v e n 叩慨n ，a n d ”( t ) + m y ( t ) 十g ( 7 - ( ) ) = f j ( t ( z ) ) ( ( ) ) ( t ) 一m y ( t ) 一一v 口( t ( t ) ) = 盯( t ) ：o - c ( i r ) t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e mt h a tw ew i l l s t u d yi sg i v e n v i aa n t i m a x i m u m p r i n c i p l e s s u c hac o m p a r i s o np ii n c i p l e sa r ef u n d a m e n t a ls i n c ei ft h el o w e r a n du p p e rs o l u t i o n sa r eg i v e ni nt h er e v e r s eo i d e r ，t h em o n o t o n em e t h o di sn o tv a l i di n g e n e r a l s ot h ec o n l p a r i s o np r i n c i p l e se n s u i eb o t hd me x i s t e n c ea n dt h ea p p r o x i m a t i o n o fe x t r e m a ls o l u t i o n so fp r o b l e m sv i at h ei r l o i l o t o n em e t h o d t h u s l t h e ya r et h ek e y p o i n ti nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：n e u m a l 1 11 ) ( ) i n l ( t a i vv a l u ep t o b l e m ；u p l m ra n ( tl o w e rs o l u t i o n s ；a n t i i n a x i n n l n lc o m p a r i s o np r i n c i p l e ；m o n o t o n ej t e r a t i r et e c h n i q u e i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机 构的学位或t f 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已存论文中作了明确的说日月并表示谢意。 l 、v 学位论文作者签名：捡拯| _ _ 】期：立舡噍上盟 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有天数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、犷编学 位论文。 ( 保密的学位沦文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：拉至交指导教师签名学位论文作者签名：删塑生缝指导教师签名 日 期：嬷正鞋f _ 期 学位论文作者毕、i k 届去向： 工作单位：盔褪i 叠茏耋望 一 通讯地址：盔挞! 蟀蓥苤! l g & 鹾孽童l 孽螨一 趔占理一 电话：啦兰盟1 2 矽 邮编：主纽! ! 1 引言 本文主要研究下面的二阶n e u m a n n 边值问题的解 ：| ：? _ ，( 屯黔小( 帅乍) ) ，讹“_ o ，孔 ( 1 1 ) y l ( o ) = 0 ，y l ( t ) = 0 ， 其中，( t ，n ， ) ：，r 3 - _ r 是一个连续函数，r g ( ，) 称函数“c ( i ，r ) 是( 1 1 ) 的一个下解，如果满足 。”( t ) f ( t ，d ( ) ，d 一( ) ) ，蚀( t ) ) ，0 7 ( o ) 0sn 7 ( 了1 ) ( 1 1 ) 的上解卢可以通过改变不等号类似的定义 称函数”c ( i ，r ) 是( 11 ) 的解，如果它既是( 11 ) 的上解，又是( 1 1 ) 的下解 对给定的n ，序c ( r ，r ) ，若对所有的t i 有卢( ) o ( t ) ，我们记卢o 在这种情 况下，我们记 【卢c 1 = y c ( i ，r ) ：z ( t ) y ( t ) o ( z ) ) 为了利用单凋迭代技巧，我们需要以下假设： 假设存在常数m 0 n 0 ，k 0 ，满足下列条件： ( h 1 ) 对任何卢( z ) u 2 i t is ( t ) 卢( 下( t ) ) 曼 2 1 n ( r ( t ) ) ，坼”r 有 f ( t ，? t 1 ，”l ，w ) 一f ( t ，u 2 ，v 2 ，w ) 一m ( 1 一u 2 ) 扣l v 2 ) ，v t 其中“，c ( x ，r ) ，z ( t ) so ( ) ，v t ，是事先给定的 ( h 2 ) 对任何卢( t ) “n ( t ) ，卢( r 0 ) ) s ( r ( t ) ) ，1 ，”2 f t ，有 本文还把上下解方法和单调迭代法推广到研究妒l a p l a c e 方程n e u r l l a n n 边值问 题 考虑下面的一维庐一l a p l a c e 方程n e u m a n n 边值问题； 一徽d 。( 。，禳驯州7 ( t j ) ) ，v 川2m ，( l 2 ) 0 0t u 7 ( ) 一，“( ) = 0 ， 7 其中，( t 、“、 ) ：j r 2 - r 是一个连续函数，且r c ( 1 ，1 为了利用单调迭代技巧，我们假设定下面条件成立 v州一叫k 0 使得 f ( t ，“1 ， u 1 ) 一m u l n v l f ( t ，“2 ， u 2 ) 一m u 2 一n v 2 ，v t ， 其中“，卢c ( i ，删，卢( t ) n ( t ) ，v t ，是事先给定的 称g 1 ( ，) 是( 12 ) 的一个下解，如果。7i f _ g 1 ( j ) ，且满足： 一爰如m ) ) ，( ；c ，邮) ，曲) ) 。，( o ) o “p ) ( 1 2 ) 的上解卢可以通过改变不等号类似的定义 上1 i 解方法和单凋迭代法已经成功的被用于获得n e u l n a n n 边值问题解的存在性和 解的估计但是通常情况下，这种讨论是在经典的假设下进行的，即o ( t ) s 卢( t ) 如果 上下解是反序条件给出的，即n 卢，单调迭代法一般是无效的例如，考虑问题 ”( t ) + = c o s t ，t ( o ) = , l t i ( ) = 0 尽管“( t ) ；1 ，卢( t ) ；一1 分别是下解和上解，但容易验证上面方程无解 在本文中，我们研究hr 解反序条件，即卢a 下，问题( 11 ) 解的存在性和对 解的估计进一步，我们把上下解方法和单调迭代法推广到曲一l a p l a c e 方程这些结 果已经被不同的作者推广到妒一l a p l a c e 方程在文献【5 中，a c a b a d a 和r r lp o u s o 证明了下面问题的解在区间b 纠上的存在性： ( ( n 7 ) ) ) 7 = f ( t ，u ) “7 ( t ) ) ，u 7a ) = “7 ( b ) = 0 这里的。和卢分别是下解和上解，且在区间= 0 1 叫上卢在文献 9 ) 中m c h e r p i o n ， c d ec o s t e l 、和h a b e t s 证明了对于d i r i c h l e t 问题极值解在 f l y ，同上的存在性和单调迭代 法的有效性当“卢时这方面的结果和带有不同边界条件的问题在文献 5 ，6 ，8 ，1 1 ， 1 3 和1 4 中给出 在文献【2 中，a c a b a d a 证明了下面1 7 题的解在区间【卢，0 上的存在性 一番m m ) ) = 巾，婶n u 如) = ( b ) = o ， 在这篇文章中，作者证明了如果，( t ，“) 是一个一c a r a t h o d 0 7 、函数且满足单边l i p s c h i t z 条件，即对ae ，vu ，u 卢( t ) ，“( t ) 】，u 号 其中m ( ( 1 ，百k f n 2 ) ，k 是常数，此时单调迭代法是有效的进一步，如果咖是恒等算子结 果是最优的，作者们获得m 的最优估计在文献 3 ，4 中，作者给出了这个方向不同 2 边界条件的其它结果，在文献 2 ，3 ，4 ，5 】中，解在区间眩n 上的存在性由反极大值原 理给出，这样的比较原理是基本的，确保厂可以利用单调迭代法来证明解的存在性和对 解的估计 在第4 节中，本文利用上下解和单调迭代法研究了问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 在区间慨a 】上极 值解的存在性：对给定的q 咿，“ ( 1 3 ) 和 一( ( ) ) ( t ) m y ( t ) 一g ( t ( ) ) = 口( t ) ，口c ( i ，r ) ( 1 4 ) 由于这个问题涉及到非线性算子，所以结果不是直接的但值得说明的是，当曲是 恒等算子时，对m 和n 的估计是最优的只是条件( b 2 ) 有很大的局限性，它等价于 ”曲_ 1 是局部l i p s c h i t z 函数”，即使对一维p - l a p l a c e 函数咖( “) = 9 _ 2 “，p 2 ，也不满 足但是这个条件是使得t ：下解反序和单调迭代法有效的曲上的最优条件( 参见文献 2 ) 2 预备引理和定理 为方便起见，我们采用下列符号 设j = 0 ，卅，p 1 o o ) 对“l 1 ( n 定义 i = 刍和姚 对l p ( 5 ，定义 b = ( m s ) i ”d s ) i j 【l 且对u c ( 5 ，定义 i 。= s u p m ) | _ 静先给出一些经典的积分不等式( 参见文献 2 1 0 ) 引理21 如果“c 1 h 乩且使得n ( n ) = = 0 或“( b ) = 0 ，则 卅。i i 2 s 兰生i 尘i i “i i 2 ，。i i 。( b n ) jl l “7 i 1 2 引理2 2 如果c 1 a ，乩且使得i = o ，则 2 b - 。a i d i i 2 ，。兰( b n ) 讥7 i 1 2 为了使方程( 1 1 ) 可以利用单调迭代技巧，我们首先考虑r 面的非线性n e u m a n n 边 值问题解的存在性： ”( ) + m y ( t ) + n y ( 7 ( t ) ) = f , 1 ( t y l ( t ) ) ( 0 ) = 0 ，y l 汀) = 0 对每个固定的q c ( i ，冗) ，且p ( t ) sq ( ) s “( f ) ，t ，成立，其中 ( 2 1 ) 为了证明( 2 1 ) 解的存在性，我们给出一些概念 设x ，z 是赋范线性空间，l ：d o t a lcx _ z 是一个线性映射，n ：x 一 z 是一个 连续映射，如果d i m k e , r l = c o d i m i m l + 。，则称映射l 是零指标的f r e d h o l m 映射， 且，m l 在z 中是闭的 如果工是零指标的f r c d h o l m 映射，则存在连续投影算子p ：x _ x 和q ：z 。z 满足，m p = k c r l k e r q = i m l = i m ( 1 一q ) 易知上i d o m lnk e r p ：( j r ) x _ i m l 足可逆的用k 。表示l 。的逆映射 如果qcx 是一个有界开集且q ( 五) 是有界的，( ，一q ) n _ x 是紧的，则 称在q 上是l 紧的由于j m q k e r l 是同构的，所以存在同构映射j ：i m q 斗k e r l 在下面存在性结果的证明中，我们将会用到g a i n e s 和m a w h i n 的延展定理 引遗2 3 ( 延展定理) 【1 1 j 设l 是零指标的n e d h 。l m 映射，且在a 上是l - 紧的假 定 一 ( a ) 对每一个a ( o ，1 ) ，方程l x = a n x 的每个解z 隹a f 2 ； ( b ) 对每一个z 口n n k e t l ，q z 0 且 d e g ( q n ，q - 1 k e r l ，o ) o 则方程_ l z = n x 在d o t a l n 晓中至少存在一个解 定理2 ，1 假定( h 2 ) 和( h 3 ) 成立，则问题( 2 1 ) 至少存在一个解 证明为了利用引理2 3 来证明问题( 21 ) 存在解，我们取 x = c 1 ( f ，r ) ，z = ( ，：r ) 设 l ：d o t n lcx _ 彳、l y = y ”， n ：x _ 么，( 掣) ( ) 一m y ( t ) 一g ( t ( t ) ) + ( ，y l ( ) ) ， ( p ) ( ) = 李f r ( s ) d s ，( q z ) ( t ) = 刍z 2 z ( s ) d s ，ex ，z z ， 其中d l ： x ：y c ( i ，r ) ，f 0 j _ ( t ) = ( ) ) 则 k e r l = r i r r t l = zlz z ，f g ( s ) d s = o ) 现在 m l 在z 中是闭的，且d i m k e r l = c 。d i m l m l = 1 十。由定义知i - 是零指标的 线性p r e d h o l m 算子 易证p , q 是连续投影算予，且满足 i m p = k e r l i m l k e v q 进一步，设l ，= l d o r n l k e r l 以及l 的广义逆 k v = l i l ：l m l _ 手d o m l 由下式给出 m ) = = ：专z r 小刊小) d s d t + 小叫小) d s d o ”儿 q n 和( j q ) n 显然是连续的由a l z e l a - a s c o l i 定理，不难证明k p ( i q ) ( q ) 对 任何开集q cx 是紧的，而且q ( n ) 是有界的由定义知n 在q 上是l ，紧的 由( i t 2 ) 可知， ( t ，u ) 【i ( t ，u ) 一( ，0 ) i 十i ( t o ) i = i f ( t ，叫“1 ，7 ( t ( t ) 1u 1 一，( t 叩( t ) ，”( r f 1 ，( 川+ 1 7 ( t 、o ) k i 1 + g 一 一 0 其中c 是常数 对( 2 1 ) 式在( o ，t 】_ e 积分，可得 ( m + ) 口= ；z f ( t ，g 协) ) 出 考虑算子方程l y = a n y ，y d o t a l ，a ( o ，1 ) ，即 一”( t ) = a n 彳( ) + a ( r ( t ) ) ( t ，y l ( t ) ) 设t l = y 一口，则u x ，云= o ，t z 7 = y 7 因此有 一”( t ) = a “( t ) + a n u ( r ( t ) ) 一a 只小，心) ) + a 予1z t ( t ，t t t ( t ) ) 出 由引理2 2 ，知 ， l z 知u 邗z ，州l 。s4 彳1 1 u 川。 用“( ) 乘( 23 ) 式两边，并在 0 叫上积分，得 舒1 驯2 d t m 口2 ( t ) d t + 口r ( t ) ) l l u ( t ) l d t + k 詹l u ( t ) l t u ( t ) d t + cj 孑l u ( t ) l d t 茎m 口u 2 ( t ) d t + n v 币i m i 。( 詹m t ) 1 2 d t ) + k ( 詹1 “o ) 1 2 出) ；( 詹j “( t ) 1 2 d t ) + g 1 1 1 1 “1 1 0 。 = ! 三a 彳( 吾) 2 i i “川；十厅等忙| | 。f f l 2 十吾l l ，旧+ c t h o 。 兰( 鼍+ 盟茅+ 竿) “幅+ e t f u 1 1 2 由于 、 ( 1 一等一婴一k t ) i i u | | l 3 _ t 2 ， ( 卜丁一了一。憾c 叫l “恢 和 百m t 2 + 鲨+ 塑 一4 m 下t 2 + 一2 n t 2 + 塑 0 ，不依赖于a ，满足 i2 m 1 ， 因此有 。面m l ：= m 2 又因为 蚓= 丽丽1 学( t ，y m ) ) 出 亍口毋斋詹l y ( ) 陋 茄 曼志( 詹。忡) f 2 m ) + 鼎 = 而丽k 而l j o ti “( 圳2 矾) 十m 舌啬 丁f a 4 十) o j o i ”、”7 i “” + 赫+ 鼎， 我们有 l 。曼l 。 蚓 s 尬 拣+ 南：= 叫3 ( 22 ) ( 2 3 ) 又由于，( 0 ) = 0 ，所以有 m ) = g ，( o ) + f o ty ( s ) d s = z t , t l t l ( s ) d s ，【o ，玎 即可得到 m | | 。爿l y ”( t ) l d t 曼mj 孑m t ) l d t + n 口m 7 _ ( t ) ) l d t + 詹i f , 7 ( t ，( t ) ) 1 d t ( m 十n ) th y l l o 。十kj 孑l y l ( t ) i d t + g t 墨( m + n ) t i y t o 。+ k 、亍 i 川2 + c t ( m + ) l 且西十k 缸m 1 + c t ：= m 4 取 q 1 = y ( t ) g 1 ( lr ) l l | | b = m a x l l yl i 。1 旧川。) m a x m 3 ， 如) + 1 则q l 是有界开集，且 l y a n y ，v y a n l ， ( 0 ，1 ) 令y k e 7 - l n c l ( ，、r ) ，则= 常数r ，因此 ( q n 洲t ) = = = = ；行一( m + ) + o ) d = 。 当且仅当 ”；志z f ( t , o ) 出和川s 面车丙 取 、 2 2 一 k e r l n c t l ( ，兄) ：l l 可i i 。 0 ，使得对所有“，”r 如果我们研究问题 ( 咖( u ) 一( ”) ) ( “一”) g ( u 一”) 2 假定q ，i 1 l 0 。( r ，r + ) ，f ( t ，“，”) 是l 1 一c a r a t h e 6 d o r y 函数，那么这种假设是有意义的 事实上这个问题等价于( 1 2 ) ，其中 m ) = z 。而d x 满足条件( 口j ) 定理2 2 设驴：几一r 满足( b 1 ) 和( 哪) ，假定( 等+ n ) t 2 0 ：使得对所有”r ，有曲( ”) ”k v 2 3 反极大值比较原理 为了汪明单调迭代法的有效性，给出下面的反极大值比较原理 定理3 1 设y g 2 ( ，r ) ，且m 0 ，n 0 ，k 0 满足 ( i ) ”十m y ( t ) + n m a x y ( r ( ) ) ，o ) + 矗+ l ( ) j 0 ，t i ， ( i i ) y l ( o ) 0 y l ( ，) ， ( i i i ) 7 , i m t 2 + 竿，t 等1 则u ( t ) 0 ，vt ， 证明，假设命题不成立，即存在t ，使得( ) 0 只须考虑下面两种情形 情形 9 ( t ) s0 ，y ( t ) 0 ，v t 0 ：t 此时存在t o 0 ，卵，使得y ( t o ) = 鼍努，趴如) = 0 ，( 如) 0 由条件( i ) 知 ”( t o ) - 4 - m y ( t o ) 十t n a x ( r ( o ) ) ，( ) 0 因为r g ( ，n 所以r n “( g ( r ( o 氓o ) = - 0 则有 g ”( t o ) 2 m y ( t o ) 0 由此得到圹( 蝴= 仉g ( t o ) = = 0 由一k 面的假设，存在1 【0 ，t 】使得g ( t 1 ) 0 ，y l ( 2 1 ) s0 ，则t o ( 0 、，1 1 若t l t o ，则存在t 2 t l ，使得 y ( t 2 ) t 时也矛盾 情形2 g ，( o = 0 、y l ( 丁_ ) 0 使得堆1 ) 0 ，且y ( t 2 ) 0 ，则 ，( ) = 0 且由r 的定义，( t ( t ) ) y ( f ) 则存在 q o ，t 】使得 ( ”) ：= 0 ( t ) 0 ，vt ( f ，q ) ，q 一 l | 不失+ 般性，假定 q 的情形证明与之相同 注意到 y ”( t ) + m y ( t ) + k l y ( t ) l “n m a x y ( 7 ( t ) ) ，u j 一( ) ，vt k ，州 ( 3 1 ) 有h i j l d e r 不等式，有 口( ) 一一z ”( ) d ts ( q 一) ( z ”| ( t ) 1 2 d 。) 用g ( t ) 去乘( 3 1 ) 的两端，然后在匠叩 上积分，可得 z ”9 ( ) ”( ) d + m ，f 7 y 2 ( ) d + k z ”( t ) f 7 ( t ) i d g ( f ) z ”( t ) d f 因为 z ”g ( t ) g ”( t ) d r ：y ( g ( t ) 1 2 一z ”i v 。) 1 2 d = 一z 1 l ( z ) 1 2 d ， 由引理2 1 ，有 层，( f ) 1 2 d t 曼m 层y 2 ( t ) d t + kp ( t ) ( t ) l d t + ( ) p y ( t ) d t 曼m j ：；) y 2 ( t ) d t + ( 譬y 2 ( t ) 出) ；( 层i v ( t ) 1 2 出) ； 十n ( 1 7 一) ( 层l y ( ) 1 2 出) i 1 层y ( t ) d t m ( 坠乒) 2 层l g 印) 1 2 d t + k 数字层i 协) 1 2 d t + 2 血( 层l y ( ) | 2 出) ( 层| ! ，( t ) 1 2 m ) o 且u ( t 2 ) o 冈此“( ) 2 嵋( f ) 一u 2 ( ) = 0 且存在 ? 7 ，使得 ( ，7 ) = 0u ( t ) 0 ，y t ( q ，f ) ，7 7 q 的情形征明与之相同 因为r c ( z ，i ) ，所以有 袅( ( 曲。啦) ( t ) 一( 妒。，丘) ( t ) ) 十m u ( ) 一“( r ( 刚“( ) ，v t ( q ，) ( 33 ) 用“( t ) = t t l ( t ) 一i t 2 ( ) ，t h 刳乘( 3 3 ) 式两端，然后在m ， 上积分，有 店( m ( t ) 一t t 2 ( t ) ) 爰( ( 咖。“i ) ( t ) 一( 咖。u ：) ( t ) ) m1 m 晤l u ( t ) 1 2 d t 一“( f ) 工；“( t ) 出 另一方面， 上；( “l ( t ) “2 ( ) ) 盛( ( 。“i ) ( f ) 一( 。，。：) ( z ) ) d = 一j j ( t 。j 一乱6 ) ( ( 。“i ) ( t ) 一( 咖o “3 ) ( t ) ) d t 一k 后i u ：( o ) 一t z 5 ( f ) 1 2 d t = 一k 劈 ( ) 1 2 d t 由( 3 4 ) 和( 35 ) ，有 (m印胪以mzm(圳2以+“(f)z“(t)drj nj q ot | 由引理2 1 和c a u c h y s c h w a r t z 不等式，可知 。( ) ：。协) 出s ( 一q ) ；( n i “，( t ) | 。出) 和 聒“( t ) 以( 卜q ) ( 片i ( t ) 1 2 出) 6 ( 一q ) 氆( 劈l u ，( t ) 1 2 d f ) 由( 3 6 ) 一( 3 8 ) 以及引理2 1 ，可得 z 5 m 他铲出掣z ( 圳2 出+ 2 n ( 等_ r ) 2z l “协炉小 因此 k ( 筹+ 孚) ( 刊2 0 ，使得 j j 。：_ l ljj 2 m ，j ) o ：+ lj j o 。sm 这说明( o ：) 器和 。：) 黯- 都是有界的同理， 例n s n = 和 麟1 1 h o o ：也都是有界的 因此，存在o + ( t ) 和卢+ 使得 。 i m ，。n ( t ) 20 4 ( ) ，挡勘阮( t ) = ( t ) 在上是一致单调的 用与文献【1 】类似的方法可汪“+ ( z ) 和旷( t ) 都是问题( 11 ) 的解 进一步，如果y 慨n 是( 1 1 ) 的解，由归纳假设 胁( t ) s ( ) sn 。 ) ，v t j ，n = 0l ，2 因此( z ) 矿( z ) ，n + ( 列从而，n + ( z ) 和( f ) 分别是问题( 11 ) 在区问陋，凸j 上的极大解 和极小解 定理4 - l 证毕 用类似方法可以得到问题( 1 2 ) 解的存在性 因为f ( t ，“， ) e ( j r n ，r ) ，则存在c 0 使得 ，( ，u ，”) i c ，v t ，v 卢( ) ，d 0 ) 1 ，u 口( r 0 ) ) ，n ( r ( t ) ) 为方便起见，我们记女1 ( d 3 ) = 母- 1 ( 一c t ) ，2 ( c v 、卢) = 毋一1 ( 田、) 如果“和p 分别是问题( 12 ) 的下解和上解，易验证对所有f ， 定理4 2 没映射咖和函数f ( t ，u ，u ) 满足( b 1 ) 和( b 2 ) ，且假定问题( 1 2 ) 存在一个下 解n 和一个上解卢，使得“( f ) ( t ) ，v t ，设k 0 是( b 2 ) 中在陋l ( o ，卢) ，2 ( d ，p ) 上 给定的常数进步，假定，满足条件( b 3 ) ，存在常数m 0 ，n 0 满足 ( 1 4 m + 型1 t 2 k 丌 7 r 则存在一个非增序列 啦： 。和一个非减序列f 风 。 舻，叫，它们分别一致地收敛到 问题( 1 2 ) 的解“。和u ，、使得 卢( t ) t h 。( t ) u ( z ) d ( t ) 进一步，这些解是极值的，即问题( 1 2 ) 的任何解u ( t ) 如果满足 卢( ) “( t ) s ，一( t ) ， 则“f t ) 一定满足 t m n ( t ) ( t ) 墨? l , m a 3 ( t ) 】5 证明设中：r _ r 是递增同胚，满足 西( o ) = 0 ，圣( z ) = 庐( 。) ，v x k l ，k 2 则圣满足条件( 递) ，系数为k 例如，考虑 雪c z ，= i l 誊i ：三兰：耋；! 蓁i 箸j 如 第一步；首次逼近 取a 。= o ，设n ，是下述方程的解 一兰咖( “0 ) ) 一m u ( t ) 一n u ( 7 ( t ) ) = 口0 0 ) ，“7 ( o ) = 0 ，u 7 ( t ) = 0 ， n 其中a o ( t ) = ，( t ，d o ( t ) ，。o ( r ( t ) ) ) 一m o ：o ( t ) 一n ( v o ( r ( t ) ) 由推论3 2 知，1 存在且唯一 由下解的定义以及。印) f k l ，也】，有 m ，n ( t ) - “( r ( t ) ) ) 一象( 圣( 。) ) ) 即 一矗圣( n i ( t ) ) 一m n l ( t ) 一n o q ( r ( t ) ) = y ( t ，“o ( t ) ，o o ( f ( 砷) ) m a o ( t ) 一a o ( t ( ) ) ：，( t ，0 ) ，n ( r ) ) ) 一且矿“ ) 一n ( r u ) ) 2 一鑫中( n ( t ) ) 一m c ，( t ) 一“( r ( t ) ) 口；( 0 ) n ( o ) ，o l ( 了1 ) 血( t ) 由定理3 2 ，衄s 。 由条件( b 3 ) ，同理可证卢s “l 第二步：构造嘶。 由第一步逐次归纳，假设已构造出a 0 1 o 。_ m 1 定义。+ l 是下述方程的解 一袅脚印) ) 一讹一如) = ，“，( 0 ) = o ，“ ) = o 其中o h ( t ) = f ( t ，o 。0 ) ，o 。( r 0 ) ) ) 一n 玎d 。( ) 一。，。( r 0 ) ) 因为 一面d 掣i “。t + l ( t ) ) 一a f d n 十1 ( t ) 一n a n + l ( t ( t ) ) = f ( t ，0 _ 。( z ) ，o 。( 丁( t ) ) ) 一且彳o 。( t ) 一。( r ( t ) ) f ( t 、n 。l ( t ) ，f = i _ n 1 ( r ( t ) ) ) 一且彳( 1 ( t ) 一n 。1 ( 丁( t ) ) = 一面dvl u i 。( t ) ) 一a 4 n n ( t ) 一o n ( r ( t ) ) ， 且 “：+ 1 ( ( 】) = 0 = n ：( o ) ，c t ：+ 1 ( ，1 ) = 0 = 。：。( t ) 有o n + 1 三三( i 司理卢o 。+ 1 第三步：撕。的存在性 已知f n n 。是一个单调递减序列，由条件( b 3 ) 知，它在c 1 ( i ) 中有界凶此，它。 1 6 致收敛于t 。( 了1 ( n 由常规证法知t z 。满足方程 一象西( m 。( ) ) = m n z ( ) ，“( t ( 蛳，m 。z ( o ) 2 ( 】1 “。( t ) = 0 ( 4 2 ) 进一步，