（应用数学专业论文）关于一个含参量变分包含组解的灵敏性分析.pdf

摘要 内容摘要：本文引入一个新的变分包含组： 0 f ( a ，b ) 4 - m ( a ，妒) ， ( 幸) 0 g ( a ，6 ) + n ( b ，g b ) 讨论并研究这个变分包含组的含参量变形问题，即对任意给定 的a d ，找到a ，b ) = ( 0 ( a ) ，6 ( a ) ) 7 - i h 使得 0 f ( a ，b ，入) + m ( a ，g a ，入) ， ( 幸，) 0 a ( a ，b ，入) + n ( b ，g b ，a ) 问题( 木) 称为含参量分包含组。通过运用带有( 日，t 7 ) 单调算子的预解 算子技术，建立了这个新的含参量分包含组与不动点问题之间的等 价性，从而证明了在某种条件下这个新的含参量分包含组解的存在 性与唯一性，其中，预解算子兄勰是具有常数7 7 的l i p s c h i t z 连续 算子。同时本文还构造了一个新的用于计算这个含参量变分包含组 的逼近解的迭代算法，并且提供了由此算法生成的迭代序列的收 敛判据。最后分析这个新的含参量变分包含组解的灵敏性。本篇 论文所得的结果是新的并且改进、推广t f a a g ，h u a n g 和t h o m p s o n 【c o m p u t m a t h a p p l ，4 9 ( 2 0 0 5 ) ，3 6 5 - 3 7 4 】与a g a x w a l ，c h o 和h u a n g 【a p p l m a t h l e f t ，1 3 ( 6 ) ( 2 0 0 0 ) ，1 9 2 4 】中相应的结果。 关键词：含参量变分包含组，( 日，7 7 ) 单调算子，预解算子技术，迭代 算法，灵敏性分析。 a b s tr a c t c o n t e n t ：i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c eai l e ws y s t e mo fv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n s ： 0 f f a b l + m id 9 “) ， ( 木) 0 g ( a ，b ) + n ( b ，g b ) w em a i n l yd i s c u s sa n ds t u d yt h ep a r a m e t r i cv e r s i o no fp r o b l e m ( 木) t h a ti s ，f o re a c h 叙e da d ，f i n d ( a ，b ) = ( n ( a ) ，6 ( 入) ) 7 l f 7 l fs u c h t h a t 0 f ( a b ，a ) - 4 - m ( a q a a ) ( 幸) 0 g ( a ，b ，a ) + n ( b ，g b ，a ) ， w h i c hi sc a l l e da s y s t e mo fp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s 吼ht h e p r o p e r t i e so ft h er e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u ea s s o c i a t e dw i t h ( 日，7 7 ) - m o n o t o n eo p e r a t o r s ，w h e r et h er e s o l v e n to p e r a t o rr 擞i s 下rl 玲 s c h i t zc o n t i n u o u s ，t h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h es y s t e mo fp a r a m e t - r i cv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dt h ef i x e d - p o i n tp r o b l e m si sp r o v e da n d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rt h i sn e ws y s t e mi se s - t a b l i s h e d an e wi t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gt h ea p p r o x i m a t e s o l u t i o n si sc o n s t r u c t e da n dt h ec o n v e r g e n c ec r i t e r i ao ft h ei t e r a t i v e s e q u e n c eg e n e r a t e db yt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h mi sg i v e n ，t o o a tl a s t ， t h es e n s i t i v i t yo fs o l u t i o n sf o rt h es y s t e mo fp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n - c h s i o n si sa n a l y z e d t h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e ra x en e wa n d i m p r o v e ，e x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sd u et of a n g ，h u a n ga n d t h o m p s o n 【c o m p u t m a t h a p p l ，4 9 ( 2 0 0 5 ) ，3 6 5 - 3 7 4 】a n da g a r - w a l ，c h oa n dh u a n g 【a p p l m a t h l e t t ，1 3 ( 6 ) ( 2 0 0 0 ) ，1 9 - 2 4 1 k e yw o r d s ：as y s t e mo fp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ，( h ，叩) m o n o t o n eo p e r a t o r ，r e 强o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ，i t e r a t i v ea l g o r i t h m ， s e n s i t i v i t a n a l y s i s 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过 的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中 做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名：罱乞 e t 期：萝j 二秒 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的 论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名：两丕 指导教师签名： 日期： 九矽。 邓m n o n l i n e 8 rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s o 1i n t r o d u c t i o n i 七i sw e l lr e c o g n i z e dt h 8 tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e st h e o r yp l a y sav e r yi r a - p o r t a n t ，e f f i c i e n ta n df u n d a m e n t a lr o l ei nm a n yd i s c i p l i n e so fp u r em a da p p l i e d s c i e n c e s i ta l s oh a sw i t n e s s e da ne x p l o s i v eg r o w t hi nt h e o r e t i c a la d v a n c e si nt h e c u r r e n tm a t h e m a t i c a lt e c h n o l o g y i tn o to n l yb e c o m e sar i c hs o u r c eo fi n s p i r e - t i o ni nv a r i o u sm o d e l sf o ral a r g en u m b e ro fs u b j e c t sa r i s i n gi nm a t h e m a t i c a l ， r e g i o n a l ，p h y s i c s ，o p t i m i z a t i o n ，t r a n s p o r t a t i o n ，e l a s t i c i t y , e n g i n e e r i n ga n do t h e r p r o b l e m s ，b u ta l s og i v e st h em o s ts i m p l e ，g e n e r a l ，u n i f i e d ，n a t u r a la n de f f i c i e n t f r a m e w o r kf o raw i d ec l a s so fl i n e a ra n dn o n l i n e a rp r o b l e m s o no n eh a n d ，t h e t h e o r yo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e ss t i m u l a t e san u m b e ro fn e wr e s u l t sd e a l i n gw i t h p a r t i a ld i f f e r e n t i a e q u s t i o n s o nt h eo t h e rh a n d ，i nr e c e n ty e a r s ，v a r i a t i o n a li n - e q u a l i t i e sh a v e b e e ne x t e n d e da n dg e n e r a l i z e di nv a r i o u sd i r e c t i o n sf o rt h e i ro w n s a k e b e c a u s eo fi t sw i d ea p p l i c a t i o n s ，t h ec l a s s i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sh a sb e e n w e l ls t u d i e d v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa x ea ni m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o no fc l a s s i c a l v a r i a t i o n a li n e q u a h t i e sa n dh e n c ea l s oh a v e w i d ea p p l i c a t i o n st om a n yf i e l d s f o r t h e s er e a 8 0 d s v a r i o u sv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sh a v eb e e ni n t e n s i v e l ys t u d i e d b e - s i d e s ，m o n o t o n i c i t yt e c h n i q u e sa l ee s p e c i a l l ye x t e n d e da n da p p l i e db e c a u s eo f t h e i ri m p o r t a n c ei nt h et h e o r yo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s a n dm a n yk i n d so ft e c h n i q u e sf o rs o l v i n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n sa l ea l s od i s c u s s e d i nr e c e n ty e a r s ，s o m ea u t h o r sh a v ec o n s i d e r e dm a n yi n t e r e s t i n ga n di m p o r - t a n tp r o b l e m sr e l a t i n gt ov a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s f o r e x a m p l e ，k a s s a ya n dk o l u m b a n 【7 ls t u d i e das y s t e mo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s u s i n gaf i x e d - p o i n tt h e o r e ma n dg a v ea ne x m t e n c et h e o r e m v e r m 【1 5 】a l s o 盼 t a b l i s h e ds o m es y s t e m so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n ds u g g e s t e ds o m ei t e r a t i v e a l g o r i t h m sf o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o n so ft h es y s t e mo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i - t i e s f u r t h e r m o r e ，m o n o t o n i c i t yt e c h n i q u e sb e c o m e sav e r yp o w e r f u la n de f f e c t i v e 盎呈嗽 o a s v 甜坨玛帆篙糍n 壮n砒 b 嗄1 巳鲥钯 肌弘 n o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s t o o lf o rs t u d y i n gaw i d er a n g eo fp r o b l e m s i nar e c e n tp a p e r 【2 3 】，f a n g ，h u a n g a n dt h o m p s o ni n t r o d u c e dan e wc l a s so fg e n e r a l i z e dm o n o t o n eo p e r a t o r s ，( h ，刀) m o n o t o n eo p e r a t o r sa n dd e f i n e da l la s s o c i a t e dr e s o l v e n to p e r a t o r 、矾t ht h ep r o p - e r t i e so fr e s o l v e n to p e r a t o rm e t h o d s ，t h e yg a v es o m en e wi t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o r f i n d i n gt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s t h es e n s i t i v i t ya n a l y s i so fs o l u t i o n sf o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e so rv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n sh a sb e e ns t u d i e db ym a n ya u t h o r su s i n gq u 慨d i f f e r e n tm e t h o d s b y u s i n gt h ep r o j e c t i o na p p r o a c ha n dt h ep r o p e r t yo ff i x e dp o i n ts e t ，k a n g ，g a o ， l i ua n dl e e ( 1 8 】d e a l tw i t ht h es e n s i t i v i t ya n a l y s i so fs o l u t i o n sf o rg e n e r a l i z e d p a r a m e t r i cn o n l i n e a rq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi nh i l b e r ts p a c e ，m a k i n gu s eo f t h ei m p l i c i tr e s o l v e n tm a p p i n gt e c h n i q u e ，l i u ，z h u ，k a n ga n dk i mf 2 4 】d e 比w i t h t h es e n s i t i v i t ya n a l y s i so fs o l u t i o n sf o rt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dp a r a m e t r i cn o n - l i n e a rq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，z h a o ，x i a ，l i ua n dk a n g 【21 】a n dl i u ，a n ， k a n ga n dk i m 【2 5 】d e 砒w i t ht h es e n s i t i v i t ya n a l y s i so fs o l u t i o n sf o rt h ep a r a - m e t r i cg e n e r a ln o n l i n e a rq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o na n dt h ep a r a m e t r i cc o m p l e t e l y g e n e r a l i z e dn o n l i n e a ri m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n ，r e s p e c t i v e l y r e c e n t l y , b yu s i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ，a d l ys t u d i e ds e n s i t m t ya n a l y s i sf o r q u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sw i t hs i n g l e - v a l u e dm a p p i n g s f o rd e t a i l s ，m a n ya n - - t h o r sh a v ei n v e s t i g a t e dt h ep r o b l e ma b o u tp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e so r v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s w er e f e rr e a d e rt 0 【1 2 9 】a n dt h er e f e r e n c et h e r e i n i n s p i r e da n dm o t i v a t e db yt h er e c e n tr e s e a r c hw o r kg o i n go ni nt h i sa r e a , w ei n t r o d u c ea n ds t u d yan e ws y s t e mo fp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si nt h i s n o t e i ti sm o s tg e n e r a la n di n c l u d e sl o t so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n sa ss p e c i a lc a s e s m o r e o v e r ，m a k i n gu s i n go ft h er e s o l v e n to p e r a t o r t e c h n i q u ea s s o c i a t e dw i t h ( 日，功一m o n o t o n eo p e r a t o r sw h e r e t h er e s o l v e n to p e r a t o r r 微i s 丁rl i p s c h i t zc o n t i n u o u s ，w ep r o v et h ee q u i v a l e n c eb e t w e e n t h es y s t e mo l p a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dt h ef i x e d - p o i n tp r o b l e m sa n d e s t a b l i s ht h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rt h en e ws y s t e mo fp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n su n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s m e a n w h i l e ，w ec o n s t r u c t e dan e wi t e r a t i v e a l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n so ft h es y s t e mo fp a r a m e t r i c v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dg i v et h ec o n v e r g e n c ec r i t e r i ao ft h ei t e r a t i v es e q u e n c e g e n e r a t e db yt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m a tl a s t ，w ed i s c u s st h es e n s i t i v i t ya n a l y s i so f 2 n o n h n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s s o l u t i o n sf o rt h es y s t e mo fp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ，t h er e s u l t sp r e s e n t e d i nt h i sp a p e ra r ei l e wa n de x t e n d ，i m p r o v ea n du n i f yt h ep r e v i o u s l ym a n yk n o w n r e s u l t si nt h i sf i e l d 2p r e l i m i n a r i e s l e t7 - b e h i l b e r ts p a c ee n d o w e dw i t hi t sn o r ma n di n n e rp r o d u c td e n o t e d b yi l l ia n d ( ，) ，r e s p e c t i v e l y , 2 hd e n o t et h ef a m i l i e so fa l ln o n e m p t ys u b s e t s o f 咒l e tg ，日：咒_ 咒，只g ：冗冗_ 氕b em a p p i n g s s u p p o s et h a t m n ：爿7 l f 一2 爿b em u l t i - v a l u e dm a p p i n g s ，t h e nw ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n g p r o b l e m ： f i n d ( d ，6 ) 硝符s u c ht h a t o 盹6 ) + 肘( qm 0 a ( a ，6 ) + ( 6 9 5 ) p r o b l e m ( 木) i sc a l l e dt h es y s t e mo fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s n o ww em a i n l yi n t r o d u c ea n ds t u d yt h ep a r a m e t r i cv e r s i o no fp r o b l e m ( 宰) t ot h i se n d 1 e tdb ean o n e m p t s ro p e ns u b s e to f 爿i nw h i c ht h ep a r a m e t r i cat a k e s v a l u e s ，l e t 只g ：咒咒d _ 咒b em a p p i n g sa n dm ，n ：爿7 - d _ 2 ，tb e m u l t i - v a l u e dm a p p i n g s w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gs y s t e mo fp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n sp r o b l e m ： f o re a c h 丘x e da d ，f i n d ( a ，6 ) = ( d ( ”，6 ( a ) ) 爿hs u c ht h a t ( 车，) oe f ( n 6 ，a ) + m ( 啪哪 。0 a ( a ，b ，a ) + n ( b ，g b ，a ) w eg i v es o m es p e c i a lc a s e 8o fp r o b l e m ( 幸，) ( 1 ) i nc a s ef = g ，m = n ，o = b a n dg = if o ra l la ，b ha n da d t h e n p r o b l e m ( 奉，) r e d u c e st ot h ef o l l o w i n gp a r a m e t r i cg e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o n l i n e a r m i x e dq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o np r o b l e m ：f i n da = 口( 入) 咒s u c ht h a t ( 2 1 ) 0 f ( a ，口，a ) + m ( 口，a ，a ) ， w h i c hw a si n t r o d u c e da n ds t u d i e db ya g a r w a l ，c h oa n dh u a n g 【1 4 3 n o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ( 2 ) i ff ( a ，a ，入) = f ( a ，a ) a n dm ( a ，a ，a ) = m ( g ( a ，a ) ，a ) f o ra l la 7 l fa n d a d t h e np r o b l e m ( 2 1 ) i se q u i v a l e n tt of i n d i n ga = o ( 入) hs u c ht h a t g ( a ，a ) e d o m m ( ，a ) a n d 0 f ( a ，a ) + m ( g ( a ，a ) ，a ) ， w h i c hi sc a l l e dt h eg e n e r a lp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n c l u s i o n ，i n t r o d u c e db y a d l y 【1 6 】 【3 ) i fm ( ，z ，a ) = a 可咖( ，z ) a n d ( ，y ，入) = 刀妒( - ，可) ，w h e r e ，1 沙：7 - x 1 凡一 r u + o o a x e t w op r o p e r ，个s u b d i f f e r e n t i a b l eh m c t i o n a l sf o r 羽l 扛，劝笼笼a n d 叩多a n d 叼妒d e n o t et h e 伊s u b d i f f e r e n t i a b l eo p e r a t o r so f 咖a n d 妒，r e s p e c t i v e l y a s s u i i l et h 毗abc “a x et w on o n e m p t y , c l o s e da n dc o n v e xs e t s ，t h e np r o b l e m ( 幸) i se q u i v a l e n tt of i n d i n g ( a ，砷= ( 口( a ) ，6 ( a ) ) axb s u c ht h a t ( f ( a ，b ，a ) ，t 7 ( z ，d ) ) + ( z ，g a ) 一( 口，g a ) 0 ， ， ( a ( a ，6 ，a ) ，7 ( 弘”) + 妒( y ，g b ) 一妒( 6 ，g b ) 0 f o ra l l ，们咒7 l f ，w h i c ha p p e a r st ob ean e wo n e ( 4 ) i f f ( a ，b ，a ) = ( c ( b ，a ) 一d ( b ，叉) 一，) + a 一1 ( g 一6 ) ， g ( o ，b ，a ) = ( c ( a ，a ) 一d ( qa ) 一，) + 锣_ ( 6 一a ) a n d m ( ，z ，入) = ( ，z ，a ) = a 叶【z ) ， w h e r ec ，d ：“xd _ 氕b em a p p i n g sa n d ，砂：7 l fx “一ru + o o 】a x e t h e $ a l i l ea si n ( 3 ) t h e np r o b l e m ( 宰7 ) c o l i 丘p s e st ot h ef o l l o w i n gp r o b l e m ：f i n d ( a ，功= ( 8 ( a ) ，6 ( a ) ) ax bs u c ht h a t ( 口( c ( 6 ，久) 一d ( 抚a ) 一，) ) + 口一九刀( 曩口) ) o 砂( 口) 一q 砂( z ) ， ( ( c ( 口，a ) 一d ( a ，a ) 一j f ) ) + 6 一a ，刁( 。，) r e ( b ) 一p ( z ) ， w h i c hi sk n o w n 鹪t h es y s t e mo fp a r a m e t r i cg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sa n ds u g g e s t e db yz h a n g ，z h a n ga n ds h i n l 【6 】 4 n 0 n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ( 5 ) i fm ( a ，g a ，入) = m ( a ) a n dn ( b ，g b ，a ) = ( 6 ) ，f o ra u ( a ，b ) 咒7 - i ，t h e n p r o b l e m ( ，1 7 ) r e d u c e st ot h ef o l l o w i n gp r o b l e m ：f i n d ( a ，6 ) 咒“s u c ht h a t 0 f ( a ，b ) + m ( 口) ， 0 g ( 口，6 ) + ( 谚， w h i c hi sc a l l e dt h es y s t e mo fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dw a sc o n s i d e r e di nf 2 3 】 i nb r i e f ，f o ras u i t a b l ea n da p p r o p r i a t ec h o i c eo ft h eo p e r a t o r sf ，g ，m ，n ，h a n d9 ，o n ec 蛆o b t a i n l 艋g en u m b e ro fk n o w nc l a s s e so fp a r a m e t r i cq u a s i - - i o n i n e q u a l i t i e s ，p a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dp a r a m e t r i cq u a s i v a r i a t i o n a li n - c h s i o n s 蹈s p e c i a lc a s e so ft h es y s t e mo fp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ( 幸7 ) f o rd e t a i l s ，w ew o u l dl i k et om e n t i o nt h a tp r o b l e m ( 一) i sg e n e r a la n du n i f y 咄 a n dh a sn u m e r o u sa p p l i c a t i o n si np u r ea n da p p l i e ds c i e n c e ss u c h8 sm e c h a n i c s ， e c o n o m i c s ，p h y s i c s ，s t r u c t u r a la n a l y s i sa n d8 0o n i no r d e rt os h o wt h em a i nr e s u l t s ，w en e e dr e c a l l i n gt h ef o l l o w i n gc o n c e p t s a n dr e s u l t s d e f i n i ti o n2 1 叼：h 咒i sas i n g l e v a l u e do p e r a t o rw h i c h i ss a i dt ob e ( 1 ) m o n o t o n e i f ( u 一可，叼( t l ，t ，) ) 0 ， v ( u ，t ，) h h ； 似一2 ，叼( u ，t ，) ) 0 ， v ( u ，t ，) 冗h a n de q u a l i t yh o l d si fa n do n l yi fu = 口： ( 3 ) s t r o n g l ym o n o t o n ei ft h e r ee x i s t sac o n s t a n t 石 0s u c ht h a t ( 仳一t ，叼( t 正，口) ) 6f lt 一t ，l f 2 ， v ( t 正，t ，) 咒7 - ； ( 4 ) l i p s c h i t zc o n t i n u o u si ft h e r ee x i s t sa c o n s t a n t7 0s u c ht h a t 1 l 7 “，口) l i 下 lt 一t ，i l ， v 托，口) ? - 氕 d e f i n i t i o n2 2 ( s e e 【2 3 ，d e f i n i t i o n2 3 1 ) l e tf 7 ：氕“_ ha n d 日：h _ 咒b et w os i n g l e - v a l u e do p e r a t o r sa n dl e tm ：“一2 hb e am u l t i v a l u e do p e r a t o r mi ss a i dt ob e ： 5 塑旦塾! ! 呈呈璺三塑兰i 壁i 2 翌堂垫! ! 坠兰垫墅 ( 1 ) m o n o t o n ei f 伍一y ，t i 一刀) 0 f o ra l lu ，t ，咒，z m ua n dy m y ； ( 2 ) 咿m o n o t o n ei f 扛一y ，, t c u ，钐) ) 0 f o ra l lt 正，t ，7 - i ，z m ua n dy m y ； ( 3 ) s t r i c t l yl p m o n o t o n ei fmi s 叼- m o n o t o n ea n de q u a l i t yh o l d si fa n do n l yi f q = t ，： ( 4 ) s t r o n g l y 叩- m o n o t o n ei ft h e r ee x i s t ss o m ec o n s t a n tp 0 s u c ht h a t ( z 一可，刀( 钍，移) ) pi iu 一口1 1 2 f o ra l lt 1 口? - i ，z m ua n dy m y ； ( 5 ) m a x i l n a lm o n o t o n ei fm i sm o n o t o n ea n d ( i + p m ) ( 7 - i ) = h ，f o ra l lp 0 ， w h e r eid e n o t et h ei d e n t i t yo p e r a t o ro nh ： ( 6 ) m a x i m a l 叩- m o n o t o n ei fm i sr 卜m o n o t o n ea n d ( j + p m ) ( t i ) = 7 l f ，f o ra l l