（应用数学专业论文）一类非线性二阶椭圆型方程组的正整体解.pdf

中文摘要 本文主要研究如下非线性二阶椭圆型方程组全局衰退正解的存在性 一- - a u 制= f 1 ( z ) n u 。- - 肋g l 彩1 渊x e rn,av q - h 2 【一= ，2 ( z ) “一肋( 。) 4 ( 。) ，p ( 钍) ， 、。 在这里“，1 1 ，p 1 在适当的条件下，利用单调迭代方法得到方程组 ( + ) 的衰退正解以及解的c 盟( r 。v ) 正则性 本文分四节来讨论这个问题 第一节引言，主要说明问题研究的背景和实际意义，以及本文的主要工 作和有待解决的问题 第二节主要给出一些相关的基本概念，定理主要包括极值原理，h 6 1 d e r 连续性，s c h a u d e r 理论，这些都是解决后面问题必要的基础知识 第三节讨论一类非线性椭圆型方程全局最小正解的存在性以及唯一性 这些结果也是解决非线性椭圆型方程组问题的基础这里涉及到两个非常 重要的引理，上下解原理和半线性椭圆型方程的比较原理 第四节研究这篇文章的主要问题一非线性椭圆型方程组( 4 ) 正整体解 的存在性并且给出了具有类似结构的竞争模型和捕食模型解的存在性的 一些充分性条件 关键词：非线性椭圆型方程；最小正解；上下解方法；多重单调算子；反应 扩散方程；平衡解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h es e c o n do r d e rn o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m f 一u = ，1 ( z ) 8 一9 1 ( z ) u 4 + 1 ( 。) “1 p ( ”) 。r 【一u = 厶( z ) u 。一鲍( 嚣) 矿+ h 2 ( 茹) p ( u ) ， ( + ) w i t ho ，y 1 ，p21i s c o n s i d e r e di nr n ，n 3 u n d e ras e to fs u i t a b l e h y p o t h e s e so nf u n c t i o n ，吼，h ia n dp ，i ti ss h o w n t h a tt h i ss y s t e mp o 鼹髑鼬8a n e n t i r cd e c a y i n gp o s i t i v es o l u t i o nu ， ) c 翟( r ，) q 2 0 c , 0 ( r ”) t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s i nt h ef i s r ts e c t i o n ，w eg i v ea ni n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r i ti n c l u d e st h e b a c k g r o u n do ft h i sp r o b l e m ，t h em a i n w o r ki nt h i sp a p e ra n ds o l n eo p e np r o b l e m s - n e x t w ep r i v i d es o m eb a s a ld e f i n i t i o n sa n dt h e o r i e si nt h es e c o n ds e c t i o n ， s u 出a st h em a x i m u mp r i n c i p l e ，h h l d e rc o n t i n u i t y ，s c h a n d e rt h e o r ya n ds oo n ， w h i c h8 l ef o u n d a t i o no ft h el a t e rw o r k t h et h i r ds e c t i o no ft h i sp a p e rs o l v e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u c f l e s so ft h e m i n i m a lp o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n st oac e r t a i ns e c o n do r d e rn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a - t i o n t bs o l v et h i sp r o b l e m ，u p p e ra n dl o w e rm e t h o da n dc o m p a r i s o nl e i m n aa r e i n t r o d u c e d a tl a s t ，w ee s t a b l i s ht h et h e o r yo ft h ee x i s t e n c eo fd e c a y i n gp o s i t i v es o l u t i o n s f o r s y s t e m ( + ) a n d s o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f t h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n s t os i m i l a rp r e d a t o r - p r e yw p ea n dc o m p e t i t i o nt y p ea r ep r o v i d e d k e yw o r d s ：n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ；m i n i m a lp o s i t i v es l u t i o n ；u p p e r l o w e r m e t h o d ；m u l t i - m o n o t o n i co p e r a t o r ；r e a c t i o n - d i 缸i o ne q u a t i o n ；e q u i l i b i r i u ms o l u t i o n 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 陆狮 签字脚 移厂年阳7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫生盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤生盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 脯锎， l 导师签名 签字日期：妒叮年f 月夕日签字日期：x ，、口舜f 月i 。日 第一节引言 第一节引言 本文主要研究如下非线性二阶椭圆型方程组全局衰退正解的存在性 f 也= 删“吒9 ，( 。) “；+ “t ( 咖7 p ( 。r ， 【一 = 厶扛) 。一船( $ ) 口4 + h 2 知) 矿p ( u ) ， 。一 在这里d ，7 l 时，方程( 1 2 ) 通常被称为超线性方程作为分水岭的 = p 值，引起人们的不少关注( 参见 7 ) 当0 1 时，方程( 1 2 ) 被成为下线 性方程f u k a g a i 8 在条件 。f + c 。8 n _ i _ a ( n _ 2 ) k + ( s ) d s 佃，k + ( z ) ：1 2 z k ( 。) ，( 1 3 ) 下证明了方程( 1 2 ) 存在最小全局正解 当a 0 时，出现了奇异现象当a ( - 1 ，0 ) 时，k u s a u o 和s w a n s o n 9 ， 第一节引言 e d c l s o n 1 0 在条件( 1 3 ) 下证明了方程( 1 2 ) 同样存在一个最小全局正解但 在 1 1 】中，作者提出了一个开问题，即，( z ，u ) 既包括下线性项又包括奇 异项时方程的解问题( 我们把这类问题称为混合型问题) ，这类问题主要产生 于化学多相催化剂，非牛顿流体力学和导电材料热传导中的相关问题 随后，一些作者对此作出了大量研究，参看 1 2 ，1 3 ，1 4 _ 例如，y a o 1 2 】 我们将在文章第三节中，采用上下解方法解决一类具有混合类型的二 阶椭圆型方程解的存在性和唯一性问题，其具体形式为 一a u = ( 。) u ”+ ，2 ( z ) u 。一g l ( 。) u m 一9 2 ( 。) u 如， ( 1 4 ) 其中 1 ，屈1 此时，我们注意到取消了对奇异项指数的要求 非线性抛物型方程( 组) 是偏微分方程研究领域的一个主要分支而在 研究其平衡解的存在性问题时，该问题的研究就直接转化为对椭圆型方程 ( 组) 的研究在第四节中，我们将开始探讨一类反应扩散方程组的平衡解存 反应扩散方程( 组) 来源于数学生物学中众多的数学模型，因而有着强 烈的实际背景例如，在人口动力学的研究中，下述模型 雾一a u m = ，( a ，u ) ( ia u ( 1 一u ) ，u ( 1 一u ) ( a u 一1 ) ，c t c ) ， ( t ，。) ( 0 ，+ o 。) n ，( 1 5 ) 具有初值边值条件 u 0 ，。) = o ，( t ，z ) ( 0 ，+ o 。) xa n ， u ( o ，z ) = u o ( 茹) ，。n ，( 1 6 ) 正解的存在性问题已有不少研究，参看文献【1 5 一 1 8 人们讨论0 m 1 的情形，前者属于慢扩散问题，后者属于快扩散问题 从这可以看出，在全空间上研究两个种群的互助共生模型时，有必要研 蠢d l 扩- ，l 扩叫如m 叶k 扛叩扣) ) f 1 7 ) i 象一d 2 a 沪：删儿卯( z ) 矿+ 喇胛( u ) ， ”。 第一节引言 其中p ，p 0 为扩散系数关于这个方程组的正稳定 解，在代换俨一u 下转化为对方程组( 8 ) 的正解的存在性研究 一些文献，包括【1 9 一 2 4 ，给出了关于非线性椭圆型方程组 f a u + 日( z ，u ，o ) = 0 ，、 【a v + f 2 ( z ，u ，u ) = 0 ， 、。 正解存在性的结果尤其，w 删 2 4 利用上下解方法，得到了等出生率情形 反应扩散系统v o l t e r r a - l o t l m 模型稳定共生状态的平衡解的存在性但是， 对于所谓的混合类型，即日，足中包括奇异，下线性项时，我们不能直接从 上述文章中得到正解的存在性 在这篇文章中，我们将主要探讨方程组( 。) 衰退正解的存在性在上下 解的基础上，利用二重单调算子方法，我们建立一些正解存在性定理我们 的结果适用于下述系统 f 一u = ( z ) 。一9 1 扛) “卢+ h i ( g ) 缸1 ( d l + ) 6 1 l 一尘x v = ，2 ( z ) f 。一虫( 。) 扩+ h 2 ( x ) v 1 ( d 2 + “) 屯 这里，也0 ，也 1 7 ，i = 1 ，2 ，甚至一些更一般的模型 ( 1 9 ) 文中所采用的方法不仅适用于方程组( + ) 式的互助共生模型，而且对于 具有类似结构的捕食模型，竞争模型同样是可行的而且还可以解决有界 区域上的相似问题 下面概述一下本文底下各章的内容 第二节主要给出一些相关的基本概念，定理主要包括极值原理，h s l d c r 连续性，s c h a u d e r 理论，这些都是解决后面问题必要的基础知识 第三节讨论一类非线性椭圆型方程( 1 4 ) 全局最小正解的存在性以及唯 一性这些结果也是我们解决非线性椭圆型方程组问题的基础在这里， 我们涉及到两个非常重要的引理，上下解方法和半线性椭圆型方程的一个 比较原理 第四节研究这篇文章的主要问题，非线性椭圆型方程组( + ) 正整体解的 存在性并且给出了具有类似结果的捕食模型，竞争模型解存在的一些充 分性条件 由于椭圆型方程( 组) 有着广泛的实际应用和应用前景，它一直是人们 研究的热点，也有着许多问题值得人们去研究在我们这篇文章中，也还是 3 第一节引言 有许多问题值得进一步研究 由于我们采用的方法是单调迭代方法，对方程组( + ) 中函数p 的要求相 对比较严格在这篇文章中，我们要求函数p 具有单调性那么p 的单调 性条件能不能放松呢? 虽然在这篇文章中我们得到了方程组解存在的一些充分性条件，但是 我们并没有涉及到方程组解的唯一性 这些都是值得进一步研究的问题 第二节基本概念和定理 第二节基本概念和定理 在本节中，首先介绍一下本篇文章中所涉及到的一些基本概念和定理 对于这些概念和结果，请参考文献 2 5 2 6 定义2 1 设q 是r 中的区域，u 是c 2 ( q ) 函数，“的l a p l a c i a n 用“ 表示，定义为 a u = 风u = d i v d u 仁= l 如果函数“在f 2 中满足 a u = 0 ( 0 ，茎0 ) ， 则称“在q 中调和( 下调和，上调和) 定理2 2 ( 强极大值和极小值原理) 设在n 中u20 ( o ) ，并设存在一 点y q ，使得u ( ) = s u p n u ( i n f a t ) 则u 是常数因而一个调和函数不能有 内部极大值或极小值，除非它是常数 定理2 3 ( 弱极大值和极小值原理) 设u c 2 ( n ) n c o ( 豆) ，在q 中 a u 20 ( o ) 假设n 有界，则 因此，对于调和函数u 8 u 。p ”s 。u 。p “( 1 n f “2 瓣“) 瓣“( 。) s 舳u p “，。n 定义2 4 设z o 是r “中的一点，是定义在包含z o 的有界区域d 上 的一个函数假设0 0 0 ，l 在n 中就是严格椭圆的如果全在q 中有界，我们称l 在n 中是一致椭圆的 定义2 ，1 2 为了以强的形式叙述s c h a u d c r 估计，我们在空间c 2 ( n ) ，g ，9 ( n ) 上引进以下附加的内部范数和范数，对实数口及非负整数，我们定义 船m = i f l 龆= s u p 砖”i d # f ( x ) l ； j ；臣 嗽2 s k + 8 掣i xy l o 嘲； ( 。1 0 )籀 一 ( 2 ) | ，l 龆= ， 擦； l ，1 龆：。= 1 ，嗡+ i ， 鼢p 定理2 1 3 ( $ c h a u d e r 内估计) 设n 是r ”的开子集，又设“c 2 , 8 ( n ) 是 方程 l u = 口”d i j u 4 - 扩d i u + “= 在q 中的有界解，其中，和系数满足下述条件存在正常数a ，a ，使得 。玎白a i 引2 ，v x n ，r ” 和 i a 5 ( o ) j 卅 。，i c 器；。a ；i ，i 器；。 0 ， 则方程( 3 1 ) 存在一个全局正解 满足 ”( z ) u ( z ) w ( z ) ，z r n ( 3 3 ) ( 3 4 ) 我们称函数 t o 为方程( 3 1 ) 在r n 上的一个上解，若w c 2 并且满足不 等式( 3 3 ) ；相应地，称 为方程( 3 1 ) 在r n 上的一个下解，若u c 2 并且 满足不等式( 3 4 ) 记s 是【0 ，+ o o ) 上满足下列条件的所有非负连续函数e ( t ) 所组成的集 合 0 0 ( 3 6 ) 引理3 4 设g ( t ，u ) 是 0 ，+ o o ) ( 0 ，十o 。) 上的非负连续函数，满足不等 式 o 0 满足下列条件 矿+ 等一g ( l j i ( ) y ( t ) ”0 ) ，t 0 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 证明：由( 3 7 ) 知c ( t ，( t ) ) s ，于是令e ( t ) ；g ( t ，( t ) ) ，则( 3 5 ) 和( 3 6 ) 式成立故取常数k 满足三1 ，k ”一1 2c 2 ，k “sc l ，根据引理3 3 我们得到 g ，+ 掣y ，一k x g ( t ，删，t o ， ( ) ( ) s 七“庐0 ) ，t 0 因此，由( 3 8 ) 式可知 + 掣，一a ( t ，) 捧 引理3 5 设g ( t ，u ) 是【o ，+ a c ) ( o ，+ o 。) 上的非负连续函数，满足不等 式 0 0 ， 满足下列条件 z ”+ t n - 1 一一g ( t ，z ) ，t o k - m 妒( t ) z ( t ) ( t ) ，t 0 ( 3 - 1 3 ) f 3 1 4 1 这个引理的证明与引理3 4 非常相似，在这里我们不再证明接下来， 我们给出另一个非常重要的引理一比较原理这个引理是文献 2 9 中引理 2 3 的一个推广，它不仅在证明方程( 3 2 ) 的解具有唯一性方面起着重要的 作用，而且在下一节中，对于证明方程组( 8 ) 解的存在性方面也是不可缺少 的 第三节一类非线性二阶椭圆型方程的正整体解 引理3 6 ( 比较原理) 设，：r “xr + 一r 的连续函数，并且满足下列 条件之一： ( i ) 对于z r ”，8 - - 1 ，( 。，s ) 关于s 严格递减； ( 1 1 ) 存在r n 的一个子集n o ，使得对于z 1 1 0 ，8 - 1 ，( z ，s ) 关于s 严格递 减；对于z r n 一1 2 0 ，( z ，s ) 和8 - - 1 ，( z ，s ) 都关于s 非增 如果，口俨( r ) ，满足： ( 1 ) a w + ， ) 0 + f ( x ， ) ，x r “； ( 2 ) 在r “上，w ，u 0 ，并且l i r a i n f i 圳。o 。( w ( 善) 一u ( z ) ) o ； ( 3 ) a v l 1 ( r ”) 那么对于嚣r ”， v 证明；我们仅仅给出( i i ) 成立时的证明，对于另一种情形，用同样的方 法可以得到 不失一般性，设r ”= q l u n 2 ，其中 n ，= z nl ，( z ，s ) 和s - 1 ，( z ，s ) 关于s 均非增) 1 1 , 1 v 并且 n 2 = f 2 0 q l 0 是r ”的一个开子集，这是因为n ，是r n 中的一个相对闭集 下面我们采用反证法来证明这个引理记岛为集合 z r “1w ( x ) 0 ，使得品0 且瓦c r ” 若岛nn 2 = d ，则巧cn 1 那么，对于a 岛， ( z ) = v ( x ) 一口又由 ，( z ，s ) 在z n 1 上的假设以及条件( 1 ) 可知，当善岛时， a ( w ( x ) 一扣( z ) 一一) ) s ( x ，”( z ) ) 一， ，w ) ) s 0 因此，在岛上运用极大值原理，我们得到：对任意的z s ， ( z ) 口( z ) 一o - 显然这与函数在品上的定义相矛盾 若o n n 2 0 ，又由f ( x ，8 ) 在。f l o 上的假设，易知存在o 0 和闭球 百c ( 岛n n 2 ) ，使得 u ( z ) 一( z ) e o ，xeb ，( 3 1 5 ) 1 3 第三节一类非线性二阶椭圆型方程的正整体解 并且 扣扣( 趔w 一掣) 如 。 慨峋 j b、 u ， 接着，我们令 m = m a x 1 ，i i 圳口( r w ) ， e = 曲卜，封 设0 是r 上的一个光滑函数，满足：当t i 1 时，o ( t ) = o ；当t 1 时 o ( t ) = o ；当t ( j 1 ，1 ) 时，o ( t ) ( o ，1 ) ；而且对于任意的t r ，目讹) 0 并且，对 0 ，定义函数以( t ) 为 0 0 ( 归一( ；) t 盘 那么由条件( 1 ) 以及对于t f t ，口。( t ) 0 这个事实，我们得到 ( w a y - y a w ) 蹦胁w ( 掣一掣) 川x e r n 、又根据 ，u 和以的连续性和条件( 2 ) ，则可以取d 是一个具有光滑边界 的开集，满足哥c dc & ，这里d = m i n 口， ) ，而且对于所有的z s o d ( z ) 一 ( 。) ；成立这样我们得到 f 。( w a v - - v a w ) o , ( 雌扣( 掣一掣) 刊如 显然 记 e 。( t ) = z 。( s ) d s ，t r o e ：( t ) 2 e ，t r e 。( ) = o ，当t ；时 ( 3 1 7 ) 第三节一类非线性二阶椭圆型方程的正整体解 因此， d ( ”舭一”) o d ”一”) 8 。 = f o o w o 。( v o v _ d s 一上( v ”v ”) 以( v - - w ) 如 一厶”( ”一w ) v ”( v v - - v 叫) d x f o pv o w ( v - w ) - - 豢d s + f d ( v w - v ”) 以扣一w ) d 。+ 上”扣一w ) v w ，( v ”一v ”) d x = n 扣一 ) ( v ”一v v ) ( v 一v w ) d x j u + d ( 一州) 畦( ”1 ) v ”( v w v w ) 如 j d v u v ( e s 一一埘) ) 如 = z 。e 。( ”一”) 嘉扣f d 。( ”一”) ”如 2 5 口u i d x ( 由( 3 - 1 7 ) ) 2 e m 0 ，使得当u ( 0 ，d ) 时，f ( x ，u ) g ( 1 z l ，u ) 而且，若8 1 d 2 s0 ，不妨设q 1 0 ，令m = i a l l + l ， = m a x m 0 2 ，l 虮1 + 1 2 ， 则通过简单的计算可知：( 3 8 ) 和( 3 1 2 ) 式成立 而在其它情形时，当口l ，d 2 0 ，令m = 1 ，a = m a x a 1 ，a 2 ；当a l ，a 2 0 ， ( 3 1 8 ) 满足( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 同理，根据引理3 5 ，我们定义函数z z ( t ) = 坷1 【9 ( t ，( t ) ) ，t 0 在这里岛1 的常数，使得( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 式成立又令函数z ( t ) 放缩一个小的倍数( 在这里仍然记作z ) ，使得当t 0 时，z ( t ) d 仍然满足( 3 1 3 ) 式 这样，我们得到函数y 和= 分别满足( 3 9 ) 和( 3 1 3 ) ，并且 0 z ( t ) 0 ( 3 1 9 ) = 圬1 z ( t ) 显然z ( t ) 接下来，根据( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 式的连续性，我们分别定义( o ) 和z ( o ) 则g ，( 0 ) = 一( o ) = 0 ，对z r “，定义函数 ( 。) = ( ) ，w ( 。) = z ( ) 因 此，由( 3 9 ) 和( 3 1 3 ) ，u 和w 分别是方程( 3 2 ) 的一个上解和下解，并且 0 i ，使得 l ”( z ) l ，j w ( 。) m i ( z ，驴( i z i ) ) i 又由定理3 7 中的假设( 2 ) ，因此a v 和a w 都属于l 1 ( r 。) 所以，根据引理3 6 知，在r n 上， 2w 同理删 因此，在r ” 上，w 兰 孝 第四节非线性二阶椭圆型方程组的正整体解 第四节非线性二阶椭圆型方程组的正整体解 在这一节中，我们将主要讨论二阶非线性椭圆型方程组f + ) 的正整体解 的存在性 一”2 ( 。) ”。一口】( 。) “：+ l ( 茹) 让7 p ( ”) z r “ i a v = ，2 协) 。一船( o ) 扩+ h 2 ( z ) t p ( u ) ， 其中a ，7 0 且( ， ) 都满足方程组( 8 ) ，我们称( u ，u ) 是方程组( + ) 的正整体解( 又称正全局解) 如果对所以的h 1 ，又有“，u 都位于蚓2 一“的某些常数倍之间，那么 我们称解( “， ) 是最小的 在这节中，记 q 笫兰 u c ：k o c , 0 ( r ) i3 0 ，如) g ( z ) ，s t ，( z ) su ( 嚣) 9 ( 。) ，v z r _ ) 特别地，令 q 三 “c 髫( r ) i3 0 c 0 ( 仅仅依靠n 上 ，g i ，i = 1 ，2 的函数值) ，使得 l i u 一l i i o a ，o ( n ) ( n ) ， v n 1 因此，根据条件( 1 ) 和a x z e l a - a s c o l i 定理，运用c a n t o r 对角线方法得 到：序列 ) 。1 在q 2 , 0 。o 淼上存在一个子序列( 我们仍然记作 ) ) ， 以及元素驴，满足 虫驴，。 于是，对于子序列 巩) 的象序列 + 1 ) ，由于 + ，) cq 2 , 8 。q ，2 2 , 0 ，。： 同理可得：在q 2 , 0 q 翟。：上存在子序列 u 。+ z ) 谌，以及元素d ，使得 州驴，t 。 。驴，i 。o 。， 仍然成立j 那么，根据u 是初始序列 ) 点态收敛的极限，以及极限的唯 一性定理易知 u = 疗= d q 2 ，1 , 0 。，q 笼。 因此，根据算子皿在q 恐。q 几2 , 0 。一q 几2 , 0 。q 恐：上的闭图像性质( 2 ) ， 以及 阢l = 皿，v i = 1 ，2 ， 筻婴芷 韭塑丝三坠煎堕型立垂塑塑堡壁鱼生l 一 我们得到 u = 皿h 也就是说，u 是霍的不动点，故u q 2 , 9 ，。，q z 。 带 下面我们给出这一节的一个主要结论： 定理4 2 设常数a ，1 0 ，使得毋( z ) s 岛五( 。) ，z r n ； ( 2 1 对于s 0 ， 。( s ) 0 ，其中丸( s ) = u 曲；。五( ) ，并且 f “s 一1 一d ( 吲 ( s ) 如 0 ，使得对k 1 ，p ( 七。s ) 七巾( s ) ，v s 0 那么方程组( + ) 存在一个全局最小正解( “， ) c 翟( r “) c 甾( r ) 证明；对任意的 q ，z r ”，不妨设k - 1 蚓z 1 ) ”( z ) 墨板蚓) ，其中 七1 ，由条件( 2 ) 和( 3 ) 可知 + 凸。s 一1 一，( 一2 碡( 3 ) p ( ”) d s + 。s “一1 1 “一2 ；( 8 ) p ( 一1 咖( j z i ) ) 4 s 5 + 。s n - t - v ( n 一2 ；( s ) p ( s 2 - 。v ) d s 0 下面的不等式成立 一a v o 一( ，2 ( z ) ”；一g 。( z ) 诣) = m ，2 扣) 簖一( m 。，2 0 ) ；一m 4 卯0 ) ”p ) ( m 五( 。) 瞄一；m 。，2 如) u 学) + ( m 芦c 2 ，2 扛) “曾一互1m n ，2 ( z ) 占) so ( 4 3 ) 故可取m = m o 0 ，使得( 4 3 ) 成立，且有v o 0 令u o = 一- ) 由( 4 3 ) 和引理3 6 知，y o a 。( “o ) 接着，对给定的初 始函数u o ( z ) ，v ox ) q ，我们构造序列 譬二紫。1 ：一，z ， ( 4 。) 【= a 2 ( 一1 ) ， 一 ” 因此，v o u l ，而且t o u i ( 实际上u o = i t l ) 根据a 的递减性，我们得到 剐i = 一4 2 ( u o ) s 。4 2 1 ) = v 2 ；z 1 0 撕= a 1 ( ) a 1 ( 姐) = u 2 因此，重复这个过