（应用数学专业论文）公理化模糊粗糙集及其不确定性度量.pdf

公理化模糊粗糙集及其不确定性度量 摘要 本文研究模糊粗糙近似算子的公理化特征，并给出广义模糊粗糙集的一种 不确定性度量在粗糙集理论的公理化研究中，各种模糊近似算子由不同的公理 集来刻画，这些公理集保证存在相应的二元模糊关系，使得由模糊关系通过构造 性方法定义的模糊粗糙近似算子恰好就是用公理定义的近似算子但是刻画各 种模糊近似算子的公理集的独立性问题还没有解决本文研究了这一问题，并给 出各种特殊模糊关系所对应的模糊粗糙近似算子的最小公理集研究了广义模 糊粗糙集的不确定性问题，利用一种新的信息熵定义了模糊粗糙集的模糊性度 量，并给出了这种度量的性质，证明了当且仅当彳是经典可定义集合时其模糊粗 糙集的模糊性度量f r ( 爿) 等于0 关键词：粗糙集，模糊集，近似算子，公理化，不确定性 a x i o m a t i cf u 忽：ym u 曲s e t sa n dt h eu n c e r t a i n 锣m e a s u r e s a b s t i a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h ea ) ( i o m a t i cc h a r a c t e r i z a t i o no fm eg e n e r a l i z e df u z z yr o u 曲 s e t s an e wu n c e n a i n t ym e a s u r eo faf u z z yr o u 曲s e ti sp r o p o s e d i nt h ea ) ( i o m a t i c a p p r o a c ho nm es t u d yo fr o u g hs c tt h e o r y o r l cd e 矗n e sap a i ro fd l i a lf u z z yr o u g h a p p m x i m a t i o no p e r a t o r sb ya to fa x i o m s v 打i o l l sc l a s s e so ff h z z yr o u g ha l g e b r a s a r cc h a r a c t e r i z c db yd i f f e r e n ts e t so fa ) i o m s a x i o m so f 缸z z yr o u g h 印p r o x i m a t i o n o p e r a t o r sg u a r a n t e et l l ee x i s t e n c eo fc e n a i nt y p e so f 矗l z z yr e l a t i o n sp r o d u c i n gm e s 锄ef u z z yr o u g ho p e r a t o r s b u tt l i ei n d c p e n d c eo f 出ea x i o m sc h a r a c t e r i z i n gf h z z y r o u g h 印p m x i m a t i o no p e 豫t o r si ss t i ua no p c np m b l e m i nm i sp a p e r w es o l v et h i s p m b l e mb yc e n a i n “a r n p l e s a i l dt h e nm em i l l i m a ls e t so fa x i o m sf o rv a r i o u sf h z z y r o u g ha p p m x i m a t i o no p c r a t o r sa r ep r c s c n t e d b yl l s eo fan e wf o m m ao fi n f o m l a t i o n e n t r o p y a nu n c e r t a i m ym e 船u r ef o rg e n e r a l i z e df i l z z yr o u g l ls e ti si m r o d u c e d s o m e b a s i cp r o p e r t i e so ft l l i sm e 晒u r ea r ee x 锄i n e d ni sp r o v e dm a tt l l em e a s u r eo f 缸琵i n e s s “a 缸掣r o u g hs e tf r ( 一) e q u a l s t oz e r o i f a n d o n l y i f 坨s e t 爿i s 谢s p a n dd e f j n a b l e k q 唧o r d s ：r o u g hs e t s ；f u z z ys e t s ；l o w e r 蛆du p p e ra p p m x i m a t i o no p e r a t o r s ； a x i o m s ；u n c e n a i n t y 2 l引言 粗糙集理论是由波兰数学家pa _ w l a l ( m 2 1 于1 9 8 2 年提出的用于数据分析的数 学理论由于这一理论能够分析处理不精确，不协调和不完备信息，因此作为一 种具有极大潜力和有效的知识获取工具受到了人工智能工作者的广泛关注目 前，粗糙集理论己被成功地应用在机器学习，决策分析，数据挖掘，过程控制， 知识发现，冲突分析，模式识别等领域，现已成为计算机和信息科学的研究热点 之一 粗糙集理论的主要思想是利用已知的信息或知识近似描述不精确的概念 其核心基础是从近似空间导出的一对集合值算子：上近似算子和下近似算子通 常对粗糙集近似算子的研究主要有两种方法：构造性方法和公理化方法构造性 方法是以论域上的二元关系，邻域系统或布尔子代数等作为基本要素构造性地 定义近似算子，然后导出粗糙集代数系统p 。“由于二元关系常用来刻画信息系 统中的可利用信息，所以粗糙集在数据分析中的应用大都利用构造性方法来定 义近似算予公理化方法的基本要素是满足某些公理集的近似算子，即粗糙集代 数系统是事先由公理给定的，然后去找二元关系使得由二元关系通过构造性方 法定义的近似算子及其导出的粗糙集代数系统恰好就是事先给定的近似算子和 粗糙集代数系统利用公理化方法的主要优点是能够深刻理解粗糙近似空间的 数学结构 用公理化方法研究粗糙集近似算子一开始只局限于p a w l a l ( 粗糙集代数系 统，即公理与二元等价关系相对应的情形，后来发展到一般关系下的粗糙集模型 这方面最早的研究成果是由l i n 与我国学者刘清教授给出的】后来，祝峰与何 华灿1 2 1 对于这类公理集的独立性问题进行了研究y 如3 1 与t h i e i e 【1 4 1 分别研究了 一般关系下的粗糙集模型，给出了粗糙近似算子的构造性定义与公理化刻画最 近，y a n g 和l i m l 证明了刻画经典广义近似算子的公理集的独立性在模糊粗糙 3 集模型的公理化方面，m o r s i 与、钛o u t i ”】给出了对应于模糊相似关系( 等价关系) 的近似算子公理刻画，但是他们所讨论的近似算子不具有对偶性虽然 t h i e l e ”对于一般模糊关系与模糊近似算子的公理化进行了研究。但也没有给 出各种特殊的模糊关系与所对应的模糊近似算子的公理集，吴伟志等”川对于 一般模糊关系下的对偶模糊粗糙近似算子的构造与公理化进行了研究，且得到 刻画各种模糊关系所对应的模糊粗糙近似算子的公理集米据生等f 2 1 1 又进一步 对于由r 模和s 一模定义的模糊粗糙近似算子进行了公理化刻画文【2 2 2 4 】讨论 了基于蕴含算子的广义粗糙近似算子的构造性定义与公理化刻画但是。所有这 些结果都没有证明公理集的独立性 众所周知，模糊集与粗糙集都是用来处理不精确、不确定、不完备信息的数 学工具，这两种理论有很强的互补性两者的结合产生了多种类型的模糊粗糙 集和粗糙模糊集模型 1 0 ，1 6 2 4 文 2 5 研究了模糊集的粗糙性，文 2 6 研究 了p a w l a k 粗糙集的模糊性，其度量是利用s h a n n o n 信息熵给出的后来 l i a n g 等1 发展了s h a n n o n 信息熵，提出了基于经典划分的一种新的信息熵，弗 由此给出了p a w l a k 粗糙集的一种新的模糊性度量利用这种熵，m i 等讨论了 基于覆盖的广义模糊粗糙集的不确定性度量 本文研究模糊粗糙近似算子的公理化特征，并给出模糊粗糙集的一种不确 定性度量第二节讨论了广义模糊粗糙集的构造性定义，并总结了各种模糊近似 算子的性质在第三节，用公理定义了模糊集合值算子，各种类型的模糊粗糙集 代数可以由不同的公理集所刻画阐明了公理化的近似算子可以保证找到相应 的二元模糊关系，使得由模糊关系通过构造性方法定义的模糊粗糙近似算子恰 好就是用公理定义的近似算子第四节研究了刻画各种特殊的近似算子公理集 的独立性，从而给出各种特殊模糊关系所对应的模糊粗糙近似算子的最小公理 集最后一节研究了广义模糊粗糙集的不确定性问题，定义了模糊粗糙集的模糊 性度量，给出了这种度量所满足的性质，证明了当且仅当a 是经典可定义集合时 其模糊粗糙集的模糊性度量咫( a ) 等于o 4 2 广义模糊粗糙集的构造 本节给出广义模糊粗糙集的构造性定义o ”，并讨论其性质 一个非空有限集合u 称为论域，用p ( u ) 表示u 的幂集，( u ) 表示u 的模 糊子集全体，并融r ( 为u 的正规模糊集全体，彳表示集合爿的补集 设u 和是两个非空有限论域，若r ，( u ) ，则称胄为由u 到矿的模 糊关系r ( x ，j ，) 表示对象z 与y 具有关系月的程度当形= u 时，称月为u 上的 模糊关系 对于由u 到形的模糊关系月，定义模糊集值函数：u 斗f ( 矿) ： ( z ) ( y ) = 足( x ，y ) ，v ( x ，y ) u 彤如果vx ，都有 ) e r ( ) ，即 vx 【，砂矽使得r ( x ，= l ，则称r 是串行模糊关系 设r 是u 上的模糊关系，如果vx u ，都有r ( x ，x ) = l ，则称r 是自反的； 如果vx ，u ，都有r ( x ，力= r ( y ，x ) ，则称r 是对称的；如果vx ，弘z e 【，都 有m i n r ( x ，力，r ( 弘z ) r ( x ，z ) ，则称r 是传递的u 上的自反、对称且传递的 模糊关系称为模糊等价关系 定义2 1设u ，形是两个非空有限论域，r 是从u 到渺的一个二元模糊关 系，称三元组移，r ) 为( 广义) 模糊近似空间w f ( 矽) ，4 关于( c ，矽，r ) 的 一对下近似星( 爿) 和上近似夏( 4 ) 是u 上的一对模糊集合，其隶属函数分别定义 为： 星( 4 ) ( x ) = 咖m a ) 1 一r ( 工，y ) ，爿( y ) ) ， z u ， 矗( 彳) ) = m 磐m i n r ( 墨y ) ( ，) ) ， x u y e 算子星与页：f ( 矽) 斗f ( u ) 分别称为模糊粗糙下近似算子和模糊粗糙上近似算 子，序对哩( 4 ) 页( 爿) ) 称为( 广义) 模糊粗糙集 s 若星( 爿) = 页( 4 ) ，则称_ 是可定义的，否则称一是不可定义的 注2 1 当一是经典集合时，容易知道： 星( 4 ) ( 功2 唑：l 1 一r ( x ，y ) ) ， xe u ， r ( 爿) ( x ) 2 喈尺( x ，y ) ， x u 注2 2 如果只是由u 到的经典关系，沿用文 1 3 】中的记号，垤u ，记 疋g ) = ：g ，) ，) 尺 ，r 称为工关于关系r 的后继邻域则w p ( ) ， x u ，有 星( 一) ( x ) = 1 甘y y 仨爿，r ( x ，j ，) = o 峙，r ，( x ) ，y 爿静r ，( z ) s 一 类似地，r ( a ) ( x ) = 1 r 。( x ) r 、a 妒因此，模糊粗糙近似算予是【1 3 】中近似 算子的推广，从而当冗是经典等价关系时，它们就是p a w l a k 近似算子【1 】 由定义我们得到下面的结果m ) ： 定理2 1 设r 是从u 到矽的一个二元模糊关系，则模糊粗糙下近似算子墨 和上近似算子胄满足下列性质：w ，曰e f ( 矿) ，v d 【0 ，l 】， ( r l 0 ) 星( 彳) = 一r ( ) ， ( r u o ) r ( 爿) = 墨( ) ； ( r l l ) 堡( 1 叭 ) o ) = l r ( x ，y ) ，v q ，y ) u 缈， ( r u l ) r ( 1 。) ( = r q ，力，v ( 工，y ) u ； ( r l 2 ) 星( ) = u ， ( r u 2 ) 尺( 柳= 庐； ( r l 3 ) 堡( 爿n b ) = 星( 彳) n 星( 占) ， ( r u 3 ) 足( 爿u b ) = 月( 彳) u 只( 占) ； 6 ( r l 4 ) 4 b ：星( a ) 丝( f ) ， ( r u 4 ) 4 曰j 页( 爿) 页( 曰) ； ( r l 5 ) 星( 一u 曰) 点( 爿) u 星( 占) ， ( r u 5 ) 页( 爿n 功页( 一) n 页( 功； ( r l 6 ) 星( 彳u 口) = 垦( a ) u 口， ( r u 6 ) r ( “n 口) = r ( a ) n n 其中1 ，表集合 粥的特征函数1 ，口是隶属度恒为常数口的模糊集 证明：v “e u 。 r 卜爿) ( ) = 1 学岫嘏( 虬儿1 一一( y ) ) = m 野( 1 一r n a x l r ( “，y ) ，4 ( 旷、 、 ，= 1 一i 期m a x 1 一r ( ”，力，_ ( m = 1 一鲥 ) 故( r l o ) 成立在( i 也0 ) 中把换成4 即得( r u o ) 由定义2 1 容易知道： 胄( 1 ，) ( x ) = 。搿础俾0 ，z ) ，1 ，( 2 ) 2 月 ，| y ) 故( r u l ) 成立，同理可证性质m 1 ) 又因 ( ) 2 卿1 n a x 1 一r ( ，力， f ，( y ) 】= 1 = u ) ， 故( i u 2 ) 成立同理可证( r u 2 ) 成立 垦( 彳n 曰) ( “) = m 伽m a x l r ( “，y ) ，m i n ( 彳( _ y ) 口( y ) ) ) v t 2 卿面n ( 麟 1 一只( “，j ，) ，爿o ) ) ，m 觚( 1 一r ( 甜，y ) ，b ( y ) ) ) = m i n 型 ) ，星日( “) ) 从而( r l 3 ) 成立( i 哪3 ) 类似可证 7 ( r l 4 ) 与( r u 4 ) 由定义立即司得。( r l 5 ) 与( r u 5 ) 分别是( r l 4 ) 与 ( r u 4 ) 的直接推论 下证( r u 6 ) 帆eu 月( 彳n 日) ( 。) 2 搿m i n r ( 。，_ y ) ，m i n 一( y ) ，口 ) 2 吧爹m i n ( m i n 僻( 工，y ) ，一( y ) ，口 2 m m 。娶铲 m i n 五( t ) ，) ，爿( j ，) ) ) ，口) = m 讪 页( 一) ( x ) ，口) 这样( r u 6 ) 成立，同理可得( r l 6 ) 性质( r l 0 ) 与( r u 0 ) 称为对偶性质，有时也称有相同数字标号的一对性 质为对偶性质 下面讨论具有特殊性质的模糊关系与其近似算子之间的联系 定理2 2 设r 是从u 到矽上的一个二元模糊关系，则r 是串行的当且仅当 下列性质之一成立： ( i 也7 ) 星) = a ， ( r u 7 ) 页妒) = u ； ( r l 8 ) 星p ) = 占，v 口【o ，l 】， ( r u 8 ) 面p ) = a ，v 口 o ，1 】； ( r l u ) 墨0 ) 面“) ，v “f 缈) 证明： 由定理2 1 的对偶性可知( r l 7 ) 甘( r u 7 ) ，( r l 8 ) 静( r u 8 ) 其次，我们证明r 是串行的铮 u 7 ) 成立 事实上，r 是串行的营vx u ，砂e 矽使得矗( 墨y ) = l 铮v 工u ，。凛m i n r ( 丘y ) ，l = 1惟 静矽) = u r 下证r 是串行的j ( r l u ) 成立 若r 是串行的，则vx u ，3 w 使得r ( 五w ) = 1 于是w ，( 矽) ， r ( 爿) ( x ) = 鼍努m i n 只( x ，_ y ) ，爿( y ) 24 ( w ) ， 垦( 爿) ( x ) = 卿m a x l 一只( x ，y ) ，4 ( y ) a ( w ) 因此( r l u ) 成立 若( r u 7 ) 成立，即i 缈) = u ，由定理2 1 性质( r u 6 ) 得 面0 ) = 页缈n 五) = i 眇) n a = u n 占= a 从而( r u 8 ) 成立 ( r u 8 ) 辛( r u 7 ) 只需取口= 1 即得 最后证明( r l u ) 辛( r u 7 ) 假设w f ( 矿) ，曼0 ) 页0 ) 则特别地有星缈) 页( 矿) 由定理2 1 性质 ( r l 2 ) 知堡( ) = u ，故页缈) = u ，即( r u 7 ) 成立 这样我们完成了定理的证明 定理2 3 设r 是u 上的一个模糊关系。则 ( 1 ) 胄是自反关系当且仅当下列条件之一成立： ( r l 9 ) 堡( 彳) ，v 4 f ( u ) ( r u 9 ) 一耋页( 爿) ，v ，蔓f ( u ) ( 2 ) r 是对称关系当且仅当下列条件之一成立： ( r l l o ) 墨( u 对渺) = 墨p 、 _ ) ) ) ，v g ，_ y ) u x u ， ( r u l o ) 页( x ) ) ( y ) = 页“y ) ) g ) ，v g ，j ，) u x u ( 3 ) 尺是传递关系当且仅当下列条件之一成立： ( r l l l ) 星0 ) 星伍n ) ，b 钳f ( u ) ， ( r u l l ) 页伍l 彳) 互页0 ) ，v 彳ef ( u ) 9 证明：( 1 ) 由模糊粗糙近似算子的对偶性知：( r l 9 ) ( r u 9 ) 设r 是自反的，对w f ( u ) ，“u ，有 月彳( 甜) = 。? 野m l n 月( “，y ) ，爿( j ，) ) m 洒 r ( 甜，甜) 一( “) = m i n l ，一( ”) ) = 爿( “) ， 故( r u 9 ) 成立 反之，若爿量r ( 爿) ，v 0 f ( ，则由定理2 1 的( r u l ) ，对v ”u r ( “，“) = 页1 。( “) l 。( “) = l ， 故r ( “，“) = 1 ，从而r 是自反的 ( 2 ) 由模糊粗糙近似算子的对偶性知：( r l lo ) 营 u 1 0 ) 由定理2 1 中的性质( r u l ) 得：v g ，y ) e u u ，页( 1 ；) c y ) = r ( y ，x ) ， 页0 ，) g ) = r ( w ) 于是 月是对称的v g ，y ) u ，r ( y ，x ) = r ( x ，y ) 营页“x ) ) ( ) ，) = 面“y ) g ) ，v g ，y ) e u u ( 3 ) 由模糊粗糙近似算子的对偶性知：( r l l l ) 铮( r u l l ) 设r 是传递的，v “u ， r 月) ( 甜) 2 吧笋血n r ( 虬x ) ，r 翻) ( x ) 。曼轳m l n ( 置( ”，曲，。翌笋m i n r ( x ，y ) 彳( y ) ) ) 。，毋m i n 胄( x ) ，m i n 怛( z ，力，一( ) ，) ) ) 2 ，溅，m i n 嘶n ( 足( “，x ) ，震( x ，y ) ) ，4 ( _ y ) ，嚣瑟，m m r ，y ) ，爿( y ) = r ( 一) ) ， 所以( r u l l ) 成立 反之，对溉，儿= u ，由定理2 1 中的( r u l ) 缛 r ( x ，y ) = 雨l ，) ( x ) 页诹( x ) 1 0 2 鼍野m i n ( r ( x ，甜) ，r ( 1 ，) ( ”) = 黔m i n r ( x ，“) ，r ( “，y ) ) m i n r ( x ，z ) ，r ( z ，y ) ) 故r 是传递的 推论2 1 设r 是u 上对称的模糊关系，则w ，曰p ( ，有 l 星1 月r l 1 口 证明：“j ”若l 基1 口，则垤4 有星1 口o ) = l ，但由注2 1 知 显1 口( x ) = m i n ( 1 一点( x ，y ) ：y 仁研，从而砂诺曰有r ( x ，y ) = o 再由注2 1 得 r l ( y ) = m a x r ( y ，x ) ：z 一 ；m a x r ( z ，y ) ：x 彳) = 0 即对vy 硅曰，r 1 ( y ) = 1 占( y ) 砂b ，显然有胄l j ( y ) l 自( y ) = l ，因此r l e l 口 “# ”类似可证 推论2 2 设r 是u 上的一个模糊关系，则r 是模糊等价关系当且仅当模糊下 近似算子满足性质( r l 9 ) ，( r l l o ) 和( r l l l ) ，或等价地模糊上近似算予满足性质 ( r u 9 ) ，( r u lo ) 和( i 硼1 1 ) 证明：由定理2 3 立即可得 3 模糊近似算子的公理刻画 在模糊粗糙集的公理化定义中，基本要素是代数系统 ( f ( ，) ，f ( ) ， ，v ，厶h ) ，其中，日：，( 矿) 专f ( 是模糊集合值算子类似于 文 2 1 】的结果，我们给出模糊近似算子的公理刻画 定义3 1 设厶日：f ( ) 斗f ( u ) 是两个模糊集值算子，称它们为对偶算予， 若w f ( ) ， ( a l o ) 三( 彳) = ( 爿) ， ( a u 0 ) ( 爿) 一工( 哇) 由上，日的对偶性，我们可以用其中的一个来定义另一个，比如，三就是 日，但为了完整，通常仍对两个算子同时进行讨论 定理3 1 设厶打：f ( ) 一f ( u ) 是一对对偶算予，则存在一个从u 到的 模糊关系r ，使得w f ( 彤) ，有星( 爿) = 三( 爿) ，r ( 4 ) = h ( 爿) ，当且仅当三满足 公理( a l l ) 和( a l 2 ) ，或等价地日满足公理( a u l ) 和( a u 2 ) ( a l l ) 三0 n b ) = 三0 ) n 上p ) ，w ，b f ( 矿) ， ( a u l ) h 0 u b ) = h 0 ) u 日( 8 ) ，w ，be f ( 矽) ； ( a l 2 ) 工0 u 6 ) = 三0 ) u 占，叫f ( 矽) ，口【o ，1 】， ( a u 2 ) 何0 n 奎) = 日0 ) n a ，we f ( ) ，口f o ，1 】 证明：“等”由模糊粗糙近似算子的构造性定义2 1 和定理2 1 即得 仁”若日满足( a u l ) 和( a u 2 ) ，则定义从u 到上的模糊关系r 如下： 月( x ，y ) = h ( 1 。) ( x ) t( x ， u 肜 w f ( ) ，由于爿= 吕( 1 ，n 爿) ) ，故由( a u l ) 与( a u 2 ) 得 月( 4 ) ) = 旦( 1 ，n 彳b ) ) ( “) = r 搿m i n 妇( 1 ，) ( ”) 4 0 ) ) 于是vw ， 页( 爿) 0 ) = r ? 黟m i n 忸0 ，y xa ) ) = r 搿m i n 口( 1 ，知l 一洲 = 拶( 日( 1 ，) na o ) ) 。) = 澎日( ，n 爿归) = 嘴唧c m i n 归( 1 ，) ( “) ，m i n l ，( x ) ，彳( y ) ” = 2 箩r 翌铲m i n m i n ( 1 ，) 0 ) 一) x1 ，g ) j = r 甓m i n 蜒彤m i n ( 1 ，) 0 ) ，l ，g ) ，爿p ) j 2 出m i n 扫l ，0 l 爿o ) j = 日( 4 ) ) ， 故页即) = 矾彳) ，由对偶性得星( 彳) = 上似) 定义3 2 设工，h ：f ( 矽) 一f ( u ) 是一对对偶算子，若上满足( a l l ) ，( a l 2 ) ， 满足( a u l ) ，( a u 2 ) ，则系统( f ( u ) ，f ( ) ， ，v ，厶日) 称为模糊粗糙集代数， 厶分别称为下模糊粗糙近似算子和上模糊粗糙近似算予 定理3 2 设厶日：，( 矽) 寸f ( u ) 是一对对偶的算子，则存在从u 到矽上的 串行模糊关系皿使得三0 ) = 堡0 ) ，日0 ) = i 0 ) ，w f ( ) ，当且仅当三满足公 理( a l l ) ，( a l 2 ) 和( a l 3 ) 或等价地h 满足公理( a u l ) ，( a u 2 ) 和( a u 3 ) ： ( a l 3 )上q ) = 五，v 口【o 1 】， ( a u b ) 0 ) = 五，v 口 0 ，1 】 证明：由定理3 1 和上一节定理2 2 即得 注3 1 由定理2 2 知，公理( a l 3 ) ，( a u 3 ) 可以被以下之一的公理所代替： ( a l 4 ) 上 ) = a ， ( a u 4 ) h 缈) = u ， ( a l _ u ) 上0 ) h 0 ) ，砌f ( 矽) 显然，串行的模糊粗糙近似算子( 即满足定理3 - 2 的模糊粗糙近似算子，以下 同) 满足以下性质： 彳三爿彳e = 例，v 爿f ( ) ， 上4 眦4 脚，v 彳f ( 形) ， 定理3 3设l 片：f ( 斗f ( 是一对对偶的模糊粗糙近似算子，则存在 u 上的自反模糊关系胄，使得星= 三，月= ，当且仅当三满足公理( a l l ) ，( a l 2 ) 和( a l 5 ) ，或等价地h 满足公理( a u l ) ，( a u 2 ) 和( a u 5 ) ： ( a l 5 ) 工( 爿) 爿，w ，( u ) ， ( a u 5 ) 爿耋日( 爿) ，v 4 ，( u ) 证明：由上一节定理2 3 的自反关系及定理3 1 即得 注3 2 由上述定理知，自反模糊粗糙近似算子满足性质：w f ( ( ，) ， l “朋彳月删， 厶埘爿三删， 幽黝 h 月删 定理3 4 设厶圩：f ) _ f ( u ) 是一对对偶的模糊粗糙近似算子，则存在u 上的对称模糊关系r ，使墨= 三，r = 日，当且仅当l 满足公理( a l l ) ，( a l 2 ) 和 ( a l 6 ) ，或等价地日满足公理( a u l ) ，( a u 2 ) 和( a u 6 ) ： ( a l 6 ) 三( 1 。一 ， 虹) = 上( 1 。一似】c y ) ，v g ，y ) u u ， ( a u 6 ) 日( 1 ，) g ) = h ( 1 ，) ( y ) ，v b ，j ，) u u 证明：由上一节定理2 1 3 的对称关系及定理3 1 即得 注3 2 可以验证，对称模糊粗糙近似算子还满足性质： 朋= 删翻，删；m 删，w f ( u ) ， 月嚏b 甘爿工b ，v 一，丑e f ( u ) 注3 3 由文 2 1 】可知，对于模糊粗糙近似算子而言，其对称性不能被如下公 1 4 理所刻画 工0 ) = 堡0 ) ，日似) = 页0 ) ，w f ( 计算页4 ；( 1 o ，o 4 ，0 4 ) ，颤“= ( o 4 ，o 6 ，o 6 ) 故爿颤彳不成立 定理3 5设三，日：f ( _ ，( u ) 是一对对偶的模糊粗糙近似算子，则存在 u 上的传递模糊关系r ，使得星= 工，r = ，当且仅当三满足公理( a l l ) ，( a l 2 ) 和( a l 7 ) ，或等价地日满足公理( a u l ) ，( a u 2 ) 和( a u 7 ) ： ( a l 7 ) 三( 彳) 三三( 爿) ，、9 f ( u ) ， ( a u 7 ) 删( 一) 日( 彳) ，b 省e f ( u ) 证明：由上一节定理2 _ 3 的传递关系及定理3 1 即得 注3 4 可以验证，传递模糊粗糙近似算子还满足以下性质： 删口等“三丑，w ，丑，( u ) ， 爿量瑚j 硎e 黜，w ，嚣f ( u ) 推论3 1设厶：f ( u ) - + f ( u ) 是一对对偶的模糊粗糙近似算子，则存在u 上等价的模糊关系r ，使得墨= ，五= 日的充要条件是三满足公理( a l l ) ， ( a l 2 ) ，( a l 5 ) ，( a l 6 ) 和( a l 7 ) ，或等价地日满足公理( a u l ) ，( a u 2 ) ，( a u 5 ) ，( a u 6 ) 和( a u 7 ) 1 5 易容 0o | | 一 、， 6 4 m c ；o 叭m ，。l l l r 翦 2 = u 设一一 【 实事 4 刻画近似算子公理集的独立性 本节证明上一节所得到的刻画各种近似算子公理集的独立性，我们先给出几 个例子 例4 1设u ：渺：扛，y ，三( 爿) ：( 里坚型坚蔓型，兰坚堑坠盖型) x y 令彳；( 坚，业) ，b ：( 坚，坚) ，则三“n b ) ：( 盟，堕) x y x y z y 上0 ) n 三p ) ：( 塑，堕) 因此( a l l ) 不成立 xv v 彳，) 则容易验证v 口【o ，l 】，三0 u a ) = 上0 ) u a ，即( a l 2 ) 成立 v 盘e 【o ，1 】，工( 旬：( 型垒蔓逊，里坠堡垒哟：占，因此( a l 3 ) 成立 x y 又因为当x y 时，三( 1 u f ，j ) ( x ) = m a ) ( o u 一( 砷，1 u 一( y ) ) = 1 = 上( 1 u 。) ( y ) ， 故( a l 6 ) 成立 例4 2 取口【o ，l 】，令三口) = a w f ) ，则显然上0 n 占) = 0 ) n 工p ) ， w ，b f ( 矽) ，即( a l l ) 成立但是三b u i ) = a ，三0 ) u i = i 因此( a l 2 ) 不成立 例4 3 令u = 扛，y ) ，r = g 三篡) 是u 上的模糊关系，定义上= 星，由定理 2 2 知满足( a l l ) ( a l 2 ) 但是工( o ) ( 曲= o 8 ，故( a l 3 ) 不成立 令a ：( 塑，旦曼) ，则工( 彳) ：( 塑，马，故( a l 5 ) 不成立 又因为 ( 1 f ，一i ，】) ( y ) = m i n m a x l r ( _ y ，x ) ，l u l ，) ( x ) ，m a x o 一足( y ，y ) ，l j l ，l ( y ) ) = o 8 ， 但三( 1 u f ， ) ( x ) = 0 1 ，故( a l 6 ) 不成立 对于曰：( 旦，三) ，三( 曰) ：( 业，旦生) ，三( ( 口) ) ：掣，旦堕) ，故( a l 7 ) 不成立 xyx y x y 1 6 侧4 4 令u = 扛，y ，定义l ：f ( 【，) 斗f ( 己，) ：当4 r ( u ) 时，二( 爿) = ，否 贝0 l ( 一) = 爿由于( n b ) f o ( 【，) 铮爿( u ) 或b f 0 ( ( ，) 则可以验证三满足( a l l ) ，( a l 3 ) 容易知道( a l 5 ) 和( a l 6 ) ，( a l 7 ) 也是成立的 但是对一：( 旦，塑) ，口：o 7 ，上( 爿u a ) ：( 业，塑) ，上( 彳) u 舀：a 故( a l 2 ) j y i y 不成立 例4 5 令u = 扛，j ，) ，定义： f ( u ) f ( u ) ：当彳仨圪( u ) 时， 上( 4 ) ：( 堂幽巡，墅巡猁) ，否则上( 爿) ：爿 w f ( u ) ，口 o ，l 】，当由于似u 舀) r ( u ) 时，有彳r ( 或口= 1 这 时上( 彳u 占) = 爿u 盎= 三( 爿) u 占当( 4 u a ) 匹蠕( u ) 时， 上( 爿u a ) ( x ) = ( 彳u 旬( 力= m i n m a x a ( d ，口) ，m a x 爿( 力，口) ) = m a ) ( m i n 翻 ) ，爿( y ) ，口) 因此( 一u 国= 爿u 占= 三( 彳) u 占，即( a l 2 ) 成立 显然( a l 5 ) ，( a l 7 ) 也成立 但是( a l l ) 不成立事实上，令彳：攀，! ) ，b ：( ! ，坚) ，则 三0 n 口) ：( 坚，坚) ，上0 ) n 三( b ) ：( 堕，坚) x y x y 利用这些例子，我们可以证明刻画各种近似算子公理集的独立性，从而得到 刻画各种近似算子的最小公理集 定理4 1 定理3 1 中的公理( a l l ) 与( a l 2 ) 是相互独立的 证明：例4 1 说明( a 【j ( a l l ) 不成立例4 2 说明( a l l ) j ( a l 2 ) 不成立因 此公理( a l l ) 与( a l 2 ) 是相互独立的 由此可得，刻画对偶模糊粗糙近似算子的最小公理集是 ( a l o ) ，( a l l ) ， ( a l 2 ) ，或 ( a u o ) ，( a u l ) ，( a u 2 ) ) 定理4 2 定理3 2 中的公理( a l l ) ，( a l 2 ) 与( a l 3 ) 是相互独立的 证明：例4 3 说明( a l l ) 和( a l 2 ) 不能推出( a l 3 ) 例4 4 说明( a l l ) 和( a l 3 ) 不能推出( a l 2 ) 另外，在例4 1 中，满足( a l 2 ) ，( a l 3 ) ，但不满足( a l l ) 这样便证明了( a l l ) ，( a l 2 ) 与( a l 3 ) 是相互独立的+ 由此可得，下列公理集都是刻画串行模糊粗糙近似算子的最小公理集： ( a l 0 ) ，( a l l ) ，( a l 2 ) ，( a l 3 ) ) ； ( a u o ) ，( a u l ) ( a u 2 ) ，( a u 3 ) ) ； ( a l o ) ( a l l ) ，( a l 2 ) ，( a l 4 ) ) ； ( a u o ) ，( a u l ) ，( a u 2 ) ，( a u 4 ) ) ； ( a l o ) ，( a l l ) ( a l 2 ) ，( a l u ) ) 定理4 3 定理3 3 中的公理( a l l ) ，( a l 2 ) 与( a l 5 ) 是相互独立的 证明：例4 3 说明( a l l ) 和( a l 2 ) 不能推出( a l 5 ) 例4 4 说明( a l l ) 和( a l 5 ) 不能推出( a l 2 ) 例4 5 指出( a l 2 ) 和( a l 5 ) 不能推出( a l l ) 这样就证明了定理4 3 由此可得，刻画自反模糊粗糙近似算子的最小公理集是 ( a l o ) ，( a l l ) ( a l 2 ) ， ( a l 5 ) ) ，或 ( a u 0 ) ，( a u1 ) ，( a u 2 ) ，( a u 5 ) ) 定理4 4 定理3 4 中的公理( a l l ) ，( a l 2 ) 与( a l 6 ) 是相互独立的 证明：例4 3 说明( a l l ) 和( a l 2 ) 不能推出( a l 6 ) 在例4 4 中，三满足( a l l ) 和( a l 6 ) ，但不满足( a l 2 ) 在例4 1 中，满足( a l 2 ) 和( a l 6 ) 不能推出( a l l ) 这样我们就证明了定理4 4 由此可得，刻画对称模糊粗糙近似算子的最小公理集是 ( a l o ) ( a l l ) ， ( a l 2 ) ，( a l 6 ) ) ，或 ( a u o ) ( a u l ) ，( a u 2 ) ，( a u 6 ) ) 定理4 5 定理3 5 中的公理( a l l ) ( a l 2 ) 于( a l 7 ) 是相互独立的 i r 证明：在例4 3 中，上满足( a l l ) 和( a l 2 ) 但是不满足( a l 7 ) 在例4 4 中，工满足( a u ) 和( a l 7 ) ，但不满足( a l 2 ) 在例4 5 中，上满足( a l 2 ) 和( a l 7 ) 不能推出( a l l ) 因此公理( a l l ) ，( a l 2 ) 于( a l 7 ) 是相互独立的 由此可得，刻画传递模糊粗糙近似算子的最小公理集是 ( a l o ) ，( a l l ) ， ( a l 2 ) ，( a l 7 ) ，或 ( a u o ) ，( a u l ) ，( a u 2 ) ，( a u 7 ) 由于等价的模糊粗糙近似算子就是自反、对称且传递的模糊粗糙近似算子， 由以上结果不难给出刻画等价模糊粗糙近似算子的最小公理集 1 9 5 模糊粗糙集的不确定性度量 本节给出广义模糊粗糙集的不确定性度量先讨论对象在一个模糊粗糙集中 的粗糙隶属程度，定义如下 定义5 1设u 是论域，r 是u 上的一个模糊关系，w f ( u ) ，x u ，x 关 于彳的粗糙隶属程度定义为r ( 4 ) ) ： m i n 忸( x ，y ) ，爿( _ y ) 瓜棚。卜生面矿 容易验证，当矗是u 上的经典等价关系，一p ( 时，上述定义就退化为文 【2 】的相应定义，它也是文【2 8 】中粗糙隶属函数的推广 定理5 1 设u 是论域，r 是u 上的一个模糊关系，则 ( 1 ) w ，占e f ( u ) ，若彳占，则r ( 爿) 月( b ) ； ( 2 ) 、矿a p ( u ) ，则r ( 4 ) = r ( 4 ) 证明：( 1 ) w ，b f ) ，若彳占，则对于垤e u ，一( x ) 口0 ) 。故 m i n 忸y ) ，彳 烈川 ) = 盟百矿 睢“ 因此 r ( 彳) r ( b ) ( 2 ) 若一尸( u ) ，则v z u ， 妇忸( 五力，占( _ y ) 哥而j 乙j 一、“，7 v e u = r ( b ) ( d ， m i n 忸( 墨 ，彳 i i l i n 红( 墨y ) ，彳 r 卜4 ) ( x ) + 尺( 4 ) ( x ) = 竺型i l i 菘矿+ 2 苎l j i j 矿 胖u弹u m i n 伍o ，_ y ) ，1 一彳( y ) )m i n 纽 ，y ) ，彳( y ) 水ur e u 。弘两r 一十1 面矿 u蚱 2 0 m i n 忸( x ，y ) ，1 一o ) m i n r ( 丘脚 2 1 忑矿+ 两 p 月y e 月 y 畦iy d | 故月( 爿) = r ( 爿) 利用上述推广的模糊粗糙隶属函数和文【2 8 给出的一种新的信息熵公式，我 们定义模糊粗糙集的不确定性度量如下 定义5 2 设u 是论域，r 是u 上的一个模糊关系，门是论域u 的基数 勺叫f ( 【，) ，则模糊粗糙集悠( 一) ，页似) ) 的模糊性度量朋( 爿) 定义为 瑚( 舻昙萎删删1 瑚( 似坝 模糊粗糙集的不确定性来自两个方面：一是近似空间，一是被近似的集合本 身下面的结果说明什么样的模糊粗糙集是“确定的” 定理5 2 设u 是论域，霄是u 上的自反的模糊关系，w f ( u ) ，则 瞅( 锄= 0 当且仅当彳e 尸( u