（应用数学专业论文）关于分块反对称反循环矩阵的研究.pdf

川1 1 111i i1 111 1i i11111 iii y 18 8 4 7 7 3 西华大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文作者签名：奶久蔓 日期： h l i e - y 指兰教师签名：够孕( 7 日期 沙、夕丢 西华大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于西华大学，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，西 华大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。( 保密的论文在解 密后遵守此规定) 学位论文作者签名：弼k 薹 日期：加1 1 y 臀师签名：饰象易 日期 一 y 7 o ， 西华大学硕士学位论文 摘要 循环矩阵是矩阵理论的重要组成部分，且日益成为应用数学领域中一个非常活跃和 重要的研究方向。分块反对称反循环矩阵是循环矩阵的重要组成部分，由于这类矩阵有 许多良好的性质和结构，因此很有必要对其进行研究，探讨其特殊性质和特殊结构。文 章在基于刘雪洁研究反对称反循环矩阵性质的基础之上，给出了反对称反循环矩阵逆矩 阵及广义逆，行列式和特征根的求法，以及反问题的探讨和线性方程组的求解，并且重 点研究分块反对称反循环矩阵子块为对称阵，对称循环矩阵，对称反循环矩阵，反对称 矩阵，反对称循环矩阵，反对称反循环矩阵的特征值以及分块反对称反循环矩阵的逆矩 阵的求法。 本文内容主要分为以下三个部分： 1 、给出了相关的预备知识，主要是循环矩阵在国内外研究现状和进展、文中用到 的循环矩阵的基本概念、性质定理以及在矩阵理论和矩阵计算中经常用到的基本运算工 具。 2 、给出了反对称反循环矩阵的一系列性质，其次给出了该类逆矩阵及广义逆，行 列式，特征根的求法，以及反问题的探讨和线性方程组的求解。 3 、给出了分块反对称反循环矩阵子块为对称阵，对称循环矩阵，对称反循环，反 对称循环，反对称反循环矩阵的各自的特征根，并对此类矩阵的逆矩阵进行了探讨。 关键词：反对称反循环矩阵；特征值；行列式；分块反对称反循环矩阵；逆矩阵； 线性方程组 关于分块反对称反循环矩阵的研究 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fc i r c u l a n tm a t r i xi sa ni m p o r t a n tp a r to fm a t r i xt h e o r y , a n dt h em a t r i xh a s b e c o m eav e r ya c t i v ea n di m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o ni na p p l i e dm a t h e m a t i c s b l o c k s k e w s y m m e t r i ca n ds k e w - - c i r c u l a n tm a t r i xp l a y sa ni m p o r t a n tp a r ti nc i r c u l a n tm a t r i xf i e l d , i ti sn e c e s s a r yf o ru st op r o m o t ei ta n ds t u d yi t ss p e c i a lc h a r a c t e r i s t i c s ，d u et ot h eg o o dn a t u r e a n ds t r u c t u r eo ft h em a t r i x t h i sp a p e ri sb a s e do nt h er e s e a r c ho fl i ux u e j i eo nt h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h es k e w - s y m m e t r i ca n ds k e w c i r c u l a n tm a t r i x w eg i v et h es o l u t i o no ft h e i n v e r s e , g e n e r a l i z e di n v e r s e ，e i g e n v a l u e s a n dd e t e r m i n a n to ft h es k e w - s y m m e t r i ca n d s k e w - c i r c u l a n tm a t r i x ，a l s ot h ep a p e rd i s c u s e st h ea n t i - p r o b l e ma n dt h es o l u t i o no fl i n e a r e q u a t i o n s 1 1 1 er e s e a r c ho b j e c t sf o c u so nt h ee i g e n v a l u e so fb l o c ks k e w - s y m m e t r i ca n d s k e w c i r c u l a n tm a t r i xw h o s es u b b l o c ka r es y m m e t r i cm a t r i x ，s y m m e t r i cs k e wc i r c u l a t i o n ， s k e w s y m m e t r i ca n ds k e w - c i r c u l a n tm a t r i xr e s p e c t i v e l ya n dt h es o l u t i o no ft h ei n v e r s eo f b l o c ks k e w - s y m m e t r i ca n ds k e w - c i r c u l a n tm a t r i x t l l i sp a p e rc o n t a i n st h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： f i r s t ：i tg i v e s t h er e l e v a n tb a c k g r o u n dk n o w l e d g e ，t h em a i ni d e a sc o n t a i nt h es t u d yo f c i r c u l a n tm a t r i c e sa th o m ea n da b r o a d ，t h eb a s i cc o n c e p t s ，c h a r a c t e r i s t i c so fc i r c u l a n t m a t r i c e s ，a n dt h eb a s i cc o m p u t i n gi n s t r u m e n t sw h i c hh a v eb e e nf r e q u e n t l yu s e di nm a t r i x t h e o r ya n dm a t r i xc a l c u l a t i o n s s e c o n d ：i nt h i sp a p e r , w eg i v eas e r i e so ft h ec h a r a c t e r i s t i c so fs k e w s y m m e t r i ca n d s k e w c i r c u l a n tm a t r i x t h e nw eg i v et h em e t h o do fs o l v i n gt h ei n v e r s ea n dg e n e r a l i z e d i n v e r s eo ft h es k e w s y m m e t r i ca n ds k e w c i r c u l a n tm a t r i x ，t h em e t h o do fs o l v i n gt h e e i g e n v a l u e sa n dd e t e r m i n a n to ft h em a t r i x ，a n dh a v es t u d i e di t sa n t i p r o b l e ma n dc o m p u t e d t h es o l u t i o no ft h el i n e a re q u a t i o n t h i r d ：w eg i v et h ee i g e n v a l u e so fb l o c ks k e w s y m m e t r i ca n ds k e w - c i r c u l a n tm a t r i x w h o s es u b b l o c ka r es y m m e t r i cm a t r i x , s y m m e t r i cs k e wc i r c u l a t i o n , s k e w - - s y m m e t r i ca n d s k e w - c i r c u l a n tm a t r i x ，a n ds t u d yt h ei n v e r s em a t r i xo ft h i sk i n do f m a t r i x k e yw o r d s ：s k e w - s y m m e t r i ea n ds k e w c i r c u l a n tm a t r i c e s ；e i g e n v a l u e s ；d e t e r m i n a n t ； b l o c ks k e w s y m m e t r i ea n ds k e w - c i r c u l a n tm a t r i c e s ；i n v e r s em a t r i x ；l i n e a re q u a t i o n s 2 4 1理论推导13 2 4 2 算法及举例1 6 2 5 反对称反循环矩阵线性方程组的求解。1 7 2 5 1 理论推导1 7 2 5 2 算法及举例1 9 2 6本章小结2 0 3 分块反对称反循环矩阵2 l 3 1 分块反对称反循环矩阵的概念2 1 3 2 分块反对称反循环矩阵的性质。2 2 3 3 块为对称阵的分块反对称反循环矩阵的性质一3 0 3 4 块为反对称矩阵的分块反对称反循环矩阵的性质3 7 3 5 非奇异分块反对称反循环矩阵的逆矩阵4 2 3 6 本章小结4 3 4 文章结束语及未来展望4 4 参考文献4 5 附录a 文章的常用符号名称4 7 攻读硕士期间发表论文及科研项目4 8 致 射。4 9 西华大学硕士学位论文 引言 循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，它只含有n 个元素，它的任意行可以通过矩 阵的第一行进行置换得到，这种特殊结构使它具有良好的性质，已被广泛应用在应用数 学和计算数学的许多领域。如控制理论、最优化、求解( 偏) 微分方程、矩阵分解、多 目标决策、三次样条插值、曲线几何设计、图论、傅氏变换、逼近论、二次型化简以及 平面几何学等，同时也被广泛应用到现代工程领域。循环矩阵特有的特殊结构使得该类 矩阵在应用方面得到突飞猛进的发展，近年来，该类矩阵的理论研究成为数学领域一个 活跃的话题。自从1 9 5 0 年以来，对它的研究引起了人们的高度重视。它不仅受到代数 学工作者的重视，而且也受到了计算数学、应用数学等许多领域研究工作者的重视。 循环矩阵的概念是t m u i r 1 于1 8 8 5 年首先提出的，关于其初期研究成果可参阅 综述文献 2 - 5 。然而，在1 9 5 0 年之前，对于循环矩阵的研究并没有引起数学工作者的 足够重视。直到1 9 5 0 年至1 9 5 5 年，i j g o o d 等才分别对循环矩阵的逆 6 - 8 、行列式 9 以及特征值 1 0 进行了研究。接着在文献 1 1 - 1 6 中，众多数学工作者对循环矩阵的 逆矩阵，广义逆矩阵的求法以及性质进行了详细的研究。近年来，循环矩阵类已成为矩 阵理论和应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向，关于它的理论研究方面得到 了飞速发展。目前由于循环矩阵的理论还不是很完善，并且在实际生活中许多的数学模 型是关于循环矩阵的，数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着。其中循环矩阵和特殊 循环矩阵的逆矩阵求法以及线性循环系统的解是多国数学工作者研究的一个热点。 自1 9 8 8 年起，余品能研究了块循环矩阵求逆的算法 1 7 ，作为一种特殊的分块循环 矩阵也开始成为数学工作者研究的课题，在文 1 8 - 3 2 中，国内外数学工作者分别先后 提出了足一分块循环矩阵，尺一循环分块矩阵，分块反循环矩阵，并对该类矩阵的逆矩阵 的求法、对角化、块谱分解等性质进行了一系列的探讨，理论较详细，具有一定的应用 价值。 近年来，循环矩阵类己成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究 方向，关于它的理论研究方面得到了飞速发展。但对于循环矩阵的分支反对称反循 环矩阵，近年来，国内外研究的并不多。在文 3 3 3 5 中，何承源教授分别对对称反循 环矩阵的性质和充要条件进行了研究，在文 3 6 中，陈圆圆，吴育虹等探讨了实反对称 循环矩阵的酉相似对角化，田素霞，李淑玲对分块对称反循环矩阵的性质进行了一系列 的研究，见文 3 7 ，在文 3 8 - 3 9 中，刘雪洁，胡大海分别对反对称反循环矩阵的性质和 这类矩阵在m i z a r 系统中的实现进行了探讨。对反对称反循环矩阵的理论研究还不完善， 因此有必要进行深入的研究并进行推广，尤其是分块反对称反循环矩阵的性质以及相关 的算法值得必要探讨。 关于分块反对称反循环矩阵的研究 1 预备知识 1 1几类常见的循环矩阵 下面介绍几类常见的循环矩阵 定义1 1 1 【1 1 称如下形式的矩阵 足 即 彳： 口。 口1 口n 一1a o 口l口2 a 一1 a n 一2 ： 为循环矩阵，为方便，简记为么= c i r c ( a o ，口l ，口2 ，a ) 。 鬟g y 1 1 2 1 若4 ，4 ，4 ，以一。是复数域上的刀个，l 阶矩阵，小栉阶矩阵4 = ( 呜) 满 ，=乏：多兰， z ，j ，= ：，2 ，z ， a = 444 4 一：4 ，一。 4 一。444 ，一，4 i ： 4 一：4 一。4 4 一4 l 一。 iii 。；i 4 44 4 i 一，4 称矩阵a 为m n 阶块循环矩阵，简记为a = b c ( a ，4 ，4 ，以一。) 。 对循环矩阵的研究见 1 - 1 0 。 定义1 1 3 叫 若口o ，口i ，口2 ，a n l 为复数域c 上的，z 个数，刀阶矩阵么= ( ) 满足 吩= 一嚣= = 篇“乩2 ，加 即 彳= 口oq口2 - a n la 0a i a n 一2一a n ia o 口i一吒一口3 一2a n i 口“一3a p 2 一4一3 一一ia o 称矩阵a 为行阶反循环矩阵，简记为彳= c - 。( ，a i ，口：，口川) 。 定义1 1 4 n 1 1 若4 ，4 ，鸣，4 l 一，是复数域上的以个肌阶矩阵，所甩阶矩阵彳= ( 4 ) 满足 2 屯 o ； 西华大学硕士学位论文 呜= 一棼：薯 即 a = 矗44 4 一。磊4 4 一：一4 一。4 ； 一444 4 一，4 称矩阵a 为m n 阶块反循环矩阵，简记为a = 召c - ，( 4 ，4 ，4 ，4 l 一。) 。 定义1 1 5 f 3 2 1设e 为m 阶单位矩阵，d 为m 阶零矩阵记 篷l = 为基本的分块反循环矩阵。 定义1 1 6 【3 7 1形如 oe d d dd eo a = dd eo d；e d；d 鸽4 44 4 一。 4 4 一，4 以一： 的矩阵称为分块对称循环矩阵，记为a = b s c ( 4 ，4 ，4 一。) 定义1 1 7 【3 7 1 形如 彳= 44 4鸣 以一。 一4 以一，一4 一4 一： 的矩阵称为分块对称反循环矩阵，记为a = b s c _ 。( 4 ，4 ，4 一。) 1 2 基本循环矩阵的性质 由于基本的循环矩阵和基本的反循环矩阵有着自身特殊的结构，以至于在循环矩阵 的研究中有着重要的作用，因此有必要介绍与之相关的基本性质。 性质1 2 1复数域c 上的任意一个n 阶反循环矩阵彳可表示为d 的多项式，即 么：，+ a n d + + 口州d ”1 ，且d ”= 一i ( ，为，l 阶单位阵) 。 3 一 以 吨 o 4 4 4 ； 4 4 4 ； 关于分块反对称反循环矩阵的研究 这里记彳： 口0q口2 一n n 一1a oa i - a 2一a 3 吼 - a 口2 - a 3 d = 01 00 00 10 0 o 1 o 0 1 o o 性质1 2 2 1 6 1 任何一个r 阶反循环矩阵彳在复数域上都可以对角化，更进一步在复 数域c 上必存在同一个刀阶可逆矩阵，使得所有的y i 阶反循环矩阵可以同时对角化。 - 1 彳： f ( c o o ) 0 0 0 0 0 f ( c o o 0 00 0 f ( c o , 一i ) 其中厂( 哆) = 口。钟+ q 科+ 口2 砰+ + 一。衅。 刀阶可逆矩阵是由一1 的一次j y 根o , o ，c o , ，哆，q i 组成的玩刀如朋d ，z 比矩阵： a = 111 1 q哆 1 砰妨 1 衅。1 蟛。1 1 3 分块矩阵的基本运算 o i 垂a 1 3 1 n 2 1 若a 、b 分别是m 阶和，z 阶的可逆矩阵，c 是n x m 矩阵，0 是肌刀的 零矩阵，且。= i ：；i ，则i 。i = i 彳i i b i 。 引理1 3 2 n 2 1 设彳、曰是任意的两个刀阶的矩阵，m j i 艘i = i a i i b l 。 引理1 3 3 【1 2 l 肘= l 罢三l 是一个四分块矩阵，其中彳、召、c 、。分别是，、 r x ( n 一，) 、( ，l r ) x r 、( 刀一，) ( 甩一，) 阶矩阵。 ( 1 ) 若么可逆，则l m l = h i d 一翻一b i ； ( 2 ) 若d 可逆，则肛i = | d i | 4 一肋。1 c i 引理1 3 4 f 1 2 1 设彳、b 、c 、d 都是r x i z 矩阵，且o ，a c ：c a ，则 纠和一c b i 4 l 2 一 一 o；q 。稿。q蝶 西华大学硕士学位论文 定义1 3 5 t 删 4o b = 口l l b a 2 1 b a r n l b 设矩阵a = ( 口f ，) 。， a 1 2 b a l n b a 2 2 b a 2 。b ；i 口。2 b a m n b j b = ( ) p 矿( r a p ) x ( n q ) 矩阵 为a 与b 的直积( k r o n e k e r 积) ，并将a o b 记为 彳。曰 ，块 注：一般情况a p b b a 引理1 3 6 t 柏1矩阵的直积具有以下基本性质： ( 1 )对任意的复数k ，k ( a 固b ) = ( k a ) b = a ( k b ) ( 2 ) ( 4 + 4 ) b = 4 圆b + 4 圆b ，b ( 4 + 鸣) = b q 4 + b 4 ： ( 3 ) ( a b ) o c = a 固( b 0 ( 4 ) ( a 圆b ) = a b 胃； ( 5 ) 若a c 。“，b c p ”，c c ”。4 ，d c 5 。9 ，贝0 ( 彳 刀) ( c 固d ) = ( a c ) 0 ( 召d ) ； ( 6 ) 设以。与色。都可逆，则( 么固b ) 一= 么一 占。 引理1 3 7 t 4 0 1 设4 ，b 分别是m m 和r l xn 矩阵，并且其特征值分别为a ，五，丸和 “l ，“2 ，u m ，则 ( 1 ) a 圆b 的全体特征值丑“= l ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，刖 ( 2 ) 么 + l b 的，l ，2 个特征值为丑+ u j ( i 一1 ，m ；= l ，1 ) ； ( 3 ) d c t ( a q b ) = ( d e t a ) ”( d e t b ) ” ( 4 ) t r ( a b ) = t r ( a ) t r ( b ) 。 1 4 本章小结 本章首先介绍了几类常见的循环矩阵，以及相关的基本性质，为下面的章节奠定了 基础，第一节是让读者对一些常见循环矩阵及研究情况有一个清晰的认识，第二节介绍 了循环矩阵的一些相关的性质，为第二章的知识奠定了基础，接着第三节介绍了与本文 章相关的分块矩阵的基本运算，为第三章的内容的研究做了准备条件。 s 关于分块反对称反循环矩阵的研究 2 反对称反循环矩阵 2 1 反对称反循环矩阵的概念 反对称反循环矩阵是一类特殊的反循环矩阵，在研究它之前，首先给出反对称反循 环矩阵的概念。 定义2 1 1 3 9 1 在复数域上如果一个反循环矩阵彳= c - 。( ，口，口2 ，口川) 口l 口0 ： - a 3 - a 2 口2 口l ： - a 4 - a 3 满足a r = - a ，则称4 为反对称反循环矩阵。本文用m 。表示复数域上的所有刀，z 阶 矩阵，用，t ，伽表示m n 中的所有反对称反循环矩阵的集合。 由定义可知a 是反对称反循环矩阵，则a o = 0 ，q = 口州o = l ，2 ，3 ，刀一1 ) ，因此当 n = 2 p ，( p n ) 时 a = 记为彳= 墨- c - - ( 0 ，口l ，口2 ，口，小口p ，口p - l ，口p ，口1 ) ，c - 。叫。 当n = 2 p + l ，( p n ) 时 记为彳= 最l c - l ( 0 ，口l ，口2 ，口p ，口p ，口p i ，口1 ) 受l c _ l 伽 6 口2口l 吗口2 吼口3 0 a l - a l 0 之 o ； q 一 一 一 铀铀 1 l 2 3 一 ， p p p ，p 玑， q 吃q o 咆鸭 q o 1 鸭咆 o q 吒 吒q 一 - - q 乞 q 0 色 勺 o 吨 啊 印印 啊 印 1 2 一 ， 啊铀 ， 吃 q o 咄 鸭 q o 1 鸭 吨 o 1 吨 吨 1 西华大学硕士学位论文 2 2 反对称反循环矩阵的基本性质 性质2 2 1反对称反循环矩阵的和、差、数乘为反对称反循环矩阵。 证明 当n = 2 p ，( p n ) 时，设 a = i c _ i ( 0 ，a 1 ，a 2 ，a p _ la pa p l ，口p ，a z ) b = s _ i c 。( o ，岛，b v _ i ，i ，岛) 为反对称反循环矩阵，a 为属于数域f 的任意一个数。 么+ 召= l e l ( o ，q + 岛，口2 + 6 2 ，o 二i + - l a p + ，a p l + 1 ，a p + ，岛+ 岛) 故反对称反循环矩阵的和为反对称反循环矩阵。 同理，有 彳一b = 最l cl ( o ，口l 一包，a 2 一如，a 川一- 1 ，a ，一，a p l 一1 ，a j 口一6 p ，a l b 0 可见，反对称反循环矩阵的差为反对称反循环矩阵。 a a = l c - l ( 0 ，a a l ，a a 2 ，a a p _ l ，a a pa a p _ la a p ，a a i ) 可见，反对称反循环矩阵的数乘为反对称反循环矩阵。 同理，当刀= 2 p + 1 ，( p n ) 时，结论成立。 性质2 2 2 彳为以( 以= 2 p ，p ) 阶可逆反对称反循环矩阵，则彳- 1 为反对称反循环矩 阵。 证明 设彳为第一行元素为( o ，q ，口：，口p - - | 9 口p ，口p i ”，口：，q ) 的咒( ，l = 2 p ，p 加阶反对 称反循环矩阵，同时有，1 0 = 2 p ，p 忉元向量工= ( o ，而，x 2 ，x p - l ，x p ，x 川，x 2 ，而) ， 互= ( 1 ，0 ，0 ，0 ，o ) ，使得线性方程组x a = 巨，由于4 可逆，所以方程组的解x 是唯一确定 的。 将方程组x a = 互表示如下形式： ( 0 而而x p 一。x p 一。屯而) - - ( 1 00 000 00 ) 而上面方程组可以改写成如下行种形式： 7 q 口2 口3 q o吒吩q 0 嵋 一 一 铀 鸣 qo p 0 鸣 吒q o 咄飞 q o 1 一 咆也 o q 咆 咆1 关于分块反对称反循环矩阵的研究 ( 0 口l 吒a p - ia p 口p 一。口：口1 ) - - ( 1 00 000 00 ) 0 j c i 屯x p 1 一而0 五x p 一2一l 一屯一墨0一3 一2 一x 2 一x 3 一x i 一x p ix p 一而一屯一恐 一x p一工p 一1 ( 一4 一口：鸭一口，一口，d 一口，一：- a t0 ) 令x = 01 ) 0 而而 一毛0而 一而一五0 一屯一恐 一黾 一五 一恐一为 0 x l屯 1 一0 工p 一2 一x 2 一0一3 一艺一毛一 一- l 一五一恐一毛 一 屯五 黾屯 x x 3 0 五 一再0 屯五 毛而 z 3 0 j c l 一五0 毛五 毛而 毛 0 一五0 以上咒种方程组可以表示为从= ，所以彳一= x ，而x 表示第一行元素为 ( o ，毛，恐，z ，小x p ，工，小，x 2 ，而) 的反对称反循环矩阵，即性质得证。 性质2 2 3么为反对称反循环矩阵，k 为自然数，则以下结论成立。 1 ) 当k 为奇数时，则彳为反对称矩阵。 2 ) 当k 为偶数时，则为对称矩阵。 证明因为k 为奇数时，有 ( 彳。) r = ( 彳彳彳彳) r k - - j k 4 所以彳为反对称矩阵。 ：( 一么) ( 一彳) ( 一彳) ( 一爿) = ( 一1 ) a = 一a ， 同理可证2 ) 的结论正确。 性质2 2 4 若彳= 奠1 c _ 1 ( 0 ，口1 ，口2 ，口，口，口j d - 1 ，口2 ，q ) 为2 n + 1 阶反对称反循环矩 阵，则彳，7 = r a = b = l ( 一口l ，0 ，q ，口p - l ，口p ，口p ，a 3 ，口2 ) ，b 表示第一行元素为 ( 一口l ，0 ，口l ，口，- l ，口j 口，口p ，a 3 ，口2 ) 的2 n + 1 阶反循环矩阵。 8 d之七 p _ 铀 鸣 西华大学硕士学位论文 a r l = r l a = 其中r l = c - l ( o ，1 ，o ，o ) = 证明因为 口2 口l o 口p 口p - i 口p - 2 o 0 o 1 o o oo l0 口p 4 p 口p - i o l 0 o 0 口p - i 口p 口p 一口2一口3一口4 一口p _一口p - 2一口p - 3 一a i 一口24 3 一4 p a 1 0 a i a p - i 一口2 一a 1 0 a p - 2 一口3一a 2一口1 口p - 3 0 1 o 0 口2 口3 一口p - i一口p - 2 一口i 口p 口p - i 口p - 2 口p 口p 口p - i 口3 口4 一口l一口2一口3 一a p一口p - i一口p 一2 一口i 为2 疗+ 1 阶基本的反循环矩阵。 口l 口2 口3 0 一a i a 2 一a pa pa p - i 一a 2 一a 1 o oo 0 0 0 0o0 1o0 0 - a 1 0 q 一哆一口l 0 一心一口2 一口1 一q一口2 0 - a i 一吩 一口2 0 0 o o o o 0 o 0 口j 口一1 a j p 一2 a j 口一3 一a p a p a p 口p i a ，一2 0 0 o o - a i 一口2 口l o 一口l 口2 口l o o 0 o o o o0 10 o o o o 口p 口p - i 口p - 2 口p 口p a p - i a 2 一口3 一口4 一口，一1一口p 一2 0 j l a l a p 口p a ，一i a p 一1 一a | 口一2 一口2一口3 吧口2 口4鸭 口5口4 - o l 0 一a pa j p 一1 一a 2 一a 1 - a pa p - i o 0 0 o o 0 0 o 0 o1 o00 口，一1 d p 口， 性质2 2 5设五是反对称反循环矩阵么的特征值，则一五也是a 的特征值。 证明 因为旯是4 的特征值，有阻e 一彳i = o ，由反对称反循环矩阵的定义知a 7 = - a ， 9 0 o 0 0 o 1 o o 0 o o o o o 0 o l o q o 叱 吩 o 一 o q o q o 1 吨 巳 吧 吩 q o 巳特巳 o o 0 o o o o o 0 o l o o 口 ， 2 一 一 ， p 口 口 一 一 关于分块反对称反循环矩阵的研究 i - 2 e - a i = l ( 一a e + 彳) r i = 卜a e + 彳f = ( 一1 ) ” 2 e - a = 0 ，其中，l 是么的阶数，所以- 2 也是a 的 特征值。 推论奇数阶反对称反循环矩阵的行列式为零。 引理2 2 6 t 4 1 】，l 阶反循环矩阵4 可以对角化。 定理2 2 6设彳是2 力阶反对称反循环矩阵，则么的特征值为 j i l ( 哆) = q 叫+ 口p 一。衅，其中哆是2 n 阶基本反循环矩阵叩的特征多项式g ( x ) 的咒 个不同的根，j = 0 ，1 ，以一1 。 证明 同引理2 2 6 4 l 】，由于，7 的特征多项式是 g ( x ) = i x - r i = x “+ 1 ， 所以叩特征根为 魄：业+i继，k：0cos s l n ，1 ，咒一1 。觋= 2 二+ 二二，= 1 ，咒一l 。 ，l刀 因为q ，( 霓j ) ，所以7 7 的特征多项式g ( x ) 有n 个不同的特征根，于是7 7 有九个线性 无关的特征向量，从而叩可以对角化。即存在可逆矩阵丁，使得 刁= t d i a g ( c o o ，c o l ，一1 ) 丁。 又因为a l cl 伽。，所以 a = ( 刁) = a t r i + a 2 r 1 2 + + a p _ 7 1 p 一1 + 口p 叩p + 口p l 叩p + 1 + + 口1 7 7 ”。 于是，在上式的两边左乘丁。1 和右乘丁，有 丁一1 彳丁= t 一1 ( 口l r l + a 2 叩2 + + 口p - l ，7 ，一1 + 口口r l p + 口p _ l r l p + 1 + + 口l 叩”一1 ) 丁 = 口l t r l t + a 2 t 一1 ，7 2 r + + 口p l 丁一1 7 7 p t + a p t 一1 ，7 p t + a p _ f 一1 7 7 p + 1 r + + 口l 丁一1 矿一1 r = a i ( 丁一r l t ) + a 2 ( 丁一1 r i t ) 2 + + 口p - 1 ( 丁一1 t i t ) ，一1 + 口p ( 丁一1 u t ) p + 口p l ( 丁一1 叩丁) p + 1 + 口l ( 丁一1 u t ) “一1 = a l d i a g ( c o o ，c _ q ，哆，略一1 ) + a z d i a g ( c o i ，砰，西，1 ) + a p l a i a g ( o , ：- 1 , 吖- 1 ，蟛一，喀1 ) + 口。纰( 簖，吖，蟛，1 ) + 口p l d i a g ( c o f + , 吖州，蟛“，晖p 一+ 1 1 ) + 口l d i a g ( c o o - , 吖- 1 ，哆n - i ，n 一- l ! ) ：慨( 圭q “+ 窆a p - k 群一，圭a i c o f + 篁口p 一。倒p + k ，圭哆赶+ 窆a p - k 蟛，羔q - 1 + 窆a p - k 硝t ) = d i a g ( h ( c o o ) ，h ( c 0 1 ) ， ( 哆) ， ( q 1 ) ) = d 。 这表明矩阵彳与对角矩阵d 相似，由于相似矩阵具有相同的特征值，故彳的特征值 乃= ( 哆) = e a4 + 口肚蟛。 西华大学硕士学位论文 推论若设么是2 刀+ 1 阶反对称反循环矩阵，则彳的特征值为 ( q ) = a i c o ；+ 口川一。吖”，其中哆是2 n + 1 阶基本反循环矩阵r 的特征多项式g ( x ) i = l k = l 的n 个不同的根，j = o ，1 9 o n - 1 。 定理2 2 7 设a 是第一行元素为( o ，口l ，口2 ，口p 小口p ，口p _ l ，口l 口，口1 ) 的2 n 阶反对称反循 环矩阵，若a 可逆，则彳一是第一行元素为( o ，b l ，6 2 ，6 川，b p ，6 一，b r ，6 1 ) 的2 n 阶反对称 反循环矩阵，其中( o ，b l ，6 2 ，6 p - l ，6 p ，6 l 口- l ，6 p ，6 1 ) 是线性方程组 所以 墨 恐 ： 一1 的唯一解，这里a r 是a 的转置矩阵。 证明因为删一：，即 一口2一口3一a 4 一a p - i一口pa p - i o 口l 一口l一口2一口3 一口，一a p - ia p - 2 一a i o 一6 2 6 3 6 4 一b p 一1一一一l 0 6 l 一6 l b 2 一岛一一一i b p 一2 一6 l o 仇如如如如纵 嘻 岛o 岛o 也。也也q 吃q 吃 吩 吵即缈铀铀铀 叱q o q o ， o 1 吨 关于分块反对称反循环矩阵的研究 i - b v 一1 - b , 一一1 - b p ： 适当的调整以上方程组中的方程及某些项的顺序后可化为矩阵方程 一7 i 一1 b v 一1 ： 因为彳可逆 ( o ，6 l ，6 2 ，小，小，岛) 。 2 3 反对称反循环矩阵的反问题 所以彳r 可逆，所以方程组有唯一的解 引理2 3 1 3 8 1 复数域c 上的玎阶矩阵a 是反对称反循环矩阵，当且仅当么可以用 r o = ，r ，刁2 ，r ”1 线性表示：a = ( ，7 ) 。 当刀= 2 p 时： f ( r ) = 口l r + a 2 7 7 2 + + 口p l 叩p 一1 + 口p r p + 口j 口一l r ，+ 1 + + 口2 叩”一2 + 口i ，7 ”一1 当n = 2 p + 1 时： f ( r ) = 口l r + a 2 r 2 + + 口p l r ，一1 + 口，叩p + 口，叩，+ 1 + 口j 口一l ，7 ，+ 2 + 口2 r ”一2 + 口1 7 7 ”一1 为方便书写，当行= 2 p 时，这里令厅( x ) = 厂( x ) = j 口 ( x ) = ( x ) - - 2 口。x k = l p k = l j 口 + 口p + l - ，工p + 7 ( 下面的办( x ) 同上) 。 j = l 当r l = 2 p + 1 时， 旬 划 如 呐办 响 叫 吲 鹕蝣 岫 一 一 卜 p p a 分 岛 1 一吖 嘻一 等；鸭 ， 一 p a 1 吖 嘻一 “= 惕 一一 一蛩纷 1 叱一 呐 l 0 o ；0 0 o o ；o o 也 l o o ；o 0 0 o ；o 0 觑如 + p x 一 p 口 川闩 + 七 x 七 口 西华大学硕士学位论文 定理2 。3 2 给定刀0 = 2 p ，p e n ) 个复数，m n l ，则存在，l ( 刀= 2 p ，p ) 阶反 对称反循环矩阵a ，使得a 的特征值：足zm o ，m l “，m 。一。满足上述要求的反对称反循环矩 阵至多有n ! f i ! t 21 ! 个，其中，t z ，分别表示，z o ，l l ，m n 一，所有相异数的重数。 证明构造线性方程组 a l v o + a 2 v ；+ + 口p l 喏- 1 + 口p 培+ 口p l 略+ 1 + + a z v o 一2 + q 瞄一1 = m 0 a i v l + 口2 霄+ + 口川呷q + 口j 口吖+ 口川吖+ 1 + + 口2 w - 2 + 口l w 一= 玛 a l v n l + a 2 v 五i + + 口p l ：= ；1 + 口j 口屹i + 口，一l 搿+ + 口2 等+ 口i 瞄= 脚。一l 其中v o ，v l ，屹一1 是反循环矩阵r l 的行个特征根，口l ，a 2 ，口p - l 口p ，口l d _ l ，口2 ，口l 是未知 数，m o ，m l ，m 川是m o ，m l ，m 川的一个排列。 由于上述线性方程组的系数行列式不等于零，由克莱姆法则，上述线性方程有唯一 解口l ，a 2 ，a p _ la p ，口川，a 2 ，口1 构造反对称反循环矩阵 a = a l r i + a 2 7 7 2 + + 口p l ，7 ，一1 + 口p ，7 ，+ 口p l ，7 p + 1 + + 口2 r l “一2 + 口l r l ”一， 则彳的特征值是f ( v o ) ，厂( m ) ，f ( v 一。) ，其中： 厂( 工) = 口l x + a 2 x 2 + + a p _ l x ，一1 + 口口x p + a p _ l x p + 1 + + 口2 x “一2 + 口l x ”一。 由于 v o ，h ，一。 是上述线性方程组的解，因此， f ( v o ) = m o ，厂( v 】) = m j ，厂( 一，) = m 。- 】，即a 的特征值是，m n - j ， 由于 m o ，m l ，一，m 的排列至多有n t ii t z ! ! 个，其中t it z ，t 分别表示，m a ，m 川所有 相异数的重数，因此满足要求的反对称反循环矩阵个数有n ! t 。! f ，! f 。! 个。 推论给定甩( 刀= 2 p + 1 ，p 忉个复数，鸭，m “，则存在刀q = 2 p + l ，p 加阶反 对称反循环矩阵a ，使得a 的特征值是，码，m 州，满足上述要求的反对称反循环矩 阵至多有n ! f i ! 岛! ! 个，其中，乞，t