（应用数学专业论文）关于三阶非线性中立时滞微分方程非振动解的全局存在性及其应用.pdf

辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了关于以下三阶非线性中立型时滞微分方程相对于函数 p c ( t o ，佃) ，r ) 的非振动解的全局存在性 p o ) ( x o ) + p ( f ) z ( f f ) ) 7 一+ 厂o ，z ( 岛( f ) ) ，x ( 6 2 ( f ) ) ，x ( 玩o ) ) ) 一 + g ( f ，石( c l o ) ) ，x ( c j ( f ) ) ，工( q ( f ) ) ) 7 = | z ( f ，x ( 磊( f ) ) ，x ( 畋( f ) ) ，z ( 噍o ) ) ) ，t _ t o ， 其中k 表示一个正整数，f 表示一个正数，函数p 表示自【气，佃) 映到实数集上的连续函 数，函数r 表示自，佃) 映到非零实数集上的连续函数，函数f c 2 ( ，佃) r ，r ) ， g c 1 ( 岛，佃) r ，r ) ，h c ( t o ，佃) 尺。，尺) ，并且6 f ，c j ，喀表示自 气，悃) 映到实数 集上的连续函数，且满足以下条件： l i m 岛( f ) = l i mq ( f ) = l i m4 ( f ) = 佃，f 1 ，2 ，尼) 1 卡硼i ，口uf 通过应用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理及s c h a u d e r 不动点定理，本文提出了基于上述微 分方程存在不可数多个有界非振动解的若干个充分条件。文中所得定理推广、扩充并改 进了文献 3 中的定理，文献 6 中的定理2 2 - 2 1 0 ，文献 9 中的定理a 及定理b ，文 献 1 0 中的定理1 - 3 ，文献 1 1 中的定理1 ，文献 1 3 中的定理1 - 3 ，文献 1 6 中的定理 1 - 3 ，文献 1 7 中的定理，文献 1 8 中的定理1 和2 ，以及文献 1 9 中的定理1 和定理2 。 另外，本文构建了七个例子，分别验证了文中所得到的每一个定理的重要性及其广泛应 用性。 关键词：三阶非线性中立型时滞微分方程；不可数多有界非振动解；k r a s n o s e ls k i i 不 动点定理；s c h a u d e r 不动点定理 关于三阶非线性中立时滞微分方程非振动解的全局存在性及其应用 g l o b a le x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o rat h i r do r d e rn o n l i n e a r n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h e i ra p p l i c a t i o n s a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i mt h eg l o b a le x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o r t h et h i r d o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 厂( f ) ( x ( f ) + p o ) x o f ) ) 7 】一十 厂o ，石( 岛o ) ) ，x ( 6 2 0 ) ) ，x ( 6 七o ) ) ) 】一 + 【g o ，x ( c l ( f ) ) ， c ( c jo ) ) ，x ( qo ) ) ) 7 = h ( t ，z ( 吐( f ) ) ，石( 畋o ) ) ，工( 反o ) ) ) ，t t o ， r e l a t i v et o p c ( t o ，佃) ，r ) ，w h e r e k 0i sa l li n t e g e r ，f 0 ，p c ( t o ，佃) ，月) ， ，c ( t o ，十。) ，r 0 ) ) ，f c 2 ( 气，+ o o ) xr k , r ) ，g c 1 ( 气，+ o o ) xr k , r ) ， h c ( t o ，+ o o ) x r k , 尺) a n d 包，q ，幺c ( t 0 ，+ ) ，r ) w i t h l i m 包( f ) = l i mq ( f ) = l i md i ( t ) = + 0 0 ，i 1 ，2 ，尼) t - 辛+ o o f + f 佃 s o m es u f j i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fu n c o u n t a b l ym a n yb o u n d e dn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n sa r ep r e s e n t e df o rt h ea b o v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nb yv i r t u eo ft h ek r a s n o s e l s k i i s f i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e m o u rr e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r e x t e n d ，s h a r pa n di m p r o v et h e o r e mi n 3 】，t h e o r e m s2 2 2 10i n 6 】，t h e o r e m saa n db i n 9 ，t h e o r e m s1 - 3i n 1 0 ，t h e o r e m1 试 1 1 】，t h e o r e m s1 - 3i n 1 3 ，t h e o r e m s1 - 3i n 【1 6 ， t h e o r e mi n 1 7 ，t h e o r e m s1a n d2i n 18 ，a n dt h e o r e m s1a n d2i n 1 9 s e v e ne x a m p l e s a r ec o n s t r u c t e dt od e m o n s t r a t et h ei m p o r t a n c ea n dt h ea p p l i c a t i o n so ft h et h e o r e m so b t a i n e d i nn l i s p a p e r k e yw o r d s ：t h i r do r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；u n c o u n t a b l y m a n y b o u n d e dn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s ；k r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e m ；s c h a u d e r s f i x e dp o i n tt h e o r e m i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要。j i a b s t r a c t i i 1 i n t r o d u c t i o n 1 2 p r e l i m i n a r i e s 4 l ，锄m a2 1 ( a r z e l a a s c o l i st h e o r e m 4 l e m m a2 2 ( k r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e m 4 l i 既n m a2 3 ( s c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e m 4 3 e x i s t e n c eo f u n c o u n t a b l ym a n yb o u n d e dn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s 6 t h e o r e m3 1 6 t h e o r e m3 2 11 t h e o r e m3 3 ：1 4 t h e o r e m3 4 1 6 t h e o r e m3 5 。1 7 t h e o r e m3 6 18 t h e o r e m3 7 2 0 r e m a r k3 1 ：! ：1 4 a p p l i c a t i o n s 2 3 e x a m p l e4 1 ：! ：； e x a m p l e4 2 2 4 e x a m p l e4 3 2 4 e x a m p l e4 4 2 5 e x a m p l e4 5 。2 5 e x a m p l e4 6 2 6 e x a m p l e4 7 2 7 参考文献。2 8 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 0 墅定谢3 1 辽宁师范大学硕士学位论文 1 in t r o d u c tio n n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa l w a y st a k ei m p o r t a n tp a r t si ne c o n o m i c s ， e c o l o g y ，c o m p u t e rs c i e n c e ，n e u t r a ln e t w o r k se t c r e c e n t l y ，m a n ya u t h o r sh a v e s h o w ni n t e r e s t si nt h eo s c i l l a t o r ya n dn o n o s c i l l a t o r yo ft h es o l u t i o n sf o r v a r i o u ss e c o n da n dt h i r do r d e rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s e e ，f o r e x a m p l e ， 3 2 1 a n dt h er e f e r e n c e sc i t e dt h e r e i n i np a r t i c u l a r ，p a r h ia n dr a t h 吲s t u d i e dt h eo s c ill a t i o nc r i t e r i af o rt h e f o r c e df i r s to r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s x o ) 一p ( t ) x ( t f ) 】+ q ( f ) g ( x o f ) ) = 厂o ) ，t t o ( 1 1 ) z h a n g ，f e n g ，y a na n ds o n g 1 0 o b t a i n e dt h en o n o s c i1l a t o r yb e h a v i o ro fs o l u t i o n s f o rt h ef o ll o w i n gf i r s to r d e rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n x ( f ) + p ( f ) x 一f ) 】+ q l ( t ) x ( t q ) 一q 2 ( t ) x ( t - c r 2 ) = 0 ，t t o ( 1 2 ) t a n ga n dl i u 7 1c o n s i d e r e dt h es e c o n do r d e ri i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n o fu n s t a b l et y p e x ”o ) = p ( t ) x ( t f ) ，t t o ， ( 1 3 ) w h e r ef 0a n dp ( t ) 0o na n yi n t e r v a lo f l e n g t h7 ，a n ds u g g e s t e dt h e e x i s t e n c eo fb o u n d e do s c i l l a t i o nf o rt h e e q ( 1 3 ) b ye m p l o y i n g a r e n o r m a l i z a t i o np r o c e d u r ea n dt h eb a n a c h sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w a h l e n 8 1 i n v e s t i g a t e dan o n o s c i l l a t i o nr e s u l tf o rt h ef o l l o w i n gs e c o n do r d e rn o n l i n e a r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n y ”( f ) + ，( f ，y ( f ) ) = 0 ，t t o ： ( 1 4 ) k u l e n o v i ca n d h a d z i o m e r s p a h i c 3 3g o t t h e f o l l o w i n g n e u t r a l d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o 耳w i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s x ( t ) + p x ( t f ) ”+ q l ( f ) x 一q ) 一q ( f ) x 0 一吒) = 0 ，t t o ， a n du n d e rt h ec o n d i t i o n s p 1 ，口q l o ) q ) ，v t t o ， ( 1 5 ) a n do t h e rc o n d i t i o n s ，t h e yg a v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c e o fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so fe q ( 1 5 ) b yu s i n gt h eb a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n g 1 p r i n c i p l e l i n 4 1s u g g e s t e d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o na n d n o n o s c i1l a t i o no ft h es e c o n do r d e rn o n li n e a rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n x ( f ) + p ( f ) x 一f ) ”+ g o ) 厂( x o f ) ) = 0 ，t t o ( 1 6 ) z h o u n l li n t r o d u c e dt h es e c o n do r d e rn o n li n e a rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nb e l o w ，0 ) ( x o ) + p ( t ) x ( t f ) ) q , + z 。m ；1 q f o ) z ( x o q ) ) = 0 ，t 岛， ( 1 7 ) a n dd i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o re q ( 1 7 ) b ya p p l y i n g t h ek r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e m l i ua n dk a n g 【5 】e s t a b l i s h e dt h ef o l l o w i n g s e c o n do r d e rn o n li n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 口( f ) ( z ( f ) + 6 0 ) z o f ) ) t + 办( f ，石( 岛( f ) ) ，石( 吃o ) ) ，z ( 吃( f ) ) ) 】 + 厂o ，x ( 石o ) ) ，x ( a o ) ) ，x ( l ( f ) ) ) = g o ) ，t t o ， ( 1 8 ) a n du t i l i z i n gt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e ，t h e yg a v es e v e r a le x i s t e n c e r e s u l t sa n di t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o n s o f i n f i n i t e l ym a n yn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n s ，w h i c ha r eu n c o u n t a b l e ，f o re q ( 1 8 ) h o w e v e r ，a l lp a p e r sm e n t i o n e da b o v eo n l y d e a l tw i t ht h ee x i s t e n c eo r i t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o n so fo s c i l l a t o r yo rn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n so f e q s ( 1 1 ) 一( 1 8 ) a n d d i dn o te s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fu n c o u n t a b l ym a n y n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o re q s ( 1 1 ) 一( 1 8 ) o nt h eo t h e rh a n d ，t o t h eb e s t o fo u rk n o w l e d g e ，s of a r ，n o t h i n gh a sb e e nd o n ew i t ht h es o l v a b i l i t yf o rt h e f o l l o w i n gm o r eg e n e r a lt h i r do r d e rn o n l i n e a r n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，一( f ) ( x ( f ) + p ( f ) x o f ) ) + 厂( f ，x ( 6 1 0 ) ) ，x ( 6 2 ( f ) ) ，x ( 6 k ( f ) ) ) 。 ( 19 1 g o ，z ( c 1 ( f ) ) ，x ( c 2o ) ) ，x ( qo ) ) ) 】7 = j i l o ，x ( 盔( f ) ) ，x ( 畋( f ) ) ，x ( 畋o d ) ，f 岛， w h e r eki sap o s i t i v ei n t e g e r ， f 0 ，p c ( t 0 ，悯) ，r ) ， r c ( t 0 ，悯) ，r 0 ) ) ， 岛，q ，喀c ( f o ，佃) ，r ) w i t h l i m4 ( 0 = l i m c i ( t ) = l i r ad f o ) = + o o ，i 1 ，2 ，七) ， f h f + f f c 2 ( 【气，+ o o ) x r k , r ) ， g c 1 ( 【f o ，+ o o ) x r k , r ) a n dh c ( f 0 ，+ o o ) x r k , 尺) s a t i s f y i n g t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( a 1 ) t h e r ee x i s t sac o n s t a n tm 0a n df u n c t i o n sw ，p ，q c ( t o ，佃) ，r + ) 一2 一 辽宁师范大学硕士学位论文 f ( t ，u l ，u 2 ，u i ) i 形( f ) ， g ( t ，岣，“2 ，“i ) i 尸( f ) ， h ( t ，u l ，u 2 ，u t ) | q ( f ) ， ( a 2 ) t t o ，佃) ，u f 【0 ， ，】，1 i 后； f r 苇苦p ) d u d s 0 i f t h e r e e x i s t s ac o n s t a n t c o ，等) s a t i s f y i n g p ( f ) 肾cf o rs o m el a r g et ， ( 3 1 ) t h e ne q ( 1 9 ) p o s s e s s e su n c o u n t a b l ym a n yb o u n d e dn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n si n q ，w h e r e ， q = x c ( t 0 ，+ ) ，r ) ：n x ( t ) m ，v t t o p r o o f s e tl ( n c mm c m 22 ( 3 2 ) ) i nv i e wo f ( a 2 ) a n d ( 3 1 ) ，w es u g g e s t t h a tt h e r ee x i s t s t t o + fs u f f i c i e n t l yl a r g es u c ht h a t a n d p ( t ) 匿c ，v t t f 篙挚+ f r 责井p c “，+ c u - 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