（应用数学专业论文）关于多状态保险模型的研究.pdf

摘要 摘要 传统精算数学主要在生存一死亡模型下讨论了保费和责任准备金的计 算问题。但在保险实践中，更多的时候需要考虑被保险人的多种状态，这是 因为被保险人在不同的状态下所获得的保险金往往是不同。此时使用简单的 两态模型远远不够。本篇文章致力于多种状态保险模型的研究。我们使用一 个有限状态马尔可夫链来描述一个被保险人的保险相关状态随时间演化的 规律，建立多状态寿险的数学模型，给出了此模型下一般保险的现金流的刻 画，并仿照两状态保险情形，利用这些现金流的精算现值定义保单的条件责 任准备金，给出有关保费和条件准备金的计算方法，导出了与它们相关的微 分和积分方程，为实际计算提供了理论依据。 关键词：生存模型，t h i e l e 微分方程，马尔可夫链，条件责任准备金 a b s 自r a c t a b s t r a c t t h e 扛a d m o i l a la c t i l a r i a lm a n l e 蜥c si sm a i l l l ya b o mt h ec a l c u l a t i o no fp r e i i l i 啪 a n dr e s e r v eu n d e rt h el i f 色- d e a mm o d e l h o w e v e rc o n d i t i o n so fn l ei n s u r e da r e d i f f b r e n tm o s to ft i l n ei np l j 砌c eb e c a u s et 1 1 ei n s u r e dw i l l 驽e tb e i l e 矗t si nd i 伍b r e m c o n d i t i o n s a tt l l i st i m e t h el i f b - d e a 也m o d e lc a nn o tm o d e l l ea b o v ec o n d i t i o n c o r r e c n yt i l i sp a d e rw o r i 【sf o rt l l er e s e a r c ho f i n s l l r a n c em o d e li 1 1m 出s t a t e s w et r y t of - m dt h el a wo fr e i a t i v ei i l s l l 】锄c es t a t ew “hd e v e l o p i i l go fd i i l e ，a n db u i i dm a t h m o d e lo fl i f 色i n s u r a n c ei i lm u l t is t a l h e s ，p r o v i d ec a s hn o wo ft l l i sm o d e lb ya 缸【1 i t e s 诅t e s b r ，o vc h a i l l s 砜奄f 0 1 l o w 也el i 危d e a lm o d e l u s ea c t u a r i a ld r e s e n t 删u et o d e f i n er e s e r v eo fp o h c y ，p r o v i d et l l ec a l c l l l a ：t i o nm e 也o do fp 衄i u ma n dc o n d i t i o n a l r e s e f v et h a ti st 0d e 五v et b ef o m l l l ao fd i 圩b r e n t i a le q u a t i o na n di n t e g 删e 日u a t i o n 。 w i l i c hp r o 、r i d et h e o r yb a s i sf o r 瓤血l a lc o i n p u t a t i o n 1 ( e yw o r d s ： s u r 、，i v a in l o d e l ，t 1 l i e l e sd i 舵r e n t i a l e q u a 廿o n ，m a r k o vc h a i n s ， c o n d m o n a lr e s e n r e i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文：学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版：在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用 学位论文作者签名 劢6 年，月嘭日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：锄乡 加6 年厂月形日 引言 引言 关于人寿保险保险合同保险费和责任准备金的计算，是保单设计和保险 公司日常管理工作中非常重要的工作，也是精算师的主要任务。为此，需要 建立有关被保险人的适当的生存模型作为计算基础。传统精算数学中所考虑 的生存模型主要是简单的生存一死亡模型，亦即只考虑被保险人的两种状态： 或者生存，或者死亡，各种生命表就是这种模型的表格形式。基于两态模型 的计算方法也成了当今实业界通行方法。这种模型有两个优点：一是简单， 各种有关指标的计算在这种模型下可以简化为表格计算；另外是死亡数据比 较容易获得，从而便于对模型的有关参数进行估计。但是它的缺陷也是非常 明显的，因为在保险实践中，保单的状态一般不止两个，即便是对比较经典 的死亡险和年金等险种，也需考虑诸如退保等状态；而对一般像养老金，医 疗险等险种，不但要考虑被保险人的多种状态，而且还要刻画它在这些状态 间变化的可能性。本篇文章，将致力于多状态保险模型的研究，使用一个有 限状态马尔可夫链来描述一个被保险人的保险相关状态随时间演化的规律， 对以它为标的的一般保险考虑其净保费和责任准备金的计算问题。熟知，一 个马尔可夫链由其转移概率所决定，而转移矩阵又可从其强度矩阵出发，通 过求解科尔莫戈洛夫微分方程获得。将此结果应用到责任准备金计算( 净保 费计算是它的一个特殊情形) ，获得了关于被保险人处于各种状态下的条件 准备金所满足的微分和积分方程。实际应用中只要从实际数据估计出转移强 度矩阵，那么可以通过数值解法求解相应的方程获得所求的结果。 本文的结构如下：第一章概述了两状态的生存模型，以及相应的保险费 和责任准备金计算；第二章罗列了将要用到的有关马尔可夫链的基本概念和 主要结果，第三章是本文的重点，利用马尔可夫链建立被保险人的多状态生 存模型，给出了此模型下般保险的现金流刻画，并仿照两状态保险情形， 利用这些现金流的精算现值定义保单的条件责任准备金，再利用向前和向后 科尔莫戈洛夫方程导出责任准备金的相关微分和积分方程，它们为实际计算 提供了计算模型。最后讨论了保险现金流的矩，这些数字特征在估计与保单 相联系的风险时常常要用到。 第一章两状态生存模型和保险 1 1 1 生存函数 第一章两状态生存模型和保险 第一节死亡概率 对于新生儿，其死亡年龄丁是一个非负的连续型随机变量。用f ( f ) 表示 r 的分布函数： f ( f ) = p ( r f ) 并记： f o ) = p ( 丁 f ) = 1 一f o ) ( 1 2 ) 对任何时刻f ，f ( f ) 等于新生儿在f 岁或之前死亡的概率而f ( f ) 等于新生 儿活到f 岁( 即f 岁以后死亡) 的概率，函数f ( f ) 称为生存函数，显然f ( 0 ) = 0 ， f ( o ) ：1 ，新生儿在年龄x 与o x 下的条件分布，即： 脚) = 印蚋咿 叫= 鬻 凡- 1 - f 川加珂n h 们m = 黑 则z 的分布 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 第章两状态生存模型和保险 邝= 知= 篇= 等 由( 1 5 ) ，( 1 1 0 ) ，( 1 1 1 ) 有 ) 在x + f 岁的死亡力： = 黜= 等蒜= 矧铂慨+ ( z ) 、7 f o x )f ( x )f ( x + f )f ( x + f ) 、 一 又由( 1 6 ) 及( 1 9 ) 得： 融x 1 ：p r 吣m ：e 一胁砂：e 一：。私 ( 1 1 3 ) 由( 1 1 2 ) 可以看出死亡力只是x + f 的函数，因此我们完全可以用“。讨 论条件生存分布的所有性质。 显然，x 岁的人的期望剩余寿命为瓦= f 户( f 1 工) 出，又f ( f lx ) = e j 。“一7 ， 因此若“为递增函数，则对固定的r ，户( f i x ) 为x 的递减函数，从而瓦也为x 的 递减函数。 第三节单一生命的保险 现在讨论以单个被保险人( 单一生命) 为承保对象，由被保险人的生死 两种状态决定所有的随机事件的保险。考虑这种保险保险金的精算现值、净 保费和责任准备金的计算问题。 假设被保险人是当前年龄为x ，剩余寿命为z 的生命。令函数 = 1 【 f 】，则e ( ，f ) i n ，= l 一= l 阢f 】，e ( m ) = 1 一，n = ，吼。 1 3 1 常见保险的保险金的精算现值 假定投资收益率为r ，实际年利率为f ，从赔付时刻回溯至保单签发时的 利息贴现函数为v ， 是赔付的金额，则受益赔付额在保单发行时的现值 z f = 良q 。下面看几种常见保险的保险金的在保单发行时( f = o ) 的现值及精算 现值【2 1 。 i 、n 年期纯生存保险 第一章两状态生存模型和保险 只有当被保险人( x ) 从保单生效起至少活”年时才提供支付，如果应付额 为1 单位，那么： 岛= l = 正兰月 现值： 互= 6 ，h = 8 一”l = 尸y “” 精算现值： e ( p 矿“”) = p 一。只= 。e ( 1 1 4 ) 再来看p 矿“的q 阶非中心矩 e ( ”) 9 = e p “鬈 = e 1 ”l = e 一属= 。妒 ( 1 1 5 ) 特别地p 矿“的方差： 噍” = 。p 。e 2 = ( p 矿”) 2 一e 2 ( p y ”) ( 1 1 6 ) i i 、定期寿险 1 、n 年期寿险：只有被保险人从保单生效起 年内死亡时才提供支付 如果保险金额为1 单位且死亡受益在死亡即刻赔付，那么： 岛= 1 一l = l ，r n 现值：z ，= 岛v = e 一嘎( 1 一l ) = p 矿“” 精算现值： e ( 尸矿”) = e p 一，l ( 1 一l ) 】= f z f g ( f ) 衍 ( 1 1 7 ) 其中g ( r ) 为t 的概率密度函数：g ( f ) = ，n “。 厂l 第一章两状态生存模型和保险 所以： e ( p 矿“”) = fz f g ( f ) 疵= r e - 。，n + ，出= j b ( 1 1 8 ) 砸( ”) 4 = r ( e 咒n 西= p 聊积，出= 碟 ( 1 1 9 ) 矿( ”) = e ( 缈卅坷( ”) = 犁一砖 ( 1 2 0 ) 2 、h 年期两全险( 亦称养老保险) 不管被保险人 ) 在n 年内死亡还是生存到胛年期末都提供支付。如果保 险金额为1 单位且死亡受益在死亡即刻赔付，那么6 r = 1 ，f 0 ，支付时刻为： t 。：，t 疗 l 。，t 。 现值：z = e 一7 圳= p y “” 精算现值： e ( 尸矿”) = r e ，n 虬+ ，出托一。n = j j 一。e ( 1 2 1 ) 因此这种保险可看作n 年定期寿险和咒年期纯生存保险的混合。 并且 e ( p ) 9 = j ： ( 1 2 2 ) 矿( 尸矿“一) 。：j ：j j ：i ( 1 2 3 ) i i i 、m 年延期保险 只有当被保险人o ) 从保单生效起的珊年之后死亡才提供受益支付，其 方式与期限可以是上面讨论过的任何一种。例，川年延期的 年定期保险， 如果被保险人( x ) 在时间段( m ，m + n 】内死亡时，应付金额1 单位，那么： 在f = o 时现值： 0 ，t 肌 1 ，m z 聊+ n p 矿= p 矿“，”一_ p y “， 6 第一章两状态生存模型和保险 精算现值： 帅面= j b + j b = r ”e 一，以虬+ ，出 ( 1 2 4 ) 1 3 2 净保费 像其它商品和服务一样，保险也是以一定的价格被购买的，与其它商品 一样保险公司必须决定保险的价格，使该价格足够支付公司的成本。不同的 是它在向顾客( 投保人) 提供服务前先收取费用( 保费) ，即顾客需要预先 支付一部分或全部价钱。假设不考虑所发生的费用，我们来讨论净保费的计 算公式。 i 、等价原理( t h ee q u i v a i e n c ep r i n c i p i e ) 等价原理：假设保险合同已生效f 年，则在f = 0 时刻净保费的精算现值 与保险金的精算现值相等i i “，即：e 保险金的现值 = e 净保费的现值 。 如果把保险费看成保险公司的收入，那么保险金及各种业务费用即为保 险公司的支出，我们把支出减去收入称为保险公司的损失，若用厶表示保险 公司由于保险合同生效至它终止所带来的损失在r 时的值，厶即为时刻f 的函 数，也称l 为此保险公司的损失函数。等价原理表明：保险公司发行时的平 均损失为零，即e ( 三，) ：o ，从而肋 厶】= ej 厶2i ，保险公司未来的平均收支 现值相等。这对投保人和承保人双方来说才是公平的，因此我们常用此原理 确定保费。 i i 、净保费计算公式 前面提到保险业中要求投保人预先支付一定金额的保费。通常保费支付 计划有两种形式，一种方式是合同生效后所有保费一次性缴齐，由等价原理， 此时，纯缴保费正是保险金的精算现值，即净趸缴保费。另外一种方式是保 费以分期付款的形式支付，最普通的方法是从合同生效开始定期支付固定水 平的保费，至合同结束或者到某一预先指定的时间为止。 假定保费以水平保费疗连续的支付，则保费就形成了由被保险人付给保 险人的一个m 年定期的生存年金，由等价原理，它的现值是：石p v ，精算 现值是：石瓦司，对纯生存保险和玎年定期保险，易知，分别为室曼，当。 口嗣口z 目 7 第一章两状态生存模型和保险 对两全险同样有： 疗：竺：当+ 当：粤塑：三一， 口j 司口丑口z 习 口：可口r 习 1 3 3 责任准备金 前面我们引入了等价原理，得知投保人缴付的一系列净保费，在保险合 同成立时，等价于根据被保险人未来死亡或生存而赔付的保险金，但在保险 期的任一时刻，保险人已收的净保费和已付的保险金不等，未来需付的保险 金与未来净收入的净保费不等。即双方未竞责任的平衡关系会被打破，投保 人可能还需缴纳净保费，同时保险公司负有支付受益金的责任。本节将应用 等价原理于保险合同开始生效以后的时期，讨论新出现的平衡项：保费责任 准备金。 假设保险合同在被保险人x 岁时生效，n 年后合同终止，保险金由一个 定期保险和一个纯生存保险组成，如果( x ) 在时刻r ( o ，玎) 死亡，则o ) 获赔 付金额魂，若在n 时刻生存则( x ) 获赔付金额为玩。保费在合同生效时刻 ( f ：o ) 一次整付，之后以水平保费巧每时间单位缴付一次直至( x ) 死亡，且 保费的缴付以被保险人的存活为条件，假设利息率为确定函数，保单在时 刻，仍有效，称巧= r p 圹。见+ ， 虬。眈一乃) 打+ 屯f j ，。以+ ， ( 1 2 5 ) 为将来责任准备金，简称准备金。 假设利息率为常数，保费建立在等价原理的基础上，= 磊，由公式 ( 1 2 5 ) 有下列常见保险准备金的计算公式： 1 、一次缴清保费的纯生存保险k = 。e + f ，o ， 。 2 、若在整个保险期内保费以水平保费厅连续支付，则： f k = 。巨+ ，一艰+ ，厕= 。e + ，一； 瓦。而 “r 习 3 、n 年定期保险，保费以水平保费厅连续支付，则： k 2 4 。一石瓦+ ，；习 第一章两状态生存模型和保险 - l - 氏鬲。一警k 厕 ：1 一。一( 1 一。助三当丑 口1 4 、 年期两全险保费以水平保费石连续支付，则： k = 4 一一万曩+ ，j 习 】一r _ ， 。1 一嘎“词一言吐商 ：1 一竺! 丑 a 几点说明： 1 、：一+ r p 一小，段 “。，以一乃) 出+ p p 。n ，又。n 。= p r m 。，因 此： 巧：r e r n + h m “6 f 一乃) d f + e f n + “m 冲屯 ( 1 2 6 ) 2 、实际应用中作为r 的函数矿0 ，r o ，如果k 0 ，那么保单持有者 就总会感觉到对保险人有负债，从而会有取消终止合同的想法。 3 、同理也可得到过去责任准备金： 巧：p j ：( + “一冲+ ( p f ( + “m 灿( 以一虬。6 f ) 如 ( 1 2 7 ) 实际中可以根据具体问题选择使用将来法、过去法中较为简便的一种， 一般地，计算已缴清保费后某时刻的责任准备金时( 1 2 5 ) 比较方便，因为这 种情况下未来只有保险金给付而没有保费缴付，而在计算尚未进入保险给付 期的某时刻责任准备金，用( 1 2 7 ) 比较方便，因为这种情况下过去只有保险 费缴付，没有保险金给付。 1 3 4t h ；e l e 微分方程 假设保险合同在时刻f ( o ，h ) 有效，则在( r ，h 一衍】上，( x ) 以“。础+ d ( 西) 地概率死亡，此时条件期望值正是死亡保险金6 f ；o ) 以1 一峨+ ，击+ d ( 前) 的概 9 第一章两状态生存模型和保险 率生存，此时条件期望值为一乃出+ p “k 。从而： 又 巧= 6 f “。出一曩西+ ( 1 一虬+ ，出弘一柚k + m + o ( 西) ( 1 2 8 ) 生笋却。叫华飞一 嬲华却。训嬲华吨仉 l i i n ! = ! 土：i i i l l 兰兰：一， m _ o 出 m + o 1 所以 瓣学硇，+ 忡。k 即 丢k = ( ，+ 虬+ ，) 巧+ 巧一虬+ ，岛 ( 1 2 9 ) 称方程( 1 2 9 ) 为t h i e l e 微分方程。 当保费率珥，保险金珥及死亡强度函数给定后，加上条件k = ，k = 瓦 即可求出”，并很容易从方程看出，责任准备金的变化率由三项组成：年保 费、按利息及生存因素的增长率和赔付受益率支出。 下面我们把方程( 1 2 9 ) 适当变形有： 巧2 象k r k + ( 匆一巧) ( 1 3 0 ) 上式表明在任意时刻f ，保费率互可分解成： 万5 = 兰矿一，矿( i 3 i ) 。 廊 衫= 一巧) 虬+ 。 ( 1 3 2 ) 称矿，分别为储蓄保费和风险保费，前者积累至年底，本年度末正好弥 补储备金的增量，而后者累积至年底预期可以冲销风险支出部分。 如果责任准备金被当作储蓄基金，可以来抵消死亡受益，那么有： 巧+ ，k = ( 包一巧) + 云k ( 1 3 3 ) 这里进项率只涉及保费和责任准备金的利息，与风险净额受益支出率及责任 1 0 第一章两状态生存模型和保险 准备金增长率平衡。 上式两端形式上乘以衍，并将微分用增量代替后，所得方程可直观上解 释为时间区间【f ，r + 卉】内所收保费加上，时刻转入的储备金，等于此时间段的 平均风险金与储备金增量的和。 1 3 5 责任准备金与合同要素的关系 f 面考虑一个不同于前面提到的模型，利息函数为，死亡强度函数“二 和一个不同于前面的保险合同，保险金为f ，保费为矿，则由t h i e l e 微分 方程有： 暑矿= 矿一“：，可+ ( i + + “二) ( 1 3 4 ) 眨= ( 1 3 5 ) 巧= 万： ( 1 3 6 ) 假定6 ：= 屯，石：= ( 1 3 7 ) 由( 1 2 9 ) ，( 1 3 4 ) 有： 妄一k ) = 碾+ ( f + “二) ( 呼) ( 1 3 8 ) 其中 仍= ( 彳巧) + ( 虬+ ，岛一甜二彳) + ( i + 一+ ”二一虬+ ，) 巧 ( 1 3 9 ) 从而 f 丢( + 一k p = f p + “：f ) ( 一k ) 出 ( 1 4 0 ) 又因为= 巧，所以： 形一k ：f e f ( 7 。) 编出 ( 1 4 1 ) 同理由k 一= 嘭，有： 一一：一r p f ( ? 。) 研凼 ( 1 4 2 ) 如果存在一个时刻气 o ，玎j 满足，当f 气时叩f o 由 ( 1 - 4 1 ) 及( 1 4 2 ) 有：对v r 【o ，聆】，+ 一k o ，即。特别地，如果仉为 非减函数，那么旷形。 第二章马尔可夫过程 第二章马尔可夫过程 在前面讨论的生命模型中，被保险人相关的状态仅有两个：生存和死亡。 也就是说所有的保险给付只参考被保险人的这两个状态。正如前面所叙述的 那样，传统精算数学研究在这种简单模型下，人寿保险中两个最重要的问题： 保险费和责任准备金的计算问题。但在实际中更多的时候需要考虑生命的多 种状态，例如，被保险人有可能处于“健康”、“生病”或“死亡”状态，而 在医疗健康保险中，被保险人b ) 处于上述三个状态时所获得的福利是不同 的。在有些保险中，即便仅考虑死和生，也需要区分不同原因的死亡，例如 “意外死亡”和“因病死亡”，当然不同的死亡原因所带来的赔付也是不同 的。因此在这些情形下两状态模型也不再适用，要求我们建立关于被保险人 有多种状态的生存模型。本章将致力于此目的，为此我们从一个随机过程的 观点来看待被保险人状态随时间演化的过程，特别地若只考虑两个状态，那 么我们得到一个特殊的两值过程：( x ) = 群：f o ，其中x 只取。和l 两个 值，即在r 时刻若( x ) 生存则霹= o ，若( x ) 死亡则f = 1 。受此模型的启发， 我们将用一个很特殊的模型一一马尔可夫链作为被保险人的状态演化情况。 第一节有关马氏链基本概念 下面考虑在f = o 时刻发行的疗年期保单，假定有限的状态集z = o ，1 ， 使得保单在任意时刻处于且仅处于一种状态，并设在r = 0 时刻保单状态为o 。 定义保单在f 时刻的状态为x “) ，则x “) 为o ， 1 到z 关于f 连续的一个函数， 且允许有有限个跳跃，并且工( r ) = o ，从而一可以看作概率空间( q ，h ，p ) 上 的随机过程。本节我们将假设x 是一个无后效或马尔可夫过程，亦即在这种 模型中，一个生命未来的变化仅与现在的状态有关，而与过去的情况无关”“。 定义l ：取值于集合z = f o ，1 ，l 的随机过程x ( f ) 称为一个马尔可夫链， 如果它满足以下条件：对所有的 f o ， l ，工， z 有： p i “) = j x ( f g ) = 矗，g = 1 ，矗一1l = p z ( ) = l x ( “一。) = 一一 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 称为马尔可夫性，集合z 称为状态空间。 由定义1 知，若已知z 的现在状态，则它的过去所经历的状态和将来可 第二章马尔可夫过程 能所处的状态是独立的，这种性质可使关于保单相关的有关计算大为简化。 马尔可夫性还有如下的等价定义，它在很多时候使用起来更为方便。 定义2 ：假设存在非负函数靠( f ，”) ，z ，o s f s “ 满足& ( f ，“) = 1 ， 并且对任意的o r ，【o ，聆】， 五，矗 c z 有： p x ( 靠) = ， = 1 ，p = r i 气。( h ) ( 2 2 ) 成立，也称石具有马尔可夫性。 对于马尔可夫链，一切与其分布有关的性质理论上都可以用( 2 1 ) 右方 的条件概率来表示，为此引进下属定义： 定义3 ：对任意两个状态f ，z 和任意两个时刻o s f ，称条件概率 圪( j ，) = p = | j f 置= f ) ( 2 3 ) 为x ( f ) 的转移概率函数。 定义4 ：对每个歹，女z ，j 女，f 【o ，n 】，若极限： 玑：l i i i l 垒虹型( 2 4 ) 2 烛坐j 一 2 4 ) 存在，就称( r ) 为x 在时刻r 自，到七的转移强度。 由极限的知识，上式也可写成易( f ，f + 出) = 甜业( f ) d + d ( 成) ( 2 5 ) 其中。( 西) 为衍的一个高阶无穷小，即：城旦字= 。 因此由上式得到：短时间段内的转移概率，几乎可以认定为与时间区间 的长度成比例，而比例系数即为f 时刻的转移强度( f ) ，如果( f ) 对所有 ，| j 和所有的f f ，r + 1 1 几乎接近一个 l 的常数，那么( f ) 几乎接近于 & ( r ，+ 1 ) ，但值得一提的是转移强度可取到任意正值，而概率却有限制 o 匕( f ，f + 1 ) 1 。 第二章马尔可夫过程 定义5 ：在f 时刻从，状态转移到状态集世c z 的转移概率为： & ( “) = ，( x ) 足i j ( r ) = ，) = b ( f ，“) 女e k 显然 屹( f ，“) = & ( f ，“) = 1 i e z 定义6 ：在，时刻从，状态转移到状态集足c z 的转移强度为 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 铲脚掣= s ) 并记“，。( f ) = ( f ) ( 2 9 ) 女，女 由( 2 5 ) 和( 2 7 ) 有： 巴( f ，h 西) = “o ) 西+ d ( 出) = l 一“，。( ，) 西+ d ( 出) ( 2 1 0 ) 第二节查普曼科尔莫戈洛夫方程 对固定的r o ，胛】，随机事件， x ( r ) = ，) ，z 是不相交的，并且它们 的并几乎是必然事件，所以： p z ( “) = 七l x o ) = f = p 石( r ) = ，x ) = 七l x ( s ) = f ：y ! 兰! ! ! 三肇兰! 尘三毒兰尘! 三塑 急p l z ( s ) = f i f ! 兰! ! ! 三! ! 兰尘! 三! ：兰! 尘三塑：! 兰尘! 三! l 兰! ! ! 三塑! 兰! 1 2 三塑 一台p p ( s ) = f = p x ( r ) = _ ，l x ( s ) = f p z ( “) = j l x ( f ) = ，z ( s ) = f ( 2 1 1 ) 又z 为马尔可夫链，且o j f “，所以： p z ) = t i 工( f ) = ，z o ) = f = 尸 鼻( “) = t i z ( r ) = ， 从而( 2 1 1 ) 变为： p ( 甜) = 后i x ( s ) = f = p z ( r ) = ，l z ( s ) = f p x ( 甜) = i 一( r ) = - ， = 弓( - 易( f ，甜) ( 2 1 2 ) 1 4 第二章马尔可夫过程 方程( 2 1 2 ) 就是著名的查普曼一一科尔莫戈洛夫方程，也叫c k 方程，这 个方程给出了三个不同时刻转移概率之间的关系，在讨论被保险人状态随时 间演化的过程中有非常重要的作用1 。 第三节科尔莫戈洛夫微分方程 数，因此经常用转移强度去讨论x 。假设过程x 在时刻r 处于，状态，即 x ( r ) = ，下面我们给出一个命题，该命题表明转移强度能唯一确定转移概 率。 命题：在无穷小意义下记：z & ( f ，“) = & ( f + 西，“) 一& ( f ，) ，则微分方 4 & ( f ，“) = & o + 西，”) 一( 1 一“，( f ) 西) & ( h - 疵，”) 一( f ) 旃吃( ，+ 出，“) 十d ( 办) 联立条件： 咖m ：，1 产2 lo ，七 唯一地确定转移函数略( ，“) ，= o ，1 ，j 本命题的证明很简单，只需用f ，h 西，g 去代替c 一莨方程中的j ， f ，f ，即可。由于f 为我们所考虑的将来时间段 f ，“】的起始时刻，因此方 程( 2 1 3 ) 称为向后科尔莫戈洛夫微分方程，实际应用中我们经常会用数值解 法解上述方程，例如龙格库塔法。 言& ( 埘) 2 叶( ，) 丘( r ) 一磊( r ) 珞( 埘) ( 2 - 1 5 ) 第二章马尔可夫过程 类似地有下面的向前科尔莫戈洛夫微分方程： 4 弓( s ，f ) = 乓( s ， ) ( f ) 西一弓( s ，f ) ”，( f ) 函 ( 2 1 6 ) 初始条件： 1 ，f = - ， o ，i j ( 2 1 7 ) 对于给定的r 和s ，微分方程( 2 1 6 ) 唯一地确定函数弓( s ，) ，= o ，1 ，j 。若 用吩表示在某个确定时间段( f ，“) 内x 一直处于，状态的概率，则有： 显然对任意， j 材有： 再由( 2 1 0 ) 有 又由易( “，“) = 1 得： 易( 枷) = p z ( f ) = ，r ( r ，“) i x ( f ) = ， ( 2 1 8 ) 吩( 埘) = 易( 柚) 吩( s ，“) 吩( f ，甜) = ( 1 一“，( f ) 出) 吩o + 出，“) + d ( 衍) 掣氆肿州 易( 刎：。一n ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 厂l = 磊 = 00 弓 第三章多状态保险的马尔可夫模型 第三章多状态保险的马尔可夫模型 在这一章里，我们利用前面关于马尔可夫的理论来建立多状态寿险的数 学模型，并基于此给出有关保费以及准备金的计算方法，即导出与它们相关 的微分方程。 第一节生存模型 首先给出生存模型： 定义1 ：设x 为给定的非负实数，以z = o ，1 ，“为状态空间的随机过程 ( x ) ，= 置：f o 称为一个初始年龄为x 的_ ，态生命，若它满足以下条件： 1 、p ( 蜀= o ) = 1 2 、对任意疗个时刻o f ： ，任意胛个状态， o ，1 ， 成 立： p ( 五= l 丸= + 五= ) = p ( 五= | 五一，= 一。) 3 、至少存在一个f ( 1 ，) 使对任意七 o ，l ，力和任意j f 有： p ( z = 七i 五= f ) = o 该定义说明对于一个，态生命，其初始状态为o ，并且f x l 具有马尔可 夫性，而且至少有一个“流出”状态，即一旦生命处于此状态，就不能再转 移到其它状态，比如，通常所说的死亡就是一个“流出”状态。 通过前面的介绍我们知，对于只有生死两个状态的生命( x ) ，生存概率 和死亡概率在保险计算中起着中心作用，当然我们也可用死亡强度来刻画。 对于一个多态生命( x 1 起相同作用的是转移函数及转移强度。 下图给出了保险给付依赖于被保险人健康状态的保险，例如在生病期间 免缴保费的寿险： 1 7 第三章多状态保险的马尔可夫模型 图3 1 健康保险的与尔司夫模型 对于在j 时刻健康的人，向前微分方程为： 吐匕( s ，r ) = 气( s ，) ( r ) 西一匕( s ，) “。( r ) 西 由图知： “。p ) = p ( ) ，“。o ) = o ，“。( f ) = 盯( f ) ，o ) = “( f ) 从而： 昙乞( 蹦) = ( 蹦) ( f ) 一乞( 蹦) ( f ) 。 g ，g d = 己( s ，f ) ( r ) + 匕( 蹦) ( f ) 一乞( s ，) ( ( f ) + 甜耐( f ) ) = 兄( s ，) p ( f ) 一圪( s ，f ) ( 盯( ，) + “( f ) ) ( 3 1 ) 同理有： 盖艺( 蹦) = 圪( s ，r ) 盯( r ) 一圪( 蹦) ( ，( f ) + p ( ，) ) ( 3 2 ) 初始条件为： 匕( s ，s ) = 1 ，圪( s ，s ) = o ( 3 3 ) 而岛( s ，f ) 由匕( s ，r ) 和己( s ，f ) 决定，同理对于s 时刻伤残的人而言，也有相 应的向前微分方程： 云圪( s ，f ) 2 只一( s ，r ) p ( f ) 一圪( 蹦) 0 ( r ) + 盯( r ) ) 云只( 跗) 2 圪( 蹦) 盯( ，) 一只( ( r ( f ) + p ( f ) ) 边值条件为： 匕( s ，j ) = 1 ，只( 只s ) = 1 。 上述结果告诉我们：对多状态生存模型，只墨知道各种状杰间的转移强 第三章多状态保险的马尔可夫模型 度，那么就可以通过求解有关的微分方程获得被保险人在各个状态问的转移 概率。 对一般的生存模型，由向后微分方程： 吐巳( 埘) = 甜，( f ) 畔。( 埘) 一( f ) 国咯( 埘) g ，g j 有： 砖匕( 埘) 一“，( f ) 础& ( 埘) = 一( f ) 魂略( f ，甜) g ，g 从而有： 4 f 。r 叶& ( f ，“) 1 e r 叶z 么( f ) 比如( f ，“) g ；g 同时从f 积到“，有： & ( “，“) 一e 抄& ( 埘) = 一r e j f 叶( r ) & ( r ，“) 如 一j 叶( 埘) ：一r e f “( r ) 珞( l ”) 如 从而有： & ( f ，“) = r 易( ) ( r ) 气( r ，“) d f 蛾易( 埘) ( 3 4 ) 这是一个关于转移概率的积分方程，实际计算中有时使用它更为方便。 类似可得到向前积分方程： 弓( 蹦) = 磊噜( 蹦) + f 最( s ，f ) ( r ) 弓( 州) 如 ( 3 5 ) 上面方程的直观解释： 磊岛( s ，f ) 表示没有任何转移状态的以，状态结束的概率为：( s ，r ) 当且 仅当f = ，。 f & ( s ，f ) ( r ) 吩( f ，f ) 出表示在经过转移状态之后以，状态结束的 g ，g j 概率，在小时间区间( f ，f + 出) 上，从g 状态到，状态并以，状态结束的概率 对不同的g 求和到最后一次，再对所有的( f ，r + d f ) 求和。 例如下图： 1 9 第三章多状态保险的马尔可夫模型 图3 2 ，个死亡原因的死亡强度模型 表明o ) 死亡的原因有j 种，简记，= 叶，则： “( ，) = “儿) ( 3 6 ) r 岁的人生存到“岁的概率为( f ，甜) ，由向后的积分方程及弓( r ，“) = 1 ，在甜 岁前死于- ，原因的概率： ( 埘) = r ( 如) 弓( r ，甜) “。0 p r + 毛( 埘) g ：g u = f f 岛( ( r ) 名( 训肛 ( 3 7 ) g 等u = r ( f ，f h ( r ) 弓( 删) 出( g o ) = r ( 纠吩( r ) d f = ”叶( f ) 如 ( 3 8 ) 由( 3 7 ) 及( 3 8 ) 可有如下结论： 一个死亡强度版的增加导致了生存概率的减少，同时死亡于其它原因的 概率也减少( 因为总的概率为1 ) ，从而死于七原因的概率增加。 第三章多状态保险的马尔可夫模型 第二节一般复合状态的保险 3 2 1 给付函数 现在假设被保险人状态随时间变化的规律可以用马尔可夫链x 表示，它 具有右连续轨道，并且至多有有限个跳跃，定义它的指示过程：对j = 1 ，j ， 令： l ( ) = 1 x ( f ) = ， 以及计数过程： ( f ) = 拌 f ：x ( r 一) = _ ，x ( f ) = | j ，r ( o ，r ) ( f ) 。和 吆( f ) 。也具有右连续轨道并至多有有限个跳跃，它们分别 表示被保险人在时刻r 是否处于状态，以及在时间f 以前从状态_ ，转移到 的次数。由定义我们有： 哆( f ) = 州，( r ) 一嘲( f ) ( 3 9 ) 其中杉= 。 t ； 一个多状态保险合约将指定被保险人处在不同状态下，以及从一个状态转移 到另一个状态时相应的保险福利。我们考虑一个非常一般的模型：设该保单当 被保险人处于状态_ j 时所获得的累积给付为皖( f ) ，它是一个确定性有界变差函 数： d 吼( f ) = 6 k 出+ 岛o ) 一壤o 一) 通常以生存年金的形式支付。 以表示被保险人从七状态转移到，状态的保险给付，它通常以寿险的形 式支付。 用b ( f ) 表示该保单的累积现金流，那么我们有： 拈( ，) = 厶( f ) 蛾( f ) + ( r ) 胡( ，) ( 3 1 0 ) t 女， 3 2 2 责任准备金 从第一节我们知道，在两状态模型下保单在任意时刻的准备金是已知 第三章多状态保险的马尔可夫模型 被保险人于该时刻生存条件下，未来现金流在此时刻现值的条件数学期望。 这一节里我们将这一概念推广到多状态模型，给出在马尔可夫模型下准备金 的定义。沿用前节的记号，对任意时刻f 【o ，n 】，保单将来保险金与保费现 金流的现值为： k = p j f7 扭( r ) ( 3 1 1 ) 定义2 ：已知被保险人于时刻f 处于_ ，状态的条件下，相应保单的准备金 是下面的条件精算现值： 啪) 叫郴刊= r e p 嘶) i x = 刁 注：在两状态情形准备金只有一个，因为在此情形下只有被保人处于生 存状态下才提取准备金。但在多状态模型中，不同状态下所提的准备金不同， 因此它的值有多个。将前节的现金流代入上式有： 哪) = f i e p 嘶) ix = 刁 = r e p ( 莩砸) 蛾( ) + 善坼) 巩l x = 韧 = r e 小 e ( 莓她) 蛾( f ) i x = 小e 睡北) 巩i x = 切 = r e 一f7 & ( ) ( 碱( r ) + ( r ) ( r ) 打) ( 3 1 2 ) 下面给出右方的详细解释：保单以概率& ( f ，f ) 在时刻f 停留在七状态， 此时生存年金提供给付金额姆( f ) ，所以在时刻f 的精算现值为 ( f ，r ) e f 7 慨( r ) ：而在【r ，r + 如) 内，保单以概率( f ，r ) ( r ) d r 从t 状态 转移到，状态，此时，保险给付金为( r ) ，所以在时刻r 的精算现值为 ( f ，r ) ( f ) d f p r ( f ) ，对所有给付形式求和即得到( 3 1 2 ) 。 第三章多状态保险的马尔可夫模型 又 令o f 甜栉，贝0 ： 因此我们有： 啪) = r e 小莩鼬一( 蛾+ 丕嘶) 嘶) 出 + ；砌一( 蛾+ 丕坼) 蚺) 出 莩咖纠h ( ) + 丕坼) 嘶) 叫 = r e 也小莩阵聃卅脚，f ) 她+ 丕坼) 北) d f ：e r ( 埘) 砭( “) 啪) = 7 莩砌一h + 丕坼k ( f ) 出 + 。一f7 & ( f ，甜) k ( 。) ( 3 1 3 ) 在整个保单生效期间，保险公司当前必须维持一个储备金去满足保单将来的 净负债，当然如果在f 时刻保单处于，状态，那么保险公司必须提供储备金 巧( f ) 。 3 2 3t h i e ie 微分方程 实际应用中直接按定义计算保单的准备金是不方便的，正如两状态模 型那样，我们在本节里导出多状态模型准备金的微分方程，用它来计算相关 的准备金比较容易。 假定保单在，时刻处于，状态，则在小时间区间( f ，f + 出1 上有