（应用数学专业论文）保特征的高度场变换及应用.pdf

摘要 摘要 高度场r e s c a l i n g ( 变尺度) 在计算机图形学中有着广泛地应用，因此对于此类 问题的研究有着实际意义，_ 向简单的均匀r e s c a l e 常常会带来图形特征丢失的 问题。本文提出了一种简单快速地对于图形的特征保持有着较好效果的非均匀 r e s c a l e 方法。 本文第一章首先介绍了高度场r e s c a l e 问题的应用背景以及存在着的问题， 然后概述了在不同应用中已有的一些解决方法。 第二章开始介绍对一维数据场r e s c a l e 问题的解决方法，这是本文的一个重 点。我们先从对一段简单的单调曲线的r e s c a l e 开始研究，构造出单调曲线的非 均匀r e s c a l e 函数。然后，我们再研究一般多段函数的r e s c a l e 方法，先构造一个 映射函数把多段函数的每个单调段映射到前面研究过的单调区间上，再把映射函 数与单调曲线的非均匀r e s c a l e 函数做复合就可以得到对于多段函数适用的非均 匀r e s c a l e 函数。对离散数据的r e s c a l e 问题来说，主要在于需要先去噪然后再进 行非均匀r e s c a l e 。 第三章介绍了对二维图像的非均匀r e s c a l e 方法，先对二维场的r e s c a l e 所需 保持的特征作了介绍，然后我们把一维数据场非均匀r e s c a l e 方法推广到二维场。 最后，我们给出了一些具体的例子展示用本文方法作r e s c a l e 的效果。 关键词：高度场变尺度特征保持图像处理 a b s t r a c t a b s t r a c t f i e l dr e s c a l i n gh a sw i d ea p p l i c a t i o n si nc o m p u t e rg r a p h i c sa n di ti sm e a n i n g f u l t or e s c a l eaf i e l dw i t hf e a t u r ep r e s e r v a t i o n h o w e v e r , t h es i m p l eu n i f o r mr e s c a l i n g m a yl e a dt h el o s so fo r i g i n a lf e a t u r e s i nt h i sp a p e r , w ep r e s e n tas i m p l ea n df a s t n o n u n i 】t b r mr e s c a l i n gm e t h o dt os o l v et h ep r o b l e m i nc h a p t e ro n e ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ea p p l i c a t i o nb a c k g r o u n do ff i e l dr e s c a l i n g i nc o m p u t e rg r a p h i c sa n ds o m ep r o b l e m se x i s t ，t h e ns i m p l ys u m m a r i z es o m em e t h o d s t h a th a v eb e e nu s e di ns o m eo f t h er e s c a l i n ga p p l i c a t i o n s c h a p t e rt w oi st h ea ni m p o r t a n tp a r to ft h ep a p e r i nt h i sc h a p t e r , w ep r e s e n ta s l o u t i o nt ot h e1 dr e s a c l i n gp r o b l e m w eb e g i nf i l e d r e s c a l i n gw i t has i m p l e m o n o t o n ec u r v e ，a n dar e s c a l i n gf u n c t i o nt od e r i v e d ，t h e ns c a l i n gf u n c t i o n sf o r c o m p l i c a t e dc u r v e s a r ef o r m u l a t e db yt h ec o m p o s i t i o no fi n t e r v a l m a p p i n ga n d m o n t o n ec l h w er e s c a l i n g t od e a lw i t ht h ed i s c r e t ed a t a , w es h o u l df i r s td e n o i s e t h e n r e s c a l e i n c h a p t e rt h r e e ，w ep r e s e n tm e t h o d t or e s c a l e2 di m a g e sw i t hf e a t u r e p r e s e r v a t i o n w ei n t r o d u c ew h a tf e a t u r e ss h o u l db ep r e s e r v e di na2 di m a g ef i r s t ，t h e n e x t e n dt h e1 da p p r o a c ht o2 ds i t u a t i o na n dc r e a t ea2 d r e s c a l i n gf u n c i t o n a tl a s t ，w e p r e s e n ts e v e r a le x a m p l e si nt h i sc h a p t e r k e y w o r d ：h e i g h tf i e l d ；r e s e a l i n g ；f e a t u r ep r e s e r v a t i o n ；i m a g ep r o c e s s i n g ； i i i 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及目的 计算机已经成为快速、经济地生成图片的强大工具。实际上已经没有哪个领 域不能从使用图形显示中获益，因此也就不奇怪为什么计算机图形学的应用是那 么地广泛。计算机图形学的最常见的应用就是数据绘图和图片的处理，由于是对 现实世界的捕捉和模拟，所以在处理中常会遇到一些显示的尺度比例需要改变的 情形。 例如，在计算机辅助几何设计( c a g d ) 中讨论的曲线光顺问题，常利用曲 率图的单调段数与极值点多少来判断。由于曲率图本身就是用于显示沿曲线的一 组点的曲率的图形表示，所以对曲率图显示尺度的选取就会影响到对曲线光顺度 的判断，而且在对曲线进行光顺化处理的时候，也是通过曲率图来判断哪些点需 要进行处理，那么曲率图显示尺度的大小会对曲线光顺处理有影响。但是图形的 显示有时会受到设备和处理方法的限制，因此会产生显示的曲率取值范围要比原 取值范围小很多的情况。 前面提到了图形学的一个常见的应用是数据绘图，在很多的工程应用和科学 分析中，对很多实际问题的分析需要先采样得到数据，然后把数据转化为曲线或 图像等比较直观的方法显示再进行进一步的科学分析。数据绘图首先要对我们想 解决的问题进行数字采样( r a n g ed a t e ) ，例如在勘探石油时，常常就是用采样 得到的测井线分析各地层的信息来判断是否有石油资源的。还有现在广泛应用的 三维扫描仪也是通过对三维实物的扫描采样得到数据，然后在计算机上重建显示 的。采样得到的数据本身的数值范围通常是很大的，由于显示设备和技术的问题， 对原采样数据的表示常需要把数值取值范围缩小，但是如果这样的比例变化为简 单的均匀变化，些原来的特征很可能会被丢失。 还有现在随着人们对画面逼真度的要求越来越高，h d r ( 高动态范围) 的应 用越来越多，h d r 效果就是有超大的颜色值范围，使用这种技术可以使亮暗部 的细节都很明显，但是有时受到显示设备和具体应用的限制，我们要在一个比较 l 浙江大学硕士学位论文 低的动态范围内显示h d r 图像，那么如何在这种情况下尽量保持特征就成为一 个问题。还有在照相技术中。我们可能会遇到曝光过足的情况，在这种情况下照 片的光线太亮，我们就需要对整体的亮度取值范围进行调节，如果我们把每个像 素的亮度值均匀调节，就会使得原图片的一些边界信息变得不容易分辨。 以上的一些例子都可以总结为高度场变尺度的问题，如果我们简单的进行均 匀r e s c a l e ，原来的很多特征都会变得不明显。本文的主要目的就是给出了一个在 高度场尺度发生变化的情形下尽量保持特征的非均匀r e s c a l e 方法。 1 2 相关工作的介绍 在对曲线光顺问题的解决中，曲率图的应用十分重要。在曲线模型中，存在 着一些不是预期形状特征的情形破坏了曲线的光顺性，去除那些不理想的特征称 为曲线光顺。通常情况下，很难量化一条曲线的光顺性，但是存在以下几个基本 标准：( 1 ) 二阶几何连续( 2 ) 曲率变化小或应变能小( 3 ) 不存在多余奇点和多 余拐点。曲线光顺的方法可以分为交互的和自动的，一般说来，自动的方法能更 快的得到接近最优的结果。自动光顺算法又可以进一步分成局部光顺和全局光 顺，局部光顺算法又因为根据设计者的参与和局部的影响而比全局光顺算法更有 优势。在 l x z 0 4 l q a ，作者给出了一个对b 样条曲线的自动局部光顺算法。首先， 这个算法利用由作者指定的目标曲率图来决定哪些是不好的点和不好的曲线段。 然后再用局部强制优化方法调整对应的控制点。 b r u 9 7 提出了用弹性曲线的曲 率方程来解决弹性曲线的h c r m i t e 类型数据插值的问题。这个方法保证了插值之 后的曲线还能保持良好的光顺性，此算法是基于离散曲率信息的代数关系的，正 是这些离散曲率使得这个问题成为一元方法。 前面我们提到了对照片曝光过度的问题，曝光过度的照片往往亮度太强使得 人们难以分辨信息，一般的解决办法就是减少照片的亮度来获得较好的分辨效 果，但是减小了整体的亮度就会使得一些地方的对比不够强。对于增强图像对比 度的问题现在已经有了比较多的文章讨论。2 0 0 6 年，t h o m a sl u f l 【 l u f 0 6 提出了 通过对图像的深度缓冲进行非锐化掩模处理( u n s h a r pm a s k i n g ) 的方法来获得 图像的增强效果。非锐化掩模处理技术是从照相技术中发展来提高照片清晰度的 2 第一章绪论 一种方法，首先对图像进行非锐化掩模来获得一个图像，它能够显示原图像中重 要的边界信息，然后再把这些重要的边界处亮度提高且在其他的地方亮度不变， 这样就可以提高图像的对比度从而获得更好的清晰度。l u t t 就是把这种非锐化掩 模技术拓展应用到图像的深度缓冲来强化图像中的空间信息，来得到对比度增强 的效果。实际上，这种对比度增强的方法是一种局部处理方法，也就是非均匀处 理的方法。 r a a b a nf a t t a l f a t 0 2 对处理h d r 图像的压缩问题提出了一种简单有效的方 法，先是构造了一个调节函数来调节图像的梯度场中梯度值大的地方，然后对调 整过的梯度场求解p o i s s o n 方程得到一个新的、低动态范围的图像。这个方法可 以在对亮度值压缩比例很大的情况下，仍能很好的保持细节特征同时避免这种压 缩下常产生例如光环、梯度颠倒和局部对比丢失等异常结果。 启发本文之一的是浮雕自动生成问题，【s o n 0 7 介绍了一种把3 d 造型转化成 浮雕形式的方法。浮雕问题可以看成是2 d 中h d r 图像压缩的推广到3 d 的相应 问题，这篇文章结合了m e s hs a l i e n c y 、形状提取和离散微分坐标的相关内容，用 提取曲面表面细节特征然后再映射的方法来解决浮雕自动生成的问题，在视觉 上己达到一些效果，但是轮廓还不够明显。实际上，浮雕问题中的表面细节特征 也是一种幅度较小的高度场，而我们的方法是对一般高度场r e s c a l e 保特征的解 决，所以也可以推广到解决浮雕自动生成的应用。 1 3 本文的主要研究内容 本文的第一章是绪论，介绍了高度场变尺度( r e s e a l i n g ) 问题在计算机图形 学中的应用，列举了几个在日常研究生活中遇到的实例和已有的相关问题的研 究，说明了本文将要解决的问题。 第二章介绍了对曲线特征保持的一维数据场的非均匀r e s c a l e 的方法。先从 研究一段在区间【o ，1 1 单调的曲线f ( t ) 开始，我们希望变化后的曲线g ( t ) 在两个端 点的斜率能够保持与变化前曲线在这两点的斜率一致，两端点的函数值大小为变 化前的函数值大小乘以变化的尺度比，而且我们希望同时能尽量保持曲线的单调 浙江大学硕士学位论文 性。通过对一段单调曲线f ( t ) 的研究我们构造出了一个非均匀r e s c a l e 函数s ( o ， 由它可以求得非均匀r e s c a l e 后曲线g ( t ) = ，( f ) j ( f ) 。然后，我们再把这个方法推 广到多段函数上去，构造u ( t ) f 0 ，1 】，使得多段函数的每一个单调段可以映射到 【o ，l 】区间上，它的非均匀r e s c a l e 函数s ( “o ) ) 为单调情况下的s ( f ) 与“( f ) 的复合函 数。同样的，通过j 0 ( f ) ) 可以求得非均匀r e s c a l e 后的多段曲线g ( f ) = - ，( ，p ( “( f ) ) 。 最后，我们就一些具体实验得到的例子进行比较。 第三章介绍了在二维情况下怎样用非均匀r e s c a l e 的方法解决对图像特征在 尺度变化后的保持问题。对于一幅二维图像h ( x ，j ，) ，我们把第二章中一维的方 法进行推广，把一维问题中对导数值的处理变成对梯度值v h ( x , 力的处理。同样 的，我们在二维情况下也可以构建出一个非均匀r e s c a l e 函数s 阮y ) ，这样，我 们就可以得到非均匀变化后的图像g ( x ，y ) = h ( x ，y ) s ( x ，y ) 。最后，我们给出了一 些具体的实验数据和图像来展示用本文提出的非均匀r e s c a l e 方法处理的效果。 第四章总结了全文的工作。并对以后的研究和工作作了展望。 4 第二章一维曲线非均匀r e s c a l e 第二章一维曲线非均匀r e s c a l e 第一章绪论中介绍了在实际应用中对曲线或图像的均匀r e s c a l e ，会导致原信 息特征的模糊丢失。既然采用均匀m s c a l e 的方法会带来特征的丢失，那么自然 的就会想到采用非均匀r e s c a l e 的方法。 对于维高度场中的特征我们一般指的是曲线斜率取极值处。本章将介绍怎 样通过构造非均匀俺s c a l e 函数j ( f ) 来得到能保持特征m s c a l e 后的曲线。 2 1 对单调曲线非均匀r e s c a l e 我们首先从区间为t 【o ，l 】的单调曲线r e s c a l e 的情况开始研究，可以看到如 图1 1 a 中绿线所显示的为一段单调圆弧曲线f ( t ) 在原s c a l e 的情况。当对其进行 均匀r e s c a l e 处理之后，得到的曲线如图1 1 a 中红线所显示的曲线。可以看出在 t = 0 时。f ( t ) 的导数值，x f ) 最大；在t = 1 时，f o ) 的导数值，x f ) 最小；这两个 端点是这条单调曲线的特征最明显处。均匀佗s c a l e 处理之后得到的函数为 k ( t ) = ( f ) ，q l 为r e s c a l e 比。我们可以得到七z t ) ；g + ，鬈) ，显然在f = o 处的 导数值x f ) 小于，k f ) ，k ( t ) 的特征变得不明显了。正是因为均匀r e s c a l e 处理对 各处的处理都一样使得特征不能保持，所以我们希望通过非均匀r c s c a l e 使得对 于特征处的r e s c a l e 比与非特征处的尺度变化不同。 先构造一个非均匀r e s c a l e 变化函数s ( f ) ，用它对原函数f ( t ) 进行调整得到我 们希望的特征保持的r e s c a l e 后的函数g ( t ) g ( t ) = ，( f ) s ( f ) ( 2 1 ) g ( f ) 满足以下几个条件 删= 寺，( o ) g ( 1 ) = 台，( 1 ) ( 2 2 ) g y o ) = i o ) g x l ) = x 1 ) 5 浙江大学硕士学位论文 其o e n = 八1 ) 为函数值最大值，百h = 窖为高度场燃c 蚰c 比并且，我们希望g 也能尽量保持与f ( t ) 的单调性一致( 端点条件和单调性条件同时严格满足常常比 较困难，构造起来比较复杂，而且不利于推广，所以有时需要牺牲一方面的性质) 。 由式( 2 1 ) 可得， g | ( f ) = 厂x f ) j ( ，) + ，0 冷，) ( 2 3 ) 把( 2 2 ) 代入( 2 1 ) 和( 2 3 ) 中， 设 把( 2 4 ) 代a ( 2 5 ) 印) = 告 s = 台 荆= 怫) 需 亿 “驴( t 一砉) 朵 s ( t 、= a t + b t 2 + e t + d a = ( 一考 ( 哿+ 瓮 江( 一劫( 署+ 劣) 亿。， 。：f 1 一旦1 业 l日，( o ) d ；旦 h 将( 2 6 ) 代入( 2 5 ) 得 咖( 一台) ( 舞+ 劣) 卜( 一鲁) ( 等署+ 舞 ，2 + f 1 一告1 架h 生 l日，( o ) h 、 从以上s ( t ) 的表达式我们可以看出，它的系数值是与函数两端点的导数值和函数 值相关的。如果端点的导数值是无穷大，例如，对于以上四分之一半圆曲线的情 况，k o ) = o d ，那么算出来s ( t ) 值也是很大的，这样会产生异常的结果，如图 第二章维曲线非均匀r e s c a l e 1 1 e 所示( 由于本程序显示图形是根据具体曲线值的大小画图，使图尽量占满整 个窗口，而5 ( f ) 的过大导致r e s c a l e 后的函数值也很大。所以显示时程序自动调整 显示比例，所以导致图中原曲线似乎被压缩的显示结果) ，为了解决这个问题， 我们在处理端点导数值很大的情况时，应该参考函数值大致的取值范围，对导数 值无穷大处的导数值限定个值再进行处理。 另外，如果端点，( 0 ) = 0 ，那么把其作为分母，会在计算j ( f ) 的时候产生错 误，导致程序运行的异常现象。为了解决这个问题。我们对式2 1 中的s ( o ) 做一 个修改使得s ( o ) = 1 ，那么2 6 变为， 口= ( t 一斯+ 矧 忙( 一斯+ 笫) c = 0 d = 1 因而，式2 7 相应地变为 = ( 一劫( 2 + 笫) f 3 - ( 一渤( s + 矧“ 这样就可以避免以上讨论的，( o ) = 0 可能出现的异常情况的产生，或者对曲线先 进行一次平移避免f ( o ) = 0 ，再按照原式2 7 处理完后再平移回来( 对图2 2 的 处理) 。 b 浙江大学硕士学位论文 c e d 图2 1a 四分之一圆曲线r e s c a l e 比例o 7b 四分之一圆曲线r e s c a l e 比例0 5c 四分 之圆曲线r e s c a l e 比例0 3d 四分之圆曲线r e s c a l e 比例0 1e 四分之一圆 曲线导数异常情况r e s c a l e 比例o 5( 注：图中1 绿色为原曲线，2 蓝色为非均匀 r e s c a l e 曲线，3 红色为均匀r e s c a l e 曲线。以后的图中相同标注都是如此。) a 8 b 第二章维曲线非均匀r e s c a l e c d 图2 2a 一段单 镕ls i n e 曲线嘲c a l e 比例0 7 b 一段单调s h ”曲线r e s c a l e 比例o 5 段单调s i n e 曲线r e s c a l e 比例0 3 d 一段单调s i n e 曲线r e s c a l e 比例0 1 2 2 对多段曲线的非均匀r e s c a l e 上一节我们是对于单调曲线的讨论，对于一般的曲线，我们可以把它看成是 由多段单调曲线构成的曲线。如果把它分成一段段的单调曲线，然后按照上一节 的单调曲线非均匀r e s c a l e 方法来进行处理，实现起来比较麻烦，而且也不便于 将其推广到二维场。 因此，我们构造“( f ) 【0 ，1 】，并假设i f ) 的最小值对应，( f ) 的最大值，i ( f ) 的最大值对应f ( t ) 的最小值，这样就可以把多段曲线的每段按其单调性投影到 【o ，l 】区间。 c = l 厂k f - | 厂乙。0 ( 2 8 ) 其中，f 。= m 。a ；x ，f _ l f ( t ) 1 ) ，k = 昀q ，( r ) i - f 幽掣t v ， ( 2 ，9 ) 其中，口为控制参数，它的作用是调解“( f ) 的值靠近0 和l 的速度，当口越大，“( f ) 的值靠近1 的速度就越大。 然后再按照上一节提出的对单调曲线非均匀r e s c a l e 的方法处理。即对于多 段曲线，它的非均匀r e s c a l e f f 微s ( u ( t ) ) 为单调情况下的非均匀r e s c a l e 函数s ( f ) 和 9 浙江大学硕士学位论文 “( f ) 的复合函数，从2 9 中可以看出在每个单调段中导数值最大的点的u ( t ) 值k i 似为1 ，而在导数值最小的点的“o ) 值近似为0 。与我们上一节中讨论的【o ，l 】区 间单调曲线的情况正好相反，所以在复合时我们用的是i 一材( f ) 。对2 7 和2 8 式 复合得到， 叩，= ( 一刳( 争+ 争 c 删) 3 - ( - 一言 ( 孕+ 等) ( 1 _ 州 + ( 卜考) 争( 卜绯) ) + 万h 其中， 五是导数为厂乙。时的函数值，五是导数为，血畦的函数值- 图2 3 a 半圆曲线r e s c a l e 比例0 7 ，控制参数g ：o 4 8 图2 3 b 半圆曲线r e s c a l e 比例0 5 ，控制参数口= 0 5 5 第二章一维曲线非均匀r e s c a l e i ， 、 ， 、 | 汐n 图2 3 c 半圆曲线r e s c a l e 比例0 3 ，控制参数口卸6 、。 、 ； 、 ， 。 f 、 ： 2i ；于一翊 图2 3 d 半圆曲线r e s c a l e 比例0 1 ，控制参数口= o 7 5 八八八 vvv 一 图2 a as i n e 曲线r e s c a l e 比例0 7 ，控制参数口= 1 2 浙江大学硕士学位论文 弋j 氏八八步 uuu 图2 4 bs i n e 曲线r e s c a l e 比例0 5 ，控制参数口- - - 2 公aa 么 www 图2 4 cs i n e 曲线r e s c a l e 比例0 3 ，控制参数口= 5 l 。 么 耵胛耵一 图2 4 ds i n e 曲线r e s c a l e 比例o 1 ，控制参数口= 1 0 如2 9 式这样构造“( f ) 函数存在一个问题，那就是对于多段函数来说，每一 第二章一维曲线非均匀r e s c a l e 段的导数最大值和导数最小值都不一定相同，如图2 5 所示这个构造方法对于特 征值相对不明显处( r p 斜率极大值相对小的地方) 处理不明显，而对于特征最明 显处处理的效果好。从上面几个图的分析可以看出口的取值与具体的函数值大小 有关，对于压缩比例越小，也就是压缩后的函数值越小的情况，当控制参数口的 值越大时r e s c a l e 后的效果越好。于是，对于每一段函数的斜率极值都不相同的 多段函数，我们应该根据每一点的函数值大小与整个函数的取值范围比来构造控 制变量c t ( t ) ， g ( f ) ：掣( 2 1 0 ) 其中，厶。= 野 | 厂( f ) 1 ) 为控制参数，它的大小决定了“( f ) 的值靠近。和1 的速 度。所以，u ( t ) 相应的修改为， ，= 掣型 图2 6 为修改过的群( f ) 构造出的非均匀r e s c a l e 函数处理效果，可以看到修改后的 方法对于特征相对不明显处的r e s c a l e 效果得到了提高。 、 ，、 ，一、从。 vvw 、 图2 5x s i n z 函数r e s c a l e 比例0 5 ( f ) 的构造为2 9 式所示， 控制参数口= 1 0 浙江大学硕士学位论文 八 一。a 风； 影v w 图2 6x s i n x 函数r e s c a l e 比例0 5 ，u ( t ) 的构造为2 1 1 式所示， 控制参数口= 1 7 在图2 2c 、d ，图2 4 c 和2 4 d 中，为了满足单调性条件，牺牲了端点条件，对导 数值最大处的导数保持稍微差一些。在图2 5 和图2 6 中，为了满足端点条件， 我们牺牲了单调性条件。 2 3 对一般离散数据的非均匀r e s c a l e 一般的离散数据噪声较多，使得计算所得的导数值有着比较大的误差，进而 使得r e s c a l e 误差较大。因此，在处理噪声较多的离散数据的时候，应该先对曲 线做一个去嗓处理( 在本文中，我们用的是高斯滤波的方法去噪) ，然后再利用 去噪后的函数值和导数值按照上一节处理多段曲线的方法构造非均匀r e s c a l e 函 数。 如图2 7 a 所示的为含有较多噪声离散数据的曲线图，图2 7 b 是原数据去噪 后的曲线图，图2 8 一图2 1 0 显示了在不同r e s c l a e 比例不去噪与去噪的非均匀 r e s c a l e 效果。 第二章一维曲线非均匀r e s c a l e 。灿舳a 一一，厂护r 一、 r 卜 图2 7 a 原离散数据曲线图 。一一厂_ j 一 图2 7 b 原离散数据去噪后数据图 浙江大学硕士学位论文 。抛一趔黜。 扩一 叶 习 图2 8 a 对原离散数据不去噪做r e s c a l e 比例0 7 ，控制参数口= 1 7 。鹛k 二彬捻柚l ， 矿 图2 8 b 对原离散数据去噪做r e s c a l e 比例0 7 ，控制参数口= 1 7 1 6 第二章一维曲线非均匀r e s c a l e 。施鼬一一。尉缀毫 萨 一 图2 9 对原离散数据去噪做r e s c a l e 比例0 5 ，控制参数口= 2 5 。艘巍n 一舀当。 一。 图2 1 0 对原离散数据去噪做r e s c a l e 比例0 3 ，控制参数口= 3 5 1 7 浙江大学硕士学位论文 ，童，吖舨w 鲰。| 一一。p 肛一b 。 驴一 f 图2 1 1 对原离散数据去噪做r e s c a l e 比例o 1 ，控制参数口= 5 2 。4 本章总结 本章主要解决的是一维数据场的非均匀r e s c a l e 方法。先是从最简单的区间 在 o ，l 】单调的曲线开始研究，在满足四个关于端点的函数值及导数值的限定条件 下构造了单调情况下的非均匀r e s c a l e 函数s ( o ，我们对单调曲线，( f ) 的r e s c a l e 就是求原函数厂( ，) 与非均匀r e s c a l e 函数j ( f ) 的乘积。然后我们开始研究多段曲线 的情况，由于分段处理实现起来较麻烦且不利于在二维情况下的推广，所以我们 构造了映射函数“( f ) 把曲线每段大致按其单调性映射到【o ，l 】区间。这样，我们就 可以把单调曲线的非均匀r e s c a l e 方法推广到多段曲线的情况。对于多段曲线， 它的非均匀r e s c a l e 函数就是单调情况下的非均匀r e s c a l e 函数5 ( f ) 和( 力函数的复 合函数。而对于离散数据，由于其本身存在的噪声干扰了我们对特征处的判断和 处理。因此，先对其进行去噪处理，再对它进行非均匀r e s c a l e 。经过这样一步步 的推广，我们基本可以解决一维数据场在r e s c a l e 时遇到的特征不能保持的问题。 1 3 第三章二维场非均匀r e s c a l e 方法 第三章二维场非均匀r e s c a l e 方法 图像的显示和处理可以说在今天各个领域都得到了广泛的应用，因为视觉几 乎是人类最重要的感知手段，而图像又是视觉的基础。正是由于图像处理的这种 重要性，所以对图像的r e s c a l e 也是很受到人们重视的一个应用。如果说把一维 曲线看作单变量函数，函数值作为维情况的高度场；那么我们可以认为二维图 像是由双变函数决定的灰度值组成的。我们可以把图像的灰度值取值范围看作是 图像的高度场，那么对图像高度场的r e s c a l e 也就是对其灰度值取值范围的重新 界定，可以使图像在更小的灰度值范围内显示，例如一般的灰度值取值范围为 0 - 2 5 6 ，由于某些原因我们需要图像在灰度值为0 - 1 2 8 的范围显示出来，这就是 对图像高度场的一个r e s c a l e 。显然。当图像可以在更小的灰度值范围内显示，那 么图像的存储空间也就减小了，所以这也可以看作是图像压缩的一个方面。 在上一章里，我们利用曲线单调段的两端点值和导数值作为约束条件来构造 曲线的非均匀r e s c a l e 函数，本章的主要任务就是把一维的情况推广至u j _ - 维图像 中。 3 1 一维非均匀r e s c a l 方法在二维的推广 边缘( e d g e ) 是图像局部强度变化最显著的部分，图像中的边缘通常与图像 强度或图像强度的一阶导数的不连续性有关图像强度的不连续可分为：( 1 ) 阶 跃不连续，即图像强度在不连续处的两边的像素灰度值有着显著的差异；( 2 ) 线 条不连续，即图像强度突然从一个值变化到另一个值，保持一个较小的行程后又 返回到原来的值在实际中，阶跃和线条边缘图像是很少见的，由于大多数传感 元件具有低频特性，使得阶跃边缘变成斜坡型边缘，线条边缘变成屋顶形边缘， 其中的强度变化不是瞬间的，而是跨越一定的距离。由于边缘可能与场景中物体 的重要特征对应，所以它是很重要的图像特征。比如，一个物体的轮廓通常产生 阶跃边缘，因为物体的图像强度不同于背景的图像强度。 在讨论边缘的分析之前，首先给出一些术语的定义： 1 9 浙江大学硕士学位论文 边缘点：图像中具有坐标【f 刀且处在强度显著变化的位置上的点。 边缘段：对应于边缘点坐标阮，1 及其方位口，边缘的方位可能是梯度角。 轮廓：边缘列表，或是一条表示边缘列表的拟合曲线。 请注意，在实际中，边缘点和边缘段都被称为边缘。边缘检测是检测图像局部显 著变化的最基本运算在一维情况下，阶跃边缘同图像的一阶导数局部峰值有 关梯度是函数变化的一种度量，而一幅图像可以看作是图像强度连续函数的取 样点阵列因此，同一维情况类似，图像灰度值的显著变化可用梯度的离散逼近 函数来检测梯度是一阶导数的二维等效式，定义为向量 r g g ( x ，y ) = in - z | - l q j 彭 叙 可 砂 ( 3 1 ) 有两个重要的性质与梯度有关：( 1 ) 向量g ( x ，y ) 的方向就是函数f ( x ，y ) 增大时的 最大变化率方向；( 2 ) 梯度的幅值由下式给出 i g 圳= + g ； ( 3 2 ) 在实际应用中，通常用绝对值来近似梯度幅值 g ( x , y ) = i g ，i + i g , i ( 3 3 ) 或 i g ( x ，圳zm 删o x l ，b i ) ( 3 4 ) 由向量分析可知，梯度的方向定义为 a ( x ，y ) = a r c t a n ( g y g j ) ( 3 5 ) 其中口角是相对x 轴的角度。 注意梯度的幅值实际上与边缘的方向无关，这样的算子称为各向同性算子 ( i s o t r o p i co p e r a t o r s ) 。 对于数字图像，方程3 1 的导数可用差分来近似最简单的梯度近似表达 式为 g = f i , j + 1 - f i , j 】 g v = f i ，刀一f i + l ，刀 所以对于图像如力来说，类似于一维的处理， r e s c a l e 函数s ( x ，y ) 。类似2 8 式得到， 2 0 ( 3 6 ) 我们希望也能构造一个非均匀 第三章二维场非均匀r e s c a l e 方法 c = l g - l g 0 l ( 3 7 ) 其中，g 眦= m 。a x ( 、g ( x ，圳 ，g w = r a 。i n l g 堋 嘶咖f 匦竽型r s ， 其中，a ( x ，y ) 为可调参数函数， 口 力：，p l f ( ，x , y ) l 其中，f m = ”黔 l 丘。肌为可调参数，它的值与具体的函数值大小范围有关。 然后再对2 1 0 进行一个推广得到， 啦川l - 百) 忆l t + 等 ( 1 - 础洲3 一( 一告) ( 争+ 引( 1 _ 吣删2 + 怫) 等( ，嘶) + 百h 9 ， 其中，z 为梯度值是g m 的函数值，正为梯度值是g m 的函数值。 所以，二维图像的非均匀r e s c a l e 函数j ( 工，力就如3 9 式所示。对二维图像，( x ，y ) 作非均匀r e s c a l e 后得到g ( x ，力， g ( 五y ) = 厂( 五y ) s ( x ，y ) ( 3 1 0 ) 图3 1a 原图像1 3 2 一些实验结果和说明 b 原图像l 的边界显示 浙江大学硕士学位论文 圉3 2a 原图像1 均匀r e s c a l e 比例o 7 后图像b 原图像l 均匀r e s c a l e 比例o 7 后图像 的边界显示c 原图像l 非均匀r e s c a l e 比例0 7 后图像，其中控制参数口= 4d 原图像l 非均匀r e s c a l e 比例0 7 后图像的边界显示，其中控制参数夕= 4e 原 图像l 非均匀r e s c a l e 与均匀r e s c a l e 图像边界差显示原图像l 非均匀r e s c a l e 与均匀r e s c a l e 图像边界差显示增强，亮度值为原来的5 倍 第三章二维场非均匀r e s c a l e 方法 图3 3a 原图像l 均匀r e s c a l e 比例0 5 后图像b 原图像l 均匀r e s c a l e 比例0 5 后图像 的边界显示c 原图像l 非均匀r e s c a l e 比例0 5 后图像，其中控制参致口= 2 d 原图像l 非均匀r e s c a l e 比例0 5 后图像的边界显示，其中控制参数口= 2 e 原 图像l 非均匀r e s c a l e 与均匀r e s c a l e 图像边界差显示原图像1 非均匀r e s c a l e 与均匀r e s c a l e 图像边界差显示增强，亮度值为原来的5 倍 浙江大学硕士学位论文 图3 4a 原图像l 均匀s c a l e 比例0 3 后图像b 原图像1 均匀s c a l e 比例0 3 后图像 的边界显示c 原图像l 非均匀m a l c 比例0 3 后图像，其中控制参数口= 1 2 d 原图像l 非均匀r e s c a l c 比例0 3 后图像的边界显示，其中控制参数= 1 2 c 原图像l 非均匀r e s c a l e 与均匀”s c a l e 图像边界差显示f 原图像l 非均匀s c a l e 与均匀t e s c a l e 图像边界差显示增强，亮度值为原来的5 倍 第三章二维场非均匀r e s c a l e 方法 图3 5a 原图像l 均匀s c a l e 比例0 1 后图像 b 原图像l 均匀r e s c a l e 比例o 1 后图像 的边界显示c 原图像l 非均匀r e s c a l e 比例0 1 后图像，其中控制参数= l d 原图像l 非均匀r e s c a l e 比例o 1 后图像的边界显示。其中控制参数卢= l e 原 图像l 非均匀r e s i e 与均匀f e s c a l e 图像边界差显示原图像l 非均匀m s c a l e 与均匀a l e 图像边界差显示增强，亮度值为原来的5 倍 浙江大学硕士学位论文 图3 6a 原图像2b ，原图像2 边界显示 图3 7a 原图像2 均匀r e s c a l e 比例0 7 后图像 b 原图像2 均匀r e s c a l e 比例0 7 后图像 的边界显示c 原图像2 非均匀r e s c a l e 比例0 7 后图像，其中控制参数= 4 d 原图像2 非均匀r e s c a l e 比例0 7 后图像的边界显示，其中控制参数夕= 4 c 原 图像2 非均匀r e s c a l e 与均匀r e s c a l e 图像边界差显示原图像2 非均匀r e s c a l e 2 6 第三章二维场非均匀r e s c a l e 方法 与均匀r c a l e 图像边界差显示增强，亮度值为原来的5 倍 图3 8a 原图像2 均匀r e s c a l e 比例0 5 后图像 b 原图像2 均匀r e s c a l e 比饲0 5 后图像 的边界显示c 原图像2 非均匀r e s c a l e 比例0 5 后图像，其中控制参数p = 2 正 原图像2 非均匀r e s c a l e 比例0 5 后图像的边界显示，其中控制参数口= 2 e 原 图像2 非均匀r e s c a l e 与均匀r e s c a l e 图像边界差显示原图像2 非均匀r e s c a l e 与均匀r o s c a e 图像边界差显示增强，亮度值为原来的5 倍 浙江大学硕士学位论文 图3 , 9 “原图像2 均匀r e s c a l e 比例0 3 后图像b 原图像2 均匀r e s c a l e 比例0 3 后图像 的边界显示c 原图像2 非均匀r e s c a l e 比例0 3 后图像，其中控制参数口= 1 2 d 原图像2 非均匀r e s c a l e 比例0 3 后图像的边界显示，其中控制参数= 1 2 e 原 图像2 非均匀r e s c a l e 与均匀r e s c a l e 图像边界差显示原图像2 非均匀r e s c a l e 与 均匀r e s c a l e 图像边界差显示增强，亮度值为原来的5 倍 第三章二维场非均匀r e s c a l e 方法 图3 ，1 0 a 原图像2 均匀r e s c a l e 比例0 1 后图像b 原图像2 均匀r e s c a l e 比例0 1 后图 像的边界显示c 原图像2 非均匀r e s c a l e 比例0 1 后图像，其中控制参数口= l d 原图像2 非均匀r e s c a l e 比例o 1 后图像的边界显示。其中控制参数口= l e 原图像2 非均匀r e s c a l e 与均匀r e s c a l e 图像边界差显示原图像2 非均匀r e s c a l e 与均匀r e s c a l e 图像边界差显示增强，亮度值为原来的5 倍 从以上对两个图像不同比例的r e s c a l e 得到的效果图可以看到，本文的方法 对于解决图像问题高度场( 在这里就是像素灰度值取值范围) r e s c a l i n g 有着较好 的特征保持效果。如例子所示，当像素灰度值取值范围越小( 高度场s c a l e 越小) ， 均匀r e s c a l e 对图像特征就越容易丢失，而我们的方法较好的解决了这个问题。 另外，从试验数据与效果可以得到，控制参数口的值随着图像s c a l e 的减小而减 d 、。 3 3 本章总结 本章主要解决的是对二维图像的非均匀r e s c a l e 的方法，二维图像中的主要 图形特征就是由边缘( e d g e ，包括边缘点和边缘段) 组成的轮廓线。所以对于二维 2 9 浙江大学硕士学位论文 图像的r e s c a l e 后保持的特征就是尽量保持其轮廓线，而在图像的边缘检测和识 别中用来判断其边缘及轮廓线的就是图像的一阶导数- 梯度。 上一章中我们对一维曲线的非均匀r e s c a l e 方法就是利用单变量函数的导数 构造非均匀r e s c a l e 函数s ( f ) 。在本章中，我们把一维中构造的非均匀r e s c a l e 函 数做一个推广得到二维的非均匀r e s c a l e 函数s ( x ，y ) ，利用函数s ( x ，y ) 我们就可 以解决二维图像f ( x ，力的非均匀r e s c a l e 问题。 第四章回顾和展望 第四章回顾和展望 1 工作回顾和总结 本文提出了一种非均匀r e s c a l e 方法使得在均匀r e s c a l e 处理下可能出现的特 征丢失