（应用数学专业论文）人口发展方程在应用中的稳定性分析.pdf

大连理工大学硕+ 学位论文 摘要 人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一。人口发展过程是一种物质的运动过 程，人口发展系统是一个动态规划系统。这一事实已日益为国内外人口学家所承认，也 不断为科学实践所证实。关于人口发展系统的描述，以及人口发展系统的稳定性研究等 问题，近年来不断取得新的研究成果，特别是在我国已有许多可喜的进展。有人曾对我 国人口发展作了预报，这为制定我国现代化的建设规划，提供了人口发展方面的科学根 据。对于一个比较安定的社会( 国家、省市或地区) 人口发展过程可以用一个带有相应 边界条件的偏微分方程式来描述。本文通过函数分析的方法证明人口发展方程问题在 3 3 s o b o l e v 空间h ：( q ) 内是可以很好解决的。文中引用不稳定的城乡人口问题来讨论其人 口控制系统的稳定性，这对分析真实的人口发展过程有重要的实际意义。按李雅普诺夫 稳定性定义，一个线性系统的稳定性与外界搅动( 即移民搅动) 无关，所以这里得到的 结果同样可用到移民多的国家，并且为人口控制问题的进一步研究提供了严格的数学依 据。 关键词：人口发展系统；稳定性；函数分析 t h e s t a b i l i t ya n a l y s i si np o p u l a t i o nd e v e l o p m e n t e q u a t i o na p p l i c a t i o n j -一- a b s tr a c t p o p u l a t i o np r o b l e mi so n eo ft h eh o t t e s t p r o c e s si sak i n do fm a t e r i a lm o v i n gp r o c e s s ， t o p i c si nt h ew o r l d p o p u l a t i o nd e v e l o p m e n t p o p u l a t i o nd e v e l o p m e n ts y s t e mi sad y n a m i c r e g u l a rs y s t e m ，w h i c hi sw i d e l ya c k n o w l e d g e db yt h ed e m o g r a p h i s ta r o u n dt h ew o r l da n di s i n c r e a s i n g l yp r o v e db yp r a c t i c e t h ed e s c r i p t i o na b o u tt h ep o p u l a t i o nd e v e l o p m e n ts y s t e m a n dt h er e s e a r c ha b o u ti t ss t a b i l i t yh a v ea c h i e v e dg r e a ts u c c e s sd u r i n gr e c e n ty e a r s t oo u r d e l i g h t ，t h er e s e a r c hr e s u l t si no u rc o u n t r yh a v eg a i n e dg r e a tp r o g r e s s s o m ep e o p l eh a v e m a d eaf o r e c a s to fc h i n a s p o p u l a t i o nd e v e l o p m e n t ，f o rm ed e v e l o p m e n to fc h i n a s m o d e m i z a t i o nc o n s t r u c t i o np l a n n i n g ，t op r o v i d et h ep o p u l a t i o nd e v e l o p m e n to ft h es c i e n t i f i c b a s i s f o ram o r es t a b l es o c i e t y ( n a t i o n a l ，p r o v i n c i a la n dm u n i c i p a lo rr e g i o n a l ) p o p u l a t i o n d e v e l o p m e n tp r o c e s sc a nb eu s e dw i t hac o r r e s p o n d i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n so fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n st od e s c r i b e t h i sa r t i c l ef o c u s e so nt h ef a c tt h a tb yu s i n gt h ef u n c t i o n a n a l y s i sa p p r o a c hw ec a ne a s i l yp r o v et h a tt h ep o p u l a t i o nd e v e l o p m e n te q u a t i o nc a nb ew e l l 3 3 s o l v e di nt h es o b o l e v 日2 “( f 2 ) s p a c e w ed i s c u s st h es t a b i l i t ya b o u tt h ep o p u l a t i o nc o n t r o l s y s t e mi nu r b a n c o u n t r yb yq u o t i n gt h ei n s t a b i l i t ya b o u ti t sp o p u l a t i o np r o b l e m t h i sc a n h e l p u sal o tw h e n w ea n a l y z et h ep o p u l a t i o nd e v e l o p m e n tp r o c e s sa n dh a v ea g r e a ts i g n i f i c a n c e l y a p u n o vs t a b i l i t yb yd e f i n i t i o n ，al i n e a rs y s t e ms t a b i l i t ys t i r r e dw i t ht h eo u t s i d ew o r l d ( t h a t i s ，i m m i g r a n t ss t i r ) h a sn o t h i n gt od o ，s oh e r ea r e t h er e s u l t sa v a i l a b l et oi m m i g r a n t st h es a m e n u m b e ro fc o u n t r i e s i ta l s op r o v i d e sm a t h e m a t i c p o p u l a t i o nc o n t r 0 1 f o u n d a t i o nf o r t h ef u r t h e ra n a l y s i sa b o u tt h e k e yw o r d s ：p o p u l a t i o nd e v e l o p i n gs y s t e m ；s t a b i l i t y ；f u n c t i o na n a l y s i s i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工人学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定 ，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 导师签名：雾幺i 塑 2 0 0 8 大连理工大学硕士学位论文 己l言 i f a 建立数学模型对人口发展过程进行描述、分析和预测，并进而研究控制人口增长和 老化的生育策略，己引起社会各方面的极大关注，是数学在社会发展中的重要应用领域。 我国一些从事自然科学，主要是控制论的专家，从我国人口的现状出发，结合当前的人 口政策，在人口预测和控制方面做了许多工作。但人口的指数增长模型和阻滞增长模型 只考虑人口总数和总的增长率，不涉及年龄结构。事实上，在人口预测中人口按年龄分 布状况是十分重要的，因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别。两个国家或 地区目前人口总数一样，如果一个国家或地区年轻人的比例高于另一个国家或地区，那 么二者人口的发展状况将大不一样。本文讨论的模型要考虑人口按年龄的分布，即除了 时间变量外，年龄是另一个自便量。我们考虑影响人口发展因素为出生、死亡和迁移从 而建立模型。 在本文中，我们研究不稳定的人口发展方程。 竽+ 等+ b ( ，t ) p ：彳( 彬) 尸+ g ( 厂，f ) i n t a x ( o ，丁) ( o 1 ) o ro i p ( r ，o ) = 只( ，) i nq 尸7 1 ( o ，丁) = y ( f ) = ( 1 ，l ( f ) ，v 。( r ) ) i n ( o ，t ) ，- ( ) = 屈( ) 聃( 吖) ( r , t ) p 舢渺 i i l ( o ，丁) o l s d e r 和s t r i j b o s 6 已经证明了如果b ( r ，) 皇b ( r ) 并且g ( r ，r ) 三0 ，那么上述方程具 有唯一解。g a o 和c h e n 2 同样也对此做了严格的证明与分析。 本文中，我们将经过严格的函数分析的方法对一般微分方程( 0 1 ) 的解进行证明。 同时证明控制方程( 0 1 ) 的稳定性。 人口发展方程在应用中的稳定性分析 1 基本概念 1 1s o b o l e v 空间 把每个实数s 通过 舡，) = o + l y l 2 广拥。) 与尺”上的一个正测度从联系起来，如果厂r 0 。) ，即j 1 厂1 2 舡。 l 时) f 厂g 瓷g 边( f g 协) i ( f g g 协) i ， 耐) f g k g 皿 f g 妞) i ( fg g 协) 孑， 若厂g ) g g ) 连续，则其中的等号当且仅当f g ) 与g k g ) 成比例( 即j 口，不全为零， 使得矽g ) 量风( x ) v x k ，b 】) 时成立。 大连理工大学硕士学位论文 2 人口发展方程问题 使人口数量和结构变化的因素不外乎出生、死亡和迁移。为研究任意时刻不同年龄 的人口数量，引入人口的分布函数和密度函数。时刻，年龄小于，的人口称为人口分布 函数，记作f ( r ，) ，其中，厂o ) ，均为连续变量，设f 是连续、可微的。时刻，的人 e l 总数计作u ( t ) ，最高年龄计作，理论推导时设，埘寸0 0 。于是对于非负非降函数 f ( r ，) 有 v ( o ，) = 0 ，f 眈，t ) - - n ( t ) 人口密度函数定义为p o ，于) = 竽 人口控制系统的连续数学模型在( 2 ) 中已经被得到了，但是它是一个关于不稳定的 人口发展的一个大规模的系统。数学连续模型伴随着微积分方程的无界问题。 挲+ 罂+ b ( r , t ) p ：彳( ，t ) p + g ( r , t ) i n q ( o ，丁) ( 2 1 ) o r o t p ( r ，0 ) = 昂( ，) i nq p 7 ( o ，丁) = v ( t ) = ( v l ( ，) ，1 ，。o ) ) i n ( 0 ，丁) 1 ，( ，) = 屈o ) r 忽驴，) 尼。( ，) p ，( ，f ) 办 i n ( o ，丁 尸c ，力= 三：g c ，力= 耋：只c ，= 二：三 附力= 陛三卜蚓七= 荔l o 以( ) jl q 。jl ( 州) 口。( ) j 这里q ，= ( 0 ，) ，r i m 表示第i 组人群中的每个人所能达到的最大年龄，a ( ，f ) ， g ，( ，t ) ，v ( r ) ，办。( ，) ，孱( f ) ，砖( ，t ) ，红( ，) 分别代表年龄分布密度函数，变化函 人口发展方程在应用中的稳定性分析 噍( ，f ) 满足标准化条件：p ，( r , t ) d r = 1 ，j r , ，i ：】表示第i 组中育龄女性的生育年龄区 乃- 间，a o ( r ，f ) 表示从第j 组迁移到第i 组的人口比率 p ，) 咖 口2 i ( ，f ) 。它所 表示的不稳定城市农村系统可以用下列方程表示； 挈+ 要楣( r ，f ) a = 口1 2 ( ，t ) p 2 勿 西 一“1“一 p l ( ，o ) = p l o ( ，) p l ( 0 ，f ) = ，l ( f ) v l ( ，) = 屈( ，) 【“仅o ，t ) k l 驴，) p l ( ，t ) d r j 和 冬+ 挈( ) p 2 = o ，t ) p 2 务a f ” “、7 mg ( 2 5 ) i n q l i n ( 0 ，t ) i n ( 0 ，t ) i ng( 2 5 1 ) 大连理工大学硕士学位论文 p 2 ( ，0 ) = p 2 0 ( ，) i nq 2 p 2 ( 0 ，f ) = v 2 ) i n ( 0 ，丁) 1 ，2 ( ，) = 岛( ，) j 2 2 红( ，) 七2 ( ，) p 2 ( ，) 咖i n ( o ，丁) 一般地，吒肼吃。调查数据显示。r 2 。，但是从( 2 5 ) ，我们看出如果t 0 由于 a 1 2 ( ，- ，t ) 0 ，1 。= r 2 肼。然后不失一般性地假设肘= ，2 。因此，可以使 q = q l = q 2 = ( 0 ，。) = ( o ，r 2 。) 同时q = 珐= q 2 = f 2x ( o ，t ) 这种类型的问题最早是s o n g 和y u 8 所研究的。他们认为( 2 5 ) 和( 2 5 1 ) 在假设 以( ，f ) = 鸬( ，) ，t ( ，f ) = t ( ，) ，囊( ，f ) = 囊( 厂) ( i = l ，2 ) 的前提下，是与时间t 无关的， 这时的问题是稳定的。但是，人1 ：3 函数例如，( ，) 是依赖时间t 的。因此，不稳定的城 乡人口系统( 2 5 ) 和( 2 5 1 ) 能够很好地反应真实的城乡人口变化过程，所以它对手研究 不稳定的城乡人口系统具有重要的现实意义。 人口发展方程在应用中的稳定性分析 3 人口发展方程问题的解决 我们在s o b o l e v 空间h 2 2 ( q ) 中，研究微积分方程( 2 。5 ) 和( 2 5 1 ) 的一般解。首先， 给出下面的定义： 定义3 1 ： 定义形( r ) ：【黔j 办( ，) 七( ，f ) 8 一弘( ”+ i - ，油咖】一一 ( 3 1 ) 这里厍( z ) 是女性比生育率函数的严格下限。在s o b o l e v 空间h 一2 j ( q ) 中，存在唯 一解p ( r ，f ) 满足下面的微积分方程： 孚+ o p + ( ，) p ：f ( r ，) i n q ( 3 2 ) o r o t p ( r ，o ) = p o ( ，) i nq p ( o ，) = v ( t ) i n ( 0 ，t ) 1 ，( ，) = ( f ) f 2h ( ，t ) k ( r ，) p ( ，) 咖 i n ( o ，丁) 进一步地，p ( r ，f ) 可以用级数更严格地表达 ， 一f ( s , s + t - r ) d s p ( r ，) = 口5 幸 p o ( r - t ) + y ( t - r ) f l 肿1 ， 肛o ( 3 3 ) ，一l ( + 卜r ) d s + l 厂( x ，x + t r ) p ；d x 】 这里 娲：k 力啪) g l 。“( s , s + t - r ) d s 协- f ) ( 3 。4 ) ， p lp b 渺卜r ) d s + i f ( x ，x + f r ) e 。 出】咖 以) = f k ( t ，z ) 此一“z ) d z ( n = l ，2 ) 一6 一 大连理工大学硕十学位论文 k ( t ，z ) = h ( t z ，t ) k ( t z ，t ) e 。0( 3 5 s + z ) d s ) 一i ( j 。 证明：为了解决( 3 2 ) ，我们首先解决下面的问题 罢+ o 盘p 。+ ( ，r ) p = 加，) i nq( 3 6 ) c _ ro l p ( r ，o ) = 0 i nq p ( o ，) = y ( ，)i n ( 0 ，t ) c h e n 和g a o 2 已经证明( 3 6 ) 在s o b o l e v 空间日2 2 ( q ) 中，具有唯一解。该问题解 的表达式为： 一j 芦( 邓“一r ) d s 0j ( ”+ f - r ) d s p l ( ，f ) = e 。 v ( t 一，) + l 厂( ，孝+ t r ) e ；d 手】 ( 3 7 ) 6 这里v ( t ) l ：h ( 3 2 ) 得出。 通过近似计算，唯一解问题 考噜州胁0 i nq ( 3 8 ) p ( r ，o ) = p o ( r ) i nq p ( o ，) = 0i n ( 0 ，t ) 一i # ( s + t - r s ) d si ( $ 。s + r - t ) d s p 2 ( ，f ) = p o ( ，- t ) e ；= p o ( ，- t ) e 。0 ( 3 9 ) 显然，( 3 2 ) 的唯一解是( 3 7 ) 与( 3 9 ) 的解之和，即 p ( r ，r ) = a ( ，) + p 2 ( 厂，f ) ( 3 1 0 ) 进一步，p ( r ，) 满足下面的关系。 一f ( 邓+ ，r ) 凼r 2 ， p ( r ，f ) = e 。 【( ，) i 办( 善，一，) 七( 善，一，) p ( 善，f 一，) d 孝 + p o ( ，- t ) + i 厂( 孝，善+ ，- r ) e ：p ( ss + t - r ) d 2 d 孝】 ，- i 。 6 ( 3 1 1 ) 两边同时乘以h ( r ，t ) k ( r ，f ) ，然后在1 到，2 上取积分，进行变量替换，一，= 7 7 然后我们 得到： 人口发展方程在应用中的稳定性分析 1 2 ，卜，r 2 ，一f ( j ，s + o ) d s j 办( ，t ) k ( r ，t ) p ( r ，r ) 咖= pj j 办( 孝，7 7 ) 七( f ，刁) p ( 孝，砑) d c q h ( t 一，7 ，t ) k ( t - r i ，t ) e ： d ，7 ，l ，一，2 ，i + i r 小斗卜， 风- t ) + f ( 孝，善+ t - r ) p e 小一，_ ，) 凼彬】乃( 吖) 七( ) 咖 ( 3 1 2 ) 注释：( 3 1 2 ) 中的函数是非负的，根据l e b e s g u e 积分的性质，( 3 1 2 ) 同( 3 1 1 ) 是 等价的。 假设： y ( t ) 暑i 厅( ，) 七( ，) p ( ，t ) d r( 3 13 ) 一f ( s + j 7 ) 凼 k ( t ，r 1 ) 兰h ( t r h t ) k ( t r l ，t ) e ； ( 3 1 4 ) 川) 蕃r p 2 伽0 斗，_ ，冲啪卅+ 砂( 掰小咖卜州- ，) 出删拊，) m ，) 办 ( 3 1 5 ) 这样，( 3 1 2 ) 与下面的方程等价： 卜0 】，( ，) = p ik ( t ，r 1 ) y ( r 1 ) d r l + f ( f ) r 一吃 这是v o l t e r r a 积分方程。 利用p i c a r d 迭代方法，对( 3 1 6 ) 进行级数逼进。 ) = k ( ，) ” n = o 用下面的迭代方法代替y ( t ) y o ( t ) = f ( ，) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) l ( ，) = i k ( t ，7 7 ) 匕一l ( r 1 ) d r ln = l 2 。 t - r r 2 如果级数( 3 1 7 ) 一致收敛到y ( t ) ，那么y ( t ) 是方程( 3 1 6 ) 的解，而且是唯一的。 一f ( j ，+ ，一，) d sf ( s , s + t - r ) d a 因为k ( r ，) l ： e ； l ： pjl 由( 3 1 5 ) 根据h o l d e r 不等式，可以推断： 大连理工大学硕士学位论文 当t ( 0 ，丁) 时， 虼) = f p ) p f ) 风p - ，渺+ g 若+ ，吖妒( r , t ) d 备d r ( 3 1 9 ) q i 矗( ，) l i e ( n ) ( 1 1p o ( r ) n ) + f ff ( r ，圳驴( q ) ) c , ( 1 lp ol l r ( o ) + | | j i f ( o ) ) 这里c 。是常量与t 无关。因此， k ( f ) c l ( f | p 。i l r ( 。) + i ifi l e ( q ) ) j 厅( ，7 ) 后( ，f ) p 。d r u ( s s + tr ) d s v ，( o ，r ) 吃一i 。 一 c , ( 1 lp o 岷q ) + l i 厂l i e ( q ) ) ( 库) q 重复上述过程，就可以得到一个函数列 匕( ，) - q ( 1 1p ol i e ( n ) + 1 1f l l e ( n ) ) ( 形) 叫 v t ( o ，丁) ( 3 2 0 ) 因此， o ) ”c 。( 1 1p 。) + ) ( 告) ”v te ( 0 ，丁) ( 3 2 1 ) n mn = l jc r 显然，当 库时，级数( 3 1 7 ) 一致收敛到y ( f ) 且与t 无关。所以，y ( f ) 是方程 ( 3 1 8 ) 的唯一解。 将( 3 1 7 ) 代入( 3 1 1 ) 就得到了方程( 3 2 ) 的解。 一iu ( s ，j + ，r ) a s r iu ( s 。s + l r ) a s p ( r ，) = p o 【p o ( ，一f ) + y ( t - r ) f l 肘1 + p ( 孝，孝+ ，一，) p o 彬】 这里k 9 一，) 和艺一，) 是由( 3 1 8 ) 得到的。至此证明完成。 定义3 2 ： p ；a r ) = m 。蝴a xj 忽( ，t ) k 2 ( r ，) g 。 a r i 。u 2 + a 1 2 i i s r l a 8 。1 包一i 。s 州一 玩( 丁) - m 旧a s x rj 啊( ，r ) 毛( ，t ) e 。d r s + t r l a s 川 吒之一i 【膏， 一 这里魔( 丁) 和尻( 丁) 分别是农村女性比生育率函数的严格下限和城市女性比生育 率函数的严格下限。 人口发展方程在应用中的稳定性分析 定理3 3 一lf 2 + 0 1 2l ( s ，$ w r ) d s p 2 ( ，) = e o 【p 2 0 0 f ) + 砭，( t - r ) f 1 2 1 】 ( 3 2 2 ) 这里 一j l u 2 + a t 2 ( s , s + t r ) a s 艺，o ( f ) = j ( ，t ) k 2 ( r ，t ) p 2 ，o 驴一t ) e i d r ( 3 2 3 ) k ，( ，) 2 j 七z ( f ，z ) e 川( z ) 比 ( n = l 2 ) t - 2 一f 1 声2 + a l , 1 ( j 芦+ z ) a s k 2 0 ，z ) = h 2 ( t - z ，t ) k 2 ( t - z ，t ) e 7 0 由上面的定理可以得出下面的结论 一i i ( s 。j + ，一，) 如 p 。( ，f ) = p ： 晒o ( ，一，) + k 。( t - r ) f l , 肿1 】 ”o ( 3 2 4 ) + r i口1 2 ( x ，x + ，一r ) p 2 ( x ，x + t r ) d x 】+ i o 口1 2 ( x ，x + ，一2 ( x ，x + 一 】 6 这里 ；- j 朋( j ，j + f r ) 出0j 一( s 5 “一，) 出 x ，o o ) = i 啊( r ，) 毛( ，t ) e 。【p l o ( ，一，) + i u l 2 ( x ，x + f r ) p 2 ( x ，x + f r ) e ； a x a r ，一 o k o ) = j 毛o ，z ) z 一一( z ) d z ( r r = 1 ，2 ，) 卜z n ( 埘：) a s k ( r ，z ) = ho z ，t ) ku 一2 ，t ) e 。 4 方程的稳定性 在第三部分中，已经得到了方程( 2 1 ) 的级数表达式。这些级数表达式，对于研究 不稳定的城乡人口控制系统具有重要意义。我们不仅仅近似的计算人口状态，同时也证 明解的稳定性。 根据所定义的在l y a p u n o v 状态下的稳定性，如果丁_ 时，i ip 吣( n ) 有界，因此对 应的人口控制系统就是稳定的。 下面做一点解释，如果履 舷，那么农村人口控制系统对于任意的初始化条件 p z 。( r ) ，这里既2 舰f l 三c ( t ) 。 由t 的任意性和玩= 婆理玩( 丁) ，根据( 3 2 3 ) 和h o l d e r 不等式，可以得到下式 e ，o c 2i ip 2 。o ( ，) o ) v ，( o ，) 一般地， 匕。( f ) c 2i lp 2 0 ( r ) q ) ( 舷) ” v t ( o ，o o ) 再根据( 3 2 2 ) p 2 ( ，f ) p 2 0 ( r - t ) + f 1 2 腭e 。( ，- ，) n = o 孙( r - t ) + c 2 慨。( r ) i i 岫) ：( 争) 疗 如果殷 玩，级数( 鲁) ”收敛，因此 n = 0 尸2 c i ip 2 ( ，圳r ( q ) c0p 2 0 ( r ) l i e ( q ) v t ( 0 ，o d ) 这样就证明了，如果厦 彪，农村人口控制系统是稳定的。同理，可以证明城市 人1 = 1 控制系统的稳定性。 如果届 尻，那么城市人口控制系统对于任意的初始化条件p m ( ，) ，这里 尻= 舰尻( 丁) 。由t 的任意性和尻= 舰尻( 丁) ，根据( 2 2 3 ) 和h o l d e r 槲，可以 得到下式 k ，。c l ( 1 lp i ，o o ) i i f ( q ) + 0 p 2 口1 20l 2 ( 。) ) v t ( o ，) 一般地， 人口发展方程在应用中的稳定性分析 再根据( 3 2 4 ) k ，。( ，) sc i ( 1 lp ，。p ) i i p ( n ) + l l p 2 口t 20 r 佃) ) ( 成) v te ( 0 ，o o ) p l ( ，r ) p l o p f ) + 届群e ( t - - r ) 卸m 驴_ f ) + q ( 1 1p m o ) 1 1 印) + i i p z a , 2 1 1 耐馅丢砉y 如果届 玩，级数y l - j r - - 旦f 2 - - ) - - ”收敛，因此 n = o 尸i c op l ( r ，t ) l l e ( q ) - c ( 1 lp , o ( r ) 1 t , 2 ( q ) + l i p 2 口1 2 忆( q ) ) v t ( o ，o o ) 这样就证明了，如果届 玩，城市人口控制系统是稳定的。 大连理工大学硕士学位论文 5 人口发展系统中妇女临界生育率的理论 由 g 证明可知，对于任意给定的比生育率，当大于临界生育率尾，时，人口系 统对于任何初始扰动都是不稳定的：当小于等于临界生育率尾，时，人口系统是稳定 的。这就充分说明妇女临界生育率是使人口系统稳定的最大比生育率。它在人口系统的 研究中是有十分重要意义。 由上节，我们可以看出，妇女临界生育率由死亡率函数、社会人口的性比例函数和 育龄妇女的生育模式这三个函数唯一确定。这三个函数的不同组合，给出了不同的临界 生育率。临界生育率随着死亡率的降低和性比例函数比增大而降低。 对于规模化了的生育模式，若峰值前移将使临界生育率下降；反之，若峰值后移将 使临界生育率增大。这就说明实行晚婚和晚育将有利于保持人口发展过程的稳定性。相 反，早婚和早育不利于人口系统的稳定性。从这个意义上说提倡晚婚晚育的方针是有理 论根据的，从而是科学的、正确的。 人口发展方程在应用中的稳定性分析 结论 本文对人口发展过程的李雅普诺夫稳定性进行了研究。首先根据人口发展问题考虑 出生、死亡和迁移等因素建立人口发展系统的方程，从理论上证明了在3 2 阶索波列夫 空间解的存在唯一性；其次通过不稳定城乡人口实际闯题讨论了其控制方程的稳定性， 因为不稳定的城乡人口系统能够很好地反应真实的城乡人口变化过程，所以它对于研究 不稳定的入口系统具有重要的现实意义。本文得到的结果可供某些国家制定本国人口政 策作为参考，为人口控制问题的深入研究提供了严格的数学依据。 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 1 i c h e n ，r z ，r e g u l a r i t yo fs o l u t i o nf o rp o p u l a t i o ne v o l u t i o ne q u a t i o n sa n da p p li c a t i o n s i np o p u l a t i o nc o n t r o ls c i e n c ee x p l o r a t i o n1 9 8 3 年第4 期 2 c h e n ，r z ，和g a o ，h ， s t a b ilit yo fn o n s t a ti o n a r yu r b a na n dr u r a lp o p u l a ti o nc o n t r o l s y s t e m sa n dc r i t i c a lf e r t i l i t yr a t e so ff e m a l e sj s y s s c ia n dm a t h 。s c i s 。1 9 8 6 年第六 期 3 c h e n ，r z ，和x i n g ，z y ，t h ee x i s t e na n du n i q u e n e s so fan o n li n e a rp o p u l a t i o n e v o l u t i o n a r ye q u a t i o nj n o r t h e a s tn o r m a lu n i v1 9 8 9 年第三期 4 h o r m a n d e r ，l ，l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，s p r i n g e r v e r l a g1 9 7 8 年 5 l i o n s ，j l 和m a g e n e s ，e 。 n o n