（应用数学专业论文）具有bernoulli反馈的批到达离散时间轮询系统分析.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 本篇论文考虑了非对称具有b e r n o u l l i 反馈的批到达离散时间轮询系统中的 如下问题： 1 对于穷尽服务和门限服规则下的轮询系统，推导了 ( 1 ) f + ，( = 。，z ：，z u ) 与f ( z 。，z 2 ，知) 的关系，各站轮询时刻的队长 分布与均值； ( 2 ) 服务器的轮询周期、访问间隔时间、每次在各站停留时间的分布( 概 率母函数( p g f ) ) 与均值； ( 3 ) 第i 站顾客的逗留时间系列及第( k 1 ) 次顾客完成服务时i 站的队长的 概率母函数( p g f ) 。 2 对于l 一有限服务和减l 服务规则下的轮询系统，给出了 ( 1 ) 一+ l ( 五，z 2 ，z u ) 与f i ( z i ，z 2 ，z n ) 的关系； ( 2 ) 服务器的轮询周期，每次在各站的停留时间、访问间隔时间的均值。 关键词：非对称轮询系统；离散时间；批到达；b e r n o u l l i 反馈；穷尽服务；门限 服务；1 一有限服务：减1 服务；轮询周期；访问间隔时间：队长；服务 时间；逗留时间 重庆人学硕十学位论文 英文摘要 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r , s u c hp r o b l e mo f a s y r m n e t r i cd i s c r e t e - t i m ep o l l i n gs y s t e m sw i t hb u l k - - a r r i v a la n db e r n o u l l if e e d b a c ka r ec o n s i d e r e da sf o l l o w s ： t os e r v i c ed i s c i p l i n e s ，e x h a u s t i v e ，g a t e dra r ec o n s i d e r e df o rp o l l i n gs y s t e m ，w e d e r i v et h er e l a t i o no f 只+ l ( = l ，z 2 ，z n ) a n d 鼻( z l ，z 2 ，z n ) ，鲥v em e a n s o f q u e u e s i z ea tp o l l i n gi n s t a n to fe a c hs t a t i o na n dg e tt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n so f p o l l i n gc y c l e t i m e ，s e r v i c et i m e o fe a c hs t a t i o n w ea l s o g e t t h e e x p r e s s i o n s f o rt h e g e n e r a t i n g f u n c t i o n so fac u s t o ms o j o u r nt i m ei nt h ei t hs t a t i o na n dq u e u es i z ea f t e rt h e ( k - 1 ) t h s e r v i c e f o rl l i m i t e ds e r v i c ea n d d e c r e m e n t i n gs e r v i c e ，w e o b t a i n e dt h er e l a t i o no f 鼻十t ( z l ，= 2 ，z n ) a n d 巧( 卸z 2 - ，z n ) ，g e tm e a n so fp o l l i n gc y c l et i m e ，s e r v i c e t i m eo fe a c hm a r i o na n di n t e r v i s i tt i m e k e y w o r d ：a s y m m e t r i cp o l l i n gs y s t e m s ；d i s c r e t e - t i m e ；b u l k - a r r i v a l ；b e r n o u l l if e e d b a c k ； e x h a u s t i v e s e r v i c e ； g a t e ds e r v i c e ；1 一l i m i t e d s e r v i c e ；d e c r e m e n t i n g s e r v i c e ；p o l l i n gc y c l et i m e ；i n t e r v i s i tt i m e ；q u e u es i z e ；s e r v i c et i m e ；s o j o u m t i m e i i 重庆大学硕士学位论文 绪论 1绪论 1 1 引言 轮询系统是一类现实世界客观存在的轮询机构的核心部分。它在计算机系统、 通信网络及工业过程控制等领域有着广泛的应用。轮询系统是多队列循环服务系 统，它的工作过程是：系统内有一个服务器和n 个站，服务器按照一定的顺序对 每一个站进行查询，服务器在相邻两站之间所用时间为行走时间，查询到一个站 时，若该站有顾客，则按一定的服务规则对顾客进行服务；若该站无顾客则服务 器进入行走时间向下一站行进。h t a k a g i 对批到达、服务时间为定长的离散时间非 对称轮询系统进行了详细的研究。本文则考虑批到达，服务时间为儿何分布且具 有反馈的离散时间非对称轮询系统。 1 2 模型简介 讨论的轮询系统有n 个站，如图1 1 图i 1 轮询系统模型 f i 9 1 1p o l l i n gs y s t e m s m o d e l 1 _ 2 1 系统的基本假设 ( 1 ) 本文所讨论的是离散时间的轮询系统，在讨论中时间取值为非负整数集， 即时间取系统最小时隙r 为单位时间。顾客在( n ，n + ) 中到达，即单位时 间开始后到达，在( m ，m 一) 服务完成( m n ) ，即在单位时间之前结束服 务。在( m 一，m ) 中可能反馈。对第i ( 1 i n ) 站顾客每次被服务完以概 率o ( o o 。1 ) 离开系统，以概率1 一o 立刻反馈到i 站。见图1 2 重庆大学硕：学位论文绪论 可能 到达 噜妇+ 一一一 可能卅能可能 离开反馈到达 q ：! q ：q q m 玎imm 图1 ，2 时间系 f i 9 1 2l i m eq u e u e ( 2 ) 设第f 站每批顾客的到达时间间隔序列 厶，m 1 ) 是相互独立且与，同分布 的随机变量序列，服从参数为丑的几何分布， 即 p 4 = k ) = 丑( 1 ) “1 ，k = 1 ，2 ，3 ，。每批到达量个，六为正整数随机变量， 服从一般分布，e ( 点) = q 。茧( z ) 为喜的概率母函数。该站每个顾客的服务 时间序列 吃，n l 也是相互独立与b i 同分布随机变量序列，e 服从参数为 l t j 讯几1 1 1 分布， ( 3 ) r ，表示服务器从第i 站到第i + l 站的行走时间，且是取正整数随机变量，服 从一般分布，e ( 足) = r ( i ( r o o d ) ) 。服务器进入行走时间或进入菜站都 在整数时刻发生，记，= y f 。 t = l ( 4 ) 各站输入过程，所有服务时间，对每一个顾客服务完一次是否反馈，所有 行走时间均相互独立。 ( 5 ) 每个站的缓冲器的容量足够大，不会产生顾客丢失，系统处于平稳条件下： p _ - - 口 l ，肛；号譬，f = 1 ，2 ，| v f l p l l ，i ( 6 ) 对于进入缓冲器的顾客，按先来先服务原则进行服务。 1 2 2 符号说明 t ( m ) ：服务器第m 次轮询到f 站的时刻 厶( ，) ：时刻，时j 站顾客数 m ( f ) ：在f 个单位时i n 里至r j 达i 站的顾客批数，( m ( d ，t 0 ) 为参数是丑的 b e r n o u l l i 过程( 7 ) c ：相对于f 站而言的轮询周期，即服务器从离开i 站时起到服务器再次离开i 站时止的时间间隔。c ( d = e ( z o ) ，：对i 站的访问间隔时间，r p n 务器从离开i 站时起到服务器再次到达i 站 时止的时间间隔，i ( z ) = e z ) l ：服务器每次在商 的逗留时间，z ( z ) = e ( z t , ) 巳：第i 站第，个顾客引出的忙期，即从该顾客第一次开始服务时起到该顾客和 由该顾客服务期间到达的所有顾客的服务完成时止这段时i n ，p ，与p 同分布 坛：第f 站的一个顾客在第k 一1 次服务完成后反馈到队尾时起至第k 次服务完成 重庆大学硕士学位沧文i 绪论 后的这段时间，即第i 站的一个顾客的第k 次逗留时间 m 。：某站的一个顾客在第k 次反馈到队尾时系统中已有的顾客数 尸g f ：概率母函数 r ( z ) = e h z r ；) ， ( 。) = 熙e 0 ( f ，( m ) ) ，( r ，) = l i m l ，( r ( m ) ) ， f i ( z 。，z ：，知) = 以兀z ，。巾) ( 轮询到第f 站时各站队长的联合p g f ) ，2 l 1 2 3 b e r n o u l l i 过程 定义：称随机序列 ( h ) ，0 为参数是2 ( 0 五 曲 ( 2 ) 当顾客a 到达i 站时，服务器正在i 站服务，记 只2 ( z 1 ，z 2 - ，三rx ) ；e l 。1 z ：2 z 。缸x ”。- i 顾客4 到f 站，服务器正在f 站服务 则 。 ( 2 _ 2 8 ) 只2 弓，乞，磊，x ) 2 肘。( e ( 甲) 由j ) n e ( 甲，皓( 忍( y ：) 中2 ) 薹( 量( 甲2 ) m ：) 一h “( b s 。，) 皇( 甲，z 1 ) 巾，尸 缶 s ) q 2 2 9 其中 m o ( z ) 3 ( ( 暑当( ：) + 互) 一( 丑毒( 雹( d ) + 乏) j 型坐互堡! 塑旦! 件( 丑毒( z ) + 互) ( ，( 暖+ q i z ) + 曩) ( 3 ) 顾客a 任意时刻到达i 站，则 最( z l ，z 2 ，- ，) 三：，2 最1 妇，z ：，气，) + 辟只。( z r 乞，d ( 2 3i ) 证明：因( 巧，毪，坂一，) 的p g f 依赖于( ，五，峨+ 夏，墨，。j j 1 重庆人学硕士学位论文2 穷尽服务模型 m 。可决定珞。由于m 。是在时间瓦内到达i 站顾客数( 记为晓) 与顾客a 第 n 次逗留时间内反馈的顾客数( 记为f a u 。) ) 之和，而m 南由k ，广) 与帆。决定， 有 m ( ) 一 、p = 弘+ z ( 眠。) = 己白十z ( 坂一。) h 2 j = 1 设顾客a 所在批中处于a 之前的顾客数为f 个，则有 m l = m i + ，( m o + f ) + 参一f l ，目z ( n ) 日0 ，互) 当k 3 时， 只( z 1 ，z 2 ，奴，x ) = e f = t z 2 2 以珞x ”一 = e e l 气。 笺 。 2 。一。“毛篇x ”“1i 肘。一：，碌。) 1 ) 2 e z 】矗z 2 缸l 鼬b , ( z k ) 而e ( 竭( 。) ) 机。1i m p - ：， = e 三 ( 磷( ) ) i | 坂叫y 1 k - - 1 ) 靠+ 五【m 卜一 ) “ l 肘p 2 = 互+ 卣( 。避( 气) ) ”( q + 曩皿( 五) ) ”一， 即最( z l ，z 2 ，x ) 2 目( 。) e 。i 。z 。一z p 2 ( z t t ( 互+ 专( 。碜( z r ) ) ) “p l q + 每。碱( 缸) ) 帆一： 重复以上步骤( k - - 2 ) 次，由( 2 2 7 ) 式，有 只( 毛，z 2 ，z t ，舶 。缉( 甲。) e 2 】珞一：f2 平。一。o ；一。也一t 2 b ( 甲t ) 骂( _ “) e z 。k = 。，h 】甲+ ：巾。一：坼。 = e 旦( 、壬，) 中：) m 卉岛( 、壬r ，) ：e 五k 骂c 甲：，巾：，苫白“一。+ 卜卜1 l i j 茸。甲户 il 户2 令霉。= z 。一， e 毛1 ( 层( 甲2 ) 由全期望公式有 ( 2 3 2 ) 、r 一 f 一 丢 + 0 + “ 岛 h 0 重庆大学硕士学位论文 2 穷尽艘务横犁 e ，= 0 靠1 _ “+ 。一6 一1 lj d ( f ：5 ) ( 2 f 3 3 ) 由文献( 8 ) 知 科削2 掰5 掣 又式( 2 3 3 ) 中的无条件期望为 。w ，! t 卜辟；， 岛“( 肘一曲十矗一 2 t1 ( 耳( 甲2 ) 中2 ) 1 ( 2 3 4 ) ：e ( z i e ，( b ( z ，) ) s ( 互+ 丑鼻( 中2 e ( 甲2 ) ) ) + 吾 吒+ 每中2 茸( 、王，2 ) ) 帆+ ，) 磊( 茸( v 2 ) 中2 )( e 毫丰戋耋；i 鸶芸瓷 * ： b ( q j i ) i t ( t f , ) - - l i ( q - o ) ( 2 3 6 ) 一q i 由( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 3 5 ) ，( 2 3 6 ) ，可得( 2 2 8 ) 。 ( 2 ) 当顾客a 所在批到达i 站时，服务器正在i 站服务，此时有 霉，= 旦。+ + e 。+ i 。， 靠= 岛+ 岛坼( k ( f ) ) 一k ( f ) 记尸岛，v = y ，o ，。则o o ) = 琢甲，) ( 皿旧、) 也，) 。列m 0 一- - 磅+ p o 2 o ) = 占￥，) m 。( 尽( 平i ) o ，) ( 2 ，3 8 ) ( 2 3 9 ) + 尽( 、壬，i ) j p 厶= 0 ( 2 4 0 ) 由( 2 3 5 ) ，( 2 4 0 ) 口】得( 2 2 9 ) 。 ( 3 ) 当顾客a 任意时刻到达i 站，则服务器在i 站的概率为 e g ) ：( 旦) ( 一二) ：n ， ( c f ) l - - pl - - p 故只( z l ，z 2 ，& ，) = ( 1 一岛) 五托= ：k 埕z 椎。 顾客徭。姑，服务器已离开础 + o e 2 。1 2 ：k z + x 雌1l 顾客爿到f 站，服务器正在黼服务 = 0 - p , ) - p 1 ( z l ，z 2 ，- ，以，z ) + 一只2 ( z i ，：2 ，。，z t ，工) 即( 2 3 1 ) 式成立，定理2 | 3 证毕， 定理2 3 推广： ( 1 ) 顾客a 的每次服务时间分布可不同，若顾客a 的第j 次服务时间的概率 母函数为鼠( z ) ，则在其它条件不变的情况下，将( 2 ，2 7 ) 作相应改动， 有 吃( 三l ，z 2 ，x ) 2 n b o ( t ，) 毒( b f 2 ( _ 2 ) 户1 由2 ) ( 忍2 ( 、王，2 ) 2 ) 一“州( 哆l ( z 1 ) 尽i ( 、壬，l z ) i ) 5 一 11 f 0 ( m = 1 ，2 ) 其中当顾客a 到达i 站时，服务器已经离开i 站，有 1 4 垡圭型八 a i m 重庆大学硕士学位论文2 穷尽服务模型 a ：丑三! 兰! ! 二互! ! q ! 4 掣1 一甲。 当顾客a 到达i 站时，服务器正在f 站服务，有 a 2 = j j l 靠( e 1 ( 甲1 ) 中1 ) ( 2 ) 在( 2 3 1 ) 式中，令z ，= z 2 = = o = l ，则f 2 3 1 ) 式是顾客a 任意时刻 到达i 站，第( k 一1 ) 次服务完成时队长的概率母函数。 ( 3 ) 在( 2 3 1 ) 式中，令：。= z 2 一= o z ，x = 1 ，则( 2 3 1 ) 式是顾客a 任意时 刻到达i 站时，k 次反馈的总逗留时间的概率母函数。 重庆大学硕十学位论文 3 门限服务模型 3 门限服务模型 3 1 离开门限服务模型 离开门限服务是指当服务器到达i 站时，如i 站有顾客l i ( r i ) 个，服务器将为 顾客服务，一直服务到有( t ) 个顾客被服务完离开系统，服务器才离开i 站向下 一站行进。即对f 站顾客进行服务时，由每个顾客服务时问独立同分布，有每服务 研次就有一个顾客离开，矾服从参数为o i 的几何分布。 定理3 1 1 对于具有平稳b e r n o u l l i 反馈的批至达非对称离开门限服务轮询系统模 型，有 ，十。( = ，z ：，z 。) = r i ( f i x j ) f 。，= ：，z i _ l ，u , i 丌x 声z 州，z u ) ( 3 1 ) j = l产1 g ( z ) = j r ( pg ( u l ( p ，u 2 ( ) ，u n ( 矽) ( 3 2 ) 及三( r ) ) = 垒旦 ( 3 3 ) + l p e ( l j ( r 1 ) ) = 乃，( + 等 ( 3 4 ) k = i# i i p 其中弓2 乃白眨，) + 乃，2 ，+ 2 j 。1 ( 1 s j ) ，产五缶( ：) + i ，k 从，至0 f l 是属于模n 的。 证明：当服务器由i 站到达什1 站时，i 站的顾客由两部分组成，一部分是由在足内 到达的顾客，另一部分是服务器在i 站服务时间内到达的顾客。而，0 f ) 站的顾 客除以上两段时间到达的顾客之外，还有轮询到j 站时，站的顾客数。因此有 i 厶0 + ，) = 彘+ 厶 j # 1# 1 l，( r ) ( ( f ) l 与( r i + 。) = l s ( r ) + 知+ 血( 巧= ) ，f 其中。是i 站一个顾客的全部服务时间，i j = l ，2 ，n 。 由引理2 3 ，有 e in ：，篙“i ：r ( 兀n 岛( 乃) + 矽) - r ( a 印 j 产1i ，4户 由u i 。，相互独立同分布，有 e 旧h z j j = l ”缸i l i = t , 7 4 i 。2 1i 6 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 重壅查堂堡圭堂垡丝壅 ! 1 里竖堑塑型 2 。，。妻”z y “j e l 三l l z y # - f i缸l l i ( ) = l il p l j ( r i ) = ，y = l ，2 ，) 2 “l 一一”l ) l= ，州，) ，岛-l = ，艺onz ，j i 埘矽掣k 与( 印：1 ，2 ，) ，b - tk 。o ，i z l i ，i f i n n ( j = j i = ，。( 兀z j 6 iv , ( 1 - i ( 乃彭( 乃) + 互) ) j 尸( 与( 巾= ，j = l ，2 ，) 0 - “。oj = 1 j f l，ll 。 。 = e jf i ：，“- ，( ( n n ( t 彭( ：，) + 五) ) 群印 ( 3 7 ) 由b e m o u l l i 过程的增量的独立性以及( 3 ，5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) 式，有( 3 1 ) 式 成立。其中u i ( z ) 由( 2 1 b ) 式给出。 又厶( 0 ( + 1 ) 其中 ( 3 8 ) 占f ：薹苫缸 ：e 。a 。t 玺。：，+ 互，吩，：只。印。， lj 产1 她p h i | 2 e i 兀( 矗鲁( z ) + 互) j 7 z = =l 0 。爿 一弓毛 =(f | 免 一 + 炙 哪h。芦 = ) m 吖 。| 弓 ! i 丛奎堂堕堂焦笙皇 ! 塑堕里箜壁型 厨。( f i ) ) 2 丑4 ，f + 五n 。e ( u ，) e ( ，( f ，) ) ，2 1，= l 却协菩等 上式两端周乘形：，对i 求和，有 羔掣= ，窆一+ nn 羔 台 仃? 阮惫台? 岛 e l ，( r ，) ) 即争璺垡至：卫 葛 a i 醴il p 将上式代入( 3 1 1 ) 式，可得( 3 3 ) 。 卜j ( 也)卜】n 【耳) 由于( 一) 2 厶+ 艺， 忙j 2 i b - - - i = 1 其中k 从j 到i l 是属于模n 的。 所以 ( 3 1 1 ) e ( l j ( ) ) = a j a ，r k + 乃n ，( u ) ( ( o ) ) 2 w 蓦唯+ 蒿芳 即( 3 4 ) 成立，定理的证明完成。 定理3 1 2 对于具有平稳占8 m 。“防反馈的批到达非对称离开门限服务轮询系统模 型，则有 g i ( z ) 掷球z ) 切，她) 2 案等， t , ( z ) - - - - q ( u ( z ) )( z ) = r p i _ l 口 g ( z ) 2 麒z ) g ( u ( z ) ，( z ) ，- u u ( z ) ) 证明：由假设有 由 驰一p 卜， e 印。占( w ) 占( 户尚 堰( ) t ) 2 ：彘，即得g ( z ) = g ( 丑磊( = ) + 互) s e ( c ) = 二 l d h u d 1 | 瓦 眦 u | f z 重庆大学硕士学位论文 3 门限服务模型 又 g = 玛+ 弓= 恐+ u 业 厂 q ( z ) = r ( z ) e 兀u ，( ：) v 。1 = g ( 眯z ) ，u 2 ( z ) ，( z ) ) 即，2 姜。+ 姜孑南 由c 2 + i 一删2 酱。 定理3 1 3 对于具有平稳b e r n o u l l i 反馈( 反馈回队首) 的批到达非对称离开门限服 务轮询系统模型，设a 为一批中的一个顾客，则 ( 1 ) 当顾客a 所在批到达i 站时，服务器正在i 站，则顾客a 在i 站的逗留时间 彬。的p g f 与期望 喇硼驰，桀粼，警景鬻 慨 e ( 晖。) = ( e ( u ) e ( z ) + e ( ) 压( 霉) + 坐尹1 1 1 ) + e ( u ) 竽 ( 3 1 3 ) ( 2 ) 当顾客a 所在批到达i 站时，服务器已经离开i 站，则顾客a 在i 站的逗留 时间彬：的p g f 与期望 w ，o 一，t r ，p r ，rr “、，_ 、rr ，。1 一量( u ( 2 ) ) ( z ) 一，( 丑鼻( u i ( z ) ) + 五) ，q1 小 彬z 2 2 五王a 最u ( 2 ) + 4 q ( 2 j i 才! ：+ i 黄焉。上：兰考荔薯为i 豸；! 毫3 1 4 ( ) ：丑( e ( u ) e ( i ，) + d ，e ( ，j ) e ( z ) + 量妥旦i ；( 1 ) + e ( q ) ：里 ( ：；1 5 ) zz a ( 3 ) 顾客a 任意时刻到达i 站，则顾客a 在i 站的逗留时间彬的尸g f 与期望分 别为 磁( z ) = 只彬，( z ) + ( 1 一b ) 彬2 ( z ) ( 3 】6 ) e ( 彬) = n 1 1 ( 彬。) + ( 1 - - p ，) ( 彬2 ) ( 3 1 7 ) 证明：设在顾客a 所在批中排在顾客a 之前的顾客数为亭个。 ( 1 ) 当顾客a 所在批到达i 站时，服务器正在i 站，则顾客a 在i 站的逗留时 闯彬。应是服务器在i 站服务时间的剩余时闯f ，( f 为服务器到达i 站时 起至顾客a 到达i 站时止这段时间) ，访问间隔时间t ，以及当顾客a 到达 i 站时i 站已有的全部顾客的服务时间，顾客a 之前的f 个顾客与顾客a 服务时间这四项之和。即 彬，= 巧一件+ u f + u( m 。= 彘) 其中 9 至塞盔堂堡主兰焦堡塞 三旦坠翌! ! ! 翌 即h + 差：咿吣 妇卜e l 。 。 j ：u i ( z ) i i ( z ) e 卜引 ，s ，= z ” t j l8 lj 而占 z i 一 誓) = e ：一p 苫f i ：e 壹窆：t f ( u ( 枷( 点( q ( 砂) j j p n a f 一1 ) = m 乒m 矽 ：甄饥( ：) ) e 至芝：( 岳( q ( ：) ) r g - l 五, 五一j _ ” ( m 时刻有顾客到返) = 彬( 啪炉鲁舯( ”矿1 lj f lj 叫c 喇e 鲁筹耢嚣 叫c 喇等焉鬻 删枷2 纂粼 2 由( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 可得( 3 t 2 ) ( 2 ) 当顾客a 所在批到达i 站时，服务器已经离开i 站，则顾客a 在i 站的逗留 时间彤：有 n + fr 彬：= 4 - t + + + 0 m ( 1 - - i ) 其中n = 厶 卫是顾客a 的全部服务时间，与u o 独立 同分布。 由e z 砉“ = e u c z ，苫靠 = e 鲁c u c 力，邯乖 = ( 五茧( q ( z ) ) + ) 2 0 ( 3 2 1 ) 品 忡 | | 矿 重庆大学硕士学位论文3 门限服务模型 e z 一f + 善u y + = u o ) f ( u ，( z ) ) 层 z 卜 6 a u a z ) ) ”p n , ( t - o = n ，f = 膏l ) l = ( z ) f ( u ( ：) ) e l z 。 点( ( ：) ) ”c o ， ”五“。“- 4l = 乜) f ( ( z ) ) e l z 1 七( 缶( u 一， ，) 。1 l 2 4 u c z ，f c u c ：，土芝之i 毫善；糌 c 。z z ， ( 3 ) 顾客a 任意时刻到达i 站，则服务器在i 站的概率为 器硇 3 2 服务门限模型 这一节讨论具有b e r n o u l l i 反馈的平稳服务门限非对称轮询系统。假设服务器 轮询到i 站时只对轮询瞬时发现的顾客每个服务一次就离开i 站，每个顾客服务完 一次后以概率仃，离开系统，以概率l - 仃反馈回i 站的对尾。 定理3 2 1 对于具有平稳b e r n o u l l i 反馈的服务门限非对称轮询系统模型，记 = 乃彭( ：，) + 乃，冯+ 2 i ( ，= 1 ，2 ，n ) ，v = 4 参( z ) + ，则有 f “( 五，屯，z 。) = b ( 兀x j f a z , ，z 。，( + 互刁) b a 兀_ ) ，知1 ，- ，z 。) ( 3 2 3 ) g f 0 ) = r ( y ) g ( 马( y ) ，垦一。p ) ，( q + 每z ) 且( v ) ，e 。( y ) ，风( 1 ，) ) ( 3 2 4 ) e ( l i ( r j ) ) = 黑 ( 3 2 5 ) 弛卜z ，荟i - 名+ 茎嚣+ 南， 限z s ， 其中k 从，到f - l 是属于模n 的。 证明：对于该轮询系统，有如下关系 j ( + 。) = 厶+ 品+ ，( 厶( r j ) 8 1 。冀。v 、 ( 3 2 7 ) l，( e )( ) 。7 1 0 ( + 。) = l ( o ) + 与，+ 厶 ( f ，) 重壅查兰婴主堂垡堡奎二型墅! 兰! ! 鬯 其中矿； = 是服务器在i 站服务反馈的顾客数，i ，j = 1 ，2 ，n 。 n ”2 r ( 鲁。) + 互) = r ( y ) 矗+ ( l ( t ( ) ” ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 产1 ，2 ，n ) ，) p l j ( t ) = l 产1 ，2 ，n 1 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 0 e (艮 m = 矿 t f其 h 川 阻 畦一卜r门一搦卿 诣风 擎 黝一p p 铂引懈 一帕芦叫修缈例州戮舢书斟矿焉篙篡糍砷妒翳紫麓喀 一三够鼎薯撼麓 2 | | ， 日 “ 0 警h 警m 宁厶一 ，r 厶一 z 三 r，、1 p，。1 e e 1llll，ij 口 ，士厶蹦 r l 一 力 ，l点 。，l 皿 z ( e 重庆大学硕士学位论文3 门限服务模型 = ( q + f f i z ) 兀 易( 锚( z ) + 五) r p l j ( r ，) = ，产1 2 一，) = e 兀 b ( v ) p 扣4 ( q + 每z ) 州。忡” ( 3 3 3 ) 在( 3 3 3 ) 和( 3 3 i ) 中令m 斗o o ，再结合独立性及( 3 3 2 ) 式有 ( 3 2 4 ) 成立。 对( 3 3 1 ) 式两端取数学期望，有 e ( r f ( m + 1 ) ) 】= e ( 昴) + e ( 岛) + e ( ，( 三( ( m ) ) ) = d ，o + z i a i