（应用数学专业论文）具有时滞脉冲的经济系统的稳定性分析与控制.pdf

江苏大学硕士学位论丈 摘要 经济决定着一个国家的发展，经济的稳定性问题作为一个实际问 题受到越来越多的关注。特别当经济危机发生时，各国政府积极救市 之际，我们更需关注经济系统的稳定问题。如何对不稳定的经济系统 积极地施加控制，使系统在干预下朝着健康的方向发展，是一个有很 大实际意义的课题。本文主要以物价系统和一个广告时滞脉冲模型为 研究对象，通过微分方程比较定理和构造l y a p u n o v n l 数，研究了具有 时滞和脉冲的经济系统的稳定性，得到使系统的零解稳定的充分性条 件，为解决相关问题提供了新的方法和思路。 本文主要包括以下几方面内容：第一章主要对物价系统的研究背 景及意义、研究现状和研究内容与思路进行了较为全面的介绍和总 结。第二章主要介绍了本文中涉及的基本概念和理论。第三章主要研 究了一类物价系统的脉冲控制问题，利用脉冲微分方程的比较原理， 得到所研究模型的零解渐近稳定和全局指数渐近稳定的充分条件，并 给出了脉冲控制时间间隔的上界估计值，使系统能在尽可能长的时间 内处于平稳状态，避免通货膨胀或通货紧缩现象发生。最后利用 m a t l a b 软件对该系统进行数值模拟，验证了脉冲控制的有效性。第四 章主要研究了一类物价系统的时滞脉冲控制问题，给出了系统在时滞 脉冲控制下零解渐近稳定的充分条件，该条件反映了系统参数、脉冲 区间和延迟时间之间的相对关系。利用m a t l a b 软件对该系统进行数 值模拟，验证了时滞脉冲控制的有效性，并给出了经济学解释。第五 章主要研究了一个经济模型的广告时滞脉冲模型的控制问题。通过微 分方程稳定性理论和构造l y a p u n o v 函数，给出了系统在时滞脉冲控 制下零解渐近稳定的充分条件，条件反映了系统参数、脉冲区间和时 江苏大学硕士学位论文 滞量之间的相对关系对系统的影响。理论分析和数值仿真均说明时滞 脉冲控制的可行性，从而进一步说明时滞和脉冲控制在经济系统中 具有广泛应用前景。 关键词：物价系统，广告时滞脉冲模型，稳定性，脉冲控制，时滞脉 冲控制 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t e c o n o m yd e c i d e s t h e d e v e l o p m e n to fac o u n t r y t h es t a b i l i t y p r o b l e mo fe c o n o m i c a ls y s t e m sa sa l la c t u a lp r o b l e mi sa t t r a c t i n gm o r e a n dm o r ea t t e n t i o n w en e e dt o p a ym o r ea t t e n t i o n t ot h es t a b i l i t y p r o b l e mo fe c o n o m i cs y s t e m s ，e s p e c i a l l yw h e nt h ee c o n o m i cc r i s i sh a s h a p p e n e da n dm a n yg o v e r n m e n t sr e s c u e dt h em a r k e t h o wt oc o n t r o lt h e u n s t a b l ee c o n o m i cs y s t e m st om a k et h es y s t e m sd e v e l o pu n d e rh e a l t h y d i r e c t i o ni sas i g n i f i c a n tr e s e a r c hw i t ha c t u a lm e a n i n g i nt h i sp a p e r , p r i c es y s t e ma n da d v e r t i s e m e n tm o d e la r es t u d i e d t h es t a b i l i t yp r o b l e m o fe c o n o m i cs y s t e m sw i t hd e l a ya n di m p u l s ei ss t u d i e db yw a yo ft h e c o m p a r i s o nt h e o r e mo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dl y a p u n o vf u n c t i o n s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h es y s t e ma r e o b t a i n e d ，s op r o v i d ean e wm e t h o da n dc o n c e p to nr e s o l v i n gr e l a t e d p r o b l e m s t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h e r e s e a r c hb a c k g r o u n da n dm e a n i n g ，c u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o na n dr e s e a r c h c o n t e n ta n dc o n c e p to ft h ec o n t r o lo fp r i c es y s t e ma r ei n t r o d u c e da n d s u m m a r i z e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，s o m ec o n c e p t sa n dt h e o r i e sa r e i n t r o d u c e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h ei m p u l s i v ec o n t r o lp r o b l e mo fap r i c e s y s t e m i ss t u d i e d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ea s y m p t o t i c a l s t a b i l i t yo ft h es y s t e ma r eo b t a i n e db yc o m p a r i s o nt h e o r e mo fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h eu p p e rb o u n do fi m p u l s i v ei n t e r v a l si s e s t i m a t e d t h es y s t e mc a nb es t a l ea sl o n ga sp o s s i b l e ，a n da v o i d i n f l a t i o no rd e f l a t i o np h e n o m e n o nh a p p e n t h er e s u l ti l l u s t r a t e dt ob e e f f i c i e n tt h r o u g ht h ee m u l a t i o nc a r r i e do nw i t hm a t l a b i nt h e f o u r t h c h a p t e r ，t h es t a l ep r o b l e mo fap r i c es y s t e mw i t ht i m e d e l a y e da n d i m p u l s e i sd i s c u s s e d as u f f i c i e n tc o n d i t i o no fa s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fi t s 江苏大学硕士学位论文 z e r os o l u t i o nu n d e rt i m e d e l a yi m p u l s i v ec o n t r o li sd e r i v e d ，a n dt h e c o n d i t i o nr e f l e c t st h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h e s y s t e mp a r a m e t e r s ， i m p u l s ei n t e r v a l sa n dt i m ed e l a y s t h er e s u l tf i n a l l yi l l u s t r a t e d t ob e e f f i c i e n tt h r o u g ht h ee m u l a t i o nc a r d e do nw i t hm a t l a b t h ep a p e ra l s o p r e s e n t se c o n o m i c se x p l a n a t i o n i nt h ef i f t hc h a p t e r ，t h es t a b l ep r o b l e mo f ae c o n o m i cm o d e lw i t h a d v e r t i s i n gt i m e - d e l a y e d a n d i m p u l s i v ei s d i s c u s s e d b y t h e s t a b i l i t y t h e o r e mo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d l y a p u n o vf u n c t i o n s ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o no fa s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fi t s z e r os o l u t i o nu n d e rt i m e - d e l a yi m p u l s i v ec o n t r o li sd e r i v e d ，a n dt h e c o n d i t i o nr e f l e c t st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h e s y s t e mp a r a m e t e r s ， i m p u l s ei n t e r v a l s a n dt i m ed e l a y s t h e o r e t i ca n a l y s i sa n dn u m e r i c a l s i m u l a t i o ns h o we f f i c i e n c ya n df e a s i b i l i t yo fa d v e r t i s i n gt i m e - d e l a y e d a n di m p u l s i v ec o n t r 0 1 i ts h o w sw i d ea p p l y i n gp r o s p e c to ft i m ed e l a ya n d i m p u l s i v ec o n t r o li ne c o n o m i cs y s t e m s k e yw o r d s ：p r i c es y s t e m ，a d v e r t i s i n gt i m e d e l a y e da n di m p u l s i v e m o d e l ，s t a b i l i t y , i m p u l s i v ec o n t r o l ，t i m e d e l a y e da n d i m p u l s i v ec o n t r o l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囵。 学位论文作者签名：崔杰盎 指导教师签名： 卅年i z 月2 7 r 7 拷防 力0 7 年f 2 月2 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 崔杰盎 日期：砷年j 2 月2 日 江苏大学硕士学位论文 第一章前言弟一早日i j 苗 1 1本课题研究的背景及意义 经济在运行过程中具有不稳定性，甚至有时当外界条件发生微小变化时，都 会引起整个经济系统的动荡。物价是市场经济运行的核心指标，它直接影响到国 家的经济和社会的发展。它是反映市场经济冷热情况的“指示器”，也是配置市 场经济资源的“调节器 。物价对社会总供给，社会总需求，货币供给量，经济 结构的调整，利率，汇率，财政收支等有重大的影响。价格总水平的波动会影响 一国的经济增长，因此稳定物价一直是各国政府追求的经济政策目标之一。 改革开放以来，中幽的经济在基本上保持持续快速增长的同时，不断受到通 货膨胀或通货紧缩的困扰，物价波动也呈现一些结构性特点。1 9 9 3 年我国出现 了经济过热和随之而来的严重的通货膨胀，打破了经济运行的正常秩序，迫使中 央政府从1 9 9 3 年下半年开始实行经济紧缩政策，“九五”初期，中国在治理了 1 9 9 2 1 9 9 5 年严重的通货膨胀实现了国民经济的“软着陆 ，出现了低通货膨胀 条件下的经济高增长。1 9 9 7 年6 月工业品出厂价格指数首次出现负增长，紧接 着1 0 月商品零售物价水平也出现负增长，1 9 9 8 年4 月居民消费价格指数出现负 增长标志着中国经济出现通货紧缩已成为不争的事实。尽管在1 9 9 8 年下半年， 中国人民银行改变了对世界经济走势和国内宏观经济形势的判断，开始采取“稳 健的”货币政策来促进经济增长，增加货币供应量，提高货币增长速度，连续7 次调低利率，促进价格回升，但是，在这之后的六年来，中国经济仍未走出通货 紧缩的阴影，物价持续走低。对于我国这样一个快速发展和变革的社会，供给和 需求结构不一致是我国现阶段的问题 卜4 。 近年，我国各类价格指数均呈上涨趋势，由于物价的高低不仅涉及居民的生 活、企业的生产，而且与宏观调控政策的走向密切相关，由此物价的稳定问题再 次成为大家关注的热点。 经济市场价格调节机制在经济系统中是客观存在的，在一定条件下商品市场 的价格调节机制是可行的，能够保证市场物价的稳定。但价格这种调节机制是有 限的，一旦超出这个范围，就会出现市场物价的不稳定。为了保证市场经济健康 江苏大学硕士学位论文 的发展，则需要借助政府对商品市场进行宏观调控。当出现通货膨胀或通货紧缩 时，政府可以运用货币，信贷，工资等经济手段( 调整利息或税率) 对价格进行 调节，必要时也可以采用某些行政手段。希望通过调节社会总供给与社会总需求 的关系，使之达到基本平衡保证物价水平的稳定，从而使得经济能够向着健 康的方向发展，促进社会的和谐。 1 2 本课题的研究现状 物价稳定问题一直是研究的热点，对于这个问题的研究具有重要的理论和现 实意义。在1 8 7 4 年，法国经济学家里昂。瓦尔拉斯提出了关于各种商品的价格 在一般均衡体系中同时决定的理论。潘吉勋等 5 ，6 研究了一般的瓦尔拉斯经济 均衡模型及其稳定性问题，即价格是否随时问的增加而均衡于均衡价格。苏梅会 等 7 建立蛛网模型研究物价随供需情况变化问题。梁东黎 8 描述了价格围绕均 衡价格的波动情况，提供了一种价格理论。王树禾等 9 ，1 0 讨论了一种单一商品 市场上价格调整方程的定性性态。李林 1 1 研究了市场经济中价格的库存调节和 过量需求调节两类数学模型。以上文献都是研究的市场自身调节物价的理想化模 型，没有考虑国家调控( 税收信贷、工资、财政补贴等) 或其它的因素。而在实 际生活中往往需要政府对经济系统进行干预，调节社会总供给与社会总需求的关 系，使之达到基本平衡。 经济系统中，当物价上涨导致通货膨胀时，国家可以即时调高利息，以快速 减少货币在市场中的流通量，这就是所谓的脉冲现象。脉冲现象在实际生活中经 常发生。由于脉冲现象发生时，系统的状态量在极短的时间内会发生很大变化， 此时普通的微分方程难以描述这一现象，而脉冲微分方程则能很好的描述这类现 象。目前，脉冲控制在航天技术、生命科学、通讯、经济系统等中有所应用 1 2 一1 7 。 随着市场经济的发展，竞争变得越来越激烈。如果想把一种新产品推进市场，厂 家可以通过做广告对产品进行宣传，从而证确引导消费者购买。众所周知，广告 的效果受到社会、经济、文化、时空、地域等多种冈素和条件的制约，并且消费 者的反应程度不一致，所以广告效果的获得具有时间推移性，即通常所说的时滞 现象。时滞现象的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时时滞的 存在也往往使系统的稳定性受到影响。时滞现象常产生于航空航天、电力、冶金、 2 江苏大学硕士学位论文 化工过程、电子技术、经济管理和交通等系统中。 近年的研究表明，脉冲、时滞在经济系统方面的应用很少。本课题将脉冲， 时滞控制应用到经济系统，具有一定的创新性。脉冲，时滞控制方法在经济上的 应用将会有很大的实际意义，但现在的研究更多的局限于稳定性理论的研究，跟 实际结合得还很少，一些结论的经济解释还很有限，这些方面都有待进一步发展。 1 3 本课题的研究内容与思路 本文主要研究了一类物价系统与经济模型的脉冲控制与时滞脉冲控制问题， 通过在固定时刻点引入脉冲控制和时滞脉冲控制，把经济系统中的不稳定的平衡 点控制成稳定的平衡点，从而使系统变得稳定。 文章的具体结构如下： 第一章：主要介绍了本课题的研究背景、研究现状及研究内容与思路。 第二章：主要介绍了本文中涉及的基本概念和基础理论。在参考大量文献的 基础上，给出了脉冲、时滞的相关概念，稳定性理论。从而形成较为完整的理论 体系，为以后几章的应用研究提供了理论依据。 第三章：主要介绍了一类物价系统的脉冲控制问题。基于第二章的理论基础， 对一类物价系统进行脉冲控制，从而可使系统很好的达到稳定状态，给出了使得 系统达到稳定的充分条件及脉冲i 日j 隔的最大上界，并通过理论分析和数值模拟证 明了脉冲控制的可行性和有效性。 第四章：在第三章的基础上考虑了时滞对物价系统的影响，介绍了一类物价 系统的时滞脉冲控制问题。给出了系统在时滞脉冲控制下零解渐近稳定的充分条 件，该条件反映了系统参数、脉冲区间和延迟时问之间的相对关系。利用m a t l a b 软件对该系统进行数值模拟，验证了时滞脉冲控制的有效性，并给出了经济学解 释。 第五章：主要介绍了一个经济模型的广告时滞脉冲控制问题。利用微分方 程稳定性理沦给出了使系统稳定的方法，分析了系统参数、脉冲区间和时滞量之 间的相对关系对系统的影响，并给予了一定经济意义下的解释，最后举例说明结 论的可行性。从而进一步说明时滞和脉冲控制在经济系统中具有广泛的应用前 景。 3 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念和基本理论 本章主要介绍在以后各章用到的基本概念和基本理论： 2 1微分方程的相关概念 2 1 1 微分方程解的稳定性 设微分方程 戈= 厂( f ，x ) ，x ( t o ) = x o ，x r ” ( 2 1 ) 定义2 1 1 8 若对任意给定的s o ，都能找到万= 万( ，t o ) ，使得当i i x o i i o ，总能找到一个r = 丁( 占，乇，x o ) ，t - t o + z 时，x ( t ，t o ，x o ) l 。，那么式( 2 3 ) 的零解为 定理2 4 如果存在一个定正的函数v ( x ) ，其关于式( 2 3 ) 的全导数矿( x ，y ) 为定 负的，但使旷( x ，y ) = 0 的点x 的集合中，除零解x = o 外，并不包含式( 2 3 ) 的其 找和建立满足上述诸定理的函数v ( x ) ，实质上需要很高的技巧。李雅普诺夫和 5 江苏大学硕士学位论文 2 2 脉冲微分方程的相关概念 2 2 1 脉冲微分方程 脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中是普遍存 在的，且往往对实际问题的规律产生本质的影响。因此，在建立数学模型对这些 实际问题进行研究时，必须充分考虑脉冲现象的作用，其数学模型往往可归结为 脉冲微分系统。鉴于脉冲微分系统在现代诸多科技领域日益广泛的应用，逐渐引 起微分系统学者专家的关注与重视。 许多实际问题的发展过程往往有这样的特征：在发展的某些阶段，会出现快 速的变化。为方便起见，在这些过程的数学模拟中，常常会忽略这个快速变化的 持续期间而假设这个过程是通过瞬时突变来完成的。这种瞬时突变现象通常称之 为脉冲现象。脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态 的影响，能够更深刻、更精确地反映事物的变化规律。近年来，脉冲微分系统在 混沌控制、机密通信、航天技术、风险管理、信息科学、生命科学、医学、经济 领域均得到重要应用。因此，脉冲微分系统来源于实践，应用于实践，在科技领 域有着重要的应用价值。 定义2 5 2 2 脉冲微分系统 ( 1 ) 考虑微分系统 膏= s ( t ，x 1 ( 2 4 ) 厂：r qj 彤是连续的，q c r ”是丌集，彤是刀维空间，r = 【o ，+ o o ) ； ( 2 ) 集合m ( ，) ，( f ) q ，v t r ； ( 3 ) 算子a ( t ) ：m ( f ) 一( f ) ，v t r 。 设x ( ，) = x ( t ，t o ，x o ) 是系统( 2 4 ) 在满足x ( ) = x o 的解，它具有下列特点： 点c = ( f ，x ( f ) ) 开始于( 岛，x o ) ，沿弧线 ( ，x ) ：f - - t o ，z = x ( 讲运动直到点矗 t o ，在 处置碰到集合m ( f ) ，在t = 毛处，么( ，) 将= ( f l ，x ( ，。) ) 变成0 = ( ，) ( ) ，这里对= a ( t 。) x ( ，1 ) 。而沿着系统( 2 4 ) 的解x ( f ) = x ( ，对) 所代表的 弧继续运动直到在t 2 t a 遇到m ( t ) 。从而气= ( 乞，x ( ，：) ) 被变成 6 江苏大学硕士学位论文 气= ( ，：，) ( ，：) ，这罩= 么( 如) x ( f ：) 。像前面一样，c 沿着系统( 2 4 ) 的解 x ( f ) = x ( ，t 2 ，砖) 所代表的弧继续运动。如果系统( 2 4 ) 的解存在，则只一直运动 下去。我们称具有上述运动过程的( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 综合起来称为脉冲微分系统。 具有固定时刻的脉冲微分系统： 戈( f ) = ( ( f ) ) ， 缸( “) 全x ( ，j ) 一x ( 巧) = u ( j i ，x ) ， x ( 引= x ( ) ， 这里厂：rxr “- ) r ”，u ：r “x r “专尺”对每一个七都是连续的；0 t o t 2 气 o ，v t o r ，存在正常数艿= 万( 气，占，7 7 ) 0 ，满足当 l x o - y o i 7 7 。其中( f ) = x ( ，t o ，而) ，t t o 是 系统( 2 4 ) 的任意解； ( 2 ) 一致稳定：如果( 1 ) 中万与f o 无关； 7 52 2 = 后气气o 引 0 人i f f 江苏大学硕士学位论文 ( 3 ) 吸引：如果对v 占 o ，7 7 o ，v t o r ，存在正常数万= 8 0 0 ) o ，t = t ( t o ，s ，r ) 0 ，满足l 一) ，0 l r ； ( 4 ) 一致吸引：如果( 3 ) 中万，z 与岛无关； ( 5 ) 渐近稳定：如果( 1 ) ，( 3 ) 同时成立； ( 6 ) 一致渐近稳定：如果( 2 ) ，( 4 ) 同时成立。 2 2 3 脉冲微分系统中的比较原理 定义2 7 1 4 设v ：尺+ x r ”专r ，则称v ，如果： ( 1 ) y 在( t k - 1t k x r “内连续，且对每个x r ”( k = 1 ，2 ，) ( m l i m ，j v ( f ，y ) = 矿( 呓，x ) 存在： ( 2 ) v 关于x 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件。 定义2 8 1 4 令y k ，x 寸v ( t ，x ) ( t k - 1t , x r “， d + y ( 以) 2 川l i ms 叩丢 y ( ，地x + 乃巾，石) ) 一矿( “) 啦3 且凇霭萎乏嬲3 ，羞m 如碱中 g ：rx r + jr 是连续的，吮：r 寸r 是非减的，则 f 西= g ( f ，国) ，f & 彩( 硭) = 唬( 缈( 厶) ) ，= 气k = l 2 , ( 2 7 ) i 缈( 喏) = c o o o 系统( 2 7 ) 称作系统( 2 6 ) 的比较系统。 引理2 1 2 3 比较系统( 2 7 ) 与系统( 2 6 ) 的零解稳定性一致，如果： ( 1 ) y ：r s p r ，p o ，v k ，贝。当f 时，d + v ( t ，x ) g ( ，v ( t ，x ) ) ； ( 2 ) 存在岛 o ，使得当x s 岛时，对所有的七有x + u ( 后，x ) 瓯，且当f = t k ， x s 巾时，有v ( t ，x + u ( k ，x ) ) 么( v ( t ，x ) ) ； ( 3 ) 存在口( ) ，( ) ，使得：( i l x l ) - o 。如果条兄( 气“) + h l ( y 吨) 旯( 气) ，厂 l ( k = 1 ，2 ，) 成立，且 五0 ，那么系统( 2 6 ) 的零解是渐近稳定的。 2 3 时滞微分方程的相关概念 2 3 1时滞微分方程概述 现代的许多科学领域中，经常采用常微分方程作为数学工具描述各种客观规 律，随着科学研究逐步深入，为适应客观世界的复杂性和多样性，常微分方程这 一工具也不断发展和演变。 一般常微分方程描述的客观现象，总假定事物在每个时刻发展变化的趋向仅 由当时的状态决定。但客观世界有许多现象并非如此，事物在每个时刻发展变 化的趋势不仅依赖当时的状态，而且还取决于该时刻的前一段时间的状态。 自1 8 世纪以来，在流体力学、电子学、种群生态学，核反应堆动力学、经 济学及现代控制理论等领域都发现具有上述现象的大量事实 2 4 - 2 9 。比如自动 控制中任何一个含有反馈的系统，大体上总有时滞，这类时滞的出现，是因为需 要有限的时间接受信息，作出反应，对于这类系统往往用时滞微分方程比常微分 方程来刻画更加符合实际。 2 3 2 时滞微分方程解的稳定性 时滞微分系统： g ( t ) = f ( t ，x ) ( 2 8 ) 其中厂：尺q 寸尺“全连续，充分光滑，并且保证系统( 2 8 ) 过任一初值( 盯，缈) 的 f gx ( t ，仃，缈) 唯一，f ( t ，0 ) 兰0 ；对一切盯er ，缈q ，假定系统( 2 8 ) 过( 盯，缈) 的解x ( f ，仃，缈) 在【盯一，+ o 。) 上存在( ， o ) 这里n = c - r ，o 】，r ” 是从【一，0 】到 r “的连续向量函数所组成的集合。 定义2 1 o 3 0 记初始时刻为仃，1 呼o i = 口辫】| 伊( 秒) i ，x ( f ) l 取尺”中的模，则对 v a r 有t ( 1 ) 系统( 2 8 ) 的零解称为稳定的，若对v s o ，a s ( e ，仃) o ，使h o ，j 丁( 盯，s ，伊) ，当川6 。( 仃) 时， v t c r + t ( o - ，占，缈) 都有卜( f ，盯，缈) i s 成立 。若z 仅与占有关，与盯无关， 则零解称为一致吸引的若b o = 4 - o o ，则零解称为全局吸引的。 ( 4 ) 系统( 2 8 ) 的零解称为渐近稳定的，若零解是稳定的，吸引的。 系统( 2 8 ) 的零解称为一致渐近稳定的，若零解是一致稳定的，一致吸引的。 定义2 1 1 系统( 2 8 ) 的零解称为是全局( 大范围) 渐近稳定的，若零解是稳定 的，全局吸引的。 2 4 时滞脉冲控制方法描述 一般非线性时滞脉冲控制系统 f 量( ，) = 么石( ，) + g ( x ( f ) ) ，t 缸( f ) = 最x ( f 一气) ， f = t k 忌= 1 2 ， ( 2 9 ) ix ( f ) = 缈( f 一) ， 岛一万f t o 其中z r ”是状态变量，g ：rx r ”j r ”，a ，色都是，2 甩维的常数矩阵。 离散时刻集合 气) 满足：0 t o t 2 t k ，并且当七j 时，& 一， 瓯= 气一气q 0 0 ， = 1 2 ，) 。缸o ) | i 嘞= x 位) 一工k ) ，x o ) 是左连续的，即 z k ) = x 也) 。 g k 是f = t 。时的延迟常数，0 o ，g 0 ( 3 3 ) 假设需求与价格的关系不是线性的，当价格不超过人们的购买力时，需求刺 激物价上涨，物价与需求正相关。当物价上涨超过人们的购买力时，随价格的上 升购买量会下降，两者负相关，因此： d ( t ) = d o r l p ( t ) + ( a p 2 + 印+ c ) p ( f ) ，d o o ，7 7 o ，口 o ( 3 4 ) 把式( 3 2 ) ，( 3 3 ) 和( 3 4 ) 代入式( 3 1 ) 且对f 求导得： p = 甜( 印2 + 印+ c ) 户一甜( 占+ 7 7 ) p u ( s o 一哦) ( 3 5 ) 江苏大学硕士学位论文 再把式( 3 5 ) 转化成一阶方程组，令p ( ，) = 而( ，) ，p = x ：( ，) 有 弱砰+ 魄+ c ) x 2 叫啪) _ - , , ( s o - d o ) ( 3 6 ) i 岛= 甜( 砰+ 魄 一甜( s + 7 7 ) _) 川7 当d o & 时，系统( 3 6 ) 有唯一的平衡点f 堡墅，o1 ，即写：声；里e 玉。 g + 7 7s + 7 7 令x 1 。( f ) = _ ( ，) 一夏，x 2 + ( f ) = x ：( ，) 一。代入系统( 3 6 ) ，整理后仍用鼍( ，) ，x 2 ( ，) 代替耳( ，) ，蔓( ，) 得： 裂如叫州) _ ( 3 7 ) l 岛( ，) = 纠( 口x ；+ _ + c 。) 而一甜( g + 7 7 ) _ w “7 其中c o = 噼+ 蜒+ c ，b o = 2 蜗+ 6 ，即系统( 3 6 ) 的平衡点稳定性问题转化成系统 ( 3 7 ) 的零解稳定性问题。 根据 1 0 可知： ( 1 ) c o 0 ，口 0 ，则随时间的增加，物价远离均衡价格，市场物价不稳定。 ( 2 ) c o 0 ，则随时间的增加，物价远离一个周期振荡，在均衡价格附近， 物价趋于均衡价格。否则，物价远离均衡价格，市场物价不稳定。 3 2 一类物价系统的脉冲控制 在上述条件下系统( 3 7 ) 的零解足不稳定的，因此在离散时刻我们引进国家 调控这个脉冲效应，把平衡点( 等；r 墨，。 控制成稳定的零解，从而有利于经济s + 的健康发展。 下面通过脉冲控制使系统( 3 7 ) 在零点处是渐近稳定的。为了研究方便，我 们将其分成线性和非线性两部分，即 戈= a x + g ( x ) 其中 叫协a = 训扎札而：0 讹) 江苏大学硕士学位论文 又假设脉冲控制u ( 足，x ) = 反x ，反= ( 孑三) 。由此得到的脉冲控制系统 j 童_ 彳x + g ( x ) ， f f t ( 3 8 ) 【缸 ，吨2 鼠x ，t2 气 其中控制率u ( 忌，x ) = 暖x 中的色在对系统( 3 8 ) 的分析中得到。脉冲控制的 目标是对系统施以离散性的控制，让时间间隔和控制参数满足一定的关系，即寻 找控制收益吼，最终使系统( 3 8 ) 的零解渐近稳定。 3 3 稳定性分析 定理3 1 设彘是矩阵a + 的最大特征值，d = m a x ( 1 + 马) 2 ，( 1 + 岛) 2 ) ， 善= 彘+ 2 u ( a m ；+ 6 0 鸠+ ) ，其中心= m a ) 【 墨，恐) 。如果条件满足： 0 孝( k + 1 一气) 一h l ( y d ) ，y 1 ( 3 9 ) 那么系统( 3 8 ) 的零解是渐近稳定的。 证明：构造l y a p u n o v 函数： v = fx 当f & 时有 d + y ( f ，x ) = x r ( 彳r + 么) x + g r ( x ) 石+ z r g ( x ) 其中 ，( 彳r + 彳) x 磊y ( f ，x ) g rx ) x + x r g ( x ) = 2 甜( q 2 + 2 j b 西+ c o ) x ； = 2 彳c ，x r ( 三：口 x + 而c ，x7 1 ( ：6 0 x + x7 ( 三： x 2 “( 口 + 6 0 a t + c o ) v ( t ，x ) 所以 d + y ( f ，x ) 孝y ( f ，x ) 令g ( ，w ) = 知，引理2 1 中的第一个条件被满足。 江苏大学硕士学位论文 由已知可知，+ b 是对角矩阵，于是可得： p ( ，+ 反) = i | + 峨0 又v p 0 ，v x s 。有： i i x + b k x | 1 时 有： 孝吒+ l + i n ( y d ) 孝气 当t 气时，t b = 五= 和。& - - j 邛t 允( f ) = 争，则有力( 气h ) + i n ( 7 d ) 五( 气) 成立。 由引理2 1 可知，系统的稳定特性可由下列比较系统的稳定性决定： t t k ，= t k k = l 2 ， ( 3 1 0 ) 系统( 3 1 0 ) 即为系统( 3 8 ) 的比较系统。由善 0 和式( 3 9 ) 及引理2 2 司知，系 统( 3 8 ) 的零解是渐近稳定的。 推论3 1 使系统( 3 8 ) 渐近稳定的脉冲时间间隔砭= t k “- t k 满足： 。吒；- n 万1 ，y 1 其中y ，d 越小，脉冲时间间隔越长。 定理3 2 记兄似) 是a + a r 的特征值，孱= 2 i ( i + 反) r ( ，+ 最) ，力= 元似) + 2 u ( a m ：+ 丝+ c 0 1 。如果a o 且存在一个常数o 口 - a ，使得 i n 反一口( 以- t t - 1 ) 0 ，k = l ，2 ， ( 3 1 1 ) 成立，则系统( 3 8 ) 的零解全局指数稳定。 1 4 心却 髓 0 比 熟沪沪 引k k 一 、 江苏大学硕士学位论文 证明：构造l y a p u n o v 函数： 矿( f ，x ) = a x x 当f ( t k - i 气】，忌= 1 ，2 ，时，它沿着系统( 3 8 ) 的导数为： 矿( f ，x ) = ( 血+ g ( x ) ) 7 x + ，( 血+ g ( x ) ) = x 7 ( 彳7 + 彳) x + g 7 1 x ) x + x 7 1 9 ( x ) x 7 a 7 + 彳) x + x 7 2 材( a ，2 + b o m + ) x 五y ( f ，x ) 即 y ( x ( f ) ) y ( z ( t ，) ) e x p ( 五( 卜气一，) ) ，te ( 小气】，k = l 一2 一 ( 3 1 2 ) 又冈为： y ( x ( 名) ) = ( “引石( 如) r ( ，+ 壤) x ( 气) = 删7 1 ( n 色) r ( j + 刚 x ( 气) k ( ，+ 剐7 1 ( ，+ 剐 x ( ) 7 1x ( 缸) = 屏y ( x ( 吒) ) 晟 y ( x ( f ；) ) 反矿( x ( 气) ) ，k = l 2 ， 对于f ( 乇，】： 由式( 3 1 2 ) 可得： y ( x ( f ) ) v ( x ( , o ) ) o x p x ( , - , o ) 从而有： y ( x ( ) ) y ( x ( f 。) ) e x p 五( f 1 - t o ) 由式( 3 1 3 ) 结合式( 3 1 4 ) 可得： 矿( x ( f ) ) 届y ( x ( ) ) y ( x ( ) ) 届c x pa ( 1 1 一t o ) 类似的，对于，( ，乞】有： y ( x ( f ) ) 矿( x ( f 埘e x p ( 力( f f 。) ) y ( x ( 气) ) 届e x pa ( t f 。) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 江苏大学硕士学位论文 一般的，对于f ( 气，t k + 。】有： y