极限与极限思想在中学数学中的应用-硕士论文

学校代码：学校代码：11658学号：学号： 2012204510405 分 类 号分 类 号:O12密级：无密级：无 硕士学位论文 极 限 与 极 限 思 想 在 中 学 数 学 中 的 应 用 极 限 与 极 限 思 想 在 中 学 数 学 中 的 应 用 作者姓名陈中华 学科专业学科教学（数学） 研究方向中学数学教育 指导教师陈传钟陈文彩 申 请 学 位 类 别教育硕士 提交日期二一四年四月 万方数据 万方数据 Application of Limit and Limit thinking in the middle school mathematics AThesis Submitted for the Degree of Master Candidate：Chen Zhonghua Supervisor：Chen ChuanzhongChen Wencai Hainan Normal University Haikou, China 万方数据 万方数据 I 摘要 极限思想是数学中的重要思想方法。它是数学分析的重要组成部分，也是其主要思 想方法。从小学阶段开始，我们就已经接触极限了，并逐步对极限有了深入的了解。 中 学部分的极限的学习是小学数学相关体系与大学数学相关体系的衔接，对于大学数学的 学习起着重要的作用。 极限思想既是一种解决问题的方法，同时也是一种思维方式，在整个数学发展史中 占有重要的地位。本文介绍了极限与极限思想在中学数学中的应用。首先，从极限与无 穷的关系入手，介绍了无穷的发展史、从无穷问题到极限的表示、以及严谨的极限理论 的抽象过程。让读者从历史中了解极限。其次，从极限的定义出发，阐释了极限思想的 内涵。然后，介绍了如何将极限思想渗透在中学数学教学中，并根据中学数学教材内容 归类，介绍了极限思想在数列、函数、解析几何以及立体几何中的应用，并分析其解题 过程中是如何渗透并运用极限思想的。 关键词：极限；极限思想；数列；函数；解析几何；立体几何关键词：极限；极限思想；数列；函数；解析几何；立体几何 万方数据 II Abstract Limit is an important mathematical thinking. It is a significant part of mathematical analysis as a major thinking methodology. Since the primary school, we have begun to be exposed to limit and gradually acquired an increasingly deepened knowledge of it. As the linking stage between primary schools mathematical system and that of college, the concept of limit in middle school plays a critical role in college mathematics learning. As a significant tool for problem solving, the thinking of limit is also a kind of thinking methodology retaining an important place all through the mathematical history. This paper introduces the application of limit and limit thinking in middle-school math teaching. Firstly, in terms of the relationship between limit and infinity, it introduces the development of limit, the representation from infinity to limit, and rigorous abstracting process of limit theory in order to understand limit from a historical perspective for the reader. Secondly, in terms of the definition of limit, the paper explains the connotation of the limit. Last, it discusses how to infiltrate the limit thinking into middle school math teaching. Based on the content classification in middle school math textbook, it introduces the application of limit thinking in sequence, function, analytic geometry and solid geometry, and explains how to infiltrate and utilize the limit thinking . Key words: Limit; Limit thinking ; Sequence; Function;Analytic Geometry; Solid Geometry 万方数据 III 目录 第一章 课题研究的背景与意义.1 1.1 问题提出的背景.1 1.2 研究的意义.2 1.3 研究的现状.2 第二章 极限理论的建立.5 2.1 极限思想的萌芽.5 2.1.1 边长与不可公度线段.5 2.1.2 圆周率与无理数.6 2.1.3 面积与无理数.6 2.2 极限思想的发展微积分的建立.7 2.2.1 微积分的雏形.7 2.2.2 微积分的创立.8 2.3“极限的表示”的历史发展.9 2.4 严谨的极限理论抽象过程.10 2.4.1 数学分析研究的对象是函数.10 2.4.2 数学分析研究的基础是极限.11 第三章 从高中数学史选讲专题看极限思想.13 3.1 极限思想学习的契机数学史进入高中教材.13 3.2 极限思想的体现新课标对数学史的要求.14 3.3 高中数学史专题系列中涉及的极限思想.14 第四章 极限的定义及极限思想.17 4.1 极限定义.17 4.2 极限思想.18 第五章 极限思想在中学数学中的应用.21 5.1 极限思想在中学数学教学中的渗透.21 5.2 极限思想在数列中的应用.22 5.2.1 无穷等比数列与极限思想.22 5.2.2 极限思想在数列中应用的实例分析.24 万方数据 IV 5.3 极限思想在函数中的应用.26 5.4 极限思想在解析几何中的应用.28 5.5 极限思想在立体几何中的应用.32 总结.35 参考文献.37 攻读硕士学位期间取得的研究成果.39 致谢.40 万方数据 第一章 问题研究的背景与意义 1 第一章 课题研究的背景与意义 1.1 问题提出的背景 世间万物总是处在变化之中，人们为了描述变化中的现象，数学中引入了函数的概 念。随着对变量间函数关系的不断深化，微积分由此产生。极限是微积分的基础也是微 积分中最重要的部分，它描述的是一种趋势，是从数量上描述变量在无限变化过程中的 变化趋势。 极限思想是微积分的基本思想，微积分作为现代数学的基础，与各类科学问题紧密 相关。如：求物体运动的瞬时加速度、求曲线的切线、求函数最大值、最优化问题等。 这些问题在十七世纪中期，牛顿和莱布尼茨在前人的基础上，经过不懈努力，创立了微 积分。在创立微积分的过程中也产生了一种重要的数学思想极限思想。 在二十世纪初，德国数学家克莱因提出让微积分进入中学数学课堂。很多国家都开 始将微积分的内容设置在高中数学课程的重要位置上， 并要求学会微积分的分割求和以 及逐步逼近等思想，这些无一不体现了极限思想这一数学思想。在美国，微积分设置在 高中生数学类的选修课上；在英国，微积分的思想方法出现在高中数学教材上；日本则 在高中教材数学二、数学三中分别系统地介绍了微积分的概念和方法。在我国现行的高 中数学课本中融入部分微积分的内容和思想。 自建国以来，关于“在中学数学课程中开设微积分”这一热点话题曾多次在数学改 革中探讨，1950 年-1958 年，在新中国成立初期，我国中学数学教材的编写主要参考了 前苏联中学数学的课本。虽包含了部分微积分的初步知识，但并没有做出明确的大纲学 习要求。1961 年微积分的初步知识第一次被提出并正式列入我国中学数学教学大纲。 1961 年-1965 年，由于当时我国教师资源等原因，教育部认为在中学时期的数学课程中 添加微积分的知识不切合实际，因而将其取消。1986 年，国家颁布了全日制中学数学 教学大纲 ，大纲第一次将微积分初步知识作为玄学内容加入到中学数学课程中。九零 年代，我国颁布了新的中学数学教学大纲的修订本，微积分初步知识再次作为玄学模块 列入数学教学大纲中，微积分也成为高中文科、理科加以区分的内容之一。 在多年的数学课程改革中， 微积分知识多次进出中学数学教材的原因也与特定时期 的历史背景相关。 高中部分微积分作为大学部分微积分的缩影，是否适合高中生的认知水平，以及是 万方数据 海南师范大学硕士学位论文 2 否会造成高中生对微积分理解的模糊，是微积分在教材中多次改变的原因。无论微积分 是否进入高中教材，极限思想都是数学学习中必不可少的重要数学思想，在高中数学教 学以及解题中渗透、运用极限思想也是有必要的。 1.2 研究的意义 “使数学真正成为科学，使数学在应用方面和纯理论方面发展成为丰富而正确的科 学， 进步成为深奥而严格的科学的思想， 渗透于整个数学中， 并且总是在活跃着的思想， 就是经过了提炼的极限思想。只要看一看，如果从今天的数学中抽去了极限的思想， 数 学还能保留哪些内容，就能明白极限的思想对数学来说该多么重要了，说得严重一点， 这时的数学几乎近于一无所有。 ” 1 在小学阶段，分数和无限循环小数被我们所熟知，其中有限与无限的矛盾也被学生 认识， 至于对圆面积公式推导过程中更是直接用到了极限思想无限接近于圆又不是 圆。可见极限思想的渗透不仅是从高中才开始的，而是从小学就已经有了极限思想。 极限理论是建立微积分的基础和研究微积分的基本手段， 它一直贯穿于该学科的始 终。我国的数学家王梓坤首次应用极限过渡的概率方法，彻底解决了生灭过程的构造问 题，是科学前沿的重要成就。可见，极限思想的重要作用，由此也说明在高中渗透极限 思想的重要性。 1.3 研究的现状 关于本课题的研究，有史宁中著的数学思想方法中关于无理数以及极限理论建 立的历史回顾。张景中院士主编，林群院士著的“微积分快餐”中，对比了高中数学中 的微积分与大学微积分的相同点和不同点， 由此也说明了微积分的重要性； 卜以军的 “极 限思想在椭圆问题中的应用” ，在本篇小论文中，作者列举了椭圆的相关问题，并从历 届高考题中实例分析了极限思想在椭圆中的应用；张国良“极限与极限思想在中学数学 中的应用”从高中的解题入手，实例分析了极限思想在中学数学中的应用；蒋锋、蒋永 红的“极限思想中认知层次探析”一文中从无穷大无穷小思想出发，探究了如何将极限 思想运用与教学中，并用逼近法来解决实际问题。张春花的“极限思想在数学课堂中的 渗透”从数学史之悖论的学习、数学公式的推导、以及新知识的教学三点探究了极限思 摘自数学的精神、思想和方法 ， （日）米山国藏著 万方数据 第一章 问题研究的背景与意义 3 想在中学数学教学中的渗透； 李永的 “极限思想方法在高考中的呈现” 一文从瞬时速度、 运动学公式的推导、曲线运动方向三方面解析了极限思想在高考中的渗透，等等。 万方数据 海南师范大学硕士学位论文 4 万方数据 第二章 极限理论的建立 5 第二章 极限理论的建立 2.1 极限思想的萌芽 从极限的表示符号看， “lim”与“”这两个对极限发展起着至关重要的作用。 我们至今仍在使用它们来表示极限。从极限的书写符号上我们可以看出“无穷”是组成 极限的一部分。因此，如果想要更好的理解极限，我们必须更好的理解无穷。 回顾无穷的历史，它的出现带给人们“无穷”的困扰持续了几百年。在最初它的存 在被人意识到，是因为人们发现了不可公度的存在，这打破了人们以整数为基础的思维 意识，也引起了人们对于无穷的恐慌。经过古代先贤不断的进取，人们打破了对未知的 恐惧，这其中，圆周率对于无穷的发展起了很大的作用。圆周率的测量是最早应用 到了极限思想，即刘徽的割圆术。接下来我们就从极限与无理数出发来探析极限思想的 萌芽。 2.1.1 边长与不可公度线段 人们很早就发现了无理数，它与不可公度线段，面积的计算以及方程的求解都有着 不可分割的关系。在古代中国对于无理数的研究始于开方不尽的数和圆周率的计算。 但 是，在很长一段时间内，人们无法对无理数做出一个合理的解释，也很难给出清晰的符 号表达，于是称这样的数为无理数，顾名思义，是一种没有道理的数。接下来我们回顾 一下无理数的发展历程。 2 不可公度是指不能表示为整数之间的比例关系的数。那要了解无理数的历史就要从 我们熟知的勾股定理（在西方也称毕达哥拉斯定理）说起。在我国周髀算经中记载， 商高答周公： “勾广三，股修四，径隅五.”但是当时没有给出一般的结论，也没给出证 明.三国时代的赵爽注周髀算经时给出了一般结论，并给出了证明.在西方毕达哥拉 斯也发现这个定理，并为了庆祝这个定理的发现曾宰牛祭神. 这个定理的一般表述为：令一个直角三角形的两个直角边和一个斜边的边长分别为 a、b和c,则有 222 cba=+.由定理知，当两个直角边边长分别为1=a和1=b，则斜 边长为2=c.但是，2是不能表示为两个整数之比的形式的.2的出现打破了古希 腊人认为的可以用整数或者整数比度量一切事物的思想，在当时这是不可理解的，因此 万方数据 海南师范大学硕士学位论文 6 古希腊大部分学者放弃了对算数的研究而热衷于研究几何. 2.1.2 圆周率与无理数 刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用。他是用圆内接正 多边形的面积去无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法。刘徽首先指出利用=3 这一数值算得的结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形的面积，这个结果比的真值 少。 3 他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数加倍，算出正 12 边形、正 24 边形、正 48 边形、正 96 边形，计算出14. 3=.“割之弥细，所失弥少；割之又割以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣。 ” 这段注文也充分显示了刘徽的极限思想，刘徽可以说在世 界上第一次把极限思想引入数学证明，使之成为数学方法。 刘徽之后祖冲之也对圆周率进行了研究得到介于 3.1415926 与 3.1415927 之间的 8 位正确的可靠数学即其误差不超过第 8 为数（小数点后第 7 位）的一个单位，不仅在 当时是最精密的圆周率，而且保持世界纪录 900 余年，直到 1924 年，才被阿拉伯数学 家卡西所超越。 从极限思想的萌芽可以看出，极限思想最早是为了解决生活中的实际问题，正如一 切科学一样。时至今日，极限思想更是成为一种重要的思想方法，它不仅可以应用在数 学领域，更是对哲学、物理、金融等等学科有着很深的影响。 2.1.3 面积与无理数 在古希腊数学家海伦（Heron,公元 1 世纪左右）的度量一书中给出了有别于之 前我们熟知的利用三角形底和高求面积的方法，这种方法只依赖于三角形的三边长： 对 于任意三角形， 令三个边长分别为 a,b,和 c,令 s 为三角形周长的一般， 即 2 cba s + =， 则三角形的面积为)()(csbsas.显然利用这面积公式求出来的值经常为无理数. 在古代的中国，也有类似的公式：在秦久韶的数书九章中提到三角面积公式 （吴文俊利用“出入相补”原理复原了这一部分的内容） ： 选自九章算术注文 万方数据 第二章 极限理论的建立 7 + = 2 222 22 24 1cba ac三角形面积的平方.可以验证，这个公式与海伦公式是 等价的. 分析：无理数与极限之间到底有什么关系？ 在上诉历史发展中，我们可以看到数学九章中的面积公式，与海伦的面积公式 是等价的，我们从等式的形式上可以看出，海伦公式得出的结果经常是无理数，而数 学九章中的面积公式既可以表示成有理数的形式，也可以表示成无理数的形式。那是 因 为 一 个 无 理 数 可 以 表 示 成 用 有 理 数 的 极 限 形 式 表 示 ： 如 ： ?+= 15 1 13 1 11 1 9 1 7 1 5 1 3 1 1 4 ，因此了解无理数的发展史对于极限思想的深 层认知也是有好处的，他能更好的激发学生的专研精神，培养学生缜密的逻辑思维。 2.2 极限思想的发展微积分的建立 极限是现代数学分析的基础， 也是数学分析学习中的基本概念。 数学分析中涉及的： 函数的连续性、导数、积分以及无穷级数的和等概念都是用极限来定义的。极限概念是 微积分区别初等数学的特有概念，由于极限思想方法的运用，考察变量变化的无限过程 才成为可能，可以这样说，微积分学的定义就是极限概念及其推论。因此，极限思想的 发展离不开微积分的发展。极限与微积分密不可分。极限思想的发展过程在某种程度上 就是微积分的发展过程。接下来我们就从微积分的发展过程中，探究极限思想的形成。 2.2.1 微积分的雏形 公元前三世纪，在古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家阿基米德的研究下微积 分的思想初次被提及。他在他的数学著作中对于一些面积体积等几何问题的解决方法中 就利用了一些近代积分的基本思想。如果说微积分是通往数学殿堂的高速公路，那么阿 基米德就是最早在这条公路上留下深深足迹的人。 4 在中国，人们对极限的认知最早开始于春秋时期，在之后的历朝历代都有人或有意 或无心的接触到极限。不过由于种种原因，在古代中国没有人能真正理解极限的存在也 没有人能解开极限这一谜团，这不得不说是古代中国数学发展史的一大遗憾。 万方数据 海南师范大学硕士学位论文 8 2.2.2 微积分的创立 随着中世纪文艺复兴到来，人们对于现有数学工具的不满足促进了无穷的再次发 展。当时无穷的问题主要有两类，一类是“求积问题”主要是求面积、体积以及物体的 重心等；另一类是“微分问题” ，这类问题是求切线、变量的极值以及物体运动的速度 等问题。这些问题的亟待解决，使得人们对于数学革命的到来显得无比的期待。由此 17 世纪许多著名的数学家、物理学家、天文学家、哲学家都为解决上述问题前赴后继奉献 一生，这也为之后微积分的创立夯实了基础。世人都知道牛顿和莱布尼茨是微积分的缔 造者，但在其之前，很多科学家也为微积分的发明做了奠基性的工作。 意大利数学家卡瓦列里在前人的基础上继续研究不可分量方法并重新定义不可分 量，又建立出不可分量原理，使积分学不再是原有现实的体积计算而可以延伸到一些其 他的算法。 解析几何是由笛卡尔与费马创立的。笛卡尔是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费 马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的方面。16、17 世纪，微积分是继解析几何之后的最伟大的成果。而解析几何的发展则为微积分的诞生 指明了前进的方向。牛顿就是以笛卡尔圆法为起点展开对微积分的研究的，而费马更是 为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示。 5 “数学的真正划分不是分成几何和算术，而是分成普遍的和特殊的” 。而这普遍 的东西是由两个突破时代的大科学家牛顿和莱布尼茨提供的。十七世纪下半叶，在前人 工作的基础下，牛顿与莱布尼茨分别在自己的国家里着眼于不同的研究方向却几乎同时 完成了微积分的创立工作，牛顿从运动学角度来研究微积分，而莱布尼茨则是着眼于几 何学。他们的成功之处在于把求切线问题和求积问题两个问题联系在一起，证明微分与 积分是可逆的。 牛顿对微积分的研究开始于 1664 年，他通过研究得出，变量是由点、线、面的连 续运动产生的。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数 术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法） ；已知 运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法） 。 语出詹姆斯格里高利（1638-1675） ，苏格兰数学家、天文学家 摘自牛顿流数术和无穷级数 ，本书于 1671 年完成却直到 1736 年才出版 万方数据 第二章 极限理论的建立 9 1684 年，莱布尼茨发表了现在世界上普遍认为是最早的正式发表的微积分文献。 文 章陈述了他在 1677 年已了解到函数和、差、商、积、乘幂与方根的微分公式。它已含 有现代的微分符号和基本微分法则 。1686 年，莱布尼茨又发表了第一篇积分学的论文 深奥的几何与不可分量及无限的分析 。论文中简单的论述了求积问题与切线问题互 为可逆的运算也就是积分与微分之间的可逆关系。 莱布尼茨同时也是历史上最伟大的符号学者之一，他懂得简单易懂的符号对于一门 学科的重要性。所以他所创设的微积分符号要远强于牛顿的，这也对微积分的发展有深 刻的影响。如今我们使用的微积分通用符号就是当年他用心创建的。 微积分学的诞生，标志着通往数学殿堂的高速公路正式开通。当人们享受着这条高 速路给各个学科带来的便利与通畅时，关于无穷小量的研究，对于无穷小是否为 0 的问 题，引起了数学上的一次争论。这就是第二次数学危机。 我们知道，微分是无限分割的过程，积分是累积求和的过程。从微积分的发展史我 们看出，在微积分的发展过程中，微分与积分是不可分割的。今天，我们站在数学分析 的高度上回看历史，无论是微分还是积分都是利用极限才得以实现的。而我们今天享用 的成果是历史上无数数学家以及学者们经过几百年探究才得来的。从他们研究微积分的 过程发现，他们遇到的问题与最初我们在学习微积分时遇到的困难是一样的。极限的定 义是抽象的，而要理解建立在抽象的定义上的微积分就更加困难。因此在中学数学中渗 透极限思想就显得极为重要。极限思想在中学数学中的作用不仅是作为大学数学的铺 垫，它也能在数学解题中提供一种做题的思想方法，培养学生的学习兴趣、逻辑思维、 以及灵活的处理题的方式。 而了解数学史作为数学文化的一部分也是必不可少的。 因此， 为了更好的学习极限思想，了解极限思想与微积分之间的关系也是必要的。 2.3“极限的表示”的历史发展 现在我们的数学学习中经常用很多数学符号来表示，没有数学符号的数学学习必定 是纷繁复杂的，要知道恰当的使用符号可以使问题更加简洁明了，因此数学符号在数学 学习中有着不可替代的作用。为了了解极限，我们也必要积累有关极限的一切知识， 包 括萌芽、发展、以及完善。其中，数学符号的发展是学习中不可或缺的。因此，我们有 一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计 算 万方数据 海南师范大学硕士学位论文 10 必要了解极限符号的由来。我们现在所学习的极限，都是用描述性语言定义的。其中我 们最熟知的就是“和“N”语言，在这描述性的定义中最基本的符号就是lim 和，下面我们就了解一下极限符号是如何在历史中沉淀出来的。 6 1784 年，柏林科学院分部设立了一个奖项，寻求关于无穷问题的最佳解答，希望有 一个确切清晰的描述.两年以后，即 1786 年，科学院收到 23 篇应征论文，并没有得到 满意的答复。但是其中瑞士数学家惠利尔的论文，虽然没有新的建树，但他在论文中使 用符号lim来表示极限，这种符号表示对于建立极限理论是重要的，这个符号沿用至今， 并用表示无穷大，虽然还不能很好的解释极限。但是终于能够表示极限了。 关于极限的表示的具体历史读者可以翻阅资料，会看到柏林科学院的设立奖项的通 知文，可以从联系当时的背景，体会当时学者们探求真理的渴望，并从中领会任何一个 定理定义的建立，都是经过大量的试验，以及无数学者们的潜心研究最终得来的。 2.4 严谨的极限理论抽象过程 经过一段时间的历史发展，数学家们认识到，微积分只是一种计算方法，而要把理 论基础研究清楚，必须建立一个从头到尾相对成系统的学科，于是他们给这个学科起了 一个非常了不起的名字：数学分析。数学分析主要研究的对象是函数，研究的基础是极 限，本节将从数学分析研究的对象函数出发，从历史发展中看变量与常量之间的关 系，然后，探究极限是如何在此基础上由有限走向无限、由离散走向连续的。 7 2.4.1 数学分析研究的对象是函数 函数概念的建立使得数学由常量走向变量，由有限走向无限，由离散走向连续， 而无限和连续是非常抽象的概念，是从古至今争论不休的概念。因此，要把数学建立在 这样的概念之上，只有通过符号化即形式化，否则是说不清楚的，这些都与极限有关。 1748 年，欧拉在他的无穷小分析引论中明确说明： “数学分析是关于函数的科 学” 。我们知道，函数的本质有三点：变量的取值数、因变量取值唯一、借助数值以外 的符号表达。对于这三点的认识，人们是逐渐清晰起来的，欧拉重新定义了函数：变量 的一个函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的。 在他 1755 年出版的微分学中，给出了更为明晰的定义：如果某变量以如下的 方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量 万方数据 第二章 极限理论的建立 11 是后面变量的函数。 我们现行的中学数学教科书采用了这种定义。 柯西则在 1821 年出版的分析教程中进一步定义了变量“依次取许多互不相同 的数值的量叫做变量。 ”并且定义了自变量和因变量。1851 年，德国数学家黎曼给出了 函数对应定义：假定Z是一个变量，如果对它的每一个数值，都有未知量W的一个数 值与之对应，则称W是Z的函数。我们现行的高中数学教科书就采用了这样的定义， 可以看到，柯西的对应的定义比欧拉的变量的定义更加抽象。 8 到了 20 世纪，1939 年法国的布尔巴基学派给出了更为抽象的定义，这个定义是建 立在关系的基础上的： 如果定义在XY上的关系F满足：对于每一个Xx，都存在唯一的Yy，使得 Fyx),(，则称F为函数。 美国的一些中学教材就采用了这种定义，这是相当抽象的概念。 对于研究者，对事物进行抽象有利于把握事物的本质，有利于分析事物间的关联； 但是过分的抽象舍去了事物的一部分表象，舍去了事物的生动与直观，不利于学习者的 理解，会适得其反。 这是知识的科学形态和教学形态的主要区别。 综上我们看到了自变量与因变量之间变化的关系，这也是我们现在教材中所涉及的 函数的概念。这对高中生来说应该是不难理解的。 2.4.2 数学分析研究的基础是极限 极限是沟通有限和无限之间的桥梁，达兰贝尔曾在“极限”条目中明确指出：当一 个量以小于任何给定的量逼近另一个量时，可以说后者是前者的极限。 1821 年，柯西在他的分析教程中则给出我们今天仍然在使用的定义： 一个变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，使得所取的值与该定值要多小就 多小。那么，就称这个定值为所有其他定值的极限。之后，柯西以及魏尔斯特拉斯用数 学符号清晰地表达了上面的意思。 9 这就是第二步的抽象，完全摆脱对于物理直观或几何直观的依赖，而是通过定义和 符号的表达。 万方数据 海南师范大学硕士学位论文 12 万方数据 第三章 从高中数学史选讲专题看极限思想 13 第三章 从高中数学史选讲专题看极限思想第三章 从高中数学史选讲专题看极限思想 3.1 极限思想学习的契机数学史进入高中教材 新课标中学数学课程与传统的数学课程相比出现了诸多发展和变化，在众多的发展 变化中有一个变化是非常明显的，那就是在新课程中都十分注意数学史内容的渗透， 可 见数学史具有一定的教育功能。 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和 有效工具。与其他学科的知识相比，数学是一门历史性或者说积累性很强的学科。重大 的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的 理论，而且总是包容原来的理论。 10 数学科学作为一种文化，不仅是整个人类文化的重要组成部分，而且始终是推进人 类文明的重要力量，而作为教授数学的教师和学习数学的学生来说，数学史更是必读的 篇章。在中学的课程中设置数学史的课程主要是因为数学史有如下的教育功能。 1开阔学生视野，激发学习兴趣，数学史选讲是一个受学生欢迎的专题，可以开 拓学生的视野，提高学生对数学作用的认识。对于将来在各行各业工作的学生来说， 都 会起到积极的作用。一旦提高了学生学习数学的兴趣，增强了学习数学的动力，了解了 学习数学的作用，那么他的潜在能量是不可估量的。 2感受前人严谨态度，增强自我探索精神,在学习数学史的过程中，了解前人研究 的艰难过程，可以使学生了解前人研究的艰辛，从而学习前人，增强自我探索的精神。 3鉴过去而知未来，感悟数学与社会。数学不仅是一门科学还是一种工具，人们 最早就是将数学运用到人们的生产生活中，了解数学的发展史，使学生从发展过程中体 会数学与人们日常生产生活劳动之前的关系，从而了解数学的用途。 分析：数学史选讲进入高中数学教材为极限思想的讲解提供了有利的契机，在数学 史选讲中有刘徽与圆周率明 确提到了极限思想，由此可以看出，正是数学史的进入， 使极限思想的教学更为名正言顺。 11 3.2 极限思想的体现新课标对数学史的要求 新课标的高中数学课程较传统的数学课程在设置上发生了巨大的变化。新课程分必 万方数据 海南师范大学硕士学位论文 14 修和选修，对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣、爱好以及对未来发展的愿望自由 选择。选修课程由 4 个系列组成，其中系列 3 中有若干个专题，而“数学史选”讲就是 专题之一。 12 新课程标准说道：选修 3 系列是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生 而设置的，所涉及的内容都是数学的基础性内容，反映了某些重要的数学思想。有些专 题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法。 这 些专题的学习有利于学生的终身发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对 数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识，有助于学生进一步打好数学基础，提高 应用意识。本专题由若干个选题组成，内容应反映数学发展的不同时代的特点，要讲史 实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法。分析：根据新课标对数学史专题的讲授 要求，我们可以看出，在数学史讲授中渗透其所涉及的数学思想是非常重要的，它不仅 给学生的数学学习提供了新的思路和方法， 也能拓展学生的思维宽度， 培养其探索净胜。 3.3 高中数学史专题系列中涉及的极限思想 在选修 3-1 数学史选讲专题中，设置了中国古代数学家和及微积分的诞生章节， 其 中，中国古代数学家这一节介绍了刘徽与圆周率，祖冲之和祖暅父子，更明确提到了极 限思想。在微积分的诞生这一章中，它在微积分的产生背景这一模块提到了瞬时速度问 题，切线问题，函数的最值问题，面积、体积、曲线长、重心和引力的计算问题。这些 都是我们在数学学习中不可回避的问题. 13而我们知道，微积分就是建立在极限概念的 基础上的。因此，在高中数学中学习并渗透极限思想是尤为重要的。在高中数学的学习 中，相关极限思想的教学不仅可以在数学史选讲中进行渗透，也可在涉及极限思想的其 他知识中渗透，如在导数的几何意义的教学中，可以根据以下作为本节课的教学的指导 思想以及理论依据，具体如下： 微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了 2500 多年震撼人心的智力奋斗 的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期.它为研究变量与函数提供了重要的方法和 手段。导数的概念是微积分核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。 14 本节教材选自人教 A 版数学选修 2-2 第 1 章“导数及其应用”第一节 1.1.3“导数 的几何意义” ，是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内容，通过这部分内容的学 习，可以帮助学生更好的理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值 万方数据 第三章 从高中数学史选讲专题看极限思想 15 等性质最有效的工具，是本章的关键内容。 新课程标准要求，微积分教学“返璞归 真” ，把极限、连续、瞬时速度等概念，建立在朴素理解的基础上，直接由变化率问题 得到导数的概念，进而研究导数的几何意义（图形上的直观体现）及导数在研究函数性 质中的应用。 本节内容按照先突破一般曲线的切线定义（割线无限逼近的确定位置上的直线就是 该点处的切线） ；再结合旧知识“平均变化率表示割线的斜率” ，学生对照动画探究“割 线逼近切线割线的斜率逼近切线的斜率切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导 数”的线索展开，从近似过渡到精确，通过图形直观逼近的方法消除学生对极限的神秘 感，通过将曲线一点处的局部“放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现了“局 部以直代曲”背后的深刻内涵和哲学原理。 15 分析：在本节课的教学中，提到了无限逼近的思想方法，而无限逼近正是极限思想 方法中的重要的思想方法，因此，在本节课的授课中，可现在历史部分微积分的讲述中 提及极限思想，再在最后讲解意义时，明确极限思想的精髓，从而使学生理解掌握极限 思想。 万方数据 海南师范大学硕士学位论文 16 万方数据 第四章 极限的定义及极限思想 17 第四章 极限的定义及极限思想 4.1 极限定义 （1）数列的极限定义： 一般地， 如果当n无限增大时， 无穷数列 n a的项 n a 也无限地趋近与某个常数a（即 aan无限地接近于 0） ，那么就说数列 n a以a为极限，或者说a是数列 n a的极限。 记作： aan n = lim （2）函数极限的定义： 当x时，函数( )xf的极限： 一般地，当自变量x趋向于正无穷大时，函数( )xf无限趋近于一个常数a，就说当 x趋向于正无穷大时，函数( )xf的极限是a， 记作： ( )axf x = + lim 也可记作： 当+x时，( )axf. 当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数( )xf无限趋近于一个常数a， 就说当x趋向于负无穷大时，函数( )xf的极限是a。 记作： ( )axf x = lim 也可记作： 当x时，( )axf. 万方数据 海南师范大学硕士学位论文 18 如果( )axf x = + lim和( )axf x = lim，那么就说当 x 趋向于无穷大时，函数( )xf的极限 是a,记作： ( )axf x = lim 也可记作： 当x时，( )axf （2）当 0 xx时，函数( )xf的极限： 一般地，当自变量 x 无限趋近于 0 x时，函数( )xf的极限是a, 记作： ( )axf xx = 0 lim ( )xf xx 0 lim 也叫做函数( )xf在点 0 xx=处的极限。 综上我们可以看出，现行高中教材中的极限概念是一种基于直观的描述性定义， 超 越了形式化的概念，这是考虑到高中生对形式化极限概念存在认知困难的问题。 4.2 极限思想 人们很早就懂得利用极限思想了。 在古希腊时代欧多克斯的 “穷竭法” 和芝诺的 “二 分法”都蕴含了极限的思想。欧多克斯将穷竭法建立在无限分割潜在可能性的基础上。 这正是极限思想的重要组成部分。 16 在古代中国，春秋时期的老庄哲学中就提出了无限可分性和极限思想。 “一尺之棰， 日取其半，万世不竭。 ” 到公元 3 世纪，魏晋时期的刘徽首创的割圆术求圆面积和方锥