（应用数学专业论文）关于古田不等式的若干问题的探讨.pdf

一! 东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人在导师的 指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已明确注明和引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，我对 所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：菏 日期：硼【年j 2 月匹日 东华大学学位论文版权使用授权书 2 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定。同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权东华大学可 以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密回。 学位论文作者签名：7 旁了砰 日期：1 0 心年，2 月哆日 臌：荔哗匕 日期：删2 月膨日 关于古田不等式的若干问题的探讨 摘要 本文主要讨论了关于古田不等式的推广和应用。古田不等式是以 1 9 3 4 年l j w n e r 提出的著名算子不等式为基本理论，由日本数学家古 田在1 9 8 7 年发表的已引起广泛关注的算子不等式。 本文的第一部分主要介绍古田不等式以及一些相关结论。一方 面，为了更好地了解古田不等式，我们列举了两个例子，并且按照这 两个例子的证明方法导出了一个古田不等式的一个附属结论。另一方 面，我们对古田不等式的残余问题进行了初步探讨。 本文的第二部分主要讨论算子函数。首先我们刻画了一个负指数 古田类型的算子函数，并且利用讨论古田不等式几何结构的思路来证 明它在不同范围内的单调性。接着，又尝试考虑大古田不等式的负指 数情况，得到了一系列的相关结论。其次，我们利用已有的想法构造 并且证明了一个分式形式的算子单调函数，并且指出了在混沌序下的 不同结论。 本文的第三部分主要讨论古田不等式应用于广义谱几何平均的 一些结果。近些年来，关于l o w n e r - h e i n z 不等式的研究促使对h i l b e a 空间上正算子间的算术平均的研究发展到了对正算子间几何平均的 研究。1 9 9 7 年f i e l d e r 和p t a k 构造和研究了正定矩阵间的谱几何平均 f ( a ，b ) ，并给出了相关性质。延用他们的思想，我们介绍的正算子间 的广义谱几何平均如( 彳，研进一步拓展了f i e l d e r 和p t a k 的理论，通 过古田不等式得到了一系列比谱几何平均f ( a ，两更为一般的结果。 关键词：希尔伯特空间，正算子，古田不等式，算子单调函数， 谱几何平均，广义谱几何平均 d i s c u s s l 0 n0 fs o m ep r o b l e mv i at h ef u r u t a i n e q u a l i t y a b s t r a c t 5 i nt h i st h e s i sw es t u d yg e n e r a l i z a t i o na n da p p l i c a t i o no ft h ef u r u t a i n e q u a l i t y i n1 9 8 7 ，f u r u t ae s t a b l i s h e da no p e r a t o ri n e q u a l i t yw h i c hi s b e a u t i f u la n dh i s t o r i c a le x t e n s i o no f t h ef a m o u sl o w n e r - h e i n zi n e q u a l i t y i nt h ef i r s t p a r to ft h et h e s i s ，w em a i n l y i n t r o d u c et h ef u r u t a i n e q u a l i t ya n ds o m ec o n c l u s i o na b o u ti t i no r d e rt oh a v eag o o dg r i po f t h ef u r u t ai n e q u a l i t y , w ec o n s i d e rt w oe x a m p l e sa n dd e d v eas a t e l l i t eo f t h ef u r u t ai n e q u a l i t yb yu s i n gt h em e t h o do f p r o v i n ga b o v ee x a m p l e s o n t h eo t h e rh a n d ，w es i m p l yd i s c u s st h er e m a i n d e rp r o b l e mo ft h ef u r u t a i n e q u a l i t y i nt h es e c o n dp a r to ft h et h e s i s w es t u d ys o m eo p e r a t o rf u n c t i o n f i r s t l y , w ed i s c u s sa no p e r a t o rf u n c t i o nv i at h ef u r u t at y p ei n e q u a l i t y w i t hn e g a t i v ei n d e x a n db yu s i n gt h et h o u g h to ft h eg e o m e t r i c a l s t r u c t u r ei nt h ef u r u t ai n e q u a l i t y , w ep o i n to u ti t sm o n o t o n i c i t yi n d i f f e r e n td o m a i n i na d d i t i o n ，w et r yo u rb e s tt oc o n s i d e rt h eg r a n d f u r u t ai n e q u a l i t yw i t hn e g a t i v ei n d e x ，a n do b t a i nas e r i e so fc o n c l u s i o n s s e c o n d l y , w eg i v e a n dp r o v eat y p i c a lo p e r a t o rm o n o t o n ef u n c t i o n t h r o u g ho t h e r si d e a m o r e o v e rw es t a t et h es i t u a t i o ni nc h a o t i co r d e r 6 i nt h el a s t p a r t w em a i n l yg i v e 锄a p p l i c a t i o nv i at h ef u r u t a i n e q u a l i t yt ot h eg e n e r a l i z e ds p e c t r a lg e o m e t r i cm e a n t h el o w n e r - h e i n z i n e q u a l i t yi n d u c e st h eg e o m e t r i cm e a no ft w op o s i t i v eo p e r a t o r si n h i l b e r ts p a c e i n1 9 9 7 ，f i e l d e ra n dp t a ki n t r o d u c e ds p e c t r a lg e o m e t r i c m e a nf ( a ，动o f p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x e s ，a n dd i s c u s si t sp r o p e r t i e s i n t h i sn o t ew ew i l li n t r o d u c e t h eg e n e r a l i z e ds p e c t r a lg e o m e t r i cm e a n 点0 ( 么，b ) a n dt oe x t e n dt h e i rt h e o r e m s 。i na d d i t i o n ，w e s h o ws o m e c o m p a r i s o nt h e o r e m so n 易( _ ，b ) b yv i r t u eo f t h ef u r u t ai n e q u a l i t y l ul i h u a ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) s u p e r v i s e db yj i a n gj i a n f e i k e yw o r d s ：h i l b e r ts p a c e ，p o s i t i v eo p e r a t o r , s p e c t r a lg e o m e t r i c m e a n ，g e n e r a l i z e ds p e c t r a lg e o m e t r i cm e a n ，f u r u t ai n e q u a l i t y 第一章f u r u t a 不等式 8 1 1 引言 由v v l o t e r m 创立的以定义在无限维空间上的函数作为研究对象的算子理 论产生于二十世纪初，由于其在数学和其它学科中的广泛应用，在二十世纪的前 三十年就得到了很大的发展，并很快成为了一门独立的学科，二十世纪六十年代 以后，不仅算子理论本身有了深入的发展，而且算子理论还深入到了矩阵论、微 分方程、最优化理论、统计学等众多数学分支，更值得注意的是它还在量子力学、 物理学等许多领域都获得了广泛的应用。不等式是数学中的古老问题之一，今天 它在数学所有的领域中都起着举足轻重的作用，并且提供了一个非常活跃而又有 吸引力的研究领域。 一般来说，算子不等式的重要性来自于算子相互之间的不可交换性。1 9 3 4 年l 6 啪e r 【l 】提出了以后称之为l 6 w n e r - h e i n z 不等式的著名不等式，从1 9 5 1 年起， e h e i l l z 网证明了一系列非常有用的模不等式，其中之一就是在算子理论中起到很 大作用的基本不等式- h e i l l z 不等式。之后不少的研究者在这方面做了许多努力： 1 9 8 0 年，在同一杂志上，e h a n s e n 发表了论文“a no p e r a t o ri n e q u a l i t y ” 3 1 ；e k u b o 和t a n d o 得出了名为“m e a n s o f p o s i t i v e l i n e a r o p e r a t o r s ”【4 1 的论文，给出了算 子平均的定义；1 9 8 5 年n n c h a n 和k a mk w o n g 发表了“h e r m i t i a nm a t r i x i n e q u a l i t i e s a n d a c o n j e c t u r e ” 5 1 的论文等等。在此基础上，日本数学家古匪t t 6 1 在 1 9 8 7 年之际发表的著名论文将“古田不等式”公诸于世，随之算子不等式理论 的又一新的分支一古田不等式成为算子不等式领域研究的一个新的热点。 随着时间的推移，当人们不再满足于仅仅研究古田不等式的推论式的推广 时，如g e n e r a l i z e df u r u t ai n e q u a l i t y ，t h eg r a n df u r u t ai n e q u a l i t y 等等，于是就相 继出现了一些新的研究方向。 一方面，许多学者从结论着手将古田不等式中的指数进行变化。1 9 9 4 年，棚 桥发表的论文“b e s tp o s s i b i l i t yo ft h ef u r u t ai n e q u a l i t y ”1 7 在研究古田不等式成 立时指数满足的充要条件中构造出了一个经典的反例，也开创了一个对这类问题 9 研究的新的想法。在此基础上，古田带领了藤井、龟井【8 】等学者对指数的限制范 围做了一系列工作，将处于第一象限的古田不等式发展到整个平面，并且对其条 件范围作了相应的“b e s tp o s s i b i l i t y ”的证明。这期间也遇到了至今仍未解决的 问题古田不等式的残余问题。与此同时，通过归纳猜测法、类比法等数学方 法将古田不等式看作是以指数为参数的算子函数，随之就产生了一系列可供研究 的问题：如算子函数的单调性条件、应用等等。 另一方面，从条件着手将古田不等式进行推广和发展。将原有的条件转变为 更弱的条件，如从普通序变化为c h a o t i c 序，有些结论就必须相应的有所改变。 但是这个方向发展的步伐却很缓慢。直至1 9 9 8 年由姜健飞老师与藤井、龟井等 联合发表的“ac h a r a c t e r i z a t i o no f c h a o t i co r d e ra n dap r o b l e m ”i s 论文使c h a o t i c 序下的在古田不等式得到了迅速发展和丰富。在此之后，各种不同的序又相继被 提出，如由a 5 b 4 定义的序、s p e c t r a l 序等等。 对于一些对算子不等式抱有浓厚兴趣的学者，他们同时也很注重于研究结果 的应用。根据一些论文和结果，古田对此做了很完整的概括：古田不等式的应用 大致可以分为三大分支( 1 ) 算子不等式( 2 ) 模不等式( 3 ) 算子方程。 1 2 古田不等式的介绍 h i l b e n 空间何上有界线性算子4 称为正的，是指：对于任何x h 都有 ( a x , x 1 0 ，记为a 0 ；当彳是可逆的正算子时记为a 0 。在1 9 8 7 年，吉田在 “p r o c e e d i n go ft h ea m e r i c am a t h e m a t i c a ls o c i e t y ”上发表的著名的论文 “a b 0a s s i l r e $ ( b a b 7 ) v 4 b ( p + 2 r ) q f o r r o ，p - 0 ，g 1 w i t h ( 1 + 2 r ) q p + 2 r ”嘲中首先提出了以后称之为“古田不等式”的算子不等式， 它是l 6 w n e r - h e i n z 不等式的一个十分漂亮的延拓。 l 6 w n e r - h e i n z 不等式“1 ：如果a b 0 ，则当0 口1 时，a 4 。 这个不等式实际上指出了t 寸t 。( 0 口1 ) 为典型的【o ，+ ) 上的算予单调函 数( 注意一般当口 1 时并不能保证a 4 b 4 ) 。 f u r u t a 不等式：若a b 0 ，则下列不等式成立： ( 曰4 b 7 ) l 9 ( 曰7 8 9 8 7 ) 和( 彳7 a p a 7 ) 帕2 ( 4 7 b p a 7 ) 柏 其中所有的p 、，0 ， 且g 1 满足：( 1 + 2 r ) q p + 2 r 。 如右图，其阴影部分为古田不等式的指数 范围。 1 0 图1 - 1 【羽 根据k u b o - a n d o 关于算子平均的理论，通过算子单调函数t t 4 在 o ，+ ) 上 的单调性，引入了口一幂平均“撑。( o 盯1 ) ”这个符号，即： 一以曰= 4 ( 4 一 b a 一 ) 4 4 ，喜乓中口【0 ，l 】，4 ，b 0 。 为了方便起见，我们将符号# 。( 0 口1 ) 进行拓展，定义如下： 爿争j b = a ( a - b a 一1 2 ) 。4 ，其中s e r ，爿，b o 。 由此，我们首先给出一些关于“口幂平均”有用的引理： 引理1 2 1 州( 古田) 如果爿，b o ，那么对，r ，有： ( a b 2 爿) 7 = a b ( b a 2 功川丑d 。 备注：实际上，利用幂平均的定义上述结论即为：a - 2 争，b 2 = b 2 ( 占 2 争，一1 a 2 ) ， 因此当我们令c = a 2 0 ，d = b 2 0 时，可以得到：c _ 1 争，d = d ( d 。寺，一l c ) d ， 继而令a = c 。1 0 ，b = d 0 ，那么引理1 2 1 的结论就等同于： 彳专，8 = b ( b 。1 争，一1a 。) 占。 引理1 2 2 9 1 对一，b o ，口，r ，下列等式成立： ( 1 ) a 争口b = b 争i 一口a ； ( 2 ) 彳争够曰= 4 争口( 4 寺卢研； ( 3 ) 4 争口b = a ( a 一1 寺口曰一1 ) 爿。 引理1 2 3 f 9 】若a c o ，b d 0 ，0 口s 1 ，那么 4 以b c 群。d 。 引理1 2 4 若a c 0 ，b 0 ，1 口2 ，那么 a 争a b s c 寺口b 。 证明：根据引理1 2 1 和引理1 2 3 ，可得 彳宁口雪= b ( b - 1 奔0 l a - 1 ) 君暑( 丑- 1 先- l c - 1 ) 君= c 争口b 。 引理1 2 5 若a 0 ，b c 0 ，一l 口0 ，那么 a 争口b s a 寺口c 。 证明：根据引理1 2 2 式( 3 ) 和引理1 2 1 ，可得 a t t a b = a ( a 一1 以。b 一1 ) 么s a ( a 一1 垃。c 一) 彳= a + a c 。 为了更好地了解f u r u t a 不等式并得到相关结果，我们来看几个特殊的例子。 例子1 2 6 如果a 口0 ，那么从而( 矿亩) 妒a b b 2 。 备注：这里第一个不等式即为古田不等式中取p = 3 ，= 0 5 ，q = 2 时的情况 ( 显然指数p 、q 、r 满足p 、r 0 ，g 1 及( 1 + 2 r ) q p + 2 r ) 。 证明：不失一般性，我们可以假设彳和b 都是可逆的； 那么，( 丑 4 3 口 ) 萨爿b c a b - ( b i a 3 b ) b - 上a 利用镌的定义及其单调性，可知 口_ ( 萨4 3 丑i ，) i ：占- 1 ：= b 一1 群a 3 彳一1 以爿3 = a - ( a a 3 爿z t ) i ：4 - 1 ：= 一曰。 例子1 2 7 如果a b 0 ，那么( b a 3 曰) 2 b a b b 3 。 证明：这个证明与1 2 6 类似，同样地假设a 和口是可逆的， 利用例子1 2 6 的结论，可以得到：( 矿4 3 矿) b 0 4 萨b 2 ，又由l - h 不等式， 可知：( 峦) 口，n 0 a ( b l 4 3 矿) - b 一( ) ，所以 曰1 ( b a r b ， b 一= 口 占 c b i a 3 b i ，b l 口t ) b - = b - ( b 一释，b a 3 ) 丑 口_ ( ( 萨b _ ) - i 群：b a 3 威) b _ 利用不等式( ) = b 一 ( 应彳3 妒) b b t b i a b i b 一 = 4 县 从而，( 丑曰) j b a b b 3 。 上述例子提示我们可能得到比古田不等式更强的结果，以下就按照所讨论的 两个例子的证明方法，导出古田不等式一个附属结论。 引理1 2 8 若a b 0 ，则对于任何整数n 0 ，以及p 1 ，有： 1 2 ( 口 一，b ) 嚣萨4 曰5 b “+ 。 证明：( 归纳法) 一般地，我们假设彳和b 是可逆的，则 当撑= 0 时，( 占2 0 9 4 = a b ，显然不等式成立； 假设 ：七上述不等式成立，即( 萨萨) 嚣萨爿萨矿“ n 爿a j k + l l ，则( 萨曰t ：) _ - “l ，- s 口一，从而当玎= k + l 时， 口譬( 彳p 口譬) 端口一掣 = p ( 萨萨矿 赫) 矿 = b - ( b 一1 拌撬萨4 9 萨) b _ 壹( ( 萨爿，b ) 南群。出【萨_ 9 b ) ) b t ：矗 ( 萨爿，萨) 舒曰t b 一 曰 爿b b 咕= a 2 b 所以知：( b 孚4 占孚) 错器占1 爿曰譬口+ 1 “； 由、可以得到；对任意自然数行，( 萨4 ，萨) 嚣萨爿萨+ 1 成立。 定理1 2 9 如果4 曰0 ，则对实数s 0 ，也有( 矿) 嚣2 b i a b 5 b “成立。 证明：不失一般性，我们假设4 和b 是可逆的 首先，让我们细分s 的范围，设0 玎s n + l ， 由于( 萨萨) 嚣2 口2 彳萨2 1 以及一1 - b ”1 。 1 3 1 3 古田不等式的残余问题 近年来在关于古田不等式中的指数p 、补，的可取范围的研究中，日本学 者古田等都做了一系列出色的工作。最初棚桥在“b e s tp o s s i b i l i t yo ft h ef u r u t a i n e q u a l i t y ”【7 】一文中证明了：存在两个满足要求的算子，当实数p 、g 、，满足 g 1 或( 1 + 2 r ) p + 2 r 时，古田不等式不能成立。但是当a 、b 可逆时，可以进 一步讨论取负值的p 、g 、，的同样问题。吉野曾经指出当p 、霉、，为负值时 古田不等式仍可能成立，在此之后，藤井和龟井揭示了在更一般条件下古田不等 式仍可能成立，而棚桥【1 川在其发表的“t h ef u r u t ai n e q u a l i t yf o rn e g a t i v ep o w e r s ” 的论文中给予了一个很完全的概括和清晰的图示，此结果可以表述为：当复 h i l b e r t 空间上的有界线性算予爿、曰满足0 b a 以及0 p ，0 g ， - - o o r 佃时( 当r 0 时，要求爿、丑均可逆) ，若p 、q 、，按以下阴影部分 取值，则( b 7 a p b 7 ) v q ( b 9 b ) 珈，口7 9 ) 帕( b 9 a 7 ) 枷均成立，而且除去 1 一 ， 0 的部分，其他情形恰为“b e s t p o s s i b l e ”，即此时若p 、g 、，不满足以 斗 下阴影部分取值，则上述不等式都不成立。 、 窖 ， 歹一。 2 r - - 0 ； 图l - i1 1 0 】当，= 0 时 图1 - 2 1 1 0 1 当0 ，时 g = g i i i i 爿 2 ， 翳 乏，1j 图1 - 3 当一 ， o 时 窖 g = g = 图1 - 4 州当，= 一 时 图1 - 5 删当一 r 一 时 q 1 q 5孓二= = i 、 r 成 ：、 l 、 0 5 - 2 r = 1j 图1 - 6 1 ”当，= 一吉时 p + 2 r 1 + 2 ， q |、 1 1 2 r 图1 - 7 1 川当， 一 时 1 4 在该论文结束之际，棚桥指出： 当一i 1 圳，p 丢，等 g o ，那当o r p 1 ，p 2 士时，有下列不等式成立： 争h b a h 根据棚桥的研究结果，我们可以说明定理a 在p 吉的情况下不能成立。 例子1 3 1 对任意的r ，p ，占，满足：0 t p o ，满足：a 曰，并且使得：b 5 壬a t 。矿。 p t 证明：假设任何一 o ，b 0 ，a b ，有：争n b 5 纠 = 曰，( 占一9 寺鲁_ 1 a 一) 曰9 曰5 令4 = 口一，8 = 4 一，那么4 尽 o 4 9 争各马s 4 一5 2 = ，( 4 骂4 ) 警4 9 5 令= 一号，a = f ， = ( 4 1 最n 4 1 ) 百露4 一2 “ m z 令q 。= 一豫 ；( 4 一岛n 4 1 ) 4 乎 但是由于= 一丁p t ( 一彳，0 ) ，a = ，( o ，上) ，- 4 r o ，b 0 ，满足： a 占，并且使得，b 5 壬a 。b 一 例- 取4 = 口 曰- ( 府岛 其中要求：0 0 ， 0 ，占( 1 6 ) y ( a 一1 + ) 那么，由曰一彳一：f ，生五i 而 得 l 占( 口一b y ) 占+ ， j d e t ( t - ( b 一1 - a 一1 ) ) = f 2 - ( a 一1 + 占+ ，) f + 缈一s 一，+ 幻+ 对于此一元二次函数，考虑其根的判别式： = ( a - l + e + y ) 2 4 ( a y 一占一，+ 西+ 矽) = ( 一a + l s + ，) 2 + 4 e ( 1 一b ) 2 0 所以，b 。a ，因此根据计算结论，可得：如果争。矿s ， 那么当s 斗+ o 时，有 譬( 1 _ a - i ) ( 1 一b ) 2 ( 1 _ a a - p b 脚) ( 1 4 警6 一掣) d d aa 一9 1 - 等b r - 5 + p - 1 ( 1 - a p b 即) ( 1 一日等2 ) 。 ，( 1 6 ) ( 1 一口。6 ) ( 1 - a p b 。9 ) 一b ( 1 - b ) ( 1 一a - i ) ( 1 - a p b 一9 ) 将不等式两边同乘4 州呼，得到： 罢( 1 _ a - i ) ( 1 一b ，) 2 0 ，。一6 脚) ( 口警一6 警) o 一口 扩5 芈口一9 帮一( 口一一一b - p ) ( 1 4 掣) 口9 t ( 1 6 ) ( 1 一口。6 ) ( 口一9 - b 。9 ) - a 9 b ( 1 - b ) ( 1 - a 1 ) ( 口一一b - r ) ；口z r 5 b 2 ，。一t ( a - p - b ，9 x 1 4 。# ) 柙一6 ) ( 1 一口。( 口一一b ) 一b o - b ) ( 1 - a 一1 ) ( 口一6 ，) 由于o f p 专，2 p 0 ，当我们令口号啪，那么可以发现： o 0 ，b 为可逆的，则对 任何一个s 0 ，集合 b 。拌。a 9 ；p 1 ，一s q p 的形状如银杏叶。 ，+ 5 其大致思路如下：把正算子a ，b 看作是正数口，b ，假设0 b q - 2 p 是递减的。 近来，龟井对关于负指数古田类型不等式进行了讨论，给出了以下一个结论 ( 参考文献 1 4 ) ： 定理b 若a b 0 ，0 t l p ，那么： ( 1 ) 群。矿对于p l 是递增的； ( 2 ) 如果a 9 b p ，则群。矿对于0 t l 是递增的。 因此利用古田不等式的几何结构的思想，我们可以对关于负指数古田类型不 等式的算子函数单调性作一定的探讨。 定理2 1 1 若算子一，曰 0 满足：a 9 b ，p 0 ，q r ，定义函数： g ；。( d = 4 寺。b 9 ， 那么当g p 时，x c 于t e 0 ，卅是单调递增的；当q p 时，对于f 【o ，2 p - q 是递 减的。 证明：由定理b 的证明，类似地可以得到： g ，口( ，一0 = 么卜争i 韭吐占= b p 争且一卜。= b 9 争盥( b 9 群! 了爿卜。)1 f i t - c )h t - w ) 一 h l 呻 = ( 4 。群士b 9 ) 争口9 ， ，1pp-f| f a “。# 一b 9 a 群一a = a ， - q 是单调递增的；当f g 时，对于p 2 t - q 是递减的。 证明：g f ，g ( p + 艿) = a t 争：! r 口p + 占= a 寺。= ( 爿群。土丑，+ 5 ) 棚_hp d a f ，a b 0 。( 1 ) 当o 0 ，0 g j ，那么h ( p ，f ) = a 。群b 9 对于o f g 和 q p 万是递增的函数。 备注：在“e x t e n d e dc o m p l e m e n t a r yd o m a i no f t h ef u r u t ai n e q u a l i t y ”一文中，k a m e i 给出了一个错误的推论：若a b 0 ，对于固定的0 p o 的递增。 此证明错误之处在于：根据定理b 的结论，当4 = a “b “= 马，0 f l 时， 4 拌。掣为t 的递增函数要求满足4 = a m2 占“= 骂9 ，由于a b 0 ，所以 我们需要：p p o 【o ，1 】，因此p 1 = p p o l ，即见【p 0 ，l 】。 为了更好地说明问题，我们给出了下面的反例； 例子2 1 4 取p = 2 ，p o = t i = 丢，t 2 = ， 械1 嚣1 5 ) 4 = ( 2 1 4 6 2 妻5 51 4 7 6 斟5 丑= n 0 ：) ，肚5j2 【j 川5o j 得：棚= u 4 2 6 2 5 霉期的特征值为3 4 1 9 8 6 8 - 煳0 1 3 2 ，口 同时4 = ( ；三：；) 4 ，彳- 口2 彳- = ( 支； ，并且 一( a 七b 2 a q ，；= 。，5 。1 配4 9 9 2 - ；：；誉：) 的特征值为一o 1 7 5 0 - 及6 9 s 知： 壬( 爿一i b 2 a o ) ，从而群。口2 = a 妻a 5 镌b 2 。 古田曾经给出了一个古田不等式更广泛的表示形式，称之为大古田不等式。 藤并和龟并在他们联合发表的文章( 参考文献 1 5 ) 中具体证明了下述定理，其 在大古田不等式的证明中起n t 关键性的作用。 定理c 若4 b 0 ，o f 1 p o ，a ，当o f s p 时，下列两个不等式同时成 立： ( 4 争一b p ) 寺f - 0 因为o 0 ，a ，并且0 ，f p ，当，q p 时，则有不等式： ( 争世b ) ；- 0 ，满足a 9 b 9 ，并且0 ，p s 2 p 一，时， 如果，占s p ，贝q 一啦b 9 s a 7 够磐( 4 寺臣b 9 ) a b 9 a ，q，- ，h，_ 证明：由于a p 2 b p ，t ，艿p ，所以得到： 群等b 9 l o g b ，则就存在( o ，l 】，使得以下的不等式对于所有的口( 0 ，) 都成立： ，( 一4 ) 厂( 口4 ) ，这里： 厂( f ) = 訾。 由此出发，我们介绍一个算子单调函数，并且也要求其定义的正算子为希尔 伯特空间日上的严格的正算子。 定理2 2 i 若a b 0 ，满足1 隹盯( 4 ) ，a ( b ) ，那么： ( 1 ) a - l o _ g a 一- 1 b - l o _ g b 一- 1 ； l 0 9 2 al 0 9 2 b ( 2 ) 生堕：生墨鲨堡。 4 一l o g a 一1b l o g b 一1 注：这里我们定义兰；! ；二掣皇( 1 0 9 ：4 ) 一( 彳一l o g a 1 ) ，以下也是如此定义除法。 1 0 2 。a 证明：首先，我们列举一些显然的结果： a 如果t 0 ，则对于任何自然数n 以及0 七 一1 ，有。 r 1 七一，= ( r ；一，) ( j + 一+ r j + + r 1 譬) b 对于任意r 0 ，l i m n ( t j 一d = l o g t c 若a b 0 ，那么不等式a 4 b 4 对口 o ，1 】成立 ( l i j w n e r - h e i n z等式) 因而，当卜l ，o 】时，有不等式- 0 0 ，因此我们可以得到不等式( 1 h ，a n ( a ：一，) 玎( 爿；- i ) a n ( a ：- i ) 以a ：一，) u i - i ) - n ( a 斤- 02 历a - i ) ( a 百7 a 巧i 了a 五i ) - n ( 丙a；( 4 ： ( ： 卜；+ 卜；+ + ；+ ；一，) a n ( a ：一n ( 4 1 一，) + ( 爿1 七一，) + + ( 爿j 一，) 爿盯( 4 一，) ( 一一，) ( 一1 一j + + 一j + ，) + ( 4 一，) ( 4 1 + + j ) + + ( 一j 一，) ( 4 t + + 爿j - 1 + 彳- 1 ) + ( 爿 + + 4 - 1 ) + + ( 4 - 1 + 4 - 1 ) + 爿“ ：墅! 堕二! 巡生二垒 ( b - ) 一西莎- i ) 同理，将不等式两边的打- - o o ，马上得到不等式( 2 ) 。 引理2 2 2 若算子彳和曰在希尔伯特空间上是自伴的，满足a b 0 ，则一定 存在( 0 , 1 】使得下述不等式对一切口( o ，卢) 都成立： 舭少舭丑) ，其中g ( f ) = 竽”o ，r 1 ) 。 溉删= 竽= 外翕+ 扣一十t ) ：三+ 三h 三r ：+ 也刚硎忙睁甜- 卜得 g ( a a ) _ g ( = 量( 彳一阱a 4 2 1 ( 、a 2b e ) + 鲁( 确+ 一 = 口a - 动+ 趔，+ 鲁c 厶咖) 口肛一护侧一和3 一十) 口 壶s ，一瑾 去( o 爿2o + o 口2o ) + 击( 0 4 3 i i + b 3 ) + ) 长h 睁副地 定理2 2 3 如果彳和b 为希尔伯特空间上的正算子，并且满足1 萑盯( 彳) ，盯( 曰) 。 若l o g a l o g b ，那么存在( o ，1 】使得下述不等式对一切口( 0 ，) 都成立： ，( 一4 ) ，( 曰。) ，其中，( f ) = 三二：字( f 。，r 1 ) 证明：只需引理2 2 2 中的a 替换为l o g a 和b 替换为l o g b 就可以得到结论。 推论2 2 4 如果a 和b 为希尔伯特空间上0 0 , t 算子，并且满足l 仨盯( 爿) ，o - ( b ) 。 若l o g a l o g b ，那么对任何j ( o ，1 】，一定存在口= o