（应用数学专业论文）关于三类偏微分方程解的研究.pdf

关于三类偏微分方程解的研究 应用数学专业 研究生徐昌贵指导教师穆春来 偏微分方程大致可分为椭圆型、双曲型、抛物型三大类。本文对偏微分方程 中的两类方程( 组) 解性质进行了研究。本文在第二章研究了双曲方程中特殊情 形一非齐次波动方程，给出r 其c a u c h y 问题的幂级数通解此解适用于任意 维的c a u c h y 问题，在定解条件为多项式等形式时计算尤为简便，在实际应用时 不失为一种可选择的有效的方法。 本文第三章和第四章讨论r 两类抛物方程解的性质在第三章本文研究了 r “中带齐次d i r i c h l e t 边界条件的非局部退化奇异反应扩散方程：川地一 妇州m i 。v j 一如t 伊f zf ) c f l f h u 其中n = u ( o ，1 ) ， t t 0 ( t ) 是径向对称的。存 对初值一定的假设f ，得升pq l 和p q 时整体解相爆破解同时1 芋在， 弘小初值解整体存在而大初值在有限时刻爆破 在第四章我们考虑了一维退化奇异非局部抛物方程组，由于经典解的局部存 在川! 和唯一及非负解爆破的条件已被征明，本文主要对爆破解的渐近行为进 了 r f ，j _ 沦，精确地确定r 爆破解的渐近行为，从而得到了与带非局部源非退 t t ? - 线 陀方程组的结论棺统一的解的爆破估计。 关键词波动方程； ( ? 。rh v 问题；幂级数；退化奇异；非局部源；反、? 扩 托，径向对称解；麓体存在；有限时刻爆破；渐近行为 t h ea n a l y s i so ft h es o l u t i o n st ot h r e ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：x u ( _ ：h a n g g u i s u p e r v i s o r ：m uc , h u n l a i p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a nb ed i v i d e di n t oe l l i p t i c a le q u a t i o n s ，p a r a b e l i ee q u a t i o n sa n dh y p e r b o l i ce q u a t i o n st h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h es o l u t i o n sf o rt h r e ep a r t i a ld i f f e r e n t i a lp r o b l e m s c h a p t e2d e a l sw i t hi n h o m o g e n e o u s f l u c t u a t ee q u a t i o nw h i c hi st h es p e c i a lc a s eo fh y p e r b o l i ce q u a t i o n s a n dt h e f o m u l a so ft h es o l u t i o no fp o w e rs e r i e sa r eg i v e nf o rc a u c h yp r o b l e m i nc h a p t e r3w ei n v e s t i g a t ct h e b l o w u pp r o p e r t i e s o ft h ep o s i t i v e8 0 h l t i o n st oan o n l o c a ld e g e n e r a t es i n g u l a rr e a c t i o n d i f f u s i o n l ：) r o b l e m s ：”uc 一 如圳。| 。v “) = n 妒( z ，t ) d z k a 4w i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a i yc o n d i t i o n s w h e r e ”二b ( o1 ) o ；n q2 w eo b t a i l lt h a it h es o l u t i o r e x i s t sg l o b a l l yf o rs u f f i c i e n ts m a l li n i t i a ld a t aw h i l eb l o w su pi nf i n i t et i m ef o r l a r g ee n o u g hi n i t i a lo n e s 。 ) 一q 1a n dp i q a n di nc h a p t e l4an o l l i o 时沿某 固定方向的位移因此，对波动方程的解t t ( ，) 的研究有着很强的物理意义 波动方程的柯西问题的解已经在文 7 】和【8 】中以积分公式给出，但是积分形式 的解随着维数的增高，求解积分相当复杂因此，大量学者开始探索高维波动方 程其他解的表达式早在1 9 8 1 年，吴晓庆在文f 3 1 1 研究了齐次d i r i c h l e t 边界条 件的常系数n 维波动方程： t = 0 2 f ，+ ，( r ，f ) 丁er “，f 0 ，( 1 0 1 ) 在对厂( - f ) = 7 1 ( f ) q ( ，) 的假设下，获得r 解析解的显式级数表达式 o c 如，) = “，) ( - 2 ( ，) k = 0 1 9 8 6 年，谢和熙【3 3 1 又讨沦厂常系数二阶线性n 维波动方程 - 7 2 , t 0 1 0 2 ) j 【】) 一【，( ，) ，z r ” 、 j “ i 十 j i ， o 一 “1 一u ，、t 第章综述 第2 页 当，( z ，t ) = 丁( ，) q ( ，) ，q ( ，) ，妒( t ) ，咖( t ) 为变元多项式时，他们导出其解的函数迭 代公式进一步，柯红路t 9 8 9 年在1 1 8 中在对 厂，仍砂同样的假设下推出该问题 算子级数解为： 三r ，“2 k + 11 瞵。) 二三扩【南【哂) + 赢南( 小皿) + d ( - 2 k + o t ( 岫q j 1 9 9 7 年，谢和熙等又在文 3 4 1 给出了妒( 神，妒( r ) 为任意函数的n 维齐次波 动c a u c h y 问题 fu t t ：“2 a “1 胛t 0 1u ( 。，o ) = 妒( z ) “。( zo ) = v ( z ) ，。| r n ( 1o 3 ) 的解为： 似州) = 善o 。i 丽a 2 k ( 幽j f 2 + 鑫( 蛳炉叫 受上述工作的启发，本文在前人结果的基础上在第二章( 【3 5 】) 讨论非齐次热 传导方程f 102 ) ，我们获得厂对任意的p 抄波动方程( 1o2 ) 的幂级数解为： ，旦n nr 2 k ) 2 善f 南( 椭) + 茜而( 枷) “ + 矗羔( 晰叫z 一，) 2 k + l d t 】，+ 丽厶2 m ，7 ) ( z r 】， 从而埘波动方程的解表达式的研究获得r 较完善的结果! 另一方面，抛物方程( 组) 也是偏微分方程研究领域的重要分支之一自1 9 6 6 年f u j i t a 在1 5 中开创性地研究- ( - z 程： t i t = f j + ， “f zo ) 二“u ( - 420 ， f 兄“( 1 )f 104 ) 抛物方程解的爆破性质的研究就吸引r 广大研究者的兴趣其中对带1 f 局部源的 抛物m 题的研究箭受关i 宅，该类方程在物理和工程问题中应用广泛例如 一”t 删m t | + m o ，r 第一章综述第。页 该模型来自于压缩反应气体的某燃烧模型这类方程( 组) 的解的存在性及爆破性 质( 包括爆破条件，爆破集，爆破率估计等) 已有很多研究，参见文f 1 - 3 ，f 1 6 】_ 2 6 1 ，1 2 1 2 2 j 及其中的参考文献1 9 9 6 年，王明新等在【3 0 j 研究了下歹f j 方程： u t ( z ，t ) 一u ( f ，) 2 厶u q d x k u p ，f n ，t 0 ( 1 1 06 ) 具有非负初值且满足d i r i c h l e t 或n e u m a n n 边界条件通过对p ，q 的讨论，他 们证得：在p 1 ：l f 2 l 1 ，i q i k 和p q 其解则小初值整体存在，而大初值爆破与此同时，关 于这类问题的非退化情形也有大量文献进行研究，详见文【3 - 4 1 【6 1 ，【9 1 1 l 1 3 1 ，1 2 0 - 2 1 1 ，f 2 3 2 4 l 等 2 0 0 3 年，陈友朋等在文【4 】中研究了下列非局部退化奇异抛物方程 “t 一( m t ) z2 上“7 d x ，z ( o ，) ， o -( 1o7 ) 其中7 【0 ，1 ) ，i q i + o t 0 ，p 1 他们证明了经典解的存在性与唯一性，在对 初值适当的假设下获得了q 7 1 问题( 1 07 ) 既有整体解又有爆破解，并且 得到爆破集是整个区域 同年，刘其林等在文 2 0 】又考虑了如下形式的非局部退化方程 “ u r = o ( u r n ) 。：+ 扩1 山一 ，仉， 上( 0 ，f ) ，丁 0 ( 10 8 ) 其中“e 【02 ) ，p ，2q - m 1 他们也证明了经典解的存在性和唯一性，得到 r 问题( 10 8 ) 的正解在初值足够大时在有限时刻爆破，并精确给出了爆破解的 爆破速率 近来，周军等进一步在文 3 7 】中考虑厂方程( 1 07 ) 的高维一般情形 m 旷m ( 坩v “) 2 上2 ( 小j ) d r ( 川) q 。( o 7 1 ) ，1 1 o 9 ) 其中i2 足r “中一单位球，n 2n 0 2 ) + u 0 在对咖定的假 设下，他们获得r 与文h 类似的结果 第- 章综述第，l 贝 综观上述工作，关于非局部非退化抛物方程已经得到大量研究，而带非局部 源的退化问题也主要对一维情形进行了讨论，仅少量文献对高维的非退化方程进 行了研究因此，受上述工作启发，本文在第三章考虑了如下j r ”空间中带非局 部源退化奇异抛物问题 “u t 一出”( 。v “) 2 n 矿( z ，) 出一k u 9 ，( z ) n 。( o 一7 1 ) t ( 1o1 0 ) 其中q = b ( 0 ，1 ) n 【0 ，2 ) i q f + n 0 ，u o ( x ) 是径向对称的我们得到p = q l 和p q 时方程的解均在在小初值时整体存在而在大初值时在有限时刻爆破 除了对解的整体存在性和爆破的研究，近些年许多作者也对爆破解的渐近行 为和爆破速率作了大量而深入的研究s o u p l e t 在1 9 9 8 年和1 9 9 9 年( 【1 9 2 0 i ) 讨论了_ 几类非局部非线性反应扩散方程，发展r 一般非局部半线性抛物方程解局 部存在理论，建立了爆破结论并给出一致爆破速率 2 0 0 3 年，栗付才、陈有朋和谢春红( 1 9 j 考虑了非局部方程组 u f a = 厶，( u ( 上，f ) ) 出魄一u = 厶( “( l t ) ) d x ，上f t , 。 0 ( 1 0 , 1 1 ) | 有。怍负初值t a 0 u o 且满足齐次d i r i c h l e t 边界条件他们，d 别对，( 、j 。 2 ) p 口( 一) = b qp ，q21p q 1 和，( 5 ) = 口( s ) = ，的情形，证明了解在有限时间 爆破的条件，得到了爆破解的渐近行为具体地，在，( s ) = 9 ( s ) = r 3 时的渐近 行为为 脚j l o g ( t f ) “如f j212 i m i l o g ( t t ) l “u ( f ，) 二= 1 在，( 5 ) = ，9 ( 5 ) = 5 q 时的渐近行为为 l i ，r a l ( t ) 9 + 1 7 。一1 “( 。f ) 蟀丁一t ) t q 1 ) l t v q - bv ( r r ) 【，+ 1 ) ( p q ( 口。1 ) ( m p ( p q 一1 q t w ；1 后来，i b j 昭银等矗：史i 3 2 1 考虑r 方程组( 10l j ) 在 、e l l l n d l l d 边界条件的情形 也得到r 与文1 1 9 1致的爆破速率结论 一一 ，匕，矧矧 q n r i i j rll【 第章综述第5 受 与此i 司时，关于含有空问积分作为反应源项的退化问题也有人进行了研究 ( 参见f 6 - 8 ， 1 4 1 7 】及其中的参考文献) 2 0 0 3 年，栗付才和谢春红在文【2 1 】中讨 论了具有非线性非局部项的多孔介质方程 啦一“”- “矿n 如( 1 0 1 2 ) 在齐次d i r i c h l e t 边值和正的初值蛳( z ) 下解的爆破和整体存在条件，得到爆破 率如下 c l ( t 一t ) 一再旨m _ a ：x ( z ，) 劬( r t ) 一南， z ” 其中p + q r n 1 ，r 是u ( x t ) 的爆破时问同年，两人在另一篇文 2 2 j 中讨 论了非线性退化方程啦= u p ( a u + n 2u q d x ) 在齐次d i r i c h l e t 边值条件下解的 整体存在和爆破条件，得到爆破率如下 e 1 ( t 一，) 高m a x ? l ( ，t ) 岛( 丁7 一) 一鬲 z iz 其中p + q 1 r 是“( 。，f ) 的爆破时问 2 0 0 4 年，陈友朋等又在【9 j 9 考虑了一类退化奇异方程 u 一( 。2 u 。) ：= j 。i “( z f ) ) d ：rj ( 0 。) t 0 ( 10 1 3 ) 证明了经典解的存在性与唯一性，并在对，一定的假设下证得厂“( nt ) 大初值 爆破而小初值整体存在，进而还对，( v ，) = t ，p r 。两种情形建立了爆破速率这些 工作促使我们在本文第四章【( 3 6 ) 考虑j ，具有非局部源的退化奇异抛物方程组 蜥一【_ n t b ) 。：! “u ”d z ，q 一( 。u 。) 。：“9 d r 。( o 。) ，f 00 o1 4 ) j oj u 通过引人特殊的变换精确地建立与文f 1 9 类似的爆破速率 第二章波动方程的c a u c h y 问题的幂级数解法 2 1 预备知识 二阶线性偏微分方程大致可分为椭圆型双曲型，抛物型三大类而波动方 程是最简单的二阶双曲型方程，它是描述弹性体振动与波的传播现象的一种发展 或演化型方程 一维波动方程的c a u c h y 问题： f 吨一目27 = ，( z ，) 1 ( 丁，o ) = 中( r ) ，t “( 丁o ) = 皿( 丁) 二维波动方程的c a u c h y 问题： ：z 裟意f 圳( o c , y 。, t ) k ， 二维波动方程的c a u c h y 问题： f 毗t n 2 ( z + ，9 t t z z j = ( t ：，) if l y ，。o ) = 小( 2 ) ；m ( z ，o ) = 皿( 丁y z ) 一般地，n 维波动方程的c a l l c h y 问题为： “r m = 托帅 o ( 21 1 ) i f ( i lo j = ( i ) f j ) “f “( ) ) 一巾( i ) f 0 这 ! ，一f f 一“。j 为i a p l a c e 钎子 第二章波动方程的c a uc ，h y 问题的幂级数解法第7 页 论 本文研究波动方程的c a u c h y 问题( 211 ) 的幂级数解法，我们获得如下结 定理2 1 1 非齐次热传导方程偿，的幂级数解为 2 e。2 k u ( 叫) 2 舌【南( 舶) + 茜面( 舶) + 赢2 kz 晰( h 严+ 1 训 (+ 1 ) ! 一“” 。 2 2定理的证明 我们首先给出如下引理2 2i ( 详见文 3 4j 中定理1 ) 引理2 2 1齐次波动方程的c a u c h y 问题 吼t ) 一n 2 毗f ) = o ，z | r t i o ，f 2 _ 【) l “( l ，o j = 中( e ) u t ( f0 ) = ( ) ，t 0 的幂级数解为 州叫= 一薹 蔫c 蛳2 + 禹c 脚2 叶 引理2 2 2 若f f 0 ( 2t ) 为齐次波动方程，22j ，的解，l ( zt ) 为非齐次波动方 程 卜c - “2 “= ，( i ) ，扩f o ，( 222 ) h ( o ) 一0 瑚( “) ) = o ， 0 ” 的解，则“( ff 1 = a o ( f ) + “l ( 1 ) 为波动方程阳jj j 的解 证明直接验证即可 第一章波动方程的f ：a l i c 问题的幂级数解法 第x 引理2 2 3 设函数( t ，t r ) 具有连续的一阶偏导数，”( 1 ，) = 正( ，：，t ) r l t 则 毗= t 啦，“) + z 啦( a d , t , t ) 打 ( z ，+ ，) 一 ( 丁，) = l l ：+ a t l i ( ：c ，+ ，r ) d r 一上w 扛，：r ) 打 = l + 。t t i v ( r ，+ ，r ) 打+ f o h ，( r ：t + f ，r ) 一”( z ，r ) l d r t + a t ，f i ) + f ( 。f 2 j 0 这里f 1 ，f 2 在f ，t + a t 之间于是 毗= 她业型掣 引理2 2 4 设( z ，t ，r ) 是下述问题的解， ：描缎篙巍冀 则“( z t j = “叭f rr ) 打是问题俾髟的解 证明硅然“( 0 ) 一0 再由引理223 有 州1 f f ：”( ) t j + l “z ，一rr ) d r 一：w t ( j , t - - t t j d r 故l l t ( ，0 ) = 0 这发明“( r f ) 满足问题( 2 22 ) 的初值条件又 面d 卜t ( t , t - r , r ) d t - - r 1 2 卜( r 一啪 ( 223 ) 已 z叫 厂厶打 上 r ) ， f 觚 吣 r n + f 器忆 i | | 第二章波动方程的c m m h v 问题的幂级数解法 = t 仇( t ，o ，) + j ( 0 t w t t ( z ，t t r ) d i - - - a 2 z t ”( r ：t - - t ：t ) d r ，c = ，( 7 ，t ) + f ( w t a 2 a w ) d z = ，( ，f ) ， j 0 故u ( x ，t ) 是方程( 2 22 ) 的解 足埋的211 明让日月由i 理221 知方程【223 ) 的幂缴蔹解为 嘲，扣k 曼= o 禹嘶，咄料1 】， ( z ，r ) = jf 乞而，( ”) “i ， l 、o1 ，j 于是由引理2 24 知方程( 2 2 2 ) 的解为： “t t ，( 7 7 ) 2 ot “( z ，一r ，r ) d t = 睡 鑫嘶州严“卜 = 薹 鑫z o t k k m 州川d 1 再由引理2 22 解的叠加性质即得结论 例1 故 j “一3 ( “竹+ “v “+ u z z ) 一= ( 2 + “2 + z 2 ) e 。 l “( z ，0 ) = 。2 “( 。0 ) = z 2 ， 解这属于非齐次波动方程( 2l1 ) 的类型 中【：) = c 2 ，皿( ng ，。) - = r 2 ，( ：e 。，r ) = ( ：r 2 + y 2 + 。2 ) r 7 m 一2 母一2 ，( 7 2 ) = 6 e “2 3 ， 2 西= a 2 山= a 2 j = 0 即方程的幂级数解中只有 一d 1 两项，其余全为0 由定理211 方程的解为 第誓波动方程的( a u c hs 问题的幂级数解法第 t ( z ，y ，z ，i ) ：2 + z 2 f + ，( 2 + 2 + ：2 ) f r ( f r ) d r ，0 + 嘉z t 2 + 姜z t 3 + 蔷f s r 7 c t r ，3 “r ， = 丁2 + r 2 f + 3 t 2 + ，+ ( 丁2 + y 2 + z 2 + 1 8 ) ( 一，一1 ) 一3 t 2 ( ，- t - 3 ) 第三章带非局部源的退化奇异反应扩散方程解的爆破 3 1 预备知识 本文考虑如下带非局部源高维退化奇异问题 fm ”毗一出u ( 。v u ) u ( x ，t ) = 0 ： l ，( z ，o ) = ，。( 。) ， na p ( x ，) ( 【一q ，( 。，t ) q ( 0 ，t ) z e nt ( 0 ，了) ，( 3 11 ) z n 其中q = 丹( o ，i ) 是r 。v ( 2 ) 中单位球，七 0 ，“ 0 ，2 ) ，p 之q 三1 i + “ 0 且o ( z ) c 2 + - ( 矗) ( o g 时方程的解 均存小初值时整体存在而在大例值时在肓限时刻爆破本文安排如下：在第二节 沦p - ：q 1 解的爆破性质，第三节考察p q 情形 ( 312 ) 札卜0 咖 + 叭一 h 0 限 p|】| 旷叫岍叫 r，、i 第三章带非局部源的退化奇异反应扩散方程解的爆破第l2 页 3 2p = q 1 情形 考虑如下二阶不等式 一!篆：；2：量：。，-1)r，o妒-。t，妒，(r0 00 0 ，2 1 r 0 1 卜 c s z z ， i 1 则存在正常数n o 使得当“m ( ，) o o 妒( ，) 时问题 阻2 的解w ( rr ) 整体存在。 证明选取n o 充分小满足 一2 ( 斋习) 1 r n - 1 ( ( r 刊2 - n - a _ _ r 2 - a _ r 铲如 一t ( 志“r 2 - n - c o _ _ r 2 - a 一_ q ) ， 这里w 表示r “中单位体积 置国( ，t ) = p ( r ) ，则我们有 r 仇面t 一( 7 “西”+ ( + n 1 ) , n - i 西，) = 一“o ( r 。p “( ，、) - f ( + “一1 ) ，“一1 ，7 ( r ) ) 兰“l j l 订( i 圳) 以，一 市7 ( ，) ， j i2 面，( o j _ = 一“妒( 0 ) 0 1 | ( 1 ，) = “妒( 1 ) 0 币( ，0 ) = n 妒( t ) ：f j o ( ，) 由比较原理知厅足斤程( 312 ) 的上解，即”( r f ) s ( 1 0 p ( ，) 因此( w 、) 整体存 在 由文阽u 引理： 2 1 我们可以秩稚 如下引拜! 第二章带非局部源的退化奇异反应扩散方程解的爆破 第1 。 页 引理3 2 1 如果p = q 1 满足 w ( z j 1 n i k ，则存在常数0 k ，m 0 ，则存在常数口l 0 使得当 ( ) t t i ( z ) 时问题p1j ，的解在有限时刻爆破 ii 茁i m “一札= 如u 9 ( z ，t ) d y k u 9 ，( 丁，t ) n ( 0 t ) t ( ? ，f ) = 0 ，7 锄f ( 0 ，? 1 ) ， ( 3 22 ) iu ( z ，0 ) = ? 乜( z ) ，z n ， 设v v ( x ) = ( 1 1 u ，( z ) 由 l 理3 21 有w ( x ) c 铲( n ) ，即s u p p w ( x ) c cq ，贝0 存在正常数a o 使得一a w ( x ) sh 选取( 2 1 0 满足 g a l p - 1 ( 厶w ，d ，) 1 一；22 a 。i n l 扣一1 ，一 ( 。zs ) 由( 323 ) 和引理321 备易得出 一a v n 墨“1 hs “和细 n 儿一k 扩7 n 峨如一舻。 ( 32 - 4 班设r ( z t ) 是初值为v o ( z ) 问题( 3 22 ) 的解，则由比较原理知。( j 之 i i ( i ( ，) 20 ，r ( j ，) 关于时间，是非降的。 嚣，( f ) = n 山( z ) u ( 。，t ) d t 则由方程( 3 22 ) ，运用分部积分及h 6 1 d c r 不 等式我们有 厂( r ) = 厶w ( t ) “，) ( “+ 厶w ( 。) c f ，厶扩( 。，) 山一厶，w 山 兰 小“+ r ，一( 1 一扪厶伊出 2 小中“( 小_ “) i t o ：u 出 第二章带非局部源的退化奇异反应扩散方程解的爆破第i j 页 = ；上t ，打+ ；上t ，柑一划驯一i 厅( 五，如) ； 2 ；z 旷止r + ( 二矿如) ； ( ；五晴止0 1 一；一a 。f q f t r l ，1 再由( 3 2 3 ) 式，川“s 1 及p 1 ，可得 以t ) ! v p d x _ ；q ( 上蝴) 比) 甸 2 c 1 ( ”如帅( 挑) = c ，j v ( t ) 其中a l 一；( n w p ( 川) 出) “9 因p 1j ( o ) 0 ，则t ，( f ) 在有限时刻爆破又当z 幻( t ) 之l ，o ( t ) 时，由比 较原理有u ( x ，t ) v ( z ，) 故u ( x ) 也在有限时刻爆破 3 3p q 1 情形 定理3 3 1 假定p q ，则当“o ( 。) 曼( _ f 4 1 n 1 ) 1 ( p - q ) 时pj j ，的解整体存在 证明令i ( rf ) = ( 吲) 1 加一v 类似定珲3 , 21 的证明，这里从略 下面给出爆破结论设n l 之0 且”， n1 ，考虑如下特征问题： ? _ r “? ：( f ) + ( + ，? 一1 1 “一1 妒f r l ) = a r m 妒( r ) t r ( o1 ) ( 33 jj i1 1 一1 ，容易得出西( o ) = 0y i 玉im 0 ，我们可以选择女 0 使得庐( r ) 0 ，及 鼍答“妒( = 1 定理3 3 2 假定p g 扫 1 ) ，7 n 0 且 a 1 如果存在常数2 0 使 得“o ( 。) 三“z ( 川) ，则p j j ，的解( z ，t ) 在有限时刻爆破 证明因p 口兰1 ，存在a 2 0 满足 脚”西( n ；n 矿出一嗍妒 ( 3 ，32 ) 1 n ；一。( 9 。+ 1 ) 9 一们7 9 2 k ( 3 33 ) b c 愿一1 2 p ( 正l 。i ”曲2 d 。) 1 一 ( 3 3 4 ) 这里a = ( ，n 妒舳一种如) ( q - - p ) i q ，b = ，n 庐( ) 妇( 矗h ”；d - 令( t 。) 2 啦( h ) ，设u ( z ，f ) 是初值为咖( l ) 问题( 311 ) 的解，由( 332 ) 及一，j f o ) = “2 妒( o ) = o ，( 1j = 0 ，知”沁f j2 啪( ) 0u ( z ，) 关于时问 霄29 ”如1 7 i , n 咖( ) t ( ? ，) 如则由方程组( 3 11 ) ，( 3 31 ) 及我们有 j ( f 卜舢i ”p ( m 。“一舢( 吣 2 ，j 7 ) + ( 。t 7 j ( ) 托i ( 。v f j 4 ，+ 。咖( i ，i ) d ，五 p ( n f ) 办一五一驴出) 2 一，( f ) 一p 厶f r f ”2 9 ( f z i ) u c t r + c ( ：。( i t i ) 正t 厶v p d x - k ! ：u a 咖c z r ) 一r 州( 厶州m ) 办厶，( ，咖，t 正一。由，) ( 3 r 3 5 ) 一扣翩州出驴山川( ；肿以p 咖一 批) 由限33 ) 式，运用 r l o l d e r 不等式，则有 哉。m 眦0 气h 一女训， 第二章带非局部源的退化奇异反应扩散方程解的爆破第贝 2 i af 。a 咖如 z j n 小9 曲 i ，9 驴d z j n 匕 匿 1 ；一，扩毋山 j f t f ，o s d ，一 j n ( ， 。v o q 4 d z ) 卜1 一 三0 ( 336 ) 结合( 3 3 ，4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 36 ) 式，m 繁( 1 z i ”毋( ) = l ，并运用j e n s e n 不等式可 j 1 2 得如下不等式 ，o ) 厶卅i ) d z f n ( 圳正。 2 ；厶州硼出上忙p 庐州z 咖b 芝争正删硼打( 五”。如) 。9 ( 正i t i ”加咖) 9 ( 。r ) 2 导r ( j 一，) 一，一( r ) ( 3 3 4 ) 式暗含f f l - p ( o ) 0 砜) 一( 。8 强( 。，忱= 露“。( x , t ) d x t- t ( o 8 ) ， o 1 1 “( o ，t ) = u ( a ，t ) = 0 ，j ，( o ，) = v ( a ，f ) = 0 ， 0 ， u ( x ，0 ) = f o ( z ) ，v ( x ：0 ) = i b ( t ) ：$ 【0 n ， 其中0 8 o ，p ，g 1 均为常数“o ( 。) ( z ) e ( f 0 口 ) n c 2 竹( ( o ，n ) ) ( 0 ，y 0 ，我们有，) k * + o 。和i u ( tj l l 一 + 。c 则称解是整体存在的，也称( “u ) 为整体解否则，t + l 时l 司题，的解( “u ) 在有限时刻t 爆破那么 1 7 瓤l 脚誊带非局部源退化奇异抛物方程组爆破解渐近行为第18 页 在卜d j ( 0 ，n ) 一致有 黔叫严川腼- ”叫川，= ( n 籍( 糍) 恤+ 1 1 ) 一叶”九”， 妒叫叶w 忡归( n 籍( 崭) “阳+ 1 ) 叫”九” 4 2 预备引理 为方便，记g ，( ) = 丘g l ( 一j 如g 2 ( t ) = 店m ( ，) 如，这里们( f ) = 届沪( f ，t ) d n 9 z ( t ) = 后u a ( zt ) d z 此外我们也将使用如下记号：如果。魄! w 坐2 盟( t ) = 1 ，记讪( f ) 2 ( t ) 在证明定理4 11 之前我们首先给出如下预备引理 引理4 2 ，1 方程组“，1 的解( “( z ，f ) p ( 。，) ) 满足 ( z 。u 。( zf ) ) 。 ，( z 。v x ( z ，f ) ) 。 如 ( z ，t ) ( 0 ，a ) ( 0t + ) ( 4 2 一1 ) 证明旨l ( 。，1 = ( x a u 。( 。、fj ) 。一”1 2 ( 、 f ) = ( 护v x ( xf ) ) 。一m 2 ，则我 们有 j w l t ( ，) ( t 。1 l z ( rf ) ) 。2o ( ，f ) ( o ，n ) 。( o ，t ) ，( 4 2 2 1 i1 1 2 t ( r f ) 一( t 。2 ；( t ，) ) ，= 0 ( t ，f ) ( 0 ，n ) ( 0 ，t ) ， 。 因f u 】( f0 ) - - ( 。( o ) ) 。一 ，1 0 ( o “) “- 1 ( “t ) = v p ( 。vt ) d f m i 0 日1 l l rt t = 一心矿( ：rt ) d c a ，l f j 对任意固定的点? f r l 胡令2 = 击，。“，则 z ；1 1 ? 定义 ， “川) “m ”掣 “f ，如”盟 1 i = d ” p p m 胁 d 帆时；埏一蚝 ，l_j(1_l_ 0 z k 弛 p n 业如 ，ijlt 瓯 1 且山 | | g里这 笫州驻带非局部源退化奇异抛物方程组爆破解渐近行为第2 2 爻 这里( ，) ( z 一，z + r ) ( o ，t ) 则由( 43 1 i ) 式得到f l 口，( ：t ) 20 ，6 。，( ，) 0 ，( ，t ) f 2 7 ，24 - 7 ) ( 0 ，7 ) 由下调和函数甲均值不等式得 则对，( 0 ，t ) 可得 相似地 t ) f 由+ f ，2 ( y ，) ) 咖+ 1 1 这里镰= m a x 击譬护“) c o = = f l + ) ( - o = m a x 去 q , l o ( 1 + ( j ) 联立上面两个不等式及( 4 39 ) 可得 二生。业 g l 、一l ? i ( f ) 二生。型 4 72 l f ) 一( ? ! ( f ) 型，旦 u l “) 一，十2 堡型，鱼 g 2 “) 一，1 1 2 州，) 1 一，? f t ) ( ? ! ( ，) ：f