（应用数学专业论文）几类jacobiramanujan+theta函数恒等式的统一代数方法.pdf

j111峋1l l ，_1_-，1|圈|】一 苏州大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在l 月解密后适用本规定。 非涉密论文口 论文作者签名：三堕盘乒i t 导师签名：星丝塾日 期：塑f ! ：筮5 ： 期；! 翌三：! ! ：乡 几类j a c o b i a a m a n u j a nt h e t a 函数恒等式的统一代数方法 摘要 本论文的主题是研究由一类t h e t a 函数构成的线性空间( p q ) 及其在构 造t h e t a 函数恒等式上的应用，我们重点研究关于r ( z ) 、弓( z ) ( p ，q ) 的两 类系数和三次t h e t a 函数求和公式以及如何使用这些结果建立新的t h e t a 函 数恒等式 第一章，我们回顾有关t h e t a 函数理论的基础知识，包括将用于后续讨论 的必要的符号、定义和结果 第二章是本文的主要部分我们定义由给定基构成的线性空间( 只q ) 以 及此空间中任一t h e t a 函数的线性系数、任两t h e t a 函数间的对称差系数作 为具体结论，我们将详细研究十个基本t h e t a 函数的所有这些系数，及其在构 造t h e t a 函数恒等式中的应用 第三誊我们给出三次t h e t a 函数的一般求和公式根据这个公式，我们 给出了r a m a n u j a n 、f a r k a s 。k r a 和b e r n d t 等人的三次t h e t a 函数恒等式的统一 的初等证明还讨论了某些p 次类推和式 作为论文的最后一部分，第四章建立了一个双变量三次t h e t a 函数求和 公式这个公式肯定是新的，是对h i r s c h h o r n - g a r v a n - b o r w e i n 首次提出并加以 讨论的四个著名的三次t h e t a 函数恒等式的推广 关键词：r a m a i l u j a n ；t h e t a 函数；t h e t a 恒等式；线性空间；对称差；j a c o b i 三重积恒等式 作者：戴天竹 指导教师：马欣荣( 教授) a b s t r a c tu n i f o r ma l g e b r a i ca p p r o a c ht os o m ek i n d so fj a c o b i r a m a n u j a nt h e t af u n c t i o ni d e n t i t i e s u n i f o r ma l g e b r a i ca p p r o a c ht os o m ek i n d so f j a c o b i r a m a n u j a nt h e t af u n c t i o ni d e n t i t i e s a b s t r a c t t h et h e m eo ft h i st h e s i si st os t u d yal i n e a rs p a c e ( p ，q ) o fac l a s so ft h e t a f u n c t i o n sa n di t sa p p l i c a t i o ni nc o n s t r u c t i n go ft h e t af u n c t i o ni d e n t i t i e s ，w ea r ef o c u s e d o nt w ok i n d so fc o e f f i c i e n t sa m o n ge ( z ) 、乃p ) ( p q ) ，a sw e l la st w os u m m a t i o n f o r m u l a so ft h ec u b i ct h e t af u n c t i o n sa n dh o wt ou s et h e s er e s u l t st of i n dc u b i ct h e t a i d e n t i t i e s c h a p t e ro n e ，w er e c a l ls o m ep r e l i m i n a r y o nt h et h e o r yo ft h e t af u n c t i o n s ，i n c l u d i n g n e c e s s a r yn o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n s ，a n dr e s u l t s ，w h i c hw i l lb eu s e df o rl a t e rd i s c u s s i o n s c h a p t e rt w oi st h em a i np a r to ft h i sp a p e r t h e r e i n ，w ed e f i n eal i n e a rs p a c e ( p q ) f o r m e db yt h e t af u n c t i o n s ( g i v e nf i x e db a s e ) ，t h el i n e a rc o e f f i c i e n to fa r b i t r a r y t h e t af u n c t i o n ，a n dt h es y m m e t r i cd i f f e r e n c ec o e f f i c i e n t so fa r b i t r a r yt w ot h e t af u n c - t i o n s a ss p e c i f i cr e s u l t s ，a l lt h e s ec o e f f i c i e n t sf o rt e nb a s i ct h e t af u n c t i o n s ，i n c l u d i n g t h e i ra p p l i c a t i o n st ot h e t af u n c t i o ni d e n t i t i e s ，a r ee x a m i n e di nd e t a i l s c h a p t e rt h r e ei sd e v o t e dt oag e n e r a ls u m m a t i o nf o r m u l ac o n c e r n i n gc u b i ct h e t a f u n c t i o n s b a s e do nt h i sf o r m u l a ，w ef i n ds o m en e wa n de l e m e n t a r yp r o o f sf o rt h ew e l l - k n o w nc u b i ct h e t ai d e n t i t i e so r i g n i d l yd u et or a m a n u j a n ，f a r k a s - k r a ，a n db e r n d te t a 1 c e r t a i np - p o w e ra n a l o g o u ss u m m a t i o n sa r ea l s od i s c u s s e d a saf i n a lp a r t ，c h a p t e rf o u rg i v e sat w o - v a r i a b l es u m m a t i o nf o r m u l ao fc u b i c t h e t af u n c t i o n s t h i sf o r m u l ai s ，c e r t a i n l yn e w ，a ne x t e n s i o no ft h ef o u rw e l l k n o w n c u b i ct h e t ai d e n t i t i e sw h i c hw e r ef i r s tp r o p o s e da n dd i s c u s s e db yh i r s c h h o r n - g a r v a n b o r w e i n ， k e y w o r d s ：r a m a n u j a n ；t h e t af u n c t i o n ；t h e t ai d e n t i t y ；l i n e a rs p a c e ；s y m m e t r i c d i f f e r e n c e ；j a c o b i st r i p l ep r o d u c ti d e n t i t y w r i t t e nb yd a it i a n z h u s u p e r v i s e db yp r o f m ax i n r o n g i i 目录 第一章绪论 1 1 1 历史背景 1 第二章线性空间与r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式 5 2 1 线性空间( p ，q ) 5 2 2 线性关系 7 2 3 线性系数的计算8 2 3 1 线性系数的计算j 8 2 3 2o ( q ，) ，b ( q ，z ) ，c ( q ，z ) 的其它表示形式1 3 2 4 对称差系数的计算1 4 2 5r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式2 2 2 5 1 基于( 2 2 2 ) 的恒等式2 2 2 5 2 基于( 2 2 4 ) 的恒等式2 3 2 5 3 基于九。，的一些新恒等式。2 6 第三章单变量三次t h e t a 函数求和公式 2 7 3 1 三个著名的三次t h e t a 函数恒等式 2 7 3 2 单变量三次t h e t a 函数求和公式2 8 3 3 单变量三次t h e t a 函数求和公式的应用 3 1 3 3 1 ( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 的证明3 1 3 3 2 单变量三次t h e t a 函数求和公式的其它应用 3 3 第四章双变量三次t h e t a 函数求和公式 3 7 4 1 双变量三次t h e t a 函数求和公式3 7 4 2 双变量三次t h e t a 函数求和公式的应用 3 8 参考文献 硕士期间完成论文情况 致谢 4 1 4 5 4 7 几类j a c o b i a a i n a i l u j a nt h e t a 函数恒等式的统一代数方法 第一章绪论 第一章绪论 t h e t a 函数是特殊函数的一个重要分支，是椭圆函数论【2 8 】中的基本课 题，它与组合数学，解析数论等有着密切的联系例如：r a m a n u j a n 科用t h e t a 函数理论得到了许多有关连分式的结果因此，研究t h e t a 函数有着非常重 要的意义，发现和证明t h e t a 函数恒等式也是组合数学和特殊函数研究者关 注的热点问题 本文的主要内容有两方面，其一是利用t h e t a 函数构作线性空间，对相应 函数系数( 即给定基下的坐标) 进行计算，并利用线性空间中函数系数之间 的关系得到一些t h e t a 函数恒等式另一方面是证明了单、双变量三次t h e t a 函数求和公式，并利用单变量三次t h e t a 函数求和公式统一地给出三个经典 恒等式的简单证观同时也得到了一些新的恒等式利用双变量三次t h e t a 函 数求和公式也建立了一些有价值的恒等式 历史背景 下面我们回顾一下t h e t a 函数的定义及有关理论首先，给出一些基本概 念及常用记号：对任意的q ，z ，定义以q 为基，$ 的n 次升阶乘为 n 一1 ( 茁；g ) o ：= 1 ，( z ；g ) n ：= i i ( 1 - - x q i ) ，n = 1 ，2 ，3 ， i = o 当i q i 1 时，以q 为基，z 的无穷次升阶乘定义为 + 0 0 ( 剐) ：= ( 1 一x q n ) n = o 多参数的乘积形式表示为 ( a ，b ，c ；g ) 。= ( 口；g ) ( 6 ；q ) o o ( c ；q ) 定义在复数集c 上的经典j a c o b it h e t a 函数0 为 + p ( z ；口) ：= i i ( 1 - - x q n ) ( 1 一q n + l z ) = ( z ，q x ；q ) ，0 l g l 1 n = o 由定义( 1 1 1 ) 我们可以得到j a c o b it h e t a 函数的一个简单递推关系： 第一章绪论几类j a c o b i r a m a n u j a nt h e t a 函数恒等式的统代数方法 弓i 理1 1 1 v x ：茹0 ，贝1 i p ( z ；q ) = - x o ( x q ；口) ( 1 1 2 ) 众所周知：无穷级数( 如幂级数，傅立叶级数等等) 的根本问题是敛散 性的判断只有当无穷级数收敛时才有唯_ 的极限，即求和；发散级数没有极 限十八、十九世纪期间，数学家们在研究多种类型的无穷级数的收敛性方 面，取得了长足的进步在这些研究基础上，j a c o b i ( 第一位系统研究t h e t a 函 数的数学家) 从椭圆函数的基本理论出发，运用纯代数的方法，得到了许多 关于t h e t a 函数的漂亮且非平凡的公式其中包括著名的j a c o b i 三重积恒等 式【1 9 ，i i 2 8 】 1 + p ( 剐) = 彘( 一1 ) n 口( ；) 扩 ( 1 1 3 ) 随着t h e t a 函数理论的发展，留数定理逐渐成为研究t h e t a 函数的一种有 效方法1 9 9 3 年，f a r k r a s 和k r a 1 5 】利用留数定理方法得到了许多t h a t a 函数 恒等式( 本文将利用初等方法研究其中两个恒等式) 他们的基本思路是：首 先利用具有有理特征的t h e t a 函数来构造椭圆函数；然后通过对这些椭圆函 数应用留数定理，即可获得含有待定常数的t h e t a 函数恒等式；最后通过取特 殊值就可以求出待定常数他们的工作表明留数定理是获得t h e t a 函数恒等 式的一种行之有效的工具 印度天才数学家r a m a n u j a n 在t h e t a 函数的研究中做出了非常重要的贡 献他利用独特的思维方式，不仅推广了t h e t a 函数的理论，给出了一种看起来 更一般的定义，还得到了有关它更多的性质这些性质中包括了很多经典结 果r a m a n u j a n 的这些结果大都记录在他留传下来的所谓的“l o s tn o t e b o o k s 嚣 里，其中大多数结果并没有给出相应的证明历经半个多世纪，这项艰巨的 任务才由b e r n d t 及其合作者基本完成，并收集在( ( r a m a n u j a n sn o t e b o o k s ) ) 五 本巨著以及正逐步出版的( ( r a m a n u j a n sl o s tn o t e b o o k s ) ) 的四卷本专著中 广义r a m a n u j a nt h e t a 函数，( z ，y ) 定义如下： + ( z ，y ) ：= _ z 亿( n + 1 ) 2 y n ( n 一1 ) 2 = ( 一z ，一可，x y ；z y ) 。，其中i z 可i 1 ( 1 1 4 ) p ( 。；q ) 和，( z ，y ) 这两种形式的t h e t a 函数之间有个简单的关系： ，( 一z ，- q x ) = p ( z ；g ) ( g ；g ) 2 几类j a c o b i r a m a n u j a nt h e t a 函数恒等式的统一代数方法 第章绪论 从这个关系式可知：此两种形式的t h e t a 函数是相互等价的，然而它们都 有着不可替代的作用通常会随着不同的问题来选用其中合适的一种形式 例如，选用j a c o b it h e t a 函数，就需要利用许多的代数与分析技巧，显得比较 深奥；对于广义r a m a n u j a nt h e t a 函数，更多利用了组合计算技巧，显得简单 易懂，更为r a m a n u j a n 及其它研究者们所常用 在t h e t a 函数理论的发展过程中还有一类t h e t a 函数值得我们特别注意， 即由h i r s c h h o r n - g a r v a n b o r w e i n 在【2 0 】中定义并作研究的四个重要三次t h e t a 函数： d ( q ，) = 矿+ 嗍矿， r i f t r i = 一 4 - b ( q ，z ) = q m 2 + 伽件舻u v ， o ( 舭) = 矿棚叶舻z n ， m 竹= 一 + c ( q ，z ) = 铲+ 仇n + m + n z n 主要结果是建立了他们彼此之间的关系【2 0 ，e q s ( 1 1 9 ) 一( 1 2 1 ) 和e q s ( 1 2 5 ) - ( 1 2 6 ) 】 a ( q l ，z ) = a ( q ，z ) + 2 c ( 口，z ) ， b ( g ，z ) = o ( q ，z ) 一c ( 口，z ) ， a z ( q ，茁) = b 2 ( g ) b ( 口，z 3 ) + c 3 ( q ，z ) ， a ( q ，z ) o ( 9 2 ，护) = b ( q 2 ) b ( g ，z 3 ) + c ( q ，$ ) c ( 口2 ，z 2 ) ， + o o ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) a ( q ，z ) c ( 口) 一c c q ，z ) a ( 口) = q ( 1 一z ) ( 1 一x - 1 ) ( 1 一茁矿) 2 ( 1 一z 一1 q - ) 2 ( 1 一矿) 4 ， n = l ( 1 1 9 ) 以及b ( q l ，2 ) 、c ( q ，茹) 在z = 1 时的取值 2 0 ，e q s ( 1 6 ) 和( 1 7 ) 】 叱锵， c = 絮警 类似地，将a ( q ，1 ) 、n ，( g ，1 ) 简记为a ( 口) 、o ，( g ) ，更有口，( g ) = o ( g ) ，关于此类函数更 多关系可参见【2 0 】 c o o p e r 在此基础上，比较a ( 口，z ) 与a ，( 口，茁) 的特点并对( 1 1 7 ) ( 1 1 9 ) 作了 认真分析后得到【1 1 ，( 6 2 ) ( 6 4 ) 】： 【o ，( g ，。) 】3 = b 3 ( g ，z ) - - 4 - c 2 ( q ) c ( q ，z ) ，( 1 1 1 2 ) 3 、l，、l， o 1 1 1 1 工 1 ，上 1 ，i，-、 第一章绪论几类j a c o b i r a m a n u j a nt h e t a 函数恒等式的统一代数方法 a 7 ( q ，z ) o ，( 9 2 ，z ) = b ( q ，z ) b ( q 2 ，z ) + c ( g ) c ( 9 2 ，z ) ，( 1 1 1 3 ) + o o b ( q ，z ) 口( g ) 一a 7 ( g ，z ) b ( g ) = 3 q ( 1 一z ) ( 1 一x - 1 ) ( 1 - x q 3 n ) 2 ( 1 一z 一1 q 轨) 2 ( 1 一q a n ) 4 t $ - - = - 1 ( 1 1 1 4 ) 随着t h e t a 函数理论的日益完善，其在数论，代数学，组合分拆理论以及统 计物理中都得到了广泛的应用，因此，研究t h e t a 函数恒等式不仅是数学家们 感兴趣的一个课题，而且也是物理及应用科学家们非常关注的领域 4 几类j a c o b i r a m a n u j a nt h e t a 函数恒等式的统代数方法第二章线性空间与r _ r 恒等式 第二章 线性空间与r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式 在这一章里，我们将讨论线性空间( p q ) 及其相关特性，作为具体研究， 我们列举出此空间中十个基本函数，求出这些函数的线性系数及任两函数 的对称差系数；最后，根据系数之间的关系构造众多新的、有价值的t h e t a 函 数恒等式 2 1线性空间( p q ) 首先，我们定义函数p ( x ) 和q ( z ) 如下： 聊) = 志呈产一) = 去薹，+ 1 从此定义出发，可以证明 定理2 1 1 对任意z ，g ，：x y 0 ，成立 p ( x ) q ( y ) 一p ( y ) q ( x ) = y o ( x y ；口) 口( z y ；g ) 证明：根据p ( z ) 、q ( z ) 定义，我们得到 p ( x ) q ( y ) 一p ( 3 ，) q ( z ) 2 赢；，量护伊产州2 一丽1 毛三一“删2 抒叫 2 丽y 瑟。，三( 哪删户舻班一归 扛巧( r o o d2 ) 证些当j 面y 瓦，j = - ( 一z n 2 m 邓删胆 = y o ( x y ；q ) o ( x y ；口) i ( 2 1 1 ) 称为( p iq ) 埘称差分解，此式在本文中起着重要作用此后，由 p ( z ) 、q ( z ) 作为一组基构成的线性空间记作( 只q ) ，则对线性空间( p q ) 中的任一函数f ( x ) ：z c 【o ) 有如下判定定理 5 第二章线性空间与r - r 恒等式 几类j a c o b i r a m a n u j a nt h e t a 函数恒等式的统一代数方法 定理2 1 2 础，t h e o r e m 名玎 f ( x ) ( p ，q ) 的充分必要条件是f ( 茁) = x 2 f ( x q ) 证明：“兮竹当f ( x ) ( p q ) 时，必存在唯一的一组口( 口) 、6 ( g ) ，使得 f ( x ) = a ( q ) p ( x ) + 6 ( g ) q ( z ) ， 再根据p ( z ) 、q ( x ) 的定义，我们容易得到p ( x ) = x 2 p ( x q ) ，q ( x ) = x ：q ( x q ) ，于 是 x 2 f ( x q ) = a ( q ) x 2 p ( x q ) + b ( q ) x 2 q ( x q ) = a ( q ) p ( x ) + b ( q ) q ( x ) = f ( z ) “乍钟由f ( x ) 为定义在c o ) 上的函数，我们可以设f ( z ) 在z = 0 处的 l a u r e n t 展开式为 f ( z ) = a n 扩 n = - - o o 于是 + + x 2 f ( x q ) = h g n 矿+ 2 = h 一2 q 俨2 矿 又因为f ( x ) = x 2 f ( x q ) ，所以 k = 矿一2 k 一2 ， 入2 n + 1 = q 2 n - 1 , 入2 n 一1 = q n 2 ) l 1 这样我们就得到f ( z ) = a o p ( x ) + 入1 q ( z ) 故f ( x ) ( p ，q ) 综上，定理得证 下面我们给出( 只q ) 中一些具体的函数： 定理2 1 3 黝，c o r o l l a r y 彳j 、孑纠u = e x p ( 2 7 i - i 3 ) 为三次单位根，在c o ) 上我们 、 定义下列十个函数 f l ( x ) = 0 2 ( z ；g ) ， f 2 ( x ) = e ( w x ；g ) 口( u 2 z ；口) ， 足( z ) = 一口喜1p ( z g 吾1 ；口) 口( z g 百1 ；g ) ， 毋( z ) = ( x e ( x 3 9 ；q 3 ) - t - x - l q e ( x 3 q 一1 ；9 3 ) ) p ( $ ；g ) ， 6 0 入 厅 一 2 矿 = ” 一 n 烈 入 d n ， 2 g = 凯 入 口 日p j l 类j a c o b i - p t , 8 i n a n u j t h e t a 函数恒等式的统一代数方法 第二章线性空问与r r 恒等式 r ( z ) = x a ，( g 孝，。) ， r ( z ) = x a ( q ，z ) ， 马( z ) = x b ( q ，z ) ， 咫( z ) = x c ( q ，茁) ， 局( z ) = ( z 矿( 。口；口) + 。一1 q 口3 ( z 口一；口) ) 口( z ；口) ， f 1 0 ( x ) = ( 口3 ( x w ；q ) + p 3 ( 删2 ；g ) ) 矽( z ；g ) ， 贝1 j 尻( z ) ( 只q ) ，1 i 1 0 证明：根据定理2 1 2 易证，略i 定义2 1 1 对e ) ( 只q ) ，必存在唯一的一组a i ( q ) 、b i ( q ) 使得冠( 。) = 啦( 口) p ( z ) + b i ( q ) q ( x ) ，则称毗( g ) 、玩( g ) 为e ( ) 在( p ，q ) 中的线性系数，简记为啦，玩 定义2 1 2 任取晟( z ) ，弓( 。) ( p ，q ) ，必存在凡j 满足： 尻( z ) 乃( y ) 一乃( z ) 尻( ! ，) = 九，歹( p ( 。) q ( 夕) 一p ( g ，) q ( z ) ) ， 则称九j 为最、弓关于( 只q ) 的对称差系数 这些函数系数之间的关系将在下节中讨论 2 2系数关系 本节，我们给出( p ( z ) ，q ( z ) ) 中三个系数关系式，它们是本文后续研究的 基础 定理2 2 1 vi ，j ，k ，z n ( 自然数集) ，则 九j = 毗幻一q 玩； 。 ，七r ( z ) + 入七，i 弓( z ) + ，k j r ( z ) 三o ； 九，j a j + a t 南a f j + a l ，r ，七三0 证明：i ) 根据定义只( z ) = a z p ( x ) - 4 - 兢q ( 。) ，得 只( z ) 毋 ) 一乃( 。) e ( ! ，) 7 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 第二章线性空阿与r - r 恒等式) l 类j a c o b i p 咖n a n u j a nt h e t a 函数恒等式的统一代数方法 = ( a i p ( x ) + b , q ( x ) ) ( a j p ( y ) + 如q ( 可) ) 一( a j p ( x ) + b q ( z ) ) ( 锄p ( y ) + 玩q ( 可) ) = ( 锄幻一玩) ( p ( x ) q ( y ) 一p ( 可) q ) ) ， 又因为 只( z ) f j ( y ) 一f j ( x ) f t ( y ) = 丸，( p ( z ) q ( 可) 一p ( 3 ，) q ( z ) ) ， 所以九，j = 锄一6 t i i ) 注意到 ，七毗+ a j 哟+ 入t 口 = ( a j b k 一鲰幻) 啦+ ( 钒玩一a i b k ) a j + ( 啦幻一a j b i ) a k = a t a j b k + a k a j b l + a l a k b j a k a t b ，一a t a j b k a k a j b t = 0 同理，知玩+ h ，i + 凡，j k = 0 ，所以，k f _ f ( x ) + 入，t 弓( z ) + 入t ，j f k ( x ) 三0 i i i ) 将( 2 2 2 ) 代人( 2 2 4 ) 的左端，化简后为零，即为( 2 2 4 ) 一 _ 以上三个基本关系式对我们的讨论是十分关键的我们在本章最后一节 中将利用这些等式来建立一些经典的或新的恒等式，这正是本文目的所在 为此，我们需要逐一计算这些系数 2 3线性系数的计算 这一节中，我们将计算前面提到的几个函数的线性系数 2 3 1 线性系数的计算 针对不同的函数，我们将采用三种方法来求所给函数的线性系数，下面 将作一一介绍 第一种方法：在( 2 1 1 ) 式中，对z 、y 取特殊值 定理2 3 1 给定e ( z ) 、a i 、玩，则 a l = f ( q ，口) ( g ；g ) ， a 2 = f ( w q ，u 2 9 ) ( 口；g ) 。， 口3 = 一g 虿1 ，( g i l ，口) ( 口；g ) ， 8 b 1 = 一f ( 1 ，9 2 ) ( g ；口) ； 6 2 = 一u 2 f ( w 2 , w q 2 ) ( g ；g ) ； b 3 = f ( q l ，口；) ( 口；g ) 几类j a c o b i r a m a n u j a nt h e t a 函数恒等式的统一代数方法 第二章线性空同与r - r 恒等式 证明：( 2 1 1 ) 式中取y = 1 ，有 q ( 1 ) p ( z ) 一p ( 1 ) q ( x ) = 口2 ( z ；口) = f 1 ( z ) ， 所以 。刊1 ，= 警= 错= 觥， 刊= 一訾= 一静一雠 类似地，( 2 1 1 ) 式中取y = u ，有 q ( u ) p ( z ) 一p ( u ) q ( z ) = w e ( w 2 茁；q ) o ( w x ；q ) = u 易 ) ， 则得到 眈= u 2 q ( u ) = 尘= 芏铲= 生兰生啬辫= 譬等裔兰譬， b 2 = - w 2 p ( u ) - - ( d 2 ( - w 弋2 , 而- w 矿q 2 ；q 2 ) = = 一u 2 生兰与蔷焉擎= 二眢 ( 2 1 1 ) 式中取y = q ，必有 q ( 口 ) p ( z ) 一p ( g ) q ( z ) = q i o ( x q 一言；q ) g z g ；g ) = _ 凡( z ) 因而得到 n 。= 一q ( 口) = 一g 生兰警 一g i l ，( q i i ，口) 叫两：訾_ 甓蔫磐= 黜 第二种方法：将r ( 。) 按z 的奇、偶次方分成两部分，产生啦p ( z ) + 坟q ( z ) ， 进而求出系数啦、玩 定理2 3 2 r ( z ) 、a i 、6 定义如上，则 0 5 ：口虿1 ( g ；口) f ( 1 ，q ；) ， 6 5 = ( g ；g ) 。，( g ，g ) ； 9 第二章线性空间与r - r 恒等式几类j a e o b i a i l u j a nt h e t a 函数恒等式的统一代数方法 a 6 = g ( 口；g ) ( i ，q 6 ) ， n 7 = w 2 q i ( q ；口) ，( u 2 ，u g ；) ， a 8 = q i ( q ；g ) 。f ( d ，q 4 ) ， b 8 = ( g ；口) 。( q 3 ，q 3 ) ； b 7 = ( g ；g ) 。，( u 2 q l ，u 口) ； b 8 = q i ( q ；q ) f ( q ，q 5 ) 证明：对r ( z ) = 纛：一g ( m 2 + m n + 舻) 扩+ 1 中竹分奇、偶考虑，即令n = 2 t 、n = 2 t 一1 ，则 忍( z ) =g ( m 2 + 2 m + 4 t 2 ) z 钴+ 1 + 口虿1 ( ( m + t ) 2 + 3 t 2 ) z 2 t + 1 + 口虿1 ( m 2 + 2 竹t t m + 4 t 2 4 蚪1 ) 。2 。 ( ( m + n ) 2 一( m + t ) + 3 t 2 3 t + 1 ) $ 2 t 仇，t - = - - o om ，扭一 + + ( 1 2 q 吾1 ( 1 2 + 3 t 2 ) x 辨1 + 口扣12 - h 3 护吨+ 1 ) 1 t = 一l , t - - - t ” + o o- f + + = g 户口t 2 2 2 。t 1 + q l g 扣12 一q t 2 - t x 2 l - - - - o o t - - - z = 一t = 峨 + + = ( g ；口) q ( 茁) q l 。2 + g 苕1 ( g ；口) p ( z ) z - q i ( 。2 一n 在上面的推导过程中，( 1 ) 由变换km + 亡得到于是我们得到 n 5 = q i ( q ；q ) 口i 1 ( 产一) = q l ( q ；q ) ( 1 ，q ) l - - - c o + 6 5 = ( g g ) 。g 2 = ( 删) f ( q l ，g ) 下面，对r ( 。) 、b ( z ) 、见( z ) 用同样的方法处理，进而求出它们的线性系数 r ( $ ) = q m 2 + z 一州 t r f $ ，n = - - 0 0 + = 、广口( m n ) 2 + ( 3 t 7 m 一3 ，1 2 ) + 轨2 茹( m t 1 ) + 1 z 一 m 胆一 ， - i - = q k 2 + 3 k n + 3 n 2 z 卜 n 七= 一 + + o o = q 4 t a + 6 t n + 3 n 2 “+ 9 4 卜2 ”t u - 2 z 2 。 g 佃等 佃= j l i 类j a c o b i r a m a n u j a nt h e t a 函数恒等式的统一代数方法 第二章线性空间与r r 恒等式 于是有 + r z 二一 n = 一 + g t 2 + ( 3 “6 饥+ 3 呐。辨1 + g 2 + ( 妒+ + 3 n 2 ) 一3 ( 。枷) 一。+ 1 产 7 1 , ，t = - - o o + o o 口。2 + 3 产z 脚+ q t 2 + 3 1 2 - 3 1 - t + i 铲 z t = - - 0 0l ，t = - - o o + 0 0+ o o+ 0 0 十 = 9 3 庐g 垆z 2 件1 + 口3 1 2 划“q t 2 - t z 2 z = 一t = - o o l = - c ot = - c x ) + 0 0 - i - 0 0 = ( g ；口) q ( 茁) q 孤2 + g ( g ；口) p ( z ) 9 3 产一瓢 = 一 - t - - - - 一 + 0 0 = 口( 口；g ) g 舻。3 = g ( g ；g ) f ( 1 ，口6 ) ， l = - o o + 0 0 b 8 = ( g g ) q 引2 = ( 州) f ( q z , q 3 ) b ( z ) = g 妒+ 撕彬u 一2 。z 州+ e r a ，t = - - o o + o o 望g 吾1 ( ( 州) 2 + 乳2 ) u m + t z 州+ f n t = - - o o t n t = - - o o + f i r s ，t = - o o 口( 竹户+ 2 竹砧一m + 甜2 一础+ 1 ) u m 一篾+ 1 茁2 。 口( ( m + n ) 2 一( m + ) + 3 庐一3 t + 1 ) u m + t + 1 z 钴 + 0 0+ 垡口( 1 2 + 3 t 2 ) w 2 2 2 t + 1 + 口妒卅3 艮乳+ 1 ) + 1 2 2 。 l , t = - o o + o o g 产 l , t = - o o + 0 0+ 0 0 q t 2 z 弘h + u g i l g 妒一) + 0 0 ，q 矿 l = 一t = 一l = 一0 0 t - - - - - - o o + 0 0+ 0 0 = ( g ；g ) 。q ( z ) q l 2 + u g 喜1 ( 口；口) p ( z ) q i ( * - 1 ) z = 一z = 一 在上面的推导过程中，( 2 ) 处用到已知条件u 一2 = 叫，( 3 ) 处作f = m + t 变换 于是得到 + o o 口7 = u g i l ( 口g ) g 扩- 1 ) = u 口口) ，( u u 一1 9 ；) b 7 = l = - o o u g 喜1 ( g ；g ) ，( u ，u 2 9 ) = u 2 口( g ；口) o o ，( u 2 ，u 口i ) ， + o o ( g g ) q l 。2 = ( q 口) f ( w q ，u 一1 9 ) = ( 删) f ( w q ，u 2 口) 1 = 一 1 1 佃 佃 第二章线性空间与r - r 恒等式几类j a c o b i - r a m a n u j a nt h e t a 函数恒等式的统一代数方法 + 风( 。) = g m 2 + 一+ n 2 + 仇+ 。m n + 1 ，n n = 一 + 所以 m - 1 + ) + 2 n - i - 。( m n ) + l n t = 一 口4 t 2 4 t + 1 + 一3 n + 3 n 2 + 2 t l + 2 n + x 2 t + 0 0 击2 t + 1 + f j 【一 n t = - - o o 矿2 + ( 3 t 2 + 6 机+ 3 n 2 ) 一一n 一件z 2 。 口t 2 + 3 。2 一一。+ z 2 t l = - o ol = - - o o a 8 = ( 口口) 一2 卅kq i ( q ；q ) f ( q 2 ，q 4 ) l = - o o + 6 8 = ( 删) q 3 1 2 + 2 1 + = g g ) f ( q ，9 5 ) 第三种方法：利用p ( 茁) 、q ( z ) 零点的互异性来计算 当z = 幻 时，p ( x ) = ( 口；口2 ) ，q ( x ) = 0 ，则有 。当z 兰i 时，p ( x ) = 0 ，q ( x ) = 鱼 ) 只r 卫、 f i ( i q - - 。- - 瓯2 雨2 丽 z ( 口；q 2 ) 。，则有 玩= 器= 搿 定理2 3 3 晟 ) 、砚、玩定义如上，则 a 4 2 q ( ( g - 3 q ；9 2 3 ；) q 2 ) o 。，f 、 一口2 _ q 1 0 ) ，a 4 一( 9 3 ；9 3 ) ，、一口 1 2 ) ) - 佃 几类j a b i r 锄a l l u j 姐t h e t a 函数恒等式的统一代数方法第二章线性空同与r _ r 恒等式 k = 器卅伽2 ) ； 钧= 訾 ，3 ( 幻 ，一幻g ) 一，3 ( 一幻，幻) ) ， 6 9 = 史二瓣 ，3 ( 幻，一i q ；) + i ，3 ( 一幻，幻) ) ； 口，。= 与署警 ，3 ( 口，一曲2 口；) + ，3 ( 一讪g ，2 口) ) ， 6 - 。= 史j 等 ，3 ( 一讪，讪2 9 ) + t ，3 ( 讪，一伽2 9 ) ) 证明：在计算计算a 4 、6 4 的过程中，我们将用到以下两个等式：f 1 ，p 4 6 ，e n t r y 3 0 ( i i i ) 】和【5 ，p 1 4 6 ，e