（应用数学专业论文）几类具连续变量的时滞偏差分方程的振动理论.pdf

中文摘要华东师范大学硕士论文，i 摘要 自二十世纪九十年代开始，随着科学技术的发展，越来越多的多变量系统 及多维信号，图像的复原、人口动力学、量子化学等诸多学科领域，都涉及大 量的泛函偏差分方程，振动性理论作为偏差分方程定性理论研究核心内容之 一，对它进行研究不仅具有理论与应用的双重价值，也是及其追切和重要的。 离散型的时滞偏差分方程的研究已经很多，本论文主要研究几类具有连续 变量的时滞偏差分方程。首先利用l a p l a c e 变换及引入特征方程的方法讨论了推 广了常系数时滞偏差分方程形式，研究其正则解的充要条件和判别准则，并用 实例加以应用：其次，利用函数的单调性进一步研究较上一章稍复杂的变系数 时滞差分方程的所有解的振动准则，改进以往文献中的结论，使之适合更广泛 方程解的振动判别，同时用实例加以说明；最后，在第三章的基础上讨论更复 杂的具连续变量的非线性时滞偏差分方程的振动理论。 关键词：泛函偏差分方程，时滞，连续变量，振动性，正则解，l a p l a c e 变换， 特征方程，单调性，非线性，最终正解，最终负解 英文摘要华东师范大学硕士论文i i a b s t r a c t s i n c et h e19 9 0 s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，i l l o r ea n dm o r e m u l t i - v a r i a b l es y s t e m sa n dm u l t i d i m e n s i o n a ls i g n a l ，i m a g er e s t o r a t i o n ，p o p u l m i o nd y n a m i c s ，q u a n t u mc h e m i c a le t c ，m a n yd i s c i p l i n e si n v o l v e sl o t so ff u n c t i o n a le q u a t i o n s d e v i a t i o n 。o s c i l l a t i o na sb i a sq u a l i t a t i v et h e o r yi so n eo ft h ec o r ec o n t e n t s ，r e s e a r c ho n i t ss t u d yn o to n l yh a st h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no ft h ed u a lv a l u e ，a l s oi st h ei m p o r t a n t a n d u r g e n t t h e r ew e r es om a n yr e s e a r c h e so nd i s c r e t et i m e d e l a yd e v i a t i o ne q u a t i o n s t h i s t h e s i sc o n t i n u o u s l ys t u d i e dt h ev a r i a b l ed e l a yp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n so nt h er e s e a r c h e so fo t h e r s f i r s t l y ，u s i n gl a p l a c et r a n s f o r ma n di n t r o d u c i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o nm e t h o do fg e n e r a l i z e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hc o n t i n u o u sv a r i a b l e ，s t u d i e dt h eo s c i l l a t i o nc r i t e r i ao nr e g u l a r i z e ds o l u t i o na n de x p l a i n e dt h ea p p l i c a t i o n so f t h ec o n c l u s i o nw i t hs o m ee x a m p l e s ；s e c o n d l y , f u r t h e rr e s e a r c h e dt h eo s c i l l a t i o no ft h e t i m ed e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hc o n t i n u o u sv a r i a b l e sw h i c hs l i g h t l yc o m p l e xw i t h m o n o t o n i c i t yo ff u n c t i o n s ，i m p r o v e dt h ec o n c l u s i o nt h a tf i tm o r ew i d e l ye q u a t i o n sw i t h e x a m p l e s ，a n dv i b r a t i o nd i s c r i m i n a n te l u c i d a t i o n ；f i n a l l y , b a s e do nt h et h i r dc h a p t e r d i s c u s s e dt h eo s c i l l a t i o no ft h en o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hc o n t i n u o u s v a r i a b l e sw h i c hm o r ec o m p l i c a t e d k e yw o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n ，d e l a y , c o n t i n u o u sv a r i a b l e s ，o s c i l l a t i o n ， l a p l a c ec h a n g e ，p o s i t i v es o l u t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：日期： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 i 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 导师签名： 到关波 日期：一一t ”乙 第一章绪论华东师范大学硕士论文1 第一章绪论 1 1 问题的提出与应用背景 涉及两个或多个自变量的差分方程叫偏差分方程。出现多元函数的偏导数 的微分方程中是偏微分方程。相对于偏微分方程而言，偏差分方程的研究工作 是很少的，但偏差分方程在用无穷差分方法求偏微分方程近似解、随机游动、 分子轨道和数学物理等问题中常常出现，对其定性理论的研究之所以越来越受 诸多研究者的关注，也是近代计算机技术的发展与复动力系统以它作为数学模 型等背景的推动所致。自二十世纪九十年代开始，偏差分方程定性理论的研究 成为一个新的、相当活跃的学术领域。 随着科学技术的发展，人们发现在人口动力学和化学反应过程等实际问题 中，某些现象的出现或改变并不是瞬时完成的，在它们的数学模型中包含着时 滞，即模型是带有泛函变元的方程。越来越多的多变量系统及多维信号，如 多维数学滤波器、多变量网络实现和地震检测数据，多维数字图像的综合处 理，x 一射线图片的增强，森林火灾及农作物灾情预报区域照片的增强和分析， 卫星气象云图的描述和分析，图像的复原等诸多学科领域，都涉及大量的泛函 偏差分方程模型，见文献【4 8 1 【5 2 】，所有这些都为泛函偏差分方程振动理论的 发展提供了深刻的工程物理背景，因而对于这一理论的研究具有理论与应用双 重价值，也是及其迫切和重要的。 5 1 2 具连续变量的时滞偏差分方程振动理论的发展概况 对时滞偏差分方程解的振动性研究，主要是两大类方程，一类是离散变量 的时滞偏差分方程，另一类则是具有连续变量的时滞偏差分方程。研究思路从 研究其中一个变量带滞后的情形( 见文献【1 0 - 【1 3 】) 到对一般的双指标均带滞 后的情形( 见文献【1 5 ，1 6 】) ，从系数为l 到系数为字母表示的正实数再到系数 出现正负的偏差分方程，从线性偏差分方程到非线性偏差分方程。 众多研究中大部分围绕第一类方程进行研究( 见文献 1 3 】【1 5 ，【1 9 ，【2 2 】- 【3 5 1 ， 5 4 - 【6 6 】) ，具有连续变量的时滞偏差分方程的研究相对较少( 见文 献 1 ，【6 1 1 9 】， 3 6 ， 4 0 一 4 7 】) 。其中文献 4 1 - - - 4 3 i , - j - 论了具有连续变量的线 性时滞偏差分方程，文献【4 0 】，【4 4 【4 7 1 研究了具有连续变量的非线性时滞偏 第一章绪论 华东师范大学硕士沧文2 差分方程。 本节主要介绍具有连续变量的时滞偏差分方程振动理论的研究进展。 1 9 9 9 年张炳根在文献 1 】研究了形如 a ( z + l ，y ) + a ( x ，y + 1 ) 一a ( z ，y ) + p ( x ，y ) a ( x 一7 - ，y 一盯) = 0 的具连续变量的常系数线性时滞偏差分方程的解的振动性，而文献 3 6 在上述 方程基础上讨论了方程 a ( x + a ，可) + a ( x ，可+ a ) 一a ( x ，可) + p ( x ，y ) a ( x 一下，秒一盯) = 0 的相关准则。2 0 0 4 年王春艳在其学位论文 9 】中改变以上方程的系数和偏元讨论 了方程 a a ( x + l ，y + 1 ) + b a ( x + 1 ，y ) - p a ( x ，可) + q i a ( x 一矾，y 一亿) = 0 i = 1 所有正则解振动的充要条件及判别准则。2 0 0 5 年苑运良【8 贝j j 研究了具有连续变 量的时滞偏差分方程 a ( z + 口，可) + a ( x ，可+ 6 ) 一a ( x ，可) + e p t ( z ，y ) a ( x 一以，y t ) = 0 i = 1 的所有解的振动准则。同年文献【7 】在文献【6 冲方程 p l z ( x + a ，y + b ) + 忱z ( z + 口，可) + p 3 z ( z ，y + b ) - p 4 z ( z ，芗) + p ( z ，y ) 。( z 一7 - ，y 一盯) = 0 的基础上引入参数e a * 讨论了方程 d l a ( x + 。，y + b ) + d 2 a ( x + a ，y ) + d 3 a ( x , 耖+ 6 ) 一d 4 a ( x ，箩) + e p i ( z ，y ) a ( x - r i ，y - a i ) = 0 i - - - - 1 的振动理论。但文献【7 】在实际应用中有其局限性，本论文第三章将就其进行进 一步探讨。 以上是线性时滞偏差分方程的研究概况，对于非线性时滞偏差分方程，是 第一章绪论 华东师范大学硕士论文3 从文献【2 1 的作者研究方程 a ( z + o ，可) + a ( z ，可+ a ) 一a ( x ，y ) + h t ( z ，y ，a ( x 一吼，y 一气) ) = 0 t = 1 开始的，接下来的文献【2 0 1 也用了类似的方法即利用t a y l o r 展开式将非线性偏差 分方程线性化，从而得出相应的振动性理论。而文献 4 5 1 在上述方程基础上讨 论了形如 a ( z + o ，可) + a ( x ，y + o ) 一a ( x ，可) + p i ( x ，y ) f i ( a ( x 一亿，y 一吼) ) = 0 i = 1 的具有连续变量的非线性偏差分方程。继而文献 4 7 【8 】又将之稍加修改讨论了 方程 a ( z t a ，y ) + q ( z ，y ) a ( x ，y + a ) - r ( x ，可) a ( z ，3 ) + h t ( z ，y ，a ( x - a 1 【，秒一亿) ) = 0 i = 1 a ( z + a ，y ) + m 协y ) a ( x ，y + b ) - n ( x ，y ) a ( z ，芗) + a ( z ，y ) a ( x - a t ，y - r d = 0 1 = 1 a ( z + o ，秒) + m ( z ，y ) a ( x ，y + b ) - n ( x ，y ) a ( x ，y ) + 五( z ，y ，a ( x - a i ，可一兀) ) = 0 本论文第四章将继续改进以上方程研究非线性时滞偏差分方程的振动准则。 1 3 本论文的主要研究内容 所谓方程解的振动指的是：设方程的解a ( x ，分) 连续，当o z o 0 ，y y o o h ，有a ( x ，y ) 0 ，则说方程的解是最终正的，若a ( z ，y ) 0 ，p 0 ，瓦，吼是非负实 本章将它进行推广从而讨论更具有一 d l a ( x + a ，y + b ) + d 2 a ( x + a ，y ) + d 3 a ( x ，y + b ) 一d 4 a ( x ，y ) + 妻硝( z 飞可刊：o q - 正则解的振动准则，其中d 1 ，d 2 ，d 3 ，p i 0 ，气，吼0 定义2 1 1 如果存在正常数m ，h ，k ，使得对于充分大的z ，y ，有 i a ( x ，可) i m e h x + k 可 ( 2 2 ) 我们称方程( 2 1 ) 的解a ( x ，可) 是正则的。 定义2 1 2 令a ( x ，y ) 是定义在u = o x o 。，0 y o o ) 上的二元函数，并 且在u a ，6 = o z o ，否则，若妒( s ，t ) 0 ，则妒( s ，) 有解，有妒( s ，t ) = ，( e 8 ，e 。) = 0 ，即特征方程有正解，矛盾。 ( 2 ) w ( s ，舌) 是最终负的。由方程( 2 1 0 ) 知w ( s ，) 主要受矽( s ，t ) 控制， 而e 一矾一妣是移( s ，t ) 的控制项。 ( 1 ) ，( 2 ) 出现矛盾，假设不成立。证毕 定理2 2 2 若d 4 0 ，并且 a h ( a o ，加) 1 ，( 入o ，肋) 是 ( 入，p ) 的最小值点 ( 2 11 ) t = 1 则方程( 2 1 ) 的每个正则解振动。 证明：对于特征方程( 2 7 ) ( i ) 当d x a 口矿+ d 2 a 口+ d 3 # 6 d 4 时必无解， ( i i ) 当0 d l 入。+ d 2 入。十如矿 也时： ，(九脚=(d4-dzaa让b-d2aa-d312b)(_1+砉鼽一入-rilu-ai ) = 0 令 m 川= 再采 此函数在点( a o ，伽) 处取得最小值，其中( 沁，肋) 由m a t l a b 易得解，但结果比 较复杂，暂记为： m 6m i n o 1 由定理2 2 2 知方程正则解振动。 第三章具连续变量的变系数时滞偏差分方程解的振动 华东师范大学硕士论文1 0 第三章具连续变量的变系数时滞偏差分方程解的振动 3 1 方程描述 本章讨论较前章稍复杂的时滞偏差分方程的振动准则，我们主要关注文 献【l 】【7 】，文献【6 】讨论的方程是本章及文献【7 】所讨论方程的一种特殊情 况，所得结论也相对完整，而文献 7 】则引入一个参数e ”，用一种新技巧讨论 方程的振动性，在一定意义上所得结论比文献 6 】更加放松，但其中所加条件使 其结论适用的方程范围受到限制，在某些情况下讨论过程中出现解高次多项式 方程，不免使过程复杂化。文献【8 】中讨论的是系数均为1 的时滞偏差分方程， 本章将用类似的方法，应用函数的单调性讨论如下形式的时滞偏差分方程解的 振动性，不仅推广文献【6 】及文献【8 】和【9 】中方程的形式，而且解决了一些文 献 7 】所不适合讨论的方程的解的振动性判断。 d l a ( x + a ，y + + d 2 a ( x + a ，y ) + d a a ( x ，y + 6 ) 一d 4 a ( x ，y ) + 壹鼽( 删) a ( z 飞掣一吼) ：o 3 j 其中鼽c ( r + xr + ，计) ，a ，b ， r i ，吼 0 ，d 1 0 ，d 2 ，d 3 d 4 0 接下来，我们开始讨论并结合实例加以说明。 3 2 结论及其证明 本节当中，我们设i = 1 ，2 ，u ： ( 1 ) r i = 口+ 晚，砚= l i b + 魄，l i 0 ，以 0 ，o ) ，咖 0 ，b ) ( 2 ) q t ( z ，y ) = m i n p , ( z ，加) l z z z + a ，y w y + b ，x x o ，y y o l i m i n fq ( z ，y ) = q i 0 z y o 。 第三章具连续变量的变系数时滞偏差分方程解的振动华东师范大学硕士论文l l ( 3 ) = m i n k i l o = m i n l i 类似于文献【7 】中的引理2 1 ，我们有以下结论： 引理3 2 1 如果a ( z ，钞) 是方程( 3 。1 ) 的最终正解，设 u ( z ，秒) = z 茁+ 口计。a ( 牡，钐) d u 咖 那么u ( z ，3 ，) 是以下偏差分不等式的最终正解： d x w ( x + a ，y + b ) + 如u + a ，y ) + d a w ( x ，y - i - b ) 一d 4 w ( x ，y ) + 壹q 咖) ( z 一哪一k 6 ) o 3 2 且罄 0 ，等 0 现给出如下定理： 定理3 2 1 若方程( 3 1 ) 满足以下四个条件之一： ( i ) 当k o ，l o o 时，记= m i n k i ，如) ， 第三章具连续变量的变系数时滞偏差分方程解的振动华东师范大学硕士论文1 2 1 d 4 ( i i ) 当k o 0 ，l o = 0 ( i i i ) 当k o = 0 ，l o 0 ( i v ) 当= 0 ，幻= 0 则方程的解振动 吼c 半，仇芋 1 ； 二r d 4 缶吼c 抄半 1 ； 二r d 4 白磅罕 1 ； 1o 五荟驴1 ； i e u ：假设方程( 3 1 ) 非振动，不妨设a ( x ，可) 是其最终正解 ( i ) 当，l o 0 时，由引理3 2 1 中不等式及u ( z ，可) 的单调性得 ! 垡! 堕当2 箬! 兰：竺! 望竺一1 d 4 0 9 ( x ，y j 1 且有界， ( 3 9 ) 商 u 试 1 一也 一 l i 第三章具连续变量的变系数时滞偏差分方程解的振动华东师范大学硕士论文1 3 从而得 酾d l + d 2 + d 3 一一去骞重s c x - j a , y - j 记= l i m i n f s ( x ，箩) 【1 ，+ o o ) 因此，我们有 o + 警- 1 0 ，l o = 0 时，由引理3 2 1 中不等式及u ( z ，矽) 的单调性得 令 d z u ( x + a ，y ) d 4 w ( x ，y ) 一1 1 且有界，从而有 记 d 4 s ( x ，y ) 对( 3 1 9 ) 取极限，有 易觅 令 q 舡川絮妻芒烈 k i q t ( z ，可) 1 1 s ( z ，y ) 一一击喜 j = l u ( z 一歹o ，y 一吼) u ( z j o + a ，y 一吼) w ( x ，y ) u ( z + o ，y ) = l i m i n f s ( x ，可) ，f = 【1 ，+ ) o y + o o 。 c f 2 也 f 了d 2 ， d 4 ，( ) 1 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) u：l l 一血 一 l l u 汹 1 一血 一 0 时，证明过程类似于k o 0 ，1 0 = 0 ，在此省略。 ( i v ) 当k i = l o = 0 时，同样的，我们有 0 l u l z ，y j ，那么 去善吼 l 所以此例中方程( 3 2 7 ) 并不满足( 3 3 1 ) ，但是由定理3 2 1 知其解振动，因而定 n 3 2 i 完善了文献【7 的结论。 第t 章具连续变量的变系数时滞偏差分方程解的振动华东师范大学硕士论文1 7 例2 考虑如下偏差分方程 a ( x + 2 z r ，y + 2 7 r ) + 4 a ( x + 2 7 r ，y ) + 3 a ( x ，y + 2 7 r ) 一2 a ( z ，y ) + p ( z ，y ) a ( x 一3 7 r ，y 一3 r e ) = 0 ， 其中p ( z ，y ) = 警+ s i n x + s i n y 从方程中我们有 乱= 1 ，k = z = 1 ，叩= l ，d l = 1 ，如= 4 ，d 3 = 3 ，d 4 = 2 口i 。m i nz z z + 2 7 r 比) = y w y + 2 r e 通过计算，方程( 3 3 2 ) 满足定理3 2 1 中的条件( i ) ： 去喜吼c 驾半，啦艺芋可1 引1 半) 1 学= 1 因此方程( 3 3 2 ) 的所有解振动。 若用文献【7 】中的推论2 2 ，我们先要计算特征值e ”。利用该文献中的方 程( 1 6 ) ( 本文中的( 3 2 9 ) ) ，有 2 ( 1 一e r ) = i 1 e - 2 ”( ；) 1 ( ；) 1 l o e 3 x 。一l o e 2 x + 3 = 0 尽管此方程关于e a 。有解，但过程繁琐。进而如果+ 如 2 ，由文 献【7 】中( 1 6 ) 式( 本文中的( 3 2 9 ) ) 将得出高次方程，要讨论振动则更加不便，例 如以下这个例子。 例3 方程： a ( z 十2 7 r ，y + 2 r ) + a ( x + 2 r e ，y ) + a ( x ，y + 2 7 r ) 一a ( x ，y ) ( 3 3 3 ) 却l ( z ，u ) a ( x 一7 r ，y 一3 7 r ) + p 2 ( z ，u ) a ( z 一3 r e ，y 一5 7 r ) = 0 ， 第一三章具连续变量的变系数时滞偏差分方程解的振动华东师范大学硕士论文1 8 其中p l ( z ，y ) = i 1 1 + s i n x + s i n y ，p 2 ( z ，秒) = i + s i n x s i n y 易见： u = 2 ，k l = 0 ，i x = 1 ，k 2 = 1 ，1 2 = 1 ，d 1 = d 2 = d s = d 4 = l ， 口1 2m i n z z z + 2 7 rp l ( 名，叫) = y w y + 2 丌 q 2 = m i nz z z + 2 7 rp 2 ( 名，叫) = 1 2 可w y + 2 7 r 通过计算，方程( 3 3 3 ) 满足定理3 2 。1 的条件( i i i ) ： = 圭吾( 圭) 1 ! 三二j 兰+ 丢! 三二乏；芝：三吾 l 所以方程( 3 3 3 ) 的解振动。 但若用文献【7 】中的定理2 1 ，此方程同样满足该条件： 去骞吼c 鼽耖= 器1c 双) 1 + * 1e 瓣) 2 ：h = 孟 o ，且设i = 1 ，2 ，扎： ( 1 ) 凡= 口+ 仇，吼= l i b + 妒t ，k l ，l i 0 ，o i 【0 ，o ) ，吡【0 ，b ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) q t ( z ，y ) = m i n p i ( z ，伽) i z z z + a ，y w y + 6 ，z z o ，y y o l i m i n fq i ( z ，y ) = 绒0 o ，g o o k o = m i , 己 k d 。l o = r a i n h i n fm ( z ，y ) = m o 0 z y e r + 、7 i n f ( z ，y ) = n o 0 o y e r + 、。 第四章具连续变量的非线性时滞偏差分系统的振动准则华东师范大学硕士论文2 0 5 4 2 结论及其证明 引理4 2 1 方程 s u pv ( z ，y ) = g o 0 z ，y e r + a ( z + a ，y + b ) + m o a ( x + a ，夕) + n o a ( x ，y + b ) 一a o a ( z ，y ) + 壹鼽( 删帅可咱) ：o 4 3 有最终正解的充要条件是不等式 a ( 。+ a ，y + b ) + m o a ( x + a ，y ) + n o a ( x ，y + b ) 一g o a ( x ，y ) + 壹眈( 砌) a ( z 飞可一吼) o 4 4 有最终正解。 证明：设a ( z ，秒) 是方程( 4 3 ) 的最终正解，则a ( z ，可) 一定满足不等式( 4 4 ) ，必要惶2 显然成立。 再证充分性。设a ( x ，可) 是不等式( 4 4 ) 的最终正解，则一定存在一个充分大 的t o ，当z t 或y t 时，a ( x ，y ) 0 ，a ( x 一下，y 一盯) 0 ，式中 丁。燃 n ) ，盯2l m t 时，警 0 c o w ( z ，y ) 一m o w ( t + 7 ，丁+ 盯) 0 m = 邻( z ，分) ( z ，可) 连续，0 v ( x ，y ) g o a ( x ，可) ，z t + 7 或y t + 盯) 在集合m 上定义映射f ：m _ c ( r r ；r ) 如下，对v v ( z ，y ) m 上式中 z t + 丁或y t + 盯 t z 銎t + t ，0 y t 0 z t ，t y t + 盯 t z 0 由映射f 的定义及f 移= 乃，得 司( z o ，y o ) = + f 雷( z o ，y o ) 赤l 面( z o + o ，y o + 6 ) + m o 百( x o + n ，珈) + n o v ( x o ，y o + 6 ) 耋。， - - t i ，- - f f i p i ( xy ) v ( x o y01) ， ) l l =j 注意到p i ( x ，y ) 0 ，从而百( z o ，y o ) o 与假设矛盾，所以可( z ，可) 最终为正，并 且满足 百( z ，y ) = 丽1 | 百( z + n ，y + 6 ) + m o 石( x + o ，! ，) + n o 石( x ，y + 6 ) + 耋二t ( z ，) 万( x - v i , y - a i ) l = l j 也就是方程( 4 3 ) 的最终正解。 引理4 2 2 方程 a ( x + a ，y + b ) + m o a ( z + a ，y ) + n o a ( x ，y + b ) 一g o a ( x ，y ) 有最终负解的充要条件是不等式 一死，y 一吼) = 0 a ( x + a ，y + b ) + m o a ( x + a ，y ) + n o a ( x ，y + b ) 一g o a ( z ，y ) 有最终负解。 + 仇( 。，3 ) a ( z 一兀，y 一矾) i - - - - 1 证明类似于引理4 2 2 ，在此略。 0 证毕 ： ( 4 5 ) ( 4 6 ) za y z 矽 n 汹 第四章具连续变量的非线性时滞偏差分系统的振动准则 华东师范大学硕士论文2 3 利用第三章之定理3 2 1 有 定理4 2 1 引n 4 2 1 中之方程( 4 3 ) 满足以下条件之一： ( i ) 当，l o o 时，令很= m i n k i ，如) ： 壶喜吼c 半，仇巴孚札 ( i i ) 当k o 0 ，l o = 0 时： 麦喜吼c 等，堕蔫掣 ，； ( i i i ) 当k o = 0 ，l o 0 时： ( i v ) 当k o = 0 ，l o = 0 时： 壶善吼誓 则方程的解振动。 定理4 2 2 方程( 4 1 ) 满足以下条件时振动： ( i ) k o ，l o 0 ，令耽= m i n k i ，d ： 击喜吼c 半，m 巴乒坫 ( i i ) k o 0 ，l o = 0 ： 半 瓦 竹僦 土岛 半 堕岛 n 汹 第四章具连续变量的非线性时滞偏差分系统的振动准则华东师范大学硕士沦文2 4 ( i i i ) k o = 0 ，l o 0 ： ( i v ) k o = 0 1 0 = 0 ： 1 三， a o 。：吼 1 证明：1 ) 假设a ( x ，可) 是方程( 4 1 ) 的一个最终正解，易得 a ( x + a ，y + 6 ) + m o a ( x + a ，y ) 十n o a ( x ，y + b ) 一g o a ( x ，y ) + p i ( x ，y ) a ( x 一氕，y 一以) 0 i = l 由引n 4 2 1 知，若a ( x ，可) 是此不等式的一个最终正解，则方程( 4 3 ) 有最终 正解，但是方程( 4 3 ) 满足本定理中条件( i ) ，( i i ) ( i i i ) ，( i v ) 之一时振动，与之矛盾。 2 ) 假设a ( x ，) 是方程( 4 1 ) 得一个最终负解，同理由引理4 2 2 可得矛盾。 所以假设不成立，即方程( 4 1 ) 振动。 证毕 定理4 23 若 ( i ) 五( z ，y ，钆) 关于让单调递增，并且当让o 时，五( z ，y ，t 1 ) 轨( z ，拶) u ；当 u o 时，五( z ，y ，让) p ( z ，可) u ； ( i i ) 定理4 2 2 的条件成立 那么方程( 4 2 ) 的解振动。 证明：用反证法。假设a ( z ，可) 是方程( 4 2 ) 的一个非振动解，不妨设其为最终正 解，利用条件( i ) ，可得 a ( x + a ，y + b ) + m o a ( x + a ，y ) + n o a ( x ，y + b ) 一g o a ( x ，y ) 半 丽 。僦 土岛 o 一 以 一 yi = ：- 一 za 可 z p n 谢 + 第四章具连续变量的非线性时滞偏差分系统的振动准则 华东师范大学硕士论文2 5 即不等式( 4 4 ) ，以后证明如定理4 2 2 ，从而方程( 4 2 ) 满足定理4 2 2 之条件时振 动。 证毕 结束语华东师范大学硕士论文- 2 6 结束语 研究偏差分方程振动性问题大致为以下几种： 1 ，寻找保证方程一切解振动的条件，在现有的研究中，除去对于常系数方 程可厍j l a p l a c e 变换和z 变换外，主要利用反证法来得出条件； 2 + 讨论振动解的存在准则和不存在准则； 3 + 建立比较原理，用一类比较简单的已知方程解的定性性质，通过对方程 之间数量变化的比较，来得出更为广泛的类方程的振动信息； 4 + 研究振动解的各种应用，特别是在生态模型和经济领域中的应用。 本文主要利用1 + 和3 + 进行研究，得到以下结论： ( 1 ) 利用l a p l a c e 变换及引入特征方程的方法讨论推广的常系数时滞偏差分 方程形式，研究其正则解的充要条件和判别准则，并用实例加以应用； ( 2 ) 利用函数的单调性进一步研究较上一章稍复杂的变系数时滞差分方程 的所有解的振动准则，改进以往文献中的结论，使之适合更广泛方程解的振动 判别，同时用实例加以说明； ( 3 ) 在第三章基础上讨论更复杂的具连续变量的非线性时滞偏差分方程的 振动理论。 有关本论文中形式方程的研究较少，以后我们还可以继续针对2 + 和4 + 进行考 虑，或者进一步考虑正负系数形式的具连续变量的时滞偏差分方程解的振动。 这些方面的文献，还未见公开发表的文章，作者对其进行了一些研究，但是还 没有得到满意的结果，今后将继续关注泛函偏差分方程领域的研究结果，借鉴 更好的研究方法和技巧，争取得到更大的突破。 参考文献华东师范大学硕士论文2 7 参考文献 【1 】b g z h a n g ，b m l i u 。n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f p a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t h c o n t i n u o u sv a r i a b l e s ，c o m p u t ，m a t h a p p l 3 8 ( 5 6 ) ( 1 9 9 9 ) 1 6 3 1 6 7 【2 】s k c h o i ，n j k o o ，b g z h a n g ，t h eo s c i l l a t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hc o n t i n u o u sa r g u m e n t s ，c o m p u t ，m a t h a p p l 4 1 ( 1 2 ) ( 2 0 0 1 ) 1 2 9 5 - 1 5 0 3 【3 】b g z h a n g ，r e a g a r w a l ，t h eo s c i l l a t i o na n ds t a b i l i t yo fd e l a yp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n ， c o m p u t ，m a t h a p p l 4 5 ( 2 0 0 3 ) 1 2 5 3 1 2 9 5 【4 b g z h a n g ，y z h o u ，n o n e x i s t e n c eo fm o n o t o n es o l u t i o n so fn e u t r a lp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a - t i o n s d y n a m s y s t e m sa p p l 1 4 ( 2 0 0 5 ) ，n o 2 2 2 5 - 2 4 3 5 】c h g p h i l o s ，i k p u r n a r a s ，i e s t a v r o u l a k i s ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no fd e l a y d i f f e r e n c ee q u a t i o n s j d i f f e r e n c ee q u a p p l 1 0 ( 2 0 0 4 ) ，n o 4 ，4 1 9 4 3 5 【6 】r e a g a r w a l ，y z h o u ，o s c i l l a t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hc o n t i n u o u sv a r i - a b l e s ，m a t h c o m p u t m o d e l i n g31 ( 2 3 ) ( 2 0 0 0 ) 1 7 2 9 【7 b g z h a n g ，y h 。w a n g ，o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rc e r t a i nd e l a yp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s ， a p p l i e dm a t h e m a t i c sl e t t e r s1 9 6 3 9 6 4 6 2 0 0 6 【8 】y l y u a n ，q u a l i t a t i v ea n a l y s i sf o rk i n d so fp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，d e g r e ep a p e r ，y a n s h a n u n i v e r s i t y ，2 0 0 5 【9 c y w a n g ，o s c i l l a t i o n so ff u n c t i o n a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a - t i o n ，d e g r e ep a p e r ，y a n s h a nu n i v e r s i t y ，2 0 0 4 【1 0 】s s c h e n ga n db g z h a n g ，q u a l i t a t i v et h e o r yo fp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n 0 ) ：o s c i l l a t i o n o fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n t a m k a n gj m a t h ，1 9 9 4 ，2 5 ：2 7 9 2 8 8 【11 】s s c h e n g ，s l x i ea n db g z h a n g q u a l i t a t i v et h e o r yo fp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a