（应用数学专业论文）具周期系数差分方程的振动性.pdf

摘要 p 0 3 3 7 5 2 5 本论文分三章，分别讨论了皋面i 磊奠渐近周期系数差分方程的振动性j 其中 p 。( 。) ) ( ：0 ，m ) 是以正整数工为周期的非负的周期序列， k 是非 负整数，且存在正整数q 使k = u 扛( 江0 ，1 ，m ) ； 。+ p 1 ( n ) ，( z 。一k ) = 0 ，n ( ，) 其中 p 1 ( n ) ) 是渐近周期序列；，c ( r ，丑) 。+ p ( n ) ( z 川。) = 0 ( i t 。) k = 0 其中0 ：( n ) ) ( 自= 0 ，m ) 是渐近周期序列； c ( r ，丑) 泣o ，1 ，“ z 。一p g ( z 。一) + 9 。 ( 2 川) = 0 f l y ) 其中 肌) 是非负实数序列， ) 是渐近周期序列，g ，h c ( r ，丑) ”。( o n p z n kj + q n v r , 一f = 0 l j 、：，一、 其中。是正的奇数整数， 鼽) 是以正整数女为周期的非负周期序列， 在第一章建立了差分方程( i ) 振动的充分必要条件，在第二章中讨论了差 分方程【i i ) ，( i l i ) ，( ) j 振动的充分条件在第三章中获得了奇数阶差分方程 l ( v l 振动的充分条件 关键词差分方程，振动性，渐近周期系数，周期系数 s e v e r a ld i 厅e r e n c ee q u a t i o nw i t h ( a s y m p t o t i c a l l y ) p e r i o dc o e f f i c i e n t sa r ei n v e s t i g a t e d r e s p e c t i v e l y ： 竹t z 。+ p ( n ) 。叫。= 0 n ( o )( j ) k = 0 w h e r e m ( n ) ) ( = 0 ，c d o t s ，m ) a r en o n n e g a t i v ep e r i o d i cs e q u e n c e sw i t hc o m m o np e r o i o dl ( l n ( 1 ) ) k ( k = 0 ，m ) a r en o n n e g a t i v ei n t e g e r sa n dt h e r ee x i s t sp o s i t i v e i n t e g e r s 啦s u c ht h a tk = v i l ( i = 0 ，1 ，m ) z 。+ p 】( n ) ，( z n k ) = o ， n n w h e r e p l ( n ) ) i sa na s y m p t o t i c a l l yp e r i o d i cs e q u e n c e ；，c ( - 8 ，- 8 ) m z 。+ p ：( n ) ( z 。一f 。) = 0 b = 0 ( ，) ( 1 1 1 ) w h e r e 巩( n ) ) ( = 0 ，m ) a r ea s y m p t o t i c a l l yp e r i o d i cs e q u e n c e ； c ( - 8 ，r ) i 0 1 、- ” z 。一p g ( zk ) 】+ g 。h ( z 。一f ) = 0( i v ) w h e r e h ) i s an o n n e g a t i v er e a ln u m b e r s e q u e n c e s ， ) i sa l la s y m p t o t i c a l l yp e r i o d i c s e q u e n c e ；g ，h c ( - 8 ，冠) a n d “( z 。一p z 。一k ) + g n 。一l = 0( y ) w h e r emi sap o s i t i v eo d di n t e g e ra n d 骱) i san o n n e g a t i v ep e r i o d i cs e q u e n c ew i t h p e r i o d 女( 女( 1 ) ) i nc h a p e r1 ，w ee s t a b t i s hn e c e s s a r ya n ds u 伍c l e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no f t h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n ( i ) i nc h a p t e r2 w ed i s c u s st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e o s c i l l a t i o no f d i f f e r e n c e e q u a t i o n ( i i ) ，( i i i ) a n d ( i v ) hc h a p t e r3 ，w e o b t a i n e ds u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h eo s c i l l a t i o no ft h eo d d - o r d e rn e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n ( v ) k e yw o r d s ：d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，o s c i l l a t i o n ，a s y m p t o t i c a u yp e r i o d i c c o e f l i - c i e n t s tp e r i o dc o e f f i c i e n t s 湖南大学硕士学位论文 具周期系数差分方程的振动性 ( 摘要) 研究生张远责 指导教师周展教授 一前言 差分方程在众多科学技术领域中有着非常广泛的应用差分方程定性理论得到深入 广泛的研究，虽然关于简单差分方程得到一些很好的结果，但对于具( 渐近) 周期系数 差分方程的研究刚刚起步，结论很少本文主要是对一些有关( 渐近) 周期系数差分方 程的振动性进行研究 二具周期系数差分方程振动的充分必要条件 考虑下列差分方程 m 。+ m ( n ) 吼i 。= 0 ；0 其中m 是正整数是整数，且 ( i ) m ( n ) 是以正整数工为周期的正的周期序列( = 0 ，1 ，m ) ( i i ) 存在正整数叫使 = 地工( i = 0 ，1 ，m ) 得到上述方程振动的充分必要条件 三具渐近周期系数差分方程振动的充分条件 考虑下列方程 z 。+ p l ( n ) ，( z 。一t ) = 0 ， 礼 1 其中 p - ( n ) ) 是渐近周期序列，c ( a ，r ) z 。+ e 矗( n ) ，i ( 。一“) = 0 k = o 其中( p ：( n ) ( t = 0 ，m ) 是渐近周期序列， c ( r ，r f i = 0 ，1 ，m ； $ 。一卧9 ( 。n 一) + 如 f z n r ) = d 其中 p n ) 是非负实数序列， ) 是渐近周期序列，g ，h c ( r ，置) 得到这些方程振动的充分条件 四具有周期系数高阶差分方程的振动性 考虑下列形式的时滞差分方程 其中p r ，l n ( o ) 和 m ( z n p 。一t ) + 窜。一i = 0 0 且以正整数k 为周期的实序列 ( 4 2 ) 以及奇阶渐近周期系数的时滞差分方程 其中 “( 。一p n t n - ) + 口n z n 一，= 0 0 。 o ，k ，j ( o ) ，r 为实序列 ( 4 , 3 ) ( 4 4 ) 且“为渐近周期序列，即： q n = + r n ，卧满足( 4 - 2 ) ，t i mr n = 0 ( 4 - 5 ) 得到了( 4 1 ) ，( 4 3 ) 振动的充分条件 参考文献( 略) 致谢( 略) 2 前言 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域中有着非常广泛的应 用它在几何学，力学，天文学，物理学及其他学科中如核物理，电子技术。自动控制， 星际航行等许多尖端科技领域内。已成为强有力的杠杆推动这些学科的发展在现代 的生物学，人工神经网络动力学和经济学的研究领域中它的理论和方法是不可少的 但从生产实际和科学研究中所遇到的微分方程很复杂，在很多情况下都不可能给出解 的解析表达式但我们可对微分方程进行离散化。即得出差分方程人们发现在振动 性或渐近性方面微分方程与差分方程在许多结果上是相似的，相近的或平行的但也 有很多结果存在本质差别，例如：1 0 9 _ 衅t i c 方程： ， 、 ( t ) = r ( z ) c 1 一= 半l ” 的每个解都是单诃的然而，它的离散类似 ( n + 1 ) = z ( n ) ( 1 一z ( n ) ) 当n = 4 时却有个“混沌”解 因此对差分方程定性研究产生了深厚的兴趣虽然关于简单的差分方程得到一些很 好的结果，但对于具周期系数差分方程的研究两4 刚起步，结论很少本文主要是对一 些有关( 渐近) 周期系数差分方程的振动性进行研究 1 问题的提出： 微分方程已得到深入广泛的研究，如【2 ，5 ，6 ，8 ，9 ，1 2 ，1 3 ，1 6 ，1 7 ，2 1 ，2 5 ，2 6 ，2 7 2 8 ，2 9 ， 3 l ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 7 ，4 0 4 1 但它在实际应用受到某种程度的限制，如一阶初值问题： 矿= ，( 。，) ，可( ) = 叩( 1 l 1 ) 其中目为一常数，为了讨论方便，我们总假设函数，( ，# ) 是对z 【珏1 明以及对所有有 限的f 都有定义方程( 1 1 1 ) 的解在数学上的存在性，对于，( z ，来说，可以在非常 一般的条件下得到证明，然而在许多实际应用中，所要求的不仅是解在数学上的存在 性，而是解在自变量的指定范围内取值时它的近似数值对某些实际上是重要的却是 十分特殊的微分方程类，它的解可用封闭形式给出，即以初等函数诸如多项式，指数函 数以及这些函数的不定积分的有限组合给出另一方面，许多其他的微分方程并不髓 按照这种方式来求解，即使外形看来是简单的微分方程，例如 ，= z 2 - fy 2( 1 1 2 ) 或 y ”= 崎24 - z( 1 1 3 ) 已经证明它们的解不能阱初等函数来表示的确，虽然有相当一类具有显示解的微分 方程，但可以肯定地说，大多数微分方程不能求得其显示解。必须重视的是，即使在 显示解存在的情况下，寻找它的数值解的问题也不一定是轻而易举的从某种程度上 说，对简单的初值问题： 7 = y ，( 0 ) = 1( 1 1 4 ) 也是如此，为了求得解的数值人们必须计算或者查表，可能还要对，进行插值另 一个例子方程： ，= l 一2 z g1 1 5 ) 的解为( z ) = e 一2 片一2 d t 为了确定( z ) 的数值，人们必须计算个积分，而它叉不能 用初等函数来表示，并且也没有合适的表可查，但我们将基于离散化原理求解微分方 程的近似解。这个方法的特点是不试图在自变量的整个连续区间上去逼近精确解，( z ) ， 只是在离散点钆的个集合上来考虑近似值如就初值问题( 1 1 1 ) 而言，对 大多数离散变量方法的可应用性的唯一要求是对给定的z 及能计算出，( 。，y ) 的一个 好的近似值为了保持离散误差充分小，可能需要对函数，( 为) 进行多次计算可以 达到所需的精确度由此，吸引了p - 大效学工作者和科学家来从事差分方程的研究对 非周期系数差分方程的解的振动性研究已有不少结果，如 1 4 ，1 5 ，1 8 ，1 9 ，2 3 ，2 4 ，3 0 ，3 5 ， 3 8 ，4 2 ，4 4 ，45 同样对它的渐近性的研究也有一些结果，如 3 ，1 0 ，3 6 ，4 6 ，4 7 ，4 8 ，4 9 ，5 0 还有一些国外关于差分方程的专著如 4 ，2 0 2 本文研究的问题和方法： 到目前为止，对于具周期系数的差分方程只有很少的结果，如f 1 1 l 1 j 中的作者考虑 下列差分方程 a a 。+ c a 。一 + 功( n ) 且。一o = 0 ( 1 2 1 ) j = o 其中g 是实数，k 是正整数，协( n ) ) 0 = 0 ，1 ，) 是不恒为零的非负实效序列且以 正整数工为周期的周期序列且存在正整数p 和v i ( i = 0 ，1 ，) 使得 t = u l ，0 = t 。工u = 0 ，1 ，) ( 1 2 2 ) 作者获得了( i 2 1 ) 振动的一个充分条件和一个必要条件本文的主要目的是研究些 具( 渐近) 周期系数差分方程的振动性由于周期系数差分和非周期系数差分方程有很 2 多共同之处如差分方程： z n + g z n f = 0 n n 其中 为非负实序列，伪正整数 在文 2 0 1 中已有结论： 定理a ：若条件( 1 2 4 ) 成立。且 t i m i n r 卜剥 南- b li 一il il l l 那么差分方程 1 2 3 ) 振动 若条件( i 2 4 ) 换成： 是以正整数t 为周期的非负实数序列 fen ( 1 ) ，且存在正整数p 使j = u k 记q = z ：_ - - ；针，我们有如下定理： 定理1 2 1 若条件( 1 2 6 ) 和 1 2 7 ) 成立，且 ，i 9 丙面币 那么方程( 1 , 2 3 ) 振动 事实上，g = i 1 厶；k - 。i 卯= 磊1 ( u i = o q 。) = t 1 厶n - i 一丹即条件( 1 _ 2 8 ) 成立，则条件 ( 1 2 5 ) 成立，由定理a 知，结论成立因此，我们可用研究非周期系数差分方程的方法 来处理周期系数差分方程但在后面可以看到。具周期系数差分方程有其自身特点， 我们考虑更多的是从它本身特点出发研究它的振动性 3 基本记号和概念： “ 表示向前差分算子即。= z 。+ - 一z 。z 表示所有整体构成的集合设a z 记 ( 口) = n + 1 ，) ，= 州o ) ，对任给的n ，b ，三，且口sb ，记( a ，= h 叶1 ，6 ) 一个差分方程的解 z 。) 称为最终正的是指存在正整数m ，使得n i v ( m ) 时有。 o ； 若存在正整数盯，使z 。 0 对n ( ) 成立，则称 。) 为最终负的若扛。) 既非最 终正也非最终负，称之为振动的，否则称之为非振动的一个方程振动指该方程的所有 解振动如果没有特别说明，本文中等式( 不等式) 都是指最终成立 3 渤 枷 司 钟 砷 卫 卫 卫 互 置 置 n h 江 第一章 具周期系数差分方程振动的充分必要条件 考虑下列差分方程： z 。+ p ( n ) 坼r 。= o ( 2 1 t = o 其中m 是正整数，i 是整数，且 ( i ) m ( ”) 是以正整数工为周期的正的周期序列( k = o ，1 ，m ) ( i i ) 存在正整数仇使f = v i l ( i = 0 1 ，m ) 我们引入( 2 1 ) 的特征方程： l l m 、 一一( 1 一p ( r ) 一。j ：o ( 2 2 ) 关于( 2 1 ) 振动性的研究在文 1 1 中有如下结论： 定理b ：( i ) 方程( 2 1 ) 所有解振动的必要条件是( 2 2 ) 在( o ，1 ) 之间没有满足下列条 件 m m ( r ) 一。 0 ，。一z 。+ m ( n ) 一。n ! o ) k = 0 若 a ，则有 从而有 - ( - 一妻删吨) 。 说明a 中元素满足条件( 2 3 ) ，且由a 定义知，若a d a ， g o 时，a a 若 oga ， 当0 一 因而有 令m = 皂。p ( i ) 且由条件( i ) 有 即 由1 = w e l 兰l ，又由 z 。 的递减性有 即 令p = m i o p k 由( 2 1 0 ) 知p l 且 或者 m m z 。 k = o 1 际“ l o n 一n + i 2 n 方吣k ( k o ，1 ，”) 取1 = n n k ，k = 0 ，1 ，m ) ，那么有 由( 2 1 1 ) 得 由方程( 2 1 ) 得 。“- 一叶阱 。 + 一 一l + n z p 。 + n z 这样a o = p 为a 的一个正数f 界设 为a 的f 确界对任葱e 0 ，则p = + e a 于是 。 l z 。+ m ( n 扩5 + 。s o m、一l i 卜薹。州咖“卜州 ( 2 1 3 ) 、女。 迭代得 因此 上式表明 从而 令e o 得： 由p a 得 n + f 一1 m 、一1 z 。i if l 一m ( t ) p 。j 。州。 = 0 址n 矗f 一妻州咖也卜。 l _ n j - k = o ：盘f t 一壹晰扩“r 。 i = i e = 0 o = z b + i z 。+ 孤( n ) 。 m1l ， m 如“一n + 薹0 州脚f 娶( 卜薹州砷 =l = 1 、= d z n = 。+ 。一z 。+ 耋，* c n ，f i i i i ，( - 一妻，* 。，“一“) 。n = - 一z 。+ p * f 1 一腓( i ) “吨il 。n = dj 忙1 i = o l 矗f 1 - 蜘咖乩卜a 1 = 1 = 0 血f ，一妻嘶矿h n - i = 1 = o i i ( i 一m ( ) ( a + ) 。) ( + ) 7 ( 2 1 4 ) q 、_-， l ( 一 e+ 0 p 。 令一0 得 肼( i ) ( ) “s1 ， i n ( o ，l 1 ) ，注意到式( 2 1 4 ) 有 k = 0 m ( i ) ( 。) 。 i i ( 1 一p i 一0 = 0 所以( 2 i s ) 在( o 1 ) 之间没有满足( 2 1 6 ) 的正实根 我们可看到定理c 是定理2 i 的一种特殊情形- 下面我们看一个例子 例l 考虑下列差分方程： 。n 一n4 - p n z n 一2 = 0 n = l ，2 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 其中p 2 。“p ：。= 0 1 。( ，要】则方程( 2 1 9 ) 的特征方程为： ( 1 0 一2 ) ( 1 一 一2 ) = a 2 即 一一 2 + 口= 0( 2 2 1 ) ) 此时方程( 2 3 ) 变为 a 2 n 由于。( ，割，故方程( 2 2 0 ) 没有解，即定理2 1 的条件成立，因此( 2 1 9 ) 振动，但由 。 ；。至n - 1 ：a = ；刍= 南 即( 1 2 5 ) 不成立，故不能用第一章定理a 来判断( 2 1 9 ) 的振动性 9 k 0 ( z 0 ) ( v ) l i m 。o 岩= l 我们同时考虑方程 3 1 1 ) 相应的渐近线性化方程： n + 1 一。n + p ( n ) 。n 一 = 0 有如下结果： 定理3 1 1 著条件( i ) ( i i i ) 满足，且差分方程( 3 1 2 ) 振动那么存在一个f r o 0 ，对 每个( 0 ，e o ) 时，下列差分方程： a z 。+ 扫( n ) 一e ) z n k = 0 振动 定理3 1 2 假设条件( i ) 一( v ) 成立，若差分方程( 3 1 2 ) 振动，那么差分方程( 3 1 1 ) 振 动 为了证明我们的定理，须建立如下引理 引理1 设序列饥) 满足条件( i i ) ，且( i ) 成立，那么方程( 3 1 2 ) 振动的充分必要条 件是其特征方程 在( o i ) 之间无满足条件 的正实根 工 一1 - i ( 1 一p l 一。) = 0 ( 3 - l - 4 ) = 1 a 一( 1 i = 1 ，2 ，- 工 1 0 ( 3 1 - 5 ) 在第二章定理2 1 中令m = o 即得该引理 我们有与文 4 3 l 引理2 1 相类似的引理 引理2 考虑下列线性差分方程： 。+ l z 。+ q 。z i = 0 n n( 3 1 6 ) 其中， 如) 是非负实数序列，那么差分方程( 3 1 6 ) 有一个最终正解当且仅当相应 的差分不等式： * + 1 一。+ 如y n f 0 ( 3 l 7 ) 有一个最终正解 证明：必要性显然成立，我们只证充分性，假设( 3 1 7 ) 有一个最终正解【蜘) ，n n ( n o m ) 则 聃，s q 。掣。一l1 0 礼( 礼o ) ( 3 1 8 ) 此式表明f 蜘) 是单调递减的，因此有 l i 。一。：n 那么是有限的非负的数对式( 3 1 8 ) 从n 到。o 求租得 y 一鲰+ 删i _ j 墨o ( 3 1 9 ) 考虑。f 列集合 8 = “。) ：z 。= ，n ( n o m ，n o ) 和0 z ns h n n ( n o + 1 ) ) 在集s 上定义算子t 如下： b = 6 。) = t a ，对任意a = d n ) s 其中 6 。孙n ( n o _ 帅( 3 1 l 。) l6 。= y + + 墨。q i a i “ n n ( n o + 1 ) 从式( 3 1 9 ) 得 k 茎矿+ 口i 瓠一，蜘 n n ( n o + 1 ) i = n 所以算子t 是集引映到集s 令 口= d ： s i = 1 ，2 1 1 珊 n 一弘g 一 + 掣 一 即 我们称。，曼。2 当且仅当1sn ：对所有的n ( n 。一m ) ，根据定义，算子t 是不减 的，即若n 1 ，2 s 且1 2 ，那么t a l t a 2 现在我们在集s 上定义序列 凸r 如下： o = 蜘) ，+ 1 = 乳r = 0 ，1 ，2 ， 用归纳法有 7 + 1 o s 1 o 设。= 矿) ，那么 l i mz 。= l i r a ： 存在且满足从( 3 1 z 0 ) 得到的方程 。= v + + 舭h n i v ( n o + 1 ) ( 3 1 1 1 ) 一 我们容易证明 。 对切n ( n 。一m ) 都是正的，明显地一 z n ) 是方程( 3 1 ，6 ) 的一 个正解证毕 引理3 若条件( i v ) 成立且存在正数5 使得，( z ) 在( 实数序列。1 为正整数 若差分不等式 h + l 一弘+ r j ( y 一f ) 曼o 6 ，6 ) 内单调不减，h 为正的 ( 3 1 1 2 ) 有一最终正解 如) 使得 l i mh = 0 n _ + 则( 3 1 1 2 ) 对应的差分方程 蛳+ 1 一卧+ r n ，( 撕一t ) = 0 也有一最终正解 z 。) 使得 l i mz 。= 0 n o o 该引理的证明可参文【5 1 l 引理3 2 5 引理4 若条件( i ) ，( i v ) 成立，p ( n ) 满足条件( i i ) 并且 p 1 ( n ) sp ( ”) 对充分太的n 成立 ( 3 1 1 3 ) 1 2 且存在正数6 使得 ，( z ) s 。对z 0 ，卅或，( 。) 。对z 【_ 6 ，o ( 3 1 1 4 ) 和 ，( z ) 在 一6 ，州内单调不减 ( 3 l 1 5 ) 若方程( 3 1 2 ) 有一最终正解，则方程( 3 1 1 ) 也有一最终正解 证明：设，( z ) 曼。对。 0 ，州成立，另一种情形可类似证明- 设 z n ) 是方程( 3 - 1 2 ) 的最终正解，即存在n o n n o 时。 o z n + 1 一z n + p ( n ) z n k = 0 由于 z 。) 单调递减，又由于p ( n ) 是正的周期序列，所以蒡p ( i ) = 。( n o ) 因此 l i mo n = 0 故存在m 使得 o m 。成立 由，( 。) 。，故当n m + 时 。+ l 一。n + p l ( 礼) ，( z n 一 ) 0 由引理3 知上式对应的差分方程 n + i 一。n + p l ( 礼j ，( z n 一_ ) = 0 有一最终正解 z 。) ，显然 z 。) 是方程( 3 1 1 ) 的一个正解证毕 下面我们证明定理3 1 1 证明：已知方程， 一一( 1 一鼽 “) = 0 i = 1 在( 0 1 ) 之间无满足条件 a 一 1 此时令 o = p l ，则垤( o ，e o ) 有 p e 1 故当 ( o 1 ) 时，( 3 1 1 3 ) 不可能成立因而结论成立 2 p = l 因为 驯p t + * o 故存在印e ( o ，抓使得当a ( 1 一印，1 ) 时 v e ( 0 ，e o ) ，若a ( p 一) 1 贝0 此时 一1 + ； 。 0 ( 1 5 0 ) 1 1 一印 a 一( 1 一( p 一) a 一2 ) = a 。一1 + ( 1 一f ) 一 a 一1 + ；a “ 0 结论成立 3 0 p 1 时若p l k 0 m = i i l i n ( ) ，p 1 。一( 1 一p i a “) 一m t i = 0 j 2 l l l = ( ) 一m t 令m = h m 呐，江i i 2 ，l 一1 ) ，于是 取1 = l 袅由式( 3 1 2 0 ) 得 又由于 f ( ) ( ) 一e l m f ( ) ( ) 一筹 m 一孑= 筹 0 m ，( 一1 + ( p 一；p 1 + o ) 。) 一口 = 一扎t + - 一；p = ；p o 故存在e 2 ( e 2 p 1 + ) 使得当( p 一2 ) 1 o ( 3 1 2 0 ) ( 3 1 2 1 ) 一 + k 一 m 一1 p 一 圹 g m e一 一 p 一 ! i pi f 故当( 0 ，e 2 ) 且( p 一) 1 肛 p 时 l l f ( ) = 一i i ( 1 一( a f ) 一) 三a 一( 1 一( p e ) 一) a 一1 + ( p 一1 ) 一 l 一1 + 【p 一；p 2 + 音) 一 )0( 3 1 2 2 ) 令e 。：m m 忙1 ，e 2 ) ，则当f ( o ，印) 时，且归一) 1 7 。 n t 使得 又因为 。 b ，n 2 2 时成立 z 。+ l z 。= 呻1 ( n 1 ) ，( z n 。一| ) 。+ 2 一z 。，+ l = - p l ( n l + 1 ) ，( z n 。+ l 一_ ) 从而有。 。一# 。，= 一p l ( i ) 肛“) 又由于l i m 一。z 。= 口 0 那么 昙曼。2 a 1 6 ( 3 1 2 3 ) ( 3 i 2 4 ) ( 3 1 2 5 ) 由已知条件( i v ) 和( v ) 知，( z ) 在 ；，2 , q 之间有最小值w - t ，于是 即p t ( o c = _ e ) 有的正的下界，由( 3 1 2 5 ) 得 即z 。= o o 这与( 3 1 2 3 ) 矛盾! 所以( 3 1 2 4 ) 成立 令 于是当n o o 时有 孙) _ p ，( n ) 掣 把銎b o ( n ) 一p ( n ) 】= 0 f 3 i 2 6 ) 容易看出。是下列方程 。+ p 0 ( n ) 。一 = 0( 3 1 _ 2 7 ) 的一个解，对任给的e ( o ，s ) ，其中s = j 1m i n p ( i ) ，k0 ，l ，2 ，l 一1 ) ，注意到。n 0 ， 由方程( 3 l 2 7 ) 得 。+ ( p ( n ) 一e ) 。n k 茎0 由引理2 知方程 晶+ ( p ( n ) 一e ) 磊一t = 0 有个最终正解 另一方面由于( 3 1 2 ) 振动，根据定理3 1 1 知( 3 1 2 9 ) 是振动的 程( 3 1 1 ) 振动 ( 3 1 2 8 ) ( 3 1 2 9 ) 这个矛盾说明方 由引理4 和定理3 1 2 立即可得下面推论： 推论3 1 1 若条件( 州v ) 满足，且条件( 3 i 1 3 ) ，( 3 1 1 4 ) 和( 3 1 1 5 ) 成立，则方程 ( 3 1 1 ) 振动的充分必要条件是方程( 3 1 2 ) 振动t 第二节一类多滞量具渐近周期系数差分方程的振动性 考虑下列具渐近周期系数差分方程： z 。+ 丸( n ) ( 札h ) = 0 = o 1 7 ( 3 2 i ) 其中m ，b 为正整数，且下列条件 ( i ) 以( n ) 是渐近周期序列，即 l i m 峨( n ) 一m 【n ) 】_ o ( b = 0 ，l ，m ) ( i i ) m ( n ) 是以正整数工为周期的非负且不恒为0 的周期序列( k = 0 ，l ，m ) ( i i i ) 存在非负整数讯使k = ”k 工( 女= 0 ，1 ，m ) ( i v ) c n ，捌且z ( z ) o ( z o ) ，i = 0 ，l ，1 ，m f v ll i m 巡：1 u uu 我们有关于( 3 2 1 ) 的渐近线性化方程 。+ m ( n k 叱= 0 ( 3 2 2 ) = 0 在本节中，我们有如下结论： 定理3 2 1 若条件( i ) ( i i i ) 成立，且差分方程( 3 2 2 ) 振动，那么存在一个e o 0 ，对 每个e ( 0 m ) 时，下列差分方程： z 。+ ( p k ( n ) 一) z n 。= 0 ( 3 - 2 3 ) 振动 定理3 2 2 假设条件( i ) ( v ) 成立，如果差分方程( 3 2 2 ) 振动，那么差分方程( 3 2 1 ) 振动 在证明定理前我们先建立一个引理 引理3 若条件( j ) 和( i i i ) 成立如果下列差分不等式 + m ( n “兰0 ( 3 。2 4 ) 有个最终正解，那么方程 磊+ m ( n ) 巩“= 0 有个最终正解 证明：首先假设j m a x j 。，一，k ) = 0 那么( 3 2 4 ) 和( 3 2 5 ) 分别变成 蚺，s ( 1 一徘( n ) 1 8 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 和 。 蚺1 = ( 1 一m ( n ) ) 蜘 ( 3 2 7 ) 由 h ) 是最终正的可得 p k ( n ) 1 ( 3 2 8 ) = l 所以( 3 2 7 ) 就是差分方程( 3 2 5 ) 的一个正解 其次我们看j21 时，设 肛羔 由a ，! 一m = o m ( n ) 鼽吨 o 所以 蜘】单调递减，从而有 再由( 3 2 4 ) 得 令 由式( 3 2 9 ) 可知 下面我们将证明 0 风 l f l 。+ i - i + ，；。r ic n ，d i - 妻t - ，。l _ 一，1 。 c 。 ，：。p i ( n 1l ，：。尸。一，l 。 3 2 9 b = l i r as u p p 。 0 口 0 使得n 札时有 于是由( 3 2 9 ) 得 从而 即式( 3 2 1 0 ) 是成立的 风( 1 + ) 卢 风+ - 茎1 一张( n ) 归( 1 + e ) 】 1 9 ( 3 2 1 0 ) 一 序p m 一l 一 p 夸 那么有f ( 0 + ) = e 。而f ( 闫) 0 ，说明差分方程( 3 2 5 ) 的特征方程有个根 o ( o ，1 ) 因此，y 。= 3 是方程( 3 2 5 ) 的一个正根证毕 现在我们证明定理3 2 1 证明：方程( 3 2 2 ) 对应的特征方程为 l 一1m i i ( 1 一m ( i ) 一。) = o ( 3 2 1 1 ) 令 方程( 3 2 1 0 ) 对应的特征方程为 凡“1 1 1f l 一量叫一。1 ：o ( 3 2 _ 1 2 ) 一 l l 一( p k ( 1 ) 一) 。叫= o ( 3 2 _ 1 2 ) 、 l irm g ( ) = 一一i 1 一( m ( i ) 一f ) 。f # = 0l女= 0j 由定理2 1 知。方程( 3 2 2 ) 振动那么方程( 3 2 1 1 ) 在( o ，1 ) 之间没有满足条件 p k ( i ) 。 1 2 0 r n 。 一 一 一j i h 一 p 。 一 一 0 = f 故当 ( 0 ，1 ) 时 毛o ( p d i ) 一e ) a “- 1 与式( 3 2 1 4 ) 矛盾，因而结论成立 2 当p i = i 时，因为 牌n + ”2 。) - o 故存在e o ( o ，；) 使得当 6 ( 1 一印，1 ) 时有 工一l + ； 叱 0 所以对任意e ( o c o ) ，由式( 3 2 1 4 ) 是o ( p k ( i ) 一e ) 。- l 涵( i ) 一e ) l rm 百 n = 0j ( p k 一印) 七 l e o 此时 g ( a ) l l 1 - m1 a l l 一( p i ( i ) 一e ) 。l = 0l女= dj 1 一( p 女一e ) 一“ = 一 1 一( 1 一e ) 一“ 一1 + ；一- 0 结论仍然成立 3 当m 0 令 f 0 = r n i f ( ) ，a 满足p k ( 1 ) 也 0 ，江0 ，l ，l 一1 ，g l - 1 ( a ) - ( m _ d a 叱) 一1 为了讨论的方便，不妨设o l ，因而e 一( 1 一m ( i ) 。卜e 函1 ( ) + + 虬i ( ) = 0 i = 0 = f ( ) 令 g 一。m f ( ) 再令 g o = m a x 9 i ，i = l ，2 ，一，一l 因此 g ( ) f ( ) 一e g o l ( 3 2 1 6 ) 耻盘1 岫1 6 滑鲫) 晶一孚：争0 g ( ) f 0 一寻= 寻 综上所述，且与定理2 1 类似的讨论知，方程( 3 2 1 2 ) 在( o ，1 ) 之间没有满足( 3 2 1 4 ) 的 实根，证毕 现在我们证明定理3 2 2 证明：用反证法，假设方程( 3 2 1 ) 有一个非振动解，不妨设 。) 是最终正的一( 若 。) 为最终负，可以类似地进行证明) ，那么 。= 一p