（应用数学专业论文）具有时滞的不确定的非线性系统的稳定性.pdf

摘要 摘要 在各种工程系统，生物系统，经济系统，电子系统，神经网络，动力系统等 系统中，具有时滞的不确定的系统的鲁棒稳定性和b i b o 稳定性问题得到了广泛的 研究。最近，对于不确定的时滞相关的非线性系统的鲁棒稳定性分析和b i b o 稳定 性的研究已经引起了越来越多的研究者的关注。 本论文正是针对鲁棒稳定性分析和b i b o 稳定性问题，以一个具体的非线性 系统模型为主要的研究对象，通过使用l y a p u n o v 泛函和一些不等式分析方法，给 出具有时滞的不确定的非线性系统满足鲁棒稳定性和b i b o 稳定性的一些条件。主 要内容为： 1 通过运用l y a p u n o v 泛函和r i c e a t i 方程研究具有时滞的不确定的非线性系 统，得到系统满足的鲁棒稳定性( 指数稳定性) 的条件。 2 通过运用一些不等式分析方法，对具有时滞的不确定的非线性系统进行研 究，得出该系统满足指数稳定性的另外类条件。 3 通过运用l y a p u n o v 泛函和r i e c a t i 方程研究具有时滞的不确定的非线性系 统，得到系统满足b i b o 稳定性的条件。 4 通过运用线性矩阵不等式方法研究具有时滞的不确定的非线性系统，得出 该系统满足b i b o 稳定性的另外一类条件。 关键词：r i c c a t i 方程，不确定的非线性系统，l y a p u n o v 泛函，b i b o 稳定性 a b s t r a c t a bs t r a c t a sap o p u l a rt o p i c ，r o b u s ts t a b i l i t ya n db i b os t a b i l i t yf o ru n c e r t a i ns y s t e m sw i t h t i m ed e l a yh a v eb e e nw i d e l ys t u d i e di nv a r i o u se n g i n e e r i n g , b i o l o g i c a l ，e c o n o m i c a l ， e l e c t r o n i ca n dd y n a m i c a ls y s t e m s ，n e r v en e t w o r ka n d , s o0 1 1 r e c e n t l y , m a n yr e s e a r c h e r s h a v ep a i dal o to fa t t e n t i o n s0 1 1t h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i t ya n db i b os t a b i l i t yf o r u n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m ed e l a y i nt h i st h e s i s ，w ec o n c e r l lt h es t a b i l i t ya n a l y s i so fu n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m s w i t ht i m ed e l 够m a n yc r i t e r i o n sf o rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h er o b u s ts t a b i l i z a t i o na n d b i b os t a b i l i z a t i o nf o rt h eu n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sa l eo b t a i n e db ym e a n so f l y a p u n o vf u n c t i o na n d t h em e t h o do fi n e q u a l i t ya n a l y s i s 1 1 h em a i nr e s u l t sa r e 嬲f o l l o w s ： 1 t h r o u g hl y a p u n o vf u n c t i o na n das o l v a b l ea l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n , w e o b t a i nt h ec r i t e r i o no fr o b u s ts t a b i l i t y ( e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ) f o ru n c e r t a i nn o n l i n e a r s y s t e m sw i t ht i m ed e l a y 2 a p p l y i n gs o m ei n e q u a l i t ya n a l y s i s ，w eo b t a i no t h e rc r i t e r i o no fr o b u s ts t a b i l i t y ( e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ) f o ru n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m ed e l a y 3 t h r o u g hl y a p u n o vf u n c t i o na n das o l v a b l ea l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n , w e o b t a i nt h ec r i t e r i o no fb i b os t a b i l i t yf o ru n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m ed e l a y 4 u s i n gl y a p u n o vf u n c t i o na n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，w eo b t a i nt h e o t h e rc r i t e r i o no fb i b os t a b i l i t yf o ru n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sw i lt i m ed e l a y k e y w o r d s ：r i c c a t ie q u a t i o n ，u n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m s ，l y a p u n o vf u n c t i o n , b i b os t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：叠二前日期：2 0 口害年牛月7 9 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 日期：, z 0 0 8 年j 9 c 月f 8 日 第一章绪论 第一章绪论弟一早珀1 ：匕 非线性控制系统的研究在一些重要的方面取得了令人瞩目的成就【l j ，已发展了 非常丰富的分析结果和独特的设计方法。例如，l u r i e 系统的绝对稳定性【2 】，变结 构控制方法等。更显著的是，非线性系统的微分几何控制方法取得了一系列重要 的结果【3 卅。在过去的2 0 年中，微分几何方法一直是非线性控制系统研究的主流。 无论是在非线性系统的分析上，还是在非线性系统的设计上，都已发展到相当高 的水平和出现完善的理论和方法。这些成果在已出版的著作中有很好的反映。 非线性控制系统的发展几乎是与线性系统的发展平行的。显然，这是由于非 线性系统本身所包含的现象十分丰富，迄今对它的了解还不够多。例如，线性系 统的稳定性只有稳定，渐近稳定和不稳定，而对非线性系统原点稳定性的描述需 要很多种类型1 5 - 6 。至于系统本身的稳定性，由于孤立平衡点可以任意多，就使得 系统的形态变得更加复杂了。此外是数学分析工具问题。对线性系统已有完善的 数学工具，但对非线性系统，发展适合的数学工具是一个相当困难的问题。t a y l o r 级数线性化的方法对有些情况是完全不能适用的，其它方法也都有相当大的局限 性。因此需要建立一些非线性方法，可惜一般的非线性方法的建立还面临一些实 际的困难。 非线性控制系统的研究方法，是针对一个个具体的非线性控制系统而发展起 来的，由简单到复杂，由特殊到一般，可以历史地将非线性控制理论分为以下部 分，这虽然不是定论，但对了解却是有益的。 1 1 稳定性与鲁棒性的理论的产生与发展 1 1 1 稳定观念的萌芽到经典的稳定性理论 1 7 早在2 0 0 0 年前古代中国的汉朝，淮南王刘安所著的淮南子说山训中 就曾指出“下轻上重，则覆必易。到了宋朝，梦溪笔谈的作者，科学家沈括 把这种观察到的事实已付诸于应用，他在忘怀录中指出“安车车轮不欲高， 高则摇 。这是古代中国对稳定与不稳定现象观察得到的结论，它已经隐含了后来 的j l l a g r a n g e 关于稳定与不稳定一些思想。至于类似稳定这个词的出现，至少可 电子科技大学硕士学位论文 以追溯到晋书中所述“行人安稳，布帆无恙”。这大概在1 5 0 0 年前了，在西方“s t a b l e 一词源出于拉丁文“s t a b i l i s ”，是表示坚持和保持的意思。这些千年以前的说法与观 念表现了当时人们对稳定这一概念的最初理解。 稳定性由具有这种最初的理解到形成- - f q 科学理论，其间经历了1 0 0 0 多年， 促成稳定性理论产生的决定性因素来自两个方面，即工业革命及随后科学技术发 展的推动和人类在1 9 世纪对自然科学首先是数学和力学的贡献。 从1 8 世纪下半叶到1 9 世纪末的这1 0 0 多年的时间里，发生了一些具有深远 影响的事件，从中人们可以看到稳定性理论产生的必然性。 j w a t t1 7 6 5 年创造性地改进了t n e w c o m e n 发明的蒸汽机，由此引发了随后 蓬勃发展的工业革命【8 】。 j l l a g r a n g e1 7 8 0 年出版的分析力学，科学地讨论了平衡位置的稳定性 9 1 。 c h e r m i t e1 8 5 6 年建立了关于多项式对根交错的理论【1 0 1 。 j c m a x w e l l18 6 8 年发表的“论调节器”一文，讨论了蒸汽机自动调速器与钟表 擒纵机的运动稳定性【l l 】。 a l c a u c h y 在1 9 世纪给出了关于极限描述的占一万，s n 语割4 】。 h p o i n c a r e 在微分方程定义的积分曲线和天体力学方面作出的贡献【1 2 】。 g p e a n o ，i b e n d i x s o n 和g d a r b o u x 关于微分方程解对初值及参数连续依赖性 的研刭1 3 j 。 上述这些重要事件及相关科学的发展促成了1 9 世纪末稳定性理论的两个主要 学派的形成。 基于线性时不变微分方程解的收敛性与对应的实系数多项式根是否具有负实 部的关系，e j r o u t h 在1 8 7 5 年利用多项式根的s t u m 组方法与有理函数的c a u c h y 指数之间的联系，建立了判断实多项式右半平面根个数的算表，从而给出了判断 稳定性的r o u t h 判据。随后a h u r w i t z 在1 8 9 5 年又独立地采用多项式系数排成的 矩阵的主子式的符号来判断右半平面根的个数和稳定性。他们的工作为稳定性理 论研究的代数方法奠定了基础。这种代数方法与复变函数论中关于有理函数在特 定区域内零极点数估计的理论结合为近代稳定性判定的频域方法提供了基础。无 论是频域方法中的n y q u i s t 判据还是受c h e r m i t e 早期工作的启发而由 f r g a n t m a c h e r 等人建立的正多项式对方法。从理论上都是与代数方法一脉相承 的。为纪念r o u t h 的工作，i n t e r j o f c o n t r o l 在1 9 7 5 年专门出版了纪念专辑【1 4 1 。 大致与代数方法产生同时，a m l y a p u n o v 在1 8 9 2 年发表了著名的博士论文 运动稳定性的一般问题。他按照c a u c h y 关于极限描述的g 一万语言，将常微分 2 第一章绪论 方程解对初值的连续依赖性由有限时间区域拓展到无穷时间区间，给出了有关稳 定、渐近稳定的科学概念；进而又参照力学系统中总能量及其随时间变化的特性 在决定平衡位置稳定与否上的作用，引入了后来称为l y a p u n o v 函数的判定函数， 利用该函数及其时间导数的性质，建立了判断一般系统稳定性的一系列定理，从 而避开了求解一般微分方程组解的困难。l y a p u n o v 讨论的系统是一般非线性时变 系统，其结论具有一般性，可以运用于各种类型的系统，因而意义深远。为纪念 这一划时代工作发表一百周年，i l l t e r j o fc o n t r o l 同样专门出版了纪念专辑，在这 一工作发表的最初5 0 周年，其主要工作集中在理论方面【l 5 1 。 当时理论上的拓展首先表现在对时变系统稳定性的认识上。1 9 3 3 年 k e p e r s i d s k i 首先指出稳定性与初始时刻的关系并提出了一致稳定的概念。进而 e a b a r b a s i n 与n n k r a s o v s k i 提出了一致稳定的概念并给出了判据。此时人们才 认识到l y a p u n o v 关于时变渐近稳定的定理实际上已经判定了一致渐近稳定。于是 一些人饶有兴趣地企图在l y a p u n o v 关于渐近稳定的定理中除去无穷小上界的条 件，以期达到判别渐近稳定而不要求一致渐近稳定的结论。直到j m a s s e r a 在1 9 4 9 年给出了一个反例，表明在对时变系统不做附加限制时即使要证明系统渐近稳定， l y a p u n o v 原来的条件也未必可以减弱，这些结果使人们对时变系统稳定性有了更 深刻的认识。 同用多项式根判定线性时不变系统零解渐近稳定不同，用l y a p u n o v 方法判断 系统零解的渐近稳定性实际上只提供了一种充分条件。但对于系数有界的线性时 变系统来说，一致渐近稳定、指数渐近稳定和存在满足相关稳定性判定要求的时 变二次型l y a p u n o v 函数，竟是等价的。而对于非线性系统零解的一致渐近稳定， m a s s e r a 同样也证明了用来判定的l y a p u n o v 函数的存在性。这样便对用l y a p u n o v 方法判断稳定性在一定意义下给出了必要性的结论，使人们对这一方法进一步提 高了认识。 理论上的另一种发展更具有方法论性质，即针对一类问题，将l y a p u n o v 函数 由一个扩展为几个，在研究问题时互相搭配来判断零解的稳定性。由于系数阶次 的增高，针对系统结构上的特征将l y a p u n o v 函数由标量函数扩展为向量函数，然 后用来判断大系统的稳定性则是在2 0 世纪5 0 年代后才发展起来的。这种将一个 大系统分解成一些子系统再根据子系统构造合适的l y a p u n o v 函数，然后集成起来 形成向量l y a p u n o v 函数研究整个大系统的稳定性以及关联稳定性的方法，已在包 括电力系统，经济系统中得到了应用。 虽然代数方法与l y a p u n o v 方法从理论方法上有明显的区别，但他们讨论的系 电子科技大学硕士学位论文 数及理论研究的客观背景则是在同一的前提下进行的： ( 1 ) 描述系统的模式是确定的，不考虑人为改变的因素，例如控制。 ( 2 ) 系统中不确定性表现在系统运动的初始条件摄动上。 ( 3 ) 系统是单一给定的，不考虑由于不确定性存在而导致的系统族。 上述三点刻画了经典稳定性理论的主要特征。这样的特征反映了1 9 世纪物理 学研究特点的影响。正如马克思在资本论第一卷第一版序言中指出的“物理 学家是在自然过程表现得最确实最少受干扰的地方考察自然过程的或者如有可能 是在保证过程以其纯粹形态进行的条件下从事实验的”。在这种纯粹化与确定论思 潮影响下的经典稳定性理论，在2 0 世纪后半叶由于大量工程应用的需求而遇到了 挑战。这一挑战的推动，使稳定性理论的研究获得了从未有过的发展动力，得到 了巨大的发展，研究队伍也一下子由基本上是少数数学家与力学家的圈子扩大到 了包括工程科学家在内的众多领域。 1 1 2 控制对稳定性理论发展的影响 2 0 世纪3 0 年代兴起的自动控制技术与理论，深刻地改变了稳定性理论研究的 面貌，无论从研究队伍的扩展还是控制系统的出现，从研究问题的提出与解决问 题的办法两方面都对原稳定性理论是一种突破。这种变化使稳定性理论的研究与 发展取得了长足的进步。 我们考虑一个简单的控制系统模式 x = f ( x ，u ，f ) ，y = g ( x ，u ) ， 其中，x 是系统的状态；甜与y 分别是系统的输入与输出。控制系统中由于“不是给 定的，因而其稳定具有新的特色。 控制系统研究的第一个特点在于人们对它建模时，一般认为输入与输出的信 息是最能反映系统动态特性的，至于系统的具体方程式并不一定非弄清楚。适应 这种特点，控制系统的稳定性通常是采用在有界输入条件下是否对应有界输出来 刻画。建立在这种刻画之下的系统常被看成是一些信号空间之间的算子。在线性 系统的情况下，若信号理解为时域时，则该算子用具有一定g r e e n 函数的积分算 子来表征；当信号看为是频域的，则算子常用传递函数方式给出，而在信号空间 中常常定义一些范数来进行讨论。这种输入输出稳定性与系统无控制时的零解稳 定性的关系，在系统可控又可观测下，对于线性系统来说，结论是清楚的，但对 于非线性系统，其研究还是近2 0 年的事。 4 第一章绪论 控制系统研究的第二个特点在于存在控制。当控制是由系统的状态( 或输出) 决定时，则称为状态反馈( 或输出反馈) ，系统的反馈一经确定，例如u = k ( x ，y ) ， 对应系统( 1 1 ) 就成为 x = f ( x ，k ( x ，y ) ，f ) ，y = g “k r y ) ) 。 ( 1 - 2 ) 此时已成为无外力控制的系统。因此对于控制系统来说，稳定性的基本提法就成 为： 系统在何种条件下可以通过反馈的选取使对应系统的零解渐近稳定； 系统中反馈部分如何具体求得。 上述寻求反馈使系统稳定常称为镇定，因而上述两提法就变为何种条件表 明系统是可镇定；具体如何镇定。 将镇定思想与输入输出稳定的观念相结合，就发展为现今巩鲁棒控制的思 想。【1 6 】考虑如图1 所示的系统，装置g 的输入区分为扰动0 9 和控制“，其输出亦 区分为输出z 和测量y ，此时镇定要求转化为设计回路k 使图示系统的每一通道均 稳定( 即内稳定) ，同时要求国对系统输出z 的影响能低于一事先给定的界，这就 是现今也控制研究的出发点。研究控制系统稳定性，其模式常常以回路形式表达。 最早的回路稳定的思想是由h n y q u i s t 在1 9 2 8 年提出的。他用装置g 的频率特性 曲线即可断定使闭路稳定的增益应如何选取。这种回路当k 是一个由输入输出的 增益界刻画的非线性函数族( l 盯) 时，则导致了从4 0 年代起由a i l u r e 与 v n p o s t n i k o v 开创的绝对稳定性的研究。意味深长的是研究绝对稳定性的方法首 先不是回路分析的方法，而是将回路系统用状态空间形式表达并用l y a p u n o v 方法 加以解决的方法。这种现象和方法几乎延续了整整2 0 年，直至v m p o p o v 提出用 频率法同样可以解决绝对稳定性问题，人们才深刻地意识到绝对稳定性问题本质 上应归于回路稳定性问题。随后，v a y a k u b o v i e h 给出了著名的 k a l m a n - y a k u b o v i c h - p o p o v t l l 7 】引理，在证明l u r e 解p o p o v 解关于绝对稳定性等价 的同时，也深刻地揭示了绝对稳定性研究中时域方法和频域方法的本质联系。这 种研究过程迂回的一个直接效果是人们认识到l y a p u n o v 方法与回路分析方法之间 并不存在天堑，而是有着一种本质的联系，这种本质联系在随后关于严格正实与 对应的矩阵方程组求解、以控制与对应的r i c c a t i 方程求解上均有明显的表现。这 种频域方法与时域方法的沟通也促进了控制系统稳定性研究的发展。人们对回路 稳定性的研究，在g 只是一个传递函数时，其结果十分充分。而当g 是一个传递 函数矩阵时，无论是镇定问题还是绝对稳定性问题，其结果均不够理想。 电子科技大学硕十学位论文 a m e g r e t s k i 和a r a n t z e r 发展了绝对稳定性研究中利用输入输出信号的积分二次 约束( i q c ) i s 】，它将目前已知的许多关于系统动态不确定性的描述纳入统一的框架 之下。而在此基础上发展起来的稳定性分析的频域方法在继承了绝对稳定性和回 路变换频域方法优点的同时，还可以处理多输入多输出系统的稳定性分析，并可 以转化为线性矩阵不等式( l m i ) 求解。目前i q c 方法虽然在稳定分析上获得成功， 但如何利用该方法解决系统镇定问题，还远没有解决。 1 1 3 研究鲁棒性的必然与发展 在控制科学研究的对象控制系统中，由于种种原因而存在不确定性和摄 动，用一个数学模式，例如，用一个微分方程组来描述它，总与实际运转的系统 存在差别，这种差别表明单一的数学模型来刻画系统是不完善的。由于处理问题 的能力有限，人们一开始总假设这种不确定性是很微小的。无论是代数方法还是 l y a p u n o v 方法，所判断的渐近稳定性通常具有“开集”性质，即当无摄动系统是 渐近稳定时总能保证存在一个邻域，当不确定性发生在该邻域内时对应的渐近稳 定将得到保持。这样只在微摄动假设下的渐近稳定鲁棒性( 相对摄动的不变性) 的研究不仅可能与实际需求差之甚远，而且，其本身也变得意义不大。 控制系统的不确定性，其产生的原因是多种多样的，如何描述这种不确定性 如同在控制系统中选取品质指标一样，也应遵循两个基本原则，即它应能反映实 际问题的特征的同时又能便于在研究过程中进行处理。以线性系统为例，摄动可 采用下述模式： ( 1 ) 参数不确定性【1 9 】。系统中某些参数是不确定的并可在一给定的集合中取 值，例如在矩形体、球形体、多面体内取值等。参数不确定性常称为结构性摄动。 这是由于这种摄动仅影响参数而不影响系统的结构，即在一定的结构性质下的摄 6 第一章绪论 动【1 9 1 。 ( 2 ) 非结构性摄动。这种摄动不仅以参数变化形式出现而且系统的结构也发生 变化。例如用以范数、g a p 度量的摄动【2 0 1 。 ( 3 ) 混合摄动。同时具有结构性和非结构性摄动【1 1 。 由于系统中存在的摄动并不清楚，从研究的角度，我们面对的对象不是一个 单一的对象而是面对一族对象。这表明一个实际的系统其描述模式可以有多个甚 至无穷个，即必须用一个系统族来描述同一实际系统。这种描述可以由一个名义 系统( 即摄动为零) 和一个摄动模式所组成，也可以用一个基于集合包含关系的 方程来刻画，例如，微分包含。鲁棒稳定性就是一个系统族的稳定性。随着控制 系统面临任务的复杂、环境的多变、大量不确定因素的存在，研究系统的鲁棒稳 定性就日益成为必需。最初当e j d a v i s o n 引入“r o b u s t ”这个词时，还是针对微小 摄动而言，而今r o b u s t 这个概念已经变为针对那些非微小的有界摄动。 微积分的产生已经经历了3 0 0 年，人们习惯于用无穷小分析来处理问题。对 于大范围变化下鲁棒稳定性的研究，也只是在出现了新的契机以后才蓬勃发展起 来。 鲁棒稳定性分析一开始采用了l y a p u n o v 函数方法，利用二次l y a p u n o v 函数 建立了关于系统族二次稳定的概念并得到了一批结果。特别是当系统满足匹配条 件时结果相当丰富。这种方法原则上可以应用于非线性时变系统，但由于其本质 上是一种充分性方法而且对系统族要求具有公共的l y a p u n o v 函数，难于满足，结 果也就偏于保守。在相对热了不足1 0 年便进入停滞不前的状态。尽管仍然有与之 相近的各种提法的大量论文出现，但由于l y a p u n o v 方法本身还有些关键问题，例 如针对系统或系统族什么是最适合的l y a p u n o v 函数，和针对系统族是否可同时利 用不同的l y a p u n o v 函数等一系列问题未有圆满答案，实际上只停留在呼唤突破之 中。 激励鲁棒性研究的另外一个方面是玩控制讨论的深入。玩控制的原始提法 是设计控制器以使系统内稳定且由于干扰到输出的传递函数对应的也范数为最 小，这是一个典型的受约束最优控制问题。正如“人无完人，金无足赤”一样，按照 最优要求设计的控制器常难免脆弱并且代价太大。工程实际常常要求人们以一种 次优控制来实现控制器，当以范数以最大奇异值的方式表现后，矾次优化问题 就同加性、乘性两种非结构性摄动模式的鲁棒镇定联系在一起，这种联系赋予了 玩控制新的含义，即它也是一种鲁棒控制问题。在以控制理论的发展过程中， 一开始它以算子空间中逼近的方式解决问题，这在计算上比较困难。后来发现巩 7 电子科技大学硕士学位论文 控制求解依赖于两个r i c c a t i 方程的求解而使其增添了新的活力，加之玩控制本身 的提法非常适合控制回路这种结构特征，方法的可行与工程上的合理就使以控制 成为现代鲁棒控制的核心问题之一。 作为鲁棒稳定或鲁棒控制的另一个主要领域参数不确定的扰动范围，当 归功于俄国人v l k h a r i t o n o v 的贡献。他关于一个区间多项式族是h u r w i t z 稳定的 充分必要条件是该族四个端点多项式为h u r w i t z 稳定【2 l 】的结论，先是给人们带来了 诧异，随后则启示人们寻求类似的结果并将其用于控制。以后出现的棱边定理、 菱形族定理、边界定理、值集或值映射方法等为鲁棒稳定性的分析提供了有效的 工具。但这些还基本上限于当系统多项式系数只是不确定参数的仿射函数的情况， 对于多仿射与非线性情形，问题则困难得多，完美的便于应用的结果依然吸引着 研究者的巨大兴趣。 控制系统的复杂性与不确定性常要求讨论同时具有上述两种不确定性的问 题。与此同时人们也乐于把以控制方法与参数不确定方法结合起来处理系统的鲁 棒镇定和带品质要求的鲁棒镇赳2 2 。2 3 】。 运筹学是控制理论的近亲，其方法常常在控制理论研究中起到别开生面的作 用。当今大量的鲁棒控制问题已经借助于线性、凸与非线性规划方法求解。 k a r m a r k a r 方法【2 4 】在运筹学中大获成功的事例，促使人们把这一方法用于控制特别 是鲁棒控制，这样控制中的问题转化为线性矩阵不等式( l m i ) 求解，使l m i 的 作用更加明显。而控制一些新分支，例如积分二次约束( i q c ) 与鲁棒增益规划( r g p ) 也都可借助l m i 来进行研究。关于l m i 的求解已有现成的算法和软件，但是在理 论上l m i 的可解性问题还远没有解决，特别是控制系统中的许多分析与综合问题 经常可转化为若干个l m i 与一个非凸的矩阵秩的约束条件下的可行性问题，该问 题的可解性研究是一个具有挑战性的研究课题。从鲁棒性的观念出发，建立在各 种不等式基础上的分析与设计不仅具有意义，而且是一个新的研究方向。 在对系统鲁棒性的研究中最具有核心地位的乃是鲁棒稳定性问题，所幸的是 在稳定性的经典研究和鲁棒性的近期研究中，人们清楚地发现了这两者在理论、 概念、方法上近于一致的现象。由于稳定性与鲁棒性都处理系统摄动的影响，因 而在控制理论的构架中两者是最能亲和而成为一体的。从前1 0 0 年发展的历史可 以清楚地看出其中的天然联系。 第一章绪论 1 2 非线性系统的研究历史与现状 1 , 4 , 2 5 - 2 6 首先，我们需要了解非线性系统。非线性控制系统的研究几乎是与线性系统 平行的，并已经提出了许多具体方法。但总的来说，由于非线性控制系统本身所 包含的现象十分复杂，这些方法都具有局限性，不能成为分析和设计非线性控制 系统的通用方法。非线性控制系统理论的研究目前还处在发展阶段，还有许多问 题有待于进一步探讨。 非线性控制系统早期的研究是针对一些特殊、基本的系统而言的，其代表性 的理论有：相平面法、描述函数法、绝对稳定性理论、李雅普诺夫稳定性理论、 输入输出稳定性理论。自2 0 世纪8 0 年代以来，非线性科学越来越受到人们重视， 数学中的非线性分析、非线性泛函、物理学中的非线性动力学，发展都很迅速。 与此同时，非线性系统理论也得到了蓬勃发展，有更多的控制理论专家转入非线 性系统的研究，更多的工程师力图用非线性系统理论构造控制器，取得了一定的 成就。 由于非线性系统比线性系统更加贴近我们实际生活中所研究的系统，因此， 研究具有时滞的不确定的非线性系统的稳定性和带有不确定的非线性扰动的系统 的稳定性对我们来说将产生非常重要的意义。非线性系统除了讨论它在扰动下的 鲁棒稳定性，还可以讨论，不确定的非线性系统的参数稳定性。非线性系统的参 数稳定性是一个非常重要的研究领域，它通常出现在人口数量，经济学，神经网 络和化学过程等研究方面。通常对于带有不确定参数的非线性系统，我们要讨论 它的参数稳定性主要是观察它在平衡点处是否稳定，特别是平衡点在参数变化的 情况下是否存在，和系统在参数变化情况下，是否能保持稳定。 对于具有时滞的不确定的非线性系统的稳定性的研究，目前国内采用的方法 主要是运用范数有界不确定性假设，即： l i 厂( x ( f ) ，t ) 1 1 2 口l ix ( t ) 1 1 2 ， 0 f ( x ( t f ) t ) 1 1 2 口li i 砸一f ) 1 1 2 。 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 然后，通过l y a p u n o v 直接方法和相应的不等式技巧，把非线性扰动部分处理变成 线性部分，结合线性矩阵不等式( l m i ) ，或者是r i c a t i i 方程，证明系统的鲁棒稳 定性。这里证明的稳定性通常是给出系统达到渐近稳定的条件，但是，一般给出 系统达到指数稳定性条件的这方面的文章还比较少见。 9 电子科技大学硕士学位论文 从理论上看，对于具有时滞的不确定的非线性系统的研究还面临许多问题和 困难： ( 1 ) 与线性系统相比，非线性系统的显著特点是存在多平衡点、极限环、分歧 与混沌等现象，其运动行为与其初始状态、系统参数及输入量之间存在着复杂的 非线性关系，因此现行叠加原理将不再适用。 ( 2 ) 对于非线性系统的研究，虽然运用m a t l a b 等数学软件对系统进行仿真和计 算系统的时滞有许多控制方案，但理论上的研究尚处于初步阶段，需要做的工作 很多。 ( 3 ) 对于非线性系统的研究，许多问题还仅仅停留在理论成熟的方面，但是， 对于我们的工程和实际使用还存在一定的距离。 ( 4 ) 对于我们所研究的具有非线性扰动的系统，目前使用的方法还是比较单 一，对系统的限制比较严格，这样我们所研究的系统的实用性不是很理想。 在逼近非线性函数问题上，现有的理论只解决了存在性问题，对于不同的被 控现象，如何选择合适的非线性系统去研究，尚处于经验阶段，有待于进行理论 上的研究；在学习算法方面，现有算法的收敛速度很慢，应着重研究如何使算法 的收敛速度加快，当然此问题要有重大突破，还有待于高维变量的非线性优化方 法的提高。就控制系统而言，对于非线性系统的稳定性分析、系统的鲁棒性、鲁 棒辨识等均是有待研究的课题。总之，非线性系统中的理论问题很多，解决这些 问题的难度很大，若有突破，非线性系统的研究将会有更大的发展，但许多理论 问题的解决，有赖于非线性系统理论的发展。 1 3 本论文的选题和研究内容 目前，研究具有时滞的非线性系统的鲁棒稳定性( 指数稳定性) 和系统的b i b o 稳定性已经引起了广泛的注意。因为，时滞作为一种不良的影响通常出现在一些 动力系统中，例如，生物系统，化学系统，神经网络系统，核反应，脉冲系统， 电力系统等等。在最近二十年中，系统的控制和稳定性分析已经被广泛研究。例 如，文献【2 7 3 4 】给出很好的结果。众所周知，具有时滞的不确定的非线性系统作为 时滞系统里的一个特例广泛存在于一些动力系统中。在过去，对于这类系统满足 的一些鲁棒稳定性条件已经给出了。 最近，一些研究者越来越多的关注具有连续时滞系统和中立型系统的b i b o 稳 定性问题【3 5 4 6 】。在参考文献中【3 5 】，h u a n gy q 等运用l y a p u n o v 泛函和不等式分析 1 0 第一章绪论 方法，获得s w i t c h 系统满足渐近稳定和b i b o 稳定的条件。在参考文献 3 6 】中， p a r t i n g t o n 等给出了中立型系统的平凡解是渐近稳定和b i b o 稳定的判别条件。 本论文中，我们研究具有时滞的不确定的非线性系统的指数稳定性和b i b o 稳 定性：基于h a r i w i t y 矩阵和r i c c a t i 方程，得到具有时滞的不确定的非线性系统的 指数稳定性满足的条件；通过使用l y a p u n o v 泛函，r i c c a t i 方程和线性矩阵不等式 的分析方法，给出系统满足b i b o 稳定性的条件。 电子科技大学硕士学位论文 第二章具有时滞的非线性系统的稳定性 2 1 系统的描述 考虑下面的具有时滞的不确定的非线性系统t 丢坪) = a x ( 卅4 x ( h ) + m 力+ 彳( m 卅力， ( f o ) ， ( 2 - 1 ) 这里要求满足初始条件： 顶f ) = ( f ) ，t 卜f ，0 】， ( 2 - 2 ) 其中，x ( t ) r “是状态向量，彳和a l r 肼“是常数矩阵，f r + 是时滞，矽( f ) 是连 续的向量函数，同时满足条件i i | l f = s u pi l ( f ) i l 。不确定的部分厂( 工( f ) ，t ) 和 i ( 石o f ) ，t ) 是关于状态向量缸f ) 和具有时滞的状态向量颤f f ) 的二阶可导的连 续函数，通常条件下，我们假设f ( 0 ，t ) 暑0 ，六( o ，t ) 暑o 。根据t a y l o r 公式，我们 能够得出： ( z o ) ，f ) = 彳2 ( f ) 工o ) + 六( 工( f ) ，f ) ， ( 2 - 3 ) z ( 石o f ) ，f ) = a 3 ( f ) 工o r ) + 六( 双f f ) ，f ) ， ( 2 - 4 ) 其中厶( x ( f ) ，t ) = o ( i fx ( t ) i f ) ，a ( x ( t f ) ，t ) = o ( i ix ( t r ) j j ) 。对于 0 ( i = 1 , 2 ) ，存 在m 0 ，且满足条件i l x ( t ) l | m 和i l z o f ) l i m 。 因此， i i 厶( z o ) ，t ) i f 口li l x ( t ) f l ，i l 六( 攻f f ) ，t ) i i o ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ) ，使得 厉 “1 万 那么系统( 2 1 ) 是指数稳定的。 其中 m = p g 一( 鲁+ 譬+ i 1 + 毒) i l p 幢一2 5 i 一6 2 6 9 彳一岛。 。， = 6 3 + 么+ 玩废+ 6 6 霹+ 6 7 砰+ 6 8 。 让明：对于系统( 2 - 8 ) ，定义如f 的l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函： y ( ) = k + k + 匕+ 砭+ 圪+ 圪， 其中： k = x r ( t ) p x ( t ) e 甜， 匕= ( 吃+ 岛。) ，( 秒) x ( 矽弘5 一+ f d 乡， 巧= ( 岛+ 岛砰弦f + ，x r ( 9 ) x ( o ) e “e + ) d o d s ， v 4 = ( 么+ 魄弦e ，( 秒) 工( 秒) e 艘2 d o d s ， 圪= 6 5 历r c ，工r ( 秒) 工( 乡弦8 舢f ) d a 玉， 圪= 6 6 层fe ，( 秒) z ( 乡) 矿2 d o d s 。 这里，p 是r i c c a t i 方程的对称正定的解矩阵。l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函矿( t ) 沿着 系统( 2 8 ) 的轨线关于时间导数： 矿( ) = 矿。+ 矿：+ 矿，+ 矿。+ 矿，+ 矿。 其中， 坟= 2 x r ( t ) p x ( t ) e 靠+ c e 研x r ( f ) 段( f ) = 2 x r ( t ) p e 掰( + 墨) 工( f ) + 厶( f ) 工( f ) + 4 ：( f ) x o f ) 一墨，【戤( j ) 1 4 第二章具有时滞的非线性系统的稳定性 + q x 【s r ) + a 2 a s ) x ( s ) + 4 2 ( s ) x c s f ) + 广2 【x 【j ) ，j ) + l ( x ( s f ) ，s ) d s + 正( x o ) ，t ) + f 3 ( x ( t - r ) ，f ) + g e 目x r ( f ) f k ( f ) - - x r o ) 【( b + 忍) r p + p ( b + b i ) x ( t ) e 盯+ 2 x r o ) p 4 2 ( f ) x o ) p 口 + 2 ，( t ) p 4 ：o ) m f ) e 甜一e 斟，2 ，( f ) 竭觑o ) a s e 口，2 ，o ) 硝e x o f ) d s _ e s t ，z x r ( t ) p b i a 2 ：o ) x o ) d s 一矿f _ z x r ( t ) p b 。a 3 ：( s ) x ( s r ) a s _ e m ，2 x r ( t ) p b , l ( x ( s ) ，s ) d s e 甜l 2 x r ( t ) p b l f 3 ( x o r ) ，s ) d s + 2 x r ( t ) p f 2 ( x o ) ，f ) 矿 + 2 x r ( t ) p f 3 ( x ( t f ) ，t ) e 目+ o c e 钟z r ( f ) 尸妖f ) 。 根据引理2 ，对于v b , oo = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 , 1 0 ) ， 2 x r ( f ) 1 2 毛4 2 2 ( f ) x ( f ) p 甜雩苎x ro ) p p x ( f ) p 甜+ b l x r ( t ) x ( f ) e 厨， 2 x r p ) 户4 ：o ) 工。一f ) p 甜笔至x ro ) p p x ( f ) 2 甜+ b s ( f f ) x o f ) p 甜， 1 肼，2 ，o ) p b 3 x ( s ) 出去，o ) p b 3 b7 矸a ( f ) 酽+ 岛龙搿，( s ) “j ) 凼， 叫甜，2 ，o ) p b i b i x o r ) 凼玄，o ) p b , b - b r b r p x ( f 弦甜+ 么饱掰2 7 r ，( s ) x ( s ) 凼， 由于彳，2 ( f ) 是以f 为自变量矩阵，满足条件 | 么，：( f ) 1 1 - 。o , u = 2 ，3 ) ，于是我们有 一矿，2 ，( f ) 脚i 如( s ) 工( s ) 西去，。) p b 3 p x ( z ) 矿+ 吃历f 矿l ，( s ) 颤s ) 凼， 呻盯，2 ，( f ) 鹧4 z ( s ) z o f ) 凼言，o ) p b , b r p x ( f ) 矿+ 吃孱化甜e ，( s ) x ( s ) 也 由于惮l i f 0 ，对于所有的f 卜r ，r ) ，我们得到， i | 石o ) l 峰m ，0 x ( t - r )