（应用数学专业论文）几类π正则半群的性质与结构.pdf

摘要 摘要 本学位论文致力于研究几类7 t 正则半群上的性质与结构全文共三章 第一章是引论，主要介绍了国内外兀f 则半群方面的发展，目的尚存在的问题以及 研究课题的意义及课题研究的任务 第二章研究了冗f 则尸，半群本章分三节第一节预备知识，介绍了一些定义和定 理，幂等元满足置换等式的正则半群己被研究，一个兀正则半群它的幂等元可交换就被 称为强7 c 逆半群第二节我们研究了幂等元满足置换等式的7 t 诈则半群，我们知道一个 正则半群是半群当且仅当它同构于正规带和可交换的c l i f f o r d 半群的直积本节首 先介绍了兀正则半群中幂等元满足置换等式，则幂等元为7 【一f 规带然后把拟直积的结 构推广到兀正则半群上，构造出兀正则半群s 上拟直积新的定义，从而得出幂等元满足 置换等式的兀f 则半群的结构及其一些相关性质7 【正则半群是幂等元满足置换等式的 冗正则半群当且仅当它同构于左兀j 下规带，强7 【逆半群丁，右兀正规带尺的拟直积第 三节主要是研究兀正则半群的相关性质与结构首先引入了完备7 t 一逆半群，推广的完 备7 【逆半群以及推广的弱完备兀逆半群的定义来研究7 c 正则p ，半群的一些性质与结构， 证明了s 是兀f 则半群当且仅当s 为推广的完备冗逆半群，同时还给出了兀一证则尸， 半群s 中存在的一些相关性质 第三章研究了g v - 半群上的纯整同余本章分三节第一节首先给出必要的记号， 术语和一些预备知识第二节构造了g v - 半群上的纯整同余对的结构，正则半群上的纯 整同余已经被研究，它的纯整同余被它的核和超迹唯一确定本节首先给出纯整同余对 新的定义g v - 半群上某一同余对( f ，k ) 是纯整同余对同样也满足一些条件，其中孝是 g v - 半群s 的幂等元集组成的子半群( e ( s ) ) 上的某种同余，k 是s 的某种正规子半群 但不同的是定义的条件发生了改变，本节用弱逆的方式分别给出子半群( e ) ) 上的f 规 同余f 和正规子半群k 新定义，同时还用此方法构造了g v - 半群上纯整同余对第三节 研究了g v - 半群上的纯整同余的性质把f 则半群上纯整同余的结果推广到g v - 半群上， 用弱逆的方式构造了一个二元关系p c fr 、： f v 口。( 日) ，3 b 矽( 6 ) ，a b k ，a a 。4 b b , a a 4 b b 口只f b 营1v b ) ，j 口( a ) ，b - a k , a a 黟6 ，口口劬t b 证明一个g v - 半群上的纯整同余也是被它的核和超迹唯一确定，还给出了纯整同余对的 一些性质以及纯整同余对与纯整同余之j 日j 的相互关系定理 关键词：7 【一正则半群；7 【f 则p i 半群；拟直积；完备兀逆半群；推广的完备兀- 逆半群； g v - 半群；纯整同余；纯整同余对 a b s t r a c t t h ep r e s e n td i s s e r t a t i o ni sd e v o t e de x c l u s i v e l yt ot h en a t u r ea n ds t r u c t u r eo fs e v e r a lk i n d s o fe v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p s i tc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1 i sab r i e fi n t r o d u c t i o n ，w em a i n l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fe v e n t u a l l y r e g u l a rs e m i g r o u p so fd o m e s t i ca n da b r o a d ，t h ep r o b l e m sw h i c he x i s ta tt h em o m e n t ，t h e s i g n i f i c a n c eo ft h es u b j e c ta n dt h er o l eo ft h ep r o j e c tr e s e a r c h i nc h a p t e r2 ，w es t u d ye v e n t u a l l yr e g u l a r p s e m i g r o u p s i tc a nb ed i v i d e di n t ot h r e e s e c t i o n s s e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cp r e l i m i n a r i e s ，r e g u l a rs e m i g r o u p sw h o s e i d e m p o t e n t ss a t i s f yp e r m u t a t i o ni d e n t i t i e sh a v e b e e ns t u d i e d as e m i g r o u pi ss t r o n g l y e v e n t u a l l yi n v e r s ei fi ti se v e n t u a l l yr e g u l a ra n di d e m p o t e n te l e m e n t sc o m m u t e i n s e c t i o n2 ， w es t u d ye v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u pw h o s ei d e m p o t e n t ss a t i s f yp e r m u t a t i o ni d e n t i t i e s ，w e k n o war e g u l a rs e m i g r o u pi s p i s e m i g r o u pi fa n do n l yo fi t i si s o m o r p h i ct ot h ed i r e c t p r o d u c to fn o r m a lb a n da n dc l i f f o r ds e m i g r o u p sw h i c hc a nb ee x c h a n g e d w eg e n e r a l i z et h e s t r u c t u r eo fq u a s i d i r e c tp r o d u c tt oe v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p sa n dc h a r a c t e r i z et h en e w d e f i n i t i o no fq u a s i - d i r e c tp r o d u c to ne v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ，s ow eo b t a i nt h es t r u c t u r e a n dn a t u r eo fa ne v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u pw h o s ei d e m p o t e n t s s a t i s f yp e r m u t a t i o n i d e n t i t i e s a n e v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p i sa ne v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u pw h o s e i d e m p o t e n t ss a t i s f yp e r m u t a t i o ni d e n t i t i e si fa n do n l yi fi t i si s o m o r p h i ct ot h eq u a s i d i r e c t p r o d u c to fal e f te v e n t u a l l yn o r m a lb a n d ，s t r o n g l ye v e n t u a l l yi n v e r s ea n dr i g h te v e n t u a l l y n o r m a lb a n d i ns e c t i o n3 ，w em a i n l ys t u d yt h en a t u r ea n ds t r u c t u r eo fe v e n t u a l l yr e g u l a rp 1 s e m i g r o u p s t h ec o n c e p to fac o m p l e t ee v e n t u a l l yi n v e r s es e m i g r o u p ，ag e n e r a l i z e dc o m p l e t e e v e n t u a l l yi n v e r s es e m i g r o u pa n dag e n e r a l i z e dw e a kc o m p l e t ee v e n t u a l l yi n v e r s es e m i g r o u p a r ei n t r o d u c e di no r d e rt o s t u d yt h e n a t u r ea n ds t r u c t u r eo fe v e n t u a ll yr e g u l a rp i s e m i g r o u p s w eg i v eas e m i g r o u psi sa ne v e n t u a ll yr e g u l a rp is e m i g r o u pi fa n do n l yi f si sag e n e r a l i z e dc o m p l e t ee v e n t u a l l yi n v e r s es e m i g r o u pa n ds t u d ys o m en a t u r eo f e v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u psw h o s es a t i s f yp e r m u t a t i o ni d e n t i t i e s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yo r t h o d o xc o n g r u e n c e so nag v - s e m i g r o u p i tc o n t a i n st h r e e s e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，w es t a t eb r i e f l ym o s to ft h en e e d e dn o t i o n ，t e r m i n o l o g ya n dp r e l i m i n a r y i ns e c t i o n2 ，w ec h a r a c t e r i z et h es t r u c t u r eo fa no r t h o d o x c o n g r u e n c ep a i r o n o n g v - s e m i g r o u p s o r t h o d o xc o n g r u e n c e so nar e g u l a rs e m i g r o u ph a v eb e e ns t u d i e d ，a n o r t h o d o xc o n g r u e n c ep a i ro nr e g u l a rs e m i g r o u p si su n i q u e l yd e t e r m i n e db yi t sk e r n e la n d h y p e r - t r a c e w eg i v ea nn e wd e f i n i t o no f a no r t h o d o xc o n g r u e n c ep a i r i fac e r t a i nc o n g r u e n c e p a i r 售，k ) o no v - s e m i g r o u p si s a no r t h o d o xc o n g r u e n c ep a i lt h e ni tw i l ls a t i s f ys o m e c o n d i t i o n s ，w h e r e 孝i sac e r t a i nc o n g r u e n c eo ns u b s e m i g r o u p ( 岱) ) ，k i sac e r t a i n n o r m a ls u b s e m i g r o u p b u tt h ed i f f e r e n c ei st h a td e f i n i t ec o n d i t i o n sc a nb ee x c h a n g e d ，w e s e p a r a t e l yg i v et h en e wd e f i n i t o no fn o r m a lc o n g r u e n c efo ns u b s e m i g r o u p ( e ( s ) ) a n d n o r m a ls u b s e m i g r o u pkb ym e a n so fw e a ki n v e r s ei n t h i ss e c t i o n ，w ec h a r a c t e r i z ea n o r t h o d o xc o n g r u e n c ep a i ro no nag v - s e m i g r o u pb yu s i n gt h es a m em e t h o d i ns e c t i o n3 ，w e s t u d yt h en a t u r e o fo r t h o d o xc o n g r u e n c e so ng v - s e m i g r o u p s 。t h er e s u l t so fo r t h o d o x c o n g r u e n c e so nr e g u l a rs e m i g r o u p sg e n e r a l i z et og v - s e m i g r o u p w ec h a r a c t e r i z eab i n a r y i i r e l a t i o n 级f ，x ) b ym e a n so fw e a ki n v e r s e ： ：。iv a ( 口) ，3 b 矽( 6 ) ，a b k ，a a 多6 ，a a 孕o b 口只f 6 1 v b ( 6 ) j 口- ( 口) ，6 口k , a a 每b b - ，口口6 i ti sa l s os h o w nt h a ta no r t h o d o xc o n g r u e n c ep a i ro ng v - s e m i g r o u p si s u n i q u e l yd e t e r m i n e d b yi t sk e r n e la n dh y p e r - t r a c e ，w eg i v es o m en a t u r eo fa no r t h o d o xc o n g r u e n c ep a i ra n dt h e t h e o r e mr e l a t i o n sb e t w e e na no r t h o d o xc o n g r u e n c ep a i ra n da no r t h o d o xc o n g r u e n c e k e y w o r d s ：兀- r e g u l a rs e m i g r o u p s ；兀一r e g u l a rp is e m i g r o u p s ；q u a s i d i r e c tp r o d u c t ； c o m p l e t e 兀- i n v e r s es e m i g r o u p s ；g e n e r a l i z e dc o m p l e t e 冗一i n v e r s es e m i g r o u p s ；g v - s e m i g r o u p s ； o r t h o d o xc o n g r u e n c e s ；o r t h o d o xc o n g r u e n c ep a i r s i i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名： 蔓区 日 期：妇崖白亟匹塑 y 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： 盘 导师签名： e l 期： 塾鲜歪 学址 第一章引论 第一章引论 1 1 兀正则半群的研究背景与现状 j 下则半群是目前研究成果最丰富的一个半群类，它以其结构“工f 则性”的丰富内涵 而居于半群代数理论研究的中心位置而逆半群和完全正则半群作为两类重要的正则半 群，其研究近几十年取得了很大的成就，成果颇丰特别是关于后者的专著“c o m p l e t e l y r e g u l a rs e m i g r o u p s ”( 1 9 9 9 年版) ，系统地介绍了完全正则半群的基本理论以及至上世纪 九十年代末该领域的最新研究成果，收录了包括该书作者m p e t r i c h 和n r r e i l l y 在内人 们大量的研究工作 1 1 4 】，我国的众多学者在这方面都有所贡献，如西南大学的郭聿琦 教授 1 5 】，兰州大学的罗彦锋 1 6 ，1 7 等7 【正则半群是正则半群的一种推广，7 c 正则半群 的研究目自仃刚刚起步，我国已有半群理论专家丌始了这方面的研究，并获得了较好的研 究成果，如江西师大的郭小江教授 1 8 】，西北大学的赵宪钟教授【1 9 ，山东师大的张玉芬 教授【2 0 】等二十世纪七十年代以来，为人们所关注的所谓拟( 7 t ，幂) f 则半群，已经成 为非币则半群代数理论研究中的一个相当活跃的领域 在国外，1 9 4 1 年c l i f f o r d 最先写了关于完全币则半群方面的重要文章在书中他建 立的它们结构描述的基础，很多年以后，它被完全单半群的半格取代这种分解在一般 完全f 则半群中仍然是重要的仅有用的分解1 9 6 0 年“完全萨则半群”这个名字来源于 l y a p i n 书中正规密码群代表了一类完全正则半群，它跟完全单半群和半格关系密切 这类半群中最好的代表是完全单半群的强半格，这个结果由p e t r i c h 在1 9 7 3 年得出建 立在这个代表的基础之上，一方面可以成功地研究这类半群的多种性质还可以研究它 们的结构和种类，及这种特殊类的体系正则纯正群代表了f 规纯正群之外的一种完全 正则半群类它们的结构由y a m a d a 在1 9 7 3 年的理论中阐述这种半群类有多个子类演 生出很多性质对正则半群来说，同余的描述用核和迹来表示最先被f e i g e n b a u m 发现 半群代数理论中与幂等元相关半群的研究方法很早就有了在19 6 7 年m i y u k i y a m a d a 2 11 研究了幂等元满足置换等式的正则半群在2 0 0 4 年m e l a n i j am i t r o v i c 2 2 研 究与幂等元相关半群的j 下则子集抽象代数中的变量式由j o h nh i c k e y 2 3 ，2 4 1 首先研究 的t a k h a n 和m v l a w s o n 2 5 研究了正则半群上的变量7 c 正则半群是由e m e d w a r d s 在文中首先提出并丌始研究的关于兀正则半群的研究策略就是把正则半群理论中已知 的结果向兀正则半群进行推广，e m e d w a r d s 在他的一系列论文 2 6 2 9 】中已经证明了正 则半群理论和有限半群理论中的许多结果可以很自然的推广到冗一正则半群上国外半群 理论专家开始这方面的研究也有很多，比如有t s b l y t h 3 0 】，s h a n u m a n t h ar a o 3 l 】， t r o t t e rp g 【3 2 等 1 2 课题的研究意义 半群的代数理论是在数学内部和外部( 特别是计算机科学) 的强烈推动下从2 0 世纪 5 0 年代到6 0 年代发展起来的一个崭新的代数分支它与“群论”的关系类似于“环论”与 江南人学硕i - q ：位论文 “域论”的关系它的地位的确立不仅在于一批系统的研究成果的出现，更在于一套独特 的系统研究思路和方法的形成半群代数理论在丰富代数理论的基础上，在很多学科都 有很好地应用，如算子理论，概率论，语言与自动机等兀正则半群是正则半群的一种推 广，关于它的研究目前刚刚起步，成果不是很丰富，也不太深刻但兀i e 则半群有很大 的研究意义，首先它是比正则半群更广的一个半群类，它的研究成果适用于正则半群， 另外它丌辟了研究非正则半群类的先河，为研究其他非币则半群类提供了思路作为半 群代数理论的一个重要研究对象，兀正则半群是由p m e d w a r d s 首先提出并丌始研究的 所谓7 c 正则半群就是它其中的元素都是7 c 正则的，半群s 中元素a 称为尢正则的，如果存 在x s ，m z 满足a 册= a ”x a 埘关于兀正则半群的研究策略就是把正则半群理论中的已 知结果向兀正则半群进行推广半群代数理论中与幂等元相关半群的研究方法很早就有 了研究一类半群，可以通过研究它的内部结构如理想和同余来研究半群的基本特征和 构造，对于兀正则半群，研究其同余，对于理解一般或特殊的兀币则半群的特征和结构 有很大的帮助首先，任何半群上的同余能提供它的同态象的某些信息，有时还可以说 明半群自身的结构其次兀正则半群的一些重要结构理论基于半群上某些特殊同余的知 识内容再次，一般尢讵则半群上的不同类同余的研究，也能提供不同兀讵则半群类最 后，已知结构的兀正则半群上的同余的确定能够帮助我们深刻理解其本质特性 1 37 【正则半群的研究任务 在1 9 6 7 年m i y u k iy a m a d a 研究了幂等元满足置换等式的f 则半群在他的论文【2 l 】 中，半群的结构已经给出，并且证明了一个正则半群是p ，半群当且仅当它同构于证规 带和可交换的c l i f f o r d 半群的直积1 9 9 6 年郑恒武 3 3 ，3 4 研究了兀f 则半群上的关系与 子直积，1 9 9 7 年郭小江教授在论文 1 8 】中研究了幂等元满足置换等式的富足半群，给出 了这种半群的结构并给予了证明本文第二章将幂等元满足置换等式的f 则半群中的一 些理论推广到兀诈则半群上来，我们通过y a m a d a 研究的结论已经知道了一个尢f 则半 群它的幂等元可交换就被称为强兀逆半群，一个证则半群是硝半群当且仅当它同构于 f 规带和可交换的c l i f f o r d 半群的直积以及拟直积在币则半群的结构等等，通过推广我 们可以研究拟直积在兀正则半群上新的结构，从而进一步研究幂等元满足置换等式的兀 正则半群的相关性质与结构在此基础上进一步推广，我们通过引入一些新的定义来研 究满足置换等式的7 c 正则半群( 即为7 【正则半群) 上的性质与结构 e d w a r d s 研究了7 1 ；正则半群上的最大幂等分离同余并且证明了l a l l e m e n t 理论在冗正 则半群上也成立a u i n g e r 和h a l l 3 5 3 7 研究了兀正则半群s 上的某种同余以及s 的同余 格上的某种完全同余他们推广了正则半群上的一些结论【3 8 并且获得了正则半群上的 一些新的结论正则半群的同余已经被研究，研究正则半群上的同余常用核迹方法 3 9 ， 其中同余对也扮演着重要的角色，因为同余对包括了同余的核和迹，而同余被它的核和 迹唯一确定g o m e s 发展起了核迹方法并且用核和超迹的方法研究了正则半群上的r 幂单同余 4 0 】和纯整同余 4 1 当前一些最新的研究成果，特别是罗彦锋教授等人于近 期发表的论文 1 6 ，1 7 n 正则半群上的r 幂单同余和最大幂等分离同余他把核和超迹的 2 第一章引论 方法推广到兀f 则半群上加以研究了，恰好验证了人们对于7 t 正则半群的研究方兴未艾， 还有很多问题值得人们去思考在精读g o m e s 关于正则半群上的纯整同余的一些结论 之后，本文在第三章就试着用核和超迹的方法来研究g v - 半群上的纯整同余g v - 正则半 群上的纯整同余同样是以某种的同余对( 善，k ) 所给出，其中f 是g v - 半群s 的幂等元集 组成的子半群( e ( s ) ) 上的某种同余，k 是s 的某种正规子半群但不同的是定义的条件 发生了改变，本节用弱逆的方式分别给出子半群( e ( s ) i 上的正规同余孝和j 下规子半群k 新定义，同时还用此方法构造了g v - 正则半群上纯整同余对和一个二元关系屏，r 、： 一 f v a 形0 ) ，j 6 ( 6 ) ，口b k ，a a 6 ，口口多b 口红蹦) b 1v b - 形( 6 ) ，j 口( 口) 6 - 口k , a a 动6 ，口口劲b 研究g v - 半群上的纯整同余的性质，证明了一个g v - 半群上的纯整同余被它的核和超迹 唯一确定，同时还研究了纯整同余对的一些性质以及纯整同余对与纯整同余之i b j 的相互 关系定理本文将正则半群上的纯整同余和7 【正则半群上的r 幂单同余的一些性质和结 构推导到g v - 半群上，从而丰富了g v - 半群上关于同余的一些性质和结构 作者的导师孔祥智先生 4 2 4 6 建议对兀f 则半群相关方面进行自己的研究课题，在 对兀正则半群相关方面知识的掌握，及搜集并整理了相关的文献资料的基础上，在导师 的指导下完成了关于几类7 c 正则半群的性质和结构的学位论文 江南人学硕十学位论文 第二章7 c 正则钟半群 2 1 预备知识 半群s 中的元素a 是正则的，如果3 x s ，使得a = a x a 如果s 中的每个元素都是 正则的，那么s 是j 下则半群 半群s 中的一个元素x 是a 的逆，如果a = a x a ，z = x a x 半群s 是可逆的，如果s 中 的每个元素都有唯一的逆元 半群s 中的元素a 是完全难则的，如果3 x s ，使得a = a x a ，a x = x a 如果s 中的每 个元素都是完全正则的，那么s 是完全正则半群( 群并) ，它也是完全单半群的半格 兀f 则半群是正则半群的一种推广，它也被人们称为幂正则半群，它的定义如下： 半群s 中的元素6 1 是兀正则的，如果3 m z + ，使得a ”= a ”x a ”，与正则半群的定义 比较，可见7 c 正则半群是其中的元素在幂上的一种推广 定义如下等式：令x = 扛。，x ：，) 为一个集合，其中每个x ，称为变量设 g 。，x ：，) ，g ，x ：，_ ) 是由x 元素组成( 彤或不必包括所有字母 x ix ：，) 则彬g ，x ：，) 与g 。，x ：，) 组成一对称为用变量_ ，x ：，表示 的等式，并且被经常写成： 彤( z ，x 2 ，x 。) = 阿，2 b i ，x 2 ，x 。) ( 1 ) 比如由变量五，x 2 ，吒表示的置换等式，我们通常写成： x i x 2 x 一= x 仃o ) x d ( 2 ) x 盯加) 其中盯( 1 ) ，仃( 2 ) ，仃o ) 足( 1 , 2 ，n ) 的非平凡置换 在死正则半群s 中，有以下定义： ( 1 ) n 一交换c a x m y ”= y ”x ”； ( 2 ) 左兀一正规x y ”z = x m z7 y ”； ( 3 ) 右兀- 萨规x y ”z7 = j ，”x ”z ； ( 4 ) n 一正规营x ”y ”z7 w 5 = x ”z 7 j ，”w 5 ； ( 5 ) 左7 c - 零x m y ”= x ”； ( 6 ) 右7 【- 零x m y ”= y ”； ( 7 ) n - 矩形x m y ”z - - - - x 脚z 其中x ，y ，z ，w s ，m ，? ，s 满足x ，y ，z ，w 为7 c f 则元的最小正整数 对应地e ( s ) 分别为半格；左7 c 正规带；右尢f 规带；兀正规带；左7 【零带；右7 c 零带； 兀矩形带 对任何一个带b ，存在一个半格r 和一组矩形带 b ，：，r ，满足： ( 1 ) b = u b ，：，r ， ( 2 ) b 。nb 口= ， v c z ， 4 第二章兀一i f 则p ，平群 ( 3 ) 吃c ，对所以口，f b 的分解是唯一的上面的r 为b 的结构半格，b ，称为b 的，一核这样的分解成为 召的结构分解，记为b b ，：r i m i y u k iy a m a d a 在文 2 5 】中证明了尽是正规带当且仅当它满足等式： m x y z x = x z y x 戥x y x z x = x z x y x 2 2 幂等元满足置换等式的7 c 正则半群 令s 是个半群，彳是s 的子集且令仃= ( 二( 1 ) 三( 2 ) j j j 二( 刀) ) 是( 1 ，2 ，n ) 上的一 个非平凡置换那么a 满足由盯确定的置换等式，如果 c 呶l ，x 2 ，x 。a x x l x 2 x 。= x 。( 1 ) x 。( 2 ) x 。( 。) ) ， 其中x i x 2 x 。是s 中j c l ，x 2 ，_ 。的积 如果a = s ，那么s 被称为肼半群 m i y u k iy a m a d a 研究了幂等元满足置换等式的正则半群在他的论文【2 5 中，这类半 群的结构已经给出，并且证明了一个f 则半群是尸，半群当且仅当它同构于正规带和可 交换的c l i f f o r d 半群的直积郭小江教授 1 8 】研究了关于幂等元满足置换等式的富足半 群上的结构，本节就是把前人, u s g d , 江教授所研究的关于拟直积结构的相关结论推广到 7 1 ：正则半群上来 以下文章中出现形如x “表示n 满足x 为冗正则元的最小币整数 半群s 是强兀逆，如果s 是冗正则的且幂等元可交换我们定义r e 筘是半群s 的所 有币则元素的集合 定理2 2 1 半群s 上下面条件是等价的： ( 1 ) s 是强冗逆； ( 2 ) s 是7 c 一币则且r e 庐是半群s 的逆子半群； ( 3 ) s 是7 1 ；一逆且s 的任意两个幂等元的乘积还是一个幂等元 证明( 1 ) j ( 3 ) 易知 ( 1 ) j ( 2 ) 对v 口，b r e g ( s ) ，有日= a x a ，b = b y b ，因此 a b = ( a x a x b y b ) = ( x x b y ) b = a ( b y x x a ) b = ( a b ) x y 0 6 ) ， 所以r e 茚是半群s | 的子半群 因为对v e ，f e ) ，有e f = 乃，所以r e 庐是逆半群 ( 2 ) j ( 1 ) 易证 定理2 2 2 若兀正则半群s 的幂等元集满足置换等式，则e ( s ) 为7 c t t 规带 证明令s 为7 c - f 则半群，e ( s ) 满足置换等式五x 2 x n = k ( 。) b ( 2 ) ( 。) ( 1 ) ( 其中 p ( 1 ) ，盯( 2 ) ，仃0 ) 是( 1 ，2 ，n ) 的非平凡置换) ，则存在，对所有满足f j ( ，s 可能分别为1 ，门) 于是有形式 江南人学硕i ：学位论文 x i x 2 。 x j ”2x 盯( i ) ( 2 ) x 口( ，一1 ) ( j ) x 口( i ) 如( n ) 首先证e p ) 为带令p ，f e p ) ，考察映射咖“，x 2 ，i n 寸e 满足： ( x ，) = e , l t j ；q k ( x , ) = 厂，+ 1 ，r 1 则( 一) ( x z ) 矽( _ ) = 矽( x 。( - ) ) 矽( o ( ：) ) 矽( x 。( 。l ) 变成矿= e f e f ，e f = f e f ，e f = e y e ，或e f = f e 若矿= e f ，或= 咖，n e f = e f e f n c ce f 为幂等元，即e ) 为带由于e ) 满足( 1 ) ， 所以e ( s ) 为正规带 定理2 2 3 令s 是一个冗- 正则半群，e ( s ) 是7 c 一币规的，则v 口，b s ，p ，f e ) ，有 口“咖”= a m f e b ”。 证明 设口矿g ”) ，6 矿( 6 ”) ，则口日”，6 ”b 为幂等元，有 a ”e f t , ”= a m a a ”帕” a m f e b ” b 。b ” ( b b ) b ” ”6 b n 定理2 2 4 若兀一正则半群s 的幂等元集e ( s ) 是7 c - 工f 规带，p e ) ，a s ， 矿g ”) ，贝, l ja e a ”，a m e a 是幂等元 证明因为e ( s ) 是尢一正规带，p e $ ) ， 定理2 2 5 g 切”) 2 = 比 a s a a ”a e a 聊 = a e a ” a m e a 1 2 = a e 口- 口m e 口 = a ”e a y 0 ”) ，则有 若冗- 正则半群s 满足对v 口，b s ，口y 0 ) 6 矿0 ”) ，有6 a y g ”b ”) 当 且仅当e ) 是兀正规带 证明先证“”令p ，f e ( s ) ，p 矿0 ) v ( f ) ，由假设得f e y 何) ，于是 e f e f = e f f e e f = e f ，证得e ) 为带又因为e f e f = e f f e e f = = e e f f ，所以e ( s ) 是尢正规 带 6 矿( 6 ”) ， a ”b ”b a a ”b ”2 贝0a m 口，a 口”，b n 6 ，b b ” = a “b ” 6 e 心) ，而e ( s ) 是7 c 正 砂 肛 n 口 口 l l v 卅 研 口 口 口 口 吨如比耖 口 口 l 丫l v 口 口 l 尸l l l 哆b鼽l v l v 、jl v 矿t 叽 口矢 ， 一口 s 3 2 6 2口里设觎 p 由 。 带 见夫 ，二尸，=尸协凇 协 口 kl v l v 口 口 第二章7 【一正则尸，半群 6 纠口”b 口= b bk 口”b 口”b = 6 p b 勋b ) ( q i a mk 。口”b = b 口 得证6 口矿( 口”b ”) 定理2 2 67 t 正则半群s 的下列条件等价： ( 1 ) e ( s ) 为兀f 规带； ( 2 ) e ( s ) 为带且局部子幺半群e s e 为强兀- 逆半群； ( 3 ) s 满足v 口，bes ，aw y ( 口”l6 y ( 6 ”) ，6 口y g b ”) ，p ，厂e ) ，v e f e 在p s e 中有唯一的逆元 证明( 1 ) j ( 2 ) 设a e s e ，则存在x s ，m z 使得a ”= a m x a ”，而 a ”( e x e ) a “= ( a ”e ) x ( e a ”) = a m x a ”= a ”，e x e ( e s e ) 故e s e 为冗j 下则半群 又令e e l ，e h f e ( e s f ) ，由于e ( s ) 为兀- 正规带，则 e g f e h f = e e g f e h f f = e e h f e e 旷f = e h f e g f 所以e s e 中的幂等元可交换，由引理可证e s e 为强7 c ，逆半群 ( 2 ) j ( 3 ) 易证 ( 3 ) j ( 1 ) 冗一正则半群s 满足v 口，bes ，口y g ”1 6 矿0 ”) ，b 日y g ”b ”) ，由定理可 知e ( s ) 为带下证e ( s ) 为尢f 规带，令e ( s ) - 乓：孝f 是e ( s ) 的结构分解 p ，f ，h e ) ，如果p 坟，h e r ，则e y h e ，e h f e ，因为为7 c - 矩形带，则 有 e y h e e h y e 咖p = e f h e e h f e e j h e e h f e = e h f e 即e h f e 为e y h e 的逆元，又因为扔g 为幂等元，所以e h y e = 4 h e ，证毕 下面我们将介绍兀f 则半群s 上拟直积的概念 令t 为强兀逆半群，半格y = e 仃) ，称为t 的基本半格l 仁。：7 7 y 表示为左兀 正规带，r 忸叩：7 7 】，j 为右尢- f 规带，这e n 4 l ，是左7 c 一零带，每个r 。是右7 c 一零带 令s = 招，善，) ：孝t ，p 三乳，f 尺“。，孝矿”) ，我们在s 上定义新的乘法运算“。，如 下： 0 ，孝，) 。0 ，刁，h ) = e l l ，孝7 7 ，v h ) ， 其寺u e l p 孵矿，v “j 川，矿 实际上， e u e l , m 中。r 哼t jcl l 尹矿。尹旷jcl r ；矿。p 节1 2l 尹孵酽x ， v 办t ，矿) f m 矿办c 气，矿r 矿伤矿c 气，矿矿j 7 矿2 & 矿y 矿， 即证得q 材，孝刁，v h ) s 7 江南人学顾十学位论文 取i m 扒f m 柑，v i 气f 。矿) f 一矿，由于p p 矿( 洲y 为左兀零带，l 为左兀。正规带， 从而有e l l = e u e u l = e e u l u = e u i u = e l l l ，同样可知，e v = e l p l 这说明0 ，孝，) 。q ，7 7 ，h ) 由 e ，孝，) ，( g ，r ，办) 唯一确定 我们得出s ( o ) 为半格】，上的左正规带l ，右正规带r ，强兀- 逆半群丁的拟直积，记 作o s ( l ，t ，r ；y ) 定理2 2 7 令q ，孝，) q s ( l ，t ，天；y ) ，则有e ，孝，厂) 为幂等元当且仅当孝是t 中的幂 等元 证明当孝2 = f 时，因为p 既= 乞，厂r f ，则有g ，孝，f ) = g ，孝，厂) 。q ，善，f ) 即 0 ，善，厂) e 反之，当g ，善，厂) 为幂等元，即0 ，善，f ) e ，则 0 ，f ，f ) = 0 ，乡，厂) 。g ，孝，f ) = 0 甜，f 2 ，矿) = ，f 2 ，f ) 从而f 2 = 孝 定理2 2 8s ( o ) 兰$ 0 ，t