（应用数学专业论文）具有混合边界裂缝上的散射问题.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 在这篇文章中，我们考虑关于时间调和的电磁波在一个无限长圆柱形导体上的 散射问题，假设此圆柱形导体的截面为一段开弧，则可以考虑兄2 中一段开弧上的 散射问题。我们把这段开弧分成两部分，分别具有不同的边界条件。于是可以归纳 出如下的h e l m h o l t z 方程的混合边值问题。 a u + k 2 u = 0 ， 弭= 0 ， 警= 0 ， 虬= 0 等+ i k a u + = 0 ， z r 2 亍， o n r t ， o n r f ， o n 聍， 帆r + ， ( 木) 其中表示相应边界的外法线方向，乱= 仳+ u 为总场，其中入射波u = e i k x d ，d 表示入射方向，且要求散射波札s 满足s o m m e r f e l d 辐射条件。应用位势理 论，可以把这个问题转化为一个边界积分系统，由f r e d h o l m 理论，我们可以得到这 个系统解的存在性和唯一性。 关键诃：h e l m h o l t z 方程；边界积分方程；存在性；唯一性 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ec o n s i d e rt h es c a t t e r i n go fa ne l e c t r o m a g n e t i ct i m e - h a r m o n i c p l a n ew a v eb ya ni n f i n i t ec y l i n d r i c a lc o n d u c t o r i ft h ec o n d u c t o ri sa no p e na r ci n r 2 , w ec a nc o n s i d e rt h ep r o b l e mo fs c a t t e r i n gb ya l lo p e na r ci nr 2 w ea s s u m et h a t t h ea r ci sd i v i d e di n t ot w op a r t sw i t hd i f f e r e n tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s s oi tc a n b ec o n s i d e r e da st h ef o l l o w i n gs c a t t e r i n gp r o b l e mo ft h eh e l m h o t ze q u a t i o n a u + k 2 u = 0 弭= 0 ， 警= 0 ， 一= 0 。 z r 2 f ， o n r + ， o n 耳， o f t 巧， 等+ i k a v + = 0 ，o n 时， ( 木) t h e d e n o t e st h eu n i tn o r m a lt ot h ec o r r e s p o n d i n gb o u n d a r y , ui st o t a lw a v e i si n c i d e n tw a v e ，dd e n o t e st h ei n c i d e n td i r e c t i o n ，b e s i d e s ，t h es c a t t e r i n gw a v em u s t s a t i s f ys o m m e r f e l d sr a d i a t i o nc o n d i t i o n a p p l y i n gp o t e n t i a lt h e o r y ，t h ep r o b l e mc a nb er e f o r m u l a t e da sab o u n d a r yi n t e - g r a ls y s t e m w eo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fas o l u t i o nt ot h es y s t e mb y u s i n gf r e d h o l mt h e o r y k e y w o r d s ：h e l m h o l t ze q u a t i o n ；b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s i i 硕士肇位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：钟厄乃日期：勿0 7 年胡，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：都元元 日期细7 年6 月fe l 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。圃童途塞量变卮澄厦! 旦坐生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：铘毛无 日期沙7 年6 月日 导蛹签名多i 肌 日期：厶口7 年月f 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1绪论 声波和电磁波的散射问题一直是应用数学研究的热点之一。以声波为例，假 定dc 矽，m = 2 或3 是一个不可穿透的散射体。d 外部的均匀介质中的一个入射平 面波e 让击z 碰；u d 以后在其外部产生散射。显然，散射波包含了散射体的信息。正 散射问题就是在给定入射波、散射体的条件下求散射波极其远场形式，在一定条件 下，这是一个适定的问题。所谓的逆散射问题，则是由散射波的远场信息来求散射 体的形状或相关参数。这类问题有着广泛的应用如医学c t 成像、材料的无损探伤 等本质上都可以归结为上述的逆散射问题。 关于正散射问题与逆散射问题的研究已经有很长的历史了，也有很多重要的结 果。对于正问题的研究通常采用的方法有两类：一类是利用位势理论，把问题转化 成边界积分方程，然后由f r e d h o l m 定理可得此问题解的存在唯一性，本文就采用这 种方法进行研究；另一类是应用变分方法。与正问题相比，反问题的发展历史相对 较短，一直到2 0 世纪6 0 年代的中期，才成为一个真正的研究领域，以2 0 世纪6 0 年代 中期苏联科学院院士吉洪诺夫提出的处理不适定问题的正则化方法为标志，反问题 的研究进入了新的阶段( 参考文献 1 】i 【2 】， 1 5 1 ，【1 6 】) 。 关于时间调和的电磁波在一个无限长圆柱形导体上的散射问题，假设此 圆柱形导体的截面为一般开弧，则可以考虑序中一段裂缝( 或开弧) 上的散 射问题，对于这类问题的研究不是特别多。开弧上的正、逆散射问题最早是 由k r e s s 在1 9 9 5 年开始研究的，在文献 6 f i b k r e s s 考虑了一段两边均满足d i r i c h l e t 边 界条件开弧上的正反散射问题。1 9 9 7 年，m o n c h 在文献f 1 1 1 中对同样的散射问题考 虑了开弧两边均满足n e u m a n n 边界条件的情况。然后，在2 0 0 0 年k i r s c h 和r i t t e r 继 续了k r e s s 的研究，他们由远场的情形，利用因式分解方法重构了开弧的 形状( 见文献【1 0 ) 。2 0 0 3 年，f i o r a l b a 和c o l t o n 在文献【5 】中对一段两边分别满 足d i r i c h l e 和r o b i n 边界条件的开弧，做了正、反散射问题的研究。2 0 0 8 年，严国政 教授考虑了一段复合开弧上的散射问题( 见文献 1 5 1 ) ，他把一段开弧分成两部 分，每一部分左右两边分别满足不同的边界条件，并对它上面的正散射问题进行了 研究。 本文我们主要来考虑一段复合开弧上的正散射问题，相应的反问题的情况可 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 用文献【3 ，5 ，6 ，8 ，1 1 1 4 】中的方法研究。仿照文献【1 5 1 的做法我们把一段开弧分成两部 分，其中一部分左右两边分别满足n e u m a n n $ f l d i r i c h l e t 边界条件，另一部分左右两 边分别满足d i r i c h l e t 和r o b i n 边界条件，这两部分就组成了一段复合开弧，我们可 以将它上面关于时间调和的电磁波的散射问题转化为一个h e l m h o l t z 方程的混合边 值问题( 见前面的问题( 章) ) 。 若对原问题( 幸) 只考虑散射波，可以得到下面的问题： a u + k 2 u = 0 u + = ， o u 一， 石2 ，2 ， 让一2 贝， 等+ i k ) _ u + = 卯， z r 2 亍， o nr + ， o nr f ， o ne ， o n 时， a ( 三 = p 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 正散射问题的描述 2 1 正散射问题的导出 关于时间调和的电磁波在一个无限长圆柱形导体上的散射问题，假设此圆柱 形导体的截面为一般开弧，则可以考虑砰中一段开弧上的散射问题。于是，我们 令rc 解是一段有向、分段光滑的开弧，即 r = o - ( s ) ：s 【s o ，s l 】( 1 ) 其中，盯：【s o ，s - 】_ 砰是单射，并且是个分段c 1 函数( 见文献【9 】) 。为了后续研 究，我们把开弧r 扩展成任意一个按段光滑的简单闭曲线o d ，它所包围的有界区域 记为d 。我们把开弧r 在d 外的一边记为r + ，在d 内的一边记为r 一，用表示r 上指 向r + 的单位法向量，这样，r 上的单位法向就与边界o d 上的单位外法向( 仍记 为) 重合。在这里，我们假设r 被分成r 1 、r 2 两部分，考虑r i = 与砖上不同的边值 条件，可以导出下面的问题： a u + 七2 u = 0 ， 仉= 0 ， 警= 0 ， 虬= 0 等+ i k a v + = 0 ， z r 2 于， o nr t ， o nr f ， 伽r i ， o n 咐， 其中：巩= l i m b 。o ( z4 - ) ，巧o u 丁+ = l i m 。o + 工，v o - ( x4 - h v ) ，z r 。另外，全 场u 又可以分为入射波u 和散射波乱两部分，即u = u + u 。已知札i ( z ) = e i k x d ( i d l = 1 ) ，未知的散射波u 满足s o m m e r f e l d 辐射条件： 。熙( 丽o l t i 七乱) = o ( 3 ) 其中r = 蚓，并且此收敛关于2 = 裔是一致的。 为了推广上面的散射问题，我们还需要在r 上定义恰当的迹空间。令f r 表 示边界的一部分，n h l ( d ) 与硫( 冗2 d ) 表示通常的s d 6 0 z e t ，空间， ( r ) 是相应 3 的迹空间，下面我们定义： 日( 于) = 也j 亍：铭日；( r ) 疗；( f i ) = u 日 ( r ) ：s u 觥于) 日一 ( 亍) = ( 疗( 于) ) 青一吾( 亍) = ( 日( 亍) ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 如果原来的问题( 2 ) 、( 3 ) 只考虑散射波u 的话，是如下一般问题( 8 ) 的特殊情 况，即当 = 一4 、止：一誓、9 1 = 一正、9 2 = 一警一t 尼a 磁时问题( 8 ) 即为原 问题。接下来我们主要考虑这种更一般的情况，给出四个函数 日 ( r 1 ) 、五 何一 ( r 1 ) 、9 1 h ( r 2 ) 、卯日一( r 2 ) ，求解仳( r 2 亍) 满足： a u + k 2 u = 0 ， u + = y i ， 等= 厶， t 正一29 1 ， 警+ i k a u + = 9 2 ， 并且要求u 满足s o m m e r f e l d 辐射条件： z r 2 r ， 帆r ；_ ， o f t1 1 f ， 0 7 1 , 巧， 饥咐， l i m ( 豢一i k u ) ：o r o 。 7 其中r = ，并且此收敛关于圣= 南是一致的，为了简单起见，我们假设忌 0 ，入 0 。 定理2 1 1 问题( 8 ) 和( 9 ) 至多有一个解。 证明：我们用b r 表示一个充分大的以r 为半径的球，它包含了d ，用c o b 月表 示曰r 的边界。假设缸是当 = 南= 9 1 = 9 2 = o 时问题( 8 ) 和( 9 ) 的解，显然这一 解乱h 1 ( b r d ) uh 1 ( d ) 在b r 西和d 中满足h e l m h 0 1 t z 方程，并且在a d 于上满 足下面的传输条件： u + = “一和等= 等 ( 1 0 ) 其中”分别表示从d 的外部和内部趋向边界b d 。 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对u 和面在d 中应用格林公式，我们得到： 上c 牲面+ v 露v u ，如= z d 、亍u 器幽+ z 。让翥如+ z ：牡雾幽 c 1 1 ， 对u 和面在风西中应用格林公式，得到： z r 、。c u f i + v f i v u ，如= z 。、f 乱暑詈d s + zu a - 瓦面v d s + z 。仳暑罟d s + z b ru - 万v d s c 1 2 ， 把上面两式相加，并应用( 8 ) 中f 1 、f 2 上的边界条件，以及传输条件( 1 0 ) 得到： 石a b ro f f d s = 上( 一七2 i u l 2 + i v u l 2 ) 如+ z r 、。( 一纠砰+ i v u l 2 ) 如+ zi k a u + 1 2 d s ( 1 3 ) 由上式可得： ，m ( z 筹d s ) o ( 1 4 ) 这样，根据文献【1 中定理2 1 2 ，我们知道：在形晶中有u = 0 ，由惠更斯原 理( 见文献【1 ，2 ) ，可得在r 2 于中也有u = 0 。证毕。 我们用m = u + 一位一和【券】= 等一等分别表示u 和器的跳跃，那么有下面的 引理成立。 口 引理2 1 2 如果u 是( 8 ) 和( 9 ) 的解，那么m 疗( r ) ，【雾】厅一 ( r ) 。 注：关于这个问题的证明可以参考文献f 4 1 。 2 2 正散射问题的解 下面我们将利用格林公式来构造( 8 ) 和( 9 ) 的解，并利用单、双层位势的跳跃关 系和边界条件，通过引入边界积分算子，得到一个边界积分系统。 当z d 时有 心) - f o r to u ( y ) 酏d s y - 小可) 掣电 ( 1 5 ) 当z r 2 西时有 毗) = 小可) 掣妒z 。掣咖) 西p ( 1 6 ) 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中，垂( z ，y ) = 硪( a l x y 1 ) 是h e l m h o l t z 方程在r 2 上的基本解，硪u 是一个第 一类零阶h a n k e l 函数。利用单、双层位势的跳跃关系( 见文献【l ，2 1 ) ，当z 从d 的内部 趋向边界c g d 时，我们有： 寸) 2 等k u _ i 联扣 ( 1 7 ) i 等= k 等一t u 一， z o d p7 类似的，当z 从r 2 d 内部趋向边界o d 时，我们有 i l + ( z ) 一鼍等“z 扣( 1 8 ) l 警= 一k 7 等+ t u + ， z a d 一 其中，s ，k ，k 7 ，t 是边界积分算子： 定义为： s ：h 一 ( a d ) 一日 ( a d ) k ：日j ( a d ) 一h ；( a d ) k 7 ：h 一 ( a d ) _ h 一( a d ) t ：日 ( a d ) _ h 一 ( a d ) s ( i o ( x ) = 2 妒( ) 中( z ，y ) d s 可 j o d 。 酬班2 f o p 妒( d ) 掣0 嘞工，! ， 脚= 2 ：o d 咖) 掣峨ju p z 嘶冲击小y ，掣嘞 ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 由传输条件( 1 0 ) ，在a d 亍上有锃+ = 让一，等= 等，所以我们可以先不考虑这一 部分，那么由( 1 7 ) 、( 1 8 ) 在r 上有下面的关系成立： 仳一+ u rs ( a 万u - 一等) 一k ( u _ - u + ) 艇r ( 2 3 ) 6 等+ 警= 引石a r t _ 一警) 一t ( i t _ - i t + ) 艇r ( 2 4 ) 下面我们考虑( 2 3 ) 、( 2 4 ) 两式分别限制在r l 和r z 上，并利用( 8 ) 中的边界条件， 那么在r 1 上我们有： 2 a ( z ) ：s ( a u u - - 一万a u + ) i r 。一( k + 以u 一一乱+ ) l r l ，zer ( 2 5 ) 定义： 【。= ( 等一等。= 口 ( 2 6 ) 【u l r 。= ( u 一一u + ) l r 。= b( 2 7 ) 【跏：= ( 等一箬) f r ：= c ( 2 8 ) 【u l r ：= ( u 一一札+ ) i r ：= d( 2 9 ) 下面我们把a ，b c _ ； l l d 在整个【1 匕做零延拓，分别令： e2 d = a ，o nf 1 0 ，o nr 2 b d 礼f 1 0 ，o nr 2 0 ，o nr 1 c ，o nf 2 0 ，0 7 2f l d ，o f tr 2 这样，我们可以把( 2 5 ) 式重新改写为： 2 f , ( z ) = s ( a + a ) i r 。一( k + ，) ( 6 + d ) i r 。 = s a l r 。+ s a l t ，一( k + i ) b l r 。一( k + i ) d l r ，( 3 0 ) = s l l a + 岛1 c 一( k l l + z ) b 一尥1 d 其中：岛1 ，岛l ，局l ，砭1 是相应的限制在r l 上的算子，这些算子具有下面的映射 性质( 参考文献 4 】) ： 研l ：雷一( r 1 ) _ 日虿1 ( r 1 ) ，岛1 ：疗一 ( r 2 ) _ 日i 1 ( r 1 ) 7 ，jl【，lj-i，jl【，jl【 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s k a l ：霸 ( r 1 ) _ h ( i 、1 ) ，k 2 1 ：豆 ( r 2 ) 一日吾( r 1 ) 类似地，利用( 8 ) 中的边界条件，我们得到： 在r 1 上有： 2 厶( z ) = ( k + 耿石o u _ 一警) l r i j r l ( 让一一i r l = ( k 7 + j ) ( a + 石) l r 。一t ( b + d ) l r 。 = ( k + z ) a l r ，+ k 引r 。一t b l r 。一z d | r 。 = ( 醚1 + ，) 十k ；l c 一丑l b 一噩l d 在r 2 上有： 2 9 。 ) = s ( 刁o u 歹_ 一考争) i r 2 + ( ，一) ( u 一一t 正+ ) | r 2 = s ( a + 弓) i r ：+ ( ，一k ) ( 64 - d ) i r ： = s a l r ：+ s f 2 + ( j k ) b l r ：+ ( j k ) d l r ： = s 1 2 a + & 2 c k t 2 b + ( ，一恐2 ) d 又由( 8 ) 中边界条件可得在r 2 上有： 2 9 ，- 2 i 七地+ = ( 7 一硝面o u _ 一面o u + ) i r ：一t ( u _ - u + ) 从而可得： ( 3 1 ) ( 3 2 ) 2 9 2 ( 沪2 枞9 l ( z ) = ( f _ ，) ( 等一斋) r 。一( r 似( u 一一u 讹 = ( k 7 一，) ( 五+ 乏) i r 。一( t + ，) ( 6 + d ) l r ： = 4 7 五l r 。+ ( 7 一i ) e l r 。t b l r ：( 丁+ i 七a ) d r ：( 3 3 ) = k i 2 0 + ( 醚2 一，) c 一五2 6 一( 7 2 2 十2 t 七a ，) d 其中： k i l ：豆一 ( r 1 ) 一日一( r 。) ，砭1 ：庸一；( r 2 ) 一h 一( r 1 ) 乃1 ：疗 ( r 1 ) 一日 ( r 1 ) ，t 2 l ：詹 ( r 2 ) 一日一；( r 1 ) s 1 2 ：膏一 ( r 1 ) _ 日i 1 ( r 2 ) ，岛2 ：疗一；( r 2 ) _ 口；( r 2 ) r 如果我们定义： 以及 k t 2 ：疗；( r 1 ) 一日i 1 ( r 2 ) ，鲍2 ：日- 互1 ( 1 1 2 ) _ 日 ( r 2 ) 研2 ：疗一( r 1 ) _ h j ( r 2 ) ，砭2 ：豆一 ( r 2 ) 一h 一( r 2 ) 五2 ：詹 ( r 1 ) _ h 一 ( r 2 ) ，死2 ：膏j ( r 2 ) 一h 一 ( r 2 ) i s l t a ：l 研l + ， i 是2 i 弼z 一( k l l + i ) p ：2 t n k 1 2 t 1 2 2 ( z ) 2 厂2 ( z ) 2 9 l ( x ) 2 9 2 ( z ) 一2 i k a g l ( x ) 综合( 3 0 ) 一( 3 3 ) ，我们得到一个边界积分系统： 4 r ：、i ：p 一恐1 t 2 1 ( j 一恐2 ) ( t 2 2 + 2 i k a i ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 那么，如果这个边界积分系统有唯一解，问题( 8 ) 、( 9 ) 就有唯一解( 可参考文 献 1 ，2 1 ) 。下面我们就来证明这个边界积分系统解的唯一存在性。 9 ci；翰如铲 k 3 存在性与唯一性 应用f r e d h o l m 理论，我们有： 定理3 1 边界积分系统( 3 6 ) 存在唯一解。 证明：这一定理的证明主要分两步，第一步证明算子a 是指标为零的f r e d h o l m 算 子，第二步证明齐次方程只有零解或算子a 只有零解( 虽p k e r na = o ) 。 第一步：事实上，算子s 和一t 对于一个紧扰动来说是正的且有下界( 见文 献 4 】) ，即存在紧算子： l s ：h i ( a d ) _ h ( o d ) 三t ：日( a d ) _ h 一( a d ) 使得 r e ( ( ( s + l s ) 妒，痧) ) 2 酬训刍一 ( a d ) ，妒h - ( a d ) ( 3 7 ) r e ( ( 一( t + l t ) c p ，9 ) ) c i l 妒i i ；j ( a d ) ，妒h 考( c o d ) ( 3 8 ) 其中，( ，) 表示日一 ( o d ) 和i h ( o d ) 之间的对偶组合。 令a 日一 ( a d ) ，5 日j p d ) ，乏h 一；( a d ) ，j ；p d ) 分别表示：口 豆一( r 1 ) ，b ( r 1 ) ，c 曰一 ( r 2 ) ，d 疗；( r 2 ) 在a d 上的零延拓。定5 ( s o = s + 如和= 一( 丁+ l 7 ) ，则岛和而是正的并且有下界。令： 川= ( a ，b ，c ，d ) 丁 h = 豆一( r 。) 曰 ( r 。) x 百一 ( r ：) 疗 ( r 。) h + ：日 ( r 1 ) h 一；( r 1 ) 日1 ( r 2 ) h 一；( r 2 ) ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) 钺= a 至) = a 。( 三 + a ( 三) e 4 2 ， 1 以下的均表示向量 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 岛五+ s 0 6 ) r 。一( k l l + ，) 6 一k 2 1 d 似= l 磐s d o 糟k 时1 2 b 嚣二删k 2 2 h ) d 1i c 删 i ( 岛五+己) r 2 一+ ( ，一 i 研2 口4 - ( t o b + t o d ) r 。+ ( 弼2 一r ) c 一2 i k a d 球= ( 簇) ， r e 一( 如l d ，a ) l r 。+ ( 叫2 6 t ，d ) l r 。】=r e - ( k 2 1 d ，a ) l r 。+ ( a ，k 2 1 d ) j r 。】 r e 一( k 2 l d ，a ) l r 。+ ( k 2 l d ，a ) l r 。】= 0 ( 4 7 ) 同理： 又有： r e - ( k n b ，a ) l r 。+ ( k 1 1 a ，b ) l r 。】= 0 r e 【( 琏。c ，b ) l r 。一( k 1 2 b ，c ) i r 2 】= 0 r e - ( k 2 2 d ，c ) l r ：+ ( 砭c ，d ) l r ：】= 0 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 5 0 ) r e ( a ，b ) 一( b ，a ) + ( d ，c ) 一( c ，回一2 i 忌入( d id ) 】 = r e ( n ，b ) 一( a ，b ) + ( d ，c ) 一( d ，c ) 一2 i 惫a ( d ，d ) 】= 0( 5 1 ) 综上可得算子a o 是强制的，即： 冗e ( ( ( a 一三a ) ，8 日，h 。) c l l , f i l 备， h ( 5 2 ) 因此，算子a 是指标为零的f r e d h o l m 算子。第二步：在这一部分，我们证明 核a = 0 ，为此，令矽【2 】= ( a ，b ，c ，d ) 丁h 是齐次方程a 妒= o 的解，我们想证妒= 0 。 a 舻= 0 意味着： ls l a 一( 硒1 + ，) 6 + 岛1 c k 2 1 d = 0 ( 研1 + 咖一t l l b + 弼1 c 一乃1 d 一( 5 3 ) ls 2 1 a 一虬2 6 + 兜2 c + ( i 一鲍2 ) ( f = 0 ik h a 一正2 b + ( 弼2 一，) c 一( t 2 2 + 2 i k a i ) d = 0 我们定义位势： t ， ) = f ra 圣( z , 可) 幽可+ 片独( z ，y ) d s 一片5 掣d s y 一片i 笔铲c f s 掣，z r 2 亍 其中面，5 ，瘌前面的含义相同，这一位势定义在尺2 f 上也是恰当的， 因为密度函数云，舌，5 ，粉别属于胃一p d ) ，口 ( a d ) ，h 一( a d ) ，胃( a d ) ，同 时u ( z ) 豫( 斧亍) 在砰亍上满足_ h e l m h o l t z 方程和s o m m e r f e l d 辐射条件。通过 计算 和嘉在穿过r 时的跳跃，我们得到： 2 v + i r 。= s a l t ，+ s 引r 。一m , i r ，一云l r 。一i l r 。( 5 4 ) 2 以下的t f i 均表示向量 同理： 我们也有： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 所以，在r 2 上有： 另外还有： 2 v + i r 。= s n a + 岛1 c 一( 髓1 + i ) b 一鲍l d = 0( 5 5 ) 2 斋l r l = ( 研。+ 啦+ 鹚。c 一噩。6 t 2 。d = o ( 5 6 ) 2 u i r 2 = $ 1 2 a + s 2 2 c k 1 2 b + ( i k 2 2 ) d = 0( 5 7 ) 铒= 一m = - d( 5 8 ) 2 等l r 。= k i 2 n + ( 琏2 一，) c 一五：6 一正：d ：o ( 5 9 ) m ( 5 s ) 、( 5 9 ) 得： 2 ( 石c o y + + i 七入 + ) j i ：= 琏2 + ( 砭2 一班一五2 6 一t 2 2 d 一2 i 后入d = 尉2 8 + ( 弼2 一，) c t 1 2 b 一( 乃2 + 2 k , v ) d = 0( 6 0 ) 综合( 5 5 ) 、( 5 6 ) 、( 5 7 ) 和( 6 0 ) ，由唯一性结果( 定理2 1 ) ，我们得到：在r 2 于上 有：u 三0 。又由跳跃关系( 见文献 1 ，2 】) ，可得： 。= 。= 0 ，6 却 r j 扎c = f 寡 r 2 = 0 ，d 却 r 2 = 。 于是，矽= ( a ，b ，c ，d ) t = ( 0 ，0 ，0 ，o ) r 综上，我们完成了定理3 ，1 的证明。 口 参考文献 【1 】d ，l c o l t o n ，r k r e s s ，i n v e r s ea c o u s t i ca n de l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gt h e o r y s p r i n g b e r l i n ( 1 9 9 8 ) f 2 】2 d l c o l t o n ，r k r e s s ，i n t e r g r a le q u a t i o nm e t h o d si ns c a t t e r i n gt h e o r y ，s p r i n g e r v e r l a g w i l e y n e wy o r k ( 1 9 8 3 ) 【3 1m ，c o s t a b e l ，b o u n d a r yi n t e g r a lo p e r a t o ro nl i p s c h i t z ：e l e m e n t a r yr e s u l t s s i a m j 。m a t h 。a n a l 1 9 ( 1 9 8 8 ) ，6 1 3 - 6 2 6 【4 】c f i o r a l b a ，d c o l t o n ，p m o n k ，t h ed i r e c ta n di n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m sf o r p a r t i a l l yc o a t e do b s t a c l e s ，i n v e r s ep r o b l e m s ，1 7 ( 2 0 0 1 ) ，1 9 9 7 2 0 1 5 【5 】c f i o r a l b a ，d c o l t o n ，t h el i n e a rs a m p l i n gm e t h o df o rc r a c k s ，i n v e r s ep r o b l e m s ， 1 9 ( 2 0 0 3 ) ，2 7 9 2 9 5 f 6 】r k r e s s ，i n v e r s es c a t t e r i n gf r o ma no p e na r c ，m a t h m e t h o d sa p p l s c i 1 s ( 1 0 9 5 ) ， 2 6 7 - 2 9 3 【7 】r k r e s s ，l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，2 n de d ，s p r i n g e r ，b e r l i n ，( 1 9 9 9 ) 【8 】r k r e s s ，f r c c h e td i f f e r e n t i a b i l i t yo ft h ef a rf i e l do p e r a t o rf o rs c a t t e r i n gf r o ma c r a c k ，j i n v e r s ei l l p o s e dp r o b l 3 ( 1 9 9 5 ) ，3 0 5 3 1 3 【9 jr k r e s s ，t t r a n ，i n v e r s es c a t t e r i n gf o ral o c a l l yp e r t u r b e dh a l f - p l a n e ，i n v e r s e p r o b l e m s ，2 0 ( 2 0 0 0 ) ，1 5 4 1 - 1 5 9 9 【1 0 】a k i r s c h ，s r i t t e r ，al i n e a rs a m p l i n gm e t h o df o ri n v e r s es c a t t e r i n gf r o ma n o p a na r c ，i n v e r s ep r o b l e m s ，1 6 ( 2 0 0 0 ) ，8 9 1 0 5 1 l 】l m o n c h ，o nt h ei n v e r s ea c o u s t i cs c a t t e r i n gp r o b l e mb ya no p e na r c ：o nt h e s o u n d h a r dc a s e ，i n v e r s ep r o b