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山东师范大学硕士学位论文 具有脉动的脉冲微分系统的稳定性分析 韩京苑 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 脉冲作为一种瞬时突变现象在科技领域的实际问题中是普遍存在的在工程、 控制、通信、生物、经济、神经网络等科技领域中的许多实际问题的数学模型往往 可归结为脉冲微分系统鉴于它在现代科技领域中有着重要的应用价值，从九十年 代起对其研究引起重视，逐渐形成了非线性微分系统的研究热点，并取得了重要进 展【1 _ 1 0 1 值得注意的是，这些研究成果大都侧重于固定时刻脉冲微分系统，对依 赖状态脉冲微分系统的研究也多限制在解曲线碰撞同一脉冲面仅一次的条件下然 而，在现实问题中脉动现象更为常见脉动是依赖状态脉冲微分系统的解曲线碰撞 同一脉冲面多于一次的脉冲现象目前，对具有脉动的脉冲微分系统的研究成果十 分有限因此，在这个领域还有很多工作要我们去做本文主要的研究工作就是着 重于具有脉动的脉冲微分系统及其稳定性分析全文分三章 在第一章，我们研究了二阶脉冲微分系统 ， iz = - - f ( t ，z ，z 7 ) ， t ，y ( z ) ) ， _ z + ) = z ) + j ( z ) ) ，t = 7 ( z 0 ) ) ， ( 1 ) ix 7 ( t + ) = z 7 ( 亡) + a ( x 7 ) ) ，t = 7 ( z ( 亡) ) 的脉冲聚点的存在性首先给出系统( 1 ) 的脉冲聚点的定义，然后利用分析的工具， 戎们得到了保证系统( 1 ) 的脉冲聚点存在的必要条件和充分条件与此同时，给出 例子来验证了定理的实用性本章为探索高阶脉冲微分系统的脉冲聚点存在性问题 作出了初步的尝试，并得到了一些结果 在第二章，我们研究了依赖状态脉冲微分系统 z 7 = y ( t ，o ) ，t ( o ( t ) ) ， z ( t + ) = z ( t ) + 厶( z ( t ) ) ，t = 亿( z ( 亡) ) ， ( t 手) t o 0 ，k = 1 ，2 ，3 ， 的两个测度的稳定性性质在本章第3 节中，我们用比较方法研究了系统的稳定 性通过与常微分系统作比较，利用变分l y a p u n o v 函数与微分不等式建立了比较 原理，然后将其应用于稳定性的研究中得到了两个测度稳定性判定的比较结果，需 1 o z 山东师范大学硕士学位论文 要指出的是本节中的比较原理允许解曲线碰撞同一脉冲面有限多次在本章第4 节 中，假设系统( 2 ) 的任意解撞击同一脉冲面有限多次，通过构造新的辅助函数和集 合，我们对l y a p u n o v 函数的要求放宽，利用直接方法得到了一系列稳定性判定准 则在这些直接判定结果中，l y a p u n o v 函数在脉冲面之间沿系统轨线可以增加可 以减少，甚至可以在这两个脉冲面间增加而在另两个脉冲面问减少值得指出的是 本章的所有讨论都允许脉动现象发生，据作者所知，具有脉动的脉冲微分系统解的 稳定性结果，目前尚不多见 在第三章，通过建立适当的l y a p u n o v 函数并应用第二章得到的l y a p u n o v 稳定 性结果，给出了保证具依赖状态脉冲的h o p f i e l d 型神经网络平衡点全局稳定性以及 全局指数稳定性判据值得一提的是，目前对于脉冲神经网络的研究都限制在固定 时刻脉冲的条件下，依赖状态脉冲神经网络的研究尚未出现本章着重予将一些在 固定时刻脉冲影响下得到的结论【1 l 】，推广到依赖状态脉冲这一更广的范围中，有利 于实际应用 2 关键词： 脉动；脉冲微分系统；脉冲聚点；h o p f i e l d 型神经网络；稳定性 分类号：0 1 7 5 j 坐耋塑整盔堂堡主堂垡笙窒 t h es t a b i l i t ya n a l y s i so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s w i t hp u l s ep h e n o m e n o n j i n g y u a nh a n i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i ti sk n o w nt h a tt h et h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m sp r o v i d e san a t u r a l f r a m e w o r kf o rm a t h e m a t i c a lm o d e l l i n go fm a n yr e a l w o r l dp h e n o m e n a ，s u c ha sp r o j e c t c o n t r a l ，c o m m u n i c a t i o n ，b i o l o g y ，e c o n o m ya n ds oo n t h e r eh a sb e e na s i g n i 丑c a n t d e v e l o p m e n ti nt h et h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss i n c e9 0 s 1 一1 0 i ，p e c i a u y 1 1 1t h ea r e aw h e r ei m p u l s e sa lef i x e d e v e ni nt h ef i e l do fd i f f e r e n t i a l s y s t e 垮w i t h s t a t e d e p e n d e n ti m p u l s e s ，t h es t u d yi sc o n d u c t e du n d e rt h ec o n d i t i o no fe v e r ys o l u t i o n m e e t i n ge a c hh y p e r s u r f a c ee x a c t l yo n c e w ek n o wt h a tp u l s ep h e n o m e n ai sa p a z 七i 砌缸 c a s eo fi m p u l s e s ，w h i c ha l o w st r a j e c t o r i e sm e e te a c hh y p e r s u r f a c em o r et h a no n c e s t i l l n o w ，f e wr e s u l t so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hp u l s e sh a v eb e e no b t 妇1 e d h e n c e ，t h e r ea l eal o to fw o r kw en e e dt od oi nt h i sf i e l d - i nt h i sp a p e r ，w ef o r c u so nt h er e s e a r d l w 0 r ko nd y n a m i c sa n a l y s i so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i m s y s t e m sw i t hp u l s ep h e n o m e n o n t h i s p a p e ri sd i v i d e d i n t o t h r e ep a r t s i nc h a p t e ro n e ，w es t u d yt h e e x i s t e n c eo fp u l s ea c c u m u l a t i o ni ns e c o n d o r d e ri m p u l s i r ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hv a r i a b l et i m e sa sf o u 鼯： ， l = 一厂( t ，z ，z ，) ，t ，y ( z ( 亡) ) ， z ( 矿) = z ( 亡) + ，( z ( ) ) ， t = 7 ( z ( t ) ) ， ( 1 ) 【z 7 ( t + ) = 。7 ) + g ( x 7 ) ) ，t = 7 ( z ) ) f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft h ea b o v es y s t e m t h e ng i v en e c e s s a r ya n ds u 毋 c l e mc o n d i t i o n st oa s s u _ r n ep u l s ea c c u m u l a t i o nw i t ht h em e t h o do fa n a 1 y s i s f i n a l l y , 咖 e x a m p l e sa l eg i v e nt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h et b e o r e m s 隧如，黧啪 o fi m p u l s i v ed i f f e r ( 2 ) 3 山东师范大学硕士学位论文 f i r s ti ns e c t i o n3 ，w ee s t a b l i s hac o m p a r i s o np r i n c i p l eb yv a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u n c t i o n s a n dc o m p a r i n gw i t ha no r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m ，t h e na p p l yi tt oi n v e s t i g a t es t a b i l i t y o ft h es y s t e m s s e c o n di ns e c t i o n4 ，t h r o u g hc o n s t r u c t i n gn e wf u n c t i o na n ds e t s ，s e v e r a l i n t e r e s t i n gd i r e c tr e s u l t sw h i c ha l l o wt h el y a p u n o vf u n c t i o nt oi n c r e a s eo rd e c r e a s ea l o n g t r a j e c t o r i e sb e t w e e ns u c c e s i v ei m p u l s e sa n dt os w i t hb a c ka n df o r t hb e t w e e nt h e ma te a c h i m p u l s ea r ee s t a b l i s h e d i ts h o u l db en o t i c e d t h a tt h ep u l s ep h e n o m e n ac a nb ea l l o w e di n t h i sc h a p t e r t ot h eb e s tk n o w no ft h ea u t h o r ，t h es t a b i l i t ys t u d yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m sw i t hp u l s ep h e n o m e n o ni ss e l d o ms e e n i nc h a p t e rt h r e e ，w eo b t a i nc r i t e r i o n sf o r 酉o b a ls t a b i l i t ya n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a - b f l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n to fh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k sw i t hs t a t e d e p e n d e n ti m p u l s e s b yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n sa n ds o m eo b t a i n e dr e s u l t si nc h a p t e rt w o b i s i d e s ，o u rr e - s u i t si nt h i sc h a p t e rg e n e r a l i z ea n di m p r o v es e v e r a lk n o w nr e s u l t s 1 1 1 ，w h i c hi sb e n e f i c i a l t op r a c t i c a la p p l i c a t i o n k e y w o r d s ：p u l s ep h e n o m e n o n ；i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s ；p u l s ea c c u - m u l a t i o n ；h o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s ；s t a b i l i t y c l a s s i f i c a t i o n ：0 】7 5 4 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：导师签字： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 一躲辫枷字： 签字日期；2 。罗年4 月2 日 签字日期：2 0 0 歹年钥z _ e i 山东师范大学硕士学位论文 前言 脉冲微分系统是国际上八十年代初开始兴起的一门新的数学分支，它的研究不 仅具有理论上的意义，而且在生态学，医学及经济学等方面均有重要应用 1 - 3 2 众 所周知，脉冲分固定时刻脉冲和具有依赖状态的脉冲两大类，而具有依赖状态的脉 冲又包括解碰撞同一脉冲面仅一次及解碰撞同一脉冲面多于一次的情况，其中后者 被称为脉动现象近几年来对于具有固定时刻脉冲和无脉动的脉冲微分系统理论 的研究已经取得了很大的发展 1 - t o ，但是对于具有脉动的脉冲微分系统解的规律 及特征的研究还不多见例如，对于高阶微分系统，是否能找到保证脉动发生( 特 别是针对脉冲聚点出现) 的条件? 在具有脉动的脉冲微分系统定性理论方面，是否 能找到使得这类系统解稳定的条件? 在神经网络的实现过程中，遇到依赖状态脉冲 时，能否寻找到合适的条件来保证平衡点全局稳定? 等等因此，在这个领域还有 很多工作要我们去做而本文的研究就是着重于具有脉动的脉冲微分系统的动力学 分析，对上述部分问题做了肯定回答本文的主要工作可以概述如下： 在第一章中，我们在已有的一阶脉冲微分系统的脉冲聚点存在性研究的基础上 【1 3 1 4 1 ，利用分析的工具进一步给出了二阶系统( 1 ) 相应脉冲聚点存在的必要和充分 条件据作者了解，有关高阶脉冲微分系统的脉冲聚点存在性结果尚未出现 在第二章中，我们针对出现脉动现象的脉冲微分系统( 2 ) ，首先，利用比较方法 以及变分l y a p u n o v 函数法研究系其稳定性并得到了两个测度稳定性判定的比较结 果接下来，借助辅助函数及l y a p u n o v 第二方法，对l y a p u n o v 函数的要求放宽， 利用直接方法得到了一系列稳定性判定准则值得指出的是，本章的所有讨论都允 许解曲线碰撞同一脉冲面有限多次的脉动现象发生据作者所知，具有脉动的脉冲 微分系统解的稳定性结果，目前尚不多见 在第三章中，通过建立适当的l y a p u n o v 函数并应用第二章得到的稳定性结果， 给出了保证具有依赖状态脉冲的h o p f i e l d 型神经网络平衡点全局稳定性以及全局指 数稳定性判据值得一提的是，目前对于脉冲神经网络的研究都仅仅考虑了固定时 刻脉冲的影响 n , 2 9 - 3 2 ，依赖状态脉冲神经网络的研究尚未出现本章着重于将一些 在固定时刻脉冲作用下得到的结论【1 1 】，推广到依赖状态脉冲这一更广的范围中，有 利于实际应用 5 山东师范大学硕士学位论文 第一章一类二阶脉；中微分系统的脉冲聚点的存在性条件 1 1引言 脉冲是科技领域的实际问题中普遍存在的一种现象，例如：金融市场中资金的 输入输出；在人口生物学中，物种经过饥荒或突然捕捞的存在形式；在药理学中，某 一器官或人的身体经过药物摄取或肌肉注射后药标准的变化情况；心脏的跳动等 这些现象都是在某一时刻状态发生突然变化，这种连续和离散共存的现象可以用微 分系统和差分系统联合起来加以描述，也即脉冲微分系统它的研究从9 0 年代开 始，由于它在实际问题中的普遍性和重要性，许多人从事这方面的研究，短短的十 几年取得了许多研究成果 i - i o 但大都侧重于固定时刻脉冲微分系统的研究对依 赖状态脉冲微分系统的研究也多限制在解曲线碰撞同一脉冲面仅一次的条件下 脉动是指依赖状态脉冲微分系统的解曲线碰撞同一脉冲面多于一次的脉冲现 象而脉动现象是依赖状态脉冲微分系统区别于固定时刻脉冲微分系统的主要特点 之一，近年来，关于脉冲微分系统的脉动现象的研究越来越引起人们的关注 8 - z o , n - 1 4 文【1 2 】讨论了一阶脉冲微分系统的脉动现象不存在的情况，文【1 3 ，1 4 研究了一阶 脉冲微分系统的无限脉动现象，并给出了脉冲聚点存在的条件但据作者所知，对 二阶脉冲微分系统脉冲聚点的研究，目前尚不多见 本章首先给出一类二阶脉冲微分系统脉冲聚点的定义，然后给出该系统脉冲聚 点存在的必要条件和充分条件，与此同时，给出例子以验证定理的实用性 1 2预备知识 令酞表示实数集，酞+ 表示非负实数集， r 一表示负实数集，n 表示正整数 集考虑如下具有依赖状态脉冲的二阶微分系统 iz = - f ( t ，$ ，z 7 ) ， t 7 ( z ( t ) ) ， z ( 亡+ ) = x ( t ) + j ( 。( t ) ) ， t = ，y ( z 0 ) ) ， ( 1 2 1 ) lz 7 ( t + ) = z 7 ( t ) + g ( z 7 ( t ) ) ，= 7 ( o ( 亡) ) ， 其中，c ( r + q 孬，r ) ，q 孬是r 2 上的一个开集，7 c ( f l ，r + ) ，j c ( f l ，r ) ，g c ( n ，r ) ，且当 ，暑，) q qc 酞2 时有 + j 扛) ，y + g ( y ) ) qx q 6 山东师范大学硕士学位论文 定义1 2 1 称，z + ，旷) 是系统( 1 2 1 ) 的个脉冲聚点，如果存在定义在区间 jc 上的( 1 2 1 ) 的一个解a ：j _ r 和一个单增列 t n ) n ( ；i n icj 满足 ( i ) ( “，口( t n ) ，q 7 ( 右n ) ) sn 1 ，其中s = ( ，z ，y ) l0 0 使得当l l ( t ，z ，y ) 一( 矿，矿4 - l ( x + ) ，y + g ( 旷) ) i i n 时的情况，令反，成：，t k + 1 】_ r 为如下可微函数 眦) ： “砖) ，扛觑， i 口( “t “， 7 山东师范大学硕士学位论文 4 k ，( 亡) ： 。：7 ( t 去) ，t = ：t 七， 【口协) ，t 由( 1 3 2 ) 知 i ，( ，觑( “) ，雠( 如) ) i n 及 f = m i n t b ，t j + l 】：lf ( t ，岛( t ) ，彰( t ) ) l = 晒】- ( 1 3 3 ) 使得 f ( t ，岛( t ) ，彰( t ) ) i 尬，t t j ，7 】， 因此存在( 阮，r 】使得 i 岛( 岛) 一岛( f ) i i 碍( ( ) l l 句一7 - l = i 髭一，( s ) 幽+ 彰( ) 1 i 巧一丁l si 尬( e 一句) + 尬l l 巧一7 - i m i 如一t l 占 互 并且 ! 彰i 巧) 一膨( 丁) i 饥i 一下l ml - - t + i 妄 于是 z + ，( 。+ ) 一岛( 7 - ) l lz + j ( z ) 一岛( 巧) l + l 岛( 巧) 一岛( 7 - ) l 占， l3 ，+ + g ( v + ) 一彰( 7 ) i s ly 4 + g ( v ) 一彰( 巧) i + l 彰( 巧) 一岛( 丁) l t 5 _ j = 丽 0 ( 7 - ，岛( 7 - ) ，彰( 7 i ) ) 一( 矿，z 。+ z ( z 。) ，y + g ( v + ) ) l | o 。 6 由，的连续性知 i ，( 7 ，岛( 丁) ，彰( 7 ) ) i m ， 这与7 - 的选取矛盾，因此( 1 3 1 ) 成立 由于凤，玩在，t k + l 】上可微，因此存在专，田( “，t k + 1 ) 使得 l 口( t 者) 一t x ( t k + 1 ) i = i 凤( 轧) 一凤( t 七十1 ) i = i 成( ) | i 觑一t k + l = l 鹾一，( s ) 幽+ 磁( 如) 1 1 “一t k + ll m i 如一如+ 1i 8 山东师范大学硕士学位论文 且 l 口7 ( 譬) 一口( t k + 1 ) l = j 雠) 一磁( t k + 1 ) j = i ，( t 7 ，威( t 7 ) ，成( ，7 ) ) i it k t k + li m i “一t k + li 由 轧】知n 收敛及j 连续知 lj ( 矿) i = ，l i mi 口( 砖) 一a ( t k ) i 心 ，l i mm lt k t k + lj + ，l i mq ( t 七+ 1 ) 一a ( t k ) l = 0 詹- - + 托_ o 。 且 ja ( u + ) l = 。l i r ai 口7 ( 砖) 一口7 ( t k ) l 尤 ，l i r am it 七一t 七十ll + ，l t ml 口7 ( t k + 1 ) 一口7 ( ) l = 0 ， 尤+ 尤o 。 证毕口 接下来，给出系统( 1 2 1 ) 脉冲聚点存在的充分条件 定理1 3 2 设q 孬是酞2 上的一个开集，c i ( r + xqx 磊，r ) ，7 c 1 ( q ，乏+ ) ，c 1 ( q ，r ) ，g c 1 ( f i ，r ) 且对所有( z ，秒) a f i 有( z + ，( z ) ，秒+ g ( 2 ，) ) qx 壳进一步假设 ( i ) 存在( 矿，z ，2 ，+ ) 乏+ xq x q 使得矿= 7 ( z + ) ，( z ) = 0 ，g ( u + ) = o ； ( i i ) 对任意( z ，) qxq ，有- 1 j 7 ( z ) 0 ，( z ，可) qx 孬，存在b n 0 使得 口产 o ，( t ，z ，可) sb ，a ； o v u ( v ) 对任意t o t 。和( x o ，1 o ) qx 矗， o ，珈) ( z + ，圹) ，存在初值问题 lo = 一，( t ，z ，z 7 ) ， z ( 亡o ) = z o ， iz 协o ) = 2 ，o ， 在【t o ，矿】上的唯一解u ( ，t o ，z o ，i o ) q ， 则( 矿，z ，矿) 是系统( 1 2 1 ) 的一个脉冲聚点 证明因为，和g 单减且z ( z ) = 0 ，g ( 矽+ ) = 0 ，所以存在 i ，分o ) qxq ，z o 0 设t o = 7 ( 。o ) ，z 手= x 0 + ，( 。o ) ，暑手；锣f l + g ( o ) 9 山东师范大学硕士学位论文 定义西l ( z ) = z + ，( z ) ，贝0 圣i ( z ) 0 ，即圣1 单调非减，因此z 古= t o + i ( x o ) 矿+ j ) = z + 定义圣2 ( 3 ，) = y + g ( 可) ，则雪2 t ( y ) 0 ，即圣2 单调非减，因此v o + = y o + g ( v o ) y + + c ( v ) = y 设a o ( t ) = u ( t ，t o ，z 吉，手) 是条件( t ，) 中的初值问题在 ，t 上过( t o ，z 手，讨) 的唯一解，由7 单增及i ( x o ) 知 t o 一7 ( a o ( 亡o ) ) = 7 ( x o ) 一7 ( x o + ，( z o ) ) 7 ( q o ( t 。) ) ， 即 矿一7 ( q o ( 矿) ) 0 由上式及( 1 3 4 ) 知，存在t 1 ( t o ，矿) 使得t l = 7 ( q o ( t 1 ) ) 因为1 一，y ( q o ( t ) ) a o 协) 1 0 ，所以雪( t ) = t 一，y ( a o ( t ) ) 严格单增，从而在( t o ，矿) 上使得t = 7 ( q o ( t ) ) 的t 值 唯一，即t 1 唯一 记z 1 = q o ( t 1 ) ，则z 1 z 。( 否则，t 1 = 7 ( x 1 ) 7 ( 矿) = 矿矛盾) 并记y l = 伽似1 ) 贝oy l y + ( 事实上：1 = e g o7 1 ) = 一，( s ) d s + v o + 暑，) ， 设q 1 ( ) = u ( t ，t 1 ，z i ， ) 为初值问题 iz = - f ( t ，o ，z 7 ) ， z ( t 古) = z 七十j ( z 七) ， 【z 7 ( t 去) = y k + g ( 2 ，豇) 在卅上的唯一解，类似上面的讨论知存在t 2 ( t 1 ，矿) 使得 t 2 = ，y ( a 1 ( t 2 ) ) ，t 2 = a l ( t 2 ) z ，y 2 = a 17 ( t 2 ) 暑， 依次类推，对每一个k n ，存在“( “一1 ，矿) 使得 缸= 7 ( a k 一1 ( 七) ) ，x k = q 七一1 ( t 七) 。+ ，y k = 口七一17 ( t k ) y + ， 其中函数q 七：，卅一q 是初值问题 iz = - f ( t ，z ，z 7 ) ， 。( t 去) = x k + i ( x k ) ， 【z 协去) = y k + g ( 鲰) 1 0 山东师范大学硕士学位论文 的唯一解 因为 如】k n 单增且t k m 单调非减又因为鲰 旷，七n ，所以 弧 k n 收敛，记矿= ：l i m 瓠_ ，l i r aa 他k ) 由定义1 2 1 知( 7 - ，矿，u 宰) 是系统( 1 2 1 ) 的一个脉冲聚点 由定理1 3 1 知，( 矿) = 0 ，g + ) = 0 ，又知j ( z + ) = 0 ，g ( 可+ ) = 0 ，且，g 严格单 调递减，所以矿= 矿，矿= 旷于是7 - = 7 ( z + ) = t ，即( 矿，矿，矿) 是系统( 1 2 1 ) 的 一个脉冲聚点定理证毕 口 注1 3 1 定理1 3 2 中的条件( i v ) 对，要求非常严格，下面适当放松对，的要 求，给出下面的定理 定理1 3 3 设q 是r 上的一个开集， 孬是豫一上的一个开集，厂c 1 ( r + x q 壳：r ) ，y c l ( a ：耻) ，i c l ( a ，r ) ，g c 1 ( 孬，r ) 对所有( z ，可) qxi i l 有 ( z + j ( z ) ，可+ g ( 暑) ) qxq 进一步假设 ( i ) 存在( 矿，矿，旷) xq xq 使得矿= 7 ( z 4 ) ，j ( z + ) = 0 ，g ( 矿) = o ； ( i i ) 叉寸任意( z ，) qxq ，有- 1 j ( z ) 0 满足可+ 巧 0 ，令t o = 矿一瓦对任意 ( z o ，矽o ) qx 孬，( 。o ，1 1 0 ) ( z ，1 1 ) ，存在初值问题 iz = - y ( t ，z ，z 7 ) ， z ( t o ) = x , o ， 【z 7 ( t o ) = 1 1 0 0 的唯一解u ( ，t o ，；t o ，t t o ) ： t o ，州_ q ，且 , u t ( ，t o ，x o ，y o ) 0 ，t ( t o ，矿) ， 则( t ，矿，圹) 是系统( 1 2 1 ) 的一个脉冲聚点 证明因为j ，g 单减，且j ( 矿) = g ( 旷) = 0 ，所以存在( x o ，珈) qxq ，矿一6 x o 矿，圹一6 0 ，击 g ( z s o ) 0 设t o = 7 ( z o ) ，。手= x o + j ( z o ) ，掣手= 珈+ g ( y o ) 0 知 t o 一7 ( q o ( t o ) ) = 一y ( z o ) 一3 ( x o + ，( z o ) ) - y ( c o ( t + ) ) ， 即 ， 矿一- y ( c 。o ( t ) ) 0 由上式及( 1 3 5 ) 知，存在t 1 ( t o ，矿) 使得t l = 7 ( q o ( t 1 ) ) 因为1 7 ( q o ( t ) ) a o 协) 1 0 ，所以皿( t ) = t 一- y ( c i o ( t ) ) 严格单增，从而在( t o ，矿) 上使得t = 7 ( a o ( t ) ) 的t 值 唯一，即t 1 唯一 记z 1 = c i o ( t 1 ) ，则x l 矿( 否则t 1 = ，y ( z 1 ) 7 ( 矿) = t 矛盾) ，并记掣1 = q o 俅1 ) ， 则秒1 旷事实上，1 = 口o7 ( t 1 ) = 一，( s ) d s + 时旷类似上面的讨论，由于 ，t o ，】 矽l = - f ( s ) d s + 妙手sc ( t l 一o ) + 站可亭+ c 6 0 ， 1 2 山东师范大学硕士学位论文 暑，产= y l + g ( u 1 ) y 1 + c 占 0 ， 因此对于解q 1 ( t ) = u ( t ，1 ，z ， ) ，其中。 = 西1 ( z 1 ) ， = 圣2 ( y 1 ) ，存在唯一t 2 ( t l ，t + ) 使得t 2 = 7 ( 口1 ( t 2 ) ) ，x 2 = a l ( t 2 ) z ，垅= q l7 ( t 2 ) y 依此类推，对每一个k n ，存在如( “一1 ，矿) ，使得 t k = 7 ( a k l ( 觑) ) ，x k = 0 f 知一1 ( t 七) z ，y k = 口七一17 ( t k ) y 。， 其中函数g k ：f t k ，1 _ q 是初值问题 iz = 一， ，z ，z 7 ) ， z ( t 吉) = x k + ，( z 七) ， 【z 他砉) = y k + g ( y k ) 的唯一解 因为缸 矿，k n ，且 如) 七n 单增，所以 如) 七n 收敛，记丁= 1 i m 拓定义 口：( t o ，矿) _ q 满足q ( t ) = q 七( t ) ，t ( 如，+ 1 】，则a 是初值问题 在( t o ，下) 上的唯一解 z = 一， ，z ，z 7 ) ，z 一y ( z ( t ) ) ， 正( t + ) = z ( t ) + j ( z ( t ) ) ，t = 7 ( z 0 ) ) ， z 7 ( t + ) = z 7 ( t ) + g ( z ( t ) ) ，t = ，y ( z ) ) ， z ( 亡亭) = z 亭， ( 碚) 二讨 因为t k = 7 ( 。七) ，且饥) j c n 单增，所以 z 七 七n 也单增，且x k 0 ，则 广t 七+ 1 i c h 。m ( y i c + 1 一鲰) 2 兰色【z 七一，( s ，口( s ) ，7 ( s ) ) 如+ g ( 纨) 】 ，l i m 【- - c ( t k + l 一如) + g ( 耖k ) 七_ o o 一 = 1 i mg ( 孤) 0 。 j e f n 1 3 山东师范大学硕士学位论文 因此存在正整数m n 使得( 讥 - 七 m 单调非减又因为弧 0 令矿= 0 ，y = 0 ，矿= 考，容易验证定理1 3 2 中的条件都成立： ( i ) j ( z + ) = 0 ，g ( 旷) = o ； ( i i ) j 7 ( z ) = 一；= g 7 ( 可) 【- i ，o ) ； ( i i i ) 7 协) = 击虿o ； ( i v ) 取口= e 一号，6 = 1 则e 一号s ，之1 且丢= o 0 令矿= 0 ，y = 0 ，t = 蓦容易验证定理1 3 3 中的条件都成立 ( i ) z ( x + ) = 0 ，g ( 矿) = o ； ( i i ) ， ) = 一；= g 7 ( 3 ，) - 1 ，o ) ； ( i i i ) 7 协) = 禹_ o ； ( i v ) 0 ， t o 时 并且容易看出条件( ) 也成立因此据定理1 3 3 知( 蓦，o ，o ) 是( 1 3 7 ) 的一个脉冲 聚点 事实上，系统( 1 3 7 ) 有如下解 x ( t ) = 一去+ x o ，t ，t 1 ) ， 一寿+ ；( 寿一丢) + ；z o ，t t l ，t 2 ) ， 一i 1 + ( 丢一石1 _ ) + 壶( 击一l _ ) + + 万1l 百1 一去) + 击z o ，t t nt n + 1 ) ， ， 1 5 山东师范大学硕士学位论文 z 他) = 一万1 + 毒+ y o ， 一1 + 寿+ ；( 一毒+ 亳) + 珈， t t o ，t 1 ) ， t 【t 1 ，t 2 ) ， 一1 + 瑶1 + ( 一砺1 + 蠢【- ) + 壶( 一【一+ t n _ 一2 ) + j + + 去( 一去+ 去) + 击珈， t r 乱，t n + 1 ) ， ，t = 三+ a r c t a n z ( t n ) = 三+ a r c t a n 唁1 i 1 一石1 ) + 刍石1 一去) + + 刍( 丢一去) + 刍z 。】 易见n l 。i r a 。口( ) = z ，桌臻口，( k ) = 钞幸n l 。i m 。o k = t 且 ( n ，z ( t n ) ，z 7 ( t n ) ) s ，口( t ) ，7 ( 亡) ) 岩s ，觇( t n , k + 1 ) ，n 1 由定义1 2 1 知， ( 考，0 ，o ) 是( 1 3 7 ) 的一个脉冲聚点 注1 3 2 从这两个例子中可以看出，定理1 3 2 的条件对例1