（应用数学专业论文）具有周期扰动的差分方程系统的概周期解.pdf

囊霎薹童耋i ! i ；娶 ；篓；雾i 耋：主! ；藿l 嚣i 彝，鬻氢i 耋l 薹。嚣；等：| 蕈；薹! 塞；熏。耋! i 事矗 璧l 雾 # j 硼j 霾l 蘑蓦 i i i ；i ；摹i ! t l 矍：l ；i i 。 鬻i i j i ；! l i = i i 篓鬓契l i ；j 。 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名：五玺垄 日期 妒矗j5 一恬 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 乎盔蔚 日期：趔；曼堑 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名 日期 电话： 邮编： 篪眵贺 僦j5 。镌 综述 过去的几十年里，在动力系统的许多重要领域中，关于微分方程概周期解的存在性 已被广泛的研究 文献f 6 、7 、8 j 分别给出了概周期函数的定义，并指出了满足什么性质的函数为概周 期函数，及其它的与概周期函数相关的性质 如文献【8 】中t y 0 s h i z m ( 吉泽太郎) 所著书中用五 印u n 函数的方法证明了微分 方程的概周期系统存在概周期解。指出了该概周期解是稳定、一致稳定、及全局渐近稳定 时所需满足的条件这本著作系统地阐述丁微分方程存在概周期解的条件，为概周期解 的存在提供了充分的证据。这为后来学者的进一步研究提供了理论依据由于其只运用 了l 。n 叫n 函数这一种方法，且限制的条件又比较严格使得后来的学者努力寻求其 它方法或改变限制条件，给出了概周期解存在的其它充分性的条件。但这方面的很多论 文，所考虑的系统均为概周期系统，它们在满足一定条件时存在概周期解 文献【1 中的第一章的例122 运用p o t n m r e 映射研究了具有周期扰动微分方程的解 与周期的关系：由于周期的不同该系统分别存在着调和解；次调和解；超调和解；超次调 和解；拟周期解等这是对微分方程中具有周期扰动系统的解性态的一种表述 随着经济的发展和科技的进步，差分方程在生态学、经济学、数论以及物理等多个领 域都有广泛的应用，因此对差分方程的研究日益引起人们的普遍重视。关于差分方程解 的稳定性和振动性问题，长期以来倍受国内外学者的关注，并做了大量的工作不仅研究 了一般的线性差分方程，而且对二阶中立型的，非线性的，时滞的差分方程都做了深入研 究。差分方程和与其相联系的离散动力系统具有形式简单，内容丰富，行为复杂，研究手 段多样，应用前景广阔的特点 随着计算机科学的发展，差分方程应用于微分方程数值方法过程中的计算障碍的消 除，微分方程的大量结果被平移到差分方程中来同时，混沌的发现引起人们对区间映射 所导致的半离散动力系统的研究的广泛关注 4 、5 l ，通过研究，人口j 逐渐认识到差分方程 的解具有比微分方程的解更一般的动力学行为更加重视系统的研究离散动力系统，事 实上，现实世界的演化，时问变量多数呈离散的形式，因此大量的事实模型会导致差分方 程。他们源自几何，数论，概率论与数理统计，控制论，计算科学，物理，化学，生态学等 重多领域 结合计算机的迅速发展，差分方程研究工作的很多重要进展可以直接地回答或揭示 现实世界的各种复杂现象和事物发展的规律，故其有着广泛的独立价值 文献【6 】中首次定义了概周期序列，渐近概周期序列。一致概周期序列的概念及阐述 了他们的基本性质；并且利用离散的l 撕m n ”函数的方法证明了差分方程概周期系统 的概周期解的存在性，建立了差分方程与微分方程的某种联系得到若 z ( n 是概周期 序列，则存在概周期函数( 连续的) f ，使得f ( t ) = z ( n ) 等一些离散系统与连续系统之 序列，则存在概周期函数( 连续的) f ( t ) ，使得f ( ) = z ( ”) 等一些离散系统与连续系统之 问关系的性质；并证明了差分方程概周期系统存在着概周期解 文献【4 】、【5 】两篇文章是同一系列的工作，这两篇文章对一般形式扰动的差分方程得 到了次调和解的存在唯一性，解的个数及稳定性的完整结果 文献【4 】中运用重合度理论及先前得到的结论证实周期扰动的系统在未被扰动的系 统的双曲周期轨道附近存在次调和解 其考虑如下差分方程： 。( n + 1 ) = ，( 。( n ) ) + p g ( n ，卫( n ) ，p ) 假设 ( h 1 ) 未扰动的系统。m + 1 ) = ，( z ( n ) ) 有一个吸引的k 周期轨道 z 。) ：兰。，k 为任意 给定的正数，( z ) 在 钆，z k 一1 ) 的邻域内是可微的，且轨道 z 。) 是双曲的 ( h 2 ) 映射9 ：z 冗x 卜p o ，p o 】r 是连续的，关于n 是w 周期的，且存 在“( o ，一1 ) ，使得对任意p ： p o ，9 ( n ，$ ，p ) 关于n 的最小周期是u 在上述假设下，使用度理论证明了系统 的次调和解的存在性 对于研究具有周期扰动的微分方程的周期解已有一些结果，研究具有周期扰动的微 分方程的概周期解也已有一些结果，研究具有概周期扰动的微分方程的概周期解也有一 些结果，研究具有周期扰动的差分方程的周期解结果很少，研究具有周期扰动的差分方 程的概周期解的问题就很少有人研究了 相对于文献 1 】中的微分方程的周期系统的性质及文献【4 的结论，我们试图去研究 具有周期扰动的差分方程系统是否在未扰动系统的双曲周期轨道附近存在概周期解但 是若将微分方程中有关周期解，概周期解存在性的这一部分推广到差分方程中，仅仅用 压缩映射原理是无法保证上述系统存在唯一概周期解的因此，本文在适当的条件下通 过使用构造法，将离散的系统连续化，得到了上述系统存在唯一概周期解的一些充分条 件 2 l a z l 。i ，i z i 。 l ，s 【0 ，嘲 对y = ( 蜘，- ，! ，女一1 ) ，珊r d j = o ，- 一，一1 s 【0 ，】 定义 l g 。( y ) l 。= i d ，( q 一1 + 。+ 蜥一1 ) i + 则i g 。( o ) l 。= i d ，( z 。) l 。- 令 町= 去( 1 + 开) 则o o ，l i m 。：玩( s ) = 一o ( ，毋( s ) o ，8 ( o ，s 。) 故存在唯一的p 2 ( o ，s + ) ，使得 日2 ( 抛) = 0 令 p 。= r n 讯 p o ，p l ，p 2 ) 对p ：1 p l o 及u e ( ，t o ) ，有1 丑e ( e ，妒) ) ( 2 2 ) 引理2 1 ； ( i ) 若l p q ( t o ) 或妒n ，( o ) ，则妒是概周期的； ( i i ) 对妒n ( 亡0 ) ，= s 婶 1 妒( n ) i ：n z ) ，则n ( 如) 在川之下是b o n o n 吐空间k 的闭子 集。 证明：( i ) 对i p q ) 时；则对v o ，存在z ( ，# o ) ，使得对vm ，j 丁m ( m ，m + f ( e ，t o ) 一1 ) ，有l g ( t o + n + 7 如，嚣，p ) 一g ( t o + n ，z ，p ) i e 对一切n z ， ，p ) y 一p o ，肛o 】成立 令f ( ，妒) = f ( e ，t o ) ，= o 。，= 啤， 6 仇，则( ，) = 。丁m ，o 。( m ，m + 剐( ，如) 一1 ) ，由q ( z o ) 定义，于是f 妒+ a 。) 一妒( n ) s 对一切n 成立由定义知妒 为概周期的 同理对妒n + ( t o ) 时，可令f ( e ，妒) = z ( ，f o ) 对= 旧 ，= 限 d m 则由n + ( t o ) 定义可知d m e ( ；，妒) ；于是i 妒( n + r m ) 一妒( n ) 1 = e 对于一切n 成立由定义 知妒为概周期的 ( i i ) 先证n ( t o ) 是f 。的子集由妒q ( t o ) ，则妒是概周期的； 对e o = 1 ，由定义，存在f l 使得对v m z ，存在r ( m ，m + f 1 1 ) 使 得l 妒+ r ) 一妒( n ) l 1 对一切n z 成立 令m = m o 。 i 妒十1 ，s = o ，土l ，士( f l 1 ) 有p ，q z 使m = p f l + 吼由定义，设t ( p f l ，p f l + z l 1 ) 使1 妒( n + r ) 一妒( n ) ls1 对切n z 成立令r = p f l + t + ，r + ( o ，f 1 1 ) 则m = ( p f l + r + ) + ( q r + ) = r + ( q t + ) ，q 一一( 一( 2 1 1 ) ，z 1 一1 ) ，l 妒( m ) 一l p ( q r ) i = i 妒p + ( 口一丁+ ) ) 一妒( g 一下+ ) i 茎1 故i 妒( m ) lsi 妒( q r ) l + 1 m 即妒f ，故n ( t o ) cf 下证q ( o ) 为闭的 任取慨n ，( t o ) 令妒= 托m f 。忱，并对v e o ，t z ，及任意取定的n ， 有i 妒f ( 礼+ o 丁) 一妒f ( 礼) i ，南= 陋，r 】d ，贝0 l p ( 礼+ o 丁) 一妒( 扎) f i 妒( 礼+ n 7 - ) 一妒i ( 礼+ 。f ) f + k ( n + n 7 ) 一张( n ) f + f 妒f ( 札) 一妒( 竹) 兰e + i 妒( n + n r ) 一妒l ( n + n t ) l + l 忱( n ) 一妒( n ) i 对一切f ( 1 ) 成立，令 + ，则有i 妒+ o r ) 一妒( n ) l e 由e ，r 及n 的任意性 知妒q ( 亡0 ) ，即n ( t o ) 为k 的闭子集 对于由( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 定义的阻及r ( p ) 有如下性质： 7 亏f 理2 2 t 对f 弘i p 。 ( i ) h + 正耳“1 ( 1 + 川昙) 。】+ 川( + l ) 刁 1 ，= u = u 七一l ( 吣r ( p ) + m 印 o j = oj = o口0 “ 结合( 1 1 5 ) 可知( 2 4 ) 成立， 由( 2 3 ) 及( 1 1 5 ) 可知r ( p ) o ， 故从( 1 1 5 ) 直接得证( 2 5 ) 成立 8 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 冬j r ( i 1 i + l p i 彳i ) + i p l m sk 2 川+ l 川 f ；：o j 扣 假设当p = m 时成立，即 1 f m ( n ，p ) l k ”川+ 篙1 即 当p = m + 1 时， f 嚣。十t ( 扎，筝，芦) = f 三( 扎矗+ 玎z + 1 ，件七+ m ，芦) ( f m ( n ，掣，芦) ) l = i ，k 。七+ m + s + j l ( 礼，可，p ) 一，( 。k + m + s ) + p g t o ( 札七+ m ，z n 七+ m + s + j k 唧，掣，p ) ，p 。k 1 f 1 m ( n ，甜，p ) i + i p i f j r ( j r “l i + l 川) + 1 p l f 墨”+ 1 + i p f 彳器o x ， 即( i ) 式成立 ( i i ) 由 k f ( 礼，可，p ) = 【三( 竹七+ j ，n 屉+ 歹一1 ，p ) 掣 其中 令 筹( n ，舢) q = 。，( 勺一，如+ 协一t ) ，b = 争( n + j 一1 ，q 一- + s 十蚴- ，p ) ，( 1 ，) m q o = 1 q m = ( 0 j + p 吩) m ( 1 ，) j = 1 则 务舭) = q 口盯 又i q i ，1 如i 工，于是有： 令 j l = + p f ( o k f ) k j q 女一，一1 十6 q t l = lj = 1l _ 0 q 女1s1 o j l + l 肛l l k j = l y = ( o ，- 一，鲰一1 ) ；o = ；蜥= q j ，j ( 1 ，一1 ) 则 量 i q l = 怫( y ) l ，= l 由( 3 4 ) 及( 2 3 ) 可知协w 。，( 1 ，一1 ) 故由( 1 5 ) 有i n 整1 q l q 从而( 3 5 ) 得证 ( i i i ) 为证( 3 。6 ) 首先可以归纳地证明 ( 3 7 ) b + 唧 。触 l 铷 配 ：亘加 m 一 p onf 羹攀羹薹| | l i ；立j 帅鏖笔! 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