（应用数学专业论文）具有非双倍测度的各向异性hardy空间.pdf

摘要 从x t o l s a 研究的关于非双倍测度问题得到的一系列结果与最近m b o w n i k 和蓝森华等对各向异性h a r d y 空问的研究结果可以看到，分别具有上述两种性 质的h a r d y 空问保持了经典h a r d y 空问的一些基本性质，受此启发首先给出 了非双倍测度下各向异性的原子块的定义，得到了具有非双倍测度的各向异性 h a r d y 空间，以及该空问的原子刻画，并得到了它的对偶空间r b m o a ( # ) 接着 利用具有非双倍测度的各向异性h a r d y 空间码的原子特征以及系数石岛泓 的性质得到了c a l d e r s n z y g m u n d 算子丁是从哦( i “) 列l 1 ( p ) 有界与从( 肛) 到r b m o a ( i ) 有界最后引进了非双倍测度下各向异性空间的分数次积分算 子，得到了分数次积分算子的个有界性结果，即著名的h a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式 关键词；非双倍测度；各向异性；h a r d y 空间；r b m o a ( # ) ；c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，m o t i v e db yt h er e s u l t sf o rn o n - d o u b l i n gm e a s u r e so b t a i n e d b yx t o l s aa n dt h ea n i s t r o p i ch a r d ys p a c e si n v e s t i g a t e db ym b o n i ka n dl a n s e n h u ae t c ，w h i c he n j o ys o m eb a s i cp r o p e r t i e so fc l a s s i c a lh a r d ys p a c e s ，w ei n - t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fa n i s t r o p i ca t o m i cb l o c ku n d e rt h en o r - d o u b l i n gc o n d t i o na n dt h u so b t a i nt h ea n i s t r o p i ch a r d ys p a c e sf o rn o n - d o u b l i n gm e a s u r e s a n dt h ea t o m i cd e c o m p o s i t i o no ft h es p a c e s 码( p ) ，a n dd u a l i t yo ft h e s eh a r d y s p a c e sr b m o a ( ) t h e nb yt h ea t o m i cc h a r a c t e r i z a t i o no ft h ea n i s t r o p i c h a r d ys p a c e sf o rn o n d o u b l i n gm e a s u r e sa n dt h ep r o p e r t i e so ft h ec o e f f i c i e n t s k b j ，b n ，i ti sp r o v e dt h a tt h ec a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o r sa r eb o u n d e df r o m 月三( 舻) i n t ol 1 ( 弘) a n df r o ml ( 弘) i n t or b m o a ) ，a tt h el a s t ，w ei n t r o - d u c e dt h ef r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r su n d e rt h ea n i s t r o p i ca n dn o n - d o u b l i n g m e a s u r e sc o n d i t i o n sa n ds h o wt h eb o u n d e dr e s u l to ft h e s eo p e r a t o r s ，t h a ti s ， t h ef a m o u sh a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e vi n e q u l i t y k e yw o r d s ：n o n d o u b l i n gm e a s u r e ；a n i s o t r o p i c ；h a r d ys p a c e ；r b m o a ( ) ； c a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o r 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的切责任和后果。 论文作者签名z 吲泵夹 日期； y 叮年 岁 月 5 1 日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利 本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署 名单位仍然为青岛大学 本学位论文属于， 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密m ( 请在以上方框内打 ) 论文作者签名；叫吾囊 日期： 硼口7 年 占 月 弓f 日 聊繇弋一缸喻1 年，月乡，日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及个人不得擅自使用) 引言 引言 调和分析起源于e u l e r ，f o u r i e r 等著名科学家的研究，主要涉及算子插值方 法、极大函数方法、球调和函数理论、位势理论、奇异积分以及般可微函数 空间等经过近2 0 0 年的发展，已经成为数学中的核心学科之一，在偏微分方 程、代数数论中有着广泛的应用 h a r d y 空间的理论十分丰富，它构成了调和分析的大部分内容1 9 1 5 年英 国著名数学家h a r d y f l j 在经典复分析研究中首先引入了后来以他名字命名的空 间1 9 7 0 年代初h a r d y 空间实变理论诞生，印空间理论被推广到了高维欧 氏空问舯上 2 1 ，h a r d y 空问的实变理论的进一步研究来自几年后的原子分解 的建立，这就是c o i f m a n l 3 ( n = 1 ) 和l a t t e r a ( n 1 ) 的工作，日p ( 舯) 中的元 素可以表示成原子的某种形式的线性组合原子分解是个非常有效的工具， 对函数空1 1 i 可理论有着深刻的影响h a r d y 空间理论有两个方向的拓广是引入注 目的其是c a l d e r 6 n 和t o r c h i n s k y 5 , 6 】开创的伴随于各向异性伸缩的h a r d y 空间的研究，另一个是底空间p 置换为其它的域非各向齐性的h a r d y 空问 理论，意味着欧氏空间中在不同的方向有不同的伸缩最早这方面的研究工作 是c a l d e r 6 n 和t o r c h i n s k y 5 一，他们引进并研究了伴随于舯上的单参数伸缩 群的抛物型h a r d y 空间f o l l a n d 和s t e i n 7 ， 8 1 对一类齐次群上的h a r d y 空问 进行了研究b e s o v ，i l i n 和n i k o l s k i i 9 ，研究了b e s o v 和t r i e b e l l i z o r k i n 空 间的非各向齐性的变形 2 0 0 3 年，部分受到非常一般的离散伸缩群在小波理舱的作用的启发，b o w n i k 在文献【1 0 中引入并研究了伴随于非常一般离散伸缩群的各向异性h a r d y 空 问，这种h a r d ) 空间的描述包括了c f e f f e r m a n 和s t e i n 1 1 j 的经典的h a r d y 空 问和c a l d e r 6 n 和t o r c h i n s k y s 6 j 的抛物型h a r d y 空间各向异性h a r d y 空间 保持了经典h a r d y 空问的基本的性质最近，蓝森华等【1 2 j 引入并研究了各向 异性的弱h a r d y 空间，各向异性h e r z 型h a r d y 空间并给出了线性算子在其 上的有界性等应用其中包含了各向异性h a r d y 空间的一系列算子，如分数次 积分算子、由分数次积分算子和c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子生成的多线 1 青岛大学硕士学位论文 性算子，弱强奇异积分算子以及f o u r i e r 乘子；在文献【1 3 】中引入了各向异性 h a r d y 空间上的类卷积型算子，研究了这类算子作用在某些原子上的性质， 并得到了个各向异性非齐性h e r z 型h a r d y 空间到各向异性h a r d y 空间有 界性的定理等在文献【3 l 】给出了各向异性弱h a r d y 空间的原子分解，作为应 用，证明了与这些弱空间相关的几个插值定理，得到了某些奇异积分算子在各 向异性弱h a r d y 空间的有界性许多类似的经典结论被证实 另外，在最近的几十年里调和分析最重要的研究内容之是齐型空问，它 由一个距离或齐次拟距离空间和一个满足双倍条件的测度构成，即存在正常数 c ，对每个中心在z ，半径为t 的球b ( x ，t ) ，有 u ( s ( x ，2 t ) c 肛( b ( z ，) 然而让人们惊喜的是自1 9 9 8 年始n a z a r o v ，t r e i l ，v o l b e r g 和t o l s a 1 4 5 j ，【1 7 】给 出了在非双倍条件下有关c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的理论，即用下面的非双倍 条件代替e 述双倍条件，设弘是欧几里德空间掣上的个r o d o n 测度，称弘 是咒一维非双倍测度，如果它仅满足下面的增长条件 p ( b ( z ，) ) sc t 8 ，0 n d ， 其中b ( z ，t ) 是以x 为中心半径为t 的球2 0 0 1 年，t o l s a ( 参见文献f 1 9 】) 引进 并研究了r b m o ( # ) 空间与r b m o 的对偶空问日1 ，得到了一些类似于经典 h a r d y 空问的理论例如定义了非双倍条件下c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算 子，得到了这算子从。( 芦) 到r b m o ( u ) 的有界性，以及从对偶空问日1 到 l 1 ( p ) 的有界结果并证明了如果个算子从工。( 肛) 到r b m o ( # ) 有界且从 对偶空问日1 到l 1 ( p ) 有界，则该算子在妒( 肛) 是有界的，其中1 p o 。同 时也证明了c a l d e r s n - z y g m u n d 算子与r b m o ( # ) 函数生成的交换子在工p ( 肛) 上有界，1 p 1 则称4 为个扩 张矩阵( 或伸缩) 设入t ，入n 为a 的所有特征值( 按重数计) ，使得1 l 并记召为所有关于a 的伸缩球的 集合，即b = 如+ b k ：z r ”，k z ) 设u 为满足2 岛ca “b o = 既最小的 整数个伴随于扩张矩阵a 的齐次拟范数指的是可测映射p a ：p _ 【0 ，o o ) ， 满足 p a ( x ) 0 ，对x 0 ； p a ( a x ) = l d e t a i p a ( x ) ，对z 舯； p a ( x + y ) 瓯( p a ( z ) + m ( 剪) ) ，对x ，y r ”； 其中敛1 为常数所有伴随于扩张矩阵a 的齐次拟范数都等价定义础 上由伸缩a 导出的阶梯齐次拟范数p 为 p c z ) = 爱耋三三善十1 、马， 则对任意x ，y 黔，有 p ( z + y ) 旷( p ( z ) + 1 9 ( 矽) ) b o w n i k 在文献【1 0 】中建立了原子h a r d y 空问暇( 孵) 定义1 1 1 1 1 0 】设0 p 1 ，1 q 。o ，p q ，s n ，并且s 【( 1 p - 1 ) l n 6 l n a 一】个伴随于a 的( p ，q ，s ) 原子指的是这样个函数a ，它 满足， ( 1 ) s u p p ( a ) cx o + 马，对某个x 0 渺； ( 2 ) i l a l l g i b j p 砉； ( 3 ) 78 ( z ) z n = 0 ，对所有的 o t l s ， 个广义函数，群p 瓜n ) 当且仅当在分布意义下成立，( z ) = ， j = l o oo o 其中a j 为( p ，q ，s ) 原子，且i l p 0 ，7 0 ，使得 s 在q 上是正则的，且核函数k 满足 ( 1 ) g ( x ，y ) c p ( x 一鲈) ； ( 2 ) 如果( x ，y ) q ，p ( x 7 一y ) p ( z v ) i b 缸使得 i k ( x , v ) 娟( 删c 群； ( 3 ) 如果存在( z ，y ) q ，p ( v 一矿) p ( x v ) b 扎使得 i k ( z ，y ) 一( z ，可) i c 黼； ( 4 ) r 可以延拓为l 2 的连续线性算子，且l i t f is c 在靴上，对0 q n ，r i e s z 位势( 或分数次积分算子) 厶定义为 ( 枷= 高上。器匆 其中7 ( 口) = 丌詈r ( 詈) r ( 量一詈) 在l e b e s g u e 空间上的著名的结果是h a r d y - l i t t l e w o o d - s o b o l e v 不等式 1 9 8 0 年t a i b l e s o n 和w e i s s 用原子分解和分子分解方法在经典h a r d y 空问建 立了相应的不等式，蓝森华在【12 】中引入了一类分数次积分算子并建立了相应 各向异性h a r d y 空间的h a r d y - l i t t l e w o o d s o b o l e v 不等式 定义1 1 3 【1 2 】设t ：s ( 舻) _ 5 7 ( 舻) 为个连续线性算子0 q 0 使得 由( 1 1 ) 确定的分布在q 上正则，其核k ( x ，y ) 看成y 的函数属于伊，且对任 意的( z ，y ) q ，有 i 色【耳( ，a 奄) ( z ，a 一七暑，) i c p ( x 一) 一1 + q = c 泸( 一1 + 口) ， 6 第一章具有非双倍测度的各向异性h a r d y 空闷 其中z 是唯一的整数使得z y b k + 1 鼠 蓝森华证明了分数次积分算子的有界性； 定理1 1 1 f 1 2 】令0 q 1 ，t 是q 次分数积分算子设l p 扩，我们称方体qcr d 是( q ，同一倍方体，如果 p ( q q ) p p ( q ) 一般取q = 2 在h a r d y 空间理论中原子刻画是十分重要和有意义的，t o l s a 给出了非 双倍测度的h a r d y 空问硬孑的定义 定义1 1 5 【1 9 】对于固定的毒 1 ，函数g k ( p ) 被称为原子块，如果它 满足； ( 1 ) 存在某个方体r 使得s u p p ( g ) c 冗； ( 2 ) g d # = o ； - ， ( 3 ) 存在函数列a j ，a j 支于方体劬cr 及豫使得g = ，并 青岛大学硕士学位论文 且 物l l p o 第一章具有非双倍测度的各向异性h a r d y 空闯 若疋关于在口( p ) 空问是一致有界的，则称t 在汐( p ) 上有界 t o l s a 证明了若c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子在弘( 弘) 有界，则有下述定理 定理1 1 2 【1 9 | t 是c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子，若对任意支集为 q 的函数a 满足 f 正i 舡c l l * p ( 荨q ) ，q 关于是一致的，则t 从砭铲( p ) 到l 1 ( p ) 有界 j g a r c l a s c u e n r a 和a e g a t t o 在文献【2 3 引进了非双倍测度下的分数 次积分算子并证明了它的有界性 定义1 1 7 i 2 3 】令0 q 仃，和非双倍测度相关的分数次积分算子厶定 义如下： 圳动= 上穰格讹) ， 其中d 表示空问x 上的距离 定理1 1 3 【2 雹令0 q i q h 其中l l 指彬空间的标准范数，若 肛( q 玩) 障。( 玩) ，我们称伸缩球b 是( o l ，矽) 一倍的特别的取川= f a 2 。f = 莎h ，p ( a 2 。b k ) p p ( b k ) 根据增长条件的定义这种倍伸缩球是存在的，这是 因为若不然则有p ( a m 反) p “p ( 鼠) 令m _ 可以看到增长条件就不成立 了 下面是关于系数j ，b 的性质； 引理1 2 1( 1 ) 若b k 。c 晚。cb k 。，则如。，风：g b k i ，b k 。，k b k 。，b 。 c k b b k 3 和k b * 1 , b 女3 c ( 魄一b 2 + k 取2 ，b k 3 ) ( 2 ) 如果岛，c 点它们的大小是可比较的，则k 酞，鼠。c ( 3 ) 设是某个正整数，p 矿，a 是个扩张矩阵，伸缩球a b ，a 2 b ，a n - 1 b 都是非倍的，则a n b c 1 0 第一章具有非双倍测度的各向异性h a r d y 空问 ( 4 ) 如果n 是个正登数，对栗个p 1 3 # ( a 2 _ b ) ，对于k = 1 ，n 一1 ，则有 p ( a k b ) 矿1 ( a k + x b ) 萨1 ( a k + z b ) 已 1 ，显然 残( p ) c 睨( 肛) ，h 惦( 由i l f l l h k 盖o ) 1 2 第一章具有非双倍测度的各向异性h a r d y 空同 另一方面，考虑原子块g = a j ，s u p pa jcx j + 岛cx n + b n ，不妨 设马的中心为原点对任意的z 岛，令岛是以z 为电b 形状与b ，相同的 伸缩球且l d i a m ( b ) = 鼍d i a m ( b j ) ，则z + l 见c 已岛根据b e s i c o v i c h s 覆盖定理知从 b ) 中可以选取有限个不相交的的伸缩球岛，k 且它们的并集覆 盖岛这样易知每个函数o j 能被分解成有限个固定的函数a j ，k ，使得对于所有 的k 有i l a j ，k i l l - i l a jl l l - ，并且s u p pa j ，c 岛，1 马，南c 已马 这样我们就有引日端( 力引日糕( 脚，这意味着 且拣( 力 1 , f l l ( p ) ，若存在常数g 使得 砾1 1 ，一m 否f l d p 1 是等价的 证明令亭 ( 1 是固定的常数显然| | 州峨( f ) i i f l l ( ) 所以只需证 明i t f l l ( c ) c l f l l 峨( ) 这又只要证明对于满足下述条件的固定的数列 如) b s 字丽1 上i ，一厶i 咖( z ) 2 t l f l l 峨 与 j 拓一知i 2 k b ，, , j l f l l 偿) ，对任意两个伸缩球bcd ， 有下式成立即可 丽南上i ，一f b o l d # ( z ) c i l f l l ( 跏对于任意固定的伸缩球b 。 ( 1 2 ) 类似于命题1 2 1 根据b e s i c o v i c h s 覆盖定理知存在有限点集 兢 lcb o 使得不相交的伸缩球 既+ 艮； 毛覆盖岛，且戤+ b ；c ( b o 因为晚；和岛 的大小可比，所以 i 危；一氐l c l l f l l ，( ) ， 其中c 依赖于( 和，因此 z ，一如。i 咖厶；i f 一危；i 妣+ i 氐一旭加( ) c i i f l l ( f ) p ( f 岛；) ， 所以有 厶i ，一i 批莩厶；i ，一氟i 咖c ，莩赇) 因为翰+ 荨色；cc b o ，对于所有的i ，可得 l ，一，b o i d , c l l f l l 。，( ) p ( ( b o ) ， j 晟， 其中是b e s i c o v i c h 有限覆盖的个数，易知它是有界的所以( 1 2 ) 式成立 证毕 第一章具有非双倍测度的各向异性h a r d y 空问 引理1 2 3 对于固定的 1 ，范数”瞻与i i i i 等价 证明令f 三( p ) ，先证l t f l l 。硎州。对所有的伸缩球b ，令f 8 = m 豆，则定义1 2 5 中的第一个l 生质满足且c 2 = 1 l 州。对于定义中的第二个性 质，只需证明对任意两个伸缩球bcd l m 豆，一m b f i c k b ，o l l f l l ， ( 1 3 ) 注意到如果bcd ，那么 l m 豆，一m 西，l 蚝西i i 州+ ， 由于b ? d 是倍伸缩球，如果蚝西sc k b ，d ，则( 1 3 ) 成立然而一般隋况下 bcd 并不意味着否c 西，这就需要进行下面的改进 首先假设d i a m ( 9 ) d i a m ( b ) 这时b ca 2 西，记d o = a 2 d ，则有 i m 豆，一m b f l i m 秀，一m o o f l + i m d o f m m f ( 1 4 ) 利用引理1 2 1 中系数的性质，可得 k d o s c k b ，d osc ( k b ，d + k d ，d o ) c ( k b , d + ，西 4 l - k b ，a 2 西+ k 2 西，d o ) c k b , d 因为bcd o 且为倍伸缩球，有 i m 豆，一m d o f l d o l l f l l 。c ，d | | 州。 又因为 ，d o c ( ，a z 西+ 巧。西，d o ) c c ，d ， 以及dcd o ，且它们为倍伸缩球，所以 m d o f m 西，i ol l t l c k ，- i i f l l + 这样就知( 1 3 ) 式是成立的 现在假设d i a m ( d ) d i a m ( b ) ，则西ca 2 百，那么存在m 1 使得 西c 笆罗ca 2 豆，且西与a m b 的大小是可比的，所以有k b ，舻bs c 记 岛= a ：b ，可得 一 ，石b c ( k 岛，a m b + k a m b ， ：百+ 爿- ：豆，五b ) c 1 5 青岛大学硬士学位论文 另外也有 ，岛c ( ，a ，否+ ) + a 。豆，b os d 所以 l m 百，一m 西，i i m 豆，一m 口。f i + m 1 3 。f m 西，i k 百, b oi i f l l 。+ k f i , b o l 。 c t l f l l ，c d l l 刑。 现在只需证明l i f l l + c l l f l l 。 如果b 是个倍伸缩球，则有 舻m b f l l 志上伊厶川刚k 籍冬c i l f l l 对于任意伸缩球b ( 一般隋况下是非倍的) ，利用西g l f b m 后，i i 厶一后i + l 厶一m 蚕，l c l l f l l + ， 因此 页茜z 瞰z ) 一m 百f l d u ( x ) 丽茜上搬z ) 一届l 础( 。) + 志z 舻吲俐 c l t f t l 。 只剩下证明定义1 2 4 中的第二个性质 事实上，如果bcd 是倍伸缩球，可以得到 f m z f m o f i l m s f 一如l + | 如一南 + 易一m d f l c l l f l l + 。+ ，i , l l f l l 。c k b ，d l l f l l + 。 证毕 空间硪( p ) 和r b m o a 有密切的联系接下来我们证明硪( 肛) 的对 偶是r b m o a 定理1 2 1 r b m o a ( # ) 筌砖( p ) + 第一章具有非双倍测度的各向异性h a r d y 空阊 证明证明 r b m o a ( # ) c 助0 0 ( p ) + 也就是说对于h r b m o a ( t o ，是具有紧支集的有界函数，线性泛函l h ( f ) = h f d # 可以延拓为砖( p ) 上的连续线性泛函，且 i 慨一( p ) c i i h l l + 根据调和分析中的常规证明方法，只需证明对于原子块g 和h r b m o a ( 肛) 有 | g h d t t l f 9 f 砖一) 设s u p p ( g ) cx n + b n ，g = ) u a j ，其中a j 满足原子块定义中的性质首先 利用g 的消失性，有 帅i _ l 9 ( h - h b n m i 莩蚓眺嘲厶旷酬砒( 1 5 ) 因为h r b m o a ( # ) ，故 厶l 一危琳i 咖gl h - h b j l 础+ l h 岛一危鼬似岛) i i h l l 。弘( f 马) + k b j ，b i 庇弘芦( 马) 冬她，b 恻l + p ( 岛) ， 所以由( 1 5 ) 式得 l g h d t t l c l i ( 如，鼬肛( 岛) ) i l h l l + 如，b 肛( f 岛) c i a j l l l h l l 。= c l g l h a t 一l l h l l 。 j 另一方面证如果h r b m o a ( # ) ，则 惭f l 砖一( p ) - 它的证明类似于文献【1 9 】中引理4 4 的证明，这里略去细节证毕 1 7 青岛大学硬士学位论文 第二章c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的有界性 随着调和分析理论的发展和逐步完善，它在偏微分方程中的应用显得尤为 突出其中c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子的研究是调和分析中的一个重要 组成部分，由于它与偏微分方程、c a u c h y 型积分等问题有着密切的联系，所 以对这类算子的研究一直是现代调和分析的热点问题之一而h a r d y 空间的 原子刻画和分子刻画在算子的有界性证明中起到了很重要的作用受到经典的 h a r d y 空间的原子分解理论以及某些算子有界性证明的启发，在这一章我们利 用这一空间的原子块刻画以及系数徊的性质，研究c a l d e r d n z y g m u n d 算 子在具有非双倍测度的各向异性h a r d y 空间的有界性为了方便，先给出在非 双倍测度p 下c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子( 伴随于伸缩a 和拟范数p ) 的定义 定义2 1 ( i ) 丁能扩张成l 2 ( r d ) 到l 2 ( 础) 的有界线性算子； ( i i ) 函数g ( x ，y ) 乞( r d 础 ( z ，y ) ：z = 秽 ) 满足： ( 1 ) 耳( z ，y ) p ( x 二- 二u 一) r ( 2 ) 存在0 e 若五关于在妒( p ) 是致有界的，则称c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子t 在扩( p ) 上有界 第二章c 址d e m n - z y g m u n d 算子的有界性 有了c a l d e r d n z y g m u n d 算子的定义，下面叙述并证明c a l d e r d n z y g m u n d 算子的有界性结果： 定理2 1 设t 是c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子，若对任意支集为 b b 的函数a 满足 ， i 正o i d 肛c | | o l l l * p ( b ) ， ( 2 1 ) 巳匕式关于e 是一致的，则t 从硪( p ) 到l 1 ( 肛) 有界 证明根据经典h a r d y 空间的常规证明方法，以及具有非双倍测度的各向 异性h a r d y 空间的原子块刻画特征，知只要证明对任意的如上章定义的原子 块g ，其支集s u p p gcb n ，g = a i a i ，其中r ，s u p pa ic 岛，并且满足 ， i l a j l l 己。缸) ( 肛( 岛) k 岛，鼬) 一1 ，有下式 成立就可以了 现在写 i i t e g l i l ，( p ) c 砖* 疋9 i 如= 9 拈 t 。g l d p ，( 2 2 ) j j r a b n + jb n + 首先估计( 2 2 ) 式的右边第个积分 根据原子块夕的消失性，以及c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子核函数 k ( x ，y ) 具有的性质，对于z 掣b n + 知 正9 l = l 上( k ( z ，秒) 一k ( z ，秒) 9 ( 矽) ) 咖( y ) i 上i 器9 ( 可) | d 肛( y ) c 意斋忆， 1 9 所以 青岛大学硕士学位论文 厶、鼬+ 知黜川功 吐岩怕l i l 洲z ) ( 2 3 ) c l l g l l t ( j - ) 另一方面对于( 2 2 ) 式右边第二个积分，有 厂l 9 f 咖 j b n + 幻 m 根据( 2 1 ) 对于每个歹有 厂 f jb j + 7 ：j l d p + 划z ， i 霉l 咖e l l a j i i 铲似) p ( 马+ 缸) ； j b l + 另外类似于估计等式右边第个积分的讨论过程有 z 、瞄舯 七习 n 厶卅扎、巩+ 缸l 妇 t 一知 i i ，、r n 肛( 鼠+ l + 灿) 护 l t ( 弘) 筹黼 c 如，鼬l l qf k 。o “) p ( 马) ； 上不等式成立是因为t 根据拟范数p 的性质 p ( x - y s j ) 虿1p ( z ) 一p ( 剪易) = 专6 ( 南+ 1 + 知) 一矿 芝吉舻栅= c 妙批 2 0 畸 第二章c a l d e r d n - z y g m u n d 算子的有界性 因此 ， i 疋叼j 批sc j 嘞，b 撺i1 ii 工一q ) p ( 善b 并2 【，) j b n + 2 。 得到上述不等式后利用原子块定义以及( q ，p ) 一倍伸缩球定义可得 ， l 正9 f 咖c h i 硷j ，b i k 眦一( p ) 弘( 喜马+ 2 u ) c l , k jl k b j ，b ( 如，b 弘( 岛) ) q p ( 岛+ ) ( 2 4 ) j c 莓蚓c 1 9 1 t 一( u ) 根据( 2 3 ) 和( 2 4 ) 知 l l 正g i i l ( p ) c 引日p 成立证毕 接下来证明c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子是从l ( p ) 到r b m o a ( 肛) 有界的先给出一个有用的引理 引理2 1 设 1 ，函数，l k ( 肛) ，下面性质等价； ( a ) ，r b m o a ( # ) ； ( b ) 存在常数既使得对于任意伸缩球b 有 | ，一m b ，i d u c b u ( b ) ?( 2 5 ) 与 t i n s 嘞f t - - c b k b , d ( 籍+ 筹) ， 对任意伸缩球bcd ( 2 6 ) ( c ) 存在常数q 使得对于任意倍伸缩球b 有 l ，一m , 3 f l d us 倪p ( b ) ， ( 2 7 ) 与 l m b f r o o fi c 。k 6 d ，对任意倍伸缩球bcd ；( 2 8 ) 证明首先证明( a ) 兮( b ) 如果，r b m o a ( # ) ，则( 2 5 ) 式成立对于任 意伸缩球b 有 i m b f m 后f l - m b ( i 飞f 1 ) i l f 。籍 ( 2 9 ) 2 1 青岛大学硕士学位论文 因为 m b f m d ，i i m b f m 亩，l + i m 百，一m 西，i + l m d ，一m r , f l ， 对于右边第二项的估计如上一章引理1 2 3 的( 1 3 ) 式对于第一项和第三项我 们利用( 2 9 ) 式得 i m s f 胚( e k b 矿籍+ 嬲) 队 _ c k b , d ( 籍+ 篱) i i f l l ， 因此，满足( 2 6 ) 式 ( b ) 兮( c ) 是很简单的，只要考虑( b ) 中的倍伸缩球的情况就可以了 现在证明( c ) 兮( 8 ) 令b 是某个伸缩球，般情况下是非倍的只需证明定 义1 2 4 中的第一个条件对于任意的z b 存在某个以z 为中心与b 形状 相同的倍伸缩球，用玩指满足性质的最大倍伸缩球，则有j 毛。，台c ，以及 l m b x f m 豆，l c c 2 ，( 2 1 0 ) 根据b e s i c o v i c h 覆盖定理知存在点x i b 及族伸缩球 百) i 利用( 2 1 0 ) 式 以及b 毫c b ，可得 l f m 百，i 咖l f r n 百f l d p , jbjb z 。 i f - m 历；f l d l z - + - i m 百，一m b z ；，i p ( 色；) -，bz c q 肛( 毒b ) 证毕 定理2 2 设? 是c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子，若对任意支集为 b 召的函数，满足 l 正，l d 豇c l j ，i i l m p ( b ) ， 日匕式关于是一致的，则t 从l o 。( p ) 到r b m o a ( i 比) 有界 2 2 第二章僦d e r 6 n - z y g m u n d 算子的有界性 证明首先证明如果，l o c ( 肛) f ql p 0 ( 肛) ，对于某个p o 【1 ，o 。) ，则 i i t , f l i r b m o sc l l f l l l 一( p ) ( 2 1 1 ) 利用上一引理的( a ) 营( b ) 进行证明首先进行简单的放缩就可以得到 ， i 正，一m b t 。f l d p q 肛( 毒b ) i i ，| | l 一( p ) ，b 接下来证明( b ) 中的( 2 6 ) 式成立 因为”肚关于f 是等价的，可令f = a 知，只