（应用数学专业论文）几类时滞动力系统的渐近行为及其应用.pdf

四川大学硕士学位论文 摘要 几类时滞动力系统的渐近行为及其应用 应用数学专业 研究生李兵指导教师徐道义教授 本文主要研究了几类由时滞微分方程描述的动力系统解过程的全局渐近性 态，并讨论了它们的实际应用。 导论部分介绍了动力系统渐近性理论的发展历史与当前的主要工作方向及 进展。 在第二章中，讨论了一类d i n i 导数给出的微分不等式的耗散特性，并利用 连续l i p s c h i t z 算子的测度，研究了具有有限离散时滞微分方程解的耗散性，并 在时滞h o p f l e l d 神经网络的应用中，获得了其一致耗散性及平衡点全局一致渐 近稳定的充分条件。 第三章，我们研究了一类具有连续分布时滞的神经网络模型的最终一致有 界性和全局吸引集。通过非负矩阵和一些不等式技巧，在更一般的条件下，我 们获得了关于此类系统解的最终一致有界性的新判据，并估计出球形全局吸引 集的边界。 在第四章里面，我们对一类具有有限离散时滞的i t o 型随机微分系统进行了 研究。我们充分利用随机过程的特性，结合i t o 公式，巧妙的将确定性动力系 统中的非负矩阵和不等式技巧运用到随机微分方程中，讨论了此类系统解过 程的p - 阶矩最终有界性和全局吸引集的特性，得到了一系列新的方法和判定准 则。 关键词动力系统，非线性算子测度，时滞微分方程，随机微分方程，神经 网络，耗散性，最终有界性，吸引集，稳定性，i t o 公式，渐近稳定性 四川大学硕士学位论文 a b s t r a c t a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o m ed y n a m i c a ls y s t e m sw i t hd e l a y sa n da p p l i c a t i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：b i n gl is u p e r v i s o r ：d a o y ix u t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hg l o b a la s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o m ed y n a m i c a ls y s t e r n sw h i c ha r ed e s c r i b e db yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y sa n dt h e i ra p p t i c a t i o n s ， i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n th i s t o r yo fa s y m p t o t i cb e h a v i o ro f d y n a m i c a ls y s t e m s s o m ei m p o r t a n td i r e c t i o n sa n di n t e r e s t i n gr e s u l t sw i l lb es h o w n t o r e a d e r s 。 i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ed i s s i p a t i v i t yo fac l a s so fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s i n t r o d u c i n gb yd i n id e r i v a t i v e c o m b i n i n gw i t ht h em e a s u r e o fn o n l i n e a ro p e r a t o r ，w e r e s e a r c ht h ed i s s i p a t i v i t yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a ya n dg i v es o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h eu n i f o r m l yd i s s i p a t i v i t yo fh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y i nc h a p t e r3 ，w es t u d yd i s s i p a t i v i t ya n dg l o b a la t t r a c t i n gs e to fag e n e r a lc l a s s o fn e u r a ln e t w o r k sm o d e l sw i t hc o n t i n u o u s l yd i s t r i b u t e dd e l a y sb yu s i n gn o n n e g a t i v e m a t r i xa n dd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i q u e s o m en e wr e s u l t sa r ed e r i v e du n d e rm o r e g e n e r a lc o n d i t i o n s i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rp - m o m e n t su l t i m a t eb o u n d e d n e s sa n dg l o b a la t t r a c t i n g s e to fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd i s c r e t ed e l a y s b yu s i n gn o n n e g a t i v em a t r i xa n di t of o r m u l a ，a n dc o m b i n i n gw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i co fs t o c h a s t i cp r o c e s s ，w e g e ts o m en e w c f i m r i o n sa n dr e l a t e dr e s u l t s k e yw o r d s ：d y n a m i c a ls y s t e m ，m e a s u r e o fn o n l i n e a ro p e r a t o ad i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t hd e l a y s ，s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，n e u r a ln e t w o r k s ，d i s s p a t i v i t y , u l t i m a t e l y b o u n d e d ，a t t r a c t i n gs e t ，s t a b i l i t y ，i t of o r m u l a ，a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y h 一 四川大学硕士学位论文 第一章导论 动力系统作为微分方程理论的一个专门论题，最早可以说是从十九世纪 末著名的数学家h p o i n c a r e 的工作开始。h p o i n c a r e 及其后的i b e n d i x s o n 研究 了平面上自治常微分方程解的拓扑性质，h p o i n c a r e - - i b e n d i x s o n 理论现在 是常微分方程课程中讨论的一般论题，在c o d d i n g t o n 和l e v i n s o n 的著作( 【1j ) 中 有详细的介绍。尽管如此，当时对于动力系统及其渐近性行为仍然未进入 精确的数学讨论，虽然l a p l a c e ，l a g r a n g e ，m a x w e l l 等人都曾经使用过稳定 性的概念，但是都没有给出精确的数学定义。1 8 9 2 年，俄国著名数学力学 家l y a p u n o v 在他的博士论文运动稳定性的一般问题中，才给出了渐近性理 论中运动稳定性的严格数学定义和用来讨论渐近性行为的一般数学方法。他将 p e a n o ，b e n d i x s o n 和d a r b o u x 等人建立的微分方程解对初值和参数的连续依赖 性这一概念 2 】，从自变量在有限区间上变化拓展到无穷区间上，科学地给出 了系统中运动是稳定和渐近稳定的概念；他从类似系统总能量的物理观念得到 启示，提出了后来被人们称为l y a p u n o v i 函数的概念( 见 4 ，5 ，3 2 1 ) ，从而建立了稳 定性理论研究的框架，奠定了动力系统渐近性行为的数学理论基础。1 0 0 多年 后的今天，这一理论己经渗透到应用数学、力学、控制与系统理论的众多领 域，取得了巨大的发展。 1 1 时滞微分方程的耗散性及其应用 每一个实际的动力学系统，小到一个具体的控制系统，大到一个社会系 统、金融系统、生态系统，总是在持续的干扰下运行的，而且由于在实际应 用中，信息的传输和我们对信息的反应速度都是很有限的，即使是以光速传 递的信息系统也不例外，所以抽象出来的数学模型中，时滞是绝对不能避免 的，因此被扰动的时滞微分方程解过程的渐近行为自然而然成为学者研究的 重点。1 7 5 0 年，大数学家e u l e r 提出一个问题：是否存在一种曲线，它经过平 移、旋转以后能和其渐近线重合? 在此基础上，c o n d o r c e t 于1 7 7 1 年导出了第一 个时滞微分方程( 泛函微分方程) 。从那以后，时滞动力学系统随着人们研究的 四川大学硕士学位论文 深入，在许多学科表现出了极大的应用价值，如在核物理学、电路信号系统、 生态系统、化工系统、遗传问题、流行病学、动物与植物的循环系统、社会 科学等等。针对不同的领域，我们一般从三个不同的角度去处理系统中的时 滞【3 】： 1 、寻求忽略时滞而不改变动力系统解的渐近行为的条件： 2 、略去时滞后，如果无法满足模型精度的要求，则寻找解决渐近性问题 的新的概念和方法； 3 、对时滞加以控制，使系统达到我们期望的状态。 就作者所知，有不少学者在具有离散时滞的微分动力系统解的渐近行为 的研究上作出了贡献。1 ：1 5 女 1 z h a o 在文献 6 中，就研究了具有离散有限时滞 的微分方程的不变集和周期吸引子。s t e p h e n ，r b e m f e l d 在 1 0 中，也对带 有时滞的微分系统解的一致渐近稳定性进行了研究。在第二章，我们在文 献 1 9 ，2 0 ，2 1 的基础上，结合矩阵测度，类似的定义出非线性算子的测度，并 借助于文 1 9 的思想，讨论了时滞微分不等式的耗散性质，研究了离散时滞系 统解的渐近行为并给出新的判断准则( 见 3 8 9 。 1 2 含连续分布时滞的神经网络的耗散性分析 时滞神经网络其实也是一种特殊的时滞微分方程模型。1 9 8 2 年美国；o o j l l 工 学院物理学家j j h o p f i e l d 建立了一种模仿人脑的神经网络模型( 见文 3 3 ) ，并 建立了神经网络稳定性的理论依据，用模拟电路得到实现。在h o p f i e l d ；酣t 经网 络模型的基础上，一些著名的神经网络模型被提出来。如k o s t o 提出的双向联 想神经网络( 文 4 2 ) ，c h u a 在1 9 8 8 年提出的细胞神经网络模型( 见文【1 2 】) 等。近 几十年来，关于各种各样的神经网络模型理论和应用研究引起了科学工作者的 巨大兴趣，并成为非线性科学领域的热点之一( 见文献 7 ，8 ，2 3 】) 。这些模型在 近几十年来之所以受到人们的热切关注，是因为它们具有丰富的动力学行为： 稳定性，吸引性，振动性，甚至出现混沌现象，但是由于我们对实际应用中的 网络模型有具体的稳定和控制方面的要求，所以对其渐近性行为的研究尤为关 一2 一 四川大学硕士学位论文 注。一般来说，不含时滞或者带有有限离散时滞的神经网络模型研究起来相对 容易，对系统渐近性行为的控制也可以轻松实现，但是由于神经网络适用范围 的扩大，以及并行网络结构的推广，我们对模型引入时滞的要求就拓展到了连 续分布形式的时滞上。鉴于目前对具有连续分布时滞模型的讨论相对不多，我 们在第三章中，借助以往学者已经建立的具有连续分布时滞的神经网络模型， 利用非负矩阵的相关知识和微分不等式技巧，解决了关于此类系统解过程的最 终有界性和吸引集问题( 4 0 】) ，为研究此类系统的稳定性和可控性打下理论基 础。 1 。3 时滞随机微分方程的p 阶矩最终有界性及其应用 自然界的运动规律，一般表现为确定性的运动过程和随机性的运动过程两 种类型。前者用微分方程方法加以描述，后者一般用概率的方法描述，这是人 们常见的处理手法。不过，自然界本身的运动其实是非常复杂的，经常是确定 性过程和随机过程相互交织在一起，例如无线电波的传播过程就是这样。像这 种运动过程，本身可以用微分方程来描述，但是又加上了适当的随机干扰，因 此随机微分方程的研究便提到了科学工作者的面前。1 9 4 2 年，i t o 利用随机微分 方程研究了关于m a r k o v 过程构造i 拘k o l m o g o r o v 方程( 1 3 ) 。到1 9 5 1 年，i t o 独立 的建立了著名的n o 型随机微分方程( 见 1 4 】) 。i t o 的理论为描述和分析随机微分 方程提供了一个强有力的理论工具，成为现代随机分析的基础。在此后的几十 年的发展历程中，国内外众多学者分别利用多种不同的工具对随机微分方程进 行了研究( 见 4 3 ，4 4 ，4 5 ) 。1 9 9 4 年，x m a o 利用l y a p u n o v 稳定性分析的方法，全 面地讨论了随机微分方程和时滞随机微分方程解过程的指数稳定性( 见e 1 5 1 ) 。 后来，他又将l a s a l l e 型定理推广到随机微分系统中( 1 6 ) 。由于随机微分方程 的解过程实际上也是一个随机过程，所以在讨论它的渐近行为时，就出现了许 多与确定性动力系统的渐近行为不同的地方。x m a o 主要的工作是研究了时滞 随机微分方程解的随机渐近行为，对解过程的矩估计相对较少。在1 9 9 6 年，x l i a o $ 1 x m a o 合作，率先对随机时滞神经网络模型解的均方指数稳定性作了研 究( 1 7 】) 。我们在第四章中，在文( 3 6 的基础上，利用随机过程的性质私i t o 公 3 四川大学硕士学位论文 式，结合非负矩阵和微分不等式技巧，解决了时滞随机微分方程解的p 阶矩最 终有界性问题和全局吸引集问题，并在一个受自噪声干扰的神经网络模型中， 得到了具体的判断准则( 4 l 】) 。 网川大学硕士学位论文 第二章时滞微分方程的耗散性及其应用 滞后型微分方程解的渐近性态在工程控制和神经网络分析中有着十分显著 的作用，而在其渐近性分析中，稳定性和耗散性的研究尤为重要，因此人们对 它们的关注日趋深入，各种研究方法也层出不穷。比如用测度( 见 1 9 ，2 0 ，2 1 ) 、 拓扑度方法( 2 3 ) 及微分不等式技巧( 见 2 2 ， 2 4 ) 等研究其稳定性；采用常见 的l i a p u n o v 直接法研究其耗散性( 2 5 1 ) 等。 本章讨论了一类d i n i 导数给出的微分不等式的耗散特性，并利用 连续l i p s c h i t z 算子的测度，研究了滞后型微分方程的耗散性，应用于时 滞h o p f i e l d 神经网络时，获得了其一致耗散性及平衡点全局一致渐近稳定的 充分条件。 2 1 引言与预备知识 设c ( x ，y ) 表示拓扑空间x 到拓扑空间y 的连续映射的全体。特别地，我 们记g = g ( f - r ，o 】，r “) 。对于任意的x r “，a r “，| j xj j 表示r “中的范 数，n a n2 潞饼，记x ( t + s ) = 五( s ) e ，i i x t ( s ) | | r = 蜓s u 删p + s ) | l 口 考虑一般自治时滞方程： f 掣= f ( x ( t ) ) + g ( x ( t 【x t 。( s ) = 垂( s ) ， t 芝如， ( 2 1 1 ) 一下 0 ，使得对 5 四川大学硕士学位论文 于( 2 1 1 ) 的任意解x ( t ，t o ，中) ，都存在t ( t o ，垂) ，当t t 时，有i i x ( t ) l isb 。 特别地，当t 和t o ，垂无关时，称( 2 1 1 ) 为一致耗散系统。 定y 2 ，1 2 ( 18 ) 非线性l i p s c h i t z 算子f 的测度肛( f ) 按如下方式定义 舻) _ 瑚s u p l i r a + 坠铲， ( 2 1 2 ) 其c x r ”，| ii i 为r n 中任意范数。 对于( 2 1 2 ) 定义的非线性算子f 的测度，其实质是矩阵测度的一种推广。 特别的，当f 为线性时，肛( f ) 就是矩阵测度。不难验证f 的测度具有以下一些 常用的性质 1 p ( f + g ) u ( f ) + p ( g ) ； 2 一l ( f ) 一肛( f ) p ( f ) l ( f ) ； 3 u ( a f ) = a 芦( f ) ，a 0 - 4 肛( o ，+ f ) = 口+ 肛( f ) ，o r ，为恒等映射。 2 2 一般结果及讨论 对于如下一个微分不等式问题 j d + z ( 。) 喇( 。) + 缸( 。一丁) + r 。t o , ( 2 _ 2 i ) 【x t 0 ( s ) = z ( t o + s ) = 曲( s ) 0 ， 一7 _ s 0 ， 其c z ( t ) 垒x ( t ，t o ，) 为问题( 2 2 1 ) 过点( 亡0 ，) 的解。d + z ( t ) 表示z ( t ) 的d i n i 导 数。容易证明如下引理： b i 理2 2 1 设f c ( ( n ，b ，r ) ，9 e ( o ，6 ，r + ) 且d + ，0 ) 9 ( t ) ，贝0 ，( b ) f ( a ) + c 9 ( s ) d s 引理2 2 2 假设问题( 2 ，2 1 ) 满足条件 ( p i ) z ( ) 为连续非负函数：( 恳) 盘，b r ，且。 b 0 ，r 之0 。 6 一 四川大学硕士学位沦文 则对于c ( 【- o l ，r + ) ，问题( 2 2 1 ) 的解z ( t ) 必满足 。一l i m 。s u p ( 删k = 熹 ( 2 2 2 ) 证明不失一般性，假设r 0 。当c ( i 一7 ，o ，r + ) 时，必存在充分大 的m 0 ，使得s u p 毋( 5 ) = i i 面i i ， m k 。下证对于( 2 2 1 ) 的解z ( t ) 有 - r s _ o x ( t ) t o ，使得z ( 1 ) = m k ，当t o t t l 时，有z ( t ) m k 。用e 一。( h - t ) 乘( 2 2 1 ) 式两边可得 d + ( z ( z ) e 一。( 。1 一。) 曼6 - a ( t 1 - - t ) ( 6 。( 一丁) + r )( 2 2 4 ) 由引理l 及b ，r ，与z ( t ) 的非负性易知 x ( t 1 ) l | l l ，e 一。( x 一抽) + ( 6 2 0 一丁) + r ) e 一。( 。1 一。) d t d t o 0 ，必存在t t o ，对于任意 的t t ，都有 z ( t r ) 一k 曼盯+ e 盯 ( 2 2 7 ) 又因为a 0 ，于是对上述m k 平d s ，必存在充分大的t 0 ，使得 上( m k b + r ) e 1 s g ( 2 2 8 ) 结合( 2 2 7 ) 与( 2 2 8 ) ，类似( 2 2 5 ) 的证明知，t t + + t 时，有 z ( t ) 恻i ，e 一。( “。+r ( 6 z ( s 一丁) + r ) e d 。一s ) d s = i j 庐l i ，e 一。( 。一。+ ( b z ( s 一7 _ ) + r ) e 一。o 一5 d s + j t o + ( b z ( s 一7 _ ) + r ) e 一。o 一8 ) d s j t 丁 0 的假设，得a b ，与题设矛盾，故盯墨0 ，即( 2 2 2 ) 式成 立，证毕。 定理2 2 1 如果条件( h i ) ，( 凰) 成立，且一p ( f ) l 0 。n ( 2 1 1 ) 为 一8 四川大学硕士学位论文 一致耗散系统，且对( 2 1 1 ) 的任意解x ( t ) ，有。氅8 u pi i x ( t ) l l 亏两r 习，其 中肛( f ) 为算子f 的测度。 证明计算| | x ( t ) 1 | 的d i 俄导数得 d + i i x ( t ) l l ：l i ms u p 巡型芈型她 ：l i r a s u p ! l 茎塑垒! ( 至业二l i 垄( 剑! + _ 0 + n i l x ( t + h ) l i l i x ( t ) + f ( x ) 虬 一。 。 j 0 ， j = 1 ，扎； ( 2 ) 一p ( 一b ) 一l l w 7 + l i l 0 ，其中，+ = ( i 训玎1 ) 。，l = d i a g ( l 1 ，厶) 。 则有结论： 1 ) 系统( 2 3 ，2 ) 是一致耗散系统。 2 ) 若零是系统( 2 3 2 ) 的平衡点且尸= 0 ，则零点是全局一致渐近稳定的。 证明我们令f ( x ) = 一b x ，c ( x ( t 一7 - ) ) = w h ( x ( t r ) ) + p 。不难验 证，i i g ( x ( t r ) ) 1 | 墨i i w + l i ；l i x ( t t ) i l + i i p i i 。由定理( 2 2 1 ) ，结论成立，证 毕。 四川大学硕士学位论文 注2 3 1 定理( 2 3 1 ) 去掉了日有界( 文献( 2 0 】) 以及d + h o ( 文献 2 5 ) 的条 件，给出了判别神经网络模型耗散性和一致渐近稳定性的充分条件。文章中关 于测度的定义采用了尼。空间的任意范数，特别地我们容易得到文献【1 9 1 一【2 1 q a 的相关结论是将1 1 分别取为常用的i 范数、范数时的特殊场合。 2 4 实例分析 考虑系统 x = 一b x + w h ( x ( t 一7 ) ) + p 其中x ：( z ，z 。) 丁，日：出n 9 ( 1 ，1 ) ，w ：f ：1 ，日( x 。一r ) ) = ( 。( z ( t 一 丁) ) ，h 2 ( z ( t r ) ) ) 丁， ( r ，r ) t ，r 0 h i ( 。( t r ) ) = 掣，h 2 ( z ( t 一丁) ) = 划3 ，j p = 我们令f ( x ) = 一b x ，a ( x ( t 一7 ) ) = w h ( x ( t 一7 ) ) + p ，取r 2 中范数 为l i x | | = x 丁x = z i + z ；。经过简单计算知l 1 = l 2 = ；，p ( 一b ) = 一i ，l i p l i = 2 r 2 。容易验证l w t w l 一杀为负定阵，所以| j w 工xj j 2 = x 丁l r w l x o 时，此系统是一致耗散，且 西l ”刮， 掣、1 0 - 3 ，蛋g ( 一下，o ，r 2 ) ) 为系统的全局吸引集。 当r = o b c ，系统的平衡点( 零点) 为全局一致渐近稳定。 注2 4 1 文献 1 9 l ，【2 0 与文献 2 5 1 q a 的相关结论无法判断此例的稳定性与 耗散性。 四川大学硕士学位论文 第三章含连续分布时滞的神经网络的耗散性分析 神经网络模型具有良好的控制特性，在控制、图像处理和优化等领域有非 常广泛的使用价值。所以最近几十年，它引起了专家们的热切关注，同时也出 现了许多关于神经网络模型动力学行为( 没有考虑时滞的影n l g ) 的研究成果。但 是，众所周知，从实际应用的观点出发，无论是生物神经网络模型还是人工神 经网络模型，由于受信息传输的速度限制，必然出现时滞现象。具体来说，在 模拟神经网络的电子元件中，由于用作神经元的放大器的转换速度十分有限， 在交换反馈信息的过程中一定会产生反应状态滞后，因此，研究具有时滞的神 经网络模型的动力学行为，对设计出更高质量的神经网络模型显得尤为重要。 在实际应用中，尽管有限离散时滞的使用，能够为神经元数量较少的简单网络 提供较好的近似模拟，但是由于神经网络在空间范围的并行延伸，我们需要 种在不同途径上都具有时滞容量的模型。所以研究含连续分布时滞的神经网络 模型的动力学行为，就更加合适、更加重要。一般的意义下，人们对神经网络 模型的稳定性关注更多( 3 9 1 ) ，不过，耗散性也是动力学行为中一个非常重要 的内容，它在混沌、仿真、系统规范估计以及鲁棒控制等领域比稳定性有着更 广泛的应用。据作者所知，到目前为止，仅有有限离散时滞模型的耗散性方面 的结果( 文献【2 5 ，2 9 】) ，于是我们借助非负矩阵的相关知识( 3 4 ，3 5 ) 和微分不等 式技巧( 2 7 ，2 8 1 ) ，成功的解决了具有连续分布时滞的模型的耗散性和全局吸引 集问题，推广了前人的结论。 3 1 用到的记号、预备知识 本章中彤。、r 吉、c ，y 】等数学记号与第二章中的记号意义相同。 一1 2 一 四川大学硕士学位论文 现在我们考虑如下的具有连续分布时滞的神经网络模型 l血( t ) = 卢i x i ( t ) + 1o 巧疗( 码) + 朵lb 。一t 。k q ( t s ) 毋( 巧( 5 ) ) d s + 只( t ) ，20 ( 3 1 1 ) l 甄( t ) = 毋。( ) ，一o o o 为第i 个神经元处在没有 获得外部输入或者没有和其他神经元关联的独立状态下时，凝聚能量的速 率。f 代表在i ，j ：位置处的神经元被激活后的不易控制程度。初始函数晚 e l ( 一。o ，o ，r “】( i = 1 ，几) 为有界函数。时滞核函数尬，是定义在 o ，) 上的 实值非负连续函数，满足f k ，( 8 ) d s = 1 。矗，g j 和只均为连续函数。 显然，上述微分动力系统是神经网络模型的一个基本框架。例如， 当甄 是6 一函数时，( 3 1 1 ) e p 成为参考文献( 2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 8 ，2 9 中所研究的模型； 如果对i ，j = 1 ，n ，我们令b i j = 0 ，则得到常见的h o p f i e l d 神经网络模型： 当只为常数时，我们则得到文献 3 0 中的系统。 为了叙述方便，我们将( 3 1 1 ) 重新写做如下的向量形式： 移一鼎+ a f ( z ) + c o k 以叫) 出( s ) ) d 5 + p ( 巩晓o ( 3 l 固 【x o ( s ) = ( s ) ， s 0 ， 其d p x ( t ) = c o l z l ( # ) ，x n ( ) ) ，p= d i a g x 1 ，踟) ，f ( z ) = c d f ( z - ) ， ( z 。) ，g ( x ) = c o l g ( z ) ，- ，肌( z 。) ) ，p ( t ) = c o t ( p 1 ( t ) ，p n ( t ) ，a = ( a i j ) 。娲( ) = ( 6 t j 蚝( ) ) 。我们 记正t ( s ) = x ( t + s ) ，一。o b ) ，是 指a 和日的对应位置上的元素满足”( ” ”) 关系。特别的，当a 之0 时，a 被 四川大学硕士学位论文 称为非负矩阵。 我们记g 为所有妒g ( 一0 0 ，o ，口】构成的集合，其中每个妒( s ) = c d f 庐，( s ) ，咖。( 5 ) ) ，且满足s u p ( 5 ) i 总有有限上界。对于每个z 兄“，我们定义旧+ = c o l l z , l ，i z 。1 ) 。对于( s ) c ，我们记 砂( s ) 】兰= c o z l l ，( s ) l l 。，一，i i 。( s ) l l 。) ，其中i l a ( s ) 1 1 。= s u p 1 a ( s ) l 。 下面，我们给出和参考文献 2 6 ，2 4 ，2 5 ，2 9 中相同的关于神经网络的一些定 义： 定义3 1 1 我们称集合scc 为系统( 3 1 2 ) 的正不变集，如果对任意的初始 值妒s ，系统( 3 1 2 ) 的解满足盈( 5 ，0 ，) s ，v t 三0 ，一。 0 ， 使得对于任意的初始值c ，都存在一个时刻丁( o ，) ，当t t ( o ，) 时，系 统( 3 1 2 ) 的解z ( t ，0 ，) 满足陋( t ，o ，) + l 。此时，集合q = c ( s ) 毛 三 被称为系统( 3 i 2 ) 的全局吸引集。 在我们详细讨论系统( 3 1 2 ) 的渐近特性之前，我们先介绍如下两个引理： 引理3 1 1 ( 3 4 ) 如果矩阵m 满足m o 和p ( m ) 0 和矩阵卢= d i a g 卢, ，风) ，其中岛 0 ，使得对任意的z 毋 【， ) + 墨q z + ，【g ( z ) + 卢p + ( a 2 ) p ( m ) 1 ，当 剜之 y l ，系统的 解x ( t ) 满足 陋( t ) 】+ 0 ，使得 观( t 1 ) l = 7 l i ， z i ( t ) i 7 l i 对于0 曼t t 1 ( 3 2 3 ) 同时 k ( t ) + 7 l ， 对于0 s t t 1 ( 3 2 4 ) 其中厶是向量l 第i 个分量。 注意到l = ( 一m ) 一r ，即l = l m + r 。所以，由( 3 1 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 式， 我们有下面的估计： s d + 、) 、j s ，l z ，i， a 曲 一 一 5 “ ， “ 一 一 e ，儿 + + 西 “ 一 e + 、) 10 z 四川大学硕士学位沦文 十z “e 叫( c l q i k o l s 叫( z ) 】+ d 口+ p ( 驯+ ) d s e 一彬1 纠毛+ e - m 。t 一5 ( 以+ q 陋( 5 ) + ) d s + z 0 he - m h - s ) i k o l s 一日) 】+ ( 口扛( 口) 】+ ) d p + 【p 。) 】+ ) d s e 一山1 【纠盏+ ( ，一e - - ”t 1 ) 阻一1 ( a + o + b + z ) t l + 宜】 e - # 1 1 7 l + ( ，一e - - # t 1 ) ( m t l + r ) 0 ， 使得系统( 3 1 2 ) f l 解z ( t ) 满足： 。( t ) + 0 ，使得眵( t ) 基 0 ，使得 甄( t 2 ) i = f l i ，l z 。( t ) i f l i 对于0 t t 2 ， ( 3 2 7 ) i 6 一 四川大学硕士学位论文 且 陋( ) 】+ r l ，对于0 t t 2 结合( 3 1 2 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 9 及l = l m4 - r ，我们可得 ( 3 2 8 ) 陋( 2 ) 】+ e - - # t 2 纠毒4 - e 一“( ：一5 f a ，( z ( s ) ) + d s j 0 r t 2r s + e - uc t 2 - s ) ( 【( s 一0 ) 1 + g ( z ( 目) ) 】+ d o + p o ) + d s r t 2 e - “2 】毛+ e - u ( 。一8 ( a + q 陋( s ) + ) d s j 0 + 厂2e 一“( c 2 一s 8 k 。( s 一日) + ( 口陋( 目) + ) d 口+ 【p ( t ) 1 + ) d s j 0j 一。o e l u t 2 妒】三+ ( ，一e 一叫2 ) 一1 ( a + o l + b + 5 ) r l4 - t = 1 】 e - # t 2 f l4 - ( i e - 1 1 t 2 ) ( m p l + 兄) 0 ，j = l ，m 。 根据上确界极限的定义和( 3 2 1 2 ) 式，对于任意小的正数e 0 ，存在t 3 0 ，使得 陋( t ) 】+ l + 盯+ e ， 对于t t a ( 3 2 1 3 ) 其中e ：c o l e ，) 。同时，由于铲k i j d s = 1 ( i ，j = 1 ，n ) ，则对于上 述( 3 2 6 ) 中的e 和1 1 三，必存在t 0 ，使得对于姚 t ， j r ”硒( t ) p f l d t e j 丁 当t t 垒t 3 + ? ，结合( 3 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) 及( 3 ，2 1 4 ) 式，我们容易得到 ( 3 2 1 4 ) d + 陋( ) 】+ + p 陋( t ) 】十a + ，( z ( ) ) + + 2 岛p s ) b p ( s ) ) 】+ d s + p ( ) + p t - t = a + 【，( z ( t ) ) 】+ + k o ( t s ) b ( s ) ) 】+ d s + j 一 ， + k o ( t s ) b ( s ) ) 】+ d s + p ( 亡) 】+ ，一丁 ，+ 。 s 4 + ， ) ) 】+ + 甄( s ) f l f l d s + ，丁 一 +k o ( t s ) p ( l + 盯+ e ) d s + p 0 ) 1 + j t - t a + ( 陋( 砷】+ ) + e + 日+ f l ( l + o - + e ) + f p ( ) + ( 3 2 1 5 ) 这里d + k ( ) j + 表示正向量p ( 圳+ 的d j n i 导数。 我们将( 3 2 1 5 ) 式左右两边同时乘上因子e p ( “) ，然后同时从矿到积分， 那么可以得到： k ( ) + se p “一+ p ( ) 士+ ( ，一8 一”一) 陋一1 a + d ( + 矿+ ) 】 四川大学硕士学位论文 +( ，一e - - p , ( 一) 阻一1 b + b ( l + 口+ e ) + r + f t - x e 】 ( 3 2 1 6 ) 因为m = p - 1 a 十q + # - z b + p ，所以由( 3 2 6 ) 及( 3 2 1 6 ) 可得 陆( t ) 】+ e - g ( 卜。) f l + ( ，一e - , u ( “r ) 彳l + m c 】 +( ，一e - u ( 一。) ( 且彳盯+ r + # - z ) ( 3 2 1 7 ) 由上确界极限的定义和( 3 2 1 2 ) 式，存在点列“一+ o o ，使得 “粤。) 】+ = l + a ( 3 2 1 8 ) 在( 3 2 1 7 ) 式中，我们令t = “一。，e - - - - - + 0 + 。那么，由三= ( i m ) _ 1 r 和( 3 2 1 8 ) 式，我i f 3 - - 1 d a 得到 口 m d 再令子= c o l a 。，盯；。) ，于是( 3 2 1 9 ) 式说明 子 m 子 ( 3 2 1 9 ) ( 3 2 2 0 ) 其中m 是矩阵m 的对应于正向量子的 z 阶的主子矩阵，目o m = ( m i “。) ，j ，u = 1 ，一，m 。 由引n ( 3 1 1 ) ，我们可以得到p ( m ) 1 。再根据引理( 3 1 2 ) ，我们容易知 道p ( m ) 1 ，显然与( a 2 ) 中的已知条件p ( m ) o 仁o ) ，同时存在正常数，使得知= s u p 掣，其中暗含条 件( a 1 ) h f 7 。显然，文献1 3 1 3 q u 的定理( 4 ) 是本文推论的一个特殊情况。 3 3 实例 我们考虑如下一个神经网络模型： 根据模型( 3 3 1 ) 式，我们很容易计算出p ：d i a g f 2 ，2 ，a ： 出n 夕 j ，j ) ，b = 疵叩 ；，；) 。时滞核函数( s ) = 翮2 ( i ，j = 1 ，2 ) 满 足铲k 1 f 3 ( s ) d s = 1 。同时，i 酗f l ( x 1 ) = s i n x l ，2 ( z 2 ) = s i n x 2 ，g l ( 。1 ) ： i x l l ，9 2 ( x 2 ) = i x 2 l ，所以条件( a 1 ) 满足。另外p ( t ) = c o l rc o s t ，rs i n t ，我们 可以得到r = c o l 1 r l ，j 川) 。通过计算，p ( m ) = i 1 1 ，所以( a 2 ) 成立。 利用定理( 3 2 2 ) ，当r 0 ，系统( 3 3 1 ) 式是一个耗散系统并且集合q = ( ( z ，x 2 ) | | x l i ，i x 2 isi r l ( 3 3 1 ) 的全局吸引集。 当r = 0 ，根据推论，系统( 3 3 1 ) 的平衡点z + = c o l o ，o 是全局渐近稳定 的。 注3 r 3 1 在这个实际例子中，当r 0 时，由于连续分布时滞的存在，我们 用文献 2 6 ，2 4 】、【2 8 ，2 5 ，2 9 】中得到的结果无法解决其全局吸引集问题： 当r = 0 时，模型( 3 3 1 ) 中的时滞核函数甄 不具备文献 3 0 】中要求的这样 个性质：铲s 磁j ( s ) d s ，所以文献 3 0 的结论无法应用于此例。 3 4 小结 在本节中，我们研究了具有连续分布时滞的神经网络模型的耗散性和全局 一2 0 咖 巾一 四| 1 大学硕士学位论文 吸引集。这种网络模型是现在实际应用中的