（应用数学专业论文）具时滞和holling功能性反应的捕食食饵系统的稳定性及hopf分支.pdf

摘要 本文以滞量为参数，研究了一类具时滞和h o l l i n g 型功能性反应函数 的捕食一被捕食系统正平衡点的稳定性和h o p f 分支我们发现对于滞量 7 - ，系统存在稳定性开关，即当r 变化经过某些值时，系统的正平衡点的 稳定性发生变化，也就是从渐近稳定到不稳定，再到渐近稳定，经过有限 次这样的循环，最后进入不稳定状态这些r 值是系统的g o p f 分支值 我们还用中心流形和规范形理论，给出了在第一个分支点处的h o p f 分 支方向，分支周期解的稳定性的计算公式且利用m a t h e m a t i c a 进行了数 值模拟计算，最后用m a t l a b 绘出了系统在正平衡点附近的某些相图 关键词h o l l i n g 型功能性反应函数捕食一被捕食系统，时滞，h o p f 分支稳定性 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e ss t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o no fp o s i t i v ee q u i l i b r i u mi n ap r e d a t o r p r e ym o d e lw i t had e l a ya n dh o u i n gt y p ef u n c t i o n a lr e s p o n s e f u n c t i o n ，w h e r eti sp a r a m e t e r w ef i n dt h a tf o rd e l a yt ，s y s t e me x i s t ss t a - b i l i t ys w i t c h ，t h a ti s ，w h e ntu n d e r g o e ss o m ev a l u e s ，t h es t a b i l i t yo fp o s i t i v e e q i l i b r i u ma l t e r s ，f r o ma s y m p t o t i c a l l ys t a b l et ou n s t a b l e ，t h e nt oa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e t h e s eta r eh o p f b i f u r c a t i o nv a l u e so ft h es y s t e m w ee x h i b i t c a l c u l a t i n gf o r m u l a a b o u td i r e c t i o no fh o p fb i f u r c a t i o na n dt h eb i f u r c a t i o n p e r i o d i cs o l u t i o n si nt h ef i r s tb i f u r c a t e dt oa n d s oo nw i t hn o r mf o r m t h e o r y a n dc e n t e rm a i n f o l dt h e o r e m ，f u r t h e r m o r e ，w ec a r r yo u tn u m e r i c a ls i m u l a t e d c o m p u t i o nw i t hm a t h e m a t i c a f i n a l l y ，t h ec h a r t i n ga r ep e r f o r m e d w i t hm a t l a b k e y w o r d s ：p r e d a t o r p r e ys y s t e m ，h o l l i n gt y p ef l m c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n 】 t i m e d e l a y , h o p fb i f u r c a t i o n ，s t a b i l i t y n 1 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师 范大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 签名：耋p 翌 日期：迎! 宣垒盆 j 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论 文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名 日 期：型三爱i 自 日期：勉丛i 刀 5 1 引言 1 9 2 6 年，v o l t e r r a 最先提出了由捕食者和食饵所构成的两种群相互 作用的数学模型，这就是著名的l o t k e v o l t e r r a 模型： d z 三。a 。l z x ，- b d l x 。，y c ， 其中，z 表示t 时刻食饵种群的规模，y 表示t 时刻捕食者种群的规模，且 a l ，6 - ，c 1 ，d l 均为非负常数然而，模型中捕食者对食饵的功能性反应函数 忽略了消化饱和因素，这与实际情况是不完全符合的 1 9 6 5 年，h o l l i n g 在试验的基础上，对不同类型的物种，提出了三种不同的功能性反应函数 西( z ) 分别是： ， 西( z ) = ：z o z n i i i ( z ) = 禹 适用于无脊椎动物 m ) = 禹 适用于脊椎动物 其图形分别是 由图可见，h o l l i n g 型功能性反应函数充分考虑了捕食者种群功能性 反应对食饵种群规模的饱和因素 于是，在v o l t e r r a 模型( 1 1 ) 的基础上，考虑到h o l l i n g 型功能性反 应函数以及食饵种群的增长具密度制约，j s u g i e 和k a t a y a m a l 9 9 9 年研 究了如下系统 卜一z ：。二_ j _ x 而x p y ( 1 2 ) k ”( 笔。 u 。纠 其中，茁和y 是系统( 1 1 ) 中的食饵种群规模和捕食种群规模 上述”，耳，肛，d ，吼p 都是正的参数函数i j 丽；r 表示捕食者对食饵的功能 性反应当ps1 时，此函数是h o l l i n g i i 型功能性反应函数，当p 1 时，它是h o l l i n g i h 型功能性反应函数；当p 1 时，h o l l i n g 型功能性 反应函数严格递增有上界且上凸，当p 1 时函数有一个拐点，即反应函 j s u g i e 和k a t a y a m a 于1 9 9 9 年在f 1 】中给出了系统( 1 2 ) 的正平衡点 全局渐近稳定的充分必要条件是： d 一一2 ) 肛) ( p d 一一1 ) 肛) k ， 其中是系统( 1 2 ) 的正平衡点的横坐标；而当( p d 一0 2 ) p ) 0 令平衡点为( z + ，g + ) ，则它满足 哦c 珊e 唇，芳唇”肇n 郛叫 时，系统存在唯一的正平衡点 。 y+= 为书写方便起见，以下用x 表示z ( t ) ，用y 表示( ) 令童= z x + ，雪= y y + ，用z ，y 代替圣，口，则( 2 1 ) 化为 x= = + 印d z ( + 石+ p ) r a p ( p 一1 ) 卢【一 2 ( a - i - p 1 3 4 】z 2 0 + y + ) + 。2 ( 可+ y + ) ( 2 2 ) 立一n 箸沪 壁一 彤 以 筚磊 毗型 警 慧甲 + 分 严鲫高卅 矿护 其线性部分为 ) z 一罢v 去z z ( t 一丁) ( 2 3 ) ( 2 3 ) 的行祉方程为： n 罟芸( ，一品) a + 舻n + 而a p d 。巧旷罢扎 代入平衡点的条件，特征方程为： a 2 一r ( i - 要) 【1 一p ( 1 一鲁) 】a + k x * a e - 打+ 罢p r ( 1 一；) ( “d ) = o ( 2 4 ) 方程( 2 4 ) 是一个超越方程，为了讨论其根的分布情况，我们需要引 入c o o k e 在文f 3 1 中的工作考虑超越方程： a 2 + a a + b a e 一7 3 + e = 0 ( 2 5 ) 其中a 0 ，b 芝。且o + b 0 ，e 0 ，7 - 0 ，c o o k e 在文【3 】3 中详细讨论了方 程( 2 5 ) 的根在系数满足a b 芝0 ；0s 蹦 啬 ( 2 6 ) 函：p ( 1 - 知一丢) l ( j 7 ) i p 一卫 e o+圹 一。一勺务丽 d p 一矿 则( 2 4 ) 当7 _ = r n 1 ，7 - = h 2 时有唯一一对简单纯虚根，分别是- + - i w o 1 ，士i w o 2 其中 1 ：堕型( 竹：o ，1 ，2 ，) 2 ：( 0 2 _ + 2 一n r ) ( n ：o ，1 ，2 ，) w 0 1w 0 2 ( 2 8 ) w 0 1 = w o2= 口。= c 。s 一， ( 等一1 ) 【1 一p ( 1 一罢) 】) 口。= c 。s 一1 ( 箬一1 ) 【l p ( 1 一鲁) 】) 引理2 2 设a ( r ) = o ( 7 _ ) + 泐( r ) 为方程( 2 4 ) 满足n ( h i ) = 0 ，u ( h 。) = u o i ( i = 1 ，2 ) ( n = 0 ，1 ，2 ，) 的根，其中t n i 由( 2 8 ) 定义，那么 掣h ，刈d a 丁( t ) i ，一： 0 并使p - ) p 2 ) 成立，那么存在一 个整数，使0 t 0 1 t o 2 nl n2 t n “1 t n 一12 0 满足( p 1 ) ( p 2 ) ， 使( i ) 成立 引理2 4 对方程( 2 4 ) ，当r 【0 ，1 ) 时，其所有根都具严格负实部；当下= t o t 时，( 2 4 ) 除+ i w o t 外的其它根都具严格负实部；当丁( r n ，t n2 ) n = 1 ，2 ，一1 时，( 2 4 ) 有2 个具严格正实部的根，当7 _ l ( ；z ，+ 1 1 ) 扎= 6 o 0 n o 矿 巩 如 ， 那么对任意的7 - 0 方程( 2 4 ) 的所有根都有严格负实部 由引理( 2 1 ) 一( 2 5 ) 及f 6 】中第9 章的定理2 4 及其推论和第1 1 章的 定理1 1 可得 定理2 1 对于系统( 2 2 ) 有下面的结论成立； ( i )如果条件( p 3 ) 成立，那么对任意7 i 0 ，系统( 2 2 ) 的零解是渐 近稳定的 ( i i ) 如果条件( p t ) ( p 2 ) 成立，那么系统( 2 2 ) 出现稳定性开关：随着 7 一从0 变化到t n 1 ，系统( 2 2 ) 的零解从稳定到不稳定又到稳定转换次， 当r t n l 时系统( 2 2 ) 的零解不稳定 ( i i i ) 7 _ = 7 n i ( r t = 1 ，2 ，n ，i = 1 ，2 ) 是其h o p f 分支值，其中靠。由 ( 2 8 ) 定义 7 3 h o p f 分支方向及分支周期解的稳定性 本节我们将用( 5 】中介绍的规范型方法给出系统( 2 2 ) 在t o l 处的 h o p f 分支方向，分支周期解的稳定性等的计算公式 为方便，令t = s 7 _ ，x ( s v ) = x l ( s ) ，y ( s t ) = x 2 ( 8 ) ，在( p 1 ) ( p 2 ) 条件下， 用而和u o 分别表示t 0 1 和w 0 1 ，t 0 1 由( 2 8 ) 定义，7 _ = t o + bb r ，且 仍记= s ，则( 2 2 ) 等价于系统 = ( r o + b ) 喏( 1 一南) 酬一知沪耳r 九小叫 一去删：m 叫一南罟翻酬 一ap(p-1)z*p-2(a_+z*p式)f-2ap2x2p一-2zl(t)2p2(t)+可+)2(a + x * p 1 3 ”“”。 = ( t o + b ) ：；南+ 茁1 ( t ) + i i k a 厕p d z - ( t ) z 2 ( t ) + p 【竺丛旦二兰：；鲁辜芝：；型】z ：o ) ( z 。( + v + ) + ) 臀东：黧d y * 1 a 南咖x m , p _ ) m ) h = 8 知州) 】 ( 3 2 ) 南一 一 ，i f ，“p卜 1 2矿，一j 一 净! 一 书删卅一州 愀群丽嚣 记c 一1 ，0 】= 咖i ： - 1 ，0 _ r 2 ，| j i 的每个分量k 次连续可微 ) 为方便，记c 【- 1 ，0 为c o 卜1 ，o ，在g 【- 1 ，0 】上定义算子族l b ，对 l b 西= b t i 5 ( 0 ) + c 咖( 一1 ) 肚；薪+ 泞) h ( b ，曲) = e = ( 3 r 0 + 一蚤矿：) ( t o + b ) 【( 一去) - ( 。) ，( 一1 ) 一南詈咖- ( 。) 。( 。) + 。】 (而+6)羔-帅)椰)- +肛生坚里二l_*p-i。a_=耳*p2a幽2x*2p-2曲l(o)2(2(o)+)2( p a + z + p ) 3 甲1 、”、甲2 、。9 于是，由r i e s z 表示定理，存在分量为有界变差函数的二阶矩阵 印( 口，b ) ： _ 1 ，0 】_ r 2 2 使对任意毋c - 1 ，0 】有 l 6 l j l = a 町( e ，6 ) ( 口) 事实上，只要取 柙= 旧墓毗 即可 警_ 1 口 o ， 0 r ， ( 3 3 ) 虮6 ) 荆0 = 0 9 更rj、【 定 = 一 o 钺 g 砂对 ； 和 耻 ( ：纠。器p ( 3 a ) 于是可把( 3 1 ) 写成如下形式 玩= a ( b ) u t + r u , 其中u = ( z l ，x 2 ) 7 对q c 1 【0 ，1 ，定义 ( a + o ) ( s ) = d a ( s ) d s 0 f d t ? t ( ，o ) 。( 一1 0 8 0 和上面的数值计算结果，在这组数据下，相应的p 2 0 ，( 3 1 ) 在7 o 处的h o p f 分支周期解不稳定 基于以上数据，我们用m a t l a b 分别给出了( 口) ( 6 ) 图我们取7 - = 8 9 1 ， 相应的初值x ( t ) = 5 ，y ( t ) = 5 以下各图支持了我们的理论分析的正确性 1 8 ( m ) q cb ) 参考文献 j s u g i ea n dk a t a y a m a ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f a p r e d a t o r p r e ys y s t e mo fh o l l i n gt y p e n o n l i n e a ra n a l 3 8 ，1 0 5 1 2 11 9 9 9 j s u g i e ，u n i q u e n e s so f l i m i tc y c l e si nap r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hh o l l i n g t y p ef u n c t i o n a lr e s p o n s e ，a p p l m a t hv 0 1 3 5 7 7 5 9 0 ，2 0 0 0 9 k c o o k e ，z g r o s s m a n ，d i s c r e t ed e l a y , d i s t r i b u t e dd e l a y a n d s t a b l i t y s w i t c h e s ，j m a t h a n a l a p p l 8 6 ( 1 9 8 2 ) 5 9 2 6 2 7 b h a s s a r d ，n k a z a r i n o f fa n dy h w a n ，t h e o r y o fa p p l i c a t i o n so fh o p f b i f u r c a t i o n ，l o n d o nm a t h ，s o c l e c t n o t e ss e r i e s ，4 1 c a m b r i d g e ，u n i v p e r s s