（应用数学专业论文）具有年龄结构随机种群系统的最优脉冲控制.pdf

弓。夏，j 学硕f 。化论乏摘耍 摘要 随机种群系统的最优脉冲控制是数学界及生物界的热门课题，由于这种控制能更好的描述种 群系统的实际情况，因而引起了j “泛关注 在种群系统中，由丁迁移、地震、水灾及瞬时瘟疫等使得种群系统的密度很容易发生突变 因此对于具有年龄结构随机种群系统的最优脉冲控制的研究变得很重要本文研究了具有年龄 结构随机种群系统及带有p o i s s o n 跳的年龄结构随机种群系统的最优脉冲控制主要工作如下： 1 对于具有年龄结构随机种群系统模型，讨论了随机种群系统p ( t ，v ) 是m a r k o v f e l l e r 过 程通过构造罚金函数，利用压缩映像原理、半群理论及迭代过程讨论了其最优停时利用变分 不等式、肺公式、c a u c h y - s c h w a r z 不等式及b u r k h o l d e r d a v i s - g u n d y 不等式得出了随机种 群系统的最优脉冲解 2 对于带有p o i s s o n 跳的年龄结构随机种群系统模型，利用随机积分、脉冲控制理论及 l e b e s g u e 控制收敛定理讨论了其最优脉冲控制的存在性而且在死亡率满足某一条件下，利用 随机微分方程理论给出了其最优回报函数的显式 关键词：最优脉冲控制；随机种群系统方程；p s 半群；广义肺一公式 宁夏人学硕f 学f t 论文 b s tf a c t _ i u i i 一 a b s t r a c t s t o c h a s t i cp o p u l m i o ns y s t e m so p t i m a li m p u l s ec o n t r o l i saf o c u so fm a t h e m a t i c sa n d b i o l o g y , f o ri tc o u l db eb e r e rt od e s c r i b ep o p u l a t i o ns y s t e m sa c t u a lp r o b l e m ，a n dt h e m o d e li sw i d e l yp a i da t t e n t i o nt o i np o p u l a t i o nd y n a m i c s ，p o p u l a t i o nd e n s i t yi s v e r ye a s i l yb r e a k e db e c a u s eo f e m i g r a t i o n ，e a r t h q u a k e ，d i s a s t e r sa n di n s t a n t a n e o u sm u r r a i n t h e r e f o r e ，i n v e s t i g a t i n gt h e o p t i m a li m p u l s ec o n t r o lo fs t o c h a s t i ca g e s t r u c t u r e dp o p u l a t i o ns y s t e mb e c o m e sv e r y i m p o r t a n t i nt h i sp a p e r , t h eo p t i m a li m p u l s ec o n t r o lo fs t o c h a s t i ca g e - s t r u c t u r e d p o p u l a t i o ns y s t e ma n ds t o c h a s t i ca g e s t r u c t u r e dp o p u l a t i o ns y s t e mw i t hp o i s s o nj u m pi s s t u d i e d t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 f o rs t o c h a s t i ca g e s t r u c t u r e dp o p u l a t i o ns y s t e m ，s t o c h a s t i cp o p u l a t i o ns y s t e m p ( t ，v ) i sm a r k o v - f e l l e rp r o c e s sb ei n v e s t i g a t e d b yc o n s t r u c i n gp e n a l i z e df u n c t i o n ，a n d u s i n gc o n t r a c t i o nm a p p i n g , s e m i g r o u pt h e o r e t i c sa n di t e r a t i o np r o c e s s ，t h eo p t i m a l s t o p p i n gi sd i s c u s s e d w ea l s og e tt h eo p t i m a li m p u l s es o l u t i o no fs t o c h a s t i cp o p u l a t i o n s y s t e mb yu t i l i z i n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , i t 6 - f o r m u l a c a u c h y - s c h w a r zi n e q u a l i t ya n d b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d yi n e q u a l i t y 2 f o rs t o c h a s t i ca g e - s t r u c t u r e dp o p u l a t i o ns y s t e mw i t hp o i s s o nj u m p s ，w ed i s c u s st h e o p t i m a li m p u l s ec o n t r o l se x i s t e n c eb ys t o c h a s t i cc a l c u l u s ，t h ei m p u l s ec o n t r o lt h e o r ya n d l e b e s g u ec o n t r o lc o n v e r g e n c et h e o r e m m o r e o v e r , w ed e r i v ei t se x p l i c i tf o r mo ft h e o p t i m a lr e t u r n f u n c t i o n u s i n g s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h e o r e t i c su n d e rt h e m o r t a l i t y sc e r t a i na s s u m p t i o n s k e y w o r d s ：o p t i m a l i m p u l s ec o n t r o l ；s t o c h a s t i cp o p u l a t i o ns y s t e m e q u a t i o n ； p s s e m i g r o u p ；t h eg e n e r a l i z e di t 6 - - f o r m u l a i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：f 刃绥幻哩间： 堋年6 月汨 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发 表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：f 刁废锔 时间：m 年月2 ，日 导师签名：7 友毒扯时间：厶叼e 年月尹日 宁夏夫学硕f 学伊论迂 第一审绪论 第一章绪论 本章综述了具有年龄结构随机种群系统最优控制相关背景及主要成果，以及有关种群 系统最优脉冲控制的发展背景 1 1 种群系统最优控制的理论背景及发展概况 种群生态学主要研究种群内各个个体之间、它们与其它种群个体之间以及它们与周围环 境中的生物与非生物因素之间的相互关系从n i c h o l s o n 的“动物种群的平衡”开始，到英 国l a c k 发表的“动物数量的自然调节”，澳大利弧a n d r e w a r t h 的“动物分布与密度”种群 生态学得到了进一步的发展七十年代以来出版了一批种群生态学专著，如加拿大 k r e b s ( 1 9 8 1 ) 的教科书，m a y ( 1 9 7 4 ：1 9 8 1 ) 等应用数学模型方法进行理论研究，均取得了很大 的进展t i l m a n 等( 1 9 9 9 ) 的“空间生态学、空间在种群动态和相互作用中的作用”把种 群生态学引入了一个新的领域空间种群动态研究是当今生态学研究的一个前沿领域研 究动物种群数量及其变动，无论从实践上还是理论上讲，都是一个极其重要的问题 人类开发利用种群资源经历了“开发不足，加速增长，过度开发和资源管理”四个阶段， 在管理开发中，应该将生态效益和经济效益作为开发原则，让种群资源在给人类带来财富的 同时应该加以科学的管理种群资源，使得种群资源在保持可持续发展的同时能为人类开发利 用获得种群系统的可持续发展是我们每个人的心愿，建立数学模型去研究种群系统的持续 发展和资源的合理利用等问题已经引起了许多科学家的注意，这些问题都离不开人为的控制 近二十年来，种群资源最优开发及管理问题一直是一个十分活跃的研究领域，许多学者就不 同的具体问题从不同的侧面进行了大量的研究工作 由于全球生态环境的恶化趋势愈来愈严重，引起人们对种群生长对其生存环境依赖性 的重视，吸引了一些生态学者和数学工作者对其进行研究然而多年来许多学者的研究结 果是确定性种群系统模型即没有考虑随机因素对系统的影响目前由于生物增长经常受到 自然环境等诸多因素的影响，外界环境对种群的增长产生了很重要的影响，这样系统解的性 质就会发生变化因此，随机扰动的种群发展模型更具有实际意义嘧1 但是，对于具有随机 种群系统的研究目前尚不多见，尤其是与年龄有关的种群随机系统的最优却更少近二十年 来，随机微分方程数值计算方法不仅作为数学中随机分析、微分方程和数值分析的交叉研 l 宁夏人学硕卜学化论史筇一帝绪论 究方向得剑高度重视和发展，而且在自然科学的其它学科以及：l 二程、金融等领域中得到了广 泛的应用b 3 目前，国内外对关丁种群系统的研究有以下三方面： 一、对于确定的种群系统的研究，多年来国内外学者从不同的形式探讨了模型解的存在 性、唯一性、稳定性和最优控制问题n 4 - 9 尤其对年龄相关的扩散种群系统最优控制的讨 论的文献很多h e n s o na n dc u s h i n g 研究了带有年龄结构种群系统在内部竞争或捕获州 a 1 l e na n dt h r a s h e r 考虑了带有年龄结构种群接种适应性变化w e b b 对离散或连续的带 有年龄结构的种群模型提供了全面的理论基础“引关于确定种群系统解的存在唯一性及最 优控制目前有了比较完善的结果但把外界环境对系统的扰动考虑到模型中去更符合实际 意义 二、随机种群系统模型的研究近年来，由于生态环境的突然变化，随机种群系统模型 更是引起了人们的极人兴趣但对随机种群模型的研究却比较少m a o 在文献 2 讨论了随 机种群系统解的爆破和有界性z h a n g 不考虑空间扩散因素的影响，给出了年龄有关的随机 种群动态模型，根据k l m o g o r o u 不等式和b a r k h o l d e r - d a v i s - g u n d y 引理对模型解的存在唯一 性和稳定性进行了讨论副z h a n g 给出了一类年龄相关的人口随机发展系统的指数稳定的充 分条件引另外，l i 对年龄相关的时滞随机种群系统的稳定性进行了讨论副，p o l l a r ，b l o c k a n da l l e n 用l e s l i e 矩阵研究了带随机项的离散种群模型n 引 1 z h a n gq i - m i n ，l i u w e n - a na n dn i ez a n - k a n 在文献 1 8 中研究了随机带有年龄结构种群系统解的存在性，唯 一性及指数稳定性李健全，陈任昭在文献 1 9 中研究了时变种群扩散系统最优生育率控制 的非线性问题上述文献都假设环境随机扰动项含b r o w n 运动 三、年龄相关的随机种群系统的研究目前对年龄相关的种群随机系统数值解做了一些 研究z h a n g 和l i 分别在文献 2 0 和 2 1 中，根据i t o 公式b a r k h o l d e r - d a v i s - g u n d y 不等式， 采用时间导数的一阶差分方法对与年龄相关的随机种群系统的数值解进行了讨论，并通过 算例对数值解的收敛性进行验证p a n g 在文献 2 2 研究了与年龄相关的随机种群系统的数 值解指数稳定性z h a n g 把空间扩散考虑到随机模型中，对年龄相关的种群扩散随机系统模 型的数值解进行了研究心3 1 l i 假设当外界随机环境对系统的扰动同时含b r o w n 运动 p o i s s o n 跳的时候，讨论了不带扩散的年龄相关的随机种群系统的数值解幢劓以上文献只 对年龄结构随机种群系统的数值解做了多方面的研究，而对于年龄结构随机种群系统的最优 控制研究目前较少 一般说来，种群的生理行为以及人类的干扰行为显然不是连续的，而是离散的但如果 它们发生的时间在所处的系统中分布比较平均，则看作是连续行为有一定的合理性，并且有 利于人们对数学模型的分析和研究但近年来，人们发现许多生物现象的发生以及人类对一 些生物现象的优化控制并非是_ 个简单的连续过程所能准确描述的，也不能完全用微分方程 或差分方程来处理，如：对在进行鱼类池塘养殖的过程中，放养鱼苗和收获都是在一定时间 2 宁夏人学硕 ：学位论文第一章绪论 间隔定期进行的还有自然界的有些物种并非一年四季都进行繁殖，而是集中在一个季节中 的某个时间进行生育，另外还有一些动物的迁徙活动也不是连续进行的，如：一些鱼类的季 节性洄游，候鸟的迁徙等，这些行为发生的时间相对于整个生态系统的发展过程来说比较短 暂，可以近似的看成瞬时行为，但是这些瞬时行为却会导致种群数量的突变如：投放鱼苗 后，小鱼数量急剧增多，而在收获后，大鱼数量明显下降如果用连续系统描述这些行为， 则会丢失大量的信息，而脉冲微分方程则为研究这种在一些时间有脉冲式瞬时行为的生态模 型提供了有利工具它能恰当的描述连续与脉冲效应结合的自然现象 1 2 种群系统最优脉冲控制的理论及发展背景 在经典的微分方程理论中，系统本身的状态是随时间连续变化的但是自然界中的许多 ( 诸如：种子的漂移、癌细胞的放序和化疗、接种疫苗、投放天敌和喷洒农药杀死害虫或生 态环境的剧变对种群的影响等) 进化经常受到短时间的干扰在应用数学模型来模拟自然界 这类现象时，总是把这种短时间干扰作为脉冲来处理，并且这种处理方法常见于种群动力系 统、工业控制、经济等许多科学技术领域因此对脉冲动力系统的研究具有重要的实际意义 近二十年来，脉冲微分方程得到了迅速的发展，形成了一个比较完整的理论体系 一般来讲，对一个状态在短时间内受到干扰的演变过程，从数学上来描述它时，往往忽 略这个短暂的时间而将干扰处理为瞬时的，分析这种演变过程与系统本身状态是依时间而连 续变化的经典动力系统不同，会涉及到研究解不连续的动力系统，这就是脉冲微分动力系统 脉冲微分动力系统的研究始于1 9 6 0 年v d m i l m a n 和a d m y s h k i s 瞄1 在2 0 世纪8 0 年代， 逐渐引起相关学者、专家的关注并致力于从理论上对其进行研究关于脉冲微分方程解的存 在性、唯一性、解对初始值的连续依赖型、解的稳定性及极限理论等问题，经过几十年的研 究，已经有一种比较完整的雏形2 7 冽最新的研究成果表明，在物理、化学、生物、医学、 人口动力学、最优控制等现代科技诸领域中许多实际问题的数学模型都可归结为脉冲偏微分 系统对于种群系统，在这方面也取得了一些成果，例如：文献 2 9 较早的建立脉冲抛物系 统的比较原理并应用于单种群增长性c o h e n 3 0 ，l i u 及r o h l f 口，n e r n o v 1 ，a n g e l o v a 及d i s h l i e v 啼3 川1 讨论种群的脉冲控制问题，t a n g 及c h e n 在文献 3 5 中讨论种群的生育脉冲， x y z h a n g ，z s s h u a i 及k w a n g 在文献 3 6 3 中研究种群脉冲收获等各种关于种群系统的重 要问题 3 宁夏人学顾卜学伊沦艾 第一苛绪论 随机最优脉冲控制最早住数学金融、生产管理、工程技术等方面有很重要的应用关于 它的研究较早的工作可以推溯剑b a t h e r c h e r n o f f 之后，在八、九十年代取得了很大的进展 由于在实际过程中种群系统的参数在特定的时间都会发生突变，从而引起种群密度的突变 因此这些控制主要集中到脉冲控制上如今在生物种群生活的空间里，由于人为因素对环境 不合理利用及对自然环境的破坏、种群自然的生育和死亡、人为的收获和放养、自然灾害和 大的瘟疫等都可能使得种群密度发生突变在种群系统发展过程中，若把这些瞬时行为考 虑进去，对于随机种群系统，讨论它的最优脉冲控制是很有现实意义的对于确定的种群系 统，国内很多知名学者做了一些相关的研究，如：杨启昌，张庆灵，赵立纯在文献 3 7 3 、 3 8 3 中研究了具有阶段结构的单种群模型的脉冲控制及具有周期系数的单种群模型的最优脉冲 控制张安梅，陈军在文献 3 9 中讨论了单种群年龄结构系统的最优脉冲控制陈狄岚，孙 继涛在文献 4 0 中讨论了一类生态系统的脉冲控制胡彩霞，李医民在文献 4 1 中研究了一 类具有功能效应的三种群模型的脉冲控制许斌，陈狄岚，孙继涛在文献 4 2 中研究了一类 具有功能效应的生物捕食系统的脉冲控制史培林在文献 4 3 中研究了基于比率的两种群 扩散系统的脉冲控制对于随机种群系统的研究不多，而对于带有年龄结构随机种群系统及 带有p o i s s o n 跳的年龄结构随机种群系统的最优脉冲控制研究目前还没有文献报道 1 3 本文研究的创新点及主要内容 本文的创新点如下： 1 通过构造罚金函数，讨论了具有年龄结构随机种群系统的最优停时 2 利用变分不等式、t 3 公式、c a u c h y - s c h w a r z 不等式及b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不等式得出了随机种群系统的最优脉冲解 3 利用随机积分、脉冲控制理论及l e b e s g u e 控制收敛定理等讨论了带有p o i s s o n 跳 的年龄结构随机种群系统最优脉冲解的存在性，而且在死亡率满足某一条件下，利用随机 微分方程理论给出了其最优回报函数的显式 下面我们简要介绍一下本论文各章的主要内容及所做的主要工作 第一章绪论部分介绍了具有年龄结构随机种群系统的最优控制理论背景、种群系统的最 优脉冲控制的理论及发展背景 第二章给出我们将要用到的基础知识，为后两章内容做准备 第三章对于一类具有年龄结构随机种群系统模型 4 宁砭人学预t 学f t 论艾 尸= f + g d w ( t ) ， r 肌船) h 吖, x ) d r ， 在绋= ( o ，r ) q 上， 在q = ( o ，t ) x f 上 第一章绪论 讨论了随机种群系统p ( f ，y ) m a r k o v - f e l l e r 过程，通过构造罚金函数，利用压缩映像原 理、鞅论、半群理论及迭代过程讨论了其最优停时，利用变分不等式、肪公式、 c a u c h y - s c h w a r z 不等式及b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不等式得出了随机种群系统的最优 脉冲解 第四章对于带有p o i s s o n 跳的年龄结构随机种群系统模型 p ) d w ( t ) + ，( f ，p ) d n ( t ) ，在o r = ( o ，尺) q 上， 在q = ( 0 ，t ) x f 上 利用随机积分、脉冲控制理论及l e b e s g u e 控制收敛定理等讨论了其最优脉冲解的存在性， 而且在死亡率满足某一条件下，利用随机微分方程理论给出了其最优同报函数的显式 5 = 、， 铲务 m + “ 卯一钟 p 烈 ， + 西 d 力 v x v p p j l 以 以 渺 小 盘 一r 望丹卜 = 翌钟即 宁厦人 硕 学f t 论文钨：章1 i 7 i 符知识 第二章预备知识 2 1 最优脉冲控制的定义 最优脉冲控制：给定一个系统尸x r “是其状态变量，一控制时刻集合 t 气) ，气尺，气 o ，x ( f ) 服从正态分布，均值为o ，方差为c 2 t 定义2 2 2 随机过程 x ( f ) ，t 0 ) 称为高斯过程，若对一切 ，厶，随机过程 x ( ) ，彳( 乙) 服从多元正态分布 由于多元正态分布完全由边界值与协方差决定，所以w i e n e r 过程也能定义为一个高斯 过程，其目x ( f ) 】= 0 ，对5 t c o v ( x ( s ) ，x ( f ) ) = c o v ( x ( s ) ，x 0 ) + x ( f ) 一x o ) ) 其中v a r ( x ( s ) ) = s = c o v ( x ( s ) ，x o ) ) + c o v ( x ( s ) ，x ( f ) 一x o ) ) = j 6 宁夏j ：学硕l 二f l 论文镝：章预桥知识 定义2 2 3 n 维广义肠公式：设有更新一扩散过程d x = p d t + g d w ( t ) + l ( t ) d n ( t ) 其中( ) 为一高斯过程，( f ) 为一更新过程，且d 形( ) 与d n ( t ) 相互独立，另设有函数 f ( t ，x ) 是 0 ，) r “专r 的c 2 类函数，且关于f 一阶连续，关于x 二阶连续可微，则 矽= 鲁出+ 莩嚆出+ 圭否9 2 瓦0 2 瓦f 出+ ；g 毒d 哪，+ 删， 其中，v = f ( t ，x + ，( f ) ) 一f ( t ，z ) 2 3p o i s s o n 过程、鞅及停时的定义 定义2 3 1 计数过程 ( f ) ，f 0 ) 称为p o i s s o n 过程，具有参数a ，兄 0 ，如果 ( f ) ( o ) = 0 ， ( f f ) 过程有独立增量， ( i i i ) 在任一长度为t 的区间中事件的个数服从均值为五t 的p o i s s o n 分布即对一切 s t o 有p n ( t + s ) - n ( s ) = n ) 一等，刀= o 1 ，一 为了确定一个任意的计数过程实际上是一p o i s s o n 过程，我们必须证明它满足条件 “) ，o f ) 及( i i i ) 由于在实际工作中不好确定条件( i i i ) 是否满足为此我们下面给出 p o i s s o n 过程的另一种形式 作为给出p o i s s o n 过程另一种形式的准备，先定义一个函数是o ( h ) 的概念 定义2 3 2 若l 。i m 。盟：o 则称函数是。( ) _ + o h 。、 现在我们给出p o i s s o n 过程的另种形式 定义2 3 3 计数过程 ( f ) ，t 称为p o i s s o n 过程，参数为五，五 0 ，如果 ( f ) ( 0 ) = 0 ， ( f f ) 过程有平稳与独立增量， 7 宁夏人学硕f 学f t 论之第二审预备知识 ( i i i ) p n ( h ) = 1 ) = 2 h + d ( j i z ) ， ( i 矿)尸 ( 办) 22 ) = o ( 五) 定义2 3 4 随机过程 乙，刀1 ) 称为鞅，如果对一切，l 有e 乙i ) 0 和f f i c ( e ) 全 ：e 上有界连续实函数) ，则有 t ，厂( 石) = ( y ) p ( f ，x ，d y ) c ( e ) ， 其中 t 。，t 0 ) 是由p ( t ，x ，f ) 产生的一簇算子，且具有半群的性质，即t 州= t t , 则称奇 次p ( t ，五r ) ，f 孵为f e l l e r 转移概率，有此转移的马尔可夫过程 置，t 0 ) 称为 m a r k o v - f e l l e r 过程 m a r k o v - f e l l e r 粼质； z ，t 对紧致集e 上有连续f d l e f 过程，则有如下结论： ( 1 ) 它必是强马尔可夫过程， ( 2 ) 设a 是其无穷小算子，f 见则对一切t o ，x e 有 8 宁夏人学硕f 学位论文 第：幸顶符知识 e ，厂( 置) 一厂( x ) = e 。f ( 鼍) 幽 2 5 p s 半群( 。( f ) ，f o ) 在空间q 饵) 上有下面的性质 性质1 对协，t 0 ，。( f + j ) = 。( t ) e p 口o ) ， 性质2x c v h q ( 日) ，0 口( t ) h l l l h l l ， 性质3x c v h q ( h ) ，当t - - ) 0 时，。( f ) j l l ( 1 ，) jj i l ( 1 ，) ， 性质4 对v j i l 0 ，h c 辨( 日) ，口( f ) j i l ( v ) 0 2 6f a t o u 引理及l e b e s g u e 控制收敛定理 f a t o u 引理设x l ，x 2 ，是随机变量 ( 1 ) 若x 。y ，n 1 r e y 棚，那么e l i m i n f 鼍 o 可得 9 宁砭人学硕 学f o 论文第j 辛预得知识 动s 口p + e 扩；q ：螳q 一 g 2 7 2c a u c h y - s c h w a r z 不等式 若石和y 是实( 或复) 内积空间的元素，z 与y 内积为( x ，y ) ，那么 l ( x ，y ) 1 2 ( x ，x ) ( y ，y ) 等式恒成立，当且仅当z 和y 线性相关 2 7 3 变分不等式 如果g ( x ) = z ，则有f ( x ) 7 ( g ( y ) 一g ( x ) ) 0 ，v g ( y ) q ，等价于求z q 使得 ，( 工) f ( y x ) 0 ，v y q 这类问题也是经典变分不等式问题 2 7 4b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不等式 设豫；f i ) 为k 上的标准正交基，对v g 耐2 ，令： i 。( g ) = f g f l w = f 岛( q ) 舀形( e ：) ，f o ，刃， i ：a 甜r 专幺( g c o ，丁】；h ) 则， m ri i l g l l l ： 1 t e o ，r 】 ” 宁夏人学硕f 学f ? ，论支笛= i 幸一类具何年龄结构随机种群系统的最优咏冲摔制 第三章具有年龄结构随机种群系统的最优脉冲控制 3 1 引言 由于自然环境的恶化以及人为因素对种群依赖的环境破坏的不连续性，使得很多种群 密度人面积的发生突变近年来关于种群系统的最优脉冲控制问题的研究越来越多，由于 这种控制能更好的描述种群系统的实际情况，其控制策略更符合实际因而引起很多学者 的重视，同时也得到较为迅速发展，国内很多知名学者在确定种群系统方面做了一些相关 的研究，如：杨启昌，张庆灵，赵立纯在文献 3 7 、 3 8 中研究了具有阶段结构的单种群模 型的脉冲控制及具有周期系数的单种群模型的最优脉冲控制张安梅，陈军在文献 3 9 中讨 论了单种群年龄结构系统的最优脉冲控制陈狄岚，孙继涛在文献 4 0 中讨论了一类生态系 统的脉冲控制胡彩霞，李医民在文献 4 1 中研究了一类具有功能效应的三种群模型的脉冲 控制许斌，陈狄岚，孙继涛在文献 4 2 中研究了一类具有功能效应的生物捕食系统的脉冲 控制史培林在文献 4 3 中研究了基于比率的两种群扩散系统的脉冲控制而对于随机种群 系统的最优脉冲控制研究很少，目前对具有年龄结构随机种群系统的最优脉冲控制研究尚未 文献报道。 本章主要讨论具有年龄结构随机种群系统的最优脉冲控制首先讨论了随机种群系统 p ( t ， ，) 是m a r k o v - f e l l e r 过程，同时通过构造罚金函数，利用压缩映像原理、鞅论、半群 理论及迭代过程讨论了其最优停时，并利用变分不等式、肺公式、c a u c h y - s c h w a r z 不等 式及b u r k h o l d e r - d a v i s g u n d y 不等式得出了随机种群系统的最优脉冲解 3 2 预备 考虑如下随机微分方程 宁砭人学硕l 学位论文第i 审 。类具有年龄结构砘机种群系统的最优咏冲拧制 _ i i i _ _ i _ _ - _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ ! ! ! ! ! ! ! ! ! 瓦o p + 石o p + 胪= 厂+ 洲咄 在绋- ( o q 上 ( 3 2 1 ) 【p ( o ，f ，x ) = r ( ，f ，x ) 尸( ，f ，x ) d r ，在q = ( o ，r ) q 上 在 o ，尺】q 上 p ( r ，0 ，x ) = e o ( r ，功 ( 3 2 2 ) 作为初始条件 其中p ( r ，t ，x ) 表示在x 处，年龄为厂在时刻f 时的种群密度，p ( r ，t ，x ) 表示在石处，年龄 为，在时刻f 时的种群生育率，( ，t ，x ) 表示在x 处，年龄为r 在时刻f 时的种群死亡率， f , ng 表示外部环境对种群系统确定的和随机的干扰，如自然的生育和死亡，带有瞬时行 为的迁移、地震及海啸等 其中矿圳【0 ，邴三忡喇【0 ，砷，詈叫【0 ，邓，筹是广义偏导数) ，y 是 s o b o l e v5 1 f a - h = 口( 【o ，尺】) 使得矿专h 兰日专y v 7 是v 的对偶空间我们用 1 1 1 i ，1 1 和1 1 | i 。表示y ，h ，v 的范数用( ，) 表示在日上的向量内积( q ，f ， e ) ，p ) 是带有 域流 e ) 脚的完备概率空间， 只 ，加满足条件：递增，右连续，而且最包含所有的p 一零 在上面的随机种群系统方程里引入变量项1 ，有下列式子成立 邶+ 出训，v ) 西+ 莩( 刚帆吲呱v v v ( 3 2 3 ) 其中 v v v ( p ( o ) ，v ) = ( p o ，d 作为初始条件 ( 3 2 4 ) 用g ( t ) d w ( t ) - - z 。g t ( f ，x ) d w j ( t ，国) 表示在h 上正态分布的随机干扰过程，用 g + g = g g ( t ) 表示协方差算子，则 ( g g ( t ) p ，) - - x ( g 。o ) ，d ( g 。( f ) ，v ) ，t r ( g + g ( t ) ) = zl g 。i j f ) 1 2 4 ，o f l 有下列式子成立 只l i ( n ；h ) ( 3 2 8 ) 假设2 若厂( 只f ) 和g ( p ，f ) 关于时间f 几乎处处独立且满足 厂f ( o ，t ；v ) ，g f ( 0 ，t ；9 2 ( 日) ) ( 3 2 9 ) 则存在唯一的解p ( t ，c o ) f ( ( 2 ，( y ( f ，r ；h ) ) f1 ( q ，( f ，尺；y ) ) 满足( 3 2 7 ) 式对 v m 2 有下列式子成立 e ( 一s u p rl 酬“+ r i v p ( f ) if ) | m _ 2 西) o ， o ，m 2 而且若p ( t ，缈) 是另一初始值的解， 对v f 秒t 有下列式子成立 即) 一声( 目) fe x p _ ，f i l e ( 砸。q ，出】 陋- p ( t ) i 假设3 在条件( 3 2 9 ) 下，随机变量尸( t ；v ) 对v f 0 1 ，h 是局部一致连续的，而且 对v m o ，口 0 ，存在一常数a 充分大，有下列估计式成立 1 3 宁砭人学硕t + 学f t 论文第i 夸一类只有年龄结构随机种群系统的最优咏；中拧制 e 旷r ( 五+ i p ( t ，v ) 1 2 ) 形) ( 彳+ m 形 证明：首先看下列方程 d i p ( t ) 2 + 2 v n p ( t ) 1 2d t = t r ( g g ( t ) ) d t + 2 ( f ，尸( f ) ) 斫+ 2 ( 鼠，p ( t ) ) d w k ( t ) 对函数( 力+ i p ( t ) 1 2 ) m ；2e - a t , j p dl t 3 嫦# d(名+i尸(r)12)口一甜=im三兰壁蔓二曼三兰号；产 因此对任一确定m ， +m(m-2)itr(gi*g丽)lp(丁t)2一口(旯+阢)|2)p一御出4 ( 五+ l 以) 陟 “ 一川7 + m e ( g 。，以f ) ) ( 兄+ i p ( f ) 1 2 ) 吸g 一口f ( 帆( f ) 一叩 2 珑堕铲 是一无穷小量，且对v m 0 ，口 0 ，存在一五充分大时，有 4 口( 旯) 所以估计式( 3 2 1 1 ) 成立 ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) 在方程( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 的解中，用，替换p o q ( ) 表示m 维空间里一致连续的实 值函数，且对指数，l o 递增有界简言之，实值函数 日，vl - - - h ( v ) o + k 1 2 ) 一i 是有界 且一致局部连续的，关于加权上范有 肛i i - l i 崛i = 凹扣m i 制2 ) ) ， 同时对任意的v h ，任意的常数q 0 有下列式子成立 e s u p e 吲( 力+ i p ( ) 1 2 ) 州2 q ( 允+ i y l 2 ) 坼 it 0， 对于带有指数口的线性种群系统半群( p s 一半群) 算子( 。( f ) ，t 0 ) 定义如。f ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) 疗( f ) ：e 旧) 专q ( 日) ，g ( f ) j j l ( y ) = e e 一甜五【 ( f ；，) 】 ( 3 2 1 5 ) 1 4 宁及夫学硕 。学他论文第i 章一类具有年龄 f i 构随机种种系统的最优l i 永冲拧制 l i ii i ii _ _ - _ _ i i l - _ ! ! ! p ( t ，1 ，) 表示带有初始值p ( o ，石，国) = v ( x ) 的随机种群方程( 3 2 3 ) 的解p ( t ，石，c o ) 引理3 2 1 假设( 3 2 8 ) 和( 3 2 1 2 ) 成立，p s 一半群( 。( f ) ，t 0 ) 在空间g ( ) 上 是弱连续的m a r k o v - f e l l e r 半群 引理的证明参见文献 4 4 因此p s - ? 卜群不是强连续的，从而强无穷维算子在稠密定义域巴( h ) 上无意义但是， p s 一半群( 。( f ) ，t 0 ) 在带有聊维多项递增的实值b o r e l 函数上有意义，在b a n a c h 空间 上的范数如( 3 2 1 3 ) 所示对于任意函数五e ( 印和，h ，在吃( 日) 上定义半范如 下： 风( ，v ) = e s s u p o 陋似( s ；v ) l p 一邸 ，v v 日 l， ( 3 2 1 6 ) 因此当t 寸0 时；f f p o ( 0 。( t ) h - h ，) 专0 然而，如果e ( 日) 是b 。( 日) 的子空间，映射 th 州“( f ；v ) 在 o ，佃) 上对任意1 ，h 几乎处处连续，且满足 ! 蛩风( 口( f ) j i l 一矗，d = o ，v v e h ( 风( ，。) 如( 3 2 1 6 ) ) ( 3 2 1 7 ) 则在级( 呒) 上定义弱无穷维算子 时l 删i m 竿学专聃 利用有限维近似，当a 是从h 到( v n h 2 ( q ，r 2 ) ) 的映射时，弱无穷维算子呒对日上 的函数h 有 哪( p ) - 圭乃 g 鲥心o j p r t p - a 只州p ) 阻2 显然对任意f o ，h q ( 日) ，y h ，有p o ( 0 口( f ) 矗，v ) p o ( h ，) 3 3 随机种群系统的最优停时 引入下面的目标函数，给定函数f ，g q ( 日) 且口 0 ， 1 5 宁夏人学硕 学位论文箱i 节一类具什年龄结构随机种群系统的最优咏冲摔制 m ，妒e f ( 弛，y ) ) e 吲砒“。期叫) e ( 3 3 1 ) 最优值记作 p ( v ) = i n f j ( v ，f ) f ( 3 3 2 ) 其极小值可取遍所有的停时f 每求出最优目标函数p 的一个特征值时，能够出现一个最 优停时( 首次进入紧集的是最优的) 通过下列的罚金函数来讨论最优停时 给定口，s 0 ，f ，g q ( h ) ，则有下面的非线性方程 珑( 呒) 使得呒+ ( 只一g ) + = f ( 3 3 3 ) ( ) + 表示正的部分，d p ( 呒) 是p s - 一半群( o 口( f ) ，t o ) 上弱无穷维算子沈的定义域方 程( 3 3 3 ) 的解可以被看作是随机最优控制问题的最优实值函数解 定理3 3 1 若条件( 3 2 9 ) ，( 3 2 1 2 ) 成立，对任意的s 0 ，如果f ，g q ( 日) 且 g ( h ) ，方