（应用数学专业论文）生成l1rd的平移函数族和小波系.pdf

河南大学硕士学位论文 中文摘要 设a 为一个离散集合，那么存在不存在，l p ( r d ) ，使它的平移所组成的函数 族【a ，la a ) 在l v ( r d ) 中稠密? 如果存在，则称，为l v ( r d ) 的a - 生成元，a 称 为，的平移集合在一维情况下，如果p 2 ，则在空问l v ( r ) 中存在z 一生成元； 如果1 p 2 ，则l v ( r ) 中不存在z 一生成元但当p = 2 时，空间l 2 ( r ) 是存 在a 一生成元的，例如，a = 扎+ 】n z ，满足v n z ，0 r n ，且_ 0 ，( 一o 。) 当p = l 时，空间l ( r ) 也是存在a 一生成元的，其中平移集合a 只要满足r ( h ) = + o o ，其中r ( h ) = s u p p 0e ( a ) 在l 2 ( ( 一岛p ) ) 中稠密】本学位论文的一部分内容 是讨论r d 中集合a 在什么条件下是l 1 ( r d ) 中的平移集合 本学位论文的另一部分内容是探讨空间l 1 ( 彬) 上的小波系是否可生成l 1 ( r d ) 全文由三章组成 第一章简要介绍f o u r i e r 分析、小波分析背景 第二章准备知识及已有结论 第三章给出主要结果及主要证明 关键词：a 一生成元；平移；小波系； 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t l e tab eas e q u e n c eo fr da n dfb eaf u n c t i o nf r o ml p ( x d l w es a yt h a tfi s aa - g e n e r a t o rf o r 妒( 则) i ft h es y s t e mo ft r a n s l a t e s t a f la a 】- s p a n st h es p a c e l p ( r d l w ea l s os a yt h a ta a d m i t sa g e n e r a t o ri nl p ( r ) t h e r ed o e se x i s tz - g e n e r a t o r s i nl p ( r ) i fp 2 i ti sw e l l - k n o w nt h a tn oz - g e n e r a t o r se x i s ti n 扩( r ) ，1 p 2 i nt h es p a c el 2 ( r ) ，i th a sb e e ns h o w nt h a to na r b i t r a r yp e r t u r b a t i o no fzo ft h ef o r m a = 他+ r n ) n z ，v n z ，0 r n ，a n dr n _ 0 ，( 1 n i 一。o ) a d m i t s ag e n e r a t o rf l 2 ( 酞) i nl 1 - c a s e ，i fr ( a ) = s u p p 0 e ( a ) i sd e n s ei nl 2 ( ( 一p ，p ) ) ) = o 。，t h e na a d m i t sa g e n e r a t o r t h ew o r ko ft h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s p a r t1w i l ls h o ww h i c hd i s c r e t e s e taa d m i tag e n e r a t o rfi nl 1 ( 掣) p a r t2w i l ls h o ww h e t h e ra f f i n es y s t e m sc a ns p a n l 1 ( r d ) t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1b r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n d o ff o u r i e ra n a l y s i s ，a n dw a v e l e ta n a l y s i s s o m ea u x i l i a r yr e s u l t sa n dd e f i n i t i o n sa r el i s t e di nc h a p t e r2 c h a p t e r3p r e s e n t st h em a i nr e s u l t sa n dt h ep r o o f so ft h e m k e y w o r d s ：a - g e n e r a t o r ；t r a n s l a t e ；a f f i n es y s t e m s i i 河南大学硕士学位论文 符号说明 1 a ：a = 儿ia 知础，k = 1 ，2 ，) ，为可数集； 2 e ( a ) ：e i k 的有限线性组合，a a ； 3 r ( a ) = s 即 i ， 0e ( a ) 在l 2 ( ( 一p ，p ) d ) 中稠密) ； 4 瓦：( 乃妒) ( z ) = 妒( z a )a 酞d ； 5 c = 0 ，a 1 x 0 ，入2 【0 ，入d ，入i ri = 1 ，2 ，d ； 6 为扩张矩阵； 7 奶，a = id e t a j bi 砂( a j z 一凇) ，j 0 ，aea ，6 为可逆矩阵； 8 ( p f ) ( x ) = id e t bi a a 厂( z 一枞) ，6 为可逆矩阵； 9 研( ，) = 厂l 2 ( ，) id f l 2 ( ，) ) ，为r d 中区间 i i i 美子学位论文独立完成和内客创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位串请。本人鄯重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的，时所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构酌学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研宄所俄的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位串请人( 擘住论文侔者) 、丕名： 2 01d 卑0 伪固 关于学位论文著作权使再授叔书 本人经河南大学审核批准援承硬士学位。作为学位论文韵作者，本人完奎 了解并同意河南大学有关保留i t 媲翔雾垃论文桶要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收条机构和奉校图书馆等提供学位论文( 纸质支 本和电子文本) 以供公焱捡索、奎阅。 本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展争进行学术交流等曰喇、，可以采取影印。缩印、扫描和拷贝等夏制手 段保存、汇鳊学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保奢内容的学位论文在解奢后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 釜名： 2 0l 拳位论文指导教师釜名： 2 0 1 第一章背景 小波分析是近二十多年来发展起来的一门应用数学学科，是继f o u r i e r 分析之后 又一重要的数学分析方法，是调和分析里程碑式的进展作为个新的数学分支，小 波分析应用十分广泛，除了在数学和物理领域的许多学科，如微分方程求解、数值 分析、量子力学、理论物理等学科中应用外，在其他自然科学中，例如在信号分析 与图像处理、模式识别、语音的合成、医学成像与诊断、地震与勘探、自动控制、气 象与水文、计算机视觉与图形学、故障诊断以及军事科学等诸多领域都有成功的应 用随着小波理论的深入研究，它的应用范围还在不断扩展 自1 8 2 2 年f o u r i e r 发表他的热传导解析理论以来，f o u r i e r 分析便成为了最完美的 数学理论和应用最广泛的数学方法之一f o u r i e r 分析的详细内容见( 【1 ) 设f ( x ) l 2 ( t ) ( 所有以1 为周期的平方可积函数) ，n f ( x ) 有f o u r i e r 展开 ，( z ) = e k e 诧积霉， k e z 其中 ，2 7 r = f ( t ) e 一2 础d t ，0 是厂( z ) 的f o u r i e r 系数如果，( z ) l 2 ( r ) ，则有 m ) = 上氕跏协吣， 其中 灭专) = ，( z ) e - i 2 7 r d x j r 随着应用的不断深入与发展，f o u r i e r 变换的缺陷逐渐暴露出来，它的缺陷大致 有以下几个方面( 2 3 1 ) ： ( 1 ) 在f o u r i e r 展开中，它不能很好地反映出一些具有突变特性的非平稳信号， 从而使其分辨率不高： 河南大学硕士学位论文 ( 2 ) 在f o u r i e r 展开中使用的标准正交基是三角函数，它在时域上不能局部化， 所以f o u r i e r 展开在时域上不能做局部分析； ( 3 ) f o u r i e r 变换不能同时做时域和频域分析一个信号经过f o u r i e r 变换后，就 失去了时间特性，只能做频域分析 针对f o u r i e r 分析的缺陷，人们一直努力寻找其他更好的基对信号或函数进行表 示，这种“更好的基”基就是小波基 作为f o u r i e r 分析的的一个突破性发展，小波分析的真正起源应归于上世纪八十 年代中期而小波实际上起源很早最早用伸缩和平移思想构造标准正交小波基的 是a h a a r ，他在1 9 1 0 年给出了h a a r d 、波的构造1 9 7 5 年，a p c a l d e o n 用他早年提 出的c a l d e r o n 表示定理和对h a r d y 空间的原子分解及对无条件基的大量研究为小波 分析的诞生提供了理论上的依据1 9 8 1 年，j o s t r s m b e r g 对h a a r 系统进行了改进， 证明了小波函数的存在后来，j m o r l e t 和a g r o s s m a n 提出了一个确定函数的伸缩 平移系展开的系统理论 1 9 8 6 年，著名数学家y m e y e r 偶然构造出一个真正的小波基，并与s m a u a t 合 作建立了构造小波基的统一方法一多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起 来继y m e y e r 之后，l e m a r i 6 和b a t t l e 又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函 数1 9 8 8 年，i d a u b e c h i e s 构造了具有有限支集的正交小波基，其中她撰写的小波 十讲( t e nl e c t u r e s0 1 1w a v e l e t s ) 对小波的普及起了重要的推动作用小波分析 与f o u r i e r 变换、加窗f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比，小波分析克服了f o u r i e r 分析 方法表示信号时虽然能够清晰描绘出信号的频率特征，但不能反映信号在时间域上 的局部信息的缺陷这是因为小波基函数不仅大多具有快速衰减、充分光滑、能量 集中的优点，而且它是经平移和伸缩构成的，具有多尺度分辨率的特点，它既具有 时域和频域同时局部化和多尺度分辨的功能，又具有简单、灵活、随意的特点，它 l p , f o u r i e r 分析更适合对非平稳信号的处理从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它 是调和分析发展史上里程碑式的进展 2 河南大学硕士学位论文 虽然小波分析从形成到现在只有二十几年时间，但己得到了巨大的发展，具有 强大的生命力，形成了较完备、成熟的小波理论 下面分三个方面简要的介绍一下小波 1 小波的定义 设砂l 2 ( r ) 若 奶，七( z ) = 22 1 砂( t x 一奄) h 血z 为l 2 ( r ) 的标准正交基，则 称砂为小波 下面给出两种常用的小波 例1 h a a r 小波设 则可以证明砂( z ) 通过伸缩和平移得到的函数族 奶，南( z ) j 咖，惫( z ) = 2 苎砂( 2 j z 一七) ，j ，k z ) 构成己2 ( r ) 的标准正交基这里称砂( x ) 为h a a r t j 、波这是历史上第一个小波，也是 最简单的且具有紧支集的正交小波 f ) i j 2 s h a n n o n 小波设砂( z ) l 2 ( r ) 定义 砂( ) = x ，( ) ， 其中，= 一1 ，一互1 】u 【；，1 可以证明 奶，七( z ) = 2 毛b ( 2 3 x k ) ij ，k z ) 构成l 2 嘤) 上 的标准正交基这样定义的砂p ) 称为s h a n n o n d , 波 2 构造小波的重要方法一多尺度分析( 4 】) 假设 巧：j z ) 是l 2 限) 上的一列闭子空间，如果满足下列条件： ( 1 ) 单调性：巧c 巧+ 1 ， j z ； ( 2 ) 伸缩性：v j z ，( ) 巧营f ( 2 一j ) ； ( 3 ) 互斥性：nv j = o ) ； ( 4 ) 稠密性：u = l 2 ( 瓞) ； 歹z 3 z z 2 ) 中存在函 数妒，使得它的整平移生成整个空间而当1 ps2 时，这样的结论是不成立的 1 9 9 7 年，o l e v s k i i 给出了l 2 ( r ) 可以通过空间中某个函数的另一种平移生成，即 定理2 4 ( 【8 ) 设a = 扎+ r n ) n z ，其中 0 r n ，n z ，_ 0 ，一o o ， 则存在妒l 2 ( 酞) ，使得 垆( z 一入) ) a a 生成l 2 ( r ) 注如果7 n 满足某种衰减性，在l 2 ( r ) 中能找到性质很好的a 一生成元( 9 ) ， 在l 1 ( r ) 中却没有类似的结论( 1 0 ) 2 0 0 5 年，h q b u i 和r s l a u g e s e n 在【1 1 】中讨论了高维汐( r d ) ( p 1 ) 空间中的 小波系，并给出了有关小波系生成驴( 础) 的结论2 0 0 8 年，r s l a u g e s e n 在 1 2 中又 讨论了高维护( 融) ( 0 1 ，则称a 是扩张矩 阵 h q b u i 和r s l a u g e s e n 得到的结论为 r 河南大学硕士学位论文 定理2 5 ( 1 1 】) 设1 p 0 ，有i i 乃i i l p ( r d ) c ( 砂，) l l f l l l p ( r a ) ； ( 5 ) 在l 1 ( r d ) 中， 办) j o 几乎处处绝对收敛，且办，其中 k = c 忌奶，惫j k k ，kcz d ，k 为有限集) k e k 这里算子p 为( p f ) ( x ) = i d e t bj f ( x b k ) ( z r d ) ； k e z d 瞅以为肫h 批6 j 薹( 厶婀地堋肋m a 3 x - b a ) 由定理2 5 司得f 回两个定理 定理2 6 ( 1 1 ) 设妒p ( 船) ，1 p 。当1 p 0 ，k z d ) 可张成( 酞d ) 9 河南大学硕士学位论文 定理2 7 ( 1 1 ) 设矽护( 呶) ，1 p o o 当1 0 如果丘。矽如0 ，那么 a + ( 矽) = 奶，七= l d e t a j b l l p , ( a j x b 七) lj 0 ，k z d ) 可张成妒( 则) 2 0 0 6 年，j b r u n a 给出t l l ( r ) 中存在a 一生成元的充要条件，即 定理2 8 ( 1 3 ) 给定离散集合acr ，那么在l 1 ( 酞) 中存在人一生成元的充要条 件是r ( a ) = + 。o ，其中r ( a ) = s u p p 0i ( a ) 在l 2 ( ( 一p ，p ) ) 中稠密) 文献 1 3 还给出了小波系生成三1 ( r ) 的充分条件，即 定理2 9 ( 【1 3 】) 如果妒l 1 ( r ) ，厶妒如0 ，a j + ，a = 入七ik z ) 满足a 七 入七+ 1 ，并且 则 s u p ( a k + 1 一入七) + ， k 妒( z 一入七) ij n ，k z ) 可生成l 1 ( 酞) ，并且对任意的厂l 1 ( r ) 有 其中i c j ，七i + o o ，( z ) = 勺，毙妒( z a 凫) ， 1 0 第三章主要结果及其证明 首先给出。f 列定义 定义3 1 ( 1 3 】) 给定离散集合ac1 r d 如果存在妒l 1 ( 础) 使得 乃妒= 妒( z a ) la a ) 的线性张在l 1 ( r d ) 中稠密，那么称人容许一个生成元，同时 称妒为l 1 ( r d ) f i 勺a 一生成元 注如果a = z d ，那么它在l 1 ( 础) 中不存在z d 一生成元 为了证明主要结果，我们列出下列引理 引理3 1 ( 1 4 】) ( w i e n e r 定理) 设f l 1 ( 掣) ，则( t j = f ( x 二入) l 入酞d ) 能 生成l 1 ( 瓞d ) 的充要条件是，( ) 0 ，r d 引理3 2 ( 【1 5 ) ( p o i n c a r 4 不等式) 设qcr d 是有界开集，1 p 0 ，e ( 人) 在鹾( ( 一p ，p ) d ) 中稠密，其中l ；( ，) = l 2 ( ，) i d h l 2 ( ，) ) ，这个空间范数为i l h i , = i l h l l l z ( ，) + j i d h l l l 2 ( ，) i = ( 一p ，p ) d 证明 任取 0 因为r ( a ) = + o o ，那么对于任意的p 0 ，e ( a ) 在 l 2 ( ( 一p ，j d ) d ) 中是稠密的 1 1 j 旦哒堂堡主堂篁堡窒 对h l ；( ( p ，d ) d ) ，即h l 2 ( ( 一p ，1 9 ) d ) ，且d h l 2 ( ( 一9 ，p ) d ) ，那么存在三 角多项式e i ( a ) ，i = 1 ，2 ，d ，使得 愀人) 一石o 甄hi i 职( 刊d ) 三 另一方面，易知存在三角多项式f ( a ) ，使得掣= 龟( a ) ，i = l ，2 ，d 由 引理3 2 可知， i i e ( a ) 一h i i l z ( ( 一p ，p ) a ) c i i d e ( a ) 一硝l i l ：( ( 一p ，p ) a ) c 鼽舭卜剖o h 以a ， 0 ，j9 c 铲( ( 一j d ，p ) d ) ， 使得| | g 一，i l l ：( ( 咱p ) a ) 显然， g l o 。( ( 一p ，p ) d ) 由于参( ) c k e 2 7 r i , k 在l o 。( r d ) 中稠密，所以存在 a a 使得 即 从而有 于是 i l9 ( ) 驴( ) c a e 2 州 a a c a e 2 矾k 一p ( ) 夕i i l 。o i i 洲pe ， a a 9 ( ) ( c a e 2 们k g ) 怯 l lpi i l * i i c 入e 2 枞一gi i l * i ipi l l e ， a aa e a e c a e 2 戚九l gi l l 2 ( ( 鸭p ) d ) a a c a e 2 矾e 一川以( 咱) a a c a e 2 疵k 一9 慨( 鸭p ) d ) + i 9 一川职( 咱) a a 由于p 的任意性，所以r ( a 1 = + 。 1 3 河雨大学硕士学位论文 充分性为证充分性，我们考虑s o b o l e v 范数： 训2 + i d 砂1 1 2 考虑空间：；( ，) = l 2 ( ，) id l 2 ( ，) ) ，其中，是一个区间在该空间 上，赋予范数l i h l l , = i h l l l ：( r ) + i i d h l i l ：( 珍 如果，l ；( i r d ) ，则由引理3 3 知， ，l 1 ( 掣) 并且i i f i l l i i 州删 又r ( a ) = + o o ，所以e ( a ) 在瑶( ( 一p ，p ) d ) 中稠密，其中p 为任意实数 现在考虑空间： e = ，l 1 ( r d ) l ，c 1 ( r d ) ) 由引理3 5 ，e 在l 1 ( l i d ) i 中稠密，且是可分的，所以取一序列 ) l - 1 ， e ，且 ) l - 。在l 1 ( 础) 中稠密 取实数序列“一0 ( k _ ) 如果鼠= 2 一，则我们可构造一个非负函数圣 鹾( r d ) ，具有以下性质： 对每一个k = 2 ，3 ，存在三角多项式r ( ( ) = a 札c a e 认e ，其中氏为a 的 有限子集，使得 一r 钏r d 0 ，存在无穷多个七使得 g 一 i | 工1 ( r 8 ) 1 4 列雨犬字坝士字位论文 那么 l f c a 死妒一g i l l ( r d ) a e a k 剑c a 乃妒一刚l ，( r a ) + 怏一夕慨r d ) a e a k 0 ，满足墨矗= e k 先构造分段线性偶函数g 七( 七= 1 ，2 ，) ，使 每一个g 七有以下性质： ( 1 ) 在i 七n ( o ，c o ) d 内取值为正的，且为减函数( 在此减函数指的是如果lzf ，( 秒) ，下同) ； ( 2 ) 在厶之外取值为0 ； ( 3 ) b ( g k ) = l l g k i i + l i d g ：l i 1 ； ( 4 ) i i g k l i r d 1 ； ( 5 ) 在厶一l 内，g k = g k + 1 ，k = 2 ，3 ，； ( 6 ) 1 i 一r g 七| | r d 以，七= 1 ，2 ，； ( 7 ) m a x 1 ，b ( p 1 ) ，b ( 岛) ，b ( r ) ) l i g 詹+ l g 七i i vs5 k + 1 ，k = 1 ，2 ， 显然，存在分段线性偶函数g 1 ，使得g 1 满足： ( 1 ) 在厶n ( o ，o 。) d 内取值为正的，且为减函数； 】5 列雨大字坝士字位论文 使得 这样 ( 2 ) 在厶之外取值为0 ； ( 3 ) b ( a 1 ) = | l g l | | 。+ i d g l i i o 。 1 ； ( 4 ) i l g 怕1 而五的支集在 内，且( a ) 在鹾( r d ) 内是稠密的，所以存在三角多项式b ， 娶一刚 ( j 1 五一只g 。i i ，。i l 是一p li i j 。 6 l ， u 1 即，当k = 1 时，i l 五一只g 1i i r d 6 1 接下来，我们仍可取g 2 ，使得它是分段线性偶函数，且满足： 和 ( 1 ) 在乇n ( 0 ，) d 内取值为正的，且为减函数； ( 2 ) 在尼之外取值为o ； ( 3 ) b ( g 2 ) = i i g 2 i i 。+ l i d g = i i 。 o 几乎处处绝对收敛，且乃v 其中 y = c j ，a 奶，a j 0 ，入a 7ca ，其中a 7 为有限集) ， a a = 入= ( 入1 ，入2 ，入d ) i 入t = 充t 口t ，k i z ，a i r ，i = 1 ，2 ，d ) 为证明这个定理，再引入记号： 易叱m 彻邛e 删薹( 加咖m 帕m a j x - - b a ) 先给出几个辅助引理 引理3 7 如果妒l 1 ( r d ) ，妒l 。( r d ) ，尸i i l o 。( r d ) ，则易眇，纠为l 1 到l t 的线性算子，且 i i 易眇，纠厂i l l ，l i 厂i | l - i i p l 咖川l * i d e 亡6 i _ 1i i 砂l i l 证明因为 俐妒，纠似z ) i = 吣 贬af r 。，( 町1 秒) 砂( 可一以) 咖) 砂( a j x - b a ) i 河南大学硕士学位论文 i d e t 6 iz ，、t 。l ( 上。，( 。歹1 可) ( 可一6 a ) d y ) 砂( a j x - b a ) i 鳓6 i 薹( 上。l y ( a ；( 划剐m a j x - b a 儿 所以 1 1 6 ( 圳b ( r d ) i | d e 驯上。薹加阿( 划州( a j x - b a 凇z = 上。i ，( y ) i i d e 幻1 a ai 咖( a j y - b a ) i d y 上。j 妒( z 一6 a ) i d z i i f l l l ，( r a ) i i p i 矽i i i l 。( r d ) l d e t b l i i 移 i i l ( r d ) 引理3 8 如果砂l 1 ( r d ) ，l o 。( 酞d ) ，p i e i l o 。( 瓞d ) ，且，l 1 ( 酞d ) ， 则下列三条成立： ( 1 ) 在l 1 ( 础) 中， ( 驰纠似z ) 旦厂蚓匆厂荆d 名m ) ； j x dj r d ( 2 ) 如果对几乎处处的z ，有( p 砂) ) = 名。砂( 秒) d y ，则 ( 易眇，纠厂) ( z ) _ 矽( y ) d 剪( z ) d z - 厂( z ) ； , r dj x d ( 3 ) 如果是扩张矩阵，则在l 1 ( 掣) 中， 舰；善j ( 驰甜) = 上。灿) 咖小批，( n 证明只需要考虑f q 的情况即可，这里q 表示具有紧支集的连续函 数全体 先把( 易 矽，纠厂) ( z ) 写成两部分，即 ( h i e ，纠，) ( z ) = ，( z ) ( p 砂) ( z ) 多( z ) d z + n e m j ( z ) ， r d 河南大学硕士学位论文 ( z ) = 陋6 i a e a t r 。忡于1 可) 一他) 西( 可“入) 咖) 妒( a j x - b 入) 先证在l 1 ( 掣) 中，当歹一。o 时，r e m j ( x ) _ 0 事实上， r e m j ( z ) i i d e t 6 a e az 。l ，( n 于1 可) 一，( z ) i i 妒( 可一6 a ) i d ) i 妒( a j x - b a ) i ， 所以 忙吲圳b 0 ，使得 弓( z ，y ) m 由l e b e s g u e 控制收敛定理可知，当j _ 。时， 1 1 r e ( z ) 怯_ o 河南大学硕士学位论文 下面证明 ，( z ) ( 尸砂) ( z ) 旦，( z ) 砂( y ) 妞 i ，r d 显然只需要证 ，( z ) 9 ( z ) ：，( z ) ( p 矽) ( z ) 一厂矽( 矽) d 引皇要o ，r d vh l o 。( r d ) ，显然f h l o 。( r d ) ，且 l f ( z ) g ( a j x ) h ( z ) d z i i f ( x ) h ( x ) q ( a j x ) l d x 0 ，a a ) 参考文献 【1 潘文杰，傅里叶分析及其应用，北京大学出版社，2 0 0 0 【2 】李登峰，杨晓慧，小波基础理论和应用实例，高等教育出版社，2 0 1 0 【3 】a b o g g e s s ，小波与傅里叶分析基础，电子工业出版社，2 0 0 2 4 】张国华，张文娟，薛鹏翔，小波分析与应用基础，西北工业大学出版社，2 0 0 6 【5 唐晓初，小波分析及其应用，重庆大学出版社，2 0 0 6 6 】王大凯，彭进业，小波分析及其在信号处理中的应用，电子工业出版社，2 0 0 6 7 魏明果，实用小波分析，北京理工大学出版社，2 0 0 5 【8 】a o l e v s k i i ，c o m p l e t e n e s si n 三2 畔) o fa l m o s ti n t e g e rt r a n s l a t e s ，m a t h e m a t i c a la n a l y s i s ， 3 2 4 ( 1 ) ( 1 9 9 7 ) ，9 8 7 - 9 9 1 【9 】a o l e v s k i ia n da u l a n o v s k i i ，a l m o s ti n t e g e rt r a n s l a t e s d on i c eg e n e r a t o