（计算数学专业论文）模糊数的性质及其应用.pdf

摘要 摘要 实数理论是经典分析学的基础，同样模糊数理论也是模糊分析学的基础， 是模糊分析学中最基本最重要的概念之一。 在1 9 7 2 年，模糊数学的创始人z a d e h 在与c h a n gs s l 合作的文章o nf u z z y m 印p i n ga n dc o n t r o l 中，结合概率分布性质，把实数r 上的一族具有特殊性质 的模糊集称为模糊数。随后，d d u b o i s 和h p r a d e 等人先后对模糊数系的各种性 质进行了深入分析，特别是考虑到建立模糊数系的的微分等。人们已经越来越 多的将模糊数系与区间分析集值映射联系起来，于是形成了较系统的的模糊数 理论，但还有许多工作值得我们去探讨。 本文主要对模糊数的序，模糊数的距离，以及模糊数在综合评判中的应用 做了研究。 在本文第三章中，从赋值的角度出发，通过对赋值拟序，赋值偏序，赋值 全序概念的研究，得到了关于区间数和赋值序关系的性质。 在本文第四章中，给出了模糊数的距离的一种新的定义，并讨论了模糊数 的距离的一些性质。 在本文第五章中，将模糊数应用于综合评判领域，提出了一种新的基于模 糊数的综合评判模型，并以综合素质的评价为例列举了新的模糊数的模糊综合 评价的步骤。 关键词：模糊数，排序，模糊数的距离，综合评判 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h er e a lh u m b e rt h e o r vi st h ef o u n d a t i o no fc l a 8 8 i ca n a l y t i c s ，t h es 啪e8 s f u z z yn u m b e rt h e o r yt h a ti so n eo ft h em o s tb 8 8 i ca n dt h em o s ti m p o r t a i l tc o n e e p t 8 i nt h ef u z z va 皿a l y t i c s i st h ef o u n d a t i o no ft h ef h z z ya n a l y t i c 8 ， i n1 9 7 2 ，z a d e h ，t h ef o u n d e ro ff u z z ym a t h e m a t i c s ，w r o t eap 印e rn 锄e d 0 nf u z z ym a p p i n ga n dc o n t r o l w i t hc h a n gs ，s l i nt h i sp a p e r ，t h e yc a l l e da r a c eo ff u z z ys e t sw h i c l lh a ds o m es p e c 试p r o p e r t i e si nr e a ln u m b e rs e t s t h e n ， d d u b o i sa n dh p r a d es t u d i e dt h ep r o p e r t i e so ft h es y s t e mo ff u z z yn u m b e r ， 印e c i a l l yc o n s i d e r e dt oe s t a b l i s ht h ed 砸e r e n t i a ls y s t e mo ff u z z yn u m b e r m a n y 8 c h 0 1 a r sc o n t a c t e dt h es y s t e mo ff u z z yn u m b e rw i t hi n t e r v a ln u m b e ra n a l y s i 8 ，a n d s e tv a l u e dm a p 8 ，s ot h es y s t e m a t i cf l l z z yn u m b e rt h e o r yf o r m e d ，b u tt h e r ea r e m a n yv a l u e dp r o b l e m st h a tw e8 h o u l dd i s c u s s i nt h i sp 印e r ，w em a i n l y8 t u d i e dt h er a n k i n go f h z z yn u m b e r ，d i s t a n e eo f f u z z yn u m b e ra n dt h e 印p l i c a t i o no ff u z z yn u 瑚b e ru s e di nc o m p r e h e n s i v ee v a l m a 土i o n i nc h a p t e rt h r e e ，b 柏e do ne v a l u a t i o n ，a c c o r d i n gt os t u d y i n gt h ec o n c e p t so f e v a l u a t i o nq u a 8 i - o r d e r 锄de v a l u a t i o np 射t i a lo r d e ra n de v a l u a t i o no r d e r ，w eg o t 8 0 m ep r o p e r t i e so fi n t e r v dn u m b e ra n de 、，a l u a t i o no r d e rr e l a t i o n s i nc h 印t e rf b u r ，w eg a et h ed e 丘n i t i o no ft h ed i 8 t a n c eo ff h z z yn u m b e r ，a n d d i s c u s s e ds o m ep r o p e r t i e so ft h ed i s t a n c eo ff u z z yn u m b e r i nd l a p t e rn v e ，w e 印p l i e df h z z yn u m b e rt oc o m p r e h e n 8 i v ee 、氇l u a t i o na n d g a ean e wm o d e lo fc o m p r e h e n 8 i v ee v a l u a t i o nb a s e do nf u z z yn u m b e rt h e o r y ，w e a l s og a et h e8 t e p so ft h i sm o d e la c c o r d i n gt oe x a m p k k e y w o r d s ：f i l z z yn u m b e r ；r a k i n go ff u z z yn u m b e r ；t h ed i 8 t a n c eo ff u z z yn u m b e r ； f u z z yc o m p r e h e n 8 i 、砰e v a 王u a t i o n 2 y 8 9 3 9 2 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：立晦落指导教师签名：渥! 丝丝 加年月彦日伊占r 年多月7 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：巧碗r 薯 江砗珀孑日 第一章绪论 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 传统数学用精确的，确定性的数学概念来描述客观世界，在精确性与确定 性的前提下，传统数学建立了一套严谨而完善的公理体系。然而，由于客观世 界的多样性与复杂性，很多事物难以用精确的确定的概念来描述，某些事件的 发生与发展是随机的，而对于这些情况传统数学无能为力了。 为了描述事件发生发展变化的随机性，产生发展了统计科学而为了描述事 物特征的模糊性而产生发展起来了模糊集理论和模糊数学。 著名控制论专家，美国加州大学教授l a z a d e h 于1 9 6 5 年首先通过论文 f u z z ys e t s 【1j 提出f i i l z z ys e t s 的概念，奠定了模糊性理论的基础，创造了讨论 研究模糊性问题的数学方法。这一理论由丁在处理复杂系统特别是有人干预的 系统方面的简捷有力，某种程度上弥补了经典数学与统计数学的不足，迅速受 到了广泛的重视。 3 0 多年来，在数学理论【2 l ( 如拓扑学，逻辑学，测度论等) ，应用方法 ( 如控制论，聚类分析，模式识别，综合评判等) 和实际应用( 如中长期天气 预报，成矿预测，良种选择等) 诸多方面都取得了很多有意义的成果【3 卜吼对 相关领域和技术特别是一些高新技术产生了日益显著的影响。 模糊集理论是描述客观世界的有力工具，我们知道，许多事物或概念相互 之间的界限是不清晰的。在对这类问题进行观察和操作时，“非此即彼”的绝 对法难以奏效。比如高速与中速之间，高个子与低个子之间，都很难找出明确 的确定性的原则来定义，因此，传统数学无法提供描述边界不清晰的事物及其 关系的方法。进而以传统数学为基础的所有学科也不能解决各自面临的这种类 型的问题。 模糊集理论的产生为描述这类边界不清的事物提供了一套有效的方法，使 人类从此有了以结构化，公式化的手段处理这类问题的能力，能够在模糊环境 中解决问题，做出明确决定，进而，将模糊数学应用到各个学科中，就能够解 决再式各样的这类问题。 1 2主要成果和内容组织 本文的研究目的是通过对模糊集合及模糊数的基本理论的研究讨论，进而 研究了模糊数的序，模糊数的距离，以及模糊数在综合评判中的应用。 具体说来，本文的主要成果和内容组织如下： 在本文第三章中，从赋值的角度出发，通过对赋值拟序，赋值偏序，赋值 全序概念的研究，得到了关 ：区间数和模糊数的赋值序关系的性质。 在本文第四章中，给出了模糊数的距离的一种新的表达式的定义，并讨论 了模糊数的距离的一些性质。 西北大学硕士学位论文 在本文第五章中，将模糊数应用于综合评判领域，提出了一种新的基于模 糊数的综合评判模型，并以综合素质的评价为例列举了新的模糊数的模糊综合 评价的步骤。 2 第二章模糊数的基本理论 第二章模糊数的基本理论 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学。所谓模糊性，主要是指事物的 差异在中间过渡时所呈现出的“亦此亦彼”性。 一个概念有其内涵和外延，所谓内涵就是指符合此概念的对象所具有的共 同属性；而外延是指符合此概念的对象组成的集合。集合可以表现概念，集合 的运算和变换可以表现判断和推理。因此，建立在集合论的基础上的现代数学 成为可以描述和表现各门学科的形式的语言和系统。 经典集合要求一个对象对于一个集合来说要么属于，要么不属于，两者必 具其一且仅具其一。这种情况是对客观研究对象提取特征或划分等级与类别的 结果。但是，就人们对客观现象的认识和描述而言，大多数情况并不具有这种 “亦此亦彼”性，这时所研究对象的集合并没有一个明确的边界。有些现象， 过丁简单的提取特征就会歪曲事物本身的规律。因此，必须扩充经典集合，于 是，便产生了模糊集合论。模糊数学的产生把数学应用范围从精确现象扩大到 模糊现象的领域。 在本章中，对r 论述的理论基础一模糊集合论的基本理论做了介绍。 2 1模糊集合的基本概念 1 特征函数 设u 足论域( 普通集合) ，记 _ p ( u ) = a l a ，) 称p ( ) 为幂集，约定o ，u p ( 矿) 。 州u ，= r 搿 为集合4 的特征函数。记 蜀( y ) = ) ( l x ：x + o ，1 ) 设x a ，x 口蜀( x ) ，记 x vx b = ：m a x ( x a ，x b ) x a x 日= m i n ( x a ，x b ) x 盖= l x a 容易证明 2 模糊集合的定义 设a p ( u ) ，称 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( p ( 义) ，u ，n c ) 兰( 蜀( x ) ，v ，c )( 2 4 ) 3 塑! l 奎耋堡主耋堡篁塞 x 的经典子集( 普通子集) 可由其特征函数地唯一确定，地( z ) 指 明z 对a 的隶属度。不过隶属度只能取o 与1 两种值，它反映了z 绝对不属于a 和 绝对属丁a 两种情况，因而它只能表现“非此即彼”的确切概念。如果打 破隶属程度只取0 与1 的限制，就可以表现“亦此亦彼”的模糊概念。查德 ( l a z a d e h ) 正足由此提出了模糊子集的概念。 设x 是经典集合。 我们说芦 确定了一个艄模糊子集a 。p 称为a 的隶属函数，m ( ) 称为对a 的 隶属度。 显然，模糊集合是经典集合的一般化，经典集合就是它的隶属函数的值域 是 o ，1 ) 的特殊情况，这时的隶属函数就是经典集台的特征函数。 全体x 的模糊子集组成的集合记作，f x ) ，称为x 的模糊幂集。 3 模糊集合的运算 定义2 2 ：设a ，b ，( x ) ，称a 包含日( a b ) ，当且仅当对任意。x ，恒 有p a ( z ) 肛b ( z ) 。 称a ，b 相等当且仅当对任意。x ，恒有m ( z ) = 加( z ) 。 称a 真包含b ( a ) 日) ，当且仅当对任意z x ，恒有m ( z ) 阳( z ) ，且存 在z o x ，使卢4 ( z ) p 日( z ) 。 定义2 3 ：设a ，b ，( x ) ，定义运算a u b ，a n b ，a 。如下 p a u b ( z ) 垒p ( 茁) vp b ( z ) p a n b ( z ) 垒p a ( 。) 扯b ( z ) 。( z ) 垒1 一p a ( t ) au 口与anb 分别称为且、b 的并集与交集，而a c 称为a 的余集。 定理2 1 ：( ，( z ) ，u ，n ，c ) 具有以下性质： ( j ) 最大、最小模糊集合存在性：g a x j ( 2 ) 自反性：a c a ： ( 口) 反对称性：如果ac 口，bca ，则a = b 。 ( 4 ) 传递性：如果a b ，口e ，则a g 。 ( 5 ) 交换律：a u b = b u a ，a n b = b n a ： ( 疗) 结合律：a u f b uc r ) = ( 4 u b l u e ， 4 nf b n e ) = f a n 日1 n g ； ( 7 ) 分配律：a u ( b n g ) = ( a u b ) n ( j 4 u g ) ， a n ( b u g ) = ( a n b ) u ( a n e ) ； f 2 5 1 ( 26 ) f 2 7 1 l n 甸 1 m x h a z p 射 映出给 俐 l2 义定 ( 8 ) 吸收律：a u f a n b ) = a ，a n ( b u a ) = a ； ( 9 ) 幂等律：a u a = a ，a n a = a i ( 口) 对合律j f a 。) 。= a i ( j j ) 两极律：x n a = a ，x u a = x ， o n 4 = a ，a u a = a ： ( j 2 ) 对偶律：( a u 口) 。= a 。n b 。， f a n b l 。= a 。u b 。： 显然在此补余律不成立，这是模糊集与经典集的根本区别。 2 2 分解定理与表现定理 1 模糊集合的截集 一个元素z 是否属于模糊集合，回答是不确切的，如果我们选定一个“门 坎”a ( o a 1 ) ，当z 对于a 的隶属度a ( z ) a 时，便说z a a ，否则便 说。如，于是z 是否属丁山的回答将是确切的。这样便得到了一个经典子 集a 从而导出截集的概念。 定义2 4 ：御设a ，忧) ，对任意 【o ，1 ，记 ( 4 ) a 垒a 垒 z l a ( 。) a ) 称且 为a 的a 一截集，a 称为置信水平。又记 ( 4 ) 垒a 垒 茁i a 仕) a ) 称凡为a 的a 一强截集。称 a o 垒 z i a ( 茁) o ) = s t 伊p a 为a 的支集。称a 1 为a 的核，记作k e 以。称a o a 1 为a 的边界。 截集和强截集具有下列性质： 命题2 1 ： ( a u 口) = a u b ；( a n b ) = a n b 命题2 2 ( a u b ) = a u b a ；( a n b ) = a n 口 ( 。吕栏：吕掣 ( 。妒。) 卜。吕掣 5 ( 。掣。) 卜。吕a ， ( 。b 、) 壮。吕掣 ( 2 8 ) f 2 9 1 f 2 1 0 1 西北大学硕士学位论文 命题2 3 命题2 4 命题2 5 a a a 1 a 2 = 孛a 1 三a 2 ；a l2a 2 ； a l 三a 2 l p k = a ( 。吕k ) ；# 旨a hca ( 。各 ) b a k a ( 。吕丸) ；t 吕a k = a ( 。各儿) 命题2 6 ：设a ，皤) ，则 命题2 7 ： 命题2 8 凡2 口n 。咖a 、。撼p b ( a 。) = ( a l 一 ) 。； ( a 。) = ( a l 一 ) 。 a o = x ；a 1 = o 2 分解定理 分解定理是模糊数学基本定理之一，它提供用经典子集的集合套来构造模 糊子集的可能性。 定义2 5 ：设a ，伍) ，a o ，1 ，a 与a 的数积的隶属函数为 特别的，如果a p f x l ，则 ( a a ) ( z ) = a a ( 茁) ( a a ) ( z ) = a a ( z ) = a 显然，我们有 ( ) 如果a 1 a 2 ，则a l aca 2 a ；( 2 ) 如果ac 且，则a aca 日。 6 f 2 1 1 1 f 2 1 2 ) 第二章模糊数的基本理论 定理2 2 ：濮糊集合的分解定理j j 耐设a ，( x ) ，则 肚。m - 定理2 3 ：纠荚糊集合的分解定理纠设a ，( x ) ，则 a =ua a l 0 ，1 ) 如果风为 o ，1 中的有理点集，则 a 2 战a 山 2 兰。a a ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) f 2 15 ) ( 2 1 6 ) 定理2 4 ：设a ，b ，( x ) ，则acb 的充分强要条件为厶c 毋( a o ，1 】) 或a cb ( a 【o ，1 ) ) 或a acb ( a 风) 定理2 5 ：做糊集合的分解定理圳设a ，( x ) ，令 日： o ，1 】一p ( x ) a h 爿( a ) 满足： 山c 日( ) c 九 ( o ，1 】)( 2 1 7 ) 则 口m 2 a ( 1 ) ； r 动吐n 果a 1 n “仃 d 推论2 2 ：设日疋f x ) ，且 已日( 1 ) = 日( a ) 则a = 9 ( 日) 时，a 。= 日( o ) 如果 殳h ( a ) 一日( n ) 则a = g ( 片) 时，a 。= h ( c ￥) 0 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) f 2 2 6 1 f 2 2 7 1 f 2 2 8 1 西北大学硕士学位论文 2 3模糊数的理论背景 众所周知，实数理论是经典分析学的基础。同样模糊数理论也是模糊分析 学的基础，是模糊分析学中最基本最重要的概念之一。关于模糊数的概念，最 早可以追溯到z a d e h 和c h a n g 的著作【8 j 中，文中结合概率分布函数的性质，把实 数域r 上的一族具有特殊性质的模糊集称为模糊数。之后，日本水本雅晴和田中 英夫( m i z u m o t om n n a k ak 1 9 7 6 年) ，纳米亚斯( n a h m i a s ，1 9 7 8 年) ，d 杜 布瓦( d d u b o i 8 ) 和普哈德( h p r a d e ) 【9 卜f 1 1 | ( 1 9 7 8 年，1 9 8 2 年，1 9 8 7 年) 先 后对模糊数系的各种性质深入分析，特别是考虑到建立模糊数系的微积分等， 人们已越来越多地注意到将模糊数系与区间分析集值映射理论联系起来，于足 形成了模糊数系的较系统理论 首先是cv 尼格依塔( c vn e g o i t a ) 、d a 拉列斯库( d a r a l e u ) 在他们的 著作( 1 2 】中，将模糊数看成是一个区间数族 “川r o ，1 】) ( 含参数的区间数) ，这样 就产生了模糊数的表示定理。 接着，1 9 8 6 年，r 戈茨切尔( rg o e t s c h e l ) ，w 沃克斯曼( w v b x m a n ) 在文 章【1 3 1 中用两参考函数 ( n ( r ) ，6 ( r ) ，州r 【0 ，l 】) 来刻划模糊数，形成了模糊数的 表示定理 模糊数的表示定理在研究与模糊数有关的各类问题中有着广泛的应用 基丁区间分析的方法和集值映射理论，文章f 1 4 i 【2 0 j 对模糊数空间e 1 的拓扑性 质进行了广泛的研究，由一致h a u s d o r 踱量引出了6s 拓扑结构和m s 拓扑结构， 为了运用泛函分析的工具来研究取值于模糊数的函数，1 9 8 3 年，m l 普 瑞( m 【p u r i ) 和da ，拉列斯库( d a r a k s c u ) 在j m a a 上的文章【2 1 1 中，借助丁紧 凸集的拉斯特姆( r a d s t r o m ) 嵌入定理，将模糊数空间e 1 等距同构地嵌入到 某b a i l a c h 空间x ，并且作为其内的顶点为。的闭凸锥。然利用该嵌入算子及抽 象函数理论可以定义模糊函数的微分等，并且也能将模糊数空间的性质研究 与b a n a c h 空间理论联系起来，但由。r 并未明确地给出b a n a c h 空间的具体结构，这 就影响了普瑞一拉列斯库嵌入定理的更深入的应用。吴从j 圻和马明在其1 9 9 1 年 的著作模糊分析学基础中，引入b a n a c h 空间a f 0 ，1 1 。 由于模糊数空间已成为一个较为完善的结构，人们已逐步开始了取值于模糊 数的关系方程，取值予模糊数的度量、取值于模糊数的测度等方面的研究。除了 模糊数的理论应用外，模糊数概念本身就是从语言变量、近似推理等应用领域的 需要提出来的，冈此，模糊数理论已自然地应用在控制论、模糊数据分析等众多 领域中。 有了以上这些概念和准备，国内外学者们还对模糊复数系展丌了较系统地研 究。 2 4模糊数的基本概念 定义2 1 0 ：设r 为实数域，称闭区间k6 】为闭区间数，其中n ，6 r ，n s6 1 ( ) 里三童堡塑墼塑塞至堡堡 设r 为r 上全体闭区间数的集合。若o n b ，别称【o ，6 】为正区间数； 若n 6 o ，则称【o 6 】为负区间数。 定义2 1 1 ：设 ( z 1 ，z 2 ) = z l z 2 给出兄上一个代数运算，利用经典扩展原理，我 们有 + ( 【o ，6 】， c ，d 1 ) = 【凸，6 ，【c ，司 = z i | ( z ，可) 【n ，6 】【c ，d ，。= z 牛可) 若所的结果仍是闭区间数，则说上面的公式给出冗的一个运算 定义2 1 2 ：设x 是欧氏空间，a x ，称a 为x 上凸集当且仅当满足 z 1 ，z 2 a 甘七茁2 + ( 1 一七) z l a( 七 o ，1 ) acx 称a 为x 上闭集当且仅当 茁。a ( = 1 ，2 ，) 且l 曲z n = n = n a x 满足以上两条的集合a 称为闭凸集 定理2 1 2 ：设月为实数域，a r ，a 有界，那么a 是闭凸集当且仅当a 是闭区 间数。 定义2 1 3 ：设x 是欧氏空间，a ，( x ) 称为x 上凸模糊集当且仅当v a ( o ，1 ，a 是凸集。 a 称为x 上闭模糊集当且仅当v a ( 0 ，1 1 ，a 是闭集。 a 称为x 上闭凸模糊集当且仅当姒( o 、1 1 ，a 是闭凸集。( 我们约定空 集d 为闭凸集) 。 特别地，对实数域露，4 ，( 咒) ，s 卿a = a o 有界或者坝( o ，1 ，凡有 界，那么a 是闭模糊集当且仅当v a ( o ，1 1 ，a 是闭区间数。 定理2 1 3 ：a 是x 上凸模糊集的充分必要条件是 a ( z 2 + ( 1 一女) z 1 ) a ( z 1 ) a ( z 2 )( 22 9 ) 推论2 3 ：设r 为实数域，a ，( r ) ，则a 为凸模糊集的充分必要条件是 对b h z 2 ，z 3 r ，z l 。2 z 3 ，恒有 a ( z 1 ) a ( z 2 ) 4 ( z 3 )( 23 0 ) 定义2 1 4 ：a ，( x ) ，a 称为正则模糊集当且仅当存在z o x ，使a ( 。o ) 一1 西北大学硕士学位论文 定义2 1 5 ：倒设a ，( r ) ，如果满足： r 砂i 是正规的，即存在。o 月，使得a ( 。o ) = 1 ； 俐v a ( o ，l 】，水平集n = 扛l i ( z ) a ) 是闭区间，记为k 魁称磊为觇z z 放。通常实数可视为乳翎庆敷，其隶属函数为 ，、f1 “叫2 o ( 2 3 1 ) 定理2 1 4 ：? ，a ，( r ) 似为有界闭模糊数j 当且仅当其隶属函数 i 1 ， 【m n 】o ) a ( z ) = 三( 。) ，扛 n ) 其中l ( 。) 增函数，右连续，os l ( z ) l 且。曼三( z ) ；o i r ( 。) 减函数，左连 续，o 兰月( z ) n 、v n x ： 2 ) 传递性：。 6 ，6 c 则o c 那么，称“ ”是x 的一个拟序，( x ， ) 为一 个拟序集若还满足 3 ) 反对称性： 6 ，6 n 则n = 6 那么，称、 ) 为一个偏序集若还满足 4 ) 可比较性：抛6 x ，d 66 。、o = 6 必有一成立，则称伍， ) 为一个全 序集 1 3 西北大学硕士学位论文 下面，我们将上述序关系加以赋值化，从而引入赋值序关系 设n ，6 x ，赋值序关系“；”，即o ；6 ，其中r 由o ，6 决定，即r ；r ( o ，6 ) o ，1 定义3 1 ：n 、6 x ，如果满足 j ， o ，1 l ，n ；n i 剀传递性：n 6 扣c ，则j r 3 【o ，l 】，口c ，并且r 3 r 1 r 2 ，那么，称；” 是x 的一个赋值拟序，( x ，) 为一个赋值拟序集若还满足 圳反对称性m = 6 ，6 o ，则= 6 ，那么，称( x ，) 为一个赋值偏序集若还满 足 4 ，可比较性? v ，6 x ，j r o ，1 】，6 ，6 o ，n = 6 必有一成立，则 称( x ，) 为一个赋值全序集 显然，当r ( n 扣) o ，1 ) 时，赋值序关系( 拟序、偏序、全序) 就是普通的序关 系( 拟序、偏序、全序) ，冈此，可以说赋值序关系“；”是普通序关系“ ”的一 个推广 设r 为实数域，称闭区间k 一，一 为闭区间数，用a 表示，记为a = 【o 一，矿】设豆为r 上全体闭区间数的集合，若o o ，则有： ， n 一，。十 + 6 一，6 + 】= n 一+ 6 一，n + + b + j i 纠 n 一，n + 】 6 一，6 + 】= n 一6 一，o + 6 + 】i t 黟 o 一，d + 】【6 一，6 + 】= 【o 一7 6 + ，o + 6 一】j 彳，七【口一，n + 1 = 【南。一，七n 十1 i 剀南= b 卦 设a = 【。一，。+ 】，5 = b 一，6 + i 是闭区间数，记矿= 掣，矿= 掣 定义3 2 ： a = 一，n + 】，5 = 6 一，矿j ，如果一= 6 ，矿= 6 + ，则称a 与5 相等，记 为a = 5 定义3 3 ： 设a 5 称r 为a 大于5 的赋值， r = ：+ f n 一一b f o 一一6 ) o + ( o + 一6 十) 0 ) vo + ( d + 一6 + ) vo 。+ 扩 f 3 1 1 若理+ = 6 且8 + 一程一 6 + ， ( 3 2 ) 6 一n 一o + 6 + 且+ 6 + ， 8 + 扩且o + 一。一 ( o + 一6 十) ( 6 一一c 一) ( 6 + 一c + ) ( n 一一b 一) ( n + 一6 + ) ( 6 一一c 一) 成立，则有 ( b 十一c + ) ( n 一一6 一) + ( b + 一c + ) ( 6 一一c ) ( o + 一b 十) ( 6 一一c 一) + ( 6 + 一c + ) ( 6 一一c 一) 于是( 6 + 一c + ) ( n 一一c 一) ( n + 一c + ) ( b 一一c 一) ，即 a 一一c 一6 一一c i i 再干 因此，r 3 ”2 兰，l 7 2 同理，可以证明”3 7 1 ”l r 2 或者7 3 = r 1 = 7 2 2 当n 一c s6 一6 + sc + 至n + 时，有 。 n d ， nc 7 l21 + 万= 万，n21 + 万= 万 冈为n + 一矿+ n 一一6 一= 2 ( o + 一扩) ，所以 n = - + 篙= 等一，+ 篙= 等等 7 121 + 孑f 巧5 i 希”3 21 + i f 刁。i i 1 5 耍! ! 奎堂堡圭耋堡堕塞 并且o + 一6 + + 一c + ，2 ( 0 + 一c + ) = 2 ( n + 一矿) + 2 ( 6 + 一c + ) 2 ( o + 一扩) ，所 以篱 筹，即r 。 r 。r r 。 3 当c 一o s6 一茎6 + c 十茎矿时，有r 3 = l ，于是显然有，r 3 ，1 r 2 4 当c so s6 一6 + 茎o + 茎c + 时，有 旷，+ 筹= 等等 旷，+ 筹= 等等 由于6 一一c 一 a 一一c 一，2 ( o + 一c 4 ) = 2 ( + 一6 ) + 2 ( 扩一c 4 ) 2 ( 扩一c + ) ，所 以筹 ；! ：j i ；! ，s p 您 r 。r 。 r z 同理可证明，当i = k 一，n + 1 ，5 = 【6 一，6 + 】时，结论仍然成立、 定理3 3 ：区间数的赋值序关系满足反对称性即a ；丽；a ，则5 ：a 推论3 1 ：对于区间数的集合全体袁，( 豆；) 是一个赋值偏序集 3 。2模糊数的赋值序关系 定义3 4 ：设i ，( m ，如果满足： n ，a 是正规的，即存在z o r ，使得a ( z o ) = 1 ； 砂v a ( o ，1 】，水平集 o 】 = 。i a ( z ) a ) 是闭区间，记为 n 一( a ) ，n + ( a ) 】， 则称i 为凡涨。全体r 上的模糊数记为f ( ， 定义3 5 ： 假定i ( z ) 是l e 6 e s 弘e 可积的，记 r 1r 1 n 一= 2 a i d a ，+ = 2 a 凸支d a ， ( 33 ) j 0j 0 称区间数a = f o 一o 十1 为模糊数a 的近似表示 定义3 6 ： 设区间数a = 陋一，n + ，5 = f 6 一，6 + 】分别为模糊数a 和5 的近似表示，称 区间数a ；5 的赋值r 为模糊数a 大于5 的赋值，记为a ；5 定理3 。4 ： 模糊数的赋值序关系满足传递性，即i 5 5 i ， 则j r 3 【o ，1 】，a 罗已且r 3 r 1 ，2 定理3 5 ：模糊数的赋值序关系满足反对称性即a ；5 ，亩；a ，则5 ：a 推论3 2 ：对于模糊数的集合全体f ( r ) ，有( f ( r ) ，；) 是一个赋值偏序集 为此，我们可以定义一种关系一：a 一5 甘一= 6 ，n + = 6 + 显然，关系。满 足j i a 黾： 圳i 一6 号5 一aj 圳i 一5 ，5 0 号i 一0 ，所以，。是等价关系借助于。我们可以对模糊数 进行分类，得到( i ) = 侗5 一a ) ，并且有( i ) ；( i ) 付a ；5 第三章模糊数的序 定理3 6 ： ( f ( r ) 一，；) = ( 矗，；) 1 7 西北大学硕士学位论文 第四章模糊数的距离 自1 9 7 2 年，模糊数学的创始人z a d e h 提出模糊数的概念以来，随着模糊 分析理论研究的不断深入| 3 3 l 一【4 2 | ，模糊数以及模糊数间的距离概念变得十分重 要。由丁模糊数与经典意义的实数有着很大的区别，模糊数间的距离也变得比 较复杂，并且实数间欧氏距离的某些重要性质在模糊数间的不到满足，因此， 在传统分析数学中使用距离定义的概念，在模糊分析中不能再使用距离的概念 来刻画。例如，模糊值函数的微分定义通常是利用区间值函数的微分并集来定 义。模糊数的距离定义不仅仅在模糊分析数学中有重要意义，在模糊应用技术 中，如在模糊综合评判，模糊聚类以及模糊推理等方面也有相应的应用。 定义4 1 ：设e 是一个非空集，比，f e ，给定一个实数p ( 。，们与之对应 若p ( 。，g ) 满足如下条件j f j ，非负性：p ( z ，) o ，p ( 。，f ) = o 当且仅当z = 可i f 剀对称性：p ( z ，) = p ( ，z ) j r 髟三角不等式：p ( z ，) sp ( z ，z ) + p ( z ，f ) ，( 2 e ) 则称p ( z ，) 是两点z 之间的距离 定义4 2 ： 设r 是实数域，称闭区问【o ，b ) 为区间数，其中n ，6 兄，o o 1 8 第四章模糊数的距离 例设两相等的三角模糊数a = 日= ( 1 ，2 ，3 ) 利用公式算得a 与口之间的 距离： 一 _ d r ( 4 ，日) ：二o ，( ，( a ) = l ，v a 【o ，l 】) 1 d r ( a ，b ) = 妄o ，( ，( a ) = = a ，v a o ，1 j ) 结果表明，上述定义的模糊数间的距离是不合理的为此，以下重新定义模糊 数问的距离 4 1一种新的模糊数的距离的表达式的定义 定义4 4 ： 映射p ：f ( r ) f ( 冗) 一【o ，。o ) 称为模糊数的距离，如果p ( a ，5 ) 满足 一j p 陋，酌o ，p ( a ，6 ) = o 当且仅当a = 5 ； 俐p ( a ，5 ) = p ( 5 ，a ) j r 圳p ( a ，5 ) sp ( i ，a ) + p ( j ，5 ) ，( v 琶f ( r ) ) 定理4 1 ：下式定义的p 是一种模糊数的距离jv a ，5 f ( r ) ， 施，5 ) = ；强z 1 ( k 一吲巾王“支眦a ( 4 4 ) 证明： 显然此积分式成立因为i ，6 f ( 月) ，所以i ，6 都是模糊数，且 有： n i ，王1 和陋i ，6 支】在a ( o ，l 】处均为有界闭区间，则有o i ，n 支，畈，畋在a ( o ，1 l 处至多是跳跃间断点，且有界所以。i ，n 支，6 i ，6 女在a ( o ，1 1 范围内可积。 当然其代数和也是可积的 1 ) 显然p o ，且有如果p = o ，则v a ( o ，1 】，l i n 支i + k + 6 支f = o ，从而 有n i = 咬，n j = 6 j ，即a = 6 2 ) 冈为p ( 6 ，6 ) 2i 觐( 1 0 i 一畋i + j n j 一6 j i ) 以2i 躲( f 皈一n i + 1 6 支一支1 ) d a = p ( 6 ，酌所以p ( a ，= p ( 6 ，动 3 ) 冈为v f ( r ) ，a ( o ，1 1 ，有 i n i 一6 i fsl n i c ij + i c i 一6 i 及 i o j 6 j i i n 支一c j + i c 支一6 支l 则有 i n i 一6 i f + j o j 一6 jj f n i c i | + l c i 一而i + l n c 支j + f c 王一6 支 冈此有p ( i ，5 ) p ( i ，i ) + p ( 6 ) 容易看到，如果n ，6 r ，则p ( n ，6 ) = l n 一乩 证毕 1 9 西北大学硕士学位论文 命题4 1 ：设a ，5 ，i e ，刺有 门，阡移不变性，p ( a 士i ，i j ) = p ( 5 ，功，p ( 5 士a ，士i ) = p ( 5 ，a ) f 纠他齐性，r ，p ( a ，5 ) = p ( a ，5 ) j 俐若a 5 ，则p 陋，6 ) p ，) ，p ( 5 ，) 茎p ( a ，i ) ； “，若as s5 ，磊童s5 ，则矿( o ，西兰p ( 鑫，酗 4 2给出与新的距离表达式定义相关的几个定理 定义4 5 ：设( 矗) cf ( r ) ，a f ( 固，如果v e o 囊为任意小的正整数j ，存在正 整数，使得当n2 时，p ( 靠，a ) 1 n l “一