（应用数学专业论文）几类泛函微分方程的周期解(2).pdf

几类泛函微分方程的周期解 摘要 本文利用几类非线性泛函分析方法，讨论了一类一般形式的捕食者一食饵模 型，一阶和二阶时滞微分系统，一阶和二阶中立型泛函微分方程以及一阶和二阶 中立型泛函微分系统，建立了方程或者系统的一个或多个周期解的存在性结论 全文共分六章，主要内容如下； 第一章，介绍了有关泛函微分方程的周期解的发展概况以及本文的主要工作 第二章，研究了具有m i c h a e l i s m e n t e n 型功能反应和储存项的时滞捕食者* 食饵生物模型利用连续性定理和一些分析技巧得到了其至少存在一个正周期解 的充分条件本章中所讨论的模型包含了多种特殊的具有m i c h a e l i s - m e n t e n 型功 能反应项的捕食者一食饵生物模型，因此，我们的结果具有一般性。通过给出两个 推论说明，本章的结论可以直接应用到一些特殊生物模型的周期解的存在性研究 中 第三章，首先介绍了s c h a e f e r 不动点定理的发展，主要经历三个阶段：s c h a e f e r 不动点定理，b u r t o n 和k i r k 改进的s c h a e f e r 不动点定理以及l i u 和l i 改进的 s c h a e f e r 不动点定理然后利用l i u 和l i 改进的s c h a e f e r 不动点定理以及b u r t o n 和k i r k 改进的s c h a e f e r 不动点定理分别考虑了一类一阶中立型泛函微分方程和 一阶中立慰泛函微分系统，获得了方程和系统具有一个周期解的充分性判据据 我们所知，本章的结果是首次利用分离压缩的s c h a e f e r 不动点定理得到的关于中 立型泛函微分方程周期解存在性的结论 第四章，讨论了两类依赖于参数的泛函微分系统，用锥上的d e i m l i n g 不动点 定理，证明了系统的正周期解的个数与参数的取值以及非线性项的渐近行为有关 首先研究了一类依赖于参数的具有反馈控制的非线性泛函微分系统，获得了系统 存在一个正周期解以及两个正周期解的充分条件。再者，讨论了依赖于两个正参 数的二阶半线性微分系统，建立了系统存在正周期解的结论，并且证明了存在二 维平面中的连续曲线r 使得。对任意位于r 下方的点，系统至少具有一个正周期 解；对任意r 上方的点，系统没有正周期解关于二阶微分系统的结果，实际上 是得到了二阶半线性微分系统的一个局部分支，但是用我们的方法比用分支理论 得到分支要简单的多。据我们所知，这是用锥上的d e i m l i n g 不动点定理得到二阶 微分系统的分支的最早的工作 第五章，用锥上的d e i m l i n g 不动点定理分别讨论了依赖于参数的一阶中立型 泛函微分方程和一阶中立型泛函微分系统，导出了一阶中立型泛函微分方程以及 一阶中立型泛函微分系统存在两个正周期解，存在一个正周期解以及不存在正周 期解的充分条件当中立项是零时，我们获得的结果与已存在的相应结果一致 i i 博士学位论文 因此，我们的工作推广了已有的结果 第六章，用锥上的d e i m l i n g 不动点定理分别讨论了依赖于参数的二阶中立型 泛函微分方程和二阶中立型泛函微分系统获得了二阶中立型泛函微分方程和系 统存在一个正周期解以及存在两个正周期解的充分条件据我们所知，关于中立 型泛函微分方程和系统的多个正周期解的存在性的文献还没有，我们的工作是最 新的 关键词；中立型泛函微分方程；周期解不动点定理；拓扑度连续性定理；不动点指 标定理；s c h a e f e r 不动点定理 i i i 几类泛函微分方程的周期解 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e sat y p eo fp r e d a t o r - p r e ys y s t e m s ，o n e - o r d e ra n ds e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，o n o r d e ra n ds e c o n d o r d e rn e u t r a lf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sr e s p e c t i v e l y t h er e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo fo n ep e r i o d i cs o - l u t i o no rs e v e r a lp e r i o d i cs o l u t i o n sa r ee s t a b l i s h e d t h ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t o s i xc h a p t e r s m a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c eas u r v e yt ot h ed e v e l o p m e n to fp e r i o d i cs o l u t i o n s f o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a i nr e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o na r e8 1 n t l n l a - r i z e d c h a p t e rt w oi sa b o u tac l a s so fd e l a y e dp r e d a t o r - p r e ys y s t e m sw i t hs t o c k i n g a n dm i c h a e l i s - m e n t e nf u n c t i o n a lr e s p o n s e e m p l o y i n gm a w h i n sc o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n ds o m ea n a l y s i st e c h n i q u e s ，w eo b t a i n t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fo n ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n ，t h es y s t e m w es t u d yi nt h i sc h a p t e ri sg e n e n r a l i z e d ，c o n t a i n i n gs e v e r a lk i n d so fs p e c i a l i z e d p r e d a t o r - p r e ys y s t e m s o u rr e s u l t sa r ea p p l i e dt ot h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n sf o rm a n yc l a s s e so fs p e c i a l i z e ds y s t e m s i nc h a p t e rt h r e e ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ft h es c h a e f e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ，i n c l u d i n gt h r e es t e p s ：s c h a e f e rf i x e d - p o i n tt h e o r e m ( 1 9 5 5 ) ，s c h a e f e r f i x e d p o i n tt h e o r e mi m p r o v e db yb u r t o na n dk i r k ( 1 9 9 8 ) a n ds c h a e f e rf i x e d p o i n t t h e o r e mg e n e r a l i z e db yl i ua n dl i ( 2 0 0 6 ) t h e n ，b yt h eg e n e r a l i z e ds c h a e f e rf i x e d p o i n tt h e o r e m s ，w es t u d yo n e o r d e rn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( o r s y s t e m s ) a n de s t a b l i s ht h er e s u l t so ft h ee x s t e n c eo fo n ep e r i o d i cs o l u t i o n t o o u rk n o w l e d g e ，t h i si st h ef i r s tw o r kf o rt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o r n e u t r a ls y s t e m sb yg e n e r a l i z e ds c h a e f e rf i x e dp o i n tt h e o r e mo fs e p e r a t ec o n t r a c t i o n m a p p i n g i nc h a p t e rf o u r ，t w oc l a s s e so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sd e p e n d i n go n p a r a m e t e r s & r ed i s c u s s e d a p p l y i n gd e i m l i n gf i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds o m ea n a l y - 幽t e c h n i q u e s w ep r o v et h a tt h en u m b e ro fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sd e p e n d so n t h ev a l u eo ft h ep a r a m e t e r sa n dt h ea s y m p t o t i c a lb e h a v i o ro ft h en o n l i n e a rt e r n l s f i r s t ，o n ec l a s so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i ms y s t e m sw i t hf o e d b a c kc o n t r a l i ss t u d i e d t h ee x i s t e n c eo ft w op o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n do n ep o s i t i v ep c - r i o d i cs o l u t i o ni so b t a i n e d t h e n ，o n ec l a s so fs e c o n d o r d e rs e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a l s y s t e m sw i t ht w op a r a m e t e r si sc o n s i d e r e d w es h o wt h a tt h e r ee x i s t sac o n t i n u o h sc u r v es u c ht h a tt h es y s t e mh a sa tl e a s to n ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nf o ra n y i v 博士学位论文 p o i n t sw h i c hi sb e l o wra n dt h es y s t e mh a sn op o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o ra n y p o i n t sw h i c hi sa b o v er t h er e s u l t so nt h es e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a ls y s t e m si so n t h el o c a le x i s t e n c eo fb i f u r c a t i o nf o rs e c o n d - o r d e rs e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h em e t h o d sw eu s ei nt h i sc h a p t e ri sm u c hs i m p l e rt h a nt h eb i f u r c a t i o nt h e o r y t oo u rk n o w l e d g e ，o u rw o r ki st h eo n l yw o r ko ut h eb i f u r c a t i o nf o rs e c o n d - o r d e r s e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m sb yd e i m l i n gf i x e d p o i n ti n d e xt h e o r e m i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w es t u d yo n e o r d e rn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r n t i a le q u a - t i o n ( o rs y s t e m ) w i t hp a r a m e t e r s b yd e i m l i n gf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ed e d u c et h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s ，t h ee x i s t e n c eo f o n ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o na n dt h en o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s w h e nt h en e u t r a lt e r mc x ( t t ) i sz e r o ，o u rr e s u l t sd e d u c et h ec o r r e s p o n d i n g p r e v i o u sr e s u l t s o u rr e s u l t si m p r o v et h ep r e v i o u sr e s u l t s i nc h a p t e rs i x ，w es t u d ys e c o n d o r d e rn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r n t i a le q u a t i o n ( o r s y s t e m ) w i t hp a r a m e t e r s b yd e i m l i n gf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w es h o wm u l t i p l i c i t y o fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n dt h ee x i s t e n c eo fo n ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n f o rs e c o n d o r d e rn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r n t i a le q u a t i o n t oo u rb e s tk n o w l e d g e ， t h i si st h ef i r s tw o r kt os h o wt h ee x i s t e n c eo ft w op o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so f s e c o n d o r d e rn e u t r a ls y s t e m s k e yw o r d s ：n e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；f i x e d p o i n tt h e o r y ；c o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y ；f i x e d - p o i n ti n - d e x ；s c h a e f e rf i x e d p o i n tt h e o r e m v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明；所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名t 票客 日期： 俨辞 y 月谬日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子叛，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密影 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 粱强，日期：y 磁年y 月f 苫日 翩獬。砂0 成醐：碲歹月3 日 枷小 博士学位论文 第1 章前言 1 1 泛函微分方程周期解的历史背景 时滞动力系统是对力学，通信工程，控制过程，生态和经济系统，化工循环系 统，遗传问题以及流行病的传播等领域内普遍存在的现象的描述在实际的问题 中，一个系统将来的行为不仅仅依赖于现在的状态，也受到过去的状态的影响 泛函微分方程恰恰充分考虑到历史因素f 即时滞) 对系统的影响，能更精确的反映 实际现象，因而这些时滞动力系统通常用泛函微分方程( f d e ) 来表示 二十世纪三十年代之前，对泛函微分方程的研究内容仅限于某些特殊类型方 程的特殊性质1 9 2 8 年和1 9 3 1 年，v o l t e r r a 【l ，q 讨论了更一般的泛函微分方程， 并且利用泛函微分方程与一些物理系统之间的联系，定义了能量函数以观察系统 在短时间内的渐近行为这是泛函微分方程理论体系发展的一个里程碑之后，自 然科学与社会科学的许多学科中提出了大量的时滞动力系统问题，如核物理学，电 路信号系统，生态系统，遗传问题，流行病学等等随着这些问题的深入研究，泛函 微分方程理论不断完善，出现了许多关于泛函微分方程各方面理论的专著【3 ”例 如，b e l l m a n 和d a n s k i n a 以及b e l l m a n 和c o o k e 【4 j 提出了常系数线性泛函微分 方程的稳定性定理；k r a s o v s k i i 5 】也给出了这方面的理论；郑祖庥【6 】和h a l e i ”， 结合前人的成果，从稳定住，有界性，周期解，振动性与渐近性以及概周期解等等 各方面更加全面的阐述了泛函微分方程的理论因周期系统与周期解反映了自然 界的周期运动规律，在泛函微分方程的定性理论中，周期解的存在性阎题是一个 重要的研究课题，几十年来一直受到国内外学者的高度关注。 拓扑度理论，不动点理论，单调半流理论，分支理论，半序方法以及临界点 理论等是研究泛函微分方程周期解存在性的重要手段。最近二十年来，这些理论 通过一批数学工作者的努力，已取得了长足的发展张恭庆，郭大钧，刘正荣， g a i n e s ，e r b e ，吴建宏以及h a l e 等在这些理论的发展中做出了引人注目的工作 口“如何利用这些理论来讨论泛函微分方程周期解的存在性问题，始终是数学 工作者非常重视的课题之一 对于泛函微分方程的周期解的研究，已获得了非常多的结果 1 1 , 1 5 “2 9 其中， 刘正荣和李继彬 1 1 1 以及李继彬等【1 目利用经典的h a m i t o n 系统的周期解理论讨 论了多时滞k a p l a n y o r k e 型微分差分方程的周期解；w u 和z o u 1 q 以及i z e ， m a s s a b o 和v i g n o l i 【”l 用等变化映射的度理论研究了一类对称泛函微分方程的周 期解的全局分支问题，z h u 和d u a n i ，s o n g 和c h e n ，刘志军等f 2 q 以及 f r e e d m a n 和p e n g 2 1 j 利用正解的持久性结果和l y a p u n o v - r a z u m i k h i n 技巧获得了 几类泛函微分方程的周期解 几类时滞扩散捕食者一食饵系统正周期解的存在性以及全局吸引性的充分条件； x i a o 和r u a n 2 “，w e i 和r u a n 口3 , 2 4 以及f a r i a 2 目用h o p f 分支理论建立了几类 生物系统局部周期解的存在性结果；李永昆 2 6 , 2 7 i ，马世旺俐，张正球 2 9 , 3 0 ，范 猛【3 l 】，鲁世乎等 3 2 “3 4 利用m a w h i n 重合度理论，讨论了二阶及三阶时滞微分方 程，l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型，捕食者一食饵模型，具有时滞的扩散捕食者一食饵 系统以及具有阶段结构的捕食者一食饵系统周期解的存在性；贺明科( ，王全义 ，伍炯宇以及l e g g e t t 和w i l l i a m s 3 目用不动点定理分别建立了一阶高维中 立型泛函微分方程以及无穷时滞积分微分方程的周期解的存在性结果 用重合度理论研究泛函微分方程的周期解得到的结论已相当丰富绝大多数 的这类文献都是讨论具体的l o t k a - v o l t e r r a 生态模型房辉和王志成教授【3 9 】讨论 了一类般形式的具有储存顼的竞争系统 lz i ( t ) = h f f t ，x l ( t ) ) ( a l ( t ) 一b f f t ) x f f t ) 一c 1 ( t ) g ( t ) ) + d - ( t ) ( z 。0 一n ) 一x l ) ) i+ s ，( t ) ， 茹；( t ) = h 2 ( t ，z 2 0 ) ) ( 0 2 ( t ) 一b 2 ( t ) x l ( t ) ) + d 2 ( t ) ( x l ( t 一乃) 一x 2 ) ) + 岛( t ) ， i 7 ( t ) = h a ( t ，( t ) ) ( 0 3 ( t ) 一b s ( t ) y ( t ) 一卢( ) ，( s ) y p + s ) d s c 3 ( t ) 1 ( t ) ) 【+ 岛( t ) ( 1 ，1 ) 利用重合度理论得到了系统( 1 1 ) 的正周期解存在的充分条件。 近年来，关于时滞泛函微分方程的多个周期解的研究受到重视，获得了很多 结论l i u 和l i 4 0 用a v e r y - h e n d e r s o n 不动点定理研究了一类反馈控制系统的两 个正周期解的存在性； a g a r w a l 和0 r e g a n 4 1 】用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理以及 由l e g g e t t 和w i l l i a m s 推广的k r a s n o s e l s l d i 不动点定理讨论了一类传染病模型的 两个正周期解的存在性 i a n g 等h 建立了一类二阶方程的两个周期解存在的定 理；c h e n 删用重合度理论，找到了满足连续性定理条件的两个互不相交的开区 域，从而证明了相应的捕食者一食饵系统至少有两个正的周期解 w a n g 4 4 】讨论了u 周期的非线性方程 协) = n ( 岫( z ( t ) ) z ( t ) 一a b ( t ) f ( x ( t r ( ) ) ) ，( 1 2 ) 其中a 0 是参数用锥上的不动点指标定理，作者得到了( 1 2 ) 存在一个正周期 解，两个正周期解以及不存在正周期解的充分条件；z h a n g 和c h e n g 4 5 】研究了 冀净僦ak旧(t)，f(x(二t-b(t)y(t端y ( o t 二0 口 2 粼 ( 1 3 ) 【掣( t ) =) + 肛九( t ) 9 ( z ( 亡一亿o ) ) ， 一 ( t ) ) ) ， r 7 其中a ，肛是两个非负参数并且不同时为零，所有的系数均为正的连续的u 一周期 函数用锥上的不动点定理以及一些分析技巧得到一条连续曲线，使得对应于位 博士学位论文 于曲线下方的点，系统( 1 3 ) 至少有两个周期解，对应于曲线上的点，系统( 1 3 ) 至 少有一个正的周期解，而对应于位于曲线上方的点，系统( 1 3 ) 没有正的周期解 但是，据我们所知，关于二阶以及更高阶的泛函微分系统的多个周期解的存在的 文献很少 关于泛函微分方程的周期解的文献中，有许多足关于中立型泛函微分方程和 积分方程的周期解存在性的结果贺明科【3 目用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理得到了高 维一阶中立型泛函微分系统周期解存在的充分性判据；鲁世平等 4 “4 目用重合度 理论研究了一阶，二阶中立型泛函微分方程或者系统的周期解存在性；b u r t o n 4 9 用改进了的s c h a e f e r 不动点定理讨论了一类积分方程的周期解的存在性；王良龙 和王志成教授【5 q 以及张入元和王志成教授【5 1 】也考虑了中立型泛函微分方程的周 期解，用到的方法是单调半流理论以及k r a s n o s e l s k i i 不动点定理。他们用到的工 具多是重合度理论，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理以及s c h a e f e r 不动点定理用锥上 的不动点定理来研究中立型泛函微分方程的文献还很少。据我们所知，用锥上的 不动点定理得到一阶以及二阶中立型泛函微分方程或者系统的多个周期解存在的 文献还没有。 1 2 论文的主要内容 本文讨论了几类时滞微分方程( 或系统) 以及一阶和二阶中立型泛函微分方程 ( 或系统) ，用几类非线性泛函分析方法得到了它们的一个或多个周期解的存在性 结论。本文共分六章，第一章介绍了有关泛函微分方程的周期解的发展概况以及 本文的主要工作 第二章，由于方法以及技巧的限制，关于l o t k a - v o l t e r r a 生物模型的周期解的 存在性文献中，绝大多数的研究对象都是特殊的生物模型。这些特殊的模型都是 具体的生物系统的简化，在某些方面不能够正确反应系统的性态基于此，考虑下 列的一般形式的具有m i c h a e l i s - m e n t e n 型功能反应和储存项的时滞捕食者一食饵 生物模型； ix l ( t ) = ，( ，。) ( 0 1 ( t ) 一0 1 1 ( t ) z 1 ( t ) 一暴爱群b ) l+ d 1 ( o ( x d t ) 一g l ( t ) ) + s l ( t ) ， lz ；( t ) = h 2 ( t ，x 2 ( t ) ) ( a 2 ( t ) 一a 2 2 ( t ) x 2 ( t ) ) + d o ( t ) ( z 1 ( t ) 一。2 ( ) ) + s 2 ( t ) ， 【( t ) = h 3 ( t ，暂( t ) ) ( 一n 。( t ) + m j ( t ) 坐y ( 工圭t - 造v ) “+ 兰= x l ! ( l t - r ) 、+ s 3 ( t ) ， 用连续性定理得到了系统存在正周期解的易于验证的充分条件我们讨论的模型包 含了多种特殊的具有m i c h a e l i s - m e n t e n 型功能反应项的捕食者一食饵生物模型， 因此得到的结果具有一般性，通过给出两个推论说明，我们的结果可以应用到多 种类型的捕食者一食饵生物模型的周期解的存在性问题上 3 几类泛函微分方程的周期解 第三章，在中立型泛函微分方程的周期解的研究中，因为中立项的存在，许多 周期解问题中常用的方法和理论难以应用其中的一个难点就是如何构造合适的 空问由于s c h a e f e r 不动点定理中只要求空间足赋范空间，比较其他的不动点定 理如k r a _ s n o s e l s k i i 不动点定理等，对空间的要求弱了很多，所以在用不动点定理 研究中立泛函微分方程周期解时，s c h a e f e r 不动点定理是一个有效的方法，但足 已存在的文献中，用s c h a e f e r 不动点定理研究中立型方程的周期解的很步。 本章中，首先介绍了s c h a e f e r 不动点定理的发展，主要介绍了三个定理：s c h e - f e r 不动点定理， b u r t o n 和k i r k 改进的s c h a e f e r 不动点定理以及l i u 和l i 改 进的s c h a e f e r 不动点定理，然后利用l i u 和l i 改进的s c h a e f e r 不动点定理以及 b u r t o n 和k i r k 改进的s c h a e f e r 不动点定理分别研究了中立型泛函微分方程 ( x ( t ) 一g ( t ，乱) ) = 一。o ) 。( t ) 一f ( t ，钒) 及一阶二维的中立型泛函微分系统 j ( ( t ) 一9 1 ( t ，舭) ) = 一a ( t ) x ( t ) 一 ( t ，乳，玑) ， 【( v ( t ) 一9 2 ( t ，玑) ) 7 = 一b ( t ) y ( t ) 一，2 ( t ，玑) ，ter 给出了上述中立型泛函微分方程( 或系统) 周期解存在的条件就我们所知，本章 的结果是首次利用分离压缩的s c h a e f e r 不动点定理得到的关于中立型泛函微分方 程周期解存在性的结论。 第四章，用锥上的不动点指标定理，讨论了依赖于参数的非线性泛函微分系 统，并证明了系统的周期解的个数与参数的取值以及非线性项的渐近行为有关。 首先考虑了依赖于参数a 0 的具有反馈控制的非线性时滞微分系统 jz ( t ) = 一r ( t ) x ( t ) + a f ( t ，x ( t r ( t ) ) ，“0 一d ( t ) ) ) ， 【“ ) = 一h ( t ) u ( t ) + 9 ( t ) x ( t 一口( t ) ) ， 建立了系统存在一个正周期解以及存在两个正周期解的结论第三节中研究了依 赖于参数 ，灿的二阶半线性微分系统 j “”( t ) + n l ( t ) k t ) = a b l ( t ) f l ( u ( t ) ， ( t ) ) ， 【矿( t ) + 0 2 ( t ) ( t ) = i b 2 ( t ) f 2 ( u ( t ) ，u ( t ) ) ，t r ， 其中， ，肛是非负的且不同时为零我们证明了在兄； ( o ，o ) 中存在一条连续 曲线r 满足；f 将r ； ( o ，o ) ) 分成互不相交的两部分l 和2 并k i i e 雕i t l 十 应于任意( a ，肛) f u a i ，系统至少有一个正的周期解；对应于任意( a ，卢) a 2 ， 系统没有正的周期解其中，第三节的结果，实际上是得到了二阶半线性微分系统 的一个局部分支，但是用我们的方法比用分支理论得到分支要简单的多。就我们 4 一 博士学位论文 所知，本章的工作是用锥上的d e i m l i n g 不动点定理得到二阶微分系统的分支的最 早的工作 第五章，近年来，有很多关于泛函微分方程的多个周期解存在性的文献用到 的方法主要是锥上的不动点指标定理由于中立项的存在，经典的模式很难使用 在中立型泛函微分方程的周期解存在性的研究中难点在于同时构造出满足定理 条件的空间和不动点映射正因为此，用锥上的不动点指标定理研究中立型泛函 微分方程的多个周期解的存在性文献还没有本章中，考虑依赖于参数的一阶中 立型泛函微分方程 ( ( 亡) 一c 茁( 亡一下) ) 7 = a ( 亡) 9 ( z ( t ) ) 正( t ) 一 6 ( t ) ，( z 0 一下( t ) ) ) ， 以及依赖于两个参数的一阶中立型泛函微分系统 l ( z q ) 一c x ( t t ) ) = n l ( t ) g ( z ( t ) ) 0 ) 一x b l ( t ) f l ( x ( t n ( ) ) ，口( t p 1 0 ) ) ) i ( ( t ) 一c 一r ) ) 7 = 。2 ( t ) 9 2 陌( ) ) 0 ) 一p 6 2 ( t ) 如( z 一亿( t ) ) ，y ( t p 2 ( t ) ) ) 其中a ，p 是参数，c 和f 是两个常数并且满足i c f 1 通过定义一个有界算子， 将考查的方程或者系统的周期解问题，转化为一般的泛函微分方程或者系统的周 期解问题然后用锥上的不动点定理以及一些分析技巧获得了上述方程和系统存 在一个正周期解，两个正周期解以及不存在正周期解的充分性判据。当中立项退 化为零时，关于单个方程的多解性结论恰好与文献1 4 4 中的结论( 1 4 4 ，定理1 1 ， 定理1 2 以及定理1 3 ) 一致所以，关于一阶中立型泛函微分方程的多个正周期 解存在的结论推广了文献阻1 的结果 第六章用锥上的不动点定理，研究了二阶中立型泛函微分方程 ( “( t ) 一c u ( t r ) ) ”+ a ( t ) u ( t ) = a b ( t ) f ( u ( t r ( ) ) ) ， 以及依赖于两个参数的二阶中立型泛函微分系统 j ( “0 ) 一c u ( t r ) ) ”+ a l ( t ) u ( t ) = a b l ( t ) f l ( u ( t ) ， ( t ) ) ， 【( ( t ) 一o r ) ) ”+ a 2 ( t ) v ( t ) = p k ( ) ，2 ( “( t ) ， ( ) ，t r ， 其中a ，肛是非负参数，l c i 1 证明了在非线性项满足一定条件时，方程以及 系统有一个或两个正周期解据我们所知，关于二阶中立型泛函微分方程或者系 统的多个正周期解的存在性的文献还没有，我们的工作是最新的 最后，我们要指出的是，本文的研究还有一些有待完善的地方，例如，对于系 统( 4 4 ) ，可考虑两个周期解存在的条件而第五章与第六章中，还可考虑中立项 系数c 在更大范围时，中立型泛函微分方程的周期解的存在性等等。关于一阶中 立型泛函微分方程的两个正周期解的存在性结论推广了文献4 4 1 中的相应结论 一5 一 几类泛函微分方程的周期解 另外，用不动点定理研究脉冲泛函微分方程的文献已经有很多，但是得到中立型 脉冲泛函微分方程的多个周期解的文献，目前还没有。我们可以尝试，本文中用到 的方法和技巧是否可以用来研究这一问题更进一步地，尝试是否可以讨论泛函 微分包含的多解性问题。 1 3 预备知识 本节中，介绍一下文中用到的记号与定义。 兄：实数空间 r + ：非负实数全体 p ：n 维实列向量空间。 豫王：n 维非负实列向量全体 1 i x l l = ( ：1 z i ) 1 2 ，。= 0 l ，x 2 ，一，z 。) 7 冗”，n 2 c ：g ( 一一0 ，r ) c “：g ( _ t o 】，r ”) ，n = 2 ，3 ，4 ， | | 咖i i 。= 8 u p i 毋( 口) l ，0 一r ，o 】，g ) | | 咖| | 。n = s u p h ( 0 ) 1 1 ，9 【一r ，o 】，c ”) e ( r ，r ) ：n 次连续可微函数的全体，n 一1 ，2 ，3 ，4 ， a = 。1 后a ( s ) d s ，其中o ( 8 ) 是连续的u 一周期函数 假设( a ，b ) ，( c j d ) 辟，那么 ( o ，b ) ( c ，d ) ；a c 且b d 或者a2c 且b d 或者a c 且b d ( a ，6 ) ( c ，d ) ；a c 且b d 博士学位绝文 第2 章m i c h a e l i s m e n t e n 型捕食者一食饵 系统的正周期解 本章的主要目的是研究一类具有一般形式的捕食者一食饵模型的正周期解的 存在性。第一节，对于问题的提出以及用到的方法作简单介绍第二节，考察了一 类一般形式的具有m i c h a e l i s m e n t e n 类型功能反应项和储存项的时滞捕食者一食 饵扩散模型，利用连续性定理得到了其存在正周期解的充分条件我们讨论的模 型包含了多种特殊的具有m i c h a e l i s - m e n t e n 型功能反应项的捕食者食饵生物模 型，因此得到的结果具有一般性，可以应用到多种类型的捕食者一食饵生物模型的 周期解的存在性问题上。 2 1 引言 在研究l o t k a - v o l t e r r a 型生物模型的文献中，大多数文献的研究对象都是没 有储存项的系统 2 0 , 5 2 , 5 3 , 删，b r a u e r 和s o u d a c k f 5 5 , 5 6 研究了具有常值储存项的捕食 者一食饵生物模型，房辉和王志成教授【3 9 考虑了具有变值储存项的时滞l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型另外，基于比率的时滞捕食者一食饵模型的周期鳃存在问题已 受到广泛关注 3 1 , 5 7 “6 2 1 x ，z 是两赋范向量空间，l ：d o m l c x z 是线性映射，n ：x f 0 ，1 1 一 z 为连续映射映射l 称作指标为零的f r e d h o h n 映射当且仅当d i m k e r l = c o d i m i m l 0 使得：对任意( t ，乩，a ) r c “ 0 ，1 】，f ( t + 叫，轨，a ) = f ( t ，x t ，a ) ，其中 x t = x ( t + 口) ，日 - r ，o _ 引理2 1 2 假设存在常数 0 满足 ( i ) 对任意a ( 0 ，1 ) 及方程石博) = a f ( t ，执，a ) 的任意u 一周期解z ，有 j x ( t ) | | 0 ，i = l ，2 y ( s ) = 妒3 ( s ) 0 ，8 - - t ，o ，妒3 ( o ) 0 ( 2 2 ) 当