（应用数学专业论文）几类boussinesq方程的cauchy问题.pdf

四川大学博士学位论文 摘要 几类b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题 应用数学专业 研究生王颖指导教师穆春来教授 本文讨论几类广义b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题在一定条件下证明这些问 题解的局部存在性，整体存在性，唯一性，并给出解发生爆破的条件，并研究了其小 振幅解的整体存在性和散射还研究了b o u s s i n e s q 方程基态解的稳定性问题主要 结果包括下面五部分内容 在第二章中，研究了一类广义b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题首先利用压缩 映象原理得到了这类方程解的局部存在性，然后在关于能量的一些假设条件下，通 过把方程转化为关于方程解的一个微分不等式得到了方程解的爆破最后，再利用 压缩映象原理和得到的关于解的先验估计证明了其小振幅解的整体存在性和非线 性散射 第三章中，在舻空间中考虑了一类b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题，对于一 种特殊的情形，利用压缩映象原理得到了方程解的局部存在性，通过建立关于局部 解的一些先验估计还证明了这类方程整体解的存在性和唯一性最后，还得到了方 程整体解爆破的条件 第四章中，在r ”空间中讨论了一类b o u s s i n e s q 方程小振幅解的整体存在性 和非线性散射证明方法是通过把原方程写为一个积分方程的形式，把非线性项看 作线性方程的扰动，然后利用压缩映象定理和其线性问题解的衰减估计来得到关 一t 一 四川大学博士学位论文 于解的一些先验估计最后利用这些估计得到了结果 在第五章中，考虑了一类非线性b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题，证明了此问 题解的爆破和基态解的不稳定性，并得到了问题带在和问题的行波解有关的域中 初值的整体有界解 在第六章中，研究了一类非线性b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题通过建立关 于解的一个函数和几个不变域证明了问题孤立子波解的强不稳定性，而且还得到 了问题有关于孤立子波解的一个更好的爆破结果 关键词b o u s s i n e s q 方程，存在性，唯一性，爆破，散射，孤立子波，不稳定性，强不 稳定性 i i 四川大学博士学位论文 a b s t r a c t t h ec a u c h yp r o b l e m sf o rs o m ed n s s e so fb o u s s i n e s qe q u a t i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：w a n gy i n gs u p e r v i s o r ：m uc h u n l a l i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fl o c a la n dg l o b a ls o l u t i o n s f o rt h ec a u c h yp r o b l e mt os o m ec l a s s e so fb o u s s i n e s qe q u a t i o n s ，a n dg i v et h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so fb l o w u po fs o l u t i o n sf o rt h ea b o v ep r o b l e m s w ea l s od i s c u s st h eg l o b a l e x i s t e n c ea n dn o n l i n e a rs c a t t e r i n gf o rs m a l la m p l i t u d es o l u t i o n so ft h ep r o b l e m s f u r - t h e r m o r e ，w es t u d yt h ei n s t a b i l i t yo ft h eg r o u n ds t a t es o l u t i o nf o rt h en o n l i n e a rb o u s s i n e s qe q u a t i o n s t h em a i nr e s u l t si n c l u d et h ef o l l o w i n gf i v ea s p e c t s ： i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ec a u c h yp r o b l e mf o rac l a s so fg e n e r a l i z e db o u s s i n e s q e q u a t i o n a tf i r s lb yu s i n gt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r e m , w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e o ft h el o c a ls o l u t i o n u n d e rs o m ea s s u m p t i o n sa b o u te n e r g y , w eo b t a i nt h eb l o w u p r e s u l tb ye s t a b l i s h i n gad i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yf o raf u n c t i o n a lo ft h es o l u t i o n a tl a s t ，w e c o n s i d e rg l o b a ls m a l l a m p l i t u d es o l u t i o nt ot h i sp r o b l e ma n dt h e i rn o n l i n e a rs c a t t e r i n g b yu s i n gt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r e ma n du t i l i z i n ga l le s t i m a t ef o rt h eu n i f o r m d e c a yo fs o l u t i o n so ft h el i n e a r i z e dv e r s i o n i nc h a p t e r3 w es t u d yac l a s so fg e n e r a l i z e db o u s s i n e s qe q u a t i o ni n 舻f o rt h e s p e c i a lc a 8 e ，t h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s so ft h eg l o b a ls o l u t i o nf o rt h ep r o b l e ma r e p r o v e d m o r e o v e gw eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eb l o w u po ft h es o l u t i o n f o rt h i sp r o b l e m i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h eg l o b a le x i s t e n c eo fs m a l la m p l i t u d es o l u t i o n sa n dn o n l i n e a rs c a t t e r i n go fac l a s so fg e n e r a l i z e db o u s s i n e s qe q u a t i o ni n 研t h es t r a t e g yi s t ow r i t eb o u s s i n e s qe q u a t i o na sa ni n t e g r a le q u a t i o n ，t r e a ti nt h en o n l i n e a r i t ya sas m a l l p e r t u r b a t i o no ft h el i n e a rp a r to ft h ee q u a t i o n ，t h e nu s e t h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r e m a n du t i l i z e da ne s t i m a t ef o rt h eu n i f o r md e c a yo fs o l u t i o n so ft h el i n e a r i z e dv e r s i o nt o o b t a i nap r i o r ie s t i m a t e so fs o l u t i o n s u s i n gt h e s ee s t i m a t e s ，w ee s t a b l i s ht h er e s u l t s 一一 四川大学博士学位论文 i nc h a p t e r5 ，w ec o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e a r b o u s s i n e s q e q u a t i o n w eo b t a i nt h eb l o w u po fs o l u t i o na n dt h ei n s t a b i l i t yo ft h eg r o u n ds t a t es o l u t i o no ft h en o n l i n e a rb o u s s i n e s qe q u a t i o n f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i nt h eg l o b a lb o u n d e d s o l u t i o n sw i t hi n i t i a ld a t ai nd i f f e r e n tr e g i o n st h a ta r er e l a t e dt ot r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s o ft h ee q u a t i o n i nc h a p t e r6 ，w ec o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e mo fac l a s so f g e n e r a l i z e db o u s s i n e s q e q u a t i o n t h es t r o n gi n s t a b i l i t yo fs o l i t a r y w a v ei sp r o v e db yc o n s t r u c t i n ga f u n c t i o n a l o ft h es o l u t i o na n de s t a b l i s h i n gt h ei n v a r i a n tr e g i o n s f u r t h e r m o r e ，a ni m p r o v e db l o w u pr e s u l tr e l a t e dt ot h es o l i t a r y w a v es o l u t i o ni sa l s oo b t a i n e d k e y w o r d sa n dp h r a s e sb o u s s i n e s qe q u a t i o n ，e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，b l o w u p s c a t t e r i n g ，s o l i t a r y w a v e ，i n s t a b i l i t y , s t r o n gi n s t a b i l i t y 一一 四川i 大学博士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的学位或证 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果归 j 1 1 大学所有，特此声明 作者签名 e l期 1 0 3 一 翩始掣 e l 期：丝空：耋：竭： 四川大学博士学位论文 第一章导论 在1 9 1 岘7 0 年代，b o u s s i n e s q 【3 推导出许多方程来模拟水面上小振幅长波的 传播这些方程具有行波解，即孤立子波b o u s s i n e s q 也对波的存在性作了科学的 解释并提出用所谓的l y a p u n o v 方程来描述这些波的稳定性经典的b o u s s i n e s q 方 程为 u t t = 一舰如。+ t b $ + 3 ( u 2 ) “， ( 1 0 1 ) 这里u ( z ，t ) 代表流体自由表面的运动，正常数a 和p 依赖于流体的深度和长波 的特征速度动文【2 2 ，2 3 】中有许多关于方程( 1 0 1 ) 的各种有趣的评价而关于 b o u s s i n e s q 方程的各种讨论和文【2 2 ，2 3 】中的类似，其特点是把非线性和散射的影 响考虑为线性波动方程的扰动经典的b o u s s i n e s q 方程的各种形式在多方面得到 了研究，例如下面的b o u s s i n e s q 方程 t = 一t 正甜+ u + ( ，( 札) ) 材 ( 1 0 2 ) 文【1 ，5 ，7 ，8 ，lo 1 2 ，1 4 ，1 5 ，2 4 ，2 5 ，3 6 ，5 2 】研究了方程( 1 o 2 ) 的初值和初边值问题在 文【3 8 】中通过变换问题( 1 0 2 ) 为非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的方法证明了局部和整 体解的适定性文 1 】中( 1 0 2 ) 式特殊的孤立子波解在某一波速范围内是非线性 稳定的结论已得到了证明作者也得到了相对接近于稳定孤立子波的初始值可扩 展为方程的一个整体解的结论这与文【l o ，1 2 】中得到的柯西问题的解在有限时刻 的爆破结果作了一个对比h i r o t a ( 8 】推导出了守恒律并验证了方程( 1 0 2 ) n 一孤立 子的相互作用，c l a r k s o n 【5 】用更一般的方法构造了方程( 1 0 2 ) 的精确解 方程( 1 0 2 ) 考虑了色散和非线性性，但在实际过程中，粘性也起了很大的作 用v a r l a m o v 3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 6 研究了下面的阻尼方程 t 一2 6 = 一a u 日口。+ $ + 卢( u 2 ) 材，( 1 0 3 ) 左边第二项是耗损项v a r l a m o v 得到了方程( 1 0 3 ) 在不同初边值条件下的整体渐 近解在关于初边值条件的各种假设下，作者建立了问题的古典解和长时间的渐近 四川大学博士学位论文 形式v v a r l a m o v 还用特征值方法讨论了一类和问题( 1 0 3 ) 类似的方程的长时间 渐近解文【1 3 】作者研究了下面更一般的阻尼b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题 t 一。舰缸一2 6 t = 一m l 扰。+ t k $ + p ( “2 ) 拓， ( 1 0 4 ) 建立了方程( 1 o 4 ) 整体解的适定性，同时推出了一个长时间的渐近解 最近，为了研究带表面张力的水波问题，文 3 3 】中，s c h n e i d e r 和e u g e n e 考虑 了一类模拟带表面张力的水波问题的b o u s s i n e s q 方程 u 怯= t b z + 删t + 肛z z z 一钍z z z “+ ( u 2 ) ，( 1 0 5 ) 这里2 7 ，t ，肛r ，u ( t ，2 7 ) r 这个模型也可以由2 维水波问题推导，对于一个更简 单的情形。他们证明了水波的极限可以由两个耦合的k a w a k a r a 方程来近似的描述。 下面这个更自然的模型可以看作经典b o u s s i n e s q 方程的延伸( 也见文 2 】) ， u “= u 。+ ( p + 1 ) “。一u x 蚍。+ ( 钍2 ) 。 ( 1 0 6 ) 在【3 3 】中，作者研究的问题中包含了六阶微分项。因为他们对当r 固定，而四 阶微分项的系数很小。即1 + “= e 2 时的这种情况更有兴趣从经典方程而来的 低阶非线性项保持不变是因为它们不依赖于表面张力模型( 1 0 6 ) 不具有适定性 在某种意义上，这些模型的微分在关于时间的二阶微分和关于水波极限中的二阶 空间变量的微分是等价的，即礴u = 鹾u + o ( 2 ) ，所以他们把( 1 0 5 ) 看作一个等 价的模型 而本文【5 l 】在一维空间中考虑了如下b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题 钟一z 埘+ “黜嚣扰= - - u 船。z + $ + ，( u ) ( 1 0 7 ) 利用【1 8 中的方法，首先利用压缩映象原理得到了这类方程解的局部存在性。然 后在关于能量的一些假设条件下，通过把方程( 1 0 7 ) 转化为关于方程解的一个微 分不等式得到了方程解的爆破最后，把方程( 1 0 7 ) 化为一个积分方程，把非线性 化为关于线性部分的小扰动，再利用得到的关于解的先验估计得到了问题( 1 0 7 ) 一2 一 四川大学博士学位论文 小振幅解的整体存在住和非线性散射 现在有很少的结果是关于多变量b o u s s i n e s q 方程的，比如，在【4 ，4 7 ，4 8 中，作 者研究了下面广义的b o u s s i n e s q 方程 啦t 一m t a u = ，( ) ，扛，t ) p ( 0 ，+ o o ) u ( z ，0 ) = 咖( z ) ，u t ( z ，0 ) 一砂( z ) ，。v ( 1 0 8 ) ( 1 0 9 ) 文【4 】证明了问题( i o 8 ) 一( 1 0 9 ) 局部解的存在性和唯一性假设f ( ) = 群f ( s ) d s 0 ，文【4 7 】还得到了问题( 1 0 8 ) ( 1 0 9 ) 整体解的存在性和唯一性，并给出了方程 ( 1 0 8 ) 一( 1 0 9 ) 解不存在性的条件进一步的，作者【4 8 】还得到了方程( 1 0 8 ) ( 1 0 9 ) 小振幅解的整体存在性和非线性散射 而本文 4 9 ，5 0 1 也在n 维空间中研究了上面带表面张力b o u s s i n e s q 方程的 c a u c h y 问题对于一种特殊的情形，利用压缩映象原理得到了方程解的局部存在 性，通过建立关于局部解的一些先验估计还得到了这类方程整体解的存在性和唯 一性最后，得到了方程整体解爆破的条件对于一般的情形，本文把原方程写为一 个积分方程的形式，把非线性项看作线性方程的扰动，然后利用压缩映象原理和关 于线性问题解的衰减估计得到了关于方程解的一些先验估计，利用这些估计得到 了方程小振幅解的整体存在性和非线性散射 还有如下非线性b o u s s i n e s q 方程 毗t t 。= - - u 。+ 。一，) 。， ( 1 0 1 0 ) 这个模型方程出现在许多物理问题的研究中，有明显的物理背景比如，在对波导 管中非线性波传播问题的研究中，由于波导管和外部介质的相互作用，通过波导管 外表面的能量交换是不能忽略的，如果考虑到非线性弹性杆( 由超弹性材料制成， 比如m u m a g h a n 材料) 的表面与介质之间的相互作用 2 6 ，利用h a m i l t o n 原理可以 得到杆的纵向位移满足下面的双耗散方程【2 8 ，3 1 】 一= ；( 6 铲+ 饿培一她) 。 ( 1 f o 1 1 ) 一3 一 四川大学博士学位论文 同样，可以得到下述的立方双耗散方程 毗。一。= ；( 3 + 6 u 2 + 。一。+ 砒山。 ( 1 o 1 2 ) 其中“( z ，t ) 与应变鬈成比例，这里v ( x ，t ) 表示横向位移，a 0 ，b 0 ，c 0 和 d 0 是物理常数，这些常数依赖于y o u n g 模数，扭转模数_ “，波导管密度p 以及 系数7 s a m s o n o v 2 9 ，3 0 证明了问题( 1 0 1 0 ) 的行波解依赖于相变量o = z 士d 问题( 1 _ 0 1 0 ) 的张力解也在【3 2 】中得到 众所周知，b o u s s i n e s q 方程的初值问题不是总是整体适定的文【1 7 】研究了 如下非线性的b o u s s i n e s q 方程 札托一札。+ ( 珏。一，心) ) 。= 0 ( 1 0 1 3 ) 作者证明了当初始值充分接近基态时，问题( 1 0 1 3 ) 的解将在有限时间内爆破而 本文利用文【2 0 】中得到的s o b o l e v 最佳常数g 。和建立关于解的2 个不变域得到了 问题( 1 0 1 0 ) 具有整体有限解的条件和问题在有限时间爆破的条件也证明了当 初始值充分接近基态时，问题( 1 0 1 0 ) 的解将在有限时间内爆破 孤立子在许多非线性离散方程的研究中非常重要，而且他们的稳定性和不稳 定性的临界点在某种程度上是与问题适定性和爆破密切相关的比如，在 1 8 ，2 7 】 中，作者考虑了如下非线性的p o c h h a m m e r - c h r e e 方程 一一，( ) 。= 0 ( 1 0 1 4 ) l i u 1 8 】考虑了带特殊的非线性项，的问题( 1 0 1 4 ) ，当，( ) = u + 口p - 1 札，p 1 时， 作者建立了问题( 1 0 1 4 ) 整体解的存在性在这种情形下，p e g o 和w e i n s t e i n 2 7 】 证明了问题( 1 o 1 4 ) 存在孤立子波解，其形式为u ( x ，t ) = 屯一矗) ，其中c 2 1 ， 九扛) = a s e c h 2 ，p ( p z ) ，o l = 睦( c 2 1 ) + 1 ) 】1 扫- 1 ) ，卢= ( 2 ) 1 2 一1 ) 】p e g o 和w e i n s t e i n 2 7 】还得到了当1 1 时，类似于( 1 o 1 4 ) ，问题的孤立子波解的显式形式为 一d 一 四川大学博士学位论文 “( z ，t ) = 九( z 一鳓，戎( f ) = 岛8 e c h 2 ( p - 1 ) ( s 2 ) ，其中，i c l 1 ，岛= ( ( p + 1 ) ( 1 一 c 2 ) ) i 0 , - 1 ) 和= ( p 1 ) ( 1 一c 2 ) 1 2 ，其中= z c t 在【1 7 ，1 9 ，2 0 ，2 l 】中，作者 考虑了问题( 1 0 1 3 ) 孤立子波解的线性稳定和不稳定当1 孕 时，b o n a 和s a c h s 【1 】通过用c n - i l l a k i s e t a l 的稳定的抽象定理的到了孤立子的非线 性稳定性当c 2s2 或p 5 ，c 2 1 ，问题( 1 o 1 0 ) 也具有孤立子波解，其形式为。= 咖。 一d ) ， 这里也是下面方程的基态解 一( 1 一c 2 ) t + ( 1 一c 2 ) 毋。一l 咖。i 一1 。= 0 ， ( 1 0 1 5 ) 其中j c i 0 不依赖于s 而且，解的存在区间可以延拓到最大区间 0 ，霸。) ，并满足 ( i ) 露。= + o o ，或 ( i i ) 了k 皑 + o 。，l i m l i 矗 ) 【x 。；+ o 。 一8 一 四川大学博士学位论文 并且，当0 t l 2 ，则 l i g l l 。c ( i f l 。i l g l l ，+ i g l 。i l f l l 。) ( 2 2 2 ) 定理2 2 1 的证明我们将分五步来证明定理2 2 1 第一步：定义一个度量空间 y = 忙c ( 【o ，t ) ；咒) is u p0 硎墨r ) o t 0 空间y 的范数定义为 1 1 面1 r = s u pi i u ( t ) l l x o ， 0 s t t 其中x o = h 1 h 2 很明显，y 是个完备的度量空间 9 一 四川大学博士学位论文 第二步：v 矗y ，定义一个映射g 如下： g 霄( ) ：e a t 矗 4 - t e a ( t - r ) 0 ( 回打 下面将证明在y 上，g 是一个压缩映射很明显，y 是个自共轭有界线性算 子：五一五则a 可衍生出一个强连续的酉群e m ，且对于任意的8 0 ，有 l l e m u o ll x = | l 矿| i 蜀由引理2 2 1 ，有如下估计 g 面( t ) h x 。i 面l l x + i i n ( 面) l l x ，d t ， d 0 s 1 r + o t ( r ) ) ；r + ，( 冗) t 如果我们选择足够小的t 使得j r + ，( r ) r r ，则g ：y y 另一个方面，对于任意的矗= ( u ，口) ，面= ( w ，2 ) y 和t 【0 ，邪，我们有 g 面( t ) 一g 面( t ) i 硒0 ( 矗( t ) ) 一n ( c ( t ) ) h x o d t ( i ，( 乱) 一f ( w ) i z ) d t z 知u i o o + ) “一叫i 。打 s ，( 兄) i i 矗一面l l y t 如果选择足够小的t 使得，( r ) t ，我们能够推导出g 是y 上的一个压缩映 射因而带初值d ( 0 ) = 西的问题( 2 1 2 ) 在y 上有唯一解正 第三步：我们将证明问题的解面在c ( 【o ，t ) ；x 1 ) 中也是唯一的设匾，盈是问 题( 2 1 2 ) 的两个解，其中面，碗e ( 【o ，r ) ；x 1 ) ，0 t ，雪= 面面= ( 饥毋) ， ， t ，由( 2 1 1 ) 可知 ( 1 一磋+ 爱) 妇= c o ! f ( u 1 ) 一，( 坳) + m - 一u 。) 】一磋( u - 一u 2 ) ) 一l o 四川大学博士学位论文 在上个不等式的两边同乘上露2 识，并在r 上积分得到 d - 川t 2 ，：( i d ；1 训；十；+ 蚓；+ i ；+ 1 妒1 2 2 ) d z = 一( ，( ) 一，( 豇z ) j ( 侥口，一磊t 2 ) j 凡 因为当i = 1 ，2 ，0 t ， t 时，有i 讹( t ) l 。i i 讹( t ) l l l c 1 ，则 丢；上( 防圳! 州坦+ 驯2 + f 媚) 出 ，( i u l l + i 抛i o o ) 1 蛳一t 如1 2 i 侥u 1 一a u 2 1 2 g 2 i 仇1 2 ( 2 2 3 ) 式关于时间积分得到 愀( 驯l z m 洲a 奶 s 1 2 c , j f d s。( | 砂( s ) ；+ 幽( 姻幽( 2 2 0 0 4 ) l a 妙( ) l l l 妒) j 。j a 妒( s ) 1 2s 。，( j 砂( s ) ；+ l a 妒扣) j ；) 幽 ( 2 。4 ) j j 这里和下面的表示依赖于丁的常数 而且，我们有 f 妒( ) l ；( g 7 ) 2 1 a 妒( s ) i ；d s ( 2 2 5 ) 由( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 式，我们得到 ，l，s，t i o t 妒( t ) l ；c 【i a t 妒( r ) 1 2 d r + i a 妒( s ) 1 2 d s c 7 i a 妒( s ) 1 2 d s joj ojo 当0 t s ，时，由g r o n w a l l s 不等式有a 妒三0 所以对于0 s t 只有妒三0 第四步：我们将证明局部存在时间瓦。不依赖于s 显而易见，如果8 1 ， 面x 。，瑶。是个不增函数假设8 1 ，r = m a x s 一1 ，1 ) ，露。 丁k ，由 四川大学博士学位论文 ( 2 1 2 ) 式，我们得到 由引理2 2 1 ，当0 t 瑶a x 瑶。时，我们有 ，tr t 面( f ) | | 墨ij 面| | 墨+ ( 1 l u ( 丁) l l ，) 情( _ r ) i k 打i l a o l l ：, 。+ g ij 硪r ) i k d t j 0j o 当0 t 咒a x 时，由g r o n w a l l 不等式，可得j f 面l l x ，是有界的这和当t 一瑶。 时，| 面( 圳j 托是无界的矛盾因而对于8 l ，有瑶。= 咒0 所以s 1 时， 有。= 瑶。 第五步：由( 2 1 1 ) 式和一些简单的计算，可以得到守恒的能量和e 动能矿证 毕 2 3 爆破 在这节中，我们建立一个关于问题( 2 1 2 ) 解的微分不等式，再用凸方法证明 解的爆破 定理2 3 1 假设对于一些e ，v s r ，f c 1 ( r ) 满足 s ，( s ) s ( 2 + e ) f ( s ) ，( 2 3 1 ) 这里f = ，( s ) ，f ( o ) = 0 再假设面= ( u o ，v o ) 墨= h 2 h 3 和g 一1 ( 1 + 2 + 4 ) 1 2 谝宜1 ( 缸是札的f o u d e r 变换) 如果下面任一条件成立： ( i ) e ( 谝) 0 ， c z 啪疹 监等高等鬻旒掣塑， s 固 一1 2 一 加 柚 i i s 、，ii 0 m 以 上z + + 托 面 砺 一 0 因而j ( t ) = ，( ) - 。满足j ”( t ) = 一一”2 ( i i ”一( 1 + ) ( ，) ) 2 0 ，有j ( o ) 0 和j ( 0 ) 0 所以j ( t ) j ( o ) + t y ( o ) ，还存在一个t o ，满足 j ( t 。) = 0 ，这里0 t 。当盅 0 ，所以 ( o ) = 一a i 一”1 ( o ) ，( o ) 0 时，又让口= 0 ，有 ，一( 1 + 口) ( ( t ) ) 22 4 ( 1 + 2 a ) e i ( t ) ( 2 3 8 ) 由假设( i i ) 知y ( o ) 0 设 t = s u p t j ( r ) 0 由y ( t ) 的连续性可得对于0 t s 矿，有 0 ) 一( ( ( o ) ) 2 8 a 2 e i 一缸一1 ( o ) ) 三一n 0 ( 2 3 】1 ) 所以对于所有的0 t t ，有j ( t ) j ( o ) 一a t 所以存在一个时间t i ，满足 j ( t 1 ) = 0 ，这里o j i 时，假设( p 一2 ) i ，其中 ，：j ，赤， 【玎2 丽s - i 则存在5 0 ，满足对于任意的面= ( u o ，v 0 ) 咒，谝工1 和 1 v 0 l 1 ，有 l i 面l l x + i 伽i l + la 1v o l l 一 时，存在唯一的4 = 沁+ ，移+ ) 五，满足当t 一+ o 。时，有 i i g ( t ) 一e t a 皿川x 。一0 ( 2 4 2 ) 为了证明定理2 4 1 ，需要下面的引理 引理2 4 1 ( 见 3 4 1 ) 设当一。 1e 1 ，可得 8 u pi e i t h 幢。d isc o t 一 l 卫a x r t 3 ，e 一；) + 2 e ( 2 辱3 ) a e rj s n 这里 ( f ，。) = 毒瑞+ 。，g 是个常数 证明：因为 0 2 h 3 ( 1 0 + 1 9 p + 1 0 4 ) 硒2 一面1 虿而i 弼 a 2 ( + 2 ) i ( 1 + 2 + 4 ) 则有下面的结论： ( 1 ) 当 0 时，f 器 0 ； ( 2 ) 当e 竹，且e 很小和礼很大时，有 越n f 硒( 9 2 h ( ) l ，筹雌e 曲矽，忍邱 定义d = 代r l n j l 刊s ” ， c l l a o l l x ( ( 1 - t - 2 ) 1 ) d i f l n + e “蛳1 1 + i ( ) 伽1 1 ) 出i e 矗矾( 牡( 一 ) 必i j一difl 1 时，在( 2 4 4 ) 式中让g = t ，n = t a ，则有 t 正( 古) i c ( 1 l 丽l l 弱r , 一( 。一 + i 蛳1 1 + la 1 钉。1 1 ) ( 亡一a ( 8 一+ 亡一a + t 一( 吉一；a ) 设a ( s 一；) 二 一 口，则 这里 i u ( t ) l 。c ( 1 l 面o l x , + l 蛳i l + ja 1v o l l ) t 一”， ( 2 4 7 ) p = 另一方面，当s 时，有 ， i u ( t ) l 。c ( i 茁0 1 1 + i f ) 面1 1 ) d c i i 面i i x ( 2 4 8 ) j 一 妻一 一2 四川大学博士学位论文 由( 2 4 7 ) 式和( 2 4 8 ) 式可得( 2 4 4 ) 式证毕 定理2 4 1 的证明定义一个度量空间 其范数为 x = 矗( t ，。) = ( u ，v ) e ( 【o ，o 。) ；墨) ；i i l a l l i 2 ( c o + 1 ) j ， ( 2 4 9 ) 矗= s u p ( 1 十t ) ”l u ( t ) l 。+ i i , i ( t ) l i x 。】( 2 4 1 0 ) t o 这里5 0 满足( 2 4 1 ) 式，g 是不等式( 2 4 4 ) 中的常数显然x 是个完备的度量 空间考虑x 上的一个映射e ： t e ( 回= e 。a 面+ e ( t - r ) a ( 矗( r ) ) d 7 - = ( e 1 ( 回，0 2 ( 面) ) ( 2 4 1 1 ) j0 我们将证明j 充分小时，0 ：x x 是严格压缩的 其实，由引理2 4 3 和引理2 2 2 ，可得 r c a e ，( 面) l 。 岛( 1 + 。) ”j + c o j o j 0 ( 1 + t r ) ” ”二豪砸m ( 删种 一t + ir 筹去永( 栅渺 c o o + t ) 一”6 + ( 1 + t 一7 _ ) 一”( 1 u l l ：1 l l u ( ，- ) l l 。- i - i “l 蛋2 l u l 2 i 钍。1 2 ) 打 岛( 1 + t ) ”5 + c b ( 1 + t r ) 一”( ( 1 +