（应用数学专业论文）几类生态数学模型的周期解与持久性.pdf

cr ! 工 的 包 共 有 允 容 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 名：醢翩蟊：埤年且月日 摘要 生态系统的持久性、周期解和概周期解的存在性及稳定性、全局 吸引性等问题是生态数学理论中的一个重要研究内容本篇硕士论 文主要应用常微分方程稳定性理论中的l y a p u n o v 函数法、比较原理， 脉冲微分方程的基本理论，重合度理论中的延拓定理以及数值分析等 来探讨几类生态系统的动力学性质全文由如下六部分组成 第一章，对种群生态学的背景和研究意义作了一些介绍，简要概 括了近年来这方面研究出现的新趋势，并例举了一些有代表性的工 作 一 第二章，对具有比例依赖和时滞的非自治捕食系统进行了研究， 得到了系统一致持久生存的充分条件，当系统是周期系统时，则利用 b r o u w e r 不动点定理证明了正周期解的存在性，并通过构造适当的 l y a p u n o v 泛函得到了正周期解的唯一性、全局渐近稳定性的充分条 件 第三章，讨论了一类具有比例依赖的非自治捕食周期系统，并且 考虑了功能性反应过程中的时滞现象，利用重合度理论中的延拓定 理，研究了全局周期解的存在性，得到了正周期解存在的充分条件 第四章，研究了一类具有反馈控制和h o l l i n g i i 型功能性反应的 非自治v o l t e r r a 系统，并且考虑了功能性反应过程中的时滞现象，通 过建立适当的l y a p u n o v 泛函，对模型进行定性分析，给出了系统的 一致持续生存性、全局渐近稳定性的充分条件 第五章，研究了一类具有纯时滞的非自治扩散的多种群竞争系 i 统，通过利用比较原理及泛函微分方程的相关理论得到了种群在斑块 中扩散时一致持久的充分条件，并且当系统是概周期系统时，通过构 造适当的l y a p u n o v 泛函及使用概周期系统的基本理论证明了系统是 全局渐近稳定的且在适当的条件下系统存在唯一的概周期解最后 通过相关的实例以数值模拟的方式说明了这些结论的有效性 第六章，研究了一类具有脉冲效应和时滞的非自治扩散竞争系 统，通过使用重合度理论中的m a w h i n 连续定理证明了系统一正周 期解的存在性，并通过构造适当的l y a p u n o v 函数得n - y 系统正周期 解的唯一性和全局渐近稳定性的充分条件最后我们通过例子对我 们的主要结论进行了简单地说明 关键字持久性，周期解，全局渐近稳定，重合度，概周期解，脉冲 效应 h a n i m p o r t a n t d i r e c t i o no fm a t h e m a t i c a le c o l o g y r e s e a r c h t h i s d i s s e r t a t i o nm a i n l yd e a l sw i t hd y n a m i c so fs o m ep o p u l a t i o nm o d e l sb y u s i n gl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o da n dc o m p a r i s o nt h e o r e mo fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h eb a s i ct h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， c o n t i t u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y t h ep a p e r i s c o m p o s e do f s i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fp r o b l e m st ob es t u d i e da n d t h es i g n i f i c a n c eo ft h i sd i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e d w es u m m a r i z es o m e e x c e l l e n tw o r k si np o p u l a t i o nd y n a m i c s t h e n ，w e i n t r o d u c es o m e e x c e l l e n tw o r k s w h i c he m e r g ei nr e c e n ty e a r s i nc h a p t e r2 ，t h ep e r s i s t e n c ef o ran o n a u t o n o m o u sp r e d a t e r - p r e y s y s t e mw i t hr a t i o d e p e n d e n c ea n d t i m ed e l a yi sc o n s i d e r e d ，a n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o r t h ep e r s i s t e n c eo ft h es y s t e ma r eo b t a i n e d a l s o ，w h e nt h e s y s t e mi sp e r i o d i c ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c e a n dg l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fap o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o no ft h es y s t e ma r e g i v e n i nc h a p t e r3 ，an o n a u t o n o m o u sp r e d a t e r - p r e yp e r i o d i cs y s t e mw i t h r a t i o d e p e n d e n c ei sd i s c u s s e d ，a n dt i m ed e l a yi sa l s oc o n s i d e dd u r i n g t h e p r o c e s so ft h e f u n c t i o n a lr e s p o n s e b yu s i n gac o n t i n u a t i o nt h e o r e m 1 1 1 s u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n a l sa n du s i n ga l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n a lb a s i c t h e o r y , w ep r o v et h a tt h es y s t e mi sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dh a s au n i q u ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nu n d e rs o m e a p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s i nc h a p t e r6 ，an o n a u t o n o m o u sd i s p e r s a lc o m p e t i t i o ns y s t e mw i t h i m p u l s i v e e f f e c ta n dt i m e d e l a y s i s i n v e s t i g a t e d b yu s i n g t h e c o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n db yc o n s t r u c t i n g i v s u i t a b l e l y a p u n o v f u n c t i o n a l s ，a s e to fe a s i l yv e r i f i a b l e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r eo b t a i n e dt og u a r a n t e et h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l a b a l s t a b i l i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so f t h es y s t e m k e yw o r d sp e r s i s t e n c e ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，g l o b a l l ya s y m p t o t i c s t a b i l i t y , c o i n c i d e n c ed e g r e e ，a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ，i m p u l s i v ee f f e c t v 第四章具反馈控制和时滞的非自治v o l t e r r a 系统的渐近性质2 3 4 1 引言2 3 4 2 持续生存性2 4 4 3 周期解的存在性和全局渐近稳定性2 8 第五章一类具有纯时滞的非自治扩散种群竞争系统的持久性和概周期解3 1 5 1 引言3 l 5 2 持久性3 3 5 3 全局渐近稳定性4 1 5 4 概周期解5 4 5 5 例子和数值模拟5 7 第六章一类具脉冲效应和时滞的非自治扩散竞争系统的正周期解的存在性和 全局吸引性：5 9 6 1 引言5 9 6 2 正周期解的存在性6 1 6 3 唯一性和全局渐近稳定性6 8 6 4 例子7 7 参考文献7 8 致谢8 3 攻读硕士期间主要成果8 4 v i 硕+ 学位论文 第一章绪论 1 1 问题产生的背景与现状 第一章绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支之一，随着科学技术的不断发展，常 微分方程在诸多领域的应用日益广泛，如天文学、力学、生物学、电子技术、空 间技术、人工神经网络力学、经济学等可以说微分方程理论已成为许多尖端科 技领域内强有力的杠杆，并推动着这些学科不断向前发展特别是以常微分方程 理论为基础的数学生态学已经形成了比较完善的体系，对整个生物学领域也产生 了重要影响2 0 世纪2 0 3 0 年代，由于数学向生物学领域进一步渗透，人们应用 多种数学工具，建立了各种各样的数学模型对相应的生命过程进行模拟同时， 数学物理方法把微分方程模型带进了生态学领域，从而使种群生态学发展到了一 个黄金时代在这一领域，出现了l o t k a 、v o l t e r r a 、k o l m o g o n o v 等大师以及以他 们名字命名的模型和系统l o t k a v o l t e r r a 系统和k o l m o g o n o v 系统不仅是经典的 微分方程形式，也是众多的应用学科的基本而重要的系统之一对种群生态学模 型的研究不仅是对泛函微分方程进行研究的理论要求，也是整个生态学领域进一 步发展的现实需要 种群生态学是生态数学中应用最多的分支之一对种群生态学中所提出的数 学模型进行研究，是生态数学的主要内容在自然界中任何一种物种都不是孤立 存在的，必然要同其它物种发生各种各样的关系，物种之间的相互作用关系对于 整个生物界的生存和发展是极其重要的，它不仅影响生态系统中每一个物种的生 存和发展，而且还把各个物种连接成为一个复杂的生命之网，并决定着群落和生 态系统的稳定性食饵捕食者相互作用关系是自然界中生物种群之间相互作用 的基本关系之一，种群a 靠丰富的自然资源生长繁殖，而种群b 靠捕食种群a 为生，生态学上就称种群a 为食饵，种群b 为捕食者，二者共同组成的模型称 为捕食者食饵模型，对捕食者食饵相互作用关系的研究是生态学界和生物学界 研究的一个重要的课题在建立生物数学模型的时候，我们通常会考虑影响模型 的非线性因素，如功能性反应，即捕食者种群对食饵种群的捕食能力功能性反 应在捕食者食饵系统的研究中起着重要的作用，一般来说功能性反应可分为食 硕士学位论文第一章绪论 饵依赖型和捕食型两种类型1 9 6 5 年，h o l l i n g 在实验基础上，对著名的 l o t k a v o l t e r r a 模型加以改进，对不同类型的物种提出了三种不同的功能性反应 函数近年来，越来越多的明显的生理学和生物学证据表明，在许多情况下，特 别是当捕食者食饵模型不得不搜寻食物时，一个更切合实际且更一般的捕食者 食饵模型应基于“比率依赖 理论，即功能性反应是捕食者依赖型的这一理论 已被大量的野外观察结果和实验室实验数据所证实比例依赖型捕食者食饵模 型是a r d i t i 和g i n z b u r g 率先提出来的，随后许多学者对这类基于比率的捕食者一 食饵模型进行了广泛地研究下面介绍几种常见的生态数学模型 1 1 1l o t k a v o l t e r r a 模型 2 0 世纪2 0 年代，意大利著名的科学家v v o l t e r r a 在研究意大利某渔港鱼类 收购情况时建立了如下数学模型来反映捕食者与食饵所构成的两种群相互作用 的系统 查： 一by)x(a = 一 d t 鲁叫饿卅， 但是它在建立过程中没有考虑种群的密度制约，设在无其它种群干扰时，得到捕 食者与食饵种群相互作用的l o t k a v o l t e r r a 模型 其中x , y 的系数均为常数，岛和乞分别反映两种群的密度作用因素，称为种内作 用系数； 6 2 与q 反映了两种群相互作用的因素，称为种间作用系数；a 。和口2 分 别表示两种群的内禀增长率，其值等于出生率减去死亡率 1 1 2 比例依赖的模型 传统的生物模型往往假定捕食者种群的平均捕食率只依赖于食饵种群的密 度然而，生物学和生理学中越来越多的证据表明：在许多情形下，特别是当捕 2 x 力 n 钞 气 叩 机 件 弘 即 如 + q 吒 娟 灭 硕士学位论文 第一章绪论 食者不得不搜寻食物时，一个更切合实际且更具有一般性的生态模型应基于“比 例依赖”理论，粗略地讲，即捕食者种群的平均增长率应为食饵种群密度与捕食 者种群密度之比的函数 a r d i t i 和g i n z b u r g 5 1 】以h o l l i n gi i 型功能反应函数为基础提出了以下的比例 依赖反应函数 p c 争未， n 1 3 ， y j - 宝= x ( a - b x ) 二罴 ， i - - 警t = y ( - d + 惫x 一 其中x ( f ) 和y ( ，) 分别表示食饵与捕食者种群在时刻f 时的密度，孚 o 是食饵种群 1 1 3 具有扩散的种群动力模型 随着经济和科学技术的不断发展，人类的活动范围也在不断扩大，例如交通 道路的修建、矿山的开采，森林的砍伐等等，人类正在对自然资源进行过度地开 采利用，但是人类在享用自然的同时也在破坏着自然，因而越来越多的生物种群 已经灭绝或正在走向灭绝，人们在研究生物灭绝过程中，发现许多生物的灭绝过 程都是栖息地先行破碎，连续分布的种群裂成斑块状种群，然后逐个斑块种群灭 绝，最后导致整个斑块种群的灭绝为了保存生物种群的多样性，我们又不得不 通过建立自然保护区并采取一些相应的措施对野生动植物进行保护，这样就形成 了斑块环境有的种群在栖息地裂成斑块状后，局部小斑块上的种群因其他斑块 中个体的迁入而能长期共存，甚至局部种群灭绝后形成的空间也能被来自邻近斑 块的迁入个体占领而得以恢复因此研究斑块环境对种群生存与绝灭的影响以及 在斑块环境- i r 妻i 何改善环境条件使生物种群得以保护具有重要的意义，也是种群 硕士学位论文第一章绪论 动力学中十分重要的课题 1 9 7 4 年，s l e v i n 5 2 建立一个斑块环境下的种群动力学模型 等叫( + 妻啪一a ，朋， ( 1 1 5 ) 其中表示第i 种种群在时刻，时的第个斑块中的密度，u s = ( 彳，磁9o - ，) ，矽 表示第，种种群从y 个斑块到第个斑块的扩散率 考虑到自然界中许多种群的出生率、死亡率以及扩散率等参数随季节周期性 交化这一规律，文 5 3 1 研究了两个斑块的周期扩散模型 = 薯【6 o ) 一q o ) t 】+ d j ( ，) ( x ，一一) ，i ，j = 1 ，2 ，i j ， ( 1 1 6 ) 并且证明了若匆( ，) ，a t ( t ) ，d ，( ，) ( f = 1 ，2 ) 是j 下的、连续的、以为周期的函数，则系 统存在唯一的缈正甩期解，而且该周期解是全局渐近稳定的 。1 1 4 具有脉冲作用的种群动力学模型 以往人们对生态系统的研究通常假定物种的生命过程及其某些生命特征始 终是连续的，但事实上，有许多生命现象的发生和人们对某些生命现象的优化控 制并非是一个连续的过程，不能单纯地用微分方程或差分方程等来进行描述例 如，动物自然保护区短期开放狩猎会使种群急剧减少等等对这些现象或过程进 行数学建模需要用到脉冲微分方程的理论和方法脉冲微分方程理论的应用非常 广泛，许多学者将其引入到了种群生态学的研究当中 2 0 0 5 年，s y t a n g 等 5 4 】考虑了一个非固定时刻综合害虫治理模型 ，( f ) = x o ) ( 口一砂o ) ) i y 船) = 篇等咧r ) r a x ( t ) = 一p x ( t ) 1 、 x=a y ( t ) = fj “。 x ( o + ) = x o o ， 7 硕士学位论文 第二章具比例依赖的非自治捕食者食饵系统的渐近性质 2 2 持久性 m a x a 材，b mc y ，d u ，k m 胁m ，m ( f = l ，2 ) ) o ，j ， o ( f = l ，2 ) ) 是系统( 2 1 2 ) 的不变集 证明因为玉o ) = ( 0 ) e 印 上吕( s ，西，恐( 珐如妣埘 o ( i = 1 ，2 ) ， m ) = 贝o ) 叩 i 岛 西恐灭跏诸 o ， 所以具有j 下初始值一( 0 ) 0 ，j ，( 0 ) 0 ( f _ 1 ，2 ) 的解 鼍( f ) ，x d t ) ，y ( r ) ) 的每一个分量在有 限的时间内不能等于0 ，这样就得到了定的正向不变性 定义2 2 1 系统( 2 1 2 ) 一致持久生存是指存在一个紧集kci n t ，使得对每一 个具有正初始值的解x ( ，) = 五( r ) ，屯( d ，y ( ，) ) 最终进入并保持在k 中 令珥= 竿州= 等， o b t - k l 砖- b l 哆m l n k l c 竽m m 2 荔步一 =：j：!j!：!：!：j!：!：!：j；：!：；：2111：?：；j：!：!燮p c c r c r + e c y d ，r ， a l ( d l e 警c 警、 1 硝= 型铲“= 型掣筹蒜铲 定理2 2 1 若系统( 2 1 2 ) 满足下列不等式 ( p r c r + p y 簟- d ) m r 6 ( d l p y 簟) 0 ， b k l t b l m ! 一n k l c ； 0 。 b l k l t - b l 鬯ml n k l 4 m m 0 ， 文呔一矿妙+ m 、+ - t m o ( m , + , r t m 0 0 。 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 则( a ) 存在互 0 ，使得当， 五时有0 五( ，) m ，0 z 时有薯( ，) ，m ) 刀( 扣1 ，2 ) ，其中m 珥，鸩 必， 矿； o m t 西，o 镌 以，0 n d 8 硕士学位论文第二章具比例依赖的1 e 自治捕食者一食饵系统的渐近性堕 证明( a ) 设x ( f ) = “( ，) ，恐( ，) ，y ( ，) ) 是系统( 2 1 2 ) 的具有正初始的解，由系统 ( 2 1 2 ) 的第一个方程有 毫洲杜可r l l x i 墉l x = m i 州一訾) m l ，则存在互 o ，使得当， 互 时有五( ，) m i 同理对系统( 2 1 2 ) 1 娅- 个方程有 岛圳一簪墉i x = m 2 蚓一訾) 0 ，总存在乏 0 ，使得当， 正时有而( r ) m ： 由系统( 2 1 2 ) 的第三个方程得夕y ( p r c r + e fd ) ，当t f 时，有 y ( f ) s y ( ，一r ) e ( 8 + 硅c i 7 一) r ，等价于y ( ，一r ) y ( f ) p 一一) f ，故由条件( 2 2 1 ) 知 当， m a x 互，疋) + f 时有 j 一j ? 7 ： ：“ ，+ 二一，夕，) 多o ) 卜d 石f ；j + p 笋c 笋】 j ，( f ) y ( d 卜( d 一孝) + 石f ：j 函_ ：手鼍三善】 ( 掣+ 篁一d l ) m j b l ( 理! 二望望! 二堡：! 垡! 二竺竺型! ：! ! ：! ! ! ：丛尘 b + m + 口一坩一纠项f ) ，) ； ， 则存在 五 m a x t l ，瓦 + f ，当f t 3 时有y ( f ) n 成立 故，令五+ = 五，则当f 五+ 时有o 薯( ，) m ，0 o ， 9 硕十学位论文 第二章具比例依赖的非自治捕食者食饵系统的渐近性质 所以而( 0 ) ，l l ，对一切t 0 有x l ( f ) m 1 ；若0 互 时有一( f ) m t 同理，由系统( 2 1 2 ) 的第二个方程有 啦纵芬一丁r 2 m x 2 一挚一学) ， 戈： x 2 = m 2 - - m 2 ( 哮一争一半n c 扫y 。m m ) 地 故对任意的x 2 ( o ) 0 ，总存在巧 0 ，使得当f 巧时有x ：( ，) m 2 由系统( 2 1 2 ) 的第三个方程有夕( f ) 一d 肘y ( f ) ，对f i + f ，y ( t r ) y ( f ) e l 划。必塑筹等鬻等筹舒业逊h 咖北 若少( o ) 刀，则对任意的， 0 有y ( ，) n ；若0 巧时有y ( ，) 刀 因此，令巧= 巧，则当r z 时有t ( f ) m 。，y ( ，) n ( i = 1 ，2 ) 定理2 2 2 系统( 2 1 2 ) 在定理2 2 1 的条件下是一致持久生存的 证明记k = “，j c 2 ，y ) l 砚薯m ，n 一 ， 立 夕 成 、， 4互互 若 硕十学位论文 第二章具比例依赖的非自治捕食者一食饵系统的渐近性厘 z ( f ，歹) = “( f ，z o ) ，吃( ，z 。) ，川，z o ) x c t o ，z ( 0 ，z 。) = z 。 定义一个p o i n c a r e 变换a ：专为a ( z 。) = z ( 彩，z 。) ，这样系统( 2 1 2 ) 的周期解 的存在性就等价于映射a 的不动点的存在性 定理2 3 1 如果缈一周期系统( 2 1 2 ) 满足条件( 2 2 1 ) ( 2 2 4 ) ，则系统( 2 1 2 ) - - 虿- 少存 在一个严格正的周期解 、 证明由定理2 2 2 知kc 是系统( 2 1 2 ) 的正向不变集，且k 是一个有界闭凸 集由v z 。kjz ( t ，z 。) k 知z ( 织z 。) k ，即a ( z 。) kj 爿( k ) ck ，又由解对初 值的连续依赖性可知a 是连续的，根据b r o w e r 不动点定理2 1 ，得彳在k 中至少有一 个不动点，即周期系统( 2 1 2 ) 在k 中至少存在一个严格正的国一周期解又由定理 2 2 2 知k 为不变集，这样就保证了该周期为严格正的 引理2 3 1 1 4 1 设g ( f ) 是非负可微函数，若i 雪( ，) i m ，m 为正常数，且 j g ( t ) d t 生，4 b 一4 一 一 堕4 砬一4 g 一4 q 一4 砖万生生舻生 型一t i 2 ( t ) ：一r 盟 恐( ，) u 2 ( r )、七( ，) 一一b(t)c2(t)m2(t)u2v+a(t)c2(t)mz(t)uyv+2c2(t)m3(t)x2u：v+c2(t)m2(t)uzv(xi+u,)(x一)一(盟 ( b ( t ) + a ( t ) y + x t + m ( t ) x 2 x b ( t ) + 口( f ) ，+ + 肌( ，) 屹) ( + m ( t ) x 2 x u , + m ( t ) u 2 ) “。”、七( ，) 1 2 硕士学位论文第二章具比例依赖的非自治捕食者食饵系统的渐近性质 + 一_ 垒g ! ! 至! 尘竺：g ! 型竺! 尘垒! 尘竺堑堕立2 坐兰堡! 丛! ! 竺垃! 燃尘兰丝! ) ( 矗一巩) ( 6 ( f ) + a ( t ) y + x l + ，卯o ) 恐) ( 6 ( ，) + a ( ，) v + u l + m ( t ) u 2 ) ( 五十m ( t ) x 2 ) ( u l + m ( t ) u 2 ) 7 、 “ 一丝蔓堡逭塑兰堡丛塑竺堕g 逸丝鱼塑堑9 2 盔丝塾塑型g 姿丝丝垒塑丛g 姿垡( y 一们： ( 6 0 ) + “，) y + 五+ ，砸) 恐) ( 跃，) + a ( t ) v + u i + ，砸) x 五十取，) 而) ( + ，项，) 屹) 。 “ 令厂( f ) = ( 6 ( f ) + 口( f ) 灭f r ) + 五o r ) + m ( t ) x 2 ( t f ) x 6 ( f ) + 口( f ) v ( f r ) + m ( f f ) + ，玎( f ) “2 ( f f ) ) ( 五( f r ) + ，”o ) x 2 0 r ) ) ( “l ( ，一r ) + m ( t ) u 2 ( ，一f ) ) ， 鬻一嚣刊蝴荆邪吖地( m 蛔“懈心( 删邪叫哪吖) ) + 口o ) q ( f ) c l ( ，) 五( f r ) u l ( f r ) v ( t r ) + e i ( t ) c l o ) 垅2 0 ) 甜；( ，一r ) ( _ o f ) + 材l o f ) ) + 口o ) q ( t ) c i ( t ) m ( t ) x 2 ( t r ) y ( t f ) ( 五( f f ) + 材i o f ) ) + 2 e i ( ，) q p ) 似f ) 葺o r ) u l o r ) u 2 0 r ) - a ( t ) e z ( t ) c 2 ( t ) m 2 ( ，) ( ，一r ) v ( t r ) 一e z ( t ) c z ( t ) m 2 ( ，) “；o f ) ( 玉( ，一f ) + ( ，一f ) ) - b ( t ) e 2 ( t ) c 2 ( t ) m 2 ( t ) x ；( t - r ) - 2 e 2 ( t ) c 2 ( t ) m 3 0 ) 屯o f ) 甜；( ，一r ) ) ( ，) 】( 五o f ) 一( f f ) ) + ( 6 ( f ) p 2 ( ，) c 2 ( f ) m 2 ( f ) _ ( f f ) ( x 2 ( t - r ) + u 2 ( f f ) ) + 6 ( ，) p 2 ( f ) c 2 ( ，) ，行3 ( f ) x 2 ( t - r ) u 2 ( f f ) + a ( t ) e z ( t ) c 2 ( t ) m 2 ( t ) x a ( t r ) y ( t - r ) ( x 2 ( t r ) + u 2 ( t r ) ) + a ( t ) e 2 ( t ) c 2 ( t ) m 3 0 ) 恐( f r ) o r ) v o f ) + p 2 ( t ) c z ( t ) m 2 ( r ) 材? o r ) ( x 2 ( t f ) + “2 ( f r ) ) + 2 p 2 ( t ) c 2 ( t ) m 3 ( t ) x z ( t r ) u l ( f r ) u 2 0 f ) - a ( t ) e t ( f ) c l ( ，) 所( ，) x i z ( f r ) y ( t f ) 一e 1 ( ，) c l ( ，) 聊2 ( f ) 甜? ( ，一f ) ( x 2 ( f f ) + 1 2 ( f f ) ) 一6 ( ，) q ( ，) q ( ，) ，”o ) 甜? p f ) 一2 q ( ，) q p ) ，押( ，) 五o f ) 甜f ! ( ，一f ) ) ( ，) 】( 恐( ，一f ) 一“2 0 f ) ) 一【( 口o ) 白 ) c 。o ) 葺9 一f ) “；o r ) + 口o ) 巳o ) c 1 0 ) m ( ，) x ；o r ) “：( t - r ) 枷坞( t ) c 2 ( t ) m 2 ( t ) x a ( t - r ) ( t r ) + a ( t ) e 2 ( t ) c 2 p ) 力o k ( t - r 燧( f f ”八明一力一m 一砌 则对矿( ，) 取正向偏导数得 胛= 喜器c 鬻一鬻，+ 尚尚c 鬻一鬻，+ 知哪) l 一导瞰卜f ) 一尔卜r ) | + 鲁i 以，) 一姒，) 1 鲁i 恐( 卜f ) 一姒，一r ) l 1 4 硕士学位论文第三章具比例依赖和时滞的非臼治捕食系统的正周期解 第三章具比例依赖和时滞的非自治捕食系统的正周期解 3 1 引言 捕食者食饵系统在生态学中具有重要意义，近几年受到了生物学家和数学 家的广泛关注，尤其是对具有功能性反应的生态系统的研究他们利用m a w h i n 重合度理论，作了很多有意义的工作( 见文献【5 - 9 】) 本章在文 5 】中模型( 3 6 ) 的基础上，同样利用m a w h i n 重合度理论研究了周 期系数具比例依赖和时滞的非自治捕食系统 稍们一等一丽而嚣案丽， 张( f ) 硼一等一雨丽雨c 2 ( t ) m 丽2 ( t ) 丽雨， ( 3 1 1 y 夕= 灭训+ 而丽石而苦蔫骋而丽 e 2 ( t ) c 2 ( t ) m 2 ( f ) 0 一力 、 ( b ( t ) + a ( t ) y ( t - r ) + x i ( t - r ) + m ( t ) x 2 ( t - r ) ) ( ( t - r ) + m ( t ) x 2 ( t - r ) ) 乃 其中而( f ) ，x 2 ( t ) 表示两食饵种群在f 时刻的密度，少( ，) 表示捕食种群在，时刻的 密度口( f ) ，6 ( ，) ，q ( f ) ，d ( f ) ，q ( f ) ，七( ，) ，朋( f ) ，i ( f ) ( f - 1 ，2 ) 为 0 ，+ ) 上的连续的严格正函 数，且具有正的上、下界，f 为正常数，得到了正周期解的存在性 关于系统( 3 1 1 ) 的生态学意义可以参看文【5 】文【5 中作者对种群数学模型 的基本性质进行了介绍，提出了一个具比例依赖的自治系统，然而由于时滞现 象在自然界时常有发生，故而本章的系统( 3 1 1 ) 延拓了文【5 】中模型( 3 6 ) 3 2 正周期解的存在性 讨论之前先引入如下概念和结论 设x ，z 为两个b a n a c h 空间，三：d o m lcx z 是线性映射，n ：彳一z 是 连续映射如果d i m 儿= c o d i m i m l 0 ，y 0 ( i = 1 ，2 ) ) 是系统( 3 1 1 ) 的正向不变集 ( 该引理是显然的) 定理3 2 1 设系统( 3 1 1 ) 的系数函数满足下列条件 ( 互) 承l 一彳一( 鱼涉 o ，( 乏) p 2 l c 2 l ( 聊正) 2 p 吐一 2 一d ( 1 + m m ) ( 6 m + p 马+ 掰m p r 2 ) o ， 口 ( 乏) 丞三一4 一( 曼丝碡 o ，( 疋) e i l c 一 一d ( 1 + m 肼) ( 6 m + e 焉+ m 肘e 恐) o ， 、a 其中伽a x 竿，等) ，足 h 排坝，2 ) 小2 初， b ，_ - ，。缈稚l 一国彳一国( 红_ 2 吒缈- = 1 n 7 t国西一缈彳刮等弦l ，畋乩万卫一 则系统( 3 1 1 ) 至少存在一个正的缈一周期解 1 6 证明作变换x ，( f ) = e x p u ( f ) 】，y ( t ) = e x p v ( t ) ，( f = l ，2 ) ， 则系统( 3 1 1 ) 转化为 ( 3 2 1 ) 掣州硼一耸茅一州丽丽呵础豢铲嘶两 掣吲硼一耸茅”而丽万c 2 ( t 而) m z ( 谚t ) e w 丽)研( 3 2 2 ) 害叫卅而丽丽嚣糕誊杀甄丽呖 e 2 ( t ) c 2 ( f 枷2 ( f ) p 砒“7 r r f 、+ 口r n e v ( r f + 仑竹( ，- f + m ( t ) e 叱( ，_ r ) x e u l ( 7 7 + m ( t ) e u 2 ( 。一7 ) 显然，如果系统( 3 2 2 ) 有一个缈一周期解( “i ( f ) ，“：( f ) ，v ( ，) ) 7 ，那么 ( i ( f ) ，蔓( f ) ，y ( f ) ) 7 = ( e x p “：( f ) ) ，e x p “：( f ) ) ，e x p v ( f ) ) ) 7 1 就是系统( 3 1 1 ) 的一个正 缈一周期解所以只需证明系统( 3 2 2 ) 有一个缈一周期解设 x = z = ( o ) ，地( f ) ，吠f ) ) r c ( r ，定) i + 动= ( f ) ，f + 功= ，叹f ) ) ( f = 1 ，2 ) ) ， 2 ( ( f ) ，甜：( f ) ，v ( f ) ) 7 11 1 = 空间令 i = l ，。m 【o a x 。li ( ，) i + ，。m 【0 t a x 。j v ( r ) l ，则x ，z 在i 下成为b a n a c h l ：d o m l n x 专z ，l ( u l ( f ) ，u 2 ( f ) ，v ( f ) ) r = ( d u l ( ，) d u 2 ( f ) 其中d o m l = ( “l ( f ) ，甜2 ( ，) ，v ( f ) ) r c 1 ( r ，r 3 ) ) ，n ：x x ， h 忖 ( f ) ( 1 一 矿+ p ”2 f ) | ( f ) 咧- 一耸茅 a v ( t ) 、7 1 一 、 一 业鲨竺：! ， ( 6 0 ) + 口( f ) p 9 + p i 7 + ，珂( f ) p u 2 ( t ) ) ( p h + ，”( f ) g u z ( t ) ) 、c 2 ( f ) m 2 ( f ) ， ( 6 ( f ) + 口( f ) p ”+ p + ，打( f ) p u 2 ( t ) ) ( p h + ，押( f ) p ”2 ”) 一do)+i葫了i；石石i石；厂i；石害羔乒警i篆考薹兰善三每i而=石丽+ e 2 ( t ) c 2 ( f ) 坍2 ( f ) e 2 。2 “一 ( 6 ( f ) + 口( f ) e ”一7 + p 。l 一7 + ，竹( f ) g u 2 t - r ) ) ( p 蚝f - 7 + ， o ) p 叱，- 7 ) 定义映射p 和q 分别为 厂“1 = 1n 2 ( t ) i 1 n 3 ( t ) j 尸( u l , u 2 , v ) 7 = q ( ，“：，v 厂= ( 去r 甜。( ，) 衍，去f 甜：( f ) 衍，丢r v ( ，) 衍) r ，( “。，屹，v ) 7 x = z ， 则有 k e r l = ( ，“2 ，) 7 xl ( ，“2 ，v ) 7 = ( “：) ，甜2 0 ，v o ) 7 r 3 ， 1 7 硕士学位论文第三章具比例依赖和时滞的非自治捕食系统的正周期解 ，御m i m l = ( ，“2 ，v ) 7 zi 【u , ( t ) d t = 0 ，【v ( t ) d t = o ( i = l ，2 ) ) 于是d i mk e r l = c o d i m i ml ，由于i m l 是z 中的闭子集，故是指标为零的 f r e d h o l m 算子易知尸，q 是连续投影算子，且使得i mp = k e r l ， i m l = k e r q - - - i m ( i - q ) ，因此三的逆映射蜂：l m l k e r p d o t a l 存在，且 k p ( “) = f 甜( s ) 出一土t or f 甜( j ) d s d t ， 其中甜= ( ，”z ，v ) 7 q n ：x 专z 和 k p ( ，一q ) n ：x x 分别为 咖= ( 去f l ( ，) 衍弓f 2 ( ，渺弓r 3 0 渺凡 k p ( j q ) n u = c 。( s ) a s ：( s ) d s f ，( s ) d s 上t of “( s ) d s d t 上t o r ：( s ) d s d r 丢fr 3 ( s ) d s a t 一( 三t o 一昙2 ) n l ( s ) d s 受n 2 l s ) d s n 3 ( s ) 幽) 利用l e b e s g u e 收敛定理可以证明q 和k p ( ，一q ) 是连续的，利a r z e l a - a s c o l i 定理不难证明对任意开的有界子集qc x ，q ( q ) 及k p