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摘要 本论文主要讨论了几类具混合时滞的高阶神经网络模型的动力学 性质，讨论了这些神经网络模型的周期解和概周期解的存在性，唯一 性和指数稳定性全文共分为四章 第一章简述了人工神经网络的研究背景和h o p f i e l d 神经网络模型 的发展，并说明了高阶神经网络比一阶神经网络的应用性更强，简述 了高阶神经网络的研究现状，另外还介绍了本文的主要工作 第二章研究了具有脉冲和混合时滞的高阶h o p f i e l d 神经网络模型： d x i 出 上 + 局( ( 易，( 巧， 一f f i ，j 1 ) 一s ) ) f j ( z j ( t 一( ) 一s ) ) d 。k i j ( f , ，s ) ( ) ) ) ) 乃。( z j 。( 一 t 0 ，t t k ， a x i ( t k ) = z i ( 砖) 一z t ( i ) = 魄( z t ( 岛) ) ，i = 1 ，2 ，n ；k = l ，2 ， 通过利用迭合度理论，不等式的分析原理和l i a p u n o v 泛函方法，得到 了该系统的周期解的存在唯一性及全局指数稳定性的结论，并举出 例子进行说明。 第三章则利用指数二分法，b a n a c h 空间中的不动点定理和微分不 等式技巧研究了具混合时滞的高阶h o p f i e l d 神经网络模型的概周期解 的存在性，唯一性和全局指数稳定性，利用数字模拟证明了例子的正 确性。 t 。k 一 n 弘 一。 小 + 、， 加 魄 卅 ! 酏 ( ( 1 n 啄 一 ； 第四章讨论了混合时滞竞争神经网络 s t 4 ：z ：( ) = - a i ( t ) x d t ) + e ，k o ( s ) 缈( 协( 一s ) ) d s j = lu + ( ) 乃( z j ( 一( ) ) ) + b i ( t ) s i ( t 一吼( ) ) + p i ( t ) j = l l t m ：s ：( ) = - s i ( t ) + ( 孔( 一氕( ) ) ) + q i ( t ) 忍( t ) = 妒i ( t ) ，岛( t ) = 蛾( t ) ，一亍t 0 ，i = 1 ，2 ， 利用指数二分法，b a n a c h 空间中的不动点定理和微分不等式技巧，通 过引入可调实参数，得到了这类具有不同时间尺度的混合时滞竞争 神经网络存在全局指数稳定的概周期解的充分条件。 关键词：高阶神经网络；周期解；概周期解；全局指数稳定性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s ss o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so fd y n a m i cb e h a v i o r s o fs e v e r a lh i g h e r o r d e rn e u r a ln e t w o r k sm o d e l sw i t hm i x e dd e l a y ，w h i c hi n c l u d e s t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa 8 w e l la sa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h i sp a p e r a st h ei n t r o d u c t i o n s ，i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n do fa r t i f i c i a ln e u r a l n e t w o r k sa n dt h ed e v e l o p m e n to fh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k sm o d e l sa r eb r i e f l y a d d r e s s e d w ea l s oi n t r o d u c et h a th i g h e r - o r d e rn e u r a ln e t w o r k sa r em o r ep r a c - t i c a lt h a no n e - o r d e rn e u r a ln e t w o r k s t h eg e n e r a lk n o w l e d g eo fh i g h e r o r d e r n e u r a ln e t w o r k si si n t r o d u c e da n dt h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ra r eg i v e n i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eh i g h e r - o r d e rh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k sw i t h m i x e dd e l a ya n di m p u l s e s ： 警一畎姚+ 耋啪胤删+ n j = l f j ( x t ( t n a t ) 一s ) ) d s ( t ，8 ) + c i , j ，j ( t ) y j 。( 巧。( ) ) 乃。( ( ) ) 7 1 = lj 竹i = 1 nn 粤 + 办。( x j 。 一a i m ，j 。( t ) 一s ) ) f 7 ：( x 7 。 一吼加，j 。( t ) 一s ) ) 7 1 = 1 如= 1 右 厶。( x j 。( 一o i ，j ，j 。( ) 一s ) ) d 。良i ，j ，j 。( ，8 ) + 厶( ) ， t 0 ，t t k ， a x t ( ) = x i ( t + ) 一z t ( i ) = 耽七( z t ( 凫) ) ，i = 1 ，2 ，n ；七= 1 ，2 ， b yu s i n gt h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , d i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t yt e c h n i q u ea n dc o n s t r u c t i n gl i a p u n o vf u n c t i o n s ，w ed e r i v et h ec o n c l u - s i o no ft h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i c s o l u t i o n so ft h i sn e u r a ln e t w o r k s ，a n dc i t ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t ei t i nc h a p t e r3 ，b yu s i n ge x p o n e n t i a ld i c h o t o m y ，t h eb a a a c hf i x e dp o i n t t h e o r y , a n dd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e - r i v e de n s u r i n ge x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fa l m o s t i i i 厂、o p e r i o d i cs o l u t i o nf o rh i g h e r - o r d e rh o p f i e l d t y p en e u r a ln e t w o r k sw i t hm i x e dd e - l a y b yu s i n gm a t h e m a t i c a ls i m u l a t i o n ，w ep r o v et h er e a s o n a b i l i t yo fo u re x a m p l e a c c o r d i n gt oo u rt h e o r e m i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h ec o m p e t i t i v en e u r a ln e t w o r k sw i t hm i x e dd e l a y ： s 丁m ：z ：( ) = - a i ( t ) x d t ) + ，( s ) 缈( 劬( 一s ) ) d s ， j = 1u + ( ) 乃( ( 一( t ) ) ) + 鼠( t ) s i ( t 一吼( ) ) + p i ( t ) j = 上 己丁a 彳：s ：( ) = - s i ( t ) + 五( 现( z 一死( ) ) ) + q i ( t ) 既( ) = 妒i ( ) ，s i ( t ) = 砒( ) ，一亍t 0 ，i = 1 ，2 ， b yu s i n ge x p o n e n t i a ld i c h o t o m y , t h eb a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r y , a n dd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，a n di n t r o d u c i n ga d j u s t a b l er e a lp a r a m e t e r ，w ed e r i v et h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o ft h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ec o m p e t i t i v en e u r a ln e t w o r k sw i t hm i x e d d e l a ya n dd i f f e r e n tt i m es c a l e s k e yw o r d s ：h i g h e r o r d e rn e u r a ln e t w o r k s ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；a l m o s t p e r i o d i cs o l u t i o n ；g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y i v 几类高阶神经网络的周期解与概周期解及其稳定性问题 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：奄胼玉沙f 9 年蝴坪日 口 j 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权属湖南师范大学，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或 部分内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 i 、保密，在年解密后适用本授权书 2 、不保密土l 。 ( 请在以上相应横线上打“ 力) 作者签名：专簖参 导师签名：下建奄 4 9 日期 o 年妇z 归 日期：矽f 卑 碉稠 几类高阶神经网络的周期解与概周期解及其稳定性问题 1 绪论 神经网络是一门新兴的综合性，交叉性很强的学科近年来，人工 神经网络的理论和应用研究引起科学工作者很大兴趣，并成为非线性 科学领域的研究热点之一，这主要因为人工神经网络有着丰富的动力 学行为，如稳定性、振荡性和混沌现象。而从生物神经网络系统研究 来看，人的大脑时刻处在周期振荡或混沌状态，因此对人工神经网络 周期振荡性或混沌现象的研究有着十分重要的现实意义。 物理学家h o p f i e l d 于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表的两篇举世瞩目的论 文【1 ，2 ，他引入“计算机能量函数”的概念，给出了网络稳定性的判 别依据，为网络的实现和应用找到了理论依据，同时开拓了神经网络 用于图像处理，模式识别，联想记忆和优化计算的新途径，从而激励 了世界上众多有才华的科学家、数学家和工程技术人员加入到神经 网络的研究行列。近年来，研究工作者提出和研究了多种神经网络模 型、算法和应用问题，并完成了许多有意义的工作【孓1 0 】。 在连续时间神经网络模型中，应用最广泛的是h o p f i e l d 模型： j 几 一 g 等= j ( x j ) 一百：e i + 厶，i = 1 ，2 ， “ j = l k 其中为忍电阻，g 为电容，兄，g 并联，模拟了生物神经元输出的时 间常数，t 为电流，互，是神经元i ，j 的突触强度，鼠是第i 个神经元 的输入，五( 戤) 是第i 个神经元的输出。 这是一个基本的模型，有许多重要应用。考虑到神经反应的滞后 性，近年来许多科学工作者对带有时滞的h o p f i e l d 神经网络模型： j 几 一 c ：j a a f ；i = ? a x a t 一勺) ) 一詈+ 厶，i = 1 ，2 ，n ， ”。 j = l 吨 进行了大量研究，这里g ，忌 0 ，厶都是常数。 但在实际电路中，由于放大器的开关速度以及电子元件在运行中 可能发生故障，使得时滞不可能是一成不变的，甚至有时这种变化是 硕士学位论文 十分激烈的。因此，研究具变时滞的神经网络 1 1 ，1 2 】比具常时滞的神 经网络更有意义。具变时滞的h o p f i e l d 神经网络模型可以描述如下： g 警= 薹乃( 巧( 卜勺( 啪) 一薏+ 厶，z = 1 ，2 ， 其中- r j ( t ) ：r _ r + 是非负的连续函数。在大规模网络中，由于各种尺 寸和长度不等的突轴形成了大量的并行通道，使得神经网络具有空 间结构，从而传输时滞通常具有某种分布特性，对于这种情形，由于 信号传输的非及时性，比较有效的处理方法是引进连续的分布时滞， 如( 1 3 】。 而受周围环境以及电路自身老化等问题的影响，衰减率及联结权 往往也不是固定不变的，因此有研究者提出了更一般的系统： 。 , - p a x 删面i2 侧zt , j ( 螂( 巧( 一圳) ) 一南+ 嫩江l ，2 ，n ， 其中g ( t ) ，( ) ，忍( ) ，f i ( t ) 都是连续函数，勺( t ) ：r r + 是非负的连续 函数。 由于高阶神经网络在收敛速度，逼近能力，存储能力及容错能力 等各方面比一阶神经网络具有更强的功能，近年来，对于高阶h o p f i e l d 神经网络的研究愈来愈受到人们的关注。如文 1 4 ，1 5 】考虑了常时滞的 高阶h o p f i e l d 神经网络模型，例如： j a x f i = 一a i x i ( t ) + 6 巧乃( 巧( 一勺) ) + e 吲乃( 巧 一勺) ) 五( 祝( t 一力) ) + 厶 j mmm 。 j = lj = l l = l 而文 1 6 ，17 则讨论了更具一般性的变时滞，变系数模型： 血d t 2 一。( ) 枕o ) + 斛eb o ( t ) f j ( x j ( t - 勺( ) ) ) + 暑善e 例( 。) f j ( z j ( t - 勺( ) ) ) ( 铆( 。一 九( ) ) ) + 厶( ) 文【1 8 】中则考虑了具有分布时滞的高阶h o p f i e l d 神经网络模型： z = 一q 如( 。) + 暑a i j ( 。) 伊( u ) 缈( 彩( t - u ) ) d u + 暑吾z ( ) 铲l ( 乱) g j ( 茁j ( t u ) ) j 矿z ( u ) 9 l ( z 一u ) ) d u + 厶( ) ，i = 1 ，2 ，n 2 几类高阶神经网络的周期解与概周期解及其稳定性问题 在大规模网络中，传输时滞既包含一般的变时滞，又有分布时滞， 因此，文【1 9 】作者利用b r o u w e r 不动点定理考虑了如下模型： d x t 出 + + f j ( x j ( t 办。( 巧。 一吼j 1 ) 一s ) ) n o ，0 ) ) + “( ( t 一( j = 11 5 ( ) ) 乃。( 。( ) ) ，, j m ( ) 一s ) ) 乃。( ( 一 d 8 ，j ，j 。( ，s ) + 厶0 ) ) 一s ) ) c f s k o ( t ，s ) 的周期解的存在唯一性和全局指数稳定性，其中( i = 1 ，2 ，n ) 。 对h o p f i e l d 神经网络的理论及应用问题的研究中，具有脉冲效应 的h o p f i e l d 神经网络引起了许多关注【1 5 1 6 ，2 0 一2 1 。由于人工电路系 统中出现脉冲现象不可避免，或者说为了控制网络的动力行为，需要 利用脉冲效应来实施控制，因此，考虑神经网络系统的脉冲效应有重 要的实用价值。本文在第二章中利用m a w h i n 定理探讨了系统： d x i 班 + + ( t r o ( t ) ) ( x j ：( 一 + 厶( ) ， ) 一s ) ) 以( ，s ) 6 r i ，j l i 抽( ) 一s ) ) t 0 ，t t k ， a x i ( t k ) = 戤( z 去) 一x i ( t i ) = 阮后( 既( k ) ) ，i = 1 ，2 ，佗；k = 1 ，2 ， 的周期解的存在唯一性和全局指数稳定性问题。 从生物神经系统来看，人的大脑时刻处在周期和混沌状态，而概 周期运动必包含周期运动，反之不成立。因此对神经网络的概周期解 研究十分有意义【2 2 2 4 。在第三章中则利用指数二分法，b a n a c h 空间 中的不动点定理和微分不等式技巧研究了具混合时滞的高阶h o p f i e l d 神经网络模型的概周期解的存在性，唯一性和全局指数稳定性。 3 竹皿 ，厶 溉 +：，o吼 艄n耐”纠” 玩 n 叫参科长一枷 巧 一 如 曲 协 坊 一 乃 0 曲 厂o，如 一 旆 。芦 一， 小 + ， 如 卅 ! 酏 ，l j 、j 砒 删 ，j i 、 1 一 讹 聃 吨 h ，l，l l n 姒 “ 砺 。皿 如，厶 溉 +：， 厂o 吼 n渊n渊” 翰 n叫参胆竹暑眦 硕士学位论文 目前，对细胞神经网络，h o p f i e l d 神经网络，b a m 神经网络的周期 解、概周期解的研究已经取得了许多的结果，如【2 5 3 1 】，但对于竞争神 经网络的研究则较少。竞争神经网络是一种无监督学习型的神经网 络，它模拟生物神经网络系统依靠神经元之间的兴奋、协调与抑制、 竞争的方式进行信息处理，具有结构简单，学习算法简便和运算速度 快等优点，在图像处理，模式识别，信号处理，最优化计算及控制理 论中有着广泛应用。而具有不同时间尺度的竞争神经网络是一种特殊 的竞争神经网络，它是由m e y e r - b a s e 等在文献 3 2 ，3 3 中提出来的，这 类神经网络有两类神经元，一类是短期记忆神经元，另一类是长期记 忆神经元，不同类型的神经元中有不同的时间尺度，其数学模型为： ，n is t m ：z ：( ) = - a t x i ( t ) + d o f j ( x j ( t ) ) + b i ( ) s i ( ) 产1 ll t m ：s ：( ) = - - s i ( t ) + 五( 兢( t ) ) ，i = 1 ，2 ， 这类神经网络的提出引起了一些科学工作者的兴趣，如f 3 4 - 3 6 。 而本文第四章中则利用指数二分法，b a n a c h 空间中的不动点定理和 微分不等式技巧，通过引入可调实参数，得到了一类具有不同时间尺 度的混合时滞竞争神经网络： s t m ：z ：( t ) = 一a d t ) x , ( t ) + 圣k o ( s ) g j ( y j ( t s ) ) d s j 一- u + ed o ( t ) h ( x j ( t n a t ) ) ) + b i ( t ) s i ( t 一以( ) ) + p i ( t ) j = 上 l t m ：s ：( ) = - s i ( t ) + ( 如( t 一亿( ) ) ) + q d t ) x i ( t ) = 妒t 0 ) ，s i 0 ) = 以( t ) ，一亍t 0 ，i = 1 ，2 ， 存在全局指数稳定的概周期解的充分条件。 4 几类高阶神经网络的周期解与概周期解及其稳定性问题 2 具有脉冲和时滞的高阶h o p f i e l d 一型神经网络的周期解 的存在性和稳定性 2 1 引言 在以前的研究者们对h o p f i e l d 一型神经网络的一般模型，如含常时 滞，一般的变时滞，分布时滞等模型所做的研究工作的基础上，本章 将讨论m 一阶的具有混合时滞和脉冲的h o p f i e l d - 型神经网络的周期 解的存在性和指数稳定性 给出模型如下： 乃( 巧( 乃，( 巧。 一o i ，j 1 ) 一s ) ) n 粤 ) ) + f j ( x a t 一( j = l 右 ( ) ) 办。( ( ) ) ，如( ) 一s ) ) 办。( ( 一 d s k i ，m j 。( ，8 ) + 厶( ) ， ) 一s ) ) 以( ，s ) 吼，j 。，如( ) 一s ) ) t 0 ，t t k ，( 2 1 1 ) a x i ( t k ) = ( 去) 一黝( i ) = 船( 黝( 靠) ) ，i = 1 ，2 ，钆；k = 1 ，2 ， ( 2 1 2 ) 其中，礼为网络中神经元的个数，a x t ( 如) = 兢( t t ) 一鼢( i ) 是t 知时刻 的脉冲，且t l t 2 1 ，幻( ) ，c i 肌j ，如( z ) ，厶( t ) ，r o ( t ) o ，吼龇j ，( t ) o ： 肘_ r 是连续的u 一周期函数，u o ； ( 尻) 存在正常数易，屿使得l 办( z ) l m j ，i 乃( z ) 一办( 3 ) i 曼l j l x 一 秒l ，j = 1 ，2 ，礼，z ，y r ，且h ( o ) = o ； ( 凰) 存在正整数q 使得t 七+ q = t k + u ，魄+ q ( z ) = 玖( z ) ，t k r ，k = 1 ，2 ，；i = 1 ，2 ，n 且脉冲算子耽七( t 七) ) ，i = 1 ，2 ，佗，满足 耽七( z t ( t 七) ) = 一m 知( 戤( 吉) 一x i ( t - i ) ) = 一m 知( 瓤( t 去) 一兢( 七) ) ，0 m 七 1 ，k z + ； ( 凰) 我们引进些记号 砒= 丢a i ( t ) d t , a 2 恶雠) 恼2 。壁u i a i ( 。) i ， 瓦= 一1 _ f b o ( t ) d t ，岵2 。s 1 ，使得系统( 2 1 1 ) 的每一个满足初始条件妒= ( 妒l ( ) ，妒2 ( ) ，妒。( ) ) t c ( 【一7 - ，o ；船) 的解z ( t ) = ( x l ( ) ，z 2 ( ) ，x n ( ) ) t ， 都有 i z ( ) 一z ( ) is i 兢( t ) 一z ；( ) i m o | i 妒一妒| | e m ，y t 0 ，i = 1 ，2 ，n i = l 则称矿( ) 是全局指数稳定的，其中i i 妒一妒+ | | _ 麟喾竺# 。】慨一线1 另外回顾些定义 1 6 】，对于c a u c h y 问题： z 他) = f ( t ，z ( 蛳m ，。t k , k = 1 ，2 ，( 2 2 1 ) ia x ( t ) i t ：“= ( z ( i ) ) ，z ( o ) = x o 定义2 2 3 如果满足：( i ) z ( t ) 是具有间断点【0 ，】nt k 的分段连续 映射，且在每一个间断点处都是左连续的；( i i ) z ( ) 满足系统( 2 - 2 1 ) ，则 称z ： o ，u 一舻是系统( 2 - 2 1 ) 的一个解 7 硕士学位论文 定义2 2 4 如果满足：( i ) x ( t ) 在区间【0 ，u 】上满足定义( 2 2 3 ) 中条 件( i ) 和( i i ) ；( i i ) x ( t + u 一) = z ( t 一) ，t r ，则称z ：r _ 舻是系统( 2 - 2 1 ) 的一个u 一周期解 2 3 具有脉冲和混合时滞的高阶h o p f i e l d 神经网络的周期解的 存在性和指数稳定性 在这一节，我们将利用引理( 2 2 1 ) 导出系统( 2 - 1 1 ) 一( 2 一l 一2 ) 的周期 解的存在性以及指数稳定性根据定义( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) ，系统( 2 - 1 一1 ) 一( 2 1 2 ) 的周期解的问题就等价于如下系统的周期解问题： 面d x i = 吨x i + 薹蝴( f ) ) + 耋厂黼刊一s ) ) d 。k i j ( t , s ) + 岛血，如 ) 如。( x j 。( ) ) 一乃。( 茁( t ) ) + 乃。( x j 。( t 一吼m ，j 。( ) 一s ) ) 乃。( q 。( t 一吼加，j 。( ) 一s ) ) j l - - - - 1如= li ； 风( x j , n ( t 一吼，j 。，如( ) 一5 ) ) 以，j 。，如( ，8 ) + 厶( ) ， t 【0 ，u 】，t t k ，k = 1 ，2 ，g ，( 2 3 1 ) a x i ( t k ) = 规( 老) 一耽( i ) = 南( 钆( 如) ) ，i = 1 ，2 ，r t ，翰( o ) = 施( u ) ( 2 3 2 ) 定理2 3 1 设2 1 节中( h 1 ) 一( h 5 ) 成立，系统( 2 - 3 - 1 ) ( 2 3 - 2 ) 至少存 在一个u 一周期解 证明令 g t ) = 一a i ( t ) x l ( t ) + 幻( ) ，j ( 奶( ) ) + 办( 巧( 一( ) 一s ) ) d s ( ，s ) j = l j = lb + c i , j 。，j 。( ) 厶。( 吻。( t ) ) 易。( 奶。( t ) ) + 乃。( ，( t 一吼j ，j 。( t ) 一s ) ) 如( 。( 口幻。，j 。( ) 一s ) ) j l = l如= l i j f j 。( x j 。0 6 r i ，j 。，如( t ) 一s ) ) d 。k i , j 。，j 。( t ，s ) + 厶( t ) ， 8 几类高阶神经网络的周期解与概周期解及其稳定性问题 对任意非负整数q ，令t 口 t k 后g 。( s ) d s 一( z 。( 七) ) t t k 石1 后a l ( s ) d s d t 一( 考一；) g l ( s ) d s 丢后g n ( s ) d s d t 一( 言一 ) g n ( s ) d s 口 e 1 知 1 ( 如) ) 七= 1 苎七( z n ( t k ) )七( z ，l ( t k ) ) 七= 1 显然，q n 和k p ( ，一q ) n 都是连续算子因为x 是有限维的b a n a c h 空 间，利用a r z e l a - a s c o l i 定理，不难证明对任给的有界开集qcx ，q ( 孬) ， k p ( i q ) ( 豆) 是相对紧的从而，在豆上是厶紧的 现在，我们得到了满足引理( 2 2 1 ) 的所有条件，考虑算子方程：l x = a n x ，入( 0 ，1 ) ，有 lz ： ) = a g ( ) ，t 0 ，u 】，t t k ，k = 1 ，2 ，g ， ia x i ( t k ) = 翰( 去) 一戤( i ) = 入耽南( 托( 七) ) ，i = 1 ，2 ，礼，戤( o ) = 翰( u ) ( 2 3 5 ) 为方便起见，定义 i i z i l 2 ：( f ui z ( ) 1 2 d r ) 1 2 ，z c ( r ，兄) ( 2 3 6 ) 设对某个入( 0 ，1 ) ，x l ( ) ，z 2 ( ) ，x n ( ) ) t x 是系统( 2 - 3 5 ) 的一 个解，对系统( 2 0 5 ) 的方程两边从0 到u 取积分，得到 厂g ( ) d t + 壹耽州知) ) - - - 0 ， 即 z u n t ( t ) z t ( ) d = + + 1 0 n 粤 + 办( 巧( t 一( ) 一s ) ) d ，k i j ( t ，s ) j = 1i ； t ) j 。( x j 。( t ) ) 乃。( z j 。( t ) ) ( t 一吼，j 。，加0 ) 一s ) ) 乃。( x j 。 一 锄 为 r a 乃 协 o 啪壹埘壹斛 。脚 ； 髓。抖n心 曲 鼢k阮 。 + sd 厶 + 曲mn 以 曲 一 如儿 以 几类高阶神经网络的周期解与概周期解及其稳定性问题 ( 2 3 7 ) 令f ( 坛) 0 ，u 】，七= 1 ，2 ，g ，使得祝( f ) 2 。! 硌岛蔬( ) ，z = 1 ，2 ，忍。根 据h o l d e r 不等式，有 号nn 粤 u 也虢( ) f ( ，) i | 乃( 巧( ) ) i + j 乃( z j ( 一( ) 一s ) ) | | d , k 巧( ，s ) 6j = l j = lj o + ic i , j ，j 。( ) 如。( 。( ) ) i l 易。( 。( ) ) i + l 如，( x j ，( 一吼m ，抽( ) 一s ) ) 1 i 易。( 吻。( 一 j a = l j m = l i ； 吼，j 。，j 。( ) 一s ) ) | f 以，j 。，j 。( ，s ) f + i 厶( ) i j d s + f 耽七( 兢( 菇) ) f u ( 咭+ k 去) m j + ( c 易。，j 。+ 七己。，) i i i 易。+ 矿】 + ， b u 戤( ) 未 ( 咭+ 饬) 坞+ ( c 右一j m + 砖h 一，j m ) i i 坞。+ 矿】 j ；1 j 1 = lj m = l 七= 1 1 口 + 去玩老) = a i w k = l ( 2 3 8 ) 令t o = 寺= 0 ，t 口+ 1 = u ，根据( 2 - 3 5 ) 一( 2 。3 - 7 ) ，可得 死根圳出：壹e 蟛陋+ 壹k ( t d - - x i ( t k ) i 矗 k = l “一1k = l 厂k ( t ) l l x i ( t ) l d t + 厂壹1 ( ) i i 乃( ( ) ) 旧 右石j = l 譬no p o + if j ( x j ( t n a t ) 一s ) ) | f 以b ( ，s ) id t 石j = lj o + ic i , 丸，如( ) i | 乃。( 奶。( t ) ) l f 办。( 巧。( ) ) ld t 硕士学位论文 鼍n n 警 + i 如。( 。( 一吼j l ，j m ( ) 一s ) ) i i 乃。( 。( t 一 石j l = l j m = 11 5 譬 吼，j 。，如( t ) 一s ) ) i | d 8 k i ，j 。，j 。( ，s ) id t + l 厶( ) id t j 0 + i v t k ( x i ( t k ) ) i ( f ( n ) 2 d i ) ( f o “雠) ；1 + + 骞( 胁煳炉 ( f ( 砖) 2 础f ( 哆) 2 d ) + ( f ( 峨) 2 d ) h ( z ( 豫) 2 d t ) + ( f ( 咐) 2 d ) 妻( f ( 吃”一加) z 班) 互1 。圣。( 上( 班) 互 t l j l = l壹( f ( k s 。， = l 。u ( f ( 咏) 2 妒1 ( z u ( 缘) 2 班) j 1 + p u v 石a , + l l x , 1 1 2 + ( 6 去+ 启去) 坞u + j = lj l = 1 m h 屿。、丽+ p u + = 1 q 讯 矗= l 系统( 2 - 3 5 ) 的方程两边同乘筋( ) 后在【0 ，u 】上取积分 f 硎z ，i ( t ) d t 可得 ，h ) 2 “。，j 1 + 吃h，如) ( 2 3 9 ) 、口 = 鲁 z ；( ，) 一z ；( o ) + z ；( 如) 一z ；( 0 ，) + z ；( u ) 一z ；( 亭) ) 。 k = 2 、 口 = 芸瞅t ) 一z ；( 吉) 】 。k = 1 口 1 = 一a 【就( 蠡) + 去耽( 甄( ) ) 】七( 甄( ) ) ， k = l ( t 知) + 丢阮知( 茁t ( t 七) ) 】耽知( z t ( 知) ) 一a 和咖撕渺+ a o “妻啪胤删引妣 + ) 、弋 n j = l 1 2 触n 皿 七一魄 。随 + 略 (1 。庐 z 。随 出 、， 托 曲蚴 8m 曲 一 、l ， 勺 一 巧，jk 厶 厂0 则有 几类高阶神经网络的周期解与概周期解及其稳定性问题 + 入e 札 j l - - - - 1 + f “争 j o j 。1 。= 。l n j m = l c t j ，j 。( ) 乃。( 巧( ) ) 办。( z j 。( t ) ) x i ( t ) d t nc o 乃。( 巧。( 一以血，如( t ) 一s ) ) 办。( ( 一 j m = l 芑 吼 j 。，( ) 一s ) ) d 。觑，j 。，j 。( ，s ) z t ( ) d + af o 。厶( ) z ( ) d 口1 + a x i ( t k ) + 去七( 而( 如) ) 】知( 兢( l ) ) ， 圮= 上 。fz u i z t ( t ) 1 2 d t 7 j 茎= 三l 由( 2 - 3 - 1 0 ) 可得 显然， + b q ( ) l i 乃( 巧( t ) ) i | x d t ) d t f j ( x j ( t 一( ) 一s ) ) i jd 。k q ( ，s ) l l x i ( t ) l d t n j m = l 白j h ，加( ) l i 乃。( 巧。( ) ) 1 i 乃。( ( t ) ) k 陋0 争薹。歹 乃。( x j 。( t 一吼，m ，如( ) 一s ) ) i 办。( 巧。( 一吼，j 。，j 。( ) 一s ) ) | | c f 5 ，j 。，如( ，s ) i i x i ( t ) l d t + 夕i 厶( ) i +耋k。(七)+互1xdt)dt 玩知 玩詹 + i 厶( ) | i+ k t ( 七) + 石玩知 玩詹 6 知= 1 _ n ( 6 去+ 饬) m j + j - - - t j 1 = l m + 峙知) 坞。 良= 1 + 矿】知( z u 雠) 1 2 蚴 + 塾愈卅扣1 砒2 - - ；1 ( i e n ( 6 去 ( 2 3 一l o ) ( 吃o 。+ 锗h 一赫) 兀坞。+ j m = 1 聍= 1 1 3 ( c 己。，j 。+ 凫毛。，一 j m = l 厂o 。触 n 徊 + 加噶 (1 。萨 n 一q+ ，区 坞概 蝴撅 + h咭 窘磐 弘 r k 蚓 酊 扣 坞 m 随 肺 忭胆 + 坞 七 + 1 ，2 ， + + 硕士学位论文 ，j 。+ ( 2 3 1 1 ) ( 6 寺+ 咭) 坞u + ，( 吃。，+ ，j 。) 3 1 = l j m 2 l z t ( ) i i z t