（应用数学专业论文）几类孤子方程族及hamilton结构.pdf

摘要 内容摘要：本文研究的内容主要包括两个方面：可积方程族的生成和 可积耦合第一章介绍了孤立子理论的产生与发展和研究概况第二 章回顾了寻求可积h a m i l t o n 系统的方法一屠格式由于迹恒等式无 法寻求可积耦合的h a m i l t o n 结构，所以人们提出了二次型恒等式，它 是迹恒等式的推广，是寻求可积耦合的h a m i l t o n 结构的有效方法在 第三章中，首先利用一个l o o p 代数构造了一类等谱l a x 对，由屠格 式得到了一个孤子方程族，利用二次型恒等式得到了该孤子族的双 h a m i l t o n 结构其次，用一个列向量l i e 代数及其对应的l o o p 代数表 达l e v i 谱问题，然后利用零曲率方程和二次型恒等式得到了一个孤 子方程族及其h a m i l t o n 结构在第四章中，首先将第三章中的列向 量l i e 代数扩展，得到一个新的方程族的两类可积耦合，并利用二次 型恒等式得到了其中一类可积耦合的h a m i l t o n 结构其次，构造了一 个高维l o o p 代数，它是l o o p 代数a 3 的子代数，由此建立了一个谱问 题，利用零曲率方程得到一个可积方程族，约化情形为著名的a k n s 方程族，它是该族的一类可积耦合最后利用迹恒等式求得了该可积 耦合的3 - h a m i l t o n 结构 关键词：可积方程族，可积耦合，l o o p 代数，二次型恒等式，h a m i l t o n 结构 ab s t r a c t c o n t e n t ：t h em a j o rc o n t e n t si nt h i sp a p e ri n c l u d e ：t h ef o r m u l a - t i o no fi n t e g r a b l eh i e r a r c h i e sa n dt h ei n t e g r a b l ec o u p l i n g s i nt h e f i r s tc h a p t e r ，h i s t o r i c a lo r i g i na n ds o m er e s e a r c h e so fs o l i t o nt h e o r y t o g e t h e rw i t hi t sr e s e a r c hm e a n i n ga r eg e n e r a l i z e d i nt h es e c o n d c h a p t e r ，w ef i r s tr e c a l lw h a tt h et us c h e m ei s ，w h i c hi sam e t h o d f o rg e n e r a t i n gi n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m s s i n c et h et r a c ei d e n - t i t yf a i l st og e n e r a t eh a m i l t o n i a ns t r u c t u r e so fi n t e g r a b l ec o u p l i n g s ， t h eq u a d r a t i c - f o r mi d e n t i t yw a sp r o p o s e d ，w h i c hi sa ne x t e n s i o no f t h et r a c ei d e n t i t y i nt h et h i r dc h a p t e r ，f i r s t l y , u s i n gal o o pa l g e b r a e s t a b l i s h e sa ni s o s p e c t r a ll a xp a i rf o rw h i c has o l i t o ne q u a t i o nh i e r - a r c h yi sw o r k e do u tb ye m p l o y i n gt h et us c h e m e t h eh a m i l t o n i a n s t r u c t u r eo ft h eh i e r a r c h yi sg e n e r a t e db yu s eo ft h eq u a d r a t i c - f o r m i d e n t i t y s e c o n d l y , w et a k eac o l u m n v e c t o rl i ea l g e b r aa n dt h ec o r r e - s p o n d i n gl o o pa l g e b r at oe x p r e s st h el e v is p e c t r a lp r o b l e m ，t h e nw e o b t a i nas o l i t o n - e q u a t i o nh i e r a r c h ya n di t sh a m i l t o n i a ns t r u c t u r eb y u s eo ft h ez e r oc u r v a t u r ee q u a t i o na n dt h eq u a d r a t i c - f o r mi d e n t i t y i n t h ef o u r t hc h a p t e r ，f i r s t l y , w ee n l a r g et h ec o l u m n - v e c t o rl i ea l g e b r a i n t ot w ol a r g eo n e sf o rw h i c ht w oi n t e g r a b l ec o u p l i n g so ft h ea b o v e s o l i t o n - e q u a t i o nh i e r a r c h ya r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l y o n eo ft h e m p o s s e sh a m i l t o n i a ns t r u c t u r ed e d u c e db yt h eq u a d r a t i c - f o r mi d e n t i t y s e c o n d l y , an e wh i g h e r - d i m e n s i o n a ll o o pa l g e b r ai sg i v e nf o rw h i c ha l a xi s o s p e c t r a lp r o b l e mi ss e tu pw h o s ec o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o ng i v e s r i s et oal i o u v i l l ei n t e g r a b l es o l i t o nh i e r a r c h y t h eh i e r a r c h yr e d u c e s t ot h ew e l l k n o w na k n sh i e r a r c h y , t h er e s u l ti sat y p eo fn e we x p a n d i n gl i o u v i l l e - i n t e g r a b l es y s t e m s p e c i a l l y ，t h eh i e r a r c h yo fe v o l u t i o n e q u a t i o n sh a s3 - h a m i l t o n i a ns t r u c t u r eo b t a i n e db yt h eq u a d r a t i c - f c i r m i d e n t i t y k e yw o r d s ：i n t e g r a b l ee q u a t i o n sh i e r a r c h y ；i n t e g r a b l ec o u p l i n g s ； l o o pa l g e b r a ；q u a d r a t i c f o r mi d e n t i t y ；h a m i l t o ns t r u c t u r e 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特 别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意。 学位论文作者签名：奎抱 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：垄：垫指导教师签名： 签名日期：) - 口0 7 年岁月2 0 日 几类孤子方程族及h a m i l t o n 结构 几类孤子方程族及h a m i l t o n 结构 1 引言 1 1孤立子理论的产生及发展 孤立子又称孤立波，它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的 解以及与其相应的物理现象孤立波是英国科学家j s c o t t r u s s e l l 在爱丁堡到格 拉斯哥的运河上发现的他在论波动的报告【1 中是这样描述的：“我观察一 条被马拉着的小船的运动，这条船正沿着狭窄的运河迅速前进着突然船停了下 来，但河道里被船带动的水团并没有停止，它们聚集在船头剧烈地扰动，随后水 浪突然呈现出一个滚圆而平滑的轮廓分明的巨大波峰，它以巨大速度向前滚动， 急速地离开了船头，在行进中它的形状和速度没有明显的改变继续观察发现它 以每小时大约八、九公里的速度向前行进，并保持长约3 0 英尺，高约1 1 5 英尺的 原始形状渐渐地其高度下降了，1 2 英里后，它消失在河道中 j s c o t t r u s s e l l 把这种现象称为孤立波，他认为这类波是流体运动的一个稳定解，但没有在理 论上给出圆满的解释直至1 j 1 8 9 5 年，瑞典数学家d j k o r t e w e g 在指导他的学生 g d e v r i e s 的一篇博士论文中，提出了一种流体中单向传播的数学模型，导出了 著名的k d v 方程地+ 6 u u + u z = 0 ，解释了r u s s e l l 观察到的现象 1 9 6 0 年，g a r d n e r 和m o r i k a w a 2 在研究无碰撞磁流波时，重新得到了k d v 方程，k d v 方程是可积系统与孤立子理论中的一个基本方程1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m ef 3 1 在研究s i n e - g o r d o n 方程时，得到结果：s i n e - g o r d o n 方程具有孤 立波，碰撞后的两个孤立波仍保持着原有的形状与速度1 9 6 5 年，k r u s k a l 和 z a b u s k y 4 把k d v 方程用于等离子体波的研究，进一步证实了孤立波相互作用 后不改变波形的结果由于孤立波有类似于粒子碰撞后不变的性质，所以人们将 孤立波命名为孤立子从此，孤立子作为应用数学中的新概念诞生了 近年来，孤立子理论的研究不断的前进和发展目前，较为完整的数学和物 理的孤立子理论已经初步形成，国内外在这方面已经出版了很多专著5 1 0 孤立 子理论既包括数学理论，也包括物理理论，数学的严密性与物理的实用性相互结 合，相互依赖，使孤立子理论显示出强大的生命力 1 2孤立子理论的发展概况 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，它的研究内容和方 法丰富多样特别是近几十年来，随着计算机科学和数学物理的发展，孤立子理 几类孤子方程族及h a m i l t o n 结构 论的发展更为迅速，取得了许多成果 寻找和扩充可积系统是孤立子理论研究的重要课题但建立新的、具有实 际意义的可积系统仍然是十分困难的1 9 8 5 年，谷超豪，胡和生基于曲面论中的 基本方程提出了一类方程的可积性准则1 1 1 1 9 世纪2 0 年代h a m i l t o n 在描述几 何学时发现了h a m i l t o n 系统，h a m i l t o n 系统的研究引起了中外学者的极大兴 趣1 9 8 8 年，屠规彰提出了计算孤立子方程族h a m i l t o n 结构的简洁方法 1 2 ，1 3 】， 即迹恒等式方法，马文秀称其为屠格式利用屠格式，人们得到了一些具有物理 背景或丰富数学结构的无限维可积h a m i l t o n 系统f 1 4 ，1 5 】人们在研究v i r o s o r a 对称代数时，引进了一类大可积系统即可积耦合的概念 1 6 】，马文秀和f u s s t e i n e r b 利用扰动方法给出了寻求一个可积方程的可积耦合的方法，但这种方法计算 起来过于复杂于是在2 0 0 2 年，郭福奎教授和张玉峰教授利用方阵l i e 代数提出 了生成可积耦合的一类简便方法，并得到了a k n s 方程族的一类可积耦合 17 】， 但利用迹恒等式无法求出该可积耦合的h a m i l t o n 结构2 0 0 5 年，郭福奎教授和 张玉峰教授 1 8 建立了二次型恒等式，它是迹恒等式的推广，是寻求可积耦合的 h a m i l t o n 结构的强有力工具 对于无限维h a m i l t o n 系统，通常采用两种可积性定义，即l a x 意义下的可积 性和l i o u v i l l e 意义下的可积性 ( 1 ) l a x 可积：如果它可以写成一个线性谱问题： 九= u ，也= y 的相容性条件咖科= 也z ，即 阢一k + v 】= 0( 1 2 ) 其中【配v 】= u y y u 表示u 与y 的交换子，则称该非线性演化方程是l a x 可 积的( 1 - 1 ) 式中的方程也= u 通常可改写为l = 入咖的形式，其中l 为一个 线性化算子，入是谱参数，此时( 1 1 ) 常记为 己咖= a 咖，也= a 矽， ( 1 3 ) 的相容性条件，在等谱( 九= 0 ) 条件下为 l 产 a ，l 】 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 2 ) l i o u v i l l e 可积：如果它可写成一个广义的h a m i l t o n 方程 u 。= j 等 ( 1 5 ) u “ 2 几类孤子方程族及h a m i l t o n 结构 其中j 为h a m i l t o n 算子，且具有适合的p o i s s o n 括号以及存在无穷多个彼此对 合的守恒量 风，】= 0 ，则称这个非线性演化方程是l i o u v i l l e 可积的 可积系统理论中三个重要问题是： ( 1 ) 对于一个给定的非线性演化方程，判断它是否为l a x 可积的，即寻找它的 l a x 表示 ( 2 ) 找出尽可能多的可积系统，即寻找尽可能多的u ，y 使( 1 2 ) 表示为一个有 意义的方程 ( 3 ) 寻求辛算子，以及一列标量函数巩，使得零曲率方程( 1 2 ) 或l a x 方 程( 1 4 ) 可写成h a m i l t o n 形式( 1 5 ) 本文主要研究的是问题( 2 ) ，( 3 ) 以及可积耦合问题 可积耦合问题是可积系统的进一步研究，它是一大类可积系统具体定义为： 设 u t = 七( 缸) ， ( 1 6 ) 为已知可积系统，称系统 ( 1 7 ) 为( 1 6 ) 的可积耦合，若( 1 7 ) 仍是可积的，并且s ( 让，v ) 显含u ，v 对z 的导数张玉 峰教授、郭福奎教授在可积耦合系统的研究中作了许多有意义的工作【1 9 2 3 3 l 向西 i i = u 仇 ，、【 几类孤子方程族及h a m i l t o n 结构 2预备知识 2 1可积性 设s 为定义在冗上的s c h w a r t z 空间， 酽= so os ，u ( x ，t ) = ( u l ( z ，) ，坳( z ，亡) ) r s p ，z ，t r 定义1 对于，g s p ，定义其内积为( f ，g ) = ，f g d x = 厂f , g i d x 定义2 一个线性算子j = j ( u ) ：s p 一伊称为h a m i l t o n 算子或辛算 子，如果满足以下条件 1 2 】： ( 1 ) j + = 一j ，即( j ，g ) = - ( y ，j a ) ，对v 厂，g s p ( 2 ) ( ( “) 【t 7 r f g ，h ) + ( ，( “) j g 】h ，f ) + ( ，( 扎) j 日】f ，g ) = 0 ，即j a c o b i 恒 等式成立，其中( u ) ，】= 乏j ( u + ，) i ：o 为g a t e a u x 导数 定义3 如果j 为h a m i l t o n 算子，定义p o s s i o n 括号 ，夕) = ( 笔，j 恶) ，若 ，9 】= 0 ，则称，g 为对合的，称 驴j 等 ( 2 1 ) 为广义的h a m i l t o n 方程，h 为h a m i l t o n 函数，这里变分导数熹= ( 击，击) r ， 其中击= e ( - o ) n 赤，0 = 岳，乱一扩饥t 对于线性等谱问题l 矽= 入矽，也= m e ，其中九= 0 ，l ，m 为t , n 矩阵，矽 为n 维向量，根据相容性条件得到l a x 方程： 厶+ 陋，m 】= 0( 2 2 ) 对于线性等谱问题也= u 砂，仇= y 矽，其中弘y 为nxn 矩阵，妒为佗维向量， 其相容性条件为零曲率方程： 阢一k + 瞰v 】= 0( 2 3 ) 定义4若发展方程 饥= k ( u ) ，( 2 4 ) 可表示为l a x 方程( 2 2 ) 或零曲率方程( 2 3 ) ，则称它l a x 可积，若( 2 4 ) n - - - j 写成广义 h a m i l t o n 方程( 2 1 ) ，且存在可列个两两对合的守恒密度，则称( 2 4 ) 是l i o u v i l l e 可 积的 定1 里1 1 2 4 1设z 为伊上的两个算子，若有 ( 1 ) j + = - j ，j l = l + d ( 2 ) 对于f ( u ) s p ，存在一系列函数 巩 ，满足 ，风) = 巩，) ， l n 厂( 札) = 警，则 风) 为发展方程族u t = l n 厂( “) = 案的公共守恒密度且两 两对合 4 几类孤子方程族及h a m i l t o n 结构 2 2屠格式 屠规彰 1 2 】提出了生成l i o u v i l l e 可积的h a m i l t o n 结构的一种简便有效方法， 称为屠格式其步骤如下： ( 1 ) 解静态零曲率方程k = ey 】，其中v = y m ( - - m ) ，u = z t l e l + u 2 e 2 + + u p e p ，u i = 讹( z ，亡) ，i = 1 ，2 ，p ( 2 ) 寻找修正项n 否，使得y ( n ) = ( y ) + 4 - a 佗满足以川一【以y ( n 】= f ；哪e 1 + + z 扩e p ， 于是c a 零曲率方程阢一瞻叫+ 暇y ( n ) 】= 0 ，可得到一族l a x 可积系统 锃托= ( u ) ，i = 1 ，2 ，p ( 2 5 ) ( 3 ) 利用迹恒等式将( 2 5 ) 写成h a m i l t o n 形式 u t ：j l n ，( u ) ：j d h 、( n ) ( 2 6 ) o i t 其中l 是由静态零曲率方程k = 盼吲得到的等价方程组确定的递推算子 ( 4 ) 若j 与l 满足j + = 一zj l = l + j ，则由定理1 知h a m i l t o n 结构( 2 6 ) 在 l i o u v i l l e 意义下可积即l i o u v i l l e 可积，且 风) 构成彼此对合的守恒密度 基于一个谱问题，利用屠格式可导出许多可积方程族及其h a m i l t o n 结 构 2 5 - 2 8 目前，屠格式已成为构造h a m i l t o n 结构的一个强有力的工具 2 3 二次型恒等式 屠规彰的迹恒等式是寻求l a x 可积系统的强有力的工具但迹恒等式仅适 用于谱矩阵是方阵的情形，对于其他形式的谱问题得到的可积系统，迹恒等无法 求出其h a m i l t o n 结构为了解决这个问题，郭福奎教授和张玉峰教授 1 8 】提出了 二次型恒等式，该等式是建立在列向量形式的l i e 代数g 上的，具体如下： 记g 的一个基为e 1 ，e 2 ，e 。，相应的l o o p 代数g 的基为：e i ( m ) = e i a m ， i = 1 ，2 ，8 ，m = 0 ，士1 ，4 - 2 ， 勖( m ) ，e j ( n ) 】= e i ，白 a m + n 考虑等谱问题 1 8 】： 也= 配纠，以k 妒g( 2 7 ) 【魄= 纠，九= 0 r 其相容性条件为：阢一k4 - v 】= 0 取v = a m ，= i e i g 为静态零曲率方程 k = u ，v 】( 2 8 ) 几类孤子方程族及h a m i l t o n 结构 的一个解，则对于( 2 8 ) 的另外一个解，应有：矿= ，y v7 为常数取 s占 8 n = a i e ib = b 藏舀， n ，6 = ( 2 9 ) i = li = l i = 1 将( 2 9 ) 表示成列向量形式为： a = ( a l ，a s ) t ，b = ( b ”b s ) 丁， a ，6 】= ( c 1 7 a s ) t( 2 1 0 ) 此时l o o p 代数西可表示为：否= a = a 1 ，a s ) t ，锄= o t m a m ，1 i s ) m 定义泛函 口，6 ) = a t f b 这里f = ( 向) 。是常数对称阵，即f r = f a ，6 ) 满足： 对称性：a ，6 ) = 0 r 曼一扎 记昨：苎( 。m ，6 m a ，c m ，d m ，e m ) t a n m ，有 m = 0 一v 怠+ 以v p 】1 = ( 6 n + 1 2 ( v u ) a n + 1 ，一2 b n + 1 a ，2 a n + 1 ，一如+ 1 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 一2 ( u u ) e n + 1 + 让2 b n + 1 ，e n + 1 ) 丁 令y ( n ) = n + ( 一+ 1 ，o ，0 ，0 ，o ) 丁，直接计算得 一瞪n + ( 以y n 】1 = ( + l ，z + b n + l 一2 ( v u ) a n + 1 ，( 4 ( 口一u ) c n + 1 2 b n + 1 ) a ，一d n + 1 2 ( v u ) e n + 1 + u 2 b n + 14 - 7 2 1 a n + l ，e n + 1 一u 2 + 1 ) r 1 3 几类孤子方程族及h a m i l t o n 结构 得 因此，由零曲率方程 矾一吃n + 阢y ( n 】1 = 0 u t2a n x 一+ 1 ， 仇2 一+ 1 ，$ ， 他n = 厶+ 1 + 2 ( v u ) e n + 1 一乱2 6 n + 1 一u l c n + 1 = 如一u d , + u l a n 一钆1 c n + 1 ， u 2 t2u 2 + 1 一e n + 1 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 显然，当取让1 = u 2 = 0 时，( 4 7 ) 转化为( 3 2 2 ) 由可积耦合理论 1 0 可 知( 4 7 ) 是方程族( 3 2 2 ) 的可积耦合 情形2 ：给定线性空间g 2 = s p a n x = ( x l ，x 6 ) t r 6 ，x t r ，i = 1 ，2 ，6 ) 对v a = ( a l ，a 6 ) t ，b = ( b 1 ，b 6 ) t r 6 ， 定义运算关系 a ，6 】手= a t r ，( 6 ) ，( 4 8 ) r a ( b 1 = 0 2 b 2- 2 b 3 0 2 b 52 6 6 b 3- 2 b l 0 b 6- 2 b 4 0 b 2 0 2 b l b 5 0 2 b 4 0000 2 b 22 6 3 000 b 3 - 2 b x 0 000 - b a 0 2 b l 对应的l o o p 代数为g 2 = s p a n x ( n ) = x a n ，z 斧) 对v a ( n ) ，b ( n ) g 2 ，交换子定义为 令 n ( m ) ，6 ( 扎) 】；= 陋，6 】多入m + n ，m ，礼z = 【以纠2 ， 忱= v 妒2 】2 ， 相应的，我们有零曲率方程 设u = ，以v 妒g 2 ，入t = 0 巩一k + y 】2 = 0 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) o o ( a + 乱，2 ( u 一钆) a ，1 ，u l ，u 2 a ，1 ) t ，v = ( a 仇，b m a ，d m ，e m a ，h m ) 丁入一m ， m = 0 1 4 几类孤子方程族及h a m i l t o n 结构 首先解关于y 的方程一k + 以y 】2 = 0 得 。竹珏= 2 ( v u ) c m + 1 一b i n + 1 ， 6 眦= 2 b m + t + 2 u b m 一4 ( v 一“) o m ， 2 c m + 15 一c m 霉一2 u c m + 2 a m ， a 0 眦= 2 ( v 一乱) m + 1 一e m + 1 + 位2 c m + 1 一b i n + 1 ， e r n x = 2 e m + l + 2 u e 竹l 一4 ( u 一让) 一2 u 2 a m + 2 u x b m + 1 ， 九竹讶= - 2 h m + l 一2 u h m + 2 a k 一2 乱1 c m + 2 n m 直接计算得 一心+ 盼昨】2 = 一( n 撇，b m a ，d m x ,