（概率论与数理统计专业论文）最优再保险的研究.pdf

摘要 当保险公司面临巨灾风险时，通过再保险转移风险是必要的。再保险是原保险人将 其承担的保险业务的一部分转移给再保险人的行为。而再保险中最关键的问题是最优再 保险，即考虑以何种形式分保及具体分保的额度。通过对最优再保险问题的研究，可以 为保险公司提供决策依据。 设y 是给定时间段内某个保险合同的总索赔，r 为再保险合同的形式，再保险的 主要形式有：比例再保险= a t ) 、停止损失分保( r = ( y b ) + ) 、变换损失再保 险( r = 。( y 一6 ) + ) 。但究竟采用哪种再保险形式，是个值得研究的问题。 风险和效用往往作为衡量再保险合同优劣的标准，本文主要以风险为衡量标准。原 保险人希望在不超过价格p 的情况下购买到尽可能多的风险保护。本文我们用皿1 ，田2 作 为原保险人和再保险人各自的风险测量，在几种不同矩保费计算原理下，对最优再保险 问题进行了研究。 第一章，我们给出期望值计算原理下，最优再保险合同的充分条件，并且通过具体 的例子说明如何应用这些充分条件。第二章，我们在标准差计算原理下给出了再保险的 具体形式。第三章，我们给出了一般保费计算原理e r = ，( p i d 励下最优再保险合同的 充分条件，并在具体的保费计算原理及风险函数下，给出了最优再保险的具体形式及参 数的确定方法。 第四章，我们研究了聚合风险模型中的再保险问题。主要研究了期望值计算原理下 的一组相关险种的比例再保险的最优决策安排，并给出了具体的数值例子。最后引入了 一类二元效用函数，从效用的角度讨论最优再保险。 最优再保险是保险中一个研究热点，在参考文献中，可以看到有很多的作者对这个 方向进行了研究，但这些主要考虑了原保险人的利益，本文的主要贡献是综合考虑了原 保险人和再保险人的利益，以其风险凸组合为目标函数，给出了最优再保险的具体形 式。 关键词：再保险、最优再保险、风险测量、标准差计算原理、期望值计算原理 3 a b s t r a c t r e i n s u r a n c ei st h et r a n s f e rp a r to fi n s u r a n c eb u s i n e s sf r o mad i r e c ti n s u r e r , t h ec e d e n t t ot h er e i n s u r e r w h e nt h ed i r e c ti n s u r e rf a c et h eh u g eo re s p e c i a lr i s k i ti sn e c e s s a r y t ot r a n s f e ri t sr i s kt h r o u g hr e i n s u r a n c e o n eo ft h ek e y p r o b l e m si nr e i n s u r a n c ei st h e o p t i m a lr e i n s u r a n c e w h i c h i st h eb e s t , h o wa n dh o wm u c ht ot r a n s f e r ? r e i n s u r a n c e i sn o to n l yac r i t i c a lp a r to ft h er e i n s u r a n c es y s t e m , b u ta l s oa n i m p o r t a n tt o o lf o rd i r e c t i n s u r e rt ot r a n s f e ri t sr i s k b ys o l v i n gt h eo p t i m a lr e i n s u r a n c ep r o b l e m ，w ec a nd e t e r - m i n eh o wt ou s er e i n s u r a n c et ot r a n s f e rr i s k , s oi ti st h ec o r ep a r ti nr e s e a r c h e sa b o u t r e i n s u r a n c e t h r o u g h o u tt h ep a p e rw e a s s u m et h a tri sa n o n n e g a t i v er a n d o m v a r i a b l ed e f i n e d o nag i v e np r o b a b i l i t ys p a c e ( n ，s ，p ) a n dri sam e a s u r a b l eh m c f i o no fy t h ek e y p r o b l e mi sh o w t oc h o o s er e i n s u r a n c ef u n c t i o n f r o m q u o t a s h a r er e i n s u r a n c e ( r = a y ) t os t o pl o s sr e i n s u r a n c e ( r ；( y 6 ) + ) a n dc h a n g el o s sr e i n s u r a n c e ( r = a ( y 一6 ) + ) ， w h i c hi sb e t t e ri sj u s tt h ep r o b l e mw h i c ho u r p a p e r c o n c e r n s g e n e r a l l y , r i s ka n du t i l i t ya r et h es t a n d a r d st om e a s u r et h er e i n s u r a n c ef u n c t i o n s h e r e ，w ec o n s i d e rm o s t l yt h er i s ks t a n d a r d s t h ei n s u r e ri si n t e r e s t e dt op u r c h a s ea s m u c ho fr i s kp r o t e c t i o na sp o s s i b l ea ta p r i c en o te x c e e d i n gag i v e nl i m i tp r i c ep s oi n o r d e rt of i n da no p t i m a lc o n t r a c tf o ri n s u r e r w em u s tf i r s td e t e r m i n ear i s km e a s u r ea s w e l la st h ep r i c i n gr u l eo ft h ec o n t r a c t s h e r e ，w ec h o o s e 皿1 ，皿2a sr e s p e c tr i s km e a s u r e u n d e rm e a n - v a r i a n c ep r e m i u mp r i n d p l e s m c h a p t e r1 ，w ep r o v i d eg e n e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tag i v e nc o n t r a c ti s 叩一 t i m a lw i t h i nt h ec l a s s 跪( r 1 ，r 2 ) u n d e rar i s km e a s u r e ( 1 ) a n dw h e ne v e r yc o n t r a c tri s p r i c e da c c o r d i n g t oe x p e c t e dv a l u e p r i n c i p l e p = ( 1 + f 1 ) e r ，卢 0 a n dw ea l s og i v et h ee x a m p l e st oe x p l a i nh o wt ou s et h et h e o r e ma n dc o n f i r mt h ep a - r a m e t e r s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h es a m ep r o b l e m sw h e ne v e r yc o n t r a c tri sp r i c e d a c c o r d i n gt os t a n d a r dd e v i a t i o np r i n c i p l e p = e r f l d r ； 4 浙江大学硕士学位论文 5 a n dw ea l s og i v et h ec o n c r e t ef o r mo fr e i n s u r a n c ef u n c t i o n i nc h a p t e r3 ，w ep r o v i d e g e n e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tag i v e n c o n t r a c ti so p t i m a lw i t h i nt h ec l a s s 虢( r 1 ，r 2 ) u n d e ram o r eg e n e r a lp m m i u r np r i n c i p l ee r = f ( p ，d r ) ，u s i n gt h es a m er i s km e a s u r e i nt h i sc a s e ，w es t u d i e dc o n c r e t ep r e m i u mp r i n c i p l ea n dc o n c r e t e 皿1 ，皿2t h r o u g h e x a m p l e s a l s og i v et h em e t h o dh o w t od e c i d et h ep a r a m e t e r s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h er e i n s u r a n c ea b o u ta c c u m u l a t e dr i s km o d e l i n 4 2w e d e r i v et o t a lo p t i m a lq u o t a - s h a r er e i n s u r a n c es t r a t e g yo fd e p e n d e n tr i s k s - i n s u r e dw i t h d e p e n d e n tc l a i mn u m b e r su n d e rt h ee x p e c t a t i o np r e m i u mp r i n c i p l e i n 4 3 ，w eg i v e t h ec o n c r e t en u m e r i c a le x a m p l e st os h o wh o wt ou s et h et h e o r y i n 4 4 ，w ei n t r o d u c ea s o r to fp l a n a ru t m t yf u n c t i o na n ds t u d yt h er e i n s u r a n c ef r o mp o i n to fu t n i t ) rv i e w p r e v i o u sp a p e r so n l yc o n s i d e r e dt h ei n s u r e r sb e n e f i t s w ec o n s i d e rb o t ht h ei n s u r e r sb e n e f i t sa n dr e i n s u r e r7 sb e n e f i t s k e y w o r d s ：r e i n s u r a n c e o p t i m a l r e i n s u r a n c e , r i s k m e a s u r e ，e x p e c t e d v a l u e p r i n c i p l e ? s t a n dd e v i a t i o np r i n c i p l e 引言 再保险( r e i n s u r a n c e ) 也称分保，是保险个人在原保险合同的基础上，通过签订分保 合同，将其所承担的部分风险和责任向其它保险人进行保险的行为。我国保险法第 二一i - ) k 条指出：“保险人将其承担的保险业务，以承保形式，部分转嫁给其它保险人的 行为为再保险”。 习惯上，分出保险业务的保险人称为原保险d k ( o r i g i n a l i n s u r e r ) 或分出公司( c e d i n g c o m p a n y ) ，接受分保业务的保险人称为再保险人( r e i n s u r e r ) 或分入保险公司( c e d e d c o m p a n y ) 。与直接保险一样，原保险人通过办理再保险将其所承保的一部分风险责 任转移给再保险人，相应地也要支付一定地保险费，这种保险费称为再保费或分保 费( r e i n s u r a n c ep r e m i u m ) 。根据再保险合同，当该风险成为实际损失时，再保险人必 须分担其约定承保部分的损失。即原保险人可以从再保险人那里摊回分保部分的损失赔 款。 再保险的产生，主要是基于保险人分散风险的需要。如果说保险是社会的稳定器， 那么再保险则是保险经营的稳定器。从而也是社会的稳定器。保险作为风险的承担者， 在它直接承保的大量业务中，不可避免地会有一些巨额责任保险，特别是随着现代化生 产和科学技术地高度发展，财产的价值越来越昂贵，使保险人承担了前所未有地巨额风 险。例如，一架大型喷气客机，仅机身就达千万美元，再加上乘客责任保险，保险金额 高达几亿美元；卫星保险、核电站保险、大型海上石油钻井平台保险的保险金额则更 大。同时，由于生产的扩大、财富的增加、人口的集中，一次大的自然灾害如洪水、地 震、飓风或意外事故所造成的损失可达几亿、几十亿，甚至几百亿美元，这都是一家保 险公司或一国保险市场的资金或财力所不能承担得了的，因为任何笔巨额的赔款，都 将导致一家保险公司的破产。而通过再保险，则可以将巨额的保险责任转分给几个再保 险人，而再保险人再通过转分保，实现风险在全球范围内的分散。这样，一旦巨额损失 发生，由于有众多的保险人承担，其损失对各保险人带来的财务冲击就小很多。 例如，1 9 8 8 年9 月，被称为世纪飓风的吉尔伯特飓风，在短短的几天内横扫加勒比 海和其他几个中美洲国家，造成经济损失8 0 亿美元。由于办理了分保，每家保险公司 所受的影响不大。标准一普尔公司的最新报告显示，尽管美国的保险公司在9 1 1 事件中 遭受了巨大损失( 估计保险赔偿将超过3 0 0 亿美元) ，但是由于有全球的再保险巨头作其后 盾，美国保险公司的经营状况并没有受到根本性的损伤，世界排名前5 5 名的保险公司和 再保险公司都将参与赔偿，其中世界第一大再保险公司一慕尼黑再保险公司预计将赔 6 浙江大学硕士学位论文7 付1 9 5 亿美元，世界第二大再保险公司一瑞士再保险公司至少要赔付1 2 5 亿美元，这场 灾难导致的巨额赔偿将由全球整个保险业承担。 可见，再保险可以进一步而且更彻底的分散风险，它是保险人之间分散风险损失的 一项经营活动。使保险人免遭巨额损失，从而保证保险经营的安全和稳定。随着社会经 济和科学技术的发展，社会财富日益增长，财产日益集中，保险金额和保险赔付金额越 来越高，保险承担的风险越来越大。为此保险人必须通过再保险分散损失风险，稳定保 险经营，所以再保险己成为保险经营不可或缺的一项重要活动。 同保险一样，再保险也萌芽于海上保险。早在1 4 世纪，地中海沿岸城市相继成为海 上贸易的中心，海上保险已在此产生和发展起来。随着海上贸易和航运业的发展，保险 人承担的风险责任越来越大，客观上产生了分散风险的需求。1 3 7 0 年，一位意大利海上 保险人( g u s t a vc r u c i g e r ) 首次将自己承保的一笔自意大利的热那亚( g e n o a ) 到荷兰的斯 卢丝( s l u y s ) 的海上航程保险业务中风险较大的一段航程保险责任，转让给其他保险人。 这可以说是再保险的雏形，其当时用拉丁文书写的协议书被视为世界上第一个再保险协 议。 1 8 世纪中叶以后，工业革命兴起，工业革命的兴起，工商业的繁荣与发展，促进了 保险业的发展，也使再保险的内容、方式、和组织形式等方面得以发展和完善。从临时 再保险、合同再保险、专业再保险公司的产生、再保险业务的刨新、到现在再保险市场 的形成。目前，世界上主要再保险市场有伦敦、欧洲大陆、纽约和东京四大市场。再保 险市场的形成和发展，便利了再保险交易，使得保险风险得以在全球范围内分散，进一 步保障了保险经营的安全和稳定，同时也进一步推进了现代保险和再保险的国际化、专 业化进程。 再保险过程中，最重要的问题就是如何选择最优的再保险合同。再保险的主要形式 有：比例分保、停止损失分保和变换损失再保险等等。然而究竟哪种分保形式更好则是 本文主要研究的问题。 整篇文章中我们用给定概率空间( q ，s p ) 上的非负随机变量y 来表示给定时间段内某 个保险合同的总风险，r 为y 的可测函数。再保险合同把整个风险y 分为r 和两两部分， 其中r 为原保险人承担的部分，r 为再保险人承担的部分，即：y = n ( z ) + r ( y ) 。风险 效用往往作为衡量再保险合同优劣的标准。本文主要考虑风险。原保险人希望在不超过 最高价格p 的情况下购买到尽可能多的风险保护。在最优再保险问题上，我们首先应该 决定风险测量和价格准则。 以往的文章只考虑原保险人的利益，然而在再保险过程中涉及保险人和再保险人双 方，因此必须权衡考虑双方的利益。本文考虑较为一般的风险测量。以原保险人与再保 浙江大学硕士学位论文8 险人的风险测量的凸组合为目标函数，给出了最优再保险的具体形式。设皿1 ，皿2 分别为 原保险人和再保险人各自的风险测量，取其凸组合p ( 兄) 为目标函数 p ( r ) = a e 皿i ( y r ( y ) 一e ( y r ( y ) ) ) + ( 1 一口) e 皿2 ( r ( y ) 一e r ( y ) ) ( 1 ) 如果皿1 ，皿2 为凸函数，则相应的风险测量p ( r ) 也为凸的。 目前常用的风险测量为皿( t ) ；t 2 ，( t ) = t ；等等( 见d a y k i n ( 1 9 9 3 ) ，g a j e k & z a g r o d n y ( 2 0 0 0 ) ，k a l u z k a ( 2 0 0 1 ) ) 。 再保险的另外一个重要的问题是再保险保费计算原理。常见的保费计算原理有： 1 ) 期望值计算原理 7 r ( r ) ；( 1 + f 1 ) e r ； 2 ) 标准差计算原理 ( r ) = e r + f l d r ； 3 ) 方差计算原理 7 r ( 冗) = e r + f l d 2 r ； 4 ) 修正方差计算原理 7 r ( r ) = e r + 肛 2 r e r ； 5 ) 混合原理 ”( r ) = e r + 8 d r + f l d 2 r e r ， 这里口，自，r 0 。 设p 表示原保险人准备投到再保险中的资本总额，即原保险人准备用p 数目的资本 购买再保险合同r 般”( r ) p 。 我们给定两个可测的函数冗( ) ，岛( 们：( o ，o o ) 一( 一o o ，。) 使得r l ( ) 曼( 可) 对 所有的目o 成立定义跎( r l ，兄) 为所有使兄l ( 可) r ( g ) s 岛( ) 的兄( g ) ：【0 ，。) 一 ( 一o c ，。o ) 并h ，r ( r ) sp 的集合。当r l = 0 ，r 2 = 时，e r ( r 1 ，冗2 ) 为驼o 。 本文的目的就是找出最优再保险合同彤，使得丌( 彤) p ，且p ( 口) p ) ，其 中r ，r + 跪。具有上述性质的再保险合同彤被称为风险测量准则( 1 ) 下的最优再保险合 同。 浙江大学硕士学位论文9 g a j e k & z a g r o d n y ( 2 0 0 0 ) 以方差为风险测量，讨论了标准差计算原理下最优再保 险的形式。k a l u s z k a ( 2 0 0 1 ) 仍以方差为风险测量，考虑了较为一般的保费计算原理， 其中包括标准差计算原理。k a l u s z k a ( 2 0 0 1 ) & s c h m i t t e r ( 2 0 0 1 ) 则用e r = ，( 只d r ) 作 为上面提到的保费计算原理的般形式，并在此基础上讨论最优再保险。g a i e k z a g r o d n y ( 2 0 0 4 ) 采用更一般的风险测量，在a = 1 ( 即仅考虑原保险人的风险) 和标准 差计算原理下给出了具体的最优再保险的形式。其它的风险度量方式可参见b u h l m a n n ( 1 9 7 0 ) ，d a k i n ( 1 9 9 3 ) ，g e r b e r ( 1 9 8 0 ) ，p a n j e r ( 1 9 9 8 ) ，g e r a t h e w o h l ( 1 9 8 0 ，1 9 8 1 ) 。 w a n g ( 1 9 9 8 ) ，w a n g ( 1 9 9 7 ) ，y o u n g ( 1 9 9 9a ，b ) 讨论了w a n g 保费计算原理下保 险的效用最大化问题。然而在一些特殊的情形下，w a n g 计算原理不包括标准差计算 原理。基于效用期望下的最优再保险的一些早期结果的详尽的描述可参见p e s o n e n ( 1 9 8 4 ) ，对于一般的风险理论我们可参见b u h l m a n n ( 1 9 7 0 ) ，d a y k i n ( 1 9 9 3 ) ，g e r b e r ( 1 9 8 0 ) ，p a n j e r ( 1 9 9 8 ) ，g e r a t h e w o h l ( 1 9 8 0 ，1 9 8 2 ) 。 有关最优再保险的其它的一些结果可参见m a z u r ( 2 0 0 0 ) ，d e p r e & g e r b e r ( 1 9 8 5 ) 以 及z a g r o d n y 。有关最优标准的讨论以参考g o o v a e r t s ( 1 9 8 3 ，1 9 9 4 ) ，k a s s g o o v a e r t s ( 1 9 9 3 ) ，k l u g m a n ( 1 9 9 8 ) ，s 打a u b ( 1 9 8 8 ，1 9 9 8 ) ，g e n t e n o ( 1 9 8 5 ，1 9 8 6 ，2 0 0 2 ) 和k a l u s z k a ( 2 0 0 1 ) 。 以上的文献仅仅考虑了原保险人的利益。但再保险涉及原保险人及再保险人双方的 利益，因此本文讨论了一般意义下的保险人和再保险人双方的风险问题，把前人的结果 推广到了更般的形式，并在一定条件下通过定理证明和数值求解，给出了相应的最优 再保险决策。 下面我们给出本文的组织结构。第一章介绍了在期望值计算原理下，如何进行再保 险使得保险人和再保险人双方风险的凸组合达到最小。在一个限制条件函数类中， 当保险人和再保险人采取各自的风险度量函数时，应用拉格朗臼函数，绘出了最优再 保险函数满足的充分条件，并且在几个特殊的风险度量下，给出了最优再保险合同的 具体形式，以及最优再保险函数参数的确定方法。第二章介绍了在标准差计算原理 下，如何得到最优再保险的策略，使得保险人和再保险人双方的风险和最小，并给出 了最优再保险函数的充分条件。在方差风险度量下，给出了最优再保险合同的具体形 式，以及最优再保险函数中的参数的确定方法。第三章我们采用更一般的保费计算原 理e r = ，( p 1 d r ) ，在一个较为广泛的风险测量函数下，给出了最优再保险函数的充分 条件，并通过例子给出了在具体的保费计算原理以及其体的风险测量下，最优再保险的 具体形式，及其参数确定方法。第四章，我们讨论了聚合风险模型下的最优再保险，根 据投资一方差理论，采用期望值计算原理，给出一族最优比例再保险决策模型下的最优再 浙江大学硕士学位论文1 0 保险合同的充分条件以及参数的确定方法，并通过引入一类二元效用函数，针对保险公 司所承包的不同险种的比例再保险的最优决策安排，构建了一族有效的模型，给出了最 优解的基本形式。 第1 章期望值计算原理下的最优再保险 1 1主要结果及证明 在这一节里，我们要求： ( a ) ：e y 0 0 ； ( b ) ：e n ( y ) o o ，e 硝( y ) o o ； ( c ) ：e m l i y n ( y ) 一e ( y 一冗( y ) ) 。，e 2 ( r ( y ) 一e ( 咒( y ) ) ) o ( 3 若设皿。，皿2 为凸函数，m ，皿2 在t 处的次微分0 皿1 ( t ) ，a 皿2 ( t ) 为单调的多元函数，5 t 。( ) 和。( ) 分别为1 ( t ) ，皿2 ( t ) 的导数，非降( 定义和性质可参见a u b i n p r a n k o w s k a ( 1 9 9 0 ) ，p e r e s s i n i 等( 1 9 8 8 ) ) 。易知岛。( - ) ，岛。( ) 为b o r e l 函数，且具有下列性质： 皿1 【y n ( y ) 一e ( y r ( y ) ) 】一霍l 睁一r + ( ) 一e ( y r + ( y ) ) 】 5 b 。( y r + ( ) 一e ( y r ( y ) ) ) ( 一( r ( ) 一r 4 b ) ) + e ( r ( y ) 一r 4 ( y ) ) ) ， ( 1 1 ) 记 m 2 【r 0 ) 一e r ( y ) 1 一皿2 【r b ) 一e n ( y ) 5 b 。( 冗+ ( 可) 一e r + ( y ) ) x ( n ( y ) 一r + ( ) 一e ( n ( r ) 一r + ( y ) ) ) ( 1 2 ) 岛。( ) = 5 b 。国一r + ( ) 一e ( y r + ( y ) ) ) ， s ；。( ) = 。( r + ( ) 一e r ( y ) ) - 显然踯，和岛，满足 霍l 函一兄( ! ，) 一e ( y r ( y ) ) 】一皿1 陌一r ( 可) 一e ( y r ( y ) ) 6 f f ) 2 $ ，( y ) ( 一( r ( g ) 一r + ( ) ) + e ( r ( y ) 一r + ( y ) ) ) d f ( ) ，( 1 3 ) j 0 皿2 【r ( ) 一e r ( y ) 】一皿2 【r ( ) 一e n ( y ) d f ( y ) ， 品。( ) x ( r ( ) 一r + ( 可) 一e ( n ( y ) 一r ( y ) ) ) d f ( 口) - ( 1 4 ) 注意条件( 1 3 ) 、( 1 4 ) 比条件( 1 1 ) 、( 1 2 ) 要弱，即可能存在s ；，( y ) 和岛。( 9 ) 满足( 】3 ) 、( 1 4 ) ， 但皿l ，皿l 不定是凸函数( i o f f e & t 傲h o m i m v ( 1 9 7 4 ) ) 。 1 1 浙江大学硕士学位论文 下面我们给出本节的主要结果。 定理1 1 设曲。( ) ，岛。( ) 满足( 1 3 ) 和( 1 4 ) 。在期望值计算原理下，如果存在a 0 ，以及r ： 0 ，o 。) 一( 一o 。，0 0 ) 使得下述条件成立： ( i ) ：对每一y 0 使得彤( v ) = 冗1 ( ) ，有 ( 1 + p ) 一a s ；。( ) - f0 ：e 品。( y ) + ( 1 一口) 蹯。0 ) 一( 1 一口) e s 。( y ) 0 ； ( i i ) ：对每一y 0 使得r + ( f ) = 危( g ) 及r i ( y ) 忌( ) ，有 ( 1 + 卢) a a 蹄。( y ) + a e s ；，( y ) + ( 1 一口) $ 。( ) 一( 1 一q ) e 岛。( y ) so ； ( i i i ) ：对每一y 0 使得r 1 ( 功 彤( ) r z ( 们，有 ( 1 + 卢) a a s ；。( v ) + a e s ；，( y ) + ( 1 一n ) 品。( ) 一( 1 一口) e 踮。( y ) = o ； ( i v ) ：7 r ( r ) s p ，a 扣( r + ) 一p ) = 0 ， 那么，在集脸( r 1 ，r 2 ) 和条件”( 冗) p 下，彤【f ) 使p ( n ) 最小，也即为最优再保险合 同。 证明：考虑拉格朗日函数： l ( 兄) = p ( n ) + a ( ( 1 + 卢) e r p ) ， ( 1 5 ) 这里a 0 。在集合跄( r l ，r 2 ) 中以及7 r ( 冗) p 限制条件下，要使p ( r + ) 最小，只须同 时满足a ( 7 r ( 彤) 一p ) = 0 和厶( r ) s 厶( r ) 即可，其中r ，r + 骢( 见，r 2 ) 。事实上， 对任意的r 跪( r l ，岛) ，当a 何( 彤) 一p ) = 0 时，有 p ( r ) = 五 ( r + ) l ( r ) sp ( 冗) 于是由( i v ) 知，对给定a 0 ，只要证明在驼( r 。，r 2 ) 上冗+ 使得厶最小即可。 易失口 l ( r ) 三 ( r + ) = o l m 1 一r 国) 一e ( r r ( y ) ) ) 一卫1 国一r ( f ) 一e ( y r + ( y ) ) ) d f ( g ) j o ， + ( 1 一血) m 2 ( 冗( 可) 一e r ) ) 一皿2 ( r ( 可) 一e r + ( 可) ) 6 l f 0 ) + a ( 1 + z ) e ( r 0 ) 一r 。( y ) ) ( 1 6 ) 把( 1 3 ) 和( 1 4 ) 代入( 1 6 ) ，得 l x ( r ) 一l ( r + ) 浙江大学硕士学位论文 这里 口7s ；。( 口) ( 一( r ( v ) 一r + ( 暑，) ) + e ( n ( z ) 一r + ( y ) ) ) d f ( f ) j 0 t o o + ( 1 一) 品。( 口) ( n ( y ) 一r + ( ) 一e ( n ( z ) 一r 。( y ) ) ) d f ( ) + ( 1 + z ) e ( n ( y ) 一r + ( y ) ) = f ( 1 + 母) a 一口s 毒。( 可) + n e s 。( y ) + ( 1 一) s ：( f ) 一( 1 口) e 岛。( y ) i r ( f ) 一r ，( 可) d f ( 可) + 【( 1 + 卢) a o 岛。0 ) + n e 曲，( y ) + ( 1 o ) 品。( ) 一( 1 一a ) e s ：( y ) x 【n ( y ) 一r + ( 口) 】d f ( f ) + f 【( 1 + 芦) a a s ；。b ) + q e s 专。( y ) + ( 1 一q ) 岛。0 ) 一( 1 一n ) e s ：( y ) 1 【r ) 一r 2 ( y ) l d f ( y ) ， a = g 0 ，r 4 ( ) = 兄 ) ，r 1 0 ) sr 2 0 ) ) ， b = 可0 ，r 1 ( ) r + ( 可) 0 使( 1 8 ) 成立，也即满足定理1 1 的条件( i v ) 。取 s ，= 2 ( u r + ( f ) 一e ( y r + ( 】，) ) ) ，s ：= 2 ( n + ( s ，) 一e r + ( 1 ，) ) ，m ( 1 + p ) a = 2 q ( m y ) d f ( y ) 0 ， j 0 则当y m 时， ( 1 + 卢) a 一口踮，( ) + e e $ 。( y ) + ( 1 一a ) s ；。( ) 一( 1 一) e 曲：( y ) ，m 2 2 a 上( m y ) d f ( 3 ，) 一2 口( y - r * ( ) 一e ( y r + ( y ) ) ) + e s 。( y ) + 2 ( 1 一a ) ( r + ( ) e r ( y ) ) 一( 1 一a ) e s ；。( y ) = 2 a ( m y ) d f ( y ) 一2 a g + 2 r ( ) + 2 e e y 一2 e r + ( y ) = 2 at ( f r $ 一y ) d f ( y ) 一2 n + 2 c r ( y 一7 n ) + 2 0 d f ( ) j 0 j o ，。 一2 。( y m ) d f ( y ) j t n = 0 于是定理1 。1 的( i i i ) 成立。 当y s m 时， ( 1 + 口) a 一口踮，( ”) + a e 岛，( y ) + ( 1 一。) s 。( y ) 一( 1 一口) e s ；。( y ) = 2 e ( m y ) d f ( y ) 一2 e ( y r 4 国) 一e ( y r + ( y ) ) ) + 2 ( 1 一q ) ( 丑0 ) 一e r ( y ) ) ， l， - 2 a 上( m - u ) d f ( 沪2 口v + 2 q 脚( 沪2 口上( v - j 0 m ) d f ( ) j o m = 2 a ( m 一) 0 所以定理1 1 的( i ) 成立。又因为r 4 ( 口) y ，故不必验证定理1 1 的( i i ) 。由定理1 1 知r t 为最优，证毕。 浙江大学硕士学位论文 1 5 1 3 方差、截方差风险下的最优再保险 下面考虑m l ( t ) = ( 矿) 2 ，皿2 ( t ) = t 2 时的情形。同样令p 0 使得 p = o ( 1 + 卢) t 悖一m o ) d f ( y ) ( 1 9 ) 定理1 3 取雪1 ( t ) = ( 矿) 2 ，皿z ( t ) = t 2 ，则相应的风险为 p ( n ) = 口e 【( y n ( z ) 一e ( y r ( y ) ) ) + 】2 + ( 1 a ) d r ( y ) ， 并假定p 0 。 由( 1 9 ) 易得 i n ( 1 + 口1 q h a p a m o2 。1 。二。一 若有p a ( 1 + 卢) 【1 一l n ( 1 + 卢) 口+ i n p a ( 这一不等式通常容易满足) ，则由( 1 9 ) 知 一q 仁( y - - m o ) d f ( 们= 等替 0 ，所以我们只须验证定理1 1 的( i ) 和( i i i ) 。当v m o 时， ( 1 + 口) a o 岛。0 ) + e e s ；, ，( y ) + ( 1 一q ) 岛。( ) 一( 1 一口) e 踮。( y ) 邓删卜2 曲一( 口_ 伽) _ q ) + 妞( f ( 一q ) d f 一吲y ) ) + 2 a ( ，一a ) ( y - m o - ：( y - m o ) 护( v ) 1 = ( 1 + p ) a 一2 a ，”( m o y ) d f ( y ) + 2 a ，。( q y ) d f ( y j 0 j 0 )= ( + p ) a 一2 d ( 一 ) +( 一 ) = 0 ， 于是定理1 1 的( i i i ) 满足。 当y m o 时， ( 1 + 用a 一口咒，( ) + 口e $ 。( 1 ，) + ( i a ) s 。( ) 一( 1 一a ) e 。( ，) 卸删a - 2 a ( v 吲讹( f ( ”圳删锄v ) ) + 2 ( 1 一q ) ( 一e r + ( y ) ) = 2 a ( m o y ) 0 ， 满足定理1 1 的( i ) 。所以彤为最优再保险。证毕。 第2 章标准差计算原理下的最优再保险 2 1主要结果及证明 在这一节里，同样令y 满足条件1 1 中的( a ) 、( b ) 和( c ) ，田1 、皿2 满足( 1 3 ) 和 ( 1 4 ) 。我们有 定理2 1 设岛，( g ) ，踮：( ) 满足( 1 3 ) 和( 14 ) 。在标准差计算原理下，如果存在 a 0 ，以及r 。： 0 ，o o ) 一( 一o 。，o o ) 使得下述条件成立： ( i ) ：对每一y 0 使得口( 3 ，) = r l ( ) ，有 一口s ；，0 ) + d e s ；。( y ) + ( 1 一a ) s k b ) ( 1 一) e s 缸c , y ) + 渊一锶鬻独d 冗+ ( y )d 兄吖y ) 一 ( i i ) ：对每一0 使得r + ( y ) = r 2 ( y ) 及r f f y ) 飓( 目) ，有 a n s 毒。( g ) + 口e s 。( y ) + ( 1 一a ) j 9 屯 ) 一( 1 一a ) e i 曼如( y ) + 蹦一黑d r 辫y z 0 d 印( y )( ) = 1 ( i i i ) ：对每一y20 使得r 1 ( ) 彤( ) 飓( ) ，有 a a s 文0 ) - i - 口e g 文( y ) + ( 1 一n ) ) 一( 1 一q ) e s ；：( y ) + 渊一1 f l e r 丽 ( y ) d r * ( y 黾 d r + ( y ) 1 ” ( i v ) ：霄( r + ) sp ，a ( 咒+ ) 一p ) = 0 ， 那么，在集瓣( r 1 ，r 2 ) 和条件7 r ( 咒) sp 下，r ( ) 使p ( r ) 最小，也即为最优再保险合 同。 证明：考虑拉格朗日函数： l ( r ) = p ( n ) + a ( e r + 舳冗一p ) ，( 2 1 ) 这里 0 。在集合跪( r 1 ，r 2 ) 中以及7 r ( r ) sp 限制条件下，要使p ( 彤) 最小，只须同 时满足a ( 丌( 彤) 一p ) = 0 和厶( j r )