（应用数学专业论文）功能梯度材料二维静态热传导问题的简单边界元法.pdf

摘要 热传导是生产和生活中普遍存在的物理现象，对人们的生产和生活实践有着广泛而深刻的 影响掌握控制和改进热量传递的方法和技术措施，无论对国民经济建设还是改善人民生活都具 有重要的意义目前功能梯度材料的理论研究主要针对其在温度相关的工作环境下的热传导和 力学性能分析，涉及热传导分析、热应力分析、热断裂和热疲劳等功能梯度材料是在高温环境 下最有应用前景的新型耐热复合材料，因此，研究功能梯度材料的热传导问题有实际而长远的意 义 本文主要从方法上进行阐述，共分三章第一章主要介绍了热传导问题及其应用领域的广泛 性，叙述了研究功能梯度材料热传导问题的实际意义，并介绍了边界元法的发展及其优越性第 二章讨论了不同温度场下不同材料特性功能梯度薄板的热传导问题第三章讨论了带孔洞的功 能梯度物体的热传导问题利用变量代换将功能梯度热传导微分方程转化为均匀材料中的热传 导方程，对伽辽金边界积分方程进行离散得线性方程组进行求解，最后得出物体内部点的温度， 给出分布图形，分析了材料参数对温度分布的影响 关键词：功能梯度材料，热传导，边界元，伽辽金边界积分方程 a b s t r a c t t h e r m a lc o n d u c t i v i t yi sap r e v a l e n tp h y s i c a lp h e n o m e n ai nt h ep r o d u c t i o na n dl i f ea n dh a sa b r o a da n dp r o f o u n di m p a c to np e o p l e sp r o d u c t i o na n dd a i l yl i f ep r a c t i c e t a k i n gc o n t r o la n d i m p r o v i n gt h eh e a tt r a n s f e rm e t h o d sa n dt e c h n i c a lm e a s u r e sa r ev e r ys i g n i f i c a n tr e g a r d l e s st on a t i o n a l e c o n o m i cc o n s t r u c t i o no ri m p r o v i n gp e o p l e sl i v e s a tp r e s e n t ，t h et h e o r yo ff u n c t i o n a l l yg r a d e d m a t e r i a l sr e s e a r c hi sm e a n l yf o rt e m p e r a t u r ed e p e n d e n c ee n v i r o n m e n to ft h e r m a lc o n d u c t i v i t ya n d m e c h a n i c a lp e r f o r m a n c ea n a l y s i s ，i n v o l v i n gh e a tt r a n s f e ra n a l y s i s ，t h e r m a ls t r e s sa n a l y s i s ，t h e r m a l f r a c t u r ea n dt h e r m a lf a t i g u e f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l si san e wt y p eo fh e a t - r e s i s t a n tc o m p o s i t e m a t e r i a li nh i g h t e m p e r a t u r ee n v i r o n m e n ta n dh a v et h eb e s ta p p l i c a t i o np r o s p e c t s t h e r e f o r e , t h e s t u d y o ff u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a lt h e r m a lc o n d u c t i v i t yp r o b l e m sh a sl o n g - t e r mp r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e t h i sa r t i c l ei sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s t h ef n - s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h eh e a tc o n d u c t i o n p r o b l e ma n di t sw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o na r e a s ，d e s c r i b e sp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c eo ft h es t u d yo fh e a t c o n d u c t i o np r o b l e mo ff u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ，a n dg i v e st h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o da n di t s s u p e r i o r i t y t h es e c o n dc h a p t e r d i s c u s s e st h e r m a lc o n d u c t i v i t yp r o b l e m so fd i f f e r e n tm a t e r i a l p r o p e r t i e so ff u n c f i o n a l l yg r a d e dp l a t ei nd i f f e r e n tt e m p e r a t u r ef i e l d s t h et h i r dc h a p t e rd i s c u s s e sh e a t c o n d u c t i o np r o b l e mo ft h ef u n c t i o n a l l yg r a d e do b j e c t sw i mh o l e s u s i n gv a r i a b l es u b s t i t u t i o n w e c o n v e r tt h eh e a tc o n d u c t i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o no ff u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a lt oah o m o g e n e o u s m a t e r i a lt h e r m a lc o n d u c t i v i t ye q u a t i o n ，t h e nd i s c r e tt h eg a l e r k i nb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nt oa s y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n st os o l v ep r o b l e m s f i n a l l yw ea r r i v ea ta ni n t e r n a lt e m p e r a t u r eo fo b j e c t s ， a n dg i v et h ed i s t r i b u t i o ng r a p h i c sa n da n a l y s i so f m a t e r i a lp a r a m e t e r so nt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n k e yw o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ，t h e r m a lc o n d u c t i 、r i t y , b o u n d a r ye l e m e n t ，t h eg a l e r k i n b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 研究生签名乌赢而 帆m 7 年触日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 与而甬 旁雩 时间： 年6 月扩日 铖阃：砷7 年6 只富日 宁夏人学硕f 学位论文第一审绪论 1 1 热传导 1 1 1 热传导的介绍 第一章绪论 热从系统的一部分传到另一部分或由一个系统传到另一个系统的现象叫热传导热传导是 热传递三种基本方式之一它是同体中热传递的主要方式，在不流动的液体或气体层中层层传递， 在流动情况下往往与对流同时发生热传导实质是由大量物质的分子热运动互相撞击，而使能量 从物体的高温部分传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程在固体中，热传导的微观过 程是：在温度高的部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大在低温部分，微粒振动动能较小因微 粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生微粒的振动，动能由动能大的部分向动能小的部分传 递在固体中热的传导，就是能量的迁移在金属物质中，因存在大量的自由电子，在不停地作无规 则的热运动自由电子在金属晶体中对热的传导起主要作用在液体中热传导表现为：液体分子在 温度高的区域热运动比较强，由于液体分子之间存在着相互作用，热运动的能量将逐渐向周围层 层传递，引起了热传导现象由于热传导系数小，传导的较慢，它与固体相似，因而不同于气体；气体 依靠分子的无规则热运动以及分子间的碰撞，在气体内部发生能量迁移，从而形成宏观上的热量 传递 一导热长度：z ( 矾) 一 温度a 导热面积a ( 温度n 热从物体温度较高的一部分沿着物体传到温度较低的部分的方式叫做热传导 热传导是生产和生活中普遍存在的物理现象，对人们的生产和生活实践有着j 泛而深刻的影响 因此。掌握控制和改进热量传递的方法和技术措施，无论对国民经济建设还是改善人吣生活都具 有重要的意义 1 1 2 热传导的应用领域及研究近况 应用数学模型对热传导现象中的温度分布、热流强度进行分析，对控制和改进热昔传递的方 法和技术措施有着重要的意义，许维珍削数学建模探讨了一些较为复杂的热传导过程【i j 标准的热传导问题是给定物体的几何形状、热物性参数、初始条件和传热的边界条件，要求 解的是物体内部和边界上的温度分布及变化规律而热传导逆问题，或称为热传导反问题是利用 实验手段测得物体内部某点或某点上的温度及随时间变化的过程，通过求解热传导微分方程来 反演物体边界热流、热传导系数和物体内部的热源分布等热传导逆问题在航天、核物理、冶金 等工业研究领域中有着广泛的应用背景例如，材料淬火时的表面热流密度反演在冶金工业有很 宁夏大学硕 学位论文第一章绪论 好的应用前景：再入飞行器再入时的表面热流密度反演，是用以确定l s 行器再入时热环境的有效 方法 然而，目前的热传导逆问题研究大多局限在一维和二维情况，与工程实际情况有比较大的差 异钱炜祺等用有限体积法对三维菲稳态热传导问题进行数值求解，并对三维非稳态热传导方程 中分布式时变热源项反演这一逆问题进行分析，得出了一些有意义的结果l z j 众所周知，逆时热传导问题是不适定的，即当由时刻的测量信息求此任意时刻的温度分布时 由于测量误差的存在，几乎是不可能的由于实际需要，许多学者对此类问题做了深刻的研究，并有 相当数餐的文献探讨了此类问题如l a t t e s 和l i o n s ，m i l l e r 等已经运用拟逆法对热传导反问题进 行了研究；g o r d c n 。刘继军等也运用拟边界法对热传导反问题进行了研究，葛美宝运用拟解法对一 类热传导反问题进行了研究最近，任常青通过拟逆法思想与正则化思想运用拟边界法和积分方 程方法对一类热传导反问题进行了研究。并验证了其方法的有效性p j 电子散斑干涉( e l e c t r o n i cs p e c k l ep a t t e r ni n t e r f e r o m e t r y ，e s p i ) 测量技术广泛应用于光 学粗糙表面的变形测量和无损检测，其优点是测量灵敏度高、全场：l e 接触在处理干涉条纹时，条 纹图相位的确定对物体的位移、应变、振动等测量具有重要意义由于干涉条纹图中总是附带有 散斑噪卢，给相位提取造成了一定的困难，因此，有效地去除条纹图和相位图的噪声，成为电子散斑 干涉技术的关键问题近年来国内外学者在这方面做了大量工作基于偏微分方程的图像处理是 图像处理领域中的一个重要分支，具有灵活、速度快、结果准确、易于操作等优点近年来，有关 的内容日益成为相关领域研究入员关注的一个热点 1 9 8 3 年。w i t k i n 注意到将信号在各个尺度下与高斯函数作卷积等价于一个求解热传导方程 ( h e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n ) ，h c e ) 的过程1 9 9 2 年，m e r r i m a n 等提出一种利用热传导方程 改善图像边界的方法( m e r r i m a n b e n c e o s h e ra l g o r i t h m ，m b o 算法) ，该方法能使图像形 状变得规则从而引发了人们对动态边界问题的关注去除电子散斑干涉条纹图中的噪声是提取 条纹图相位的关键问题张芳等【4 j 利用热传导方程去除条纹图中的噪卢，定性和定量分析了该方 法的滤波性能在此基础上，进一步将m b o 算法和热传导方程应用于条纹二值化和相位图平滑 过程中，_ 并成功地从单幅模拟条纹图中提取了条纹图的相位 辐射在介质中的传输是一个经典的物理学问题，人f i j 通常采用辐射热传导近似来描述辐射 的传输沈刚，朱少平1 5 】从辐射输运方程出发，通过递推的方法，推导并得到了包含高级修正的 辐射能流表达式利用这个表达式，分析了辐射在轻介质中传输时，辐射热传导近似的成立条件热 传导近似的成立条件总是要求温度空间变化尺度与自由程之比远大予某个值，该值即判别因子， 它表征热传导近似条件满足的苛刻样度，其值越大，热传导近似就越难满足讨论得出：当同时考 虑轫致和散射过程时。这- - n 另 j 冈子的值在3 - 一6 0 之间并进一步分析了密度的空间变化以及l 维球坐标f 的、p - 径对判别因子的影响 开关元件是脉冲功率系统的核心元件之，也是主要的技术瓶颈触发真空开关作为能量的 快速关合开关，是近年来非常有发展潜力的脉冲功率开关目前，国内外的研究者对触发真空开关 的快速关合特性主要集中在其击穿机理、触发源技术及大功率快速关合应用等领域的研究廖敏 夫等1 6 l 介绍了沿面击穿璎触发真空开关的基本结构和工作过程，从沿面击穿型触发真空开关场 致发射击穿机理的分析出发，通过数学建模，引入热力学运动方程，建立了沿面型触发真空开关的 真空放电阴极斑点热传导模型，它可以用来描述和估算沿面放电方式下触发真空开关的延时特 2 宁夏大学硕f j 学位论文第一章绪论 性，然后以初等离子体的产生与扩展机理为重点，讨论了沿面击穿型触发真空开关的延时特性， 对于采用氢化钛作为涂敷材料的沿面击穿犁触发真空开关进行了具体的分析和计算，表明以所 建立的阴极斑点热传导模型为基础计算得到的时延结果和l a f f e r t y 及f a r r a l l 的经典数据相吻 合 随着现代化技术的日益提高。半导体器件的数值模拟对于推动半导体技术的发展具有十分 重要的意义陆代刚，陈传军采用有限体积元方法来解决一维热传导型半导体器件数值模型，将 分段线性函数和分段常数函数分别作为有限体积元方法的试探函数和检验函数，构造了半导体 器件模型的全离散有限体积元逼近格式和计算程序并进行理论分析得到了最优阶h 1 模误 差估计j 1 2 边界元法的发展 由于工程问题的复杂性往往将其抽象为满足某种微分方程和一定边界条件的数学问题来 处理然而，遗憾的是，直接寻求其解析解常常非常困难，这就促进了各种数值方法的飞速发展有 限单元法曾一度在数值方法的发展是上起着极为重要的作用但是，就像其他任何事物一样，亦存 在其不足的一面，比如有限元法处理问题的自由度数目庞大，要求计算机容量大，速度快；在处理 奇异问题时精度低等，于是导致了边界元法的发展，两种方法相互补充，发挥各自的优势，可以经济 有效的解决实际问题 边界单元法只在边界上剖分单元，通过基本解把域内未知量化为边界未知量来求解，这就使 自由度数目大人减少，而且由丁自由度本身的奇异性特点，使得边界元法在解决奇异问题时精度 较高另外，基本解可以根据实际问题的特点适当选择，以达到最人限度的节约之功效，甚至可以避 免直接处理无限边界问题再者边界元法的降维作用，使得问题简化许多，特别对于三维问题，更受 工程人员青睐总之边界元法具有输入数据少，降低问题维数以及计算精度高等优点 边界元法的基础理论研究已有近百年的历史，但作为数值方法的提出，可以追溯到1 9 6 3 年贾 斯恩( j a s w o n ) 的论文i g j ，他首先对边界元的间接方法提出了完整的概念，随后里佐( r i z z o ) pj 和克 鲁斯( c u r s e ) u o 完善了边界元的直接方法，并出版了第一本边界元法著作【l ，r i z z ot1 9 6 7 年用 直接边界元法求解了二维线弹性问题；c r u s e 于1 9 6 9 年将此法推广到三维弹性力学问题自1 9 7 8 年起至今，连续召开了多次边界元法国际会议著名学者c a 。不瑞比( c a b r e b b i a ) ，p ：l ( 班努杰 ( p k b a n e r j e e ) 等几乎每年编辑出版一两本有关论文集或专著，b r e b b i a 用加权余量法推导出了边 界积分方程，他指出加权余量法是最普遍的数值方法，如果以k e l v i n 解作为加权函数，从加权余量 法中导出的将是边界积分方程边界元法，从而初步形成了边界元法的理论体系，标志着边界 元法进入系统性研究时期，边界元法在：l ：程科学和技术中得到推j 和应用 边界元法可分为两种基本类型，即直接法和间接法，前者是用明确的物理量来建立边界积分 方程的；后者却是用不其明确的变量以应力分析为例，在间接法中，边界一般被加上按一定规律 分布的虚拟力或虚拟位移，作为基本未知数，建立离散化方程，待求出这些量后再计算边界及域内 位移和应力在直接法中，解题的基本朱知数是全部朱知的边界位移和应力，可直接求取边界参数 边界元法是应用格林定理等，通过基本解将支配物理现象的域内微分方程换成边界上的积 分方程，然后在边界上离散化求解，其特点是主要涉及解域边界上的信息，并由此而得名文献【1 3 3 宁夏人学颀i ：学l 江论艾第一审绪论 对边界元法的数值计算作了综述，边界元的离散化手段与有限元法相类似，可以采用常单元，线性 单元二次单元，高阶单元及等参单元， 边界元法的运算矩阵的系数的计算将会遇到奇异积分，拉恰特( l a c h a t ) 【l 副首先较好解决了 这一问题，随后取得的一系列进展，使边界元算法的精度有明显的提高文献【1 2 】系统的研究了边 界元法和有限元法，有限差分法，伽辽金法，配点法，子域法等在方法上的内在联系 边界元法特别适宜于大区域，无限域和断裂，耦合问题，它和有限元法各有优缺点，他们之间的 分区耦合运用，对某些问题会得到较好的效果这一思想首先在文献 1 4 】中提出，后来辛科维奇 ( z i e n k i c w i c z ) 等总结了非对称的直接混合和对称的能量法混合两种途径 我国约在1 9 7 8 年开始了边界元法应用研究，主要研究成果可参见两届工程中的边界元法会 议文集目前国内外边界元法应用研究已遍及弹性静力学，动力学，、波动，断裂，接触，多相，耦合，大变 形，塑性，粘弹塑性，热传导，热弹性，流体，岩土，电磁场，优化，c a d 等领域边界元法可供实用的软件 有：英国的b e a s y , 美国的b e s t , 法国的c a s t o r 等 1 3 功能梯度材料热传导的研究意义及研究近况 功能梯度材料的设想和概念，引起了国际上的，“泛关注除日本外，美国、德国、法国、英 国、瑞士、芬兰、俄罗斯及乌克兰等国都在不同领域开展功能梯度材料的研究工作我国已经将 f g m 列入国家“8 6 3 ”重大项目计划( 8 6 3 7 1 5 2 1 6 4 ) 。国家自然科学基金委员会也大力资助 f g m s 项目，在1 9 9 7 年编撰的自然科学学科发展战略研究报告中，将新型功能梯度复合材 料制备理论和技术研究、功能梯度材料设计列为我国5 1 0 年无机非金属材料优先发展的 基础项目陶瓷金属功能梯度材料能够充分发挥陶瓷耐高温、抗腐蚀、金属强度高和韧性好的 特点，还能很好地解决金属和陶瓷强行匹配而引起的粘结强度低和热膨胀系数不协调等问题冈 此这类材料在j i ：程技术中有广阔的戍堋前景和极高的使用价值随着功能梯度材料的研究和开 发，其在光学( 电光学、磁光学) 、生物医学、电子元件、化学f ：业和核能源等领域中都得剑应 用 f g m 一开始的虑h 目标就定在航天飞机的防热系统和发动机等部件，目的在于研究开发出 表面使用温度达1 8 0 0o c 表里温度相差约为l 0 0 0o c 新型耐热材料功能梯度材料被认为是在高 温环境下最有应用前景的复合材料之一日本科技厅与1 9 8 7 年至1 9 9 1 年实施了项称为 “用于缓和热应力的f g m s 基础技术及开发”的庞大项目，有多个政府研究机构、一流高校和 公司参与该项目的研究此计划包括适合于金属及陶瓷功能化的各种无机复合体系的制备、设计 和评估，土要研究材料一侧处于炙热环境，而另一侧处丁冷却的部位的特殊要求对于热表面，于氧 化环境卜的服役温度指标( t a r g e t s e r v i c e t e m p e r a t u r e ) 约为2 0 0 0 k , 这些部位可以朋陶瓷材料 而冷却表面附近的温度低于1 0 0 0 k , 可使用具高强度、高韧性的导热材料在两种表面之间，利用 一系列技术依基体陶瓷比率设计具有梯度的金属基或碳基复合结构由于该项目大获成功，日本 又于1 9 9 3 年至1 9 9 7 年进行了一个称为“f g m s 结构的能量转换材料的开发研究”的大型项 目此项目的目标是模拟构件的测试及其在超高温、高温度梯度落差及高温燃汽及高速冲刷等条 件下的实际性能研究 近来，科技的进步不断促进更能耐高温、抗热流功能梯度材料的设计和制造目前功能梯度材 4 宁夏人学硕 ：学f 节论文第一章绪论 料的理论研究主要针对其在温度相关的工作环境下的热传导和力学性能分析，涉及热传导分析、 热应力分析、热断裂和热疲劳等功能梯度材料是在高温环境下最有应用前景的新型耐热复合材 料，因此，研究功能梯度材料的热传导问题有实际而长远的意义 功能梯度材料的静态热传导问题已有很多学者进行了研究b i a l e c k i 和k u h n i l 副提出了子域 法，把物体划分为多个区域，每个区域具有相同的性质s h a w 和m a n o l i s l l6 j 采用了保角变换技术 来解决梯度材料的热传导问题t a n a k a 等i l7 j 获得了f g m s 的一种双重相互作用b e m 公式g r a y 等1 惜j 提出了伽辽金边界元公式，通过得到格林函数来解成指数变化的功能梯度材料的热传导问 题d v o 和k a s s a b 提出非均匀介质热传导问题的非对称外力函数的对称基本解y o s h i h i r o 和 o e h i a i l 2 0 】采用了三相边界元法解功能梯度材料二维静态热传导问题，利用积分方程对微分控制 方程进行插值计算伽辽金边界元法是解决在断裂问题中产生的高奇异积分方程的一种有效地 且精度高的数值方法，在边界元公式中，奇异和高奇异积分是主要的困难，对于格林函数法来 说，每一种材料都有其自身的基本解，在解决问题中需要取不同的点和数据，比较麻烦，为了 消除这个缺点，一种叫做简单伽辽金边界元法1 1 9 j 被提出了，它是将非均匀材料中的问题转化为 已知的均匀材料中的问题，主要针对性质晕多项式函数、指数函数以及三角函数类变化的材料。 重新利用均匀材料中的点和数据，非均匀材料中的问题仅用边界积分公式就能得到解决，这种 方法可用于任何势论问题，借助于这一点，功能梯度材料的静态的、可渗透热传导问题及断裂 问题( 相互作用的多裂纹问题) 也有了新的伽辽金边界元公式。可渗透热传导问题可利用拉普 拉斯变换伽辽金边界元公式米解决，而裂纹问题则可利用对偶边界元法 1 4 本文将要研究的内容和求解思路 对于功能梯皮材料的热传导问题的研究，已有很多方法，比如子域法，三相边界元法等，但本文 采用一种简单边界元法对丁功能梯度材料来讲，它是一种非均匀材料，然而，传统的边界元法只适 用于均匀材料中的各种问题，对于非均匀材料我们很难得剑其基本解，虽然我们可以把积分区域 划分成很多小区域米求解，即子域法，但是，边界元法降维这个很好的优点就消火了因此，需要更 先进的方法来进行研究 本文介绍一种很简便的方法米研究功能梯度材料的热传导问题，即简单伽辽金边界元法，它 首先通过变换把1 f 均匀材料的问题转化为均匀材料的热传导问题，利用伽辽金边界积分方程，然 后对其离散得线性方程组进行求解 主要包括三部分： 第一章主要介绍了热传导问题及其应朋领域的广泛性，叙述了研究功能梯度材料热传导问 题的实际意义。弗介绍了边界元法的发展及其优越性 第二章讨论了不同温度场下不同材料特性功能梯度薄板的热传导问题第一个问题是采用 多项式热传导率进行变量代换将功能梯度热传导微分方程转化为拉普拉斯方程，利用常数边界 元法对伽辽金边界积分方程进行离散得线性方程组进行求解，最后得出薄板内部点的温度，给出 分布图形，分析了材料参数对温度分布的影响第二个问题是采用指数热传导率进行变量代换将 功能梯度热传导微分方程转化为赫姆霍兹方程。利用常数边界元法对伽辽金边界积分方程进行 离散得线性方程组进行求解，最后得出薄板内部点的温度，给出分布图形，分析了材料参数对温度 s 宁夏人学硕l 学位论文 第帝绪论 分布的影响 第三章讨论了带孔洞的功能梯度物体的热传导问题采用多项式热传导率进行变量代换将 功能梯度热传导微分方程转化为拉普拉斯方程，利用线性边界元法对伽辽金边界积分方程进行 离散得线性方程组进行求解，最后得出薄板内部点的温度，给出分布图形，分析了材料参数对温度 分布的影响 6 三星奎茎矍：茎些耋耋誓；茎壁璧茎星量塞蝥堡! 塑星 2 1 引言 第二章功能梯度薄板热传导问题 研究功能梯度材料的热传导问题有长远的意义对于功能括度材料来讲，它显一种非均匀 材料，传统的边界元法只适崩于均匀材料中的各种问题，对于非均匀材料我们很难得到其基本解， 虽然税们可以把积分区域划分成很多小区域来求解，即子域法，但是，边界元法降维这个根好的优 点就消失了对于功能梯度材料的热传导问题的研究，已有很多方法比如子域法，三相边界元法 ”“等，但是这两种方法计算过程复泉，容易出现错误，误差也容易增大因此，需要更先进的方法米 进行研究 本文采用一种简单边界元法利州变换把功能梯度材料热传导方程转化为均匀材料中的热 传导方程，直接利用均匀材料热传导理论沫土生行求解，分析了材料参数对温度场的影响，大大简化 了问题 2 2 第一种问题的提出 现研究一边长为口的方形功能梯度薄扳，在热载荷作用f 扳内的温度分布功能梯度板的热 传导率为女o ，y ) = k o ( k + ) 2 扯：+ 母y ，其中k kk ，为常数，口，卢为材料参数 边界条件：_ o u = o d m 30 “k ，y ) = 生一 a o + 口j j + d 2 ，+ 4 ，x y 如剖所示 l ，l l 宁夏大学硕 j 学位论文第：二章功能梯度薄板热传导问题 2 2 1 功能梯度材料二维静态热传导方程 功能梯度材料二二维静态热传导方程为： v 酝g ，y 妒m ) = o 其中u 是域内某点处的温度，尼g ，夕) 是热传导率 边界条件为： “= u 变量代换： g ：一忌仗y ) 掣：石 d 令y g ，夕) = j 砑g ，y ) 代入( 2 2 1 ) 式得： 或： 其中 则边界条件变为： v 2 1 v k 4 矿v k 一罢卜 v 2 v + k b ，少户= o 七，：一v k - v k 一堕 4 是22 七 r 2 ，r 4 r l ，r 3 矿= f k u = v r 2 ， 业o n = = 去芸矿一去= 7 r l ，f 3一= ，= 一矿一= ， j i ， 。 2 尼锄 尼 。 我们取 尼k y ) = 瓴+ 锨) 2 ( k 2 + 缈) 2 则( 2 2 2 ) 式可化为拉普拉斯方程： v 2 y = 0 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 从( 2 2 3 ) 式我们可以看出功能梯度材料热传导方程已转化为均匀材料中的热传导方程，因此，我 们可以利用均匀材料解热传导方程的方法米进行求解 卜面我们引入伽辽金边界积分方程： y o ) + 王( 三g ( 尸，q ) 户 p 9 = 上g q ) 詈 ) 坦 ( 2 2 4 ) 其中g ( 只q ) 是基本解p 是源点，9 是场点，y ( q ) 是q 点的温度 8 宁夏大学硕l j 学位论文第二市功能梯度薄板热传导问题 曼曼曼皇曼曼曼曼! 皇曼曼曼曼i m m, mm m _ 二 m lmm m 二维问题的基本解为： 其中，是p 点到q 点的距离 g q ) = 去l n 砑i o g ( p ，o ) 一- i o r ( p , 一q ) i g n 2 【尸q ) i g n 2 2 2 拉普拉斯问题的边界元解法 拉普拉斯问题： fv 2 矿= 0q p = yr 2 ，r 4 ( 2 2 5 ) l 厂= 厂 r i ，r 3 我们采用常数单元，将边界离散为，1 个单元，在每一个单元上y 和f 为常值且等于单元中结 点处的值 则对于边界上给定的点q ，得边界积分方程( 2 2 4 ) 的离散形式： 三y ) + 窆j = l y 包沙( p ，o ) a 0 2 喜厂包) g ( p ，o ) d o ( 2 2 6 ) 其中。：o g _ ( _ p , q ) ，y ( q ) 表示荷载作h j 点q 处的势值，结点q f 为第f 个单元的中点 对于每一个结点q 都可以写出方程( 2 2 6 ) ，从而可以得到线性方程组 扣喜y ，f 厂坦5 喜乃倒q 亿2 刀 可2 厂坦，m j = g 坦 毛+ 醌- - e m 扩乃 ，- l，= i 其中 岭最 9 i 母j z2 j 宁夏人学硕 学f i 7 ：论文第二章功能梯度薄板热传导问题 h l n h 。+ 仨墨 2 k ：。捌 再考虑到在r 2 ，r 4 上有y = ，在r 】，r 3 上有厂= 7 由以上线性方程组可求出r 2 ，r 4 上的厂和 ：y g ) = f g d q f 矿坦 = ，f j f j g d q 一喜e 坦 = 喜( p 一喜( 厂d q ) v s 亿2 渤 l l t 式( 2 2 8 ) 中的乃，o 均为边界上的已知量，p 坦，p 坦可以计算出，则上式有解( 注意此式 中的f g 坦，少坦可与前面的不同) 以下计算，f 地，p + 坦的值 瓦2 厂坦 = 9 由丁当：0 ，则： o n 所以 以一f 计算m 取变换，= 圭孝 m n 2 睁q 1 0 1，j 咋； 。，l ，j 1 2 l 一2 + 一硼一一；酝 一h p，。l 幻 甜一锄塑办 1 2 = = i i 可 如 = 去- n = 上7 l n 古吾蟛 2 ， ：上c l n 2 d 善 2 j r 七 1 4 = 舟刊 2 万l z j 再考虑非对角线元素h f ，m f h 妒= 可= 厂坦= l 工j 石o g 丽& 坦 = 昙( 去n ! r j 堡s n 坦， 2 f j 一瓦1 i 1 c o s 啪 廿去等 h ，是第f 个结点到第_ ，单元的距离，勺是第f 个结点与单元上任一点的距离 而： = k 一一) c o s + ( y f y , ) s i n f l - - ( x ；一x , ) c o s ( n ，工) + k y i ) s i n ( n ，工) c o s k 班丽褊 s i n 衅丽热 进而： 而： 铲号毫 呤f 爿舡 丁星人芋坝r 罕倪伦叉 身 一币明日e 饼；腰7 孽取热传岢i 【l j 谜 = 舢n 坦 这两个积分h f ，m 口可利用高斯积分求出取四点高斯，则： 驴一鲁乱剥 牛去* 卉卜 至此已经计算出了全部的h ，m i 的值，经过解线性方程组： 【h 桫 = 泓k 厂) 可以解出边界上所有的l ，f 的值 下面求域内任意点处y ) 的值，利用解出的边界上的y ，f 的值，则： y g ) = 工声坦一f 矿+ 坦 2 ：g e e 一喜坦 。喜( f 伽p 一喜( 砌) y ， ：n m i f j hi v j 其中的h 驴，m 中的厂是域内点孝与各单元上任一点的距离，与前面不同 因此，原问题域内任意点孝处的势值“g ) 为： 蚓= 潞 2 2 3 数值算例和结果讨论 取边界条件： 磊o u = o r i ，f 3 “= 0 1 2 r 2 ：墨銮：薯吉：箸兰吝要三茎2 鐾塞耋兰誓鎏箜：垦星 热传导率 ”g ，y ) = i 3 面0 0 r 4 k ，) = o + 鳓2 将边界分为4 2 0 = 8 0 个单元，在内部取9 9 = 8 1 个内部点 圈，一_ ：与参数b - i 时功能梯度镕板谧度n 布 圈i o ：# 参数肛2 时功能梯度簿扳的沮度分布 宁夏大学硕l ：学位论文第二章功能梯度薄板热传导问题 夕 l - 2 巴 e 旦 x a x i s t i e 图1 3 从图1 3 可以看出随着参数的增大温度下降的速度加快，功能梯度材料能够有效地达到抗 热效果，它是在高温环境下最有应用前景的新型耐热复合材料，冈此，研究功能梯度材料的热传导 问题有实际而k 远的意义 从问题的求解过程可以看出，用简单边界元法来求解功能梯度材料中的热传导问题过程简 单，计算量少，吻合性也好，大人简化了问题冈此，简单边界元法具有很好的应川前景 2 3 第二种问题的提出 同样研究一边k 为a 的方形功能梯度薄板在热载荷作用下板内的温度分布但功能梯度板 的热传导率为尼( x ，y ) = k 。g 。p “+ a 2 e - a x ) 2 瓴p + b 2 e - 吖，其中k o , 口! , a 2 , b l ，6 2 为常数，口， 为材料参数 边界条件： 丝：o a n u = 0 “= 嘉 1 4 r l ，r 3 r 2 r 4 ：l ：鳖! 二12 1 1 l ：i i 篮登 如阁所示： 231 功能梯度材料二维静态热传导方程 功能梯度材科二维静态热传导万程为： v 取g ，y 妒”) = o 其中 是域内某一点姓的温度，t k y ) 是热传导率 边界条什为： “= i r 2 ，r | g ：一 k y ) 掣：qf ，t 伽 变鼙代换： v b ，y ) = 4 y ：t k ( x ，y ) 代入f 23 1 ) 式得 其中 则边界条件变为： 咖+ v k v kv 2 k 4 k 22 k v 2 v + k 7 b ，p ；0 一v k - v k 堕 4 k 2 2 女 户 p = “= y 业o n 小去争去= 7。2 i 钿以。 1 5 l ，r ，l 口 f f f t 宁夏大学硕 ：学位论文第二：章功能锑度薄板热传导问题 我们取 七k y ) = k 0 ( a i e 疵+ a 2 e - a 。) 2 ( 6 1 p + 也p 一) z 则( 2 3 2 ) 式可化为赫姆霍兹( h e l r n h o l t z ) 方程： v 2 矿一2 y = 0( 2 3 3 ) 从( 2 3 3 ) 式我们可以看出功能梯度材料热传导方程已转化为均匀材料中的热传导方程，因此，我 们可以利用均匀材料解热传导方程的方法来进行求解 下面我q q l a 赫姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程的伽辽金边界积分方程： y ) + f ( 未g ( 尸q ) ) 固) 坦= 王g ( 尸 q ) 笔( q ) 坦 ( 2 a 4 ) 其中g 以q ) 是基本解p 是源点，q 是场点，y ( q ) 是q 点的温度 二维问题的基本解为： 其中r 是p 点到q 点的距离 g q ) = 去足。协) ( 2 3 5 ) a g ( 尸，q ) a g ( p ，q ) a r ( p ，q ) 一= 一 锄a r锄 2 3 2 赫姆霍兹问题的边界元解法 赫姆程兹问题： l v 2 v 一2 y = 0 q y=y r 2 ，r 4 ( 2 3 6 ) l = r l ，r 3 我们采用常数单元，将边界离散为力个单元，在每一个单元上y 和f 为常值且等于单元中结 点处的值 则对于边# 1 - 给定的点q ，得边界积分方程( 2 3 4 ) 的离散形式： 三y ) + 窆j = le y 包沙+ ( 只q 抛2 芸f 妨) g ( 只q p 9 ( 2 3 7 ) 其中厂：a g _ ( - p , q ) ，y 娩) 表示荷载作用点q i 处的势值，结点q 为第f 个单元的中点 对于每一个结点q 都可以写出方程( 2 3 7 ) ，从而可以得到线性方程组 扣蔷ny ，厂坦2 芸 亿3 固 1 6 宁夏大学硕卜学位论文第二帝功能梯度薄板热传导问题 m l _ ； 一一_ li i； i _ 一l w i _ ；一- - 一 ；- ；- - ! 曼曼曼曼曼皇曼皇曼寰曼曼舅曼鼍 可2 厂d q ，m 扩= 其中 写成矩阵形式： 去咋+ 觋= 略乃 厶 ，= i y = l 肾恳 l - 2 i j l2 j 。 ( + 丢 二 瑚 e 再考虑到在r 2 ，r 4 上有矿= y ，在，r 3 上有f = f 由以上线性方程组可求出疋，r 4 上的厂和 r 1 ，r 3 上的y 至此，全部边界上的y ，f 已知现在求域内任意一点善处的i ，值 y = f 艘一f 矿+ d q 2 喜f 乃g 坦一言坦 = 芸( p 一言( f 砌) 。 ( 2 3 9 ) 此式( 2 3 9 ) 中的乃，o 均为边界上的已知量，f 迎，p + d q 可以计算出，则上式有解( 注意此式 中的r g 坦，p + 坦可与前面的不同) 以下计算，j ( 地，少坦的值 系数矩阵h ，m 的元素计算首先考虑对角元素h ，m “的计算 瓦= d q = 和 1 7 +；一一一；瓦 一h ，。l 宁夏人学硕仁学位论文第二帝功能梯度薄扳热传导问题 由于娶= 0 ，则： 砌 所以 因为： = f j o g o r 坦 h 甜= 0 h 玎= 三1 k 。g ) = j c o 焉出 g 0 ) 厂嚣出毛e 嚣出 嚆疵粤 南 = 时睁割 取上述结果的实部可得：k 。g ) = 三p 吖 g q ) = 去k 。协) = 1 彦 o a ( e , e ) ：箜! ! ! 望! 塑! 堡垒! ：一曼p 一炒鱼 o no ro n4o n 以下计算m 。，取变换，= 兰孝 m n2l j g d q = 了1p 堆坦 4 玉i = 与譬e 嘞西 = 一l p f l r ，) 由 一- 丹p 等) 再考虑1 f 对角线元素h 扩，m 口 h 扩= 可= 厂坦= f o g o r - 坦 = 一分嘉坦 一鲁驴劈c o s 啦 一铷嘞等必 丁瑟人午坝r ：竽1 1 ，圮义 粥一早切n e 例；赝搏暇热1 岢叫谜 吩是第f 个结点到第j 单元的距离 而： = k x , ) c o s p + ( y f y ，) s i n f l = k 一五) c o s g ，z ) + 一只) s i n