（应用数学专业论文）区间数不确定多属性决策方法研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第t 页 m i m m 鼍 摘要 多属性决策，又称有限方案多目标决策，是现代决策科学的重要分支，其理 论与方法在经济、管理、工程和军事等诸多领域都有着广泛的应用。在理论研究 方面，多属性决策自从其诞生以来就一直是学术界关注的重点课题。近年来，不 确定多属性决策引起了学术界的广泛关注。区间数多属性决策问题就是其中一类 不确定多属性决策问题。由于决策者经常要面临复杂的事物、不确定的环境或者 由于人的思维的模糊性，决策者常常不能或难以给出决策信息的确定数值，而是 以区间数来表示属性的特征，这使得区间数多属性决策问题引起了学术界极大的 关注。因此研究区间数多属性决策问题具有重要的理论意义和应用价值。 本文主要是对决策信息以区间数形式给出的多属性决策方法的有关理论进 行了分析和研究，具体的工作概括如下： ( 1 ) 简述了区间数多属性决策问题的研究现状，分析了现有决策方法存在的 问题及对其进一步研究的必要性，从而确定本文的主要研究内容。 ( 2 ) 分析了以往的区间数大小比较方法，提出了一种区间数比较方法，在决 策矩阵规范化方面，给出了新的规范化方法，并在此基础上，建立了多个区间数 排序的方法。 ( 3 ) 使用本文的方法，解决了一个工程实例的问题，验证了本文方法的有效 性。 关键词：区间数，不确定多属性决策，排序，决策矩阵 西南交通大学硕士研究生学位论文第t 1 页 皇曼曼皇量皇曼鼍曼曼皇曼皇曼! 曼皇曼曼蔓曼曼曼皇曼! 曼曼鼍鼍曼曼皇曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼蔓皇鼍皇! 皇曼曼曼皇曼曼皇皇皇曼曼曼曼l ：i 皇曼曼曼蔓 a bs t r a c t m u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g ，a l s oc a l l e dl i m i t e dp r o g r a mo fm u l t i o b j e c t i v e d e c i s i o nm a k i n g 。i sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e md e c i s i o ns c i e n c e w i t hi t st h e o r y a n dm e t h o dw i d e l yu s e di ne c o n o m i c s ，m a n a g e m e n t ，e n g i n e e r i n g ，m i l i t a r ya n dm a n y o t h e rf i e l d s i nt h et h e o r e t i c a lr e s e a r c h ，m u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gh a sb e e nt h e r e s e a r c ht o p i ci na c a d e m i cc i r c l e ss i n c ei t si n c e p t i o n h o w e v e r , i nr e c e n ty e a r s ， u n c e r t a i nm u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o n m a k i n g a t t r a c t sm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n m u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n go fi n t e r v a ln u m b e r si so n eo fac l a s so fu n c e r t a i n m u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gp r o b l e m s a st h ed e c i s i o n m a k e r so f t e nh a v et of a c e c o m p l e xt h i n g s ，u n c e r t a i ne n v i r o n m e n to rb e c a u s eo ft h ea m b i g u i t yo fh u m a nt h o u g h t ， i ti su a u a l l yi m p o s s i b l eo rd i f f i c u l tf o rt h e mt op r o v i d et h ea 衔r m a t o r yv a l u eo f d e c i s i o n - m a k i n gi n f o r m a t i o n h o w e v e r , t h e yc h o o s et ou e si n t e r v a ln u m b e r st o r e p r e s e n tt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ea t t r i b u t e ，w h i c hm a k e sm u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o n m a k i n gp r o b l e mo fi n t e r v a ln u m b e r sh a v ea r o u s e dg r e a tc o n c e mi na c a d e m i cc i r c l e s t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho fm u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gp r o b l e mo fi n t e r v a l n u m b e r sh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o nv a l u e t m s t h e s i s m a i n l yi n t e n d s t o a n y l i z e a n ds t u d yt h er e l e v a n tt h e o r i e sa b o u th o w d e c i s i o n - m a k i n gi n f o r m a t i o np r o v i d e sm u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gm e t h o d si nt h e f o r mo fi n t e r v a ln u m b e r s c o n c r e t ew o r ka r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) b yd e s c r i b i n gb r i e f l yt h ec u r r e n tr e s e a r c h o nm u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o n m a k i n gp r o b l e mo fi n t e r v a ln u m b e r sa n da n a l y z i n gt h ec u r r e n tp r o b l e m se x i s t e di n d e c i s i o n m a k i n gm e t h o d sa n dt h en e e df o rf u r t h e rr e s e a r c ho nt h e m ，t h ew r i t e ri s f i n a l l ya b l et od e t e r m i n et h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i s ( 2 ) b ya n a l y z i n gt h ep a s tm e t h o d so fc o m p a r i s o nb e t w e e ni n t e r v a ln u m b e r s ，t h e w r i t e rp r 0 1 9 0 s c sar e l a t i v e l yn e wo n e i ns t a n d a r d i z a t i o no fd e c i s i o n m a k i n gm a t r i x 。a n e wm e t h o di sa l s op r o p o s e da n dm e t h o df o rs o r t i n go fm o r ei n t e r v a ln u m b e r si s e s t a b l i s h e do ni t sb a s i s ( 3 ) b yu s i n gt h o s en e wm e t h o d sp r o p o s e da b o v e ，t h ew r i t e rh a ss u c c e s s f u l l y s o l v e da np r o j e c tp r o b l e ma n dv e r i f i e dt h ev a l i d i t yo ft h o s em e t h o d sa tt h es a m et i m e k e yw o r d s ：i n t e r v a ln u m b e r s ；u n c e r t a i nm u l t i - a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g ；p r i o r i t y ； d e c i s i o nm a t r i x 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密面，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“矿) 学位论文作者签名：参政文 曰期：o o 、石、o r_，1 ， m p z 沙 f j r v 。 霉 名 期 签 日 师老导指 西南交通大学硕士学位论文主要工作( 贡献) 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下： ( 1 ) 在已有的区间数排序方法基础之上，给出了新的区间数大小比较的方法，并 且给出了新方法的性质及其证明。 ( 2 ) 在已有的决策矩阵规范化的基础之上，提出了新的决策矩阵规范化的方法， 针对本文的排序方法给出了排序向量的新的形式。 ( 3 ) 分析了某个实际工程问题，并用新方法解决了这个问题。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所得的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明。 本人完全了解违反上述声明所引起的一切法律责任将由本人承担。 学位论文作者签名： 爹改之 日期：2o lo 、0 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 i i_i =：i- 寞 第1 章绪论 决策是指考虑策略( 办法) 来解决目前或未来问题的一种活动。决策是人类的基本活 动之一，是人们在政治、经济、技术和日常生活中普遍存在的一种选择方案的方式， 是管理中常常发生的一种活动。在实际决策中，由于决策问题的复杂性，存在着大量 的不确定性决策问题，这种问题的决策变量一般用区间数等不确定信息模式来表示， 并且需要集结群体专家的偏好来减少决策中的不合理因素。区间数不确定多属性决策 问题的方法，比较符合人类思维的模糊性和不确定性，比较合适处理现代社会中的复 杂性决策问题，所以值得做深入的研究。 本章首先提出本文研究的对象：区间数多属性决策，继而介绍了基于区间数的不 确定多属性决策问题发展的背景、现状以及本文的主要研究成果。 1 1 多属性决策问题的研究背景及发展现状 多属性决策( 又称有限方案多目标决策) 是现代决策科学的重要分支，其理论方法在 经济、管理、工程和日常生活等诸多领域都有着广泛的应用，诸如投资方案评级选择、 人力资源绩效评估、工厂选址、经济效益综合评价等。 多属性决策问题的研究真正有代表性的成果出现在2 0 世纪7 0 年代和8 0 年代。经 典的多属性决策问题是决策信息均以实数的形式给出，基于经典多属性决策理论和方 法的研究已经非常多。但是，在许多决策环境下，由于客观情况的复杂多变性以及主 观思维的不确定性等等常常使人们不能对决策信息给出具体的数值，而是给出一些不 确定的数，常见的以模糊数、区间数、语言数、直觉模糊数和区间直觉模糊数的形式 给出。通常称这种带有不确定信息的多属性决策称为不确定多属性决策。本文主要研 究的就是区间数不确定多属性决策。 目前，关于不确定多属性决策的研究已经取得了丰硕的成果，文献【2 引入极大区 间数的概念，借助区间数距离公式给出了区间数比较的一个相对优势度的公式，并给出 了区间数排序的一个简洁算法；文献 4 2 研究了对方案有偏好的决策问题，提出了一种 既能充分利用规范化评价的先验信息，又尽可能满足决策者主观愿望的多属性决策法； 文献 1 1 根据模糊数学的原理，给出了一种区间数排序的方法，并引入了可信度的概念； 文献 5 定义了一个新的可能度公式，并基于这个可能度公式，给出了区间数排序的方 法。虽然已经有非常多的学者对其进行了研究，并且取得了很好的成果，但是仍然存 在许多问题需要解决，特别是区间数不确定多属性决策。区间数不确定多属性决策无 论在理论研究还是方法的应用方面，目前都还不是很成熟，尤其是有关区间数不确定 决策信息的理论研究还有待于进一步完善。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 1 2 本文研究的意义 实际生活当中，由于人类思维的不确定性，人们对于决策信息常常不能以具体的 数值给出而是用区间数的形式来描述，以使得对决策者的行为刻画更加符合现实状况。 区间数不确定多属性决策是多属性决策的一个非常重要的组成部分，对它的研究具有 重要的实际意义。在理论上，综合运用运筹学、优化技术、管理科学等多个学科的知 识，对于区间数不确定多属性决策的理论和方法进行系统研究，丰富和完善不确定多 属性决策理论与方法，有着较高的学术价值；在实际生活中的应用上，这些方法在经 济管理、系统科学等领域都有着极其广泛的应用前景。 1 3 本文的主要工作及论文结构 本文的主要工作是基于区间数研究不确定多属性决策方法。简要分析了现有的几 种区间数排序方法，根据已有的几种区间数决策方法，给出了一种新的区间数大小比 较的改进方法，为了对给出的新的区间数比较方法应用到多个区间数大小比较中去， 又给出了排序向量的一种新形式，并给出了具体的排序步骤。在决策矩阵的规范化方 法上，给出了最大值变换法，并对比了此方法与极值变换法之间的优劣。在本文的最 后，给出了具体的应用实例，验证了本方法的在现实生活中的实用性。 本文的主要结构如下： 第l 章绪论。介绍了论文选题的背景和意义、不确定多属性决策的背景和 发展、区间数不确定多属性决策研究的意义和本文的主要工作。 第2 章区间数排序。介绍了区间数的发展史、区间数的定义以及区间数的运算， 分析了几种典型的区间数大小比较方法。 第3 章区间数不确定多属性决策方法。首先给出了区间数大小比较的新方法，继 而介绍了决策矩阵的规范化方法并在原有的方法基础之上提出了新的规范化方法，针 对本文的排序，给出了排序向量的新的形式，随后提出了区间数不确定多属性决策排 序模型和排序方法。 第4 章用实例论证了该模型的有效性。 第5 章结论与展望。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 暑曼蔓舅曼曼曼皇曼曼曼皇曼曼曼曼鼍曼曼曼鼍曼! 曼曼寰詈曼曼曼皇鼍i i ii ；i；_ 一i i ii 璺 第2 章区间数排序 2 1 简介 本节主要介绍文章的后续研究所要用到的准备知识。区间数多属性决策，首先涉 及到的就是区间数排序问题，本章主要介绍的就是区间数排序。本章首先介绍了区间 数的发展史，进而介绍了区间数的定义及其运算，列举了几种已有的区间数排序方法， 并分析了各种方法的优点和缺点。为本文进一步研究区间数不确定多属性决策方法奠 定了理论和实践基础。第二节给出了本文对区间数的定义，并在第三节给出了区间数 的运算关系。区间数不确定多属性决策中，每个方案的综合评价值通常是区间数，要 对各选方案择优就必须对区间数综合评价值进行排序，因此许多专家学者对这个问题 进行了研究，吴江对此问题进行了综述 2 7 ，但是只是对部分方法进行了简单的罗列和 简要的评述，而且之后又有新的排序方法被提出，因此在第四节重新对排序方法进行 了简单的探讨，并且揭示了所列排序方法之间的联系，最后提出了一种新的区间数排 序方法。 最早的有关区间数的记载，是关于阿基米德测乃的故事。对于一个半径为1 的圆， 有内接正刀边形和外切正甩边形，那么阿基米德用这个内接正刀边形的面积作为圆面积 的下限，而外切正甩边形的面积作为圆面积的上限，这样就得到了圆面积即万的区间数。 随着疗的变大，区间数的下限逐渐上升，区间数的上限逐渐下降。对于足够大的丹，区 间数的宽度就会足够小，最后就得到一个包含万的足够小的区间数，这样就得到了疗的 近似值。 在区间数的发展史上，最为重要的文献应该是日本学者t e r u os u n a g a 的论文 2 2 】。 该文提出了初等代数的区间运算法则，并给出了一个基本定理：定义在区间上的传统 函数的取值范围的确定，可以仅仅用区间端点通过区间运算来实现! 这是一个非常重 要的定理，为区间数的发展提供了不小的推动力! 该文还提出了区间向量及其相应的 运算法则。 2 2 定义 定义2 2 1e 2 1 设尺为实数域，称闭区间旷，口+ 为区间数，记作五，其中a - , a + er ，口。口+ ， 全体区间数的集合记为，。若口一 0 ，称区间数a = 【口一，口+ 为正区间数，正区间数的集合 记为，+ ；若口+ 【1 ，1 0 0 ，决策的不确定性比较大，这是由于它不满足反对称性 所引起的。 方法2 【6 j 基于悲观准则的排序方法 a 6 口一s b ，五= 5 当且仅当口+ = b + 。 采用此排序方法的决策者悲观观心态或谨慎心态。 这种方法的优缺点与方法l 相同。 方法3 【6 j 基于h u r w i c z 准则的排序方法 j r ( a ) 日( 6 ) 铮五占，日( 厅) = 日( 占) 当且仅当石= 5 ； 其中日( 厅) = ( 1 一五) 口一+ 知+ ，( 旯 o ，1 】) 。 五表示决策者乐观程度的乐观系数。h u r w i c z 准则是介于乐观和悲观之间的一种判 别区间数大小的准则，越乐观五就越接近于1 ；越悲观2 越接近于0 、特别地，当名= 0 5 ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 表明决策者持温和心态或中庸心态。这种方法缺点在于不满足反对称性，即当a 占且 占丘时，未必有五= 占( 即口。= b - , a + = 6 + ) 。但是这种方法需要评价决策者的心态，进而 增加了决策的不确定性，所以对于多人给出的区间数进行排序时，由于每个人的心态 可能不相同，所以此方法对多人给出的区间数进行排序比较困难。 2 4 2 基于极大区间数的区间数排序方法 基于极大区间数的排序方法是现阶段应用比较多的方法之一，此方法首先找出一 个极大区间数，通过比较给出的任意区间数与这个极大区间数的距离，来区分给出的 区间数的大小。这里列举其中一种排序方法，并分析这种方法的优点和不足之处。 定义2 4 1 【2 j 设厅，6 是两个任意的区间数，称府= 瞰一，m + 是区间数石，占的极大区间 数，其中， m + = m a x d + , b + ) ，m 一= m a ) ( “口+ ，6 + ，a - , b 一) 一 m + 定义2 4 2 t 2 】称占 占的优势度为 只 5 ) ：髦l 坠丝l = d ( 五，m ) + d ( 6 ，m ) 其中d ( 占，占) ：、降二二尘蔓掣兰! ，为石，6 两区间数之间的距离。 iz 如果是多个区间数进行比较，为了使得区间数之间具有可比性，这时需要找所有 进行比较的区间数的极大区间数。 定义2 4 3 【6 】设每= 口，f 】( f - 1 ，2 ，万) 为甩个区间数，称m = ，m + 是i i ，的极大区间， 其中， m + = m x 酊，口2 4 - ，口：) ，m 一= m a x “矸，吒4 - ，口：，町，口；，：) 一 m + ) ) 设对露个区间数缉= 口，矿】( 扛1 , 2 ，z ) ( n 2 ) 进行排序，根据相对优势度的定义对区 间数两两比较，得到一个优势度矩阵 p = 0 5 p 1 2 p 2 1 0 5 p _ 1 以2 p l n p 2 n 0 5 其中磊= 是芬 五，) 。 计算出优势度矩阵p 的排序向量v = ( v 1 ，v 2 ，k ) 7 ，其中v = 7 l ，根据 ( 1 p i ，) 一以 ，i 1 v o = 1 ，2 ，露) 的大小对区间数磊，乏，露从大到小排序。 这种方法，满足传递性，优点在于可以区分中点相同的两个区间数的大小，但是 也存在点不足，不足之处可在下面的算例分析当中看到。 算例分析： 例1 对两个区间数西= 3 ，7 】，占= 4 ，6 】进行排序。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 解：极大区间数麝= 【6 ，7 】，昱( a 面= 瓦毛= 焘 a 占! 分析以上两个例子不难发现，对于相同的两个区间数，例1 中占 存，而在例2 中 厅 61 这就出现问题了，到底是石大还是6 大? 对于中心相同的两个区间数的大小，用 同一种方法在不同的时候，大小不一定! 这是这种方法的一个不足之处。 2 4 3 基于区间长度的区间数排序方法 下面介绍几种常见的可能度的定义。 定义2 4 4 【5 1 设丘 - - a - ，a + ，6 = 6 一，b + ，i g l ( a ) - - a + 一a - , ，( 占) = 6 + 一b 一，贝0 称 p(a61：一rainl(a)+l(b),maxa+-b-,o ，( 冱) + z ( 6 ) 为a b 的可能度。 在可能度的定义中，还存在着另外一种比较常用的可能度的定义，定义如下。 定义2 4 5 t 5 1 设丘= 口一，a + ，6 = 6 一，b + 】，记，( 丘) = 口+ 一a - ) ，( 6 ) = 6 + 一b 一，贝0 称 跗瘌= 一 一一 蒜) ，o ， 为丘b 的可能度。 这种方法的优缺点将在2 4 5 小节当中讨论到。 如果对于两个区间数的大小比较，只需要比较可能度p ( a 6 ) 的大小就可以；而对 于多个区间数进行排序时，相比较复杂一些，在排序前，需要对区间数两两进行比较， 建立模糊互补矩阵，模糊互补矩阵定义如下。 定义2 4 6 1 8 1 设矩阵彳= ( ) 舣。若o 1 ，+ = 1 ( f ，_ ，) ，则称彳是模糊互补 矩阵。 排序方法： 对万个区间数每，f i 2 ，厅。排序，首先建立区间数两两比较的可能度矩阵，即： 0 5 p 1 2 p 2 l 0 5 以1p 2 a 。 p 2 0 5 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 _i 其中，既表示磊 t 的可能度。对可能度矩阵尸按行求和：= 毫艮，f = l 2 “，z ，求 得排序向量尺= 酝，吃，) 7 ，按照足= 瓴，吩，) ，中各个分量的大小排序，即可得到相应 区间数的排序。 2 4 4 基于排序函数的区间数排序方法 下面介绍一种可信度的定义。 定义2 4 7 【1 1 】对于五= 一，口+ 】，称正( x ) = a 一+ ( 口+ 一口一) 工，( 0 x 1 ) 为区间数排序函 数。 定义2 4 8 t 1 1 1 对于五- a - ，口+ 】，6 = 【易。，b + ，( o x 1 ) ，若厶( x ) 云；若厶( 工) = 五( x ) ，则称 丘等于6 ，记为a = 艿。 定义2 4 9 设集合 x 1 五( 力 五( z ) ) 非空，则令= i n f x la ( x ) f s c x ) ) ，称 口= 1 一毛为丘大于6 或a 不小于占的可信度； 显然o 口1 ，当口：l ( j c o = o ) 时，丘 6 完全可信，当a = o ( x o = 1 ) 时，石 5 完全不可信。 此方法具有一下几个性质： 性质2 4 1 - 石= b 铮a 一= b 一且a + = b + ； 也就是两个区间数相等，当且仅当两个区间数的端点分别相等。 证明：”仁” 若a 一= 6 一且a + = b + 则： l ( x ) = 口一+ ( 口+ 一a - ) x = 6 一十( 6 + - b 一) x = 厶( x ) ，( o xs1 ) 所以有厅= 后； ：” a ：6 ，由定义2 4 。8 有： 五( z ) = a 一+ ( 口+ - a 一) z = 6 一+ ( 6 + - b 一) x = 五( x ) ，( o z 1 ) 也就是 a 一一b 一+ ( 口+ - b + 一口一十6 一) x = 0 于是有a 一= 6 一且a + = b + 。 优点是容易操作，且两个区间数比较，中点大的区间数可信度大。缺点就是对于 中点相同的两个区间数比较时，可信度是0 5 ，也就是分辨不出中点相同的两个区间数 的大小。 2 4 5 以上四种区间数排序方法的特点 以上四种区间数大小比较方法具有下面几个性质： 性质2 4 3 定义中可能度或相对优势度或可信度满足： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 0 p ( 五b ) 1 ，p o b ) + p ( 6 丘) = 1 区间数排序方法2 4 3 和2 4 4 还具有如下性质： 性质2 4 4 ：设a = 口一，口+ 】，占= 6 。，b + 】。当p ( 五艿) o 5 时， ；p ( 丘6 ) o 5 时，t n a m g ；尸( 五舌) = 0 5i t z j m , ：；= 。 证明：”j ” ( 1 ) 若 p ( a b 1 = 1 ， 即 z ( a ) + z ( 6 ) a + - b 一， 也就是： a + 一口一+ b 十- b 一a + 一b 一， 整理得： b + ， 22 即区间数中心 ( 2 ) 若0 5 p ( 矗b ) m l ； o 5 竺：二垒= = l ， ，( 丘) + ，( 6 ) 0 5 ； p ( a 6 ) = 0 5 ， 竺：二垒= ：= o 5 ， z ( 五) + z ( 6 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 也就是： 一：竺二垒：0 5 ， a 一a 。4 - b 1 一b 一 整理得： 即区间数中心 a + - 4 - a b + 4 - b 一 一= 一， 22 2 。 ”仁” ( 1 ) 若区间数中心聊a = m 5 即： 则有： 又因为： 故有： 若 则： 若： a + + a b + + b 一 一= = 一。 22 _ - 尘錾：0 5 ， a + 一a 一+ b + 一b 一 0 鱼笪a + 一6 一 矿一a 一， 一 一一d d 一， 22 矿一a 一0 ， m a x ( a + - b 一，0 = a + - b 一 a 一- b + 0 ， m i n l ( 5 ) + l ( b ) ，m a x a + - b 一，0 ) = ，( 丘) + ，( 6 ) ， m i n 1 ( 5 ) + l z ( b = ) _ , m _ a 疋x a + - b - , o 一 ：1 ：尸( 五6 ) ； z ( 石) 4 - z ( 6 ) 、。 b + 一a 一 0 ，a + 一b 一 b + 一a 一， 2 a + 一2 b 一 b + 一6 一+ 口+ 一a 一= t ( a ) + z ( 6 ) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 曼曼皇曼皇曼曼曼舅舅曼皇曼曼舅i：i 。 1 皇曼皇曼曼曼曼皇曼皇曼鼍曼曼曼曼曼曼曼曼曼舅曼曼曼鲁曼皇皇! 曼! 曼量曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼! 曼曼 p ( a 6 1 = 一min(fi)+(b),maxa+-b-,oo5。 z ( 丘) + z ( 6 ) 对于区间数排序方法2 4 3 和2 4 4 中的区间数大小比较方法存在不足为不能区分 中心相同的区间数之间的排序；而且小节2 4 3 的定义中还存在下面这个不足，比如： 丘= 4 ，6 1 ，b = 3 ，7 ，= 2 ，4 ，由定义2 4 4 可得p ( a b ) = 0 5 ，也就是a = b ；p ( a 6 ) = 1 ， 即石 6 ，且丘大于5 ；p ( b 5 ) = 形 m ，则丘 b ； 二、两个区间数厅，b 比较大小，如果m ；= m ：，若i ( a ) z ( 6 ) ，则左 0 ，称丘大于6 的相对优势度为： p ( a b 、= 对于计算出的两个相对优势度来区别给出的两个区间数的大小，根据下面定义给 出。 定义3 2 2 设a = 口一，口+ 】，6 = 6 一，矿】，如果p ( 石6 ) o 5 ，称丘大于6 ，记为石 舌； 如果尸( 石6 ) = o 5 ，称a 等于占，记为a = 6 ；如果p ( a 6 ) o 5 ，称五小于云，记为石 云。 为了证明接下来介绍到的相对优势度的性质，首先给出一下定理。 定理3 2 1 若0 a x y b ，且x + y = a + b ，口，b ，x ，少r ，则a b x y 。 证明：由0 n x 2 + v 2 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 又由x + y = a + b 两边平方得： a 2 + 2 a b + b 2 = x 2 + 2 x y + y 2 又因为 a 2 + b 2 x 2 + y 2 ， 所以有 a b x y 。 定理3 2 2 若a b x y 且x + y = a + b ，口，b ，x ，y r + ，a 6 ，工y 则0 a x y b 。 证明：因为 a ，b ，x ，y r + 所以，若a x ，由x + y = a + 6 得 y b ， 于是有 0 a b ， 也就是 0 x a b x y ， 与已知口b x y 矛盾! 综上有 0 a m l ；p ( 5 6 ) 0 5 5 ； m 6 p ( 5 6 ) 0 4 5 ； = 聊i 铮0 4 5 一， 22 a + - b 一 b + 一a 一， b + a 一， o 扣! ：二垒：一 0 5 5 ； ( 2 ) 若 b + a 一， 由性质3 2 1 ，p ( 5 占) + 尸( 6 石) = 1 和上面证明得， p ( 6 在) = 1 一p ( a 6 ) l 一0 5 5 = 0 4 5 ( 3 ) 当m d = m 6 时， p(a占1：045竺二竺_一车亨045p(56)5504 5-i-04 5p ( 505 5 。 6 1 = 二= 台亨 b ； 若 则 若 则 若 则 a + + a b + + b 一 一 一， 22 尸( 丘6 ) 0 5 5 ， a b ， 尸( 石b ) 0 5 ， p o b ) o 5 5 ， a + + a b + + 6 一 2 2 。 o 5 5 p ( a b ) 0 5 ， a + + a b + + b 一 一= 一o 2 2 推论3 2 2 当6 一 a 一 6 + 0 5 5 。 证明：b 一 a 一 0 5 5 。 性质3 2 3 五= 6 甘a 一= b 一且口+ ：b + ： 证明：”仁” 若a 一= b 一且a + = b + ，则由定义3 2 1 容易得 p ( 6 石) = 0 4 5 - + 。t 石忑2 0 5 所以丘= b 。 ”= ” 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 量量曼曼曼量蔓曼曼皇曼曼量皇皇曼量曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼皇! 鼍曼皇曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼量曼曼曼曼! 曼曼曼鼍i u n w- 皇曼皇曼 5 = 6 ，也就是 p ( a b ) = 0 5 0 4 5 ，0 。5 5 】， 即 尸( 石6 ) = 0 4 5 4 。了石忑 = o 5 a + + a b + + 6 一 j t 广 若存在a 一b 一或者a + b + ，则由定理3 2 1 容易得 p ( a 6 ) = o 4 5 + i 石i - o 5 所以 a 一= b 一且a + = b + 。 定义3 2 1 定义的相对优势度满足传递性。 性质3 2 45 占，6 5j 五 5 ；也就是满足传递性。 证明：由定理3 2 1 及性质3 2 2 ， 由 5 云 可得 跗溺一o 9 耐n 耥，1 o 甾铮半 半 或者 同理由 可得 或者 若 跗i ) = 0 4 5 - i ，丽夸而 o 5 且丁a + + a - = 半，f ( 砒聒) b 5 币硇一o 9 础 蒜，1 ) 0 彤铮半 竿 币狗= 0 4 5 4 。丽纂晶 o 5 且丁c + + c - = 半以永啦) 业 业 c + + c - 2 2 2 两个不等号不同时取等号，容易得 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 曼曼曼曼皇! 皇曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼i i i 曼曼曼! 曼曼曼皇曼曼曼曼曼蔓曼曼曼舅舅曼曼曼皇曼量曼蔓曼曼皇曼皇曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼蔓曼! 曼曼曼曼曼曼曼寡 石否： 若 a + + a b + + b c + + c 一 一= 一= 一 222 又因为 ，( 丘) 弓，但是对于5 和弓哪个大，并不能从这两个数据当中得出，所以在定义排序 向量的时候，不能使用对优势度矩阵的每行相加再除以优势度矩阵所有元素的总和。 这里给出了一个新的排序向量，目的就是克服相对优势度定义中的这个缺点，是的排 序结果更加合理。 设v - - ( v i , v 2 ，以) r ，其中v f = 1 ， f = l 且 里0 排序步骤： 2 p g + o 5 】 v i = l - 是优势度矩阵p 的排序向 。 n ( n + 1 、 。 s t e p l 根据定义3 3 2 的方法把给出的决策矩阵么= ( 毛) 进行规范化，然后使用( 1 ) 式和( 2 ) 式得出所有方案的综合评价值云，况，玩，f = 1 ，2 一，m ； s t e p 2 对所有综合评价值之= 布， ，i = 1 ，2 ，m ，进行两两比较，建立优势度矩阵 p = ( 岛) 脒。； 2 p o + o 5 s t e p 3 求出优势度矩阵尸的排序向量，= ( h ，吃，v n ) 2 ，其中m2 斋； s t e p 4 根据k o = 1 ，2 ，n ) 的大小对对应的区间数d l ，d z ，以从大到小排序，区间数 乏，之，之的大小顺序即为方案s 。，s 2 ，s 。的大小顺序。 当刀= 2 时，即两个区间数进行比较时，也就是第二章图2 - 1 所示的三种情况，很 容易验证： ( 1 ) 当日f 口； 口i 口；时，即m v 2 ，即4 4 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 4 页 ( 2 ) 当口i 口； 口；口j 时，若m l m 2 ，有m v 2 ， 即4 以。 ( 3 ) 口i 口? 口；口；时，有h 坞 h 屹， b c 彳 d 。 例5 对于中心相同的3 个区间数a 1 = 1 ，7 】，4 = 2 ，6 ，以= 3 ，5 进行排序。由排序步 f 0 5 0 4 8 70 4 8 2 1 p = 0 5 1 3 0 5 0 4 9 4 ， 1 0 5 1 8 0 5 0 6 0 5 l v = * 争 0 50 4 9 6 70 0 5 2 4 p = 10 5 0 3 3 0 5 0 。0 4 4 6l 0 9 4 7 60 9 5 5 40 5 l v = * 妒 单排深层搅拌桩防渗幕墙( 口1 ) ；( 2 ) 双排钻孔桩支护+ 单排深层搅拌桩防渗幕墙( 口2 ) ；( 3 ) i 【3 3 0 2 ，3 4 0 0 】 o 8 8 ，0 9 2 】【1 6 0 ，1 7 6 o 9 1 ，0 9 9 】【o 9 9 ，1 o 】 i 【2 8 2 0 ，2 8 5 4 】 o 9 9 ，1 0 】【1 8 2 ，1 8 4 o 8 4 ，o 8 6 】 o 8 9 ，0 9 1 】 i 【2 5 2 0 ，2 5 2 6 】【o 7 9 ，0 81 】 1 9 ，2 0 【o 9 9 ，1 0 】【o 9 3 ，o 9 7 l 2 2 2 8 ，2 2 5 0 【o 9 4 ，0 9 6 【1 8 8 ，1 9 0 】【0 8 8 ，0 9 2 1 【o 8 9 ，0 9 l 】 6 3 ，6 7 4 4 ，5 0 0 7 ，0 9 】 o 9 4 ，0 。9 6 】 0 9 ，1 。0 】【o 。9 4 ，0 9 6 】l 【5 5 ，6 5 】【2 5 ，2 7 】 0 6 ，0 8 】【o 8 2 ，0 8 8 】 o 8 2 ，0 8 8 】【o 7 8 ，0 8 2 】i 【6 0 ，8 0 】 2 8 ，3 0 】【0 8 8 ，0 9 2 【o 9 0 ，1 0 】 o 8 8 ，0 9 2 【o 9 0 ，1 0 3 8 ，4 2 】【3 2 ，3 6 】【o 9 9 ，1 0 o 7 8 ，0 8 2 【o 7 8 ，0 8 2 】【o