（应用数学专业论文）动态规划方法在带钢热连轧轧制规程优化中的应用.pdf

中文摘要 带钢板形板厚控制的理论模型及在线实践方案的研究是一个具有重大理论价值 和实际意义的课题。考虑到板形板厚协调控制的轧制规程的优化问题可看作为类 多阶段的决策问题。美国数学家r e b e l l m a n 提出的动态规划方法是解决这类问 题有效的方法之。 本文系统讨论了动态规划方法的理论及其在生产实践中的应用，并结合最优化 原理给出了一类多阶段决策问题的收敛性证明。本文还介绍了板形理论和板形控制 的发展及其研究现状，对解析板形刚度理论进行了系统的探讨。在解析板形刚度理 论所建立和完善的板形动态矢量模型的基础上，本文将该模型作为研究的理论基础， 解决了热连轧板形最佳轧制规程的静态设定问题，并提出了在初始轧制规程基础上 采用动态规划的方法进行动态调整的最优化数学模型。本文以国内某大型轧钢企业 为例，通过以压下量为决策变量的二维差分方程，结合m a t l a b7 o 科学计算语言， 采用动态规划方法调整了初始轧制规程，从而达到了板形板厚在线的可协调控制， 实现了采用工艺理论的方法提高板形控制水平的目的，具有重要的理论与实际应用 意义。 关键词：板带轧制；动态规划；动态矢量模型；轧制规程；板形板厚协调控制 a b s t r a c t s h a p e dp l a t et h i c k n e s sw i t ht h et h e o r e t i c a lm o d e lo fc o n t r o la n do n - l i n e s t u d yo ft h ep r a c t i c eo ft h ep r o g r a m i sa g r e a tt h e o r e t i c a lv a l u ea n dp r a c t i c a l s i g n i f i c a n c eo ft h es u b je c t t a k i n gi n t oa c c o u n tt h es h a p eo ft h er o ll i n g t h i c k n e s sc o o r d i n a t ec o n t r o lo ft h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mc a nb eap o i n to f o r d e ra sac l a s so fm u l t i s t a g ed e c i s i o n - m a k i n g a m e r i c a nm a t h e m a t i c i a n r e b e l l m a n p r o p o s e d m e t h o do fd y n a m i cp r o g r a m m i n gt os o l v et h e p r o b l e mo ft h i sk i n do fe f f e c t i v ew a y t h i sp a p e rd i s c u s s e st h em e t h o d so fd y n a m i cp r o g r a m m i n gt h e o r ya n d i t sp r a c t i c ei nt h ep r o d u c t i o no ft h ea p p l i c a t i o n c o m b i n e dw i t ht h ep r i n c i p l e o fo p t i m i z a t i o ni sg i v e nac l a s so fm u l t i - - s t a g ed e c i s i o n - - m a k i n gt op r o v et h e c o n v e r g e n c e t h i s a r t i c l ea l s od e s c r i b e st h e t h e o r y a n d s h a p et h e d e v e l o p m e n to fs h a p ec o n t r o la n dr e s e a r c ho nt h ea n a l y t i ct h e o r yo fs h a p e s t i f f n e s so ft h es y s t e m s t i f f n e s si nt h ea n a l y t i c a lt h e o r yo fs h a p eb yt h e e s t a b l i s h m e n ta n di m p r o v e m e n to ft h ed y n a m i cs h a p eo ft h ev e c t o rm o d e l ， b a s e do nt h em o d e lo ft h i sp a p e r , t h et h e o r e t i c a lb a s i sf o rr e s e a r c ht oa d d r e s s t h eh o tr o l l i n gm i l lt h eb e s ts h a p eo ft h es t a t i cs e tp o i n to fo r d e r , a n dt o p r o p o s er o l l i n gi nt h ei n i t i a lo r d e rb a s e do nt h eu s eo fd y n a m i cp r o g r a m m i n g m e t h o d st oo p t i m i z et h ed y n a m i ca d j u s t m e n to fm a t h e m a t i c a lm o d e l i nt h i s p a p e r , al a r g e m i l lb u s i n e s sf o r e x a m p l e ，t h r o u g h ar e d u c t i o no f t w o d i m e n s i o n a ld e c i s i o nv a r i a b l ef o rt h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，d y n a m i c p r o g r a m m i n gm e t h o d su s e dt oa d j u s tt h ei n i t i a lr o l l i n go r d e rt oa c h i e v et h e t h i c k n e s so ft h ep l a t e s h a p e dl i n eo fc o o r d i n a t e dc o n t r o lt oa c h i e v et h et h e o r y o fu s i n gt e c h n o l o g yt or a i s et h el e v e lo fs h a p ec o n t r o lp u r p o s e s ，o fg r e a t t h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n k e y w o r d s ：p l a t ea n ds t r i pr o l l i n g ：d y n a m i cp r o g r a m m i n g ：d y n a m i cv e c t o r m o d e l ；r o l l i n gp o i n to fo r d e r ：c o o r d i n a t i o na n dc o n t r o ls h a p et h i c k n e s i i i 符号说明 c 圩一出口板凸度( u m )t 一支撑辊的辊身长度( m m ) d 一支撑辊的辊颈处直径( m m )乒一平均单位压力( k n ) s ，一修正项考一板形干扰系数 f 一轧制温度( d e g r e ec )口一轧件板形刚度( n m m 2 ) 。一修正项 s 平直度( i ) e 一支撑辊的弹性模量( m p a ) g 一轧辊原始凸度( u m ) m 一轧机板形刚度( n m m 2 )k 一轧机横向刚度( n m m 2 ) k c 一辊缝刚度( n m m 2 )砬一支撑辊的辊身直径( 聊聊) p 一轧制压力( k n )c 一支撑辊颈身边缘至轴承中心线间的距离 b 来料板宽( m m )g 。一带材单位宽度上的轧制压力( k n ) f 一轧制接触面积办一压下量( m m ) 口一支撑辊轴承中心线之间的距离d l 一工作辊直径( m m ) g 一入口板凸度( u m )7 7 。一柔性系数 7 7 一板凸度遗传系数砬一支撑辊直径( m m ) c 一机械板凸度( u m )只，一工作辊弯辊力( k n ) v i l 办一板平均出口厚度( m m )一单位板宽塑性系数 日一板平均入口厚度( m m ) k 。一变形抗力( m p a ) r 一工作辊半径( m m )g 一支撑辊的剪切弹性模量( m p a ) 叩l 一黏性系数( m p a s )( c ) 一钢种的碳含量( ) y 一平均变形速度( m s ) c o ( m n ) 钢种的锰含量( ) v 一轧制速度( m s ) 石j 一由弯矩引起的弯曲变形 m 一外摩擦对单位压力影响系数彳：一由横切力引起的弯曲变形 一入口厚度的影响系数k 一入口凸度的影响系数( 板凸度遗传系数) 厂一支撑辊的弯盐变形s 一辊缝( m m ) m 一轧机刚度( n m m 2 )c | 一温度、磨损引起的时变轧辊凸度 v i i i 声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 作者签名：垄堑童一日期：丞；2 ：兰l 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原科技大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件、复印 件与电子版；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存 学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交 流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 作者签名：丕圭一日期：上与色么壁二 导师签名： 至垒圣日期：丝受2 墨：生 第一章绪论 第一章绪论弟一早珀t 匕 1 1 板形及其影响因素 板带材的板形也叫做板带的平坦度，板形是指板带材在车l n 过程以及其后产生 的波浪与翘曲程度( 平直度) 和横向的厚度偏差( 板凸度) 。直观的说，就是把带材 自然展开置于水平面上，观察沿纵向和横向上带钢离开水平面的距离大小。如果带 钢处处紧贴在水平面上，则说此带钢板形良好：反之如果带钢某部位翘曲离开了水平 面，则说明此带钢板形不良，也叫板形缺陷。就其实质而言则是因为带钢内部残余 应力分布不均。带钢内应力分布的规律不同，它所引起的带钢翘曲形式也不同。所 以，依据内应力的分布规律和带钢翘曲情况可把板形缺陷分为不同的类型：侧弯、中 浪、边浪、复合浪等，如下图所示。 田园霞 田 ， 锅奄缸印缀t 敛 1 边穗f 咖皆攫善呼饿覆瓿影镀 图1 1 “1 各板形的种类 f i 9 1 1 【l 】t h et y p eo fs h a p e 板形的成因可以这样来解释，由于轧制过程中各种不均匀因素的影响，造成断 面压下不均匀，从而沿带材纵向及横向延伸率不同，而带材整体约束作用使得变形 大的部位不能自由伸长，形成了轧后带材内部的残余应力分布。当该应力小于一定 水平时，板带表现平直：当该应力超过带材屈曲失稳临界值时，板带就会丧失平直状 态而发生整体或局部翘曲变形。板形受到金属本身性质( 内因) 和轧制条件( 外因) 两 个方面的影响。金属本身的物理性能( 如硬化特性、变形抗力) 直接影响轧制力的大 小，因而与板形密切相关。金属几何特性，特别是板材的宽厚比、原料板凸度是影 响板形的另一个重要因素。c l n 条件的影响更为复杂，凡是能影响轧制压力及轧辊 凸度的因素( 如摩擦条件、轧辊直径、张力、轧制速度、弯辊力、磨损等) ，以及能 改变轧辊间接触压力分布的因素( 如轧辊外形、初始轧辊凸度) 都可以影响板形。 动态规划方法在带钢热连轧轧制规稃优化中的应用 1 2 板形控制理论的研究概况及存在的问题 1 2 1 国内外板形控制理论的研究概况 板形理论的研究远早于厚控理论的研究，它是以轧辊挠度的计算为基础的。随着 轧钢技术的发展和用户对产品质量要求的提高，以及冷轧的发展，在冷连轧过程中板 形变化非常明显，g l a j 中出现折叠，轧裂等现象，破坏了正常生产。生产中为了减少波 浪、翘曲等缺陷，相继出现了以精确与非精确理论为主体的板形控制理论。 其中精确理论特征是以轧辊变形为基础的。我国轧钢界从7 0 年代起一直集中于 轧辊变形的板形理论的研究，这种理论对轧制过程主要起到分析指导作用，而不能够 直接用于在线控制非精确理论比如7 0 年代末，日本新日铁提出了以实验为基础的板 形理论新思路，其实质是以轧件连续变形为基础的板形理论，得到了板形干扰系数 和遗传系数7 7 为基本参数的板形向量数学模型，可直接应用于生产过程。乜3 3 近几十年来，国内外学者在板形理论方面取得了很大进展，概述如下：h 1 ( 1 ) 轧件三维变形理论 对于板形控制来说，研究轧件三维变形理论最重要的目的是确定轧制压力和前、 后张力等横向分布的数学模型。因为g l 锖, j 压力的横向分布直接影响辊缝形状，前张 力的横向分布直接反映轧后的板形状态，前、后张力的横向分布通过影响轧制压力 而影响辊缝形状。最早户泽康寿瞄3 等提出用三维解析法来分析轧件的三维变形，把纵 向( 轧向) 和横向平衡微分方程都取差分形式，再与塑性条件、塑性流动方程、体积 不变条件和边界条件联立，用数值法和迭代法求出三向应力在变形区的分布和板边 形状曲线。此理论模型由于在边界条件和剪应力问题上存在假设和近似，结果与实 际误差较大。后来刘才，杜凤山3 等用三维弹塑性有限元法研究了厚板和薄板的轧制 过程，给出了变形区三向应变和单位g l n 压力，两向单位摩擦力的分布；肖宏口3 用三 维弹塑性边界元法研究了带张力冷轧问题，前、后张力横向分布计算与实验结果基 本吻合：刘宏民随3 用有限条法，根据能量原理优化求解横向位移函数的数值解，进而 确定变形区内的流动速度场、应变速度场和应力场，取得了与实际较为一致的结果。 ( 2 ) 轧辊的弹性变形理论 普遍认为，轧辊的弹性变形直接影响到板形，它是影响板形好坏的最主要和最 基本的因素，因此也就是板形理论的核心问题。如果能从本质上解决轧辊的弹性变 形，就可以在一定的工艺条件下准确地预n g l 后的断面分布及板形情况，并找出板 形随各种因素变化而变化的规律，为确定正确的工艺参数、寻找改善板形的途径、 2 第一章绪论 探索控制板形的方法提供可靠的理论依据。从六十年代轧辊弹性变形研究的迅速发 展到目前为止，对轧辊弹性变形计算的精度已基本达到实用程度。其计算方式有以 下三类： 第一类：初等解析理论 1 9 6 , 5 年，斯通将弹性基础粱理论借用到轧制理论领域中，使板形问题的研究取 得巨大进步。解析方法的理论基础就是采用弹性基础梁假定。认为工作辊是处于支 撑辊和带材两个弹性地基上的梁，将辊间压力看作是弹性基础反力，通过求解四阶 微分方程来确定工作辊的挠度，求出关于轧辊变形乃至轧后断面形状的解析表达式。 在解析方法发展的各个阶段上，斯通，盐崎，本城恒阳3 等人分别为此做了具有重要意 义的工作。盐崎在斯通工作的基础上，考虑了工作辊和支撑辊辊身不同区段的受力 情况，采取不同的微分方程来描述，对工作辊和支撑辊分别列出挠度曲线微分方程， 并通过辊间压扁关系把这两个方程联系在一起，比较合理地处理了工作辊和支撑辊 的变形。而本城恒则在弹性基础梁假定的基础上，将轧制压力处理成辊系的外力， 使其物理模型更能符合实际，成为比较完善的解析模型。但由于解析模型本身在处 理轧制压力分布，轧辊凸度和磨损分布及剪切挠度等问题上不够理想，且运算和表 达形式都相当复杂，因此很难在实际中得到应用。 第二类：影响函数法 影响函数法是一种离散化的方法。通过将轧辊离散成若干单元，并将轧辊所承 受的载荷及轧辊弹性变形也按相同单元离散化，应用数学物理中关于影响函数的概 念，先确定对各单元施加单位力时在辊身各点引起的变形，然后将全部载荷作用时 在各单位引起的变形叠加，就得出各单元的变形值，从而可以确定出口处的厚度分 布和张力分布等。由于这种方法不需要对辊间接触压力分布和轧制压力的横向分布 作任何假设，因此可以很灵活地、方便地处理各类复杂问题并且计算精度也较高。 该方法是板形理论研究方面的重要成果。k n 绍特首先采用这种方法研究轧辊的弹 性变形问题，后来在各国获得普遍应用。我国从7 0 年代末开始在这方面作了大量的 工作。如我国学者连家创“0 | 、王国栋n 、陈先霖n 利、钟春生n 3 3 等都用影响函数法处 理过辊间弹性变形问题。这种方法在处理轧辊弹性变形问题上收到很好的效果。是 目前应用较多的一种方法。不足之处是这种方法在辊间压扁问题及单位宽度轧制力 的设定问题上存在许多假设，而且计算也较为复杂。同时解析方法和影响函数法都 是基于一种静态的理论，只能用于设定，无法对实际的轧制过程进行动态的分析与 控制，这也是其不足之处。 3 动态规划方法在带钢热连轧轧制规程优化中的戍h j 第三类：有限元法和边界元法 这两种方法可详尽地描述整个辊系的应力和变形，故对板形分析和轧辊强度分 析都有意义。但因其计算量过大，且因辊间接触宽度极小而使其压力和压扁计算困 难，故在实际中很难得到应用。 带钢板形计算需要涉及到张力分布，带钢屈服翘曲和残余应力等复杂的机制。 美国a r m c 公司采用有限元方法对解决板材翘曲极限问题进行了研究n 制，并认为带钢 板形能用两维周期函数来描述，把这些方程代入总变形能量方程，得到与残余应力 的分布对应的翘曲变形状态。此外，还认为带钢板形可化为弹性弯曲变形或塑性弯 曲变形n 刖。弹性弯曲变形能够由弯曲力矩算出，塑性弯曲变形能够由假设的带钢横 截面按二次曲线变化和体积不变条件导出。这些方法在理论上是有效的，但用于各 种轧制条件和不同轧机构造时就变得十分复杂。因此，他们开发了确定带钢板形的 另一种方法，即平直度死区的恒比例凸度控制的概念，采用这个板形和凸度的关系 式，能够避免冗长的计算问题，而用一个简单的方法去估计带钢的板形。从有限元 的计算转向板形和凸度关系模型的研究，提供了板形理论新的发展方向。日本新日 铁在这方面也进行了较深入的研究n 引。 ( 3 ) 日本人以实验为基础的动态遗传理论 新日铁n 朝在配合阶梯辊，h c 轧机，p c 轧机的开发过程中，由1 0 0 0 m m 实验板轧机， 热连轧机和中厚板轧机的大量实测数据建立了板形模型，得出了板形干扰系数考和板 凸度遗传系数叩的概念，而且使板形模型力学本质明确和结构简单，并可以用于在线 控制。其数学模型为： g = ( 1 一叼) c + 7 7 鲁g ( 1 1 ) 铲考睁鲁卜 m2 ， 遗传系数r 7 具有很好的的相似性，它表明入口侧带钢的凸度厚度的比值有多少 转移到出口侧带钢中去，叩是带钢的刚度( 硬度) 和抵抗凸度变化的轧机刚度的函数， 它与轧辊咬入的基本几何形状及轧辊直径有关，而与轧辊凸度和轧辊弯曲无关。 ( = 1 一叩) 是c 值对g 值的影响系数，也称“压形比”，表明有多少“辊缝形状” c 值转变成实际带钢凸度g 值。知道了每一道次的考和7 7 后，就可以利用上述方程， 跟踪从上游道次到下游道次的实际带钢凸度的变化，用矩阵法或合适的数学表达式 就可以计算出机械带钢凸度c 值。 4 第一章绪论 新日铁的动态遗传理论模型可用于在线控制，但叩取值困难，叼是板宽和板厚的 二元函数，包括了轧机4 d g l 件的双重特性。对于不同轧机，钢种，轧制规格，凸度 遗传系数图都是不同的。遗传系数要用图册近似描述，无法保证在线应用时的精度， 这给模型的推广使用带来很大的不方便。下面将介绍对此改进后的实用模型。 ( 4 ) 动态设定型板形控制理论 在新日铁的动态遗传理论模型的基础上，可以得出动态设定型板形测控方法。 新同铁的板形矢量模型可用下面三个公式描述： 她睁鲁) o ，= g ，- l - h , 一1 a e ，- l ( 1 3 ) g ，= ( 1 一r 7 ) c ，帆鲁g ，。 我国学者张进之教授利用以上三个公式，通过合理地重新定义，z 和b 两个系数， 推导出板形矢量动态数学模型，实现7 9 l 钢机具有板形测量功能的板形计法。其板 形矢量动态数学模型表示为：n 引 c h i = 蠢h h _ a l ic h ( i - i ) 一击h i 矗+ 击c ； ( 1 4 ) 她降普地一j 5 ， 并且证明了，在同一宽度条件下，朋是常数。该模型与厚控模型的作用相同， 实现了将轧机作为板形计的目的。在现代化板形控锘f j g l 机条件下，得到成品板凸度 的解析表达式，给出了各因素对成品板凸度的影响规律，这对板形分析是十分有用 的。而且也可应用于设定控制和在线板形闭环控制两个方面。此方法的推广使用必 将推动板形控制技术的进步。 ( 5 ) 解析板形刚度理论 解析板形刚度理论n 刀通过定义轧机的板形刚度，并结合由卡氏定理导出的板凸 度公式，运用全解析的方法，推导出了实用而简明的板形控制模型。并用国内外数 据初步检验了其正确性，得出了该理论模型在简单性和精确性方面优于国外模型的 结论，证明了轧钢机具有板形计的功能。 张进之教授在该理论中给出了轧机板形刚度m 的定义，推导出了轧件板形刚度 g 的表达式，最后得到了一个板形刚度方程。将脚和q 的计算结果代入板形矢量动态 动态规划方法在带钢热连g l g l n 规稃优化中的应用 数学模型中，就可以估算每一道次的板凸度和平直度，最后通过对g l n 规程的调整， 在工艺上达到了控制板形的目的n 7 1 。 该理论将作为本课题研究的理论基础，在本文第三章中将重点介绍这一理论的 建立及其重要应用。 1 2 2 板形控制理论研究存在的问题 上面所提到的板形控制精确理论与非精确理论研究同一个对象，精确理论是直 接得到压力，板厚和张力的横向分布，而非精确理论的平直度代表了张力横向分 布，由广义h o o k e 定律可实现其转变。压力分布是出口和入口厚差由压力公式得出，而 板凸度是厚度分布的特征量。可以看出非精确理论是板形控制研究的进步引。 两种理论所存在的共同问题是：厚控理论有对偶的轧机刚度m 轧件塑性系数q 而 板形理论只有轧机的横向刚度k 而无对偶的轧件参数。我国在板形理论研究方面，还 存在横向刚度与辊缝刚度相混淆的问题，未认识到机械板凸度的重要性。机械板凸度 的概念在欧洲6 0 年代已引入了，它与板凸度是两个不同的概念，其关系相似于质量和 重量的关系。机械板凸度反映轧机特性，与其对应的是轧机的横向刚度。板凸度反映 轧机和轧件的综合特性。板凸度可直接测量，与其对应的是辊缝刚度。横向刚度k 和 辊缝刚度k ，可分别定义为： k ：鲨。k ：! 皇生( 1 6 ) a c ba c h 认识到现代板形理论中存在的问题，必然会在板形理论上取得进步。近4 0 年来板 形理论、技术、实践和大量资料为新板形控制理论的建立奠定了深厚的物质基础，所 以新板形理论的出现有它的客观必然性。张进之教授基于以上原因引入了轧机板形 刚度与轧件板形刚度的概念，最后建立了轧机与轧件统一的新板形控制理论( 即解析 板形刚度理论) 。由于辊缝刚度可通过实验的方法进行实测，m 和g 的值可理论计算， 所以新板形控制理论具有可验证性。其推导过程也体现了统一性、简明性与实用性 的特征。所以本课题将以该理论为基础，通过对热连轧轧制规程的动态调整，从而 实现了用工艺的方法在线控制板形的目的n 7 1 。 1 3 本课题选题依据及意义 我国在“七五”、“八五”攻关中，对于板形控制技术和板形控制轧机( m s 车l 机) 进行了较为深入的研究，进行过v c g l 辊技术，阶梯辊技术的研究并用于工业生产， 取得了一定的效果。并开发了中间辊可抽动的板形控制轧机一m s 系列轧机，这些轧 6 第一章绪论 机具有控制板形所需要的有效手段，但配备板形控制技术不够，只是一种开环控制。 在引进方面，虽然p c ，h cc v c 等高精度轧机可较好地控制板形，但因其投资昂贵， 且控制效果并非十分理想，国内厂家只有效益较好的宝钢、武钢和攀钢等钢厂引进 了多种规格的可控板形轧机，但大多数钢铁企业仍然采用传统轧机进行生产。与国 外的先进水平相比，存在较大的差距n 引。对传统轧机而言，由于没有板形控制设备， 板形质量控制除了强化磨辊与换辊管理外，主要靠优化负荷分配的方法n 引，操作工 根据观察精轧出口带钢起浪的情况调整末架的车l a , j 力，若为两边浪则减少末架轧制 力，若为中间浪则增加末架的轧制力，然后计算机根据变形功守恒的原理，重新分 配各架的负荷，达到新的平衡n 引。这显然不能满足板形控制的要求。 对我国钢铁企业来说，仅靠引进国外的先进设备是不能从根本上解决我国板形 控制的现状的。要在现有轧机设备上有效地实现平直度和横向厚差的综合控制，以 适应来料尺寸，可从开发新型的轧制工艺理论方面取得突破。 基于以上对板形理论与控制技术的理解，本文选择了以张进之教授提出的新板 形控制理论为课题的理论基础，提出了一种设定并计算板形最佳轧制规程的新思路 即采用动态规划方法可协调控制板形、板厚的一套轧制工艺理论。 本课题的研究不仅对板形理论的发展具有实际意义，对于提高板形自动控制技 术的发展也具有重大意义和应用价值。特别对于提高我国的板形控制技术也提供了 一种新的思路与方法。 1 4 本课题的研究内容与方法 本课题将在总结新的板形理论的基础上，将我国发明的动态设定型板形测控方 法和解析板形刚度理论应用在生产轧机上。通过计算出各道次( 或各机架) 轧件的凸 度和平直度，设计出命中目标平直度和凸度所要求的板形最佳轧制规程。通过现场 试验所获得的数据，并结合最优控制中动态规划的方法，提出一种适合我国板带生 产的在线控制方案。采用工艺的方法改善国内的板形控制水平，具有重要的实际意 义。 具体要做以下几方面的工作： ( 1 ) 进一步探讨动态规划方法的理论及其在生产实践中的应用。 ( 2 ) 国内外文献资料调研，进一步了解并选择适合我国板带生产的板形控制理论。 ( 3 ) 选择轧钢企业进行现场调研收集数据，本课题主要以国内某厂2 0 5 0 热连轧机的 现场数据作为研究内容。 ( 4 ) 采用动态规划方法优化计算并设定可以命中目标凸度和平直度的热连轧板形轧 7 动态规划方法在带钢热迩轧轧制规程优化中的应用 制规程，从而可以解决板形轧制规程的静态设定问题。 ( 5 ) 研究动态规划方法在板形板厚协调控制中的优化思路与应用过程，提出一种适 合我国板带生产的在线板形闭环控制方案。 8 第二章动态规划方i - 去n 3 基本理论及其应蹦 第二章动态规划方法的基本理论及其应用 2 1 动态规划的发展及研究内容 动态规划( d y n a m i cp r o g r a m m i n g ) 是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化 的数学方法。2 0 世纪5 0 年代初美国数学家r e b e l i m a n 等人在研究多阶段决策过程的 优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题， 逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法动态规划。1 9 5 7 年出版了他 的名著d y n a m i cp r o g r a m m i n g ，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到 了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问 题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。虽然动态规划主要用于求解以时 间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划( 如线性规划、 非线性规划) ，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态 规划方法方便地求解。乜们眩 2 2 多阶段决策问题 2 2 1 多阶段决策问题的概念及求解特点 ( 1 ) 多阶段决策问题的概念 动态规划是目前解决多阶段决策过程问题的基本方法之一。所谓多阶段决策过 程是指这样一类的决策问题：由问题的特性可将过程按时间、空间等标志分为若干 个互相联系又相互区别的阶段，在它的每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过 程达到最好的效果。因此，各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前 面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列， 因而也就决定了整个过程的一条活动路线。这样一个前后关联具有链状结构的多阶 段过程就称为多阶段决策过程( 如下图2 1 所示) ，这种问题就称为多阶段决策问题。 决集1 决策2决秉3 图2 1 1 多阶段决策过程示意图 f i g2 1 【2 2 】s c h e m a t i cd i a g r a mo fam u l t i s t a g ed e c i s i o n m a k i n gp r o c e s s 在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说与时间有关，决策依赖 9 动态规划方法在带钢热连轧轧制规程优化中的应用 于当前的状态，又随即引起状态的转移，个决策序列就是在变化的状态中产生出 来的，故有“动态”的含义，因此处理这种问题的方法称为动态规划方法。妲羽 ( 2 ) 多阶段决策问题的求解过程 例1 ：某一出行者由a 地出发前往e 地，所给的线路网络如下图2 - 1 所示。两点 之间连线上的数字表示两点间的距离，出行者要从网络中选择一条路径，使得路径的 距离最短。 a b 】 b 2 d 1 d 2 i ) 3 e 图2 2 1 线路网络图 f i 9 2 2 t 2 3 】l i n en e t w o r k 图2 2 可视为定阶段最短路问题的标准模型，可划分为4 个阶段，即胛= 4 。从a 点出发到b 点为第1 阶段，这时有2 个选择，一是到蜀，一是到芝，若选择到垦，则忍 就是第1 阶段决策的结果，它既是这一阶段路线的终点，又是下一个阶段路线的始点。 在第2 阶段，再从b 出发，对于垦点，有一个可供选择的终点集合 c 2 ，c 4 ) ，若选择由 及至c ，为第2 阶段的决策，则c ，就是第2 阶段的终点，同时又是第3 阶段的始点，依 此类推按照动态规划的方法，将图2 2 从最后一段开始计算，由后向前逐步推移至a 点。 ( 1 ) 当k = 4 时 五( d 1 ) 表示在第4 段b 至e 的最短距离，距离d ( d l ，e ) = 3 ，依据动态规划的基 本方程，五( b ) = d ( d l ，g ) + 六( g ) = 3 + o = 3 。同理一( d 2 ) = 4 ，五( d 3 ) = 3 。 ( 2 ) 当k = 3 时 若从c l 出发，则有2 个选择，一是至d 1 ，一是至d ，则 粥户t 档强鼍曷砸n = 8 这说明，由c l 至终点e 的最距离为8 其最短路线是c 1 一d l 专e ，而相应的决策 变量材，( c 1 ) = d l 。 1 0 第二章动态规划方法的基本理论及其应用 同理，若从c 2 出发，则其最短路线为c 2 4 专e ，且( c 2 ) = d 1 。从c 3 出发，则 其最短路线为g 专3 3 _ e ，且豁，( c 3 ) = 马。从c 4 出发，则其最短路线为 c 4 专皿_ e ，且甜3 ( c 4 ) = 3 3 。 ( 3 ) 当k = 2 时 同理可推得：若从尽出发，其最短距离为9 ，若从b 出发，其最短距离为1 0 。 ( 4 ) 当k = l 时 出发点只有一个么点，则彳c 彳，= m h d l ( a i , b 1 ) 2 暑3 = m i n 雪：；。= 1 3 ，且 ( a ) = 垦 至此，求得图的最短路线为彳一忍一c 4 一d 3je ，相应的最短距离为1 3 。 再按计算的顺序反推之，可得最优决策函数序列 。 即由( a ) = 垦，, ：( b ) = g ，甜，( c 4 ) = 3 3 ，甜。( 3 3 ) = e ，组成一个最优策略。在求得 a 点到e 点的最短路线的同时，还求得了各个点到e 的最短路线，丰富了计算结果， 这是动态规划方法的一个显著的优越性。 ( 3 ) 多阶段决策问题求解的特点位 由对例1 的求解过程，可将动态规划求解多阶段决策问题的特点归纳如下： 第一、每个阶段的最优决策过程只与本阶段的初始状态有关，而与以前各阶段 的决策( 即为了达到本阶段的初始状态而采用哪组决策路线) 无关。换言之，本阶 段之前的状态与决策，只是通过系统在本阶段所处的初始状态来影响本阶段及往后 各个阶段的决策，或者说：系统过程的历史只能通过系统现阶段的状态去影响系统 的未来。具有这种性质的状态称为无后效性( 即马尔科夫性) 状态。动态规划方法 只适用于求解无后效性状态的多阶段性决策问题。 第二、对最佳路径( 最优决策过程) 所经过的各个阶段，其中每个阶段始点到 全过程终点的路径，必也是该阶段始点到全过程终点一切可能路径中的最佳路径( 最 优决策) ，这就是b e l l m a n 提出的著名的最优化原理。 第三、在逐段递推过程中，每阶段选择选择最优决策时，不应只从本阶段的直 接效果出发，而应从本阶段开始的往后全过程的效果出发。也即应该考虑两种效果： 一是本阶段初到本阶段终( 也即下阶段初) 所选决策的直接效果；二是由所选决策 动态规划方法在带钢热迮轧轧制规程优化中的应用 确定的下阶段初往后直到张嘴的所有决策过程的总效果，也称为间接效果。这两种 效果的结合必须是最优的。 第四、经过递推计算得到各阶段的有关数据后，反方向即可求出相应的最优决 策过程。 2 2 2 多阶段决策问题的分类幢3 1 动态规划的表现形式随多阶段决策过程的特点的不同而不同。 ( 1 ) 根据决策的特性分可分为时间多阶段决策过程与空间多阶段决策过程； ( 2 ) 根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间决策过程即多阶 段决策过程和连续时间决策过程； ( 3 ) 根据构成决策序列的决策数目的有限或非有限可分为有限多阶段决策过程 与有限多阶段决策过程； ( 4 ) 根据决策序列于时间起点的关系可分为定常多阶段决策过程与非定常多阶 段决策过程； ( 5 ) 根据过程的演变是确定的还是随机的，分为确定性决策过程和随机性决策 过程 其中应用最广也是最常见的是定常的、确定性的、有限的多阶段决策问题。 2 3 动态规划的基本概念 我们以例l 为基础，介绍动态规划所使用的规范语言与基本概念。动态规划用 来描述多阶段决策问题的基本概念有：阶段、状态、决策、策略、指标函数与最优 值函数、状态转移方程、阶段指标等。 ( 1 ) 阶段 阶段是对整个过程的自然划分。通常根据时间顺序或空间特征来划分阶段，以 便按阶段的次序解优化问题。阶段变量一般用k = 1 ，2 ，玎表示。在例1 中由a 出发 为k = 1 ，由e ( f 1 ，2 ) 出发为k = 2 ，依此下去从d ，( f 1 ，2 ，3 ) 出发为k = 4 ，共，2 = 4 个 阶段。 ( 2 ) 状态 状态表示每个阶段开始时过程所处的自然状况。它应该能够描述过程的特征并 且具有无后向性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后过程的演变与该阶段以 1 2 第一二章动态规划方法的基本理论及其戍用 前各阶段的状态无关，即每个状态都是过去历史的一个完整总结。通常还要求状态 是直接或间接可以观测的。 描述状态的变量称状态变量，变量允许取值的范围称允许状态集合。用表示 第k 阶段的状态变量，它可以是一个数或一个向量。用置表示第五阶段的允许状态 集合。在例1 中x 2 可取蜀，垦，五= b i ，垦) 。 咒个阶段的决策过程有n + 1 个状态变量，+ 。表示吒演变的结果，在例1 中x ；取 e 。 根据过程演变的具体情况，状态变量可以是离散的或连续的。为了计算的方便 有时将连续变量离散化：为了分析的方便有时又将离散变量视为连续的。状态变量 简称为状态。 ( 3 ) 决策 当一个阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段的某个状态， 这种选择手段称为决策，在最优控制问题中也称为控制。描述决策的变量称决策变 量。变量允许取值的范围称允许决策集合。用( 屯) 表示第k 阶段处于状态x k 时的 决策变量，它是的函数，用峨( x k ) 表示了_ 的允许决策集合。在例1 中d 2 ( e ) 可 取c 1 ，c ，e 。决策变量简称决策。 ( 4 ) 策略 决策组成的序列称为策略。由初始状态x i 开始的全过程的策略记作p l 。( 五) ，即 p ，。( 一) = “( 五) ，甜：( x 2 ) ，卅。( 以) 。由第k 阶段的状态开始到终止状态的后部子过 程的策略记作p b ( k ) ，即( 五) = ( x k ) ，+ 。( x k + 。) ，( x n ) 。类似地，由第k 到 第阶段的子过程的策略记作( 以) = ( x k ) ，卅x k + ，) ，甜，( x ) 。对于每一个阶 段k 的某一给定的状态矗，可供选择的策略p 幻( 以) 有一定的范围，称为允许策略集 合，用a 。( 五) ，p 蛔( x k ) ，( x 。) 表示。 ( 5 ) 状态转移方程 在确定性过程中，一旦某阶段的状态和决策为已知，下阶段的状态便完全确定。 用状态转移方程表示这种演变规律，写作 x k + l = g ( x 女，( 吒) ) ，k = 1 ，2 ，力 ( 2 1 ) 在例1 中状态转移方程为：+ ，= u k ( x k ) ( 6 ) 指标函数和最优值函数 指标函数是衡量过程优劣的数量指标，它是关于策略的数量函数，从阶段露到阶 段玎的指标函数用圪，( x k ，p 砌( x k ) ) 表示，k = 1 ，2 ，行。 1 3 动态规划方法在带钢热近轧轧制规程优化中的应用 能够用动态规划解决的问题的指标函数应具有可分离性，即可表为 ，u 女，k + l ，聆的函数，记为： ( ，x k 小，吒+ 。) = o 。( ，圪+ 。( 坼小，+ 。) ) ( 2 2 ) 其中函数呶是一个关于变量k 小刀单调递增的函数。这一性质保证了最优化原 理的成立，是动态规划的适用前提。 过程在第阶段的阶段指标取决于状态和决策o ，用( ，“，) 表示。阶段尼到 阶段，? 的指标由巧( j = 七，k + l ，f ) 组成，常见的形式有： 阶段指标之和：圪( 砟，蚝，坼彬，+ 。) = 一( _ ，“，) ( 2 3 ) j = k 阶段指标之积：( 坼，稚小，+ ，) = 兀( x ，“，) ( 2 4 ) j = 七 阶段指标之极大或极小： v b , ( x k ，x k + ，矗叫) = m ，a 。x ，v ( u j ) o r 忠恕巧( t ，u j ) ( 2 5 ) 在例1 中指标函数为公式( 2 3 ) 的形式，其中巧( 一，站) 是边( _ u j ( ) ) 的长 度，甜，( _ ) 表示从_ 出发根据决策q ( x , ) - v 一步所到达的节点。 根据状态转移方程，指标函数还可以表示为状态和策略的函数，在给 定时指标函数对如的最优值称为最优值函数，记作丘( 峻) ，即 五( 坼) = o p f ( 毪，) ( 2 6 ) 其中o p t 可根据具体情况取m a x 或m i n 。上式的意义是，对于某个阶段k 的某个 状态以，从该阶段k 到最终目标阶段行的最优指标函数值等于从而出发取遍所有能策 略p h 所得到的最优指标值中最优的一个。 ( 7 ) 最优策略和最优轨线 使指标函数吃达到最优值的策略是从k 开始的后部子过程的最优策略，记作 p k = ，+ 。+ ，。 ，a 。又是全过程的最优策略，简称最优策略。从初始状态 而( = 而) 出发，过程按照p l 。和状态转移方程演变所经历的状态序列 x 。+ ，恐，x n + 。+ 称为最优轨线。 1 4 第二章动态规划方法的基本理论及其应_ h j 2 4 动态规划的基本定理与基本方程 动态规划发展的早期阶段，从简单逻辑出发给出了所谓最优性原理，然后在最 优策略存在的前提下导出基本方程，再由这个方程求解最优策略。后来在动态规划 的应用过程中发现，最优性原理不是对任何决策过程普遍成立，它与基本方程不是 无条件等价，二者之间也不存在任何确定的蕴含关系。基本方程在动态规划中起着 更为本质的作用心5 1 。 2 4 1 动态规划的基本定理 ( 1 ) 动态规划的最优性原理 定理：若允许策略焉川是最优策略，则对于任一满足o k 刀一1 的后，它的后部子 策略磋川( ) 对于由它的前部子策略曩所确定的后阶段状态来说，必是后面k 到 刀一1 阶段子过程的最优策略。2 6 1 证明：( 用反证法) 若不是最优策略 则蟹川( ) _ 籼婴一- ( 儿) ( 2 7 ) 这里记号“ ”是：当表示m a x 时o p t 表示“ ”。 因而 v 0 俨，( x o 乓川) = v o 如，x o ，名