（应用数学专业论文）几类时滞微分方程的振动性.pdf

摘要 泛函微分方程振动性理论是泛函微分方程理论中一个重要分支，具有深刻的应用背景 它是在研究生物生态学，生理学以及神经网络等领域的振动问题中引出的 近年来，振动性理论及其应用受到广泛关注，并取得丰富的研究成果本文讨论了一 阶线性时滞微分方程、具有连续分布滞量的微分方程以及一类非线性欧拉型微分方程的 振动性问题，并建立了这些方程的振动性准则，这些结果推广或改进了已有的一些振动性 定理 论文分为四章 第一章简述了时滞微分方程振动性的研究历史与研究现状以及本文的主要工作 第二章研究一阶线性时滞微分方程 圣( t ) + p ( t ) z ( 丁( t ) ) = 0 ，t z 的振动性，其中p ( t ) 和r ( t ) 在 t o ，。) 上连续且p ( t ) 0 ，7 ( ) 单调不减，丁( ) t ( t t o ) ，1 i mt ( t ) = o 。 t - - - + 第三章研究一类具连续分布滞量的一阶时滞微分方程的振动性对方程 f b ( t ) 圣( t ) + a ( t ) x ( t ) + r ( t ，s ) z 一s ) 咖( s ) = 0 ，0 的解x ( t ) 的振动性做了深入的研究 第四章研究一类非线性欧拉型微分方程的振动性对二阶非线性方程 产量+ i ( x ) = 0 的非平凡解x ( t ) 的振动性做了详细研究 关键词： 时滞微分方程；振动性；最终正解；分布型，o 欧拉型 i a b s t r a c t o s c i l l a t i o nt h e o r yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tb r a n c h o ft h er e s e a r c hf i e l do ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hh a sd e e pb a c k - g r o u n d so fa p p l i c a t i o n s i ta r i s e si nm a n yr e s e a r c ha r e a s ，s u c ha sb i o l o g y , e c o l o g y , p h y s i o l o g yp h y s i c sa n ds oo n i nt h er e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo fo s c i l l a t i o nf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sa t t r a c t sw i d ea t t e n t i o na n dg a i n sr i c ha c h i e v e m e n t si ns c i e n t i f i cr e s e a r c h i nt h i sp a p e r ，w ee s t a b l i s ho s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rt h e s ee q u a t i o n s ，w h i c hg e n - e r a l i z eo ri m p r o v es o m ee x i s t i n go s c i l l a t i o nt h e o r e m s t h ep r e s e n tp a p e ri s d i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s a st h ei n t r o d u c t i o n s ，i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo fo s - c i l l a t o r ys o l u t i o np r o b l e m sa n do s c i l l a t o r yf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r e b r i e f l ya d d r e s s e d ，a n dt h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ra r eg i v e n i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t o r yb e h a v i o ro ff i r s t - o r d e rd e l a yd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n so ft h ef o r m 老( t ) + p ( ) z ( 7 - ( ) ) = 0 ， w h e r ep ，丁c ( t o ，o 。) ，7 宅+ ) ，冗+ = 【0 ，o 。) ，7 i ( ) i sn o n - d e c r e a s i n g ，7 ( ) 0 ，b ya p p l y i n gt h e s er e s u l t s ，w ea l s oe s t a b l i s h s o m ec o r o l l a r yf o ro s c i l l a t i o no ft h es e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n w ep r o v et h ec o r r e c to fo u rc o r o l l a r y i i k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o s c i l l a t i o n ，e v e n t u a l l y p o s i t i v es o l u t i o n ，d i s t r i b u t e ，e q u a t i o n so fe u l e rt y p e i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 沙f 。 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 日 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密西 ( 请在以上相应方框内打 ”) 作者签名： 导师签名： 心辱a 嚣日 肼厂月乡7 日 几类时滞微分方程的振动性 1 绪论 1 1 泛函微分方程的振动理论的研究背景 常微分方程是在人类生产实践中产生的历史上，它的雏形的出 现甚至比微积分还要早，伽利略研究自由落体运动，纳泊尔发明对 数，笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等在十九世 纪早期，柯西给微积分注入了严格性的要素，同时也为微分方程的理 论奠定了基石s t u r m 的工作提出了对解进行定性研究的最初思想 p o i n c a r e 的著名论文“微分方程所定义的曲线”和l i a p u n o v 的博士论 文“运动稳定性的一般问题”共同奠定了定性理论的研究基础 微分方程的过去和现在都对力学、天文、物理、化学、生物等各 种技术科学( 核能、火箭、人造卫星、自动控制、无线电子技术等) 及 若干社会科学( 如入口问题、经济预测、运输调度问题等) 提供有用 的工具 早先研究都假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而和过去 的历史无关但是，事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖于 当时的状态，还依赖于过去的的状态在这种情况下，微分方程就不 能精确地描述客观事物了，代之而起的就是微分差分方程特别是时 滞微分方程 泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部份， 具有广泛的应用背景众所周知，生物模型中出现了大量的时滞微分 方程，k l c o o k e 提出一个生物科学中的极为重要的方程 誊( ) + a y ( t 一是( 戈芗( ) ) ) = f ) ， t o ) ， 它与遗传现象密切相关 在工业方面，电磁开关系统的方程为 爹( 亡) + 2 u g ( t ) + v 2 y ( t ) + t y ( t 一) = 0 ， 其中t ，u ，t 为常数，滞量= ( 厶可( 亡) ) ，对t 冗连续 1 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 硕士学位论文 在经济学中价值法则的作用，也是由于生产与消费之间的时滞形 成，经济也会出现振荡现象，这也为社会生活所证实 从s t u r m ( 1 8 6 3 ) 研究热传导方程时提出二阶微分方程 i ( ) + a c t ) y c t ) = 0 ( i i 3 ) 的振动问题以来，常微分方程的振动理论已有很久的历史s w a n s o n 总结了线性常微分方程的振动理论的经典结果，文献【1 ，2 ，3 ，8 ，9 】中 介绍了某些非线性常微分方程的振动性研究结果由于常微分方程 对应于时滞，= 0 ，所以它不会出现振动依赖于时滞的情况，而泛函微 分方程则不同，它的偏差变元的出现能够引起解的振动性例如一阶 微分方程 雪o ) + p c t ) y c t ) = 0 ，p c ( 7 矿)( i i 4 ) 的一切非零解都是定号的，而一阶时滞微分方程 + 可( 亡一虿7 1 ) = o ( 1 1 5 ) 具有振动解耖= s i n t ，这个解的振动性完全由滞量詈引起事实 上，在满足初值问题解的存在和唯一性的条件下，一阶微分方程雪= ，( t ，y ) ，( f ( t ，0 ) 三0 ) 没有振动解 2 几类时滞微分方程的振动性 1 2 本文的主要工作 本文研究的主要内容是几类微分方程解的振动性，同时也给出了 所得结论的一些应用举例 在本文的第二章我们定义后= 1 罂掣丘dp ( s ) d s ，l = 1 1 罂p 后d p ( s ) 幽， 由于受到文【1 4 ，1 7 ，2 0 ，2 3 ，2 4 等的启发，通过研究在0 0 ，p ( s ) 单调不减，在冗+ 上有t b ( t ) 一，( t _ o o ) 且r ( t ，s ) 在区间【t o ，0 0 ) x 【0 ，6 ( t ) 】分段连续，n ( t ) 在7 矿连续有界 第四章，研究了关于二阶非线性欧拉型微分方程 护童+ f ( x ) = 0 ，( t o ) ( 1 2 3 ) 的振动性准则，相应地也得到了一些关于该方程一些新的振动性结 论 3 几类时滞微分方程的振动性 2 一阶线性时滞微分方程的振动性 2 1引言 考虑一阶线性时滞微分文程 圣 ) + p ( t ) z ( 7 ( t ) ) = 0 ，t l( 2 1 1 ) 其中p ( t ) 和丁( ) 在 t o ，o 。) 上连续且p ( t ) 0 ，r ( t ) 单调不减丁( t ) t ( t o ) l i r a 。r ( t ) = 首先系统研究方程( 2 1 1 ) 的解z ( 亡) 的振动性的是m y s h k i s 1 ，他在 1 9 5 0 年证明了方程( 2 1 1 ) 的每个解振动的充分条件是 h 罂p 【t 一7 - ( t ) 言 ( 2 1 2 ) 1 9 7 2 年，l a d a s ，l a k s h m i k a n t h a m 和p a p a d a k i s 得到了关于方程( 2 1 1 ) 的每个解z ( t ) 振动的条件是 l i ms u p p ( s ) d s 1 ( 2 1 3 ) t - - 4 0 0 - ，r ( t ) l 瓤l a s 和k o p l a t a d z e 分别在1 9 7 9 年和1 9 8 2 年把条件( 2 1 2 ) 改进为 l i m i n f 厶p ( s ) 如 ；1 ( 2 1 4 ) 由条件( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 可知，当熙f ( t ) p ( s ) d s 不存在时，我们前 面的振动性准则就不能适用，围绕这个问题分别有很多作者f 1 1 ，1 2 ， 1 3 做过不同研究 设尼= l i 。m 一。i n ff t ( t ) p ( s ) d s ，l = l i m ，s 。u pf t ( 幻p ( s ) d s 1 9 8 8 ，e r b e 和张炳 根得到了方程( 2 1 1 ) 的解。( t ) 在0 l 一百k 2 ( 2 1 5 ) 5 硕士学位论文 由此之后很多作者通过同样的方法得到r 在当0 1 一高 ( 2 1 6 ) 稍后在1 9 9 2 年文献【1 8 】获得了如下条件 l 1 一二1 生辱型坐 ( 2 1 7 ) 同时在1 9 9 0 年，e l b e r t 和s t a v r o u k i s 1 9 和在1 9 9 1k u o n g 2 0 】改进了 ( 2 1 5 ) ，他们得到了如下的条件 l 1 一( 1 一万1 ) 2 和 三 竿， 其中a ，为方程入= e 从的根中的较小者 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) k o p l a t a d z e 1 9 、p h i l o s 2 2 】和j a r o s 2 3 】分别在1 9 9 4 年和1 9 9 6 年得到 了如下条件 l 1 一志一砂k 2 ( 2 。) 和 己 警生一二1 生年竺! ( 2 1 1 1 ) 1二 本文通过使用前面文章的方法，得到了另外一个振动性准则 l掣一一1-k-x,(1-k)2-4a ( 2 1 1 2 ) 其中a = e , x l # ( k 枷- - a ) l 。o k - - 一1 ，0 0 当0 = 1 时，条件( 2 1 1 2 ) 化为 三 2 k + 一1 ， ( 2 1 1 3 ) 其中a 。为方程入= e 枞的根中的较小者 几类时滞微分方程的振动性 2 2 引理 定义u ( t ) = 专铲，则方程( 2 1 1 ) 可化为 ， u ( ) = e x p ，p ( s ) u ( s ) 如 ( 2 2 1 ) ，f ( t ) 引理2 2 1 假定七 0 ，方程( 2 1 1 ) 有最终正解z ( t ) ，则七；且 入l l i 。m 。i n f w ( t ) 入2 ，其中入l 与入2 分别是方程入= e 从的根中的较小 者与较大者 证明令口= l i m 。i n f w ( t ) ，由( 2 2 1 ) 可知口e x pk a ，当k ；1 时 方程( 2 1 1 ) 的每个解都振动，这与方程( 2 1 1 ) 有最终正解矛盾，因此 七 当0 k 。1 时，方程a = e 从存在两个解a 1 与a 2 且a i a 2 ，有 口e x pk a 成立当且仅当a ，o t a 2 ，即原命题得证 引理2 2 2 1 2 1 】0 t 有 等 ，t 狐 和 端 眦t 狐 硕士学位论文 令夕( s ) = 弯铲，很明显夕( s ) 连续，夕( 7 ( 亡) ) = 1 口a 1 因此存在矿( t ) ( 1 - ( ) ，t ) ，有筘器= 口a 1 对( 2 1 1 ) 两边同时除以 z ( t ) 并从r ( t ) 到矿( t ) 积分可得 f 小) d s 丽i 州f t 。* ( 句挚= 掣 同理可得下式 肠s ) d s 粼一端= 两1 一蒜两1 把上面两式相加可得 、 f t v ( t ) p ( s ) d s 掣一口 ， 当t - - , c x ) 时，有 l l n ( 0 1 a k l ) + 一1 一口 f 2 3 主要结果 定理2 3 1 假定0 0 使 p ( 丁( t ) ) 7 ( t ) 7 o p ( t )( 2 3 1 ) 对一切t t o 都成立，则有下式成立 u m 。s 。u pu ( 亡) s 了二1 _ 二弋刁盂毛面， ( 2 3 2 ) 其中a = 巡铲，口 0 证明v0 t o 和f t r ( t ) p ( s ) d s 6 在t t 时都成立记丑三a ( t ) t 且t = 7 - ( 丑) ，因为铲p ( s ) d 8 j ， 所以存在乃 t z 三t z ( t ) t ，使得r 1p ( s ) d s = j 于是对方程( 2 1 1 ) 两边从t 到t 1 积分可得 ，t 1 z ( t ) = z ( 1 ) + p ( s ) x ( t ( s ) ) d s t ，t r 几类时滞微分方程的振动性 同理方程( 2 1 1 ) 两边从丁( s ) 到t 积分可得 z ( 丁( s ) ) = z ( t ) + p ( u ) x ( r ( u ) ) d u 其中r ( s ) s t t 1 由上面两式可知 球) 刮+ “p + 厶p ( 咖( 巾) ) 酬如 ( 2 3 3 ) 令o a x ( t ，1 + 5 x ( t ) + a + z f 7 - f 1 1 r 2 3 5 1 其中小= 一南+ 丽1 ( e 脚一1 ) ，由( 2 3 5 ) 可知z ( t ) 一如( t ) x ( t 1 ) + a + z ( 丁( t ) ) 因为z ( t ) 0 ，所以有 ( 1 6 ) z ( t ) a z ( 丁( t ) ) ， 即 x ( t ) d l z ( 丁( ) ) ， 其中d l = 尚，从而有z ( t 1 ) d l x ( r ( t 1 ) ) d z x ( t ) ，( 1 t 7 - ( t 1 ) ) ，由于 z ( t ) 单调不增，由( 2 3 5 ) 依此类推我们可得 x ( t ) d n + l z ( 丁( t ) ) ， 其中 厶+ l ：丧， n ：1 ，2 ，3 ， ( 2 3 6 )+ 12 二百习 n2 ，妯 庵) 从而我们可以得到序列 如) 严格递增且有界 记l i m 如= d ，则由( 2 3 5 ) 可知 d 2 = 一1 ) d 一， 1 0 几类时滞微分方程的振动性 d ：1 - 占- v ( 1 i - 5 ) 2 - 4 一a * 即 黑1-5-4(1-5)2-4a*2 z ( 7 ( t ) ) 二 。 由于0 5 k ，所以当入一入1 时有下式成立 1 妇t - - - - * s u o opu ( 。) i f 刁 矿0 氪， 上一0 一、il l 一4 a 即定理得证 定理2 3 2 假设l t 推论2 3 2 假定定理2 3 2 的条件成立，其中 ，r ( t ) 七= u 墨要fz p ( s ) 幽， c ，1 ，- r ( t ) l = l i m s u p p ( s ) d s ， t - - 4 0 0 ，t 则不等式( 2 3 7 7 ) 没有最终正解，不等式( 2 3 8 7 ) 没有最终负解而方程 ( 2 3 9 ) 的所有解振动 注前面我们提到了许多关于方程( 2 1 1 ) 的振动性判定准则，现 在我们比较在同样的条件，( 在这里我们取k = ：) ，得到的一系列关于 l 的下确界 条件对应l 的值 ( 2 1 5 ) 0 9 6 6 1 6 6 1 7 9 ( 2 1 6 )0 8 9 2 9 5 1 3 6 7 ( 2 1 7 ) 0 8 6 3 4 5 7 0 1 4 ( 2 1 8 ) 0 8 4 5 1 8 1 8 7 8 ( 2 1 9 ) 0 7 3 5 7 5 8 8 8 2 ( 2 1 1 0 ) 0 7 0 9 0 1 1 6 4 6 ( 2 1 1 1 ) 0 5 9 9 2 1 5 8 9 6 ( 2 1 1 2 )0 4 7 1 5 1 7 7 6 4 由上表可知，本文得到的振动性准则更优于上述文献中的一些结 1 2 几类时滞微分方程的振动性 且 例1 考虑方程 2 4 例子 ( 2 。+ c 。s t ) z ( t 一互7 1 ) = o ， ( 2 4 1 ) i minf仁要等肛吾10r?t ， c 。o o ，t 一要 + 、2 e t m s u p ( 要等舻嘶t 一，一要 q 7 r 十、z 由定理2 2 3 可知( 2 4 1 ) 的解振动 例2 考虑方程 荆+ 矽( t - q s i n 2 v q 一面1 ) = 。， 其中p 0 ，q 0 且p q = 0 4 6 一；1 ，那么 且 k = l i r a i n f f r t 、) p ( s ) d s = l i r a i n f p ( q s i n 2 以+ 面1 ) = i 1 ， ( 2 4 2 ) 厶= 厂 = t - - * o ov s i n 2 以+ 三p e l i m s u p p ( s ) d sl i m s u p p ( q s i n ) = p q + 三= 0 4 6 t - - * o o j 厶= = + 二) =+ 三= r ( t ) c 由定理2 3 2 可知( 2 4 2 ) 的解振动 砺 里私 一出 身 + 丝， 、， -一l t 斗一 ，l e 一 = 一 几类时滞微分方程的振动性 3 具连续分布滞量的一阶微分方程的振动性 3 1引言 在最近的文献中，有大量关于具有离散型时滞微分方程的振动性 文章，如文献 3 2 ，3 3 ，3 5 ，3 6 】等以及专著 2 ，3 ，但是关于具有连续分布 滞量的微分方程的振动性文章极其少，本章考虑一类具有连续分布 滞量的一阶时滞微分方程的振动性准则 考虑方程 t b ( o 圣( ) + a ( t ) x ( t ) + r ( t ，s ) x ( t s ) d 缸( s ) = 0 ，( 3 1 1 ) 其中b ( t ) 0 ，芦( s ) 单调不减，在冗+ 上有t b ( t ) 一，( t _ o 。) 且 r ( t ，s ) 在区间 t o ，。) x 【0 ，6 ( t ) 】分段连续，o ( t ) 在冗+ 连续有界显然当 a ( t ) 兰0 时，方程( 3 1 1 ) 可变为 r b ( t ) 圣 ) + r ( t ，s ) z 一s ) 毗( s ) = 0 ( 3 1 2 ) 关于方程( 3 1 2 ) ，文献【3 2 】曾做过详细的研究 方程( 3 1 2 ) ，有两个特殊形式，即具有一个时滞的一阶时滞微分 方程 圣( t ) + p ( ) 。( 亡一r ) = 0( 3 1 3 ) 和具有多滞量的一阶微分方程 圣( t ) + p i ( t ) x ( t - 兀) = 0 ( 3 1 4 ) 其中p ( t ) 芝o ，p i ( t ) 之0 且分段连续，l1 i 都是大于零的正常数 对于方程( 3 1 3 ) ，有两个经典的振动性准则 唔掣 ，p ( 啪s ；1 ( 3 1 5 ) 硕士学位论文 ， l i m s u p p ( s ) d s 1 ( 3 1 6 ) ，t - t 对于积分条件( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) 有大量的作者做过不同程度的拓展 而且同时也有一部份人考虑了当l i r a 。ep ( 8 ) 如不存在时，与方程( 3 1 3 ) 相适应的振动性准则如文献【4 3 ，4 4 】等 对于方程( 3 1 4 ) ，李斌 4 8 】建立了一个积分条件 l i r a i n f 善( 。加) 幻；1 ( 3 1 7 ) 很明显条件( 3 1 7 ) 是( 3 1 4 ) 在多时滞情况下的一个拓展而对应于 条件( 3 1 6 ) 我们并没有得到类似于条件( 3 1 7 ) 的结论 l i i ns u p 壹i - - - - 1 件r 删纠 ( 3 m ) 本章主要是给出了方程( 3 1 1 ) 和( 3 1 4 ) 的振动性准则 3 2 引理 引理3 2 1 若存在i 有l i m s u pj t t hp i ( s ) d s 0 成立且z ( t ) 是方程 ( 3 1 4 ) 的最终正解，则对同样的i 有h 罂碧f 避铲 0 以及序列 1 ， ( 3 2 5 ) 则方程( 3 1 2 ) 的所有解都振动 证明设z ( t ) 是方程( 3 1 2 ) 的一个最终正解且单调不增，取而 t o ，则有 z ( t 一6 ( t ) ) 0 且 圣( ) 0 ，t t o 取t o t o 且满足t b ( t ) t o ，对方程( 3 1 2 ) 从丁到积分可得 印) f 班z 0 b ( t ) r s h 冲( s ) 厂m d g ( s ) 厂。r ( t ，s ) z ( t s ) 出 ) ， 一s ) 出 j o，t 一( t )f t + s z ( t ) d p ( s ) r ( t ，s ) 出， j 0j t 1 7 硕士学位论文 从而可得 广嘶) ，脚肌1 ，川( 啦蜀 两边取极限可得 l i m sup厂“咖(s)厂件。n(o，s)do1t-*co j 0j t 咖( s ) ， 矛盾，因此方程( 3 1 2 ) 的所有解振动 引理3 2 3 4 5 取b ( t ) 兰b 0 ，若存在a 0 有 ，6，+ s l i m s u p d u ( s ) r ( 口，s ) d o 0( 3 2 6 ) t j 0j t 和 f s o 口( t ，s ) d p ( s ) ) l n 【ez 口d p ( s ) 。+ 。r ( p ，s ) d 口 + 1 一( f o ad # ( s ) 件5 r ，s ) d 口) 】= 。o ，( 3 2 7 ) 则方程( 3 1 2 ) 的所有解振动 证明设z ( t ) 是方程( 3 1 2 ) 的一个最终正解且单调不增，取t o t o ， 使得 茹( t b ) 0 ， 且 e ( t ) 0 ，t t o 令a ( t ) = 一鬻，从而有入( ) 0 ， o t o ) 将其代入( 3 1 2 ) 可得 婶) = f o br s ) e x p ( 【, t l 冲) 瑚) 州s ) ，t 独+ 6 ( 3 2 8 ) 记a ( ) = e 片舡( s ) 如r ( o ，s ) 枷+ 1 一( 片咖( s ) 如r ( o ，s ) 枷) 由不等式 q o ( r ) r e z 妒p ) z + 妒( r ) i n e r + 1 一( ， ) 】， 1 8 几类时滞微分方程的振动性 具甲r 0 ，x ( 一0 g ，+ o 。) 妒( 0 ) = 0 且垆( r ) 0 ，口j 知 艄) z 。帅) 件8 肌瑚小铀) 【仁。硼肌l n 删枞纠0 + 6 即 婶) 小件。肌肛小抽m ) 仁。硼) 棚 l n a ( t ) z 。啪m s ) ( 3 2 9 ) 对( 3 2 8 ) 两边从t 到n 积分可得 f 婶皿o 。帅) 件8 肌脚一f 出和如冲( s ) 仁。硼瑚 f l n 郇) 班f o r 踟小) ( 2 1 0 ) 交换积分顺序可得 f 出f o r s 州 。硼瑚o 口忡，f 脚，出硼瑚 z 口撕) ，硼) 瑚厂啪) 如 广硼，枷小厂+ 3 脚，如 = 广硼砂o 。忡) 件5 肌瑚 把上式代入( 3 2 1 0 ) 可得 广硼瑚o 。忡) 件5 肌瑚f h 郇) 出小铀州 由引理3 2 2 可知 l o 厶工工， ，口 f t + 8 一口 f t + s 上咖( s ) 上r ( 口，s ) 硼j od u ( s ) z r ( 口，s ) 硼1 ， 。瓦+ 6 - p 厶上二， 硕士学位论文 由条件( 3 2 1 0 ) 和条件( 3 2 1 1 ) 可得 厂砸) f h 舭小抽冲( s ) 从而有 h 帮f k 邱) 班小如俐( 3 2 1 3 ) 由( 3 2 7 ) 可知 熙帮z ( t = 。o t + 1 ( 3 2 1 4 ) 另一万回，田万槿( 3 1 2 ) 口j 知 一o 圣( ) + z 一口) a ( t ，s ) 咖( s ) 0 ，t t o + b ( 3 2 1 5 ) j 0 取m 为整数满足m a b 由( 3 2 6 ) 可知 l i m 。s 。u p 6d p ( s ) 。+ 们nr ( 口，s ) 始 。 由上式可知，存在整数k 且0 k m 一1 满足 f。+t+(klim sup+。d d o t - - - * o odk az 6 r ( 口，s ) d 弘( s ) r ( 口，s ) d 弘( s ) t +，口 = n m s u p e “m 奶。( 3 2 1 6 ， e h 三ji n3 2 1 可知l i m 。i n f 帮 0 使得 吧6 帅) 件5 肌炒。， 日 f ”( f o b r ( ，s ) d p ( s ) ) l n ez 6 d p ( s ) z 2 + 。r ( 口，s ) d 口 + 1 一( z o bd r ( s ) 。+ 5r ( 口，s ) d 目) 】出= 。 几类时滞微分方程的振动性 3 3 主要结果 下面给出方程( 3 1 1 ) 和方程( 3 1 2 ) 的解的振动性的几个充分条 件 定理3 3 1令b ( t ) 三b 0 若存在a 0 使得 1 诬擎s o b d # ( s ) 件5 肌瑚 吾1 ( 3 3 1 ) 则方程( 3 1 2 ) 的所有解振动 证明存在a ( 0 ，6 ) ，有1 ：2 下式子分别成立 l i m 。s u p 6d p ( s ) ，+ 8r ( 口，s ) d p 。 ( 3 3 2 ) 和 l i 罂要f z d 咖( s ) 件3 r ( 口，s ) 硼 吾1 ， ( 3 3 3 ) l i 。m 。i n fz 6d p ( s ) + 5r ( 口，s ) d 口 。 ( 3 3 4 ) 取c 0 ，t 0 且0 ， t - - * o o j oj t 则方程( 3 1 1 ) 的所有解都振动 证明设z ( t ) 是方程( 3 1 1 ) 的一个最终正解且单调不增，取t o t o ， 则有 x ( t 一6 ( t ) ) 0 ， 且 圣( t ) 0 ，t t o 取t o t o 且满足t b ( t ) t o ，从而对方程( 3 1 1 ) 从t 到o 。积分可 得 x ( t ) 2 d t r ( 6 ，s ) z ( t s ) 咖( s ) f b ( t ) ，- 。o d p ( s ) r ( p ，s ) z ( t s ) d t ，0，t ，m )，了 + 8 z ( 刁批( s ) r ( e ，s ) d t 从向口j 碍 厂饰) ，一r ( 6 , s ) d t 0 使得 l i m s u p 0 6 嘶) 件5 一r ( o , s ) d 硕士学位论文 和 f ( z 口硐州s 黼z 。忡) 蚪8 一r ( o , s ) d o + 1 一( d p ( s ) 页节两d 口) 】= 。 则方程( 3 1 1 ) 的所有解振动 证明 由引理3 2 3 可得 定理3 3 4令b ( t ) 兰b 芝0 ，若存在a 0 使得 l ；罂掣z 6 眦) 件。硐奶。， 且 ：, 0 6 一r ( t , s ) d 小) ) l n 【e 知( s ) z 件。硐硼 + 1 一( 咖( s ) 百硒两d o ) d t = o 。 则方程( 3 1 1 ) 的所有解振动 证明由引理3 2 4 可得 3 4 例子 例1 考虑方程 ，吾 宕( ) + r 【1 + s i n ( t + s ) 】z 一s ) d s = 0 ， ( 3 4 1 ) 其中r ( t ，s ) = 州1 + s i n ( t + s ) 】且p ( s ) = 8 那么 z 考d s 件5 脚肛r c 萼+ 酬， 因此 h m 。s u p o 考出t + sr ( 口，s ) 础= r ( 萼+ 1 ) 由引理3 2 2 可知( 3 4 1 ) 的解振动 2 4 几类时滞微分方程的振动性 4 非线性欧拉型微分方程的振动性 4 1引言 考虑二阶非线性欧拉型微分方程 t 2 圣+ ( x ) = 0 ，t 0 ，( 4 1 1 ) 其中，岳，夕( z ) 在r 上连续且满足 z ( x ) 0 ，z 0 ( 4 1 2 ) 方程( 4 1 1 ) 的非平凡解振动是指存在序列t n ，当t 。一o 。时，有x ( t n ) = 0 否则称z ( ) 是非振动 当方程( 4 1 1 ) 简化为线性微分方程时，即( x ) = 妇时，我们有一 个非常重要的关于非平凡解振动的准则：入 j 1 ，则方程( 4 1 1 ) 的非平 凡解振动若入i ，则方程( 4 1 1 ) 的非平凡解非振动，在这里 被我 们称作判定振动性常数 考虑方程 叠+ a ( o ( x ) = 0 ，( 4 1 3 ) 其中口( 亡) 连续可微或为常数若a ( t ) = t ，方程( 4 1 3 ) 化为上述方程 ( 4 1 1 ) 而许多关于方程( 4 1 3 ) 振动性的结论都要求非线性函数( x ) 单调，如文献 5 1 ，5 5 ，5 9 l 等，其中比较经典的是z m d e n - f o w l e r 方程对 于方程( 4 1 3 ) 我们主要有如下一些结论 定理a 5 6 设p 1 且，( z ) 满足l i m 。i 。n f 帮 0 若。( t ) o 且满 足 z 叫伽t 一 则方程( 4 1 3 ) 的解振动 定理b 6 4 设，( z ) 满足l i m i n f 眢 o 若。( ) 满足 f o 。t x a ( t ) 如= 。o ，a 0 若口( t ) 满足 a ( t ) d t = ， 则方程( 4 1 3 ) 的解振动 定理d 6 4 】设n ( t ) 满足其下确界为正常数，若f ( x ) 满足 1 i m i n f j o ，( 缸) d u | = ， 则方程( 4 1 3 ) 的解振动 显然，当a ( t ) = t q 时，以上四个判定定理都不适用，所以我们必 须寻找另外的判定方法s u g i e 和h a r e 6 1 】重新考虑了方程( 4 1 1 ) ，他 们通过变量代换t = 矿把方程( 4 1 1 ) 化为 2 一圣+ f ( x ) = 0 ，( 4 1 4 ) 其中8 r 通过分析方程( 4 1 4 ) 可知他与下面方程组 惟 ， 是等价的方程组( 4 1 5 ) 就是大家熟知的l i e n a r d 型方程，s a n d 利用此 前的一些关于l i e n a r d 型方程的振动性的结论 6 0 ，6 1 ，6 2 】等，研究得 到了方程( 4 1 1 ) 的一些振动性准则 几类时滞微分方程的振动性 4 2 引理 在这里我们首先给出方程( 4 1 1 ) 的解的存在性定理，为了说明这 一点，我们考虑如下方程组 慌二