（应用数学专业论文）几类三次丢番图方程的求解.pdf

中文摘要 所谓丢番图方程是指数论中的不定方程，简单的讲，就是未知数的个数多于方程的 个数的方程( 或方程组) 。丢番图方程是数论中一个十分重要的研究课题，与代数数论、 组合数学、代数几何等有密切联系。它的研究成果不仅对数学各个分支的发展起重要作 用，而且对于其它学科，如经济学、物理学等的研究有很大的应用价值。因此，丢番图 方程一直是众多数学工作者热衷研究的对象。 对于一次和二次丢番图方程的解法，已经基本成熟，而对于三次及高次丢番图方程 的解法，还没有一般的结论，有待于进一步研究。 本文的主要内容： 一利用初等方法及同余理论研究了丢番图方程x 3 一d y 2 = 1 其中d = 3 8 ，7 3 ，9 7 的整数解 问题，证明了 ( 1 ) 方程x 3 3 8 y 2 = 1 仅有整数解( x ，y ) = ( 1 ，o ) ，( 7 ，3 ) ( 2 ) 方程x 3 7 3 y 2 = 1 仅有整数解( 工，y ) = ( 1 ，o ) ( 3 ) 方程z 3 9 7 y 2 = l 仅有整数解“j ，) = ( 1 ，o ) 二运用p e l l 方程的一些结果讨论了两类三次丢番图方程解的存在性问题，具体给出了 几个丢番图方程无正整数解的充分条件。 关键词 丢番图方程，正整数解，同余，递归序列 a b s t r a c t t h es o c a l l e dd i o p h a n t i n ee q u a t i o ni st h ei n d e t e r m i n a t ee q u a t i o ni nn u m b e rt h e o r yi n w h i c ht h en u m b e ro fv a r i a b l ei sm o r et h a nt h a to ft h ee q u a t i o n ( o re q u a t i o n s ) d i o p h a n t i n e e q u a t i o ni sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nn u m b e rt h e o r ya n dc l o s e l yc o n n e c t e dw i t ha l g e b r a i c n u m b e rt h e o r y , c o m b i n a t o r i c s ，a l g e b r a i c g e o m e t r y a n d c o m p u t e r s c i e n c ee t c t h e a c h i e v e m e n t si n d i o p h a n t i n ee q u a t i o np l a y a l li m p o r t a n tr o l eb o t hh ae v e r yb r a n c ho f m a t h e m a t i c sa n di no t h e rs u b j e c t s ，s u c ha se c o n o m i c s ，p h y s i c s s ot h e r ea r es t i l lm a n y p e o p l e w h oh a v eg r e a ti n t e r e s t e di nd i o p h a n t i n ee q u a t i o n w ea r ef a m i l i a rw i t ht h em e t h o da n ds o l u t i o no ft h es i m p l ed i o p h a n t i n ee q u a t i o na n d q u a d r a t i cd i o p h a n t i n ee q u a t i o n b u tf o rt h es o l u t i o no fc u b i cd i o p h a n t i n ee q u a t i o na n dh i 曲 o r d e rd i o p h a n t i n ee q u a t i o n ，t h e r ei s1 1 0g e n e r a lc o n c l u s i o n ，s oi tn e e d sf u r t h e rd i s c u s s i n g t h em a i nc o n t e n t so f t h i sp a p e ra r e ： f i r s t ，u s i n gt h ee l e m e n t a r ya n dt h et h e o r yo fc o n g r u e n c eis t u d i e dw i t ht h ed i o p h a n t i n e e q u a t i o ni nw h i c ha ni n t e g e ro ft h ei s s u e 。i nt h i sp a r t ，w ew i l lp r o v et h a tt h ee q u a t i o n ，一3 8 y 2 = lh a si n t e g e rs o l u t i o n so ，y ) = ( 1 ，o ) ，( 3 ，4 ) ；t h ee q u a t i o n ，一7 3 y 2 = 1 h a s i n t e g e r s o l u t i o n sg ，y ) = ( 1 ，o ) ；t h ee q u a t i o n x 3 9 7 y 2 = 1 h a s i n t e g e r s o l u t i o n s ( 工，y ) = ( 1 ，0 ) s e c o n d ，u s i n gs o m er e s u l t so ft h ep e l l se q u a t i o n ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft w o c l a s s e so fc u b i cd i o p h a n t i n ee q u a t i o ni sd i s c u s s e d s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c h t h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o nh a v en op o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o na r eg i v e n k e y w o r d s d i o p h a n t i n ee q u a t i o n ，p o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n ，c o n g r u e n c e ，r e c u r r e n ts e q u e n c e 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 。 i 学位论文作者签名：抽盈往 墼指导教师签名：躯兰 弋广i# 秒i 。年易月i 。日2 u p 年6 月姻 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：柄力产韧夺 训。f t 占月1 0 日 酉j i 叁堂堡堂丝鲶窑 第一章绪论 1 1 丢番图方程的概述 方程一词源于我国古代最著名的数学著作九章算术( 公元一世纪左右成书) ，书 的第八章叫做“方程章，其内容相当于我们现在的线性方程组。由于古代采用“竹筹 ， 记数，将长方形的系数由竹筹排列出来成为长方形，然后变动长方形的竹筹阵以求解答， 这种“列筹成方的课程 就称为方程。 所谓丢番图方程是指数论中的不定方程，简单的讲，就是未知数的个数多于方程的 个数的方程( 或方程组) ，而其解的范围可以是有理数域、整数环或某一代数数域q ( 秒) 上的代数整数环。被誉为“代数学之父”的希腊数学家丢番图在它的一部叫做算术 的著作中，除了第一卷之外，其余问题几乎都是考虑不定方程的问题，由于丢番图三世 纪初研究过这样的方程，所以不定方程又叫丢番图方程。 丢番图方程的内容极其丰富，它的分类基本上是由方程的形式决定的，例如，可分 为一次方程、二次方程、三次方程、高次方程、指数方程和一些特殊类型的方程，以及 和许多学科交叉渗透产生的新的类型。由于丢番图方程对解的特殊限制，在数论及数学 的其他分支，有许多急待解决而又有很大困难的问题最终都可归结为某些丢番图方程的 求解问题。因此丢番图方程称为历史上最为活跃的数学领域之一。国内外有很多优秀的 数学家都从事过丢番图方程的研究，如：f e r m a t ，e u l e r ，r o t h ，b a k e r ，f a l t i n g s 等。 1 2 丢番图方程的成就 丢番图方程历史悠久，近年来这一领域出现了许多瞩目的优秀成果，极大的丰富了 数论的内容，促进了数学的发展。 有关丢番图方程最早的系统性研究的专著是m o r d e l l t l l 的书。在国内第一本较系统的 专著是柯召与孙琦【2 1 的谈谈不定方程。1 9 5 5 年，k e r o t h 【3 1 证明了一个著名的定理： 设秒是一个刀2 次的代数数，则任意f o ，适合 h o 仅有有限组。应用r o t h 定理，可以证明二元聆o 2 ) 次的不可约多项式方 程解的个数有限。例如1 9 6 2 年，我国数学家柯召证明了：设p ，q 是不同的奇素数，在 p 2 ( q - 1 ) 或q 2 ( p - 1 ) 时，不定方程工p x 一= 1 只有有限组整数解x , y 。1 9 6 8 年前后， 英国数学家b a k e ra 成功地将g e l f o n d 和s c h n e i d e r 有关h i l b e r t 第七问题的结果推广到 一般的情况1 ，给出了一大类丢番图方程的整数解的绝对值的上届。b a k e r 的工作不 但推动了超越数论的发展，而且给数论中包括丢番图方程的许多领域带来了突破性进 展。1 9 7 3 年，p d e l i g n e 证明了关于有限域上不定方程厂( 五，x n ) = 0 的解的个数的猜想， 即著名的a w e i l 猜想。1 9 8 3 年，德国数学家g f a l t i l l g 证明了l j m o r d e l l 猜想，即有 理数域里亏格2 的代数曲线上仅有有限个有理点【6 1 。由此可以导出f e r m a t 方程 ，+ j ，“= z n ( x ，y ) = 1 在玎4 时最多有有限组正整数解。1 9 8 5 年，由g f a l t i n g s 定理， d r h e a t h - b r o w n ，1 证明了h i i l 盟盟：0 0 专) ，这里n ( s ) 表行ss 使r + 少：z 一( 拧 2 ) 有 s 正整数解的那些行的个数。即对“几乎所有”的正整数n 2 ，方程，+ y ”= z 4 均没有正整 数解。1 9 8 9 年国际上较为系统、特别是系统总结这个领域研究的成果与方法的书丢番 图方程引论问世【8 】。近三十年来，这个领域又有其重要的发展，如在信息编码领域、 代数数论、以及丢番图分析理论中都要用到不少类型的三次丢番图方程的结果，这就迫 使我们有必要研究三次丢番图方程的一些基本类型的解法。 1 3 解丢番图方程的方法及原则 解丢番图方程的常用方法包括：分解因式法、简单同余法、p e l l 方程法、二次同余 法等。有些丢番图方程的求解是非常困难的，人们为了解决这些丢番图方程，创立了许 多数学分支，例如丢番图逼近法、p a d i c 方法等，这些方法大大丰富了数论的内容， 同时也为我们更广泛地求解丢番图方程提供了有力的工具。 在丢番图方程中，各种形式的方程是无穷无尽的。人们希望可以尽可能的找到某种 类型的一个一般性的求解过程，以便在更多的场合更好地应用。有些问题在整数环中得 到了解决，人们就想把它拓展到更一般的代数整数环上去研究。有些问题用高深方法解 决了，人们还想找一个初等的方法。这些做法的目的，无非是想通过这些研究产生新的 2 结果或技术，而这些新结构或新技巧往往可能是新数学分支的萌芽，也可能对科学技术 的发展产生某些特殊的应用。 丢番图方程的内容异常丰富，但又没有一个统一的处理方法。一般来说，我们只能 给出丢番图方程的求解原则，及综合利用各种初等的、高深的方法，将丢番图方程化为 若干容易处理的或有熟知结果的方程。因此，丢番图方程的研究范围仍然非常开阔，需 要数学家的不懈努力。 对于一个具体的丢番图方程 厂( 五，气) = o ，i = l ，以 其中厂( 一，) 是关于未知数五，毛的整系数多项式，甲，( 扛1 ，刀) 是未知数的 取值集合，一般情况下，我们需要解决下列问题： 1 上述方程是否有解( 五，五) ? 2 上述方程有解时，它的解是否有有限组? 3 a 如果上述方程的解是有限多组，能否可以具体找出各组解? b 如果上述方程的解是无限多组，能否可以找到一个统一的求解公式? 1 4 解丢番图方程的困难性 尽管有一些丢番图方程的求解问题叙述简单、容易理解，但解决起来却相当困难， 而且解丢番图方程没有一个一般的方法，因而它向人类的智慧提出了挑战。 例如：求不定方程 l + x 2 = 2 y 4 ( 1 4 1 ) 的正整数解x ，y 的问题，在很长一段时间，数学家们只知道它有两组解 ( x ，y ) = ( 1 ，1 ) ，( 2 3 9 ，1 3 ) ，但要证明他是否存在另外的解却不容易。1 9 4 2 年，w l j u n g g r e n 研究了四次域的单位数之后，用了大量的现代数论的成果最终才得以证明方程( 1 4 1 ) 最多有两组正整数解。最有突出贡献的是大数学家l j m o r d e 1 提出了一个公开性的问 题：是否能找出一个简单的或初等的证明? 对于不定方程 ，y y - ：z z9 j 1 9 y 1 ， ( 1 4 2 ) 著名数学家p e r d 6 s 猜想它没有正整数解。1 9 4 0 年，著名数学家柯召证明了这一猜想是 3 错误的，他证明了方程( 1 4 2 ) 有无穷多组解： x = 2 2 1 ) 。1 9 5 9 年，w h m i l l s 发现柯召得到的解均满足4 砂= z 2 的条件，所以证明 了：( 1 ) 如果4 砂= z 2 ，则柯召找到的解是( 1 4 2 ) 的全部正整数解；( 2 ) 如果4 m y z 2 ， 则方程( 1 4 2 ) 没有正整数解。在1 9 8 4 年，s u c h i y a m a 证明了：如果4 x y 2 ) 已经解决了p 2 时的情况，但对p = 2 无能无力。g j s i m m o n s 提出，方程 p = 2 行! = ( m - 1 ) m ( m + 1 ) 是否仅有正整数解( 聊，r ) = ( 2 ，3 ) ，( 3 ，4 ) ，( 5 ，5 ) ，( 9 ，6 ) ? 丢番图方程的类型繁多，有关它的猜想也十分丰富。在这些方程的研究过程中， 有一部分被证明是不成立的，有一部分得到了肯定的回答，还有一部分至今为止，既未 得到肯定的回答，又没有否定的结论。因此，还需要数学家们不断地努力。 1 5 本论文的主要工作 本文第一章主要阐述了丢番图方程的概念、发展状况、前人成就以及求解丢番图方 程的方法、原则及困难性，为后面的讨论做好准备；第二章给出了全文的相关理论，对 同余、同余式、l e g e n d r e 符号、j a c o b i 符号和p e l l 方程及其定理都有详细介绍。 第三章和第四章是本文的主要部分。第三章主要分四节具体讨论了形如x 3 一i ) 2 2 = 1 的三个方程全部整数解的问题，在第一节里给出了此类丢番图方程现有的研究成果，第 二节、第三节、第四节利用同于理论及递归序列得出了： 1 丢番图方程石3 3 8 y 2 = l 仅有整数解( 石，y ) = ( 1 ，o ) ，( 3 ，4 ) 2 丢番图方程夕一7 3 y 2 = 1 仅有整数解( 工，y ) = ( 1 ，o ) 4 3 丢番图方程工3 9 7 y 2 = 1 仅有整数解( z ，y ) = ( 1 ，0 ) 。 第四章中，主要讨论了两类三次丢番图方程解的存在性问题，利用p e l l 方程得出 了：当p 是奇素数，如果p = 3 ( 2 4 k + 1 9 ) ( 2 4 k + 2 0 ) + 1 ，其中k 是非负整数，则方程 ，+ 1 = p y 2 、z 3 8 = d y 2 均无正整数解。 由于作者水平有限，论文中漏洞和不妥在所难免，恳切希望专家及同行批评指正。 5 第二章预备知识 本章主要给出了与本文相关的基础知识，这里仅给出主要内容，对其相应的性质 不给出证明。 2 1 同余，同余式及其性质 定义2 1 1 9 1 给定一个正整数m ，把它叫做模。如果用m 去除任意两个整数a 与b 所 得的余数相同，我们就说a ，b 对模m 同于，记作a - b ( m o d m ) 。如果余数不同，则称a ，b 对模所不同余，记作a 声b ( m o d m ) 。 由同余的定义易得出以下基本性质： ( 1 ) a 毫a ( m o d m ) ( 2 ) a 量b ( m o d m ) ，则6 誊a ( m o d m ) ( 3 ) 若a - - b ( m o d i n ) ，b 毫c ( m o d m ) ，则口兰c ( m o d m ) ( 4 ) 若q - b 1 ( m o d m ) ，a 2 - = b 2 ( r o o d m ) ，贝0 口1 + 口2 暑岛+ b 2 ( r o o d m ) ( 5 ) 若口l - - - b l ( m o d m ) ，a 2 - b 2 ( m o d m ) ，则a l 口2 - b i b 2 ( m o d m ) ，特别地，若 a - b ( m o d m ) ，贝t j a k 量b k ( m o d m ) ( 6 ) 若a - b ( m o d m ) ，r a - a l d ，b = b f l ，( d ，朋) = 1 ，则口i = b ! ( m o d m ) ( 7 ) 若a 暑b ( m o d m ) ，k 0 ，则a k 兰b k ( m o d m k ) ( 8 ) 若口- b ( m o d m i ) ，i = 1 ，2 ，k ，则口- b ( m o d ，朋2 ，r e , i ) ( 9 ) 若a 暑b ( m o d m ) ，djm ，d 0 ，则a 兰b ( m o d d ) ( 1 0 ) 若口- - b ( m o d m ) ，贝t j ( a ，朋) = ( 6 ，肌) ，因而若d 能整除口，6 二数之一，则d 必 能整除口，b 中的一个 定义2 1 2 t 9 1 - 设f ( x ) = a 。矿+ 口。- l x 川+ + 口1 x + 口o ，其中疗是正整数，口f ( f = 1 ，2 ，捍) 是整数，又设整数m o ，则 6 f ( x ) 兰o ( m o d m ) ( 2 1 1 ) 叫做模朋的同余式，如果吒声o ( m o d m ) ，则，z 叫做它的次数。如果x o 满足 f ( x o ) 兰o ( m o d m ) ，则石- x o ( m o d m ) 叫做同余式( 2 1 1 ) 的解。 2 2l e g e n d r e 符号与j a c o b i 符号 定义2 2 1 ”1 阪饭【口，驯l = 1 ，如呆i 司尔瓦r 善a ( m o d 朋) 伺胖，贝i j 口u 1 1 畋俣m 削一伙 剩余，否则叫做模m 的二次非剩余。 定义2 2 2 【1 0 】设素数p 2 ，定义整变量d 的函数：当d 是模p 的二次剩余时， ( 吾) = ；当d 不是模p 的二次剩余时，( 丢) = 一；当p l d 时，( 丢) = 。我们把( 吾) 称 为模p 的l e g e n d r e 符号。 l e g e n d r e 符号的基本性质。 = ( 孚) ； ( 2 ) 兰护枷2 ( m o ； 盼； ( 4 ) 纠矾盼l ； 乩七珍川) 2 定义2 2 3 【1 。】设奇数p 1 ，p = p l p 2 p ，乃( 1s _ ，s ) 是素数，定义。 ( 吾) = ( 鲁) ( 丢) ( 詈) ，这里( 号 c - ，s ，是模p ，的l e g e n d r e 符号，我们把( 吾) 称 为j a c o b i 符号。显然，当p 本身是素数时，j a c o b i 符号就是l e g e n d r e 符号。 7 c - ，( 吉) = - ；当c d ，p ， t 时，( 吾) = 。；当c d ，p ，= 时，( ；) 取值，： = ( 字) - 盼； d = ； c 5 ，当c d ，力= t 时，( 鲁) = ( 参) = 2 3p ej l 方程及主要定理 定义2 3 1 通常的p e l l 方程是指不定方程z 2 一o y 2 = 1 ，+ 4 ( x ，y z ) ，其中d 是非完 全平方的正整数。而广义p e l l 方程是上述不定方程的推广，有以下两种基本形式： x 2 一功2 = 尼，o ，y ，k z ) ，a x 2 一b y 2 = l ，2 ，4 0 ，y ，a ，b z ，a b 0 ) 。我们把上述的四种 不定方程统称为p e l l 方程。 定理2 3 1m 1 设d 是一个正整数且不是一个完全平方数，则方程 工2 一b y 2 = 1( 2 3 1 ) 有无限多组整数解x , y 。设而2 一砜2 = 1 ，而 o ，y o 0 ，是所有z 0 ，y 0 的解中使 x + y , f - d 最小的那组解( 称( 而，y o ) 茭s ( 2 3 1 ) 的基本解) ，则( 2 3 1 ) 的全部解石，y 由 x + y f - o = ( + y o x d ) “表出，其中玎是任意整数。 定理2 3 2f l l l 设d 是一个正整数且不是一个完全平方数，如果方程 石2 一d y 2 = 一1 ( 2 3 2 ) 有解，且设 a 2 d b 2 = 一1 ，a o ，b o ，是所有戈 o ，) ， o 的解中使x + j ，万最小的那组 解( a ，b 叫做( 2 3 2 ) 的基本解) ，则( 2 3 2 ) 的全部解( 有无穷多组) x ，y 由 x + y 西：+ ( a + b f f - d ) 2 川表出，其中刀是任意整数。且占= 而+ 万= ( a + b x - d ) 2 ，其中 x o ，y o 是x 2 一功2 = l 的基本解。 定理2 3 3 t 1 1 1 设“o + 万是方程 z 2 一b y 2 = n ( 2 3 3 ) 的某结合类七基本解，x o + y o , , 5 是x 2 一缈2 = l 的基本解，则有 。v 0 再y 0 4 而- 万， ( 2 3 4 ) 。郸压丽 汜3 剐 证如果( 2 3 4 ) 和( 2 3 5 ) 对结合类七成立，则对石也成立，因此，不失一般性， 设 0 。 显然有 一d v o y o = u 0 而一妊f 丽 o ， ( 2 3 6 3 ) 考虑解 ( u o + v o , - 万) ( x o y 0 4 5 ) = v o x o d v o y o + ( x o v o y o u 0 4 5 ， 它也属于k 类。由( 2 3 6 ) 可不难证得 u o x o d v o y o ( 2 3 7 ) 由这个不等式得出 “。2 ( x o 一1 ) 2 d 2 v 0 2 y 0 2 = ( “0 2 一加( j c 0 2 一1 ) ， 或 蓦抖一i n lu o + 即 2 三1 ( 而+ 1 ) ， 这就证明了( 2 3 5 ) 。由( 2 3 7 ) 砜y o u o ( x o 一1 ) ， 9 故 吒等= 嚣s 这就证明了( 2 3 4 ) 。证完。 定理2 3 4 【1 1 1 设+ 万是方程 而+ l “2 一所2 = 一 ( 2 3 8 ) 的某结合类尼基本解，x 0 + 石是x 2 一砂2 = 1 的基本解，则有 0 y 、瓶。 o 证不失一般性，设材。o ，显然有 或 考虑解 ( x o v o ) 2 x 0 2 v 0 2 _ ( 觋2 + 1 ) ( 华) = ( y 0 2 + i l 2 + ) 2 2 ， 而一y o u o 0 ， ( “。+ v 0 历) ( 一沥) = u o x o d v o y o + ( x o v o y o u o ) 4 d ， 它也属于k 类。由( 2 3 1 1 ) 有 由这个不等式得 或 故得 这就证明了( 2 3 1 0 ) 。由 而一y o u o v o ， d v 0 2 ( x o 1 ) 2 d y 0 2 u 0 2 ， 1 0 ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) 焉 i i ， l一1 d + 一一 一 一 o l 旦印 k 一 + 砜2 耐+ 扣+ 1 ) = 石y 0 2 d 可n ， 故 这就证明了( 2 3 9 ) 。证完。 v 0 2 石y 0 2 而n ， 定理2 3 5 t 1 1 1 设d 0 ，n o ，d 不是平方数，不定方程( 2 3 3 ) 或( 2 3 8 ) 的解仅 有有限个结合类所有类的基本解可由( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 或( 2 3 9 ) 、( 2 3 1 0 ) 经有限步 求出。设甜。+ v o , , b 是类k 的基本解，则类七的全部解材+ 1 ，万可经 u + v x - d ：+ - ( u o + v o 历) ( 而+ y o 历) “ 表出，其中x o + 万是x 2 一d y 2 = 1 的基本解，力为整数。 如果( 2 3 3 ) 或( 2 3 8 ) 没有解满足( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 或( 2 3 9 ) 、( 2 3 1 0 ) ，则 ( 2 3 3 ) 或( 2 3 8 ) 没有解。 例1 解方程 u 2 2 v 2 = 11 9 ， 易知石：一2 y 2 ：1 的基本解是3 + 2 互。由( 2 3 4 ) 得 慨厚哦 经计算，有解 1 1 + 压，一1 1 + 压，1 3 + 5 , 至，一1 3 + 5 x 2 ， 满足( 2 3 4 ) 和( 2 3 5 ) ，且属于不同的结合类，故方程的解有四类。 例2 解方程 u 2 6 v 2 = _ 2 9 ， 易知x 2 6 y ：1 的基本解是5 + 2 石，由( 2 3 9 )