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几类连续时间风险模型的研究 摘要 在通常的风险模型中，往往假定保险公司中不同时期的保费收入和理 赔额分别为两列独立同分布的随机变量，而且是相互独立的但是，在保险 公司实际经营中，索赔到达计数过程与保单到达计数过程是相依的，且险 种呈现多元化，有必要为这类险种情形提供更为客观实际的风险模型另 外，自国际著名学者h a n su g e r b e r 和e li a ss w s h i u 于上世纪末首次 提出破产时刻折现罚金函数的概念，风险理论中的一些有兴趣的重要精算 量都是破产时刻折现罚金函数的特例破产时刻折现罚金函数作为一个有 力的数学工具，使得可以用一种统一的方式分析破产时刻、破产前瞬间盈 余、破产时赤字以及相关的精算量本论文建立并研究了三类风险模型： ( 一) 考虑了保费率随机、保费收取过程是p o i s s o n 过程，而索赔计数 过程是其稀疏过程的双险种风险模型的不破产概率问题，求出了不破产概 率满足的积分方程，并在指数分布的情况下求出了无限时间不破产概率的 具体表达式 ( 二) 研究了保费率随机、保费收取过程是p o i s s o n 过程，而索赔计数 过程是其稀疏过程的带干扰的双险种风险模型，讨论了其盈余过程的基本 性质，强马氏性和鞅性，利用鞅证明了l u n d b e r g 不等式和最终破产概率的 一般公式 ( 三) 考虑了对于给定的初始状态和初始分布，保费率受马氏过程控制 的风险模型，利用向后差分法得到了折现罚金函数以及条件破产概率所满 足的积分方程，并推出了在具有平稳初始分布时折现罚金函数的递归不等 式和零初始资产时破产概率的一个简洁估计 关键词：生存概率积分表达式破产概率鞅p o i s s o n 过程稀疏过程马氏 调制折现罚金函数l u n d b e r g 不等式 s t u d ys o m ec l a s s e so fc o n tin u o u stim er ls km o d e l s a b s t r a c t i na c t u a r i a ls c i e n c e ，t h eu s u a lm o d e l sa r e u s u a l l yb a s e do nt h ei n d e p e n e n y a s s u m p t i o n ，t h a ti s ，t h ep r e m i u m sa n dc l a i m sa r ea s s u m e dt ob et w oi n d e p e n d e n ta n d i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ( i i d ) r a n d o nv a r i a b l e ss e r i e s ，a n dd i f e r e n tt i m e so fp o l i c i e sa r e i n d e p e n d e n to fe a c ho t h e r b u ti nt h ei n s u r a n c ec o m p a n yp h y s i c a l l yt h em a n a g e m e n t ， c o u n t i n gp r o c e s sc l a i m sa n dp r e m i u m sa r r i v e da tt h ec o u n t i n gp r o c e s si sd e p e n d e n t ，a n d g r o w sa n dp r e s e n t sad i v e r s i f i c a t i o nn e a rt h e r ei sn e c e s s i t yt of o rt h i st y p eo fg r o w s i t u a t i o na n dp r o v i d em o r eo b j e c t i v ea n da c t u a lr i s km o d e ln e a r l y a d d i t i o n ，a tt h ee n d o fl a s tc e n t u r y , t h ec o n c e p t i o no ft h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i nw a s f i r s ti n t r o d u c e db yh a n su g e r b e ra n de l i a ss w ：s h i uw h oa r ec o n t e m p o r a r y i n t e r n a t i o n a ll e a d i n g e x p e r t sa tr u i nt h e o r y an u m b e ro fp a r t i c u l a rc a s e so ft h e e x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i nl e dt oi m p o r t a n tq u a n t i t i e so fi n t e r e s ti n r i s kt h e o r y t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e d p e n a l t yf u n c t i o n a tr u i n b e i n gap o w e r f u l a n a l y t i c a lt o o lm a d ei tp o s s i b l et oa n a l y z et h et i m eo fr u i n ，t h es u r p l u si m m e d i a t e l y b e f o r er u i n ，t h ed e f i c i ta tr u i n ，a n dr e l a t e dq u a n t i t i e si nau n i f i e dm a n n e r i nt h i st h e s i s ， w eb u i l du pa n d s t u d yt h r e ec l a s s e so fr i s km o d e l ： ( 1 ) w ec o n s i d e rt h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yp r o b l e mo fad o u b l e t y p er i s km o d e li n w h i c ht h er a t eo fp r e m i u mi n c o m ei s r e g a r d e da sar a n d o mv a r i a b l e ，t h ea r r i v a lo f i n s u r a n c ep o l i c i e si sap o i s s o np r o c e s sa n dt h ep r o c e s so fc l a i mo c c u r r i n gi s t h i n n i n g p r o c e s s ai n t e g r a le q u a t i o nf o rt h es u r v i v a lp r o b a b i l i t ya r eg o t t e n t h ee x p l i c i tf o r m u l a o ft h es u r v i v a l p r o b a b i l i t y f o rt h e c a s e - e x p o n e n t i a id i s t r i b u t i o n i n f i n i t ei n t e r v a li so b t a i n e di nt h e s p e c i a l ( 2 ) w es t u d yt h er u i np r o b a b i l i t yp r o b l e mo ft h ed o u b l e t y p er i s km o d e lp e r t u r b e d i nw h i c ht h er a t eo fp r e m i u mi n c o m ei sr e g a r d e da sar a n d o mv a r i a b l e ，t h ea r r i v a lo f i n s u r a n c ep o l i c i e si sap o i s s o np r o c e s sa n dt h ep r o c e s so fc l a i mo c c u r r i n gi s t h i n n i n g p r o c e s s u s i n gm a r t i n g a l em e t h o d ，t h el u n d b e r gi n e q u a l i t ya n dt h ec o m m o nf o r m u l a f o rt h er u i np r o b a b i l i t ya r e p r o v e d ( 3 ) t ob ec o n s i d e rf o rt h ei n i t i a ls t a t ea n di n i t i a ld i s t r i b u t i o n p r e m i u mr a t e s m a r k o vp r o c e s sc o n t r o lb yt h er i s km o d e l ，b yab a c k w a r dd i f f e r e n t i a la r g u m e n t ，t h e i n t e g r a le q u a t i o n s a t i s f i e db yt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e df u r t h e rm o r ew eo b t a i n a r e c u r s i v ei n e q u a l i t ya b o u tt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yw i t ht h es t a t i o n a r yi n i t i a l d i s t r i b u t i o na n das i m p l i f i e de s t i m a t i o no f r u i np r o b a b i l i t yw i t hn oi n i t i a lr e s e r v e k e yw o r d s ：s u r v i v a l p r o b a b i l i t y ；i n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n ；r u i np r o b a b i l i l y ；m a r t i n g a l e ； p o i s s o np r o c e s s ；t h i n n i n gp r o c e s s ；m a r k o v m o d u l a t e d ；t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y ； l u n d b e r gi n e q u a l i t y 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究 成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮 助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 王志攀 j 埘年占月f 多日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 团即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者躲芏志，葶导师躲方侈春旦沙g 年乡月廖同 广西大掌硕士掌位论文几类连续时间风险模型的研究 第一章绪论 1 1 风险过程的起源和发展情况 保险风险理论产生于保险公司承保项目的可行性研究，其研究对象来自保险商业的 各种随机模型初期的风险理论主要与寿险有关，研究的是个体风险模型，通常称为个 体风险理论集体风险理论把全体投保者看成一个整体，索赔的产生为个随机过程， 如今在风险领域里研究的各种风险模型都是在此基础上逐步发展起来的j x l 险理论作为 保险精算数学的一部分，是当前精算界与数学界研究的热门课题，主要处理保险事务中 的随机风险模型并研究破产概率、调节系数等问题经典风险模型是主要研究对象之一， 国内外的学者们已对其进行了大量的研究现已公认，其研究溯源于瑞典精算n i f i i i p l u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文。他首先进行了破产论的研究，提出了一类重要的随 机过程，r 1 p o i s s o n 过程不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严 格化是以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成的，是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠定在坚实 的数学基础之上，他们给出3 l u n g b e r g c r a m e r 经典破产模型的确切表述、有关假定和 主要结果 现已公认，l u n d b e r g 和c r a m e r 的成果为经典风险理论的基本定理因此，风险理论 较为系统的理论形成应该说始于l u n g b e r g 和c r a m e r t 随机过程理论的逐渐系统和成熟 为风险理论的研究提供了强有力的方法和工具当代研究破产论的国际领先学者h a n s u g e r b e r 以严谨的概率论基础，简练清晰地进一步研究了破产论对风险理论的系统论 述当属于g e r b e r 1 ，2 和g r a n d e l l 3 近年来，风险理论的研究十分迅速，研究问题的 范围也逐渐扩大，其中破产概率的计算和估计一直是风险模型研究的核心问题风险理 论发展至今，己形成许多处理风险模型的方法近年来，保险风险理论的研究基本上是对 经典风险模型作如下几个方面的推广：对p o i s s o n 过程作新的假定；考虑利率因素；考虑扩 散过程的干扰；考虑保费收入过程为某随机过程 1 2 经典风险模型及破产论中的研究方法 ( 1 ) 经典风险模型是： g - 西大学硕士学位论文 几类连续时间风险模型的x o l - 究 n ( t ) u ( f ) = u + c t - 以，2 0 k = 1 ( 1 2 1 ) 其中u 0 ，c 0 均为常数，u 表示保险公司的初始资金，c 表示保险公司单位时间征收 的保险费率；n ( t ) 表示至时刻t 为止发生的索赔次数，它是参数为允的齐次p o i s s o n 过 程； 鼍，k 1 ) 为非负独立同分布随机变量序列且假定 ( ，) ，f o ) 与 以，k 1 ) 相互独立 经典风险模型作为一种理论模型，有着它在数学上的简单性和应用上的方便，而且 对它的研究已经比较完整和深入其中a s m u s s e n 4 ，5 ，f e l l e r 6 ，g e r b e r 1 ，2 ， g r a n d e l l 3 等为风险模型的发展做出了巨大的贡献但是在很多情况下，人们必须推 广经典风险模型，以更好的符合实际情况 1 ) 多险种风险模型： 经典风险模型的一个局限性就是只考虑一类同质风险，也就是说模型只考虑经营 种险种时的情形但随着保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及新险种的不断 开发，这些单个险种的风险模型对于研究整个公司的破产概率就无能为力了因此，采 用多险种风险模型来描述实际情况，对于保险公司的经营及监管部门的监管更具有实际 意义文献 7 建立了多险种风险模型，并在调节系数存在的条件下研究了该模型的破 产概率等问题 2 ) 保费率随机的风险模型 在经典风险模型中，假定保险公司在单位时间内收取的保费为一常数c ，这种假设 过于理想化了为此，很多学者在这方面做了推广得到了所谓的保费随机收取的风险 模型，例如在t e m n o v 8 风险模型中，保费总收入过程和索赔总额过程均是复合p o i s s o n 过程还有许多学者对此类风险模型进行了研究，得到了许多比较完善的结果，见 9 等 ( 2 ) 破产论中的研究方法 f e ll e r 的更新论证和g e r b e r 的鞅方法最具有代表性，下面简述这两种方法 1 ) 更新论证的方法 在经典模型的基础上，研究保险公司永不破产的概率，也称生存概率记为： r ( u ) = 1 一甲 ) = 尸( u ( f ) 0 ，f 0u ( 0 ) = 甜) ， 其中w ( u ) = p ( t iu ( o ) = u ) 称为最终破产概率，t = i n f t ：u ( t ) 0 ) ，i n f= o o ，t 称 为破产时刻可得更新方程： 2 广西大学硕士掌位论文几类连续时间风险模型的研究 r ( f ) = r ( o ) + 告j r ( 卜z ) 【l f ( z ) 出 2 ) l u n d b e r g 不等式的鞅方法证明 令y ( t ) = e r u ，其中r 是调节系数，可证y ( t ) 为一正鞅，由鞅的知识可得： e 娟”= e y ( t ) i 丁 o o p ( t ) ， 将y ( t ) = e 靠u r 代入上式得 帅) = 驴筛丽， 又因u ( t ) o ，e 娟u 7 1 1 ，可得著名的l u n d b e r g 不等式 甲( “) e 一触 1 3 破产时刻折现罚金函数 文献 1 0 中，g e r b e r 和s h i u 在经典风险模型下引入了破产时刻折现罚金函数的概 念，定义经典风险模型( 1 2 1 ) 下的破产时刻折现罚金函数为 ) = e e 埘w 缈( 互) ，iu ( t ) i ) j ( 丁 o o ) iu ( 0 ) = u 】( 1 3 1 ) = j c o c o c o p 一盘w ( 工，y ) 厂( x ，y ，tl 甜) d t d x d y ( 1 3 2 ) = rf w ( x , y 矿( x ，yl “) d x a y ，( 1 3 3 ) 其中1 一为示性函数，w ( x ，y ) 为非负的连续二元实函数，u ( z ) ，iu ( 丁) i 表示破产时瞬时 盈余以及破产时赤字万为非负实数，e 埘可理解为折现因子f ( x ，y ，j 甜) 是给定的 u ( o ) = u 0 时的随机变量u ( t ) ，lu ( t ) i ，丁的联合概率密度函数： 八x ，yf 甜) = r g 一拉厂( x ，y ，tlz ，) a t ，当8 = 0 时厂( z ，yl 甜) 是给定u ( o ) = 甜o 的随机变量 u ( z ) ，iu ( t ) i 的联合概率密度函数 g e r b e r 和s h i u 于1 9 9 8 年首次提出折现罚金函数后，研究风险模型的折现罚金函 数的学者越来越多由于折现罚金函数具有许多性质，逐渐成为风险过程研究的热点之 一例如，g e r b e r 和l a n d r y 1 1 、赵霞 1 2 等考虑了带随机干扰的经典风险模型下的破 产时刻折现罚金函数，得到它满足的更新方程及其若干应用l i 和g a r r i d o 1 3 给出一 1 广西大学硕士学位论文 几类连续时间风险模型的研究 类e r l a n g ( n ) 风险过程的破产时刻折现罚金函数的瑕疵更新方程并由此得到破产时刻、 破产前瞬间盈余及破产时赤字的联合分布l i 和g a r r i d o 1 4 推导了一类带有常红利界 线的更新风险模型下的破产时刻折现罚金函数满足的积分一微分方程及其解t a n 和 y a n g 1 5 ，b a o ，z h 1 6 关于分红险种问题的研究也考虑到了折现罚会函数l i 和l u 1 7 考虑一类带有两个独立险种的风险模型，其中两个理赔计数过程分别为独立的p o i s s o n 过程和推广的e r l a n g ( 2 ) 过程，从破产时刻折现罚金函数满足的积分一微分方程推导出 了它的l a p l a c e 变换w u ，w a n g 和z h a n g 1 8 利用破产时刻折现罚金函数作为工具推出了 破产时刻、破产前瞬间盈余及破产时赤字的联合分布的显示表达式关于破产时刻折现 罚金函数的性质及应用的文献还包括：ts ai 和su n 19 ，su n 20 ，dickso n 和 d r e k ic 2 1 ，c h e n g 和t a n g 2 2 ，g e r b e r 矛口s h i u 2 3 ，2 4 ，2 5 ，a l b r e c h e r ， h a r t i n g e r 和t i c h y 2 6 ，d a v i dl a n d r i a u l t ，g o r d o nw i l i m o t 2 7 ，g u o j i n gw a n g ，r o n g w u 2 8 等 总之，对破产时刻折现罚金函数的研究目前主要集中在两个方面：在不变利率强度 情形下，就各种近期引入的风险模型对破产时刻折现罚金函数进行研究：在某类随机利 率的情形下，就经典风险模型对破产时刻折现罚金函数进行研究 1 4 稀疏过程简介 设 ( f ) ，0 ) 是间距分布为f 的更新过程，它的点发生时间序列 s 。，玎= 1 , 2 ，如 果对过程n ( t ) 的每一点都以概率p 保留和以概率g = 1 一p 舍弃( 0 p 1 ) 同时各点被 保留或舍弃的抉择是相互独立地作出的于是，通过对过程作这样的随机稀疏后保留下 来的点的时间发生序列 s 一扛1 , 2 ，) 确定一点过程 ( ，) ，r 0 ) ，这个点过程就是 ( f ) ，f 0 ) 的稀疏过程 1 5 本文主要工作 ( 1 ) 考虑了保费率随机、保费收取过程是p o i s s o n 过程，而索赔计数过程是其稀疏 过程的双险种风险模型的不破产概率问题，求出了不破产概率满足的积分方程，并在指 数分布的情况下求出了无限时间不破产概率的具体表达式 4 广西大掌硕士学位论文几类连续时间风险模型的研究 ( 2 ) 研究了保费率随机、保费收取过程是p o i s s o n 过程，而索赔计数过程是其稀疏 过程的带干扰的双险种风险模型，讨论了其盈余过程的基本性质，强马氏性和鞅性，利 用鞅证明了l u n d b e r g 不等式和最终破产概率的一般公式 ( 3 ) 考虑了对于给定的初始状态和初始分布，保费率受马氏过程控制的风险模型，利 用向后差分法得到了折现罚金函数以及条件破产概率的所满足的积分方程，并推出了 在具有平稳初始分布时折现罚金函数的递归不等式和零初始资产时破产概率的一个简 洁估计 广西大学硕士掌位论文几类连续时间风险模型的研究 第二章索赔为稀疏过程的双险种风险模型的生存概率 本章把经典风险模型推广到保费率随机、保费收取过程是p o i s s o n 过程，而索赔计 数过程是其稀疏过程的双险种风险模型，给出生存概率满足的积分方程，并在指数分布 的情况下求出无限时间生存概率的具体表达式 2 1 引言 稀疏过程在风险理论中有着重要的应用 9 ， 2 9 3 2 例如在文献 9 中，考虑以下的 风险模型： m ( ，)m 9 “) r p ( f ) = z f + q 一k = “+ s p ( f ) ， ( 2 1 1 ) ，= lk = l 其中u 的意义与( 1 2 1 ) 相同， m ( f ) t 0 ) 是强度为咒的齐次p o i s s o n 过程，表示( 0 ，f 内 保险公司收的保单数k ，f 1 ) 与 k ，k 1 ) 均为非负独立同分布随机变量序列 m ( ，) ，0 ) ， g ，f 1 ) 与 k ，k 1 相互独立， m ，( f ) ，f 0 ) 是 m ( r ) ，t 0 ) 的p 稀疏过程 3 3 1 ，即 m ，( f ) ，0 ) 是强度为p 2 的齐次p o i s s o n 过程，m p ( f ) 表示( o ，f 】内发生索赔的 次数( 0 p 1 ) 模型( 1 2 1 ) 与模型( 2 1 1 ) 描述的都是单一险种风险过程，随着保险公司业务规模的 不断扩大，经营单一险种对于保险公司来说是不符合实际的，讨论多险种风险模型更能 与保险实际运作相结合根据上述情况，本文对模型( 2 1 1 ) 加以推广，并在此基础上加 以研究 2 2 模型的引入 定义1 ：设材0 为常数，t 0 ，记： 世i ( r )m 1 9 ( t )m 2 ( ，)m 2 9 ( ，) 尺( f ) = “+ ( q 一置) + ( z i 一v ) = u + s ) + & o ) = ”+ s ( t ) ， 6 ( 2 2 1 ) 广西大掌硕士学位论文几类连续时间风险模型的研究 称 尺( f ) ，0 ) 为盈余过程，约定s ( o ) = 0 其中 m 。( f ) ，f 0 ) 是一个强度为 的齐次p o i s s o n 过程，表示( 0 ， 内保险公司收到 的a 险种保单数；e 是a 险种第i 次保单费，且 q ，f 1 ) 是非负独立同分布随机变量序列， 假定其共同分布函数为g 1 ( x ) ，e c ，= “； m i p ( f ) ，o 是过程 m ( f ) ，f 0 ) 的p 一稀疏过 程3 3 1 ，即 m p ( f ) ，r 0 是强度为p 的齐次p o i s s o n 过程，0 p 1 ，m i p ( ，) 表示( o ， 内 a 险种发生索赔次数；z 表示a 险种第i 次赔付量， z ，f 1 为非负独立同分布随机变 量序列，假定其共同分布函数为e ( x ) ，e x , = 鸬 鸩( f ) ，f 0 ) 是一个强度为五的齐次 p o i s s o n 过程，表示( 0 ，f 】内保险公司收到的b 险种保单数；z l 是b 险种第i 次保单费， g z ，i 1 ) 是非负独立同分布随机变量序列，假定其共同分布函数为g 2 ( 工) ，e z ，= 鸬； 鸠9 ( f ) ，f o 是过程 m 2 ( f ) ，f 0 的g 一稀疏过程，即 m 2 9 ( f ) ，f 0 是强度为g 五的齐次 p o i s s o n 过程( 0 0 即 e mo ) 】e c f 】+ e 朋：( t ) l e z ，卜e 【鸠p ( f ) 】e 【置】一e m 2 9 ( ，) 】e 【z 】 = ( “+ 如鸬一p 鸬一q 4 a ) t 0 定义2 ：定义相对安全负载为p ：二掣l 旦华l 一1 0 p 鸬+ g 如地 广西大掌硕士掌位论文 9 1 类连续时间风险模型的研究 引理2 ：l i m r ( f ) = ，a s 证明：显然f - - 时，m i ( f ) j ，m 2 ( f ) 一o o ，m i p ( ，) 专，m 2 q ( ，) 专0 0 ， 所以根据强大数定律和文献 3 4 知 。i m 盟“m 艮堑m 一翌m + 翌m 一型+ 业) l ( ，)1 9 ( ，) 2 ( ，)m 2 9 ( ，) = a “一a p 鸬+ 五鸬一g 如心 o ，a 一， 故l i mr ( t ) = o 。，a s # 与经典模型一样，对于模型( 2 2 1 ) ，我们定义： ( 甜) = 尸( 尺( f ) o ，v t 0r ( o ) = 甜) 表示生存概率( 永远不破产的概率) ，甲( “) = 1 一( “) 表示最终破产概率，w ( u ，r ) 表示在时刻f 以前破产发生的概率，( “，) = 1 - q - ( u ，) 表示 在时刻f 以f j 破产不发生的概率若记破产时刻为：t = i n f t ：r ( t ) 0 ) ，i n f = 0 0 则也有 甲( “) = p ( t 0 ) ，f ( y ) = 1 一e - b y , ( y 0 , b o ) ，i = 1 ，2 ， 那么 广西大学硕士掌位论文 几类连续时间风险模型的研究 嘞) _ 1 一警小啪，其中彳2 等 证明：在很小的时间区i 、日j ( 0 ，】内，我们分以下六种情况来考察( “) ，注意到乘法 公式p ( a b ) = p ( a ) p ( ba ) ，则 ( i ) 在( o ， 内，m ( ，) ，m j p ( f ) ，鸠o ) ，m 2 9 ( ，) 均无跳跃发生，其概率为 ( 1 一 ) ( 1 一如) 1 1 + o ( a ) ； ( i i ) 在( 0 ，】内，m 。( f ) 有一跳跃，m l p ( f ) ，m 2 ( t ) ，m 2 q ( ，) 均无跳跃发生，其概率为 ( 1 一兄2 a ) ( 1 一p ) 1 + o ( a ) ； ( i i i ) 在( o ，】内，m ( ，) ，m 1 p ( f ) 同时都有一个跳跃发生，。m z ( t ) ，m 2 。( ，) 均无跳跃发 生，其概率为& a o 一2 ：a ) x p x l + d ( ) ； ( i v ) 在( 0 ， 内，心( ，) 有一跳跃，m ( f ) ，m i p o ) ，m 2 。( ，) 均无跳跃发生，其概率为 兄2 ( 1 一丑) x ( 1 一g ) 1 + d ( ) ； ( v ) 在( o ，】内，m 2 ( t ) ，m 2 q ( f ) 同时都有一个跳跃发生，m ( f ) ，m 1 p ( f ) 均无跳跃发生其 概率为& a o 一丑) q x l + d ( ) ； ( v i ) 在( o ， 内，除了以上五种情况外，其它情况的概率为o ( ) ，或0 由全概率公式( 参见文献 3 4 e 。) ，有 ( z f ) = ( 1 一兄l ) ( 1 一g a ) o ( “) + 2 ，a ( 1 一以) ( 1 一p ) f o ( 甜+ 工) d g 。( x ) + & a p o 一如) f d 厂o ( u + x - y ) d f ( y ) d g 。( 工) + 如( 1 一 ) ( 1 一q ) f o ( 甜+ x ) d g ：( x ) + ( 1 一 ) 如gj c or ( “+ x y ) d f ：( y ) d g ：( x ) + 。( ) 方程两边各除以，并令一0 整理得 ( 引) 2 等等r ( 甜+ x ) 粥心) + 惫f f + x t b ( u + x - y ) 织( y ) 施如) 9 广西大掌硕士掌位论文 几类连续时间风险模型的研究 + 等等r + z ) 粥z ( x ) + 惫f f + x o ( u + x - y ) 峨( j ，) 粥：( 班( 2 4 1 ) 若 g ，( x ) = 1 一p - a x ( x 0 ，a o ) ，f ( y ) = 1 一e - b y ( j ， 0 ，b o ) ，i = 1 , 2 ； 此时积分方程有如下形式 巾( “) ：坠尝掣i ：。( “+ x ) 矿甜出 以+ 厶 椰 + 糌( u + x - y 渺咖础哺触 令q ：坠哗掣，4 ：_ d q p 丁+ 2 2 q ，y t a + q _ 1 所以 以+ 九，以+ 九， ( 甜) = ( 1 一彳) r ( “+ x ) a e - a x d r + 彳c of + 。( 甜+ x y ) b e - t y a e - x d y d r ( 2 4 2 ) 注意到： f + x ) a e - a x 出= p 。4r ( x 。) a e - a x l d r 。，( 令x 。= 甜+ x ) ， ( f + x ) a e - “d x ) = e a ur ( x ，) 口p 一明出，) ：= 一日( “) + 口f o ( u + x ) a e 一“d r ； t 譬io ( u + x - y ) b e - b y 口e 一。d y d x = e “t ( 、毫国。一y ) b e - b y d y ) a e 一倔d z ( 令z = u + x ) ， 一棚+ x m1 ( j ：j ： + x y ) b e 却a e 一拟) ：= ( p “j ：( 上( z y ) b e 由d y ) a e 一比) ： = 口fr + 。o ( u + x - y ) b e - b y a e 一“a y d r 一日r ( 甜一y ) b e - b y d y 由文献 3 5 可知o ( u ) 具有可微性，所以对( 2 4 2 ) 两边关于u 求导，得 ( 甜) + 口( 1 一么) ( 甜) = a ( 1 一么) f 0 + x ) a e - “d r a di：fy ) b e - b y d y o ( ux ) a ed ra ao ( uy ) b e( 甜) + 口( 1 一么) ( 甜) = 一么) i 一 【。 + a 彳ff o ( u + x - y ) b e - b y a e - “d y d x ( 2 4 3 ) 对( 2 4 3 ) 式两边关于u 求导，得 ( “) + 口( 1 一a ) o ( 甜) = 口( 1 一爿) ( 一日( “) + 口r ( “+ x ) a e - a 。d r ) 一a a ( b o ( 甜) 一6r ( “一y ) b e - b y d y ) l o 1 - 西大掌硕士学位论文 几类连续时间风险模型的研究 + 训( 口j c 0 厂o ( u + x - y ) b e - h y a e - “d y d x 一口r ( 甜一y ) b e - o y d y ) 即 。 ) + 口( 1 一a ) o ( “) + a 2 ( 1 一彳) ( “) + 口6 , 4 0 ( 扰) = a 2 ( 1 一彳) r ( “+ x ) a e - , “d x + ( a b a - a 2 a ) r o ( “一y ) b e - b y d y + 口2 彳rf + 。o ( u + x - y ) b e - b y a e - x d y d x ( 2 4 4 ) ( 2 4 2 ) 口6 + ( 2 4 3 ) ( 口一6 ) 一( 2 4 4 ) ，整理得 ” ) = ( a a b ) 0 7 ) ， 解得 ( 甜) = c l + c 2 e 洲一6 姐， ( 2 4 5 ) 又由p o ，可得互生 竺单，即a a b o 均为常数，t 0 ，记： m l ( t )m ，( f )m 2 ( f )m 2 4 ( ，) 月( ，) = 甜+ ( q 一五) + ( 毛一r ) + d ( ，) = “+ s o ) + 叉 ) + d ( ，) = u + s ( f ) ， ( 3 1 1 ) 称 尺( ，) ，t 0 ) 为盈余过程 其中w ( t ) 是一标准维纳过程其它各项及未注明的符号的意义与模型( 2 2 1 ) 中的 相同 a 毛( f ) ，f 0 ， m 2 0 ) ，f 0 ) ， z f ，f 1 ) ， q ，f 1 ) ， 鼍，f 1 ， 】，f 1 和 形( f ) ，f 0 ) 相互独立， s ( ，) ，o ) ， s 2 ( t ) ，0 与 形o ) ，o 相互独立 以下恒记丁为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即令 t = i n f t ：r ( ，) 争+ p ( 圳训 寺 知结论成立# 性质3 ： r ( f ) ，t 0 ) 是强马尔科夫过程，其转移函数为 p ( t ，x ，f ) = p ( s ( t ) + x f ) ， 其中x r ，r b 1 证明：由于 r ( f ) ，t 0 ) 是平稳独立增量过程，故它是一个时空齐次马氏过程，从而 它是f e l l e r 过程，注意到 r ( f ) ，0 ) 是右连续的，于是由 3 6 知其为强马尔科夫过程 # 性质4 ：设口。：e ( c 1 2 ) ，口2 = e ( z 。2 ) ，口3 = e ( x 1 2 ) ，口。= e ( k 2 ) 且a i 0 ，：p ) = e 一q 】= f p 一“妈( x ) ， 0 ， m ( ，) = f e x d f l ( x ) ，m 2 ( ，) = f e 8 d f 2 ( x ) ， 并令h a ( r ) = m l ( r ) - i ，h 2 ( r ) = m 2 ( ，) 一1 假设存在，+ 0 ，使得，专r + 时，啊( ，) j 或( ，) 专0 0 ，当然也允许，= o o 3 1 设g o ) = 一( 五+ 五) + 丑，p ) ( 础( ，) + 1 ) + 五2 p ) ( 9 红p ) + 1 ) + 吉刀2 ，2 引理1 ：对于盈利过程 s ( ，) ，t o ，有e e 稍，) 】= e t g ( ” 证明：由模型的假设及文献 9 ，得 e e - r s ( t ) 】_ e e 一+ 洲+ d 酽 】 = e e 一嘎】e e 一峨) 】e e 一删】 = e x p 丑【l ( ，) ( p 矗( 厂) + ( 1 一p ) ) 一1 i t e x p 4 2 ( ，- ) ( g 红( ，) + ( 1 一q ) ) - 1 t e x p t d 2 r 2 ) = p 瞎( ”# 引理2 ：设坂( f ) = e x p ( 一r r ( t ) 一喀( ，) ) ，那么 帆( ，) ，z ，t o ) 是鞅，r 是e 的停时， 广西大学硕士掌位论文 几类连续时间风险模型的研究 其中f = 盯 s ( v ) ，v ， 证明：设s ，则 研鸭( f ) 1 只】m me e x p ( 一r r ( t ) 一t g ( r ) ) 1 只】 = e e x p ( 一r r ( s ) 一s g ( r ) r ( r ( t ) 一