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化学反应扩散系统平衡态的稳定性与斑图 刘俊荣 摘要一般来讲，化学反应中出现的动力学问题，绝大多数是非线性问题当系 统处于临界热力学平衡态时，系统的动力学行为可以近似地用线性非平衡热力学 来研究当系统远离热力学平衡态时，有时非线性效应变成系统动力学的主导因 素这种非线性行为与系统的线性扩散行为相互耦合，可使系统自发地产生各种 有序或者无序的斑图 本文共分三章，分别讨论了三类化学反应扩散系统平衡态的稳定性与斑图态 分歧解的性质 自催化反应是研究斑图所涉及的一类典型反应第一章研究了一类三次自催 化反应模型，即模型1 ? 产 z + i z 。- 。b 2 ，o o 1 整= h v 弘+ n 2 b ， 其中n = o ，1 】【o ，1 】，v ；= 器+ 貉n ，b 分别为活化项与抑制项的浓度k ，分 别为两者的扩散系数，肛为参数边界条件是 鬲o a ：o ，磊a b ：0 ，( z ，) a n 丽2u ，丽2 o ，( 。，们扰2 从形式到分析过程，模型2 比模型1 复杂我们讨论了模型2 的常数平衡态稳定 性，指出只有当磐充分大的时候，才会出现分歧解我们利用弱的非线性理论， 得出系统出现二维正方形斑图的振幅方程；同时计算出振幅方程的l a n d a u 常数 并且讨论了振幅方程四类平衡点的稳定性 第三章研究的模型3 仍是一类活化抑制模型，即 边界条件是赛l z ；o ，l = 0 ，器i z = 吣= 0 当m ，n ，p ，q 满足条件署= 寺的时候，我 们分析平衡态的局部稳定性，运用弱的非线性理论讨论了图灵分歧解的性质；通 过得到的振幅方程，讨论了振幅平衡态 关键词：反应扩散系统图灵斑图分歧 + k 铀 皓 k 耋| s t a b i l i t yo fs t e a d ys t a t ea n dt u r i n gp a t t e r n si nt h et h r e e k i n d so fc h e m i c a lr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m s l i uj u n r o n g a b s t r a c t g e n e r a l l y , m o s td y n a m i c s i nc h e m i c a lr e a c t i o na r en o n l i n e a r h o w e v e r ，w h e n s y s t e m sa p p r o a c ht h e r m o d y n a m i c ss t e a d ys t a t e ，t h e i rk i n e t i c sb e h a v i o u ra r es t u d i e da p - p r o x i m a t e l yb yl i n e a rn o n - e q u i l i b r i u mt h e r m o d y n a m i c s ，w h e ns y s t e m sa r ef a ra w a yf r o m t h e r m o d y n a m i c ss t e a d ys t a t e ，s o m e t i m e s ，n o n l i n e a re f f e c t sb e c o m ep r i n c i p a l f a c t o ro fd y - n a m i c sb e h a v i o u r t h ec o u p l i n gi n i t i a l l ym a y g i v er i s et ot h es p o n t a n e o u sa p p e a r a n c eo f t h eo r d i n a la n dc h a o t i cp a t t e r n t h i st h e s i si sm a d eu po ft h r e ec h a p t e r st oi n v e s t i g a t et h es t a b i l i t yo fs t e a d ys t a t e a n dt h ep r o p e r t i e so fp a t t e r nf o r m a t i o n ss o l u t i o n sf o rt h r e ek i n d so fc h e m i c a lr e a c t i o n d i f l u s i o ns y s t e m s r e s p e c t i v e l y t h e a u t o c a t a l y t i cr e a c t i o ni sa c l a s s i c a lk i n do f r e a c t i o nw h i c hi su s e dt os t u d y p a t t e r n f o r m a t i o n s o n ek i n do fr e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e mi sc u b i ca u t o c a t a l y t i cr e a c t i o n ，m o d e l 1i ss u c hk i n do fa u t o c a t a l y t i co n e ，i e 1 = a 、，a x x + u - - 铲，o 0 i 蕊o b = h v ；b + n 2 b ， h e r e n = 0 ，1 】 o ，1 ，v l = 蛊+ 簪a a n dbr e p r e s e n tt h ec o n c e n t r a t i o n so fa c t i v a t 。r a n di n h i b i t o rr e s p e c t i v e l y k ，ba r et h ed i f f u s i v ec o e f f i c i e n t so ft h er e a c t a n taa n d b “ i sb i f u r c a t i o np a r a m e t e r i t sb o u n d a r yc o n d i t i o ni s 妻：o ，要：0 ，( 刎) m 丽2u ，丽。o ，们6 m m o d e l2i sm o r es o p h i s t i c a t e dt h a nm o d e lla ts o m ea s p e c t s w es t u d yt h es t a b i l i t y o ft h eu n i q u eh o m o g e n e o u ss t e a ds t a t e t h ep a t t e r ns o l u t i o nc a nb ef o u n do n l yw h e n t h ep a r a m e t e r 磬i sl a r g ee n o u g h b yp e r f o r m i n gt h ew e a k l yn o n l i n e a rt h e o r y , w eg e t t h ea m p l i t u d ee q u a t i o no fs q u a r ep a t t e r ni nt w od i m e n s i o n a lr e g i o n w ec a l c u l a t ei t s l a n d a uc o n s t a n ta n da n a l y s i z et h es t a b i l i t yo ft h ef o u rk i n d so ft h ee q u l i b r i u mp o i n t so f t h ea m p l i t u d ee q u a t i o n m o d e l3a l s oi so fa c t i v a t o r i n h i b i t o rr e a c t i o nd i f f u s i v es y s t e m ，i e i 警= a a 。+ 万a n 一口+ p ， 0 窖 0 1 爱= d a k 。+ 丽a p b ， i t sb o u n d a r yc o n d i t i o ns a t i s f yt h eb e l o w ， 塞b t _ 0 ，缸- o ，t - o v l ，l n e nt h ep a r a m e t e r sm ，n ，p ，qs a t i s f y 詈= 责，w ed e t e r m i n eh o m o g e n e o u ss t e a ds t a t e a n dd i s c u s st h ep r o p e r t yo ft u r i n gb i f u r c a t i o ns o l u t i o nv i an o n l i n e a rt h e o r ya l s o w e o b t a i nt h ea m p l i t u d ee q u a t i o na n da n a l y s et h ea m p l i t u d e e q u i l i b r i u ms t a t e k e y w o r d s ： r e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m s t u r i n gp a t t e r n b i f u r c a t i o n 前言 斑图是一种在自然界普遍存在的，在空间和时间上具有某种规律性非均匀的 宏观结构从热力学角度观察，自然界的斑图可以分为两类：一类是存在于热力 学平衡条件下的斑图，如无机化学中的晶体结构，有机聚合物中自组织形成的斑 图；第二类是离开热力学平衡条件下产生的斑图，如天上的条状云，水面上的波 浪，动物体表的花纹，等等对于前一类斑图，人们对它们的形成机理已经有了 比较系统、深入的了解这类斑图的形成可以用平衡态热力学及统计物理学原理 来解释根据平衡态热力学规律，在给定的温度与压强下，系统会自发地向其吉 布斯自由能( g i b b s f r e ee n e r g y ) 最小的方向( 也就是热力学平衡态方向) 移动一 个系统的吉布斯自由能分为两部分 g = h t s 这里的g ，甄s 与t 分别是系统的青布斯自由能、自由焓、熵函数与系统的温度 当系统的温度下降时，系统的无序度量一一熵对吉布斯自由能影响逐渐变小，这 使得它能够根据能量最小原理形成某些空间的有序结构 而对后一类斑图，由于这一类斑图的形成总是发生在远离热力学平衡态的情 况下，上面所述的热力学原理不能适用我们需要从动力学角度，对这一类斑图 形成的原因及规律进行探讨最近发展起来的非线性科学的主要分支之一，斑图 动力学，就是以这类斑图的形成为研究对象的科学 斑图动力学的理论核心是非线性动力学理论一般来讲，化学反应中的动力 学问题绝大多数是非线性问题但在系统临近热力学平衡态时，在一些情况下， 非线性效应变成系统动力学行为的主导因素这种非线性行为与系统的线性扩散 行为耦合，可以使系统自发地产生各种有序或无序的斑图态这就是反应扩散系 统的斑图动力学问题 反应扩散系统有广泛的实际背景，它的应用范围遍及许多学科它的数学模 型是一类半线性抛物型方程，我们称作反应扩散方程它是描写自然界运动的基 本方程之一例如，生态系统中的捕食者一食饵( p r e d a t o r - p r e y ) 模型，物理系 统中的气体放电模型，半贫瘠地区的植物生长模型，传染病的传播，森林火灾的 蔓延，农业人口的迁移都可以演化为反应扩散方程本文重点介绍、研究化 学反应系统中的反应扩散方程 从数学角度讲，化学反应中的反应扩散系统可以用如下的偏微分方程来描述 面0 c = f ( c ，p ) + d v 2 c 其中c 为反应物的浓度矢量；p 代表系统控制参量的总和；f 表示系统的动力 学函数；d 是系统扩散系数矩阵；还有v 2 为拉普拉斯算符 本文中，我们主要研究三类化学反应扩散系统其中一类属于自催化化学反 应；另两类都是活化抑制反应前者是指反应中某些反应产物会对化学反应本身 进行催化；后者是指反应物对反应有阻滞作用在两种情况下，反应速度都会随时 间的增加而增加，可在反应器中形成化学振荡反应扩散系统中的自组织现象产 生于化学动力学过程和扩散过程之间的耦合稳定的空间均匀态在某些远离热力 学平衡条件下失稳，经过非平衡相变，自发产生一系列时空静态或动态斑图这 类自催化反应的非平衡相变起源于相空间中一个恒定空间均匀静态解的失稳研 究此类非平衡相变，可以利用对定态解的微扰分析，得出不同的时空对称性破缺 类型微扰分析的核心是线性稳定性理论在反应扩散实验中，最常见的分歧有 两类t 霍普夫分歧与图灵分歧霍普夫分歧发生在系统的不动点从稳定焦点向不 稳定焦点的转化时，它所对应的非平衡相变，是系统从空间均匀定态到对时间的 周期振荡态，对应的对称性破缺是时间平移对称性破缺图灵分歧对应的非平衡 相变，是系统从均匀定态到非均匀的空间周期振荡态的转变，相变后形成的图灵 斑图，对应的对称性破缺为空间平移对称性破缺本文中，利用多重尺度分析方 法，推导了静态斑图在临界点附近的动力学方程，即系统空间振荡的振幅方程， 并对推导出的振幅方程做了线性稳定性分析 下面，我们具体讨论三种问题 第一章所考虑的三次自催化反应的反应原型为 p _ a ， a + 2 b _ 3 b b c ( 比率k o p ) ( 比率l a b 2 ) ( 比率6 ) 这里三个参数p ，口，b 分别是先引物p 、反应物a 和自催化剂b 的浓度，商( i = 0 ，1 ，2 ) 是比例常数犀应是在恒温状态下进行的x c q ：- 次自催化反应扩散系统的平衡态 以及产生的斑图解的性质，目前已经有许多研究工作，参见文献【2 】，【3 】， 2 4 1 一 3 0 ， 【3 3 j 等对恒温状态下的高次自催化反应相关问题，在文献【3 1 ， 3 4 中有所阐述 模型1 讨论的是一类三次自催化模型，我们运用线性化理论以及弱的非线性理论 2 并结合奇异摄动方法，讨论了此时唯一的常数平衡态的局部稳定性与产生的斑图 分歧解的性质，推广了文献【2 】的结论 同时也有大量的研究成果关于活化抑制反应扩散系统产生的图灵斑图，具体 请见文献【6 】- 【2 3 这一类系统中，较为典型的模型是模型2 ，即 j 窑= k v 2 n + 警一口+ p ， i 甓= 扎v 2 6 + 0 2 6 这里面符号v 2 是拉普拉斯算子，具体在二维正交坐标系中v 2 = 器+ 器，另外 参数a 。，h 分别为两物质的扩散系数，p 是参量在第二章中，我们主要利用线 性化理论、弱的非线性理论并且结合多重尺度的方法，讨论了该系统的局部稳定 性和振幅方程四类平衡态的稳定性 第三章所讨论的模型3 仍是一类活化抑制模型当m ，p 口满足等式罢= ；各， 我们同样使用线性化理论与多重尺度方法分析了此时的系统平衡态的性质，以及 可能产生的斑图的稳定性 3 第一章一类自催化反应扩散系统平衡态的稳定性与斑图 1 1 引言 斑图动力学是非线性科学领域内的一个重要分支，旨在探索具有一定意义的 斑图形成的基本规律斑图是在时间或空间上具有某种规律性的宏观结构从热 力学角度观察，自然界的斑图可以分为两类：一类是存在于热力学平衡条件的斑 图，对于这一类人们对于它的形成机理已有比较系统的了解而对于后一类斑图， 它的形成总是发生在远离热力学平衡态的情况下，人们需要从动力学的角度对这 类斑图形成的原因及规律进行讨论斑图动力学，便是以这类斑图为研究对象， 见文献i l 】在本文所讨论的一类化学反应中，这类自催化反应是一类反应速度随 时间增加并可在反应器中形成化学振荡的典型化学反应系统在这种远离热力学 平衡态时，系统的非线性行为与它的线性扩散行为耦合可使系统自发的产生各种 有序或无序的斑图态三次自催化反应是研究斑图的一个典型反应，它的最主要 的反应原型是 p a ( 比率粕p ) a + 2 b 一3 b( 比率k l a b 2 ) b c ( 比率k 2 b ) 文献f 2 】讨论了这类自催化反应在n e u m a n n 边界条件下产生的一维斑图，平衡解 的局部稳定性与产生的斑图的局部性质文献 3 】，【4 】则讨论了扩散系数不同 时与扩散系数消失时这类自催化反应模型在n e u m a n n 边界条件下以上问题的性 质，并给出了出现图灵失稳的必要条件这种非线性斑图是近年来较为关注的一 个课题 本章则研究了在d i r i c h l e t 边界条件下，该模型的相应问题的性质所给模型 如下 毗。翟”+ # 2 - - a b 2 ，o 0 ，系统( 1 ) ，( 2 ) 有一个平衡态s ， a = a e ( p ) = p 一1 ，b = k ( p ) = 肛，( 3 ) 在第二节当中，我们主要通过线性化理论来讨论平衡态s 的稳定性当分歧参数 p 1 时平衡态s 是稳定的，当分歧参数0 p 1 时平衡态s 变得不稳定证 明了系统出现图灵斑图与分歧解的必要条件是0 “ 1 在第三节中运用弱的非 线性理论讨论了系统的分歧点及斑图，给出了该类斑图的振幅方程和l a n d a u 常 数，分析了斑图的稳定性与特征下面则就参量p 对系统( 1 ) ，( 2 ) 进行讨论 1 2 线性化理论 在这一节中我们主要讨论当系统遭遇到具有很小振幅的干扰时平衡态解的局 部稳定性我们不妨假设干扰是从初始时刻开始且具有下列形式 麓0 害纂意， i6 ( z ，) = 肛+ 6 品( ) 、 其中a o ( z ) ，- 0 ( z ) 都是有界函数，0 j 1 为初始干扰振幅的测量尺度这样我 们来寻找原方程并结合初始初始与边界条件的解以下列形式 老t 篙：麓嚣o i6 ( z ，) = p + 蕊( ，t ) + 其中当d 一0 时a ，5 是o ( 1 ) 阶我们将上述展式代入到原方程( 1 ) 中展开，按照6 的幂排列，并忽略掉0 ( 6 2 ) 可以得到关于主导项a ，5 的方程 f 器一a 貉+ 芦2 a + 2 5 = o ， ( 6 ) i 簧一a 嚣一肛2 a 一2 5 = 0 相应的初始条件与边界条件为 j 刮z ：o ，1 = b l 。：o ，1 = o ； la ( 。，0 ) = a o ( 。) ，5 ( 。，0 ) = 品( 。) 这样我们根据新的方程与初始条件与边界条件得到解的形式为 ia ( 。，t ) = a 。( t ) s i n ( n ，r x ) ， 耻加t 莒眦) s i n ( n ，r x ) ( 7 ) l6 ( z ，) = 风( t ) 、 这样我们将( 7 ) 代入到( 6 ) 式中平衡方程两边并忽略掉级数可以得到关于n 。与风 的方程 i 乌 + ( 碟+ p 2 ) a 。+ 2 风= 0 ， ( 8 ) i 警一p 2 a 。+ ( i 一1 ) f i n = 0 其中k = n ” ，x 欲得到方程( 6 ) 的非平凡解，则可以得到须满足的条件即为方程 ( 8 ) 的特征方程 f ( x ，h ，p ) = w 2 + ( 2 k 2 + 肛2 1 ) w + 碟+ ( p 2 一1 ) 磲+ p 2 = 0 ( 9 ) 为了求得方程( 8 ) 的解，我们下面来分析色散关系( 9 ) 1 2 1 色散关系 色散关系( 9 ) 的根为u 士( k ，卢) = 。士( p ) 一磅这里西士( 肛) = ! 土丛生盟2 三! 为( 9 ) 在a = 0 的特征根 下面是对( 9 ) 在a = 0 时对u 士( k ，p ) 的分析 1 )当p v 伍+ 1 时，o 士( p ) 为负的实根，即口一( p ) 5 西+ ( p ) 0 2 ) 当1 p v 懂+ 1 时。o 士( p ) 为一对具有负实部的共轭复数根 3 )当以一1 p 1 时，d 士( p ) 为一对具有正实部的共轭复数根 4 ) 当0 p 、，历一1 时，口土( 芦) 为正的实根，即0 o 一( p ) s4 ( p ) 当a 0 时，我们由上面的分析可以得到方程( 8 ) 的解为 5 )当0 肛s 以一1 或当肛2 以+ 1 时， ( 茇：) = n + ( + ) e 口+ + 如一( 一) 矿一， c ，。， 其中a 4 - = 西士( p ) 一磅，+ = 一也吐g 吐出，a 。+ 与a 。一为任意常数 6 ) 当以一1 “ 以+ 1 时， ( 毒譬；) ； a 。( 三) e 印c t nc 芦，a 的+ a ：( ，麦) e 印c t i n c p ，i ；t ， e “， c ， 其中a = ( 1 一芦2 ) 一磅，如= 一( a + i l n ( u ) 1 + 磅+ p 2 ) ，怯为c n 的共轭对于原 方程( 1 ) ，结合初始条件与边界条件( 2 ) ，问题的完整解则可将( 1 0 ) 代入到( 7 ) 中， 而a 与4 n 士可由初始条件决定 6 1 1 2 2 稳定性与临界曲线 平衡态解的局部稳定性可以由方程( 8 ) 的解，即( 1 0 ) 与( 1 1 ) ，在o 。时的性 质所决定我们可以构建中性曲线来判断方程的特征根的正负，继而得到方程的 解的性质以及平衡态解的局部稳定性，这条曲线是由满足月e ( “生( ，芦) ) ：0 的点 所构成的轨迹，见下图 结合上面的分析可以得到此临界曲线的表达式 胀( k ) = 0 s k ( 、吾一1 ) ，( 1 2 ) ( 以一1 ) 1 时，( 9 ) 的 解的特征根的实部对于每一个n m = o ，1 ，2 ) 都是负的，对应的口。( t ) ，风( t ) 随着 时间以指数形式衰减为o ，从而此时的平衡态解是局部稳定的；而o p 1 时f 9 ) 的解的特征根的实部对于每一个n m = o ，1 ，2 ) 不都是负的，只要有一个特征辐 是正的，微扰变量随时间不断增加系统的平衡态失稳；只有在临界曲线上对应的 一些“值处会产生斑图 1 2 3 临界模式 线性化理论的临界模式是由具有吨或u = 0 的那些解所对应的模式设“口 为正整数且满足下列不等式 j 掣一，p 咏， i 志m 。( 。 0 当时间趋于无限时对于此振幅方程 有下列结果 当a 备+ 0 时，4 舟+ 一( 2 # n 2 西+ ) i 1 ( r 一o 。) ， 当a o 牟 0 时，_ 器+ + 一( 2 p 口西+ ) 女( r o 。) 在芦 卢( d ，k ) 时平衡态8 是稳定的，当分歧参数p 3 + 2 、夏在第三节中 运用弱的非线性理论讨论了系统的分歧点及斑图，给出了该类斑图的振幅方程和 l a n d a u 常数，分析了斑图的稳定性与特征下面则就控制参量p 对模型( 3 2 ) 进行 讨论 2 2 线性化理论 在这一节中我们主要讨论当初值条件在平衡态附近有小扰动时，模型( 3 2 ) 的 解在平衡态s 处的扰动情况我们首先对模型( 3 2 ) 的解在平衡态s 处作渐进展开 o 1 + p + 5 a l + 0 ( 6 2 ) ，b ( 1 + 卢) 2 + 6 b l + o ( 6 2 ) 其中o l ( z ) ，b l ( x ) 都是有界函数，0 o ( 3 5 ) 【鲁= h 甓争+ 2 ( 1 + 肛) n 1 一b l ， 相应的边界条件为 鬻卜。，鬻卜。 我们根据新的方程与新的初始条件与边界条件得到解的形式为 ( 3 6 ) 其中a m n ，b 。( m ，n = 0 ，1 ，2 ) 是常数我们将( 3 6 ) 代入到( 3 5 ) ，由常微分方程的 知识知，若方程( 3 5 ) 存在非零解则它满足 r k 叫2 m n 。+ + 1 二南，+ 翟1 d + ，i = o ( 3 7 ， 一2 ( 1 + p ) 盯+砩。+ l 、。 其中磕。= k ( m 2 + n 2 ) ，k n 是系统的波数，d = 皂经简化整理可得，方程的 特征值0 4 - 满足的色散关系为下列 即萨“ ( 1 + 嗽n + 2 - - 南卜d k 4 m n + ( d - 尚+ 1 ) 礁。+ 1 _ o ( 3 8 ) 下面就以上的色散关系作如下分析 令p = ( 1 + d ) k l , + 2 一番石，q = d 礁。+ ( 1 + d 一器) 境。+ 1 色散关系( 3 8 ) 的两根： o 4 - ( p ，。) = - p 拉2 p 2 - 4 q ，会有以下几种情况 ( i ) q 0 ，p 0 且0 0 ，p 0 且q p 2 ，o - = k 是具有负实部的共轭特征值； ( i v ) q o ，p 0 时中性曲线存在 下面就这两种情况分别加以讨论 1 4 动力m 瞄 瞄 叫删 咖 嘟 晰 咄 。丢二 | | | | 0协 ( i ) 当q = 0 即 ( i i ) 当p = 0 ，q 0 即 。4 + ( 1 + 。一1 2 + 9 “i 。k 2 。+ l = 。 ( 1 + d ) k 2 m 。+ 2 一南 ld 免+ ( 1 + d 一罟品) k ，2 。+ 1 ( 3 9 ) = 0 ， ( 4 0 ) 0 ， 对( 4 0 ) 所对应的情况，因为 ( 1 + 。) 三。+ 2 一而2 = 。号p = 再- ( 百1 + 丽d ) k 2 m 其中d ，岛。 0 在方程( 3 2 ) 中要求z 0 ，而此时推得z 0 ，我们可以通过计算，在，) 平面内画出芦( d ，k c ) = 0 在第一象限的 图像。在下一页图中用虚线表示从其图像上可以看出：隐函数舻( d ，k 。) = 0 在 0 0 ，故只有位于虚线上方的对应模式点才属于我们所研究的范畴 简单地说，位于中性曲线上方的点，满足r e ( u 士) 0 ，从而导致不稳 定对于给定的每一个p 值，常数平衡态s 的稳定性要求r e p 士( “k c ) 1 0 对于 每一个c = 0 ，1 ，2 ，都成立为了清楚地说明并讨论以上问题，我们需要进一步 研究中性曲线 利用数学分析的知识可以得到：在d 给定时，中性曲线作为k 。的函数，其最 大值在栋= i 0 2 5 时取得，且取得的最大值是 2 d - 5 p ：。d 2 + ( 1 + d ) x d + 1 1 ( 4 2 ) 当d2 3 + 2 以时有成0 由( 4 2 ) 式知，当d 满足：d 佃 d 2 + ( 1 + d ) 4 5 + 1 ， 则式0 成 1 成立，我们在后文中要用到这一结果最危险模式即最先出现图 灵失稳所对应的模式，它对我们讨论的问题有意义最危险模式总是出现在碟的 邻域内 罐在第一象限的图像在下面图中以实线画出： 2 3 弱的非线形理论 本节讨论当d 满足t d 哆 d 2 + ( 1 + d ) 河+ 1 ，系统在分歧点处的产生的 二维斑图相应的波数k c = 一瓶：，我们运用奇异摄动法给出振幅方程，并计算出 l a n d a u 常数的值使用奇异摄动法，首先令分歧参数p 在临界值处做小扰动 p = p c 一皿e 2 ， “c = 1 6 q 一 鞘筠出州逖础 其中“。是中性曲线上的分歧点对应的分歧参数，豇是有界量，0 e 1 是对 分歧参数小扰动的测量当讨论常数平衡态s 的渐近展开解的时候，同样发现在 o ( e a ) 阶，非齐次项将产生形如0 ( e 3 f ) 阶的长期项为了消除长期项，使用多重尺 度展开法令慢时间变量r = e 2 t ，此时解的展开式为 j o ( z ，可，t ，下) = ( 1 + p 。) + a l ( z ，掣，t ，下) e 十a 2 ( x ，y ，t ，r ) e 2 + a 3 ( x ，掣，t ，7 - ) 一十- 一， ，。、 l6 ( 。，掣，t ，r ) = ( 1 + p 。) 2 + b l ( z ，可，t ，r ) e + b 2 ( x ，y ，t ，丁) e 2 + b 3 ( x ，y ，t ，r ) 3 + 、7 将( 4 3 ) 代入方程( 3 2 ) 中并按e 的幂展开，在0 ( e ) 阶可得到( a 1 ，b 1 ) 是满足线 性化问题( 3 5 ) 的方程，其中p 被p 。所代替 三( 寸( ：) ( “) l = ( 扣儿+ 静1 。觋1 - 2 ( 1，+ 1 ) ， + p 。) 羞一九( 为+ 蒜) + 、7 考虑到是在中性曲线上取值，所对应的特征值a = 0 在适当的初始条件下，我们 给出的( a l ，b 1 ) 表达式如下 ( ：) = a c r ，( 窆) c o s c g c z ，+ 口p ，( 耋) c 0 8 c 们 c a e ， 其中a ( ，- ) 与b ( r ) 是待定的振幅， 毫= 碗可d 瓜k 2 筇矛为讨论方便设q 。= c 7 ( c = 0 ，1 ，2 ) 在o ( e 2 ) 处可以得到有关( a 2 ，b ) 的方程是 工( ：) = ( 南+ 考一糌) 将已经解得( 钆h ) 表达式代入到上式右端可以确定其非齐次项进而可得到 工( 芝) = ( 南+ 孛一粉) g g = a 2 2c o s ( 2 q 。x ) + b 2 2c o s ( 2 q c y ) + a b c o s q c ( x + g ) + a b c o s q e ( x y ) + ( a 2 + b 2 ) 1 2 1 7 ( 4 7 ) ( 4 8 ) 这样可求解得关于a 2 , b 2 方程的解，即 + + p 1 1 p 1 2 p 2 l p 2 2 p 3 1 p 3 2 ( t a 2 c o s ( 2 q c z ) + 可b 2c 0 8 ( 2 q c u ) a b c o s q 。仕+ f ) + c o s q c ( x y ) 2 + b 2 p 。：丝型毒2 舞掣4 d 2 d2 ；蛐：螫塾藕掣 p 。，：竺竺2 峰d 2 禺霄2 dd 衄2 d 2 d k 。；船。：五4 d 号d 霜2 d 2 产2 舻南一器；肋一赫+ 南+ d 工( 艺) = ( 2 ) ( 4 9 ) = 帮，- 一铡一持一器一南+ 器 一面b 舒3 一铬， ，2 = 2 a l 口2 2 8 1 卢一务 然后将a l , b 1 和n 2 ，b 2 具体表达式再次代入这个有关a 3 ，b 3 的方程中可以确定上式 ( 4 9 ) 右侧的非齐次项( f l ，2 ) r 经过较为复杂的计算可以整理成如下 ，1 = ( 岛1 a + c 1 2 a 3 + c l a a b 2 一d l 静) c o s q c x + n 3 1 。t + ( 岛1 b + c k 2 8 3 + c 2 a b a 2 一d 1 箬) c o s q c y + n 3 1 掣t ， ，2 = ( c 3 l a + c 3 2 a 3 + c 3 3 a b 2 一d 2 髻) c 0 8 q c x + $ 3 2 。t + ( c 4 1 b + i 五2 8 3 + ( 了心口a 2 一d 2 百d b ) c o s q c y + n 3 2 y t 这里 v i i = c 2 1 = 2 目甍笋， g 2 是 一i ( 8 前d 2 磋+ 7 d d 2 f ( 0 ，2 a 。) + 2 胡d 2 ) 越+ ( 2 嘲d 2 霹+ ( 2 1 胡d 2 6 d 1 镌) f ( 0 ，2 a n ) + 6 田比) p i + ( 2 4 田d 2 砖+ ( 3 碹一2 8 d l d i + 2 1 d l d 2 ) f ( 0 ，2 a 。) 一8 d 1 遥+ 6 罐d 2 ) + 8 田d 2 鹾+ ( 1 1 碹一2 2 d l d l + 7 d i 如) f ( 0 ，2 a 。) + 4 一8 d 1 镌+ 2 磅d 2 i x 4 f ( o ，2 a 。) ( 1 + 儿) 7 】， 1 8 叻堍 ， c 1 3 是 一 ( 8 胡d 2 鹾+ 5 d 2 d 2 f ( o ， 飘。) + 4 d 2 d 2 ) p i + ( 2 她 d 2 砖+ ( 1 5 田4 2 ，一6 血唧。 f f o ，、压a 。1 + 1 2 d ! d 2 ) 卢：+ ( 2 4 d i d 2 磋+ ( 3 遥一2 0 d l d ；+ 1 5 d d 2 ) f ( 0 ，、飘。) 一1 6 d i d ； + 1 2 d d 2 ) # 。+ 8 d i d 2 鹾+ ( 7 d 2 1 4 d i d ；+ 5 d ；1 d 2 ) f ( 0 ，以a 。) + 8 d l 一1 6 d i d 2 + 4 d i i d 2 i 2 f ( 0 ，以a 。) ( 1 + 肛。) 7 】， c 2 2 是 一f ( 8 钟d 2 霹+ 7 胡如f ( o ，2 a 。) + 2 砰d 2 ) p ：+ ( 2 4 砰如霹+ ( 2 l 田d 2 6 d l 遽) f ( 0 ，2 a 。j + 6 d i d 2 ) g ! + ( 2 4 d d 2 砖+ ( 3 胡一2 8 d a 镌+ 2 1 d ；d 2 ) f ( o ，2 a 。) 一8 d 1 逅+ 6 d d 2 ) p 。 +